Analiza sprê ystoœci i t³umienia przy lokowaniu biegunów w systemie aktywnego zawieszenia magnetycznego

Transkrypt

1 AUTOMATYKA 2009 Tom 13 Zeszyt 1 Adam Pi³at* Analiza sprê ystoœci i t³umienia przy lokowaniu biegunów w systemie aktywnego zawieszenia magnetycznego 1. Wprowadzenie Motywacj¹ do powstania niniejszego opracowania by³a koniecznoœæ dokonania pe³nej analizy matematycznej i podobieñstwa zawieszenia elektromagnetycznego do systemu mechanicznego. Wiêcej, ze wzglêdu na mo liwoœæ przemieszczania siê obiektu lewituj¹cego b¹dÿ zmiany jego kszta³tu skutkuj¹ce zmianami objêtoœci obszaru dzia³ania si³y elektromagnetycznej, zachodzi zmiana w³asnoœci statycznych i dynamicznych uk³adu automatycznej regulacji zapewniaj¹cego stabilizacjê obiektu lewituj¹cego. Idea zawieszania cia³ w polu magnetycznym siêga 1842 roku. Wtedy to Ernshaw opisa³ pomys³ zawieszenia cia³a w polu magnetycznym sta³ych magnesów. Lata 30. minionego stulecia umo liwi³y pierwsze praktyczne zawieszenia obiektów w polu magnetycznym. W latach 60. zawieszenie magnetyczne zastosowano w satelitach do ³o yskowania yrostabilizatorów oraz kinematycznych akumulatorów energii. Rozwój kolei magnetycznych zosta³ zapocz¹tkowany w 1984 przez Girarda (Sinha 1987). W latach 80. ubieg³ego stulecia powstawa³y pierwsze poci¹gi magnetyczne w Niemczech (Bohn 1981), Japonii (Suzuki et al. 1984), USA, Wielkiej Brytanii (Sinha 1984). Aktualnie prowadzone s¹ prace nad metrem w Szwajcarii, kolejami magnetycznymi w Japonii, Chinach, Stanach Zjednoczonych i Korei. System magnetycznego zawieszenia zosta³ zastosowany tak e do bezkontaktowego wykonywania pomiarów: ciê aru próbki, sorpcji i rozpuszczalnoœci, termograwimetrii w niskich i wysokich ciœnieniach, mieszaniu cieczy. Zjawisko magnetycznej lewitacji zastosowano w precyzyjnym pozycjonowaniu próbek na potrzeby biotechnologii i produkcji zintegrowanych uk³adów scalonych (Auer i Beek 1994). Aktywne zawieszenie magnetyczne stanowi podstawê aktywnych ³o ysk magnetycznych (Maslen 1999), które umo liwiaj¹ osi¹ganie znacznych prêdkoœci obrotowych wirnika przy jednoczesnej eliminacji tarcia mechanicznego oraz medium smaruj¹cego, co po- * Katedra Automatyki, Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie 43

2 44 Adam Pi³at zwala realizowaæ nowe aplikacje. Zastosowanie uk³adu automatycznej regulacji wnosi mo liwoœæ doboru w³asnoœci dynamicznych ³o ysk takich jak sprê ystoœæ i t³umienie, oraz pe³n¹ kontrolê i monitorowanie stanu urz¹dzenia. Przyk³adowo ³o yska magnetyczne zastosowano w nastêpuj¹cych aplikacjach: ³o yskowanie próbek celem pomiaru lepkoœci, masowego natê enia przep³ywu i bardzo niskich ciœnieñ w ultrapró ni, miniaturowa pompa w sztucznym sercu (Hilton et al. 1998), akumulatory energii (Miyagawa et al. 1998), wrzeciona obrabiarek (Taniguchi i Veyanna 1996), kompresory dla ruroci¹gów gazowych (Ahrens i Sturgess 2000), napêdy dysków twardych (Vuillemin i Awschlimann 1998), yroskop (Gosiewski et al. 1996), turbogeneratory (Canders et al. 1994), t³umienie drgañ wirników giêtkich (Kozanecka 2000) i wiele innych. 2. Aktywne zawieszenie magnetyczne Elementem wspomnianych we wstêpie systemów jest elektromagnes oddzia³uj¹cy na obiekt ferromagnetyczny (zworê) zlokalizowany w jego s¹siedztwie. Na zworê dzia³a pole grawitacyjne lub inna si³a elektromagnetyczna przeciwnie skierowana do si³y generowanej przez sterowany elektromagnes zobacz rysunek 1 (Pi³at 2002). Do sterowania pr¹dem w cewce elektromagnesu u ywa siê trzech typowych rodzajów Ÿróde³ zasilania bazuj¹cych na sterowaniu napiêciem analogowym, sterowaniu sygna³em PWM, sterowaniu natê eniem pr¹du z u yciem regulatora dla wczeœniej wspomnianych wariantów zasilania. Ka dy z uk³adów elektronicznych charakteryzuje siê odrêbnymi w³asnoœciami i ma okreœlony wp³yw na dynamikê systemu zawieszenia magnetycznego. W dalszej czêœci opracowania rozwa ania bêd¹ dotyczyæ zastosowania sterownika natê enia pr¹du w cewce dzia³aj¹cego w oparciu o zmianê czêstotliwoœci napiêcia zasilania. Charakterystyki amplitudowo-fazowe si³ownika zasilanego sterownikiem pr¹dowym, pozyskane podczas badañ eksperymentalnych z wykorzystaniem analizatora sygna³ów dya) b) c) d) Rys. 1. Idea aktywnego zawieszenia: a) typowa konstrukcja mechaniczna w konfiguracji masa-sprê yna-t³umik; b) zawieszenie elektromagnetyczne; c) schemat bezkontaktowego odpowiednika z mo liwoœci¹ zmiany wspó³czynnika t³umienia i sprê ystoœci; d) system laboratoryjny MLS0201 (Pi³at 2005, Pi³at i Turnau 2005b)

3 Analiza sprê ystoœci i t³umienia przy lokowaniu biegunów namicznych AGILENT 35670A przedstawia rysunek 2. Sterownik pr¹dowy wraz z si³ownikiem elektromagnetycznym zapewniaj¹ brak t³umienia i przesuniêcia fazowego w paœmie do 10 Hz. Pozwala to na prowadzenie badañ dotycz¹cych lewitacji obiektu w dopuszczalnym zakresie przemieszczeñ przy utrzymanych parametrach uk³adu wykonawczego. Zastosowanie sterownika pr¹dowego pozwoli³o na uproszczenie konstrukcji systemu oraz zmniejszenie sta³ej czasowej uk³adu wykonawczego wzglêdem konstrukcji zasilanej sygna³em napiêciowym PWM lub analogowo. a) b) Amplituda [db] Faza [deg] Czêstotliwoœæ [Hz] Czêstotliwoœæ [Hz] Rys. 2. Charakterystyki amplitudowo-fazowe si³ownika elektromagnetycznego sterowanego pr¹dowo 2.1. Modelowanie Rozwa my model systemu magnetycznego zawieszenia sterowany pr¹dowo, który mo na opisaæ równaniem ró niczkowym postaci: x& 1 = x x& 2 = Kemi x1 m + g gdzie: x 1 odleg³oœæ zwory od elektromagnesu [m] (x 10 (0, x 1max ) x 1 > 0), x 2 prêdkoœæ przemieszczania siê zwory [m/s], m masa zwory [kg], g przyspieszenie ziemskie [m/s 2 ], K em sta³a elektromagnesu charakteryzuj¹ca jego konstrukcjê [Nm 2 /A 2 ], i natê enie pr¹du w cewce elektromagnesu [A] (i 0). (1) W celu ilustracji zagadnieñ przyjêto nastêpuj¹ce wartoœci poszczególnych parametrów uk³adu aktywnego zawieszenia magnetycznego (zob. tab. 1) pozyskane z procedur identyfikacji laboratoryjnego systemu eksperymentalnego (rys. 8). Obiektem lewituj¹cym

4 46 Adam Pi³at zwor¹ elektromagnesu jest ferromagnetyczna sfera o promieniu 25 mm, która przemieszcza siê pionowo w osi si³ownika elektromagnetycznego. Prêdkoœæ ruchu jest ró na w zale noœci od tego czy sfera pozostaje pod wp³ywem si³y grawitacji czy te jest przyci¹gana przez si³ê elektromagnetyczn¹. Tabela 1 Zestawienie parametrów i ich wartoœci Parametr Jednostka Wartoœæ x 1min [m] 0,001 x 1max [m] 0,020 x 2min [m/s] 0,626 x 2max [m/s] 32,646 m [kg] 0,056 g [m/s 2 ] 9,810 K em [Nm 2 /A 2 ] 2, i max [A] 3,000 Przyjmijmy, e konstrukcja si³ownika elektromagnetycznego nie podlega modyfikacjom podczas dzia³ania systemu aktywnego zawieszenia oraz obiekt pozostaje pod wp³ywem pola sta³ego grawitacyjnego (g = const) przy braku obecnoœci dodatkowych pól magnetycznych, które mog³yby zarówno wprowadziæ zak³ócenia w dzia³aniu elektromagnesu, jak i oddzia³ywaæ na obiekt lewituj¹cy. Przyjmuje siê, i si³ownik elektromagnetyczny ma zrealizowane sprzêtowo sterowanie pr¹dowe, które dzia³a tak, e wartoœæ pr¹du w cewce jest utrzymywana na zadanym poziomie, kompensuj¹c tym samym zmiany indukcyjnoœci powodowane ruchami lewituj¹cego obiektu, temperaturowe zmiany w³asnoœci elektrycznych cewki. Analizuj¹c równanie (1), mo na zauwa yæ, i si³a elektromagnetyczna zale y od sta³ej elektromagnesu opisuj¹cej jego konstrukcjê oraz kwadratu ilorazu pr¹du i przemieszczenia. Zale noœæ si³y elektromagnetycznej od kwadratu wielkoœci steruj¹cej i sterowanej stanowi g³ówn¹ nieliniowoœæ tego systemu dynamicznego. Dla tak przyjêtego modelu systemu aktywnego zawieszenia magnetycznego mo liwe jest wyznaczenie stanów równowagi. Mo na zauwa yæ, i prêdkoœæ sfery w stanie równowagi jest zerowa (x 20 =0), a dla zadanego po³o enia (x 10 =const) wartoœæ pr¹du zale y od odleg³oœci obiektu lewituj¹cego, si³y grawitacji oraz od w³asnoœci si³ownika elektromagnetycznego charakteryzowanego zale noœci¹: 1 i0 = x10 mgkem (2) Nale y podkreœliæ, i ta wprost proporcjonalna zale noœæ od odleg³oœci obiektu jest mo liwa dziêki zastosowaniu sterownika natê enia pr¹du w cewce. W innych wariantach

5 Analiza sprê ystoœci i t³umienia przy lokowaniu biegunów sterowania (Pi³at 2002, Pi³at i Pi¹tek 2002) liniowy charakter tej zale noœci nie jest zachowany. Wartoœæ natê enia pr¹du w punkcie linearyzacji zale y od konstrukcji si³ownika elektromagnetycznego, a zatem mo liwe jest ustalenie w³asnoœci uk³adu poprzez odpowiednie zaprojektowanie kszta³tu rdzenia i parametrów cewki, otrzymuj¹c odpowiedni¹ wartoœæ sta³ej elektromagnesu Model liniowy Po dokonaniu linearyzacji uk³adu nieliniowego (1), otrzymujemy uk³ad liniowy opisany nastêpuj¹cym równaniem: x& = Ax+ Bi, A=, B = α 0 β gdzie: α= 2 Kemi0x10m [s ], (3) β= 2 Kemi0x10m [ma s ]. Korzystaj¹c z (2), mo na wyraziæ wspó³czynniki α i β w funkcji odleg³oœci zwory: α ( x10) = 2 gx10, β ( x10) = 2x10 Kemgm (4) Ilustruj¹c zakres i charakter ich zmiennoœci zobacz rysunek 3, mo na zauwa yæ, i nieliniowa postaæ funkcji α(x 10 ) wp³ywa na nieliniowy charakter zmian wartoœci w³asnych liniowego uk³adu otwartego. Implikuje tym samym nieliniowy charakter po ¹danego sprzê- enia zwrotnego w zale noœci od odleg³oœci zwory od elektromagnesu, przy uwzglêdnieniu nieliniowej postaci β(x 10 ). a) b) α(x 10 ) [1/s 2 ] β(x 10 ) [ma _1 s _2 ] x 10 [m] x 10 [m] Rys. 3. Wykresy funkcji: a) a(x 10 ); b) b(x 10 )

6 48 Adam Pi³at Wartoœci w³asne macierzy A okreœlonej w (3) maj¹ postaæ: λ 1 = α i λ 2 = α (5) Znamienn¹ cech¹ konstrukcji aktywnego zawieszenia jest strukturalna niestabilnoœæ zwi¹zana z dodatni¹ wartoœci¹ jednego z jej biegunów. W celu zapewnienia lewitacji obiektu konieczne jest zastosowanie sprzê enia zwrotnego. U ycie odpowiedniego sprzê enia pozwala na ustalenie po ¹danych w³asnoœci sprê ystoœci i t³umienia. Przy przyjêtych za³o eniach na podstawie (4) wnioskuje siê, i wspó³czynnik α jest dodatni, co implikuje rzeczywiste wartoœci w³asne. Dla dalszych rozwa añ nale y zauwa- yæ, i dla przyjêtych za³o eñ wspó³czynnik β jest ujemny w ca³ej dziedzinie (4). Wartoœci w³asne systemu liniowego zale ¹ od wyboru punktu pracy i wyznaczonego dla niego ustalonego natê enia pr¹du. Zatem korzystaj¹c z zale noœci (2) do wyznaczenia wartoœci natê- enia pr¹du dla ka dej dopuszczalnej odleg³oœci zwory od elektromagnesu, otrzymuje siê bezpoœredni¹ zale noœæ wartoœci w³asnych od ustalonego punktu pracy (x 10, 0). Rozk³ad wartoœci w³asnych (5) ilustruje rysunek 4. Prowadz¹c badania symulacyjne uk³adu otwartego w postaci nieliniowej i zlinearyzowanej, mo na zauwa yæ to same w³asnoœci w ma- ³ym otoczeniu punktu linearyzacji (zob. rys. 5). Trajektorie skierowane w kierunku ujemnych prêdkoœci odpowiadaj¹ przyci¹ganiu elektromagnesu wskutek dzia³ania sterowania i [A], natomiast przeciwnie skierowane odpowiadaj¹ ruchom obiektu przy wy³¹czonym sterowaniu. Na podstawie rozk³adu wartoœci w³asnych wnioskuje siê, i do stabilnej pracy uk³adu aktywnego zawieszenia wymagany jest regulator stabilizuj¹cy. W³asnoœci uk³adu zamkniêtego zale ¹ od doboru rodzaju oraz parametrów stabilizuj¹cego sprzê enia zwrotnego. λ 1,λ 2 x 10 [m] Rys. 4. Rozk³ad wartoœci w³asnych w funkcji odleg³oœci

7 Analiza sprê ystoœci i t³umienia przy lokowaniu biegunów x 2 [m/s 2 ] Rys. 5. Portret fazowy uk³adu otwartego trajektorie uk³adu liniowego i nieliniowego 2.3. Stabilizuj¹ce sprzê enie zwrotne x 1 [m] Na podstawie powy szych rozwa añ mo na zauwa yæ, e do stabilizacji zwory w po- ¹danym punkcie pracy wystarczy zastosowanie regulatora od stanu (Mitkowski 1991, 2000) postaci: i = k11 x k2x2 (6) Zastosowanie tego typu sprzê enia zwrotnego wymaga u ycia sygna³u prêdkoœci, który nie jest dostêpny bezpoœrednio, lecz mo e byæ wyznaczany sprzêtowo lub programowo poprzez zastosowanie aproksymacji lub z wykorzystaniem obserwatora (Baranowski et al. 2008). Na podstawie przeprowadzonych badañ sugeruje siê stosowanie sprzêtowego wyznaczania prêdkoœci przemieszczeñ zwory (Pi³at 2005). Maj¹c do dyspozycji dwa wspó³czynniki regulacji, mo na dowolnie skonfigurowaæ w³asnoœci dynamiczne sprzê enia zwrotnego (Pi³at 2006). Analizuj¹c równanie charakterystyczne otrzymanego uk³adu zamkniêtego: 0 1 x& = x α βk1 βk 2 (7) mo na zauwa yæ, i rozk³ad wartoœci w³asnych (13) (15) zale y od sposobu wyboru parametrów regulatora dla danego pr¹du punktu pracy i 0. Równanie charakterystyczne uk³adu zamkniêtego ma postaæ: 2 λ +λβ k2 +α β k1 = 0 (8) W³asnoœci dynamiczne uk³adu zamkniêtego s¹ kszta³towane przez odpowiedni dobór parametrów regulatora umo liwiaj¹cych ustalenie po³o enia biegunów uk³adu zamkniêtego.

8 50 Adam Pi³at Nale y zwróciæ szczególn¹ uwagê na programow¹ mo liwoœæ ustalania w³asnoœci dynamicznych uk³adu aktywnego magnetycznego zawieszenia, czyli parametrów sprê ystoœci i t³umienia. Wspó³czynniki regulatora k 1 [A/m] oraz k 2 [sa/m] wraz z parametrami α, β, wyznaczaj¹ wspó³czynniki sprê ystoœci k [N/m] i t³umienia c [Ns/m] wed³ug nastêpuj¹cych formu³: k = m( βk1 α ) (9) c = mβk 2 Liniowa b¹dÿ nieliniowa zale noœæ wspó³czynników regulatora od parametrów pozwala na kszta³towanie w³asnoœci sprê ysto-t³umi¹cych zawieszenia magnetycznego. Wartoœci parametrów regulatora s¹ determinowane poprzez w³asnoœci dynamiczne i kryterium stabilnoœci uk³adu zamkniêtego. Z równania (8) mamy: 2 2 Δ z =β k 2 4( βk 1 α ) (11) Liczba i rodzaj wartoœci w³asnych uk³adu zale ¹ od wyznacznika (11) równania charakterystycznego (8) uk³adu zamkniêtego (7). Przyjmuj¹c warunek krytyczny Δ z = 0, otrzymuje siê wzajemn¹ zale noœæ wspó³czynników regulatora: 2 1 k1 = 0, 25 βk2 αβ, Δ z = 0 (12) Równanie (12) wyznacza granicê obszarów pracy oscylacyjnego i nadkrytycznego (rys. 6). D³ugoœæ krzywych odpowiada jednakowej zmianie wartoœci w³asnych (λ 1,2 [ 100, 0]) i zale y od wspó³czynników α i β, generuj¹c tym samym mo liwy zakres zmiennoœci parametrów regulatora. (10) k 1 [Am 1 ] k 2 [sam 1 ] Rys. 6. Wzajemna zale noœæ parametrów regulatora wyznaczona dla kilku punków linearyzacji

9 Analiza sprê ystoœci i t³umienia przy lokowaniu biegunów Kontynuuj¹c, nale y zauwa yæ, i dopuszczalne wartoœci k 1 i k 2 s¹ ograniczone przez warunek asymptotycznej stabilnoœci uk³adu zamkniêtego. Dla rozwa anego systemu zamkniêtego (7) mo liwe s¹ nastêpuj¹ce przypadki: I) Δ z = 0, 2 1 k1 = 0, 25βk2 αβ λ 1 =λ 2 = 0,5βk2 (13) II) 2 1 Δ z > 0, k1 < 0, 25βk2 αβ λ 1 = 0,5( βk2 Δz), λ 2 = 0,5( β k2 + Δz) (14) II) 2 1 Δ z < 0, k1 > 0, 25βk2 αβ λ 1 = 0,5( βk2 j Δz), λ 2 = 0,5( β k2 + j Δz) (15) Warunek asymptotycznej stabilnoœci Re(λ i ) < 0, i = 1, 2 jest spe³niony dla βk 2 < 0, sk¹d k 2 < 0. Parametry sprzê enia zwrotnego nale y wyznaczyæ tak, by uzyskaæ z góry zadane wspó³czynniki t³umienia i sprê ystoœci uk³adu zamkniêtego. Celem ilustracji powy szej analizy przeprowadzono badania symulacyjne (rys. 7), stabilizuj¹c obiekt w x 10 = 0,008 m dla k = 248,2 N/m i c = 8,12 Ns/m, co odpowiada wartoœciom w³asnym λ 1 = λ 2 = 71 i generuje parametry regulatora k 1 = 418,9906, k 2 = 7,9781. Rys. 7. Portret fazowy uk³adu zamkniêtego: a) trajektoria uk³adu liniowego; b) trajektoria uk³adu nieliniowego 2.4. Badania eksperymentalne Do przeprowadzenia badañ eksperymentalnych wykorzystano stanowisko laboratoryjne magnetycznej lewitacji MLS2Emi zaprojektowane przez autora niniejszej pracy

10 52 Adam Pi³at (rys. 8). System MLS2Emi cechuje siê dwoma elektromagnesami, optycznym czujnikiem odleg³oœci oraz pr¹dowym sterownikiem mocy. System jest sterowany z komputera klasy PC poprzez dedykowan¹ kartê FastDaq (Pi³at, Pi¹tek 2008). Jej znamienn¹ cech¹ jest równoleg³e i jednoczesne przetwarzanie sygna³ów wejœciowych i wyjœciowych. Karta zosta³a zaprojektowania i wykonana w wyniku wniosków z pracy (Pi³at 2002) pozwalaj¹c na wyeliminowanie opóÿnieñ i b³êdów multipleksowania w torach we/wy przetwarzania sygna- ³ów. Dziêki zastosowaniu równoleg³ego przetwarzania sygna³ów uzyskano czêstotliwoœæ rzêdu 10 khz pracy uk³adu w pêtli sprzê enia zwrotnego, co pozwoli³o na poszerzenie zakresu programowalnych sprê ystoœci i t³umieñ. a) b) Rys. 8. System magnetycznego zawieszenia z dwoma elektromagnesami: a) schemat ideowy; b) model laboratoryjny (Pi³at 2008) Zastosowanie drugiego elektromagnesu umo liwia bezkontaktow¹ zmianê warunków lewitacji poprzez wytworzenie dodatkowej si³y dzia³aj¹cej w kierunku zgodnym z dzia³aniem si³y grawitacji. Pozwala to na szersze testowanie i diagnozowanie w³asnoœci regulatora stabilizuj¹cego ani eli w przypadku stosowania uk³adu z jednym elektromagnesem. Na podstawie przeprowadzonej analizy teoretycznej wyznaczono parametry punktu pracy oraz parametry regulatora. Celem zmiany warunku pocz¹tkowego chwilowo zwiêkszano si³ê generowan¹ przez dolny elektromagnes. Po jej wy³¹czeniu kula by³a przemieszczana w otoczenie punktu linearyzacji poprzez zaprojektowany regulator. Zamiana parametrów regulatora pozwoli³a zaobserwowaæ zmienny charakter odpowiedzi uk³adu zgodnie z oczekiwaniami. Celem zilustrowania (rys. 9) zmiany w³asnoœci dynamicznych sprzê enia zwrotnego dokonano modyfikacji parametrów regulatora poprzez zmianê parametru k 2 o wartoœæ 2,0.

11 Analiza sprê ystoœci i t³umienia przy lokowaniu biegunów x 1 Czas [s] Rys. 9. Zmiana po³o enia sfery wskutek wy³¹czenia zewnêtrznej si³y dla trzech przypadków ustalonych w³asnoœci dynamicznych uk³adu zamkniêtego 3. Wnioski Podsumowuj¹c przeprowadzon¹ analizê teoretyczn¹ oraz weryfikacjê wyników w postaci badañ eksperymentalnych, nale y stwierdziæ, i system aktywnego magnetycznego zawieszenia pozwala na kszta³towanie w³asnoœci dynamicznych uk³adu zamkniêtego przez projektanta. Uwzglêdnienie tych po ¹danych w³asnoœci w procedurze projektowania i konstruowania si³ownika elektromagnetycznego pozwala na otrzymanie odpowiednich wartoœci sprê ystoœci i t³umienia takiego zawieszenia. Ustawienie parametrów sprzê enia zwrotnego spe³niaj¹cego warunek aperiodycznoœci jest kluczowe ze wzglêdu na ograniczony zakres przemieszczeñ sfery poprzez konstrukcjê systemu zawieszenia i wymagany zakres przemieszczeñ. Warunek ten jest szczególnie istotny przy zastosowaniu sprzê enia w ³o yskach magnetycznych. Praca powsta³a czêœciowo w ramach badañ statutowych AGH oraz podczas realizacji projektu POL-POSTDOC II, PBZ/MEiN/01/2006/48 Literatura Ahrens M., Sturgess K. 2000: Oil Free Compressor Systems for Gas Pipelines: Is Now The Time? 7th International Symposium on Magnetic Bearings, August, ETH Zurich, Switzerland, s. 7 Auer F., Beek H. 1994: Practical Application of a Magnetic Bearing and Linear Propulsion Unit for Six Degrees of Freedom Positioning. 4th International Symposium on Magnetic Bearings, August, Zurich, Switzerland, s Bania P. 1999: Model i sterowanie magnetyczn¹ lewitacj¹. Praca Dyplomowa, Katedra Automatyki AGH, Kraków Baranowski J., Pi¹tek P., Pi³at A. 2008: Nonlinear observer design for the magnetic levitation system. Recent advances in control and automation, Warsaw, Academic Publishing House EXIT, s

12 54 Adam Pi³at Bohn G. 1981: The Electromagnetic Levitation and Guidance Technology of The TRANSPID Test Facility Emsland. IEEE Transactions on Magnetics, vol. MAG-20, no. 5, s Canders W., Ueffing N., Schrader U., Larsonneur R. 1994: MTG400: A Magnetically Levitated 400 KW Turbo Generator System for Natural Gas Expansion. 4th International Symposium on Magnetic Bearings, August, Zurich, Switzerland, s Gosiewski Z., Falkowski K. 1996: Two-Axial Gyroscope with Magnetically Supported Rotor. 5th International Symposium on Magnetic Bearings, August, Kanazawa, Japan, s Hilton E., Allaire P., Baloh M. 1998: Magnetic Suspension Test Controller for a New Continuous Flow Ventricular Assist Device. 6th International Symposium on Magnetic Bearings, 5 7 August, Massachusetts, USA, s Kozanecka D. 2000: Digitaly controlled magnetic bearing. (in Polish), Zeszyty Naukowe Politechniki odzkiej, ódÿ Maslen E. 1999: Magnetic Bearings. University of Virginia, Department of Mechanical, Aerospace and Nuclear Engineering, Charlottesville, Virginia Mitkowski W. 1991: Stabilizacja systemów dynamicznych. Warszawa, WNT Mitkowski W. 2000: Systemy dynamiczne. Kraków, UWND AGH Miyagawa Y., Hameno H., Takahata R., Ueyama H. 1998: A 0.5KWh Flywheel Energy Storage Systeme using A High-Tc Superconducting Magnetic Bearings. 6th International Symposium on Magnetic Bearings, 5 7 August, Massachusetts, USA Pi³at A. 2002: Control of magnetically levitated systems. Ph.D. Dissertation (in Polish), AGH University of Science and Technology, Kraków, Poland Pi³at A. 2005: Programmable analog hardware for control systems exampled by magnetic suspension. Proc. of Computer Methods and Systems, November 2005, Kraków, Poland, s Pi³at A. 2006: PD control strategy for 3 coils AMB. Proceedings of 10th International Symposium on Active Magnetic Bearings, August 2006, Martigny, Switzerland Pi³at A. 2008: Active magnetic suspension and bearing. Modelling and simulation, InTech Education and Publishing, Vienna, s Pi³at A., Pi¹tek P. 2002: Influence of PWM control parameters on the control quality for magnetic levitation system. XIV KKA, Zielona Góra, czerwca, s Pi³at A., Turnau A. 2005: Self-organizing fuzzy controller for magnetic levitation system. Proc. of Computer Methods and Systems, November 2005, Kraków, Poland, s Pi¹tek P., Pi³at A. 2008: Multichannel control & measurement board with parallel data processing. Recent advances in control and automation, Warsaw, Academic Publishing House EXIT, s Sinha P.K. 1984: Design of Magnetically Levitated Vehicle. IEEE Transactions On Magnetics, vol. MAG-20, no. 5, s Sinha P.K. 1987: Electromagnetic Suspension. Dynamics & Control. London, Peter Perginus Ltd. Suzuki S., Kawashima M., Hosoda. Y, Tanida T. 1984: HSST-03 System. IEEE Transactions On Magnetics, vol. MAG-20, no. 5, s Taniguchi M., Ueyama H. 1996: Cutting Performance of Digital Controlled Milling AMB Spindle. 5th International Symposium on Magnetic Bearings, August, Kanazawa, Japan, s Vuillemin R., Awschlimann B. 1998: Low Cost Active Magnetic Bearings for Hard Disk Drive Spindle Motors. 6th International Symposium on Magnetic Bearings, 5 7 August, Massachusetts, USA, s. 3 9