THE NUMERICAL MODELING OF FAILURE OF S235JR STEEL USING GURSON-TVERGAARD-NEEDLEMAN MATERIAL MODEL

Transkrypt

1 ROADS AND BRIDGES DROGI I MOSTY 11 (1) PAWE KOSSAKOWSKI 1) THE NUMERICAL MODELING OF FAILURE OF S35JR STEEL USING GURSON-TVERGAARD-NEEDLEMAN MATERIAL MODEL NUMERYCZNE MODELOWANIE ZNISZCZENIA STALI S35JR Z ZASTOSOWANIEM MODELU MATERIA U GURSONA-TVERGAARDA-NEEDLEMANA STRESZCZENIE. W artykule przedstawiono za³o enia modelu materia³u porowatego Gursona-Tvergaarda-Needlemana (GTN) bêd¹ego obenie jednym z podstawowyh modeli zniszzenia stosowanyh w analizah noœnoœi metalowyh konstrukji in ynierskih. Podano praktyzne informaje na temat doboru parametrów materia³owyh GTN oraz prowadzenia oblizeñ numeryznyh w odniesieniu do stali konstrukyjnyh stosowanyh w budownitwie i mostownitwie. Przedstawiono przyk³ad numeryznej symulaji zniszzenia elementu rozi¹ganego wykonanego ze stali S35JR, przeprowadzonej w opariu o model GTN. Opisano proedurê oblizeniow¹, wyznazone parametry mikrostruktury GTN oraz uzyskane wyniki. Zakres symulaji obejmowa³ analizê wytrzyma³oœiow¹ dokonan¹ w powi¹zaniu z badaniami wzrostu mikrouszkodzeñ zahodz¹ego w trakie proesu uplastyzniania materia³u. W efekie przeprowadzonyh badañ wyznazono krytyzny udzia³ objêtoœiowy pustek, który mo e stanowiæ kryterium mikrostrukturalne odpowiadaj¹e przewidywanemu momentowi zniszzenia stali S35JR. ABSTRACT. The paper presents assumptions of the Gurson-Tvergaard-Needleman (GTN) model for a porous materials, whih is now one of the basi damage material models applied in the analysis of the load-bearing apaity of metal engineering strutures. The pratial information about the seletion of GTN material parameters and performing numerial alulations is given. An example of the numerial simulation of the failure of tensile element made of S35JR steel is presented. The alulation proedure, the determined GTN mirostruture parameters and the obtained results are desribed. The simulations inluded the strength analysis and the study of the miro-defets growth ourring during the plastiity proess is presented. As a result the ritial volume void fration was determined whih an be used as a mirovoid riterion orresponding to the expeted S35JR steel failure. S OWA KLUCZOWE: GTN, model materia³u Gursona-Tvergaarda-Needlemana, most, stal S35JR, zniszzenie. KEYWORDS: bridge, failure, Gurson-Tvergaard-Needleman Material Model, GTN, S35JR steel. DOI: 1.749/rabdim.1.3 1) Wydzia³ Budownitwa i Arhitektury na Politehnie Œwiêtokrzyskiej; kossak@tu.kiele.pl

2 96 Pawe³ Kossakowski 1. WPROWADZENIE Sukesywnie wprowadzane do stosowania w Polse europejskie normy Eurokod ju na etapie projektowania zak³adaj¹ mo liwoœæ wykorzystania plastyznej rezerwy noœnoœi w odniesieniu do stali konstrukyjnyh stosowanyh w budownitwie i mostownitwie, jak równie do aluminium. Notowane w ostatnih latah awarie i katastrofy budowlane konstrukji stalowyh narzuaj¹ wymóg prowadzenia analiz w zakresie nieliniowym, wykrazaj¹ym daleko powy ej graniy plastyznoœi materia³u, o wymaga stosowania proedur umo liwiaj¹yh numeryzn¹ symulajê i przewidywanie momentu zniszzenia stali konstrukyjnyh. W analizah wytrzyma³oœiowyh materia³ów uplastyznionyh w zakresie odkszta³eñ odpowiadaj¹yh pojawieniu siê przewê eñ i wiêkszyh nie znajduj¹ zastosowania powszehnie znane hipotezy wytrzyma³oœiowe, w tym hipoteza Hubera-Misesa-Henky ego. Powodem tego jest przyjêie ontinuum materialnego, nie uwzglêdniaj¹ego wp³ywu uszkodzeñ mikrostrukturalnyh na wytrzyma³oœæ materia³u. Analizê tego typu zjawisk umo liwia zastosowanie innyh, bardziej zaawansowanyh modeli zniszzenia, w któryh zdefiniowany jest stopieñ uszkodzenia materia³u. Pêkanie struktur polikrystaliznyh, jakimi s¹ metale, zahodzi wed³ug kilku podstawowyh shematów. W przypadku pêkania i¹gliwego (ang. dutile frature) i pêkania typu œiêie (ang. shear frature) proes zniszzenia jest zwi¹zany z mikrostruktur¹ materia³ow¹, a œiœlej mówi¹ z jej mikrouszkodzeniami w postai pustek. S¹ one inijowane na obenyh w materiale wtr¹eniah niemetaliznyh (ang. nonmetali inlusions) lub wydzieleniah innej fazy (ang. seond-phase partiles), a tak e powstaj¹ w wyniku nukleaji w trakie proesu odkszta³enia. Na Rys. 1 shematyznie pokazano poszzególne fazy pêkania i¹gliwego na przyk³adzie próbki rozi¹ganej o przekroju ko³owym. W poz¹tkowej fazie deformaji obserwuje siê równomierne odkszta³anie próbki, obejmuj¹e a³¹ objêtoœæ materia³u, w którego strukturze wystêpuj¹ mikrouszkodzenia (oznazone na Rys. 1 jako drobne punkty). Stan taki panuje a do osi¹gniêia obi¹ enia maksymalnego, po przekrozeniu którego, w miejsu w którym ma nast¹piæ zerwanie, obserwuje siê znaznie intensywniejszy wzrost odkszta³eñ (wyd³u eñ), skutkuj¹y powstaniem tzw. przewê enia, zyli szyjki. Samo tworzenie siê szyjki t³umazone jest najzêœiej utrat¹ stateznoœi odkszta³enia plastyznego, która nastêpuje, gdy materia³ trai zdolnoœæ do dalszego wzmonienia [1]. W momenie 1. INTRODUCTION The Euroode standards, whih have been suessively introdued in Poland, already at the design stage onsider the possibility of using the plasti reserve of the load-bearing apaity for both the strutural steel and the aluminum used in onstrution and bridge engineering. Due to the building failures and the steel onstrution disasters that ourred in reent years, it is advisable to impose the analysing requirements in the non-linear range, whih seriously exeeds the yield point of the material and that requires the use of proedures that both enable the numerial simulation and make it possible to predit failure of the strutural steel. The strength analyses of the plastiized (within neking and larger strains) materials do not orrelate with the well-known strength hypotheses, inluding the Huber-Mises-Henky hypothesis. The reason for that is the adoption of a material ontinuum whih does not take into aount the influene of the mirostrutural damage on the material strength. The analysis of suh phenomena is possible thanks to the other, more advaned, damage models for whih a material damage degree is defined. Frature of polyrystalline strutures, suh as metals, takes plae in aordane with several basi shemas. In the ase of both the dutile frature and the shear frature the proess of failure is related to the material mirostruture or, more preisely, to its mirodamages in the form of voids. They are initialized on the nonmetalli inlusions or on the seond-phase partiles existing in the material and result from a nuleation during the proess of deformation. Figure 1 shows shematially the different phases of dutile frature based on the tensile sample with a irular ross-setion. At the initial stage of deformation there has been an equal deformation of the sample, overing the whole volume of material in the struture of whih the mirodamages appear (labeled in Figure 1 as small points). Suh state prevails until reahing the maximum loading. When it is exeeded, in the plae in whih the rak is expeted to our, the onsiderably more intensive inrease of deformations (elongations), resulting in the ourrene of neking, is observed. Formation of the nek itself is usually explained as the loss of stability of plasti deformation whih ours when the material loses its ability to hardening [1]. At the moment of the appearane of neking, the urrent state of stress in its surrounding hanges from the uniaxial to the omplex one. The ohesion fores that ombine the material matrix with inlusions and seond-phase partiles are exeeded,

3 ROADS AND BRIDGES DROGI I MOSTY 11 (1) a) b) ) d) e) f) pojawienia siê przewê enia, w jego otozeniu dohodzi do zmiany panuj¹ego stanu naprê enia z jednoosiowego na z³o ony. Przekrozone zostaj¹ si³y spójnoœi ³¹z¹e matryê materia³ow¹ z wtr¹eniami i wydzieleniami innej fazy, skutkiem zego dohodzi do jej oddzielania i powstawania pustek. W œrodkowej zêœi próbki, a dok³adnie w p³aszzyÿnie szyjki, dohodzi do intensywnego wzrostu i ³¹zenia siê mikrouszkodzeñ w postai pustek, a intensywnoœæ tego proesu maleje w miarê oddalania siê od strefy silnie odkszta³onej plastyznie. Najistotniejszy wp³yw na proes zniszzenia materia³u ma wzrost i ³¹zenie siê pustek przez zlokalizowane odkszta³enia plastyzne. Koñowe rozdzielenie materia³u w przypadku pêkania i¹gliwego objawia siê œiêiem zewnêtrznego pierœienia próbki i rozdzieleniem zêœi œrodkowej. Nale y zaznazyæ, e mehanizm opisany powy ej, pokazany shematyznie na Rys. 1, dotyzy sytuaji wyidealizowanej, w której szyjka powstaje w jednym miejsu, w po³owie wysokoœi rozi¹ganej próbki. W warunkah rzezywistyh zahodzi zasami sytuaja, kiedy na skutek wp³ywu imperfekji geometryznyh i strukturalnyh szyjka powstaje w strefah blisko zamoowañ, jak równie, gdy powstaje kilka szyjek na d³ugoœi próbki. Jednym z pierwszyh modeli materia³owyh, w którym uwzglêdniono wp³yw wzrostu mikrouszkodzeñ, definiowanyh jako udzia³ objêtoœiowy pustek, na wytrzyma³oœæ materia³u by³ model materia³u porowatego Gursona [], bêd¹y w istoie zmodyfikowan¹ form¹ hipotezy Hubera-Misesa-Henky ego (HMH). W latah póÿniejszyh model Gursona by³ poddawany ró nym modyfikajom, które opisano w nastêpnym rozdziale. Modelem, który ugruntowa³ siê w literaturze, jak równie zosta³ zaimplementowany do szeregu profesjonalnyh programów oblizeniowyh, jest modyfikaja Tvergaarda [3], który wspólnie z Needlemanem [4] opraowa³ i rozwin¹³ metodê okreœlan¹ w literaturze jako model Gursona-Tvergaarda-Needlemana, w skróie GTN. Dziêki uwzglêdnieniu niektóryh parametrów mikrostrukturalnyh oraz Fig. 1. Dutile frature miromehanism Rys. 1. Mikromehanizm zniszzenia i¹gliwego a) undeformed element / element nieodkszta³ony, b) neking / przewê enie, ) mirodamage nuleation / nukleaja mikrouszkodzeñ d) mirodamage growth / wzrost mikrouszkodzeñ, e) mirodamage oalesene resulting in rak initiation / ³¹zenie mikrouszkodzeñ prowadz¹e do inijaji pêkniêia, f) failure / zniszzenie whereby it omes to its separation and the formation of voids. In the entral part of the speimen, to be preise, in the plane of the nek, ours a rapid growth and oalesene of mirodamages in the form of voids, and the intensity of the proess dereases depending on the distane from the strongly plastially deformed zone. The most essential influene on the proess of the material failure has the growth and the oalesene of voids aused by the loalized plasti deformations. The final separation of the material in the ase of dutile frature omes in the form of the shear frature of the external ring of the speimen and the separation of the entral part. It should be emphasized that the above desribed mehanism, shematially shown in Figure 1, refers to an idealized situation in whih the nek is formed at one plae, in the half of the height of the tensile speimen. In fat, it sometimes happens that, as the result of the influene of geometrial and strutural imperfetions, the nek is formed in areas lose to the grips. It may also happen that a few neks are formed on the length of the speimen. One of the first material models, whih inorporates the influene of mirodamage growth (defined as the void volume fration) on the material strength, was the Gurson porous material model [] whih, in fat, is a modified form of the Huber-Mises-Henky (HMH) hypothesis. In the following years, Gurson model was subjeted to various modifiations, whih are desribed in the next setion. A model that has been established in the literature and implemented into the number of professional omputing programs, is the modifiation introdued by Tvergaard [3] who together with Needleman [4] designed and developed the method known in the literature as a model of Gurson-Tvergaard-Needleman (GTN). Thanks to the inorporation of ertain mirostrutural parameters and the plasti properties of the material, the GTN method enables the modeling of plasti ranges until the failure of a number of porous materials, inluding various types of strutural steel used in bridge engineering, suh as S35 and S355 [5, 6].

4 98 Pawe³ Kossakowski w³asnoœi plastyznyh materia³u, metoda GTN umo liwia modelowanie zakresów plastyznyh a do zniszzenia szeregu materia³ów porowatyh, w tym ró nego rodzaju stali konstrukyjnyh stosowanyh w mostownitwie, takih jak S35 i S355 [5, 6]. Zmodyfikowany model Gursona-Tvergaarda-Needlemana jest obenie podstawowym modelem zniszzenia zaleanym przez europejskie normy Eurokod [7] oraz literaturê [8] do stosowania w analizah noœnoœi konstrukji stalowyh, które prauj¹ w zakresah nieliniowyh oraz stanah awaryjnyh. W odniesieniu do stali konstrukyjnyh zastosowanie modelu GTN daje dobr¹ zbie noœæ wyników uzyskanyh na drodze oblizeñ numeryznyh i badañ eksperymentalnyh [9-11]. Artyku³ ma na elu przybli enie in ynierom i naukowom zwi¹zanym z mostownitwem modelu materia³u porowatego Gursona-Tvergaarda-Needlemana (GTN), jak równie podanie praktyznyh informaji na temat doboru parametrów materia³owyh oraz prowadzenia oblizeñ numeryznyh. Model GTN mo e mieæ szzególne zastosowanie w trakie opraowywania ekspertyz dotyz¹yh bezpiezeñstwa u ytkowania obiektów mostowyh w sytuaji wyst¹pienia awarii. W artykule przedstawiono równie przyk³ad numeryznej symulaji rozi¹gania elementu wykonanego ze stali S35JR, opisuj¹ sposób prowadzenia oblizeñ, wyznazone parametry mikrostruktury GTN oraz uzyskane wyniki.. MODEL GTN DLA MATERIA U POROWATEGO Oryginalny model materia³u porowatego Gursona [] zosta³ oparty na za³o eniu, e udzia³ pustki w funkji potenja³u plastyznego uwzglêdniony jest nie przez jej objêtoœæ, lez udzia³ objêtoœiowy f, zgodnie z zale noœi¹: gdzie: e m f e 3 m f osh 1 f, (1) naprê enie efektywne wed³ug hipotezy HMH, grania plastyznoœi, naprê enie œrednie (iœnienie hydrostatyzne), wartoœæ udzia³u objêtoœiowego pustek. Warunek (1) w latah póÿniejszyh podlega³ ró nym modyfikajom. Z najistotniejszyh zmian nale y wymieniæ wprowadzenie przez Tvergaarda tzw. wspó³zynników q i, The modified Gurson-Tvergaard-Needleman model is at present the basi damage model reommended by the Euroode standards [7] and the literature [8] in load-bearing analysis of steel strutures that work in both the non-linear ranges and the emergeny situations. Regarding the use of strutural steel, GTN model provides a good onvergene of the results obtained by both the numerial alulations and the experimental researh [9-11]. The aim of this publiation is to aquaint engineers and sientists, assoiated with the bridge engineering, with the Gurson-Tvergaard-Needleman (GTN) porous material model, as well as provide pratial information on the seletion of material parameters and numerial alulations. The GTN model may be partiularly useful when developing expertise related to the ontingeny plans in the event of bridge failures. The paper also presents an example of numerial analysis of a tensile element made of steel S35JR and desribes the method of alulation, the designated GTN mirostruture parameters and the results.. THE GTN MODEL FOR THE POROUS MATERIAL The original Gurson porous material model [] was based on the assumption that the proportion of void in the plasti potential funtion is not taken into aount by its volume, but by the volume fration f, aording to the formula: 3 e m f osh 1 f, (1) where: e effetive stress aording to HMH hypothesis, yield point, m mean stress (hydrostati pressure), f value of void volume fration. As mentioned before, the ondition (1) was later subjeted to various modifiations. The most signifiant hanges inlude the introdution of so-alled oeffiients q i introdued by Tvergaard and alled after his name Tvergaard parameters, whih define some plasti properties of the material [3]. The yield ondition of the modified Gurson model, taking into aount the Tvergaard oeffiients, has got the form [3]: e 3 m q f osh q ( 1 q f ). () 1 3

5 ROADS AND BRIDGES DROGI I MOSTY 11 (1) nazywanyh od jego nazwiska parametrami Tvergaarda, które definiuj¹ pewne w³asnoœi plastyzne materia³u [3]. Warunek plastyznoœi zmodyfikowanego modelu Gursona uwzglêdniaj¹ego wspó³zynniki Tvergaarda otrzyma³ postaæ [3]: 3 e m q f osh q ( 1 q f ). () 1 3 Wartoœi typowe dla materia³ów metalowyh okreœlone zosta³y przez Tvergaarda jako [3, 1]: q i q q1 q 1,5, 1,, q, Kolejn¹ zmian¹ by³a modyfikaja bie ¹ej wartoœæ udzia³u objêtoœiowego pustek f (ang. Void Volume Fration, w skróie VVF), wprowadzona przez Tveergaarda i Needlemana [4], zgodnie z funkj¹: f dla f f, * f 1/ q f 1 (4) f ( f f ) dla f f, f f F gdzie: f krytyzny udzia³ objêtoœiowy pustek odpowiadaj¹y poz¹tkowi ih ³¹zenia, krytyzny udzia³ objêtoœiowy pustek odpowiadaj¹y zniszzeniu materia³u. Uwzglêdniaj¹ opisane powy ej modyfikaje, obenie warunek plastyznoœi GTN okreœlony jest najzêœiej jako: gdzie: e e m f * q i 3 m q f osh q ( 1 q f 1 3 * * (3) ), (5) naprê enie efektywne wed³ug hipotezy Hubera-Misesa-Henky ego, grania plastyznoœi, naprê enie œrednie (iœnienie hydrostatyzne), bie ¹a wartoœæ udzia³u objêtoœiowego pustek, wspó³zynniki Tvergaarda. Bie ¹¹ wartoœæ udzia³u objêtoœiowego pustek f * opisuje zale noœæ: Typial values for metalli materials were determined by Tvergaard as [3, 1]: q 1.5, 1 q q i 1., (3) q q Another hange was the modifiation of the urrent value of void volume fration (VVF) f, introdued by Tveergaard and Needleman [4] aording to the following funtion: f for f f, * f 1/ q f 1 (4) f ( f f ) for f f, f f F where: f ritial void volume fration orresponding to the onset of their oalesene, ritial void volume fration orresponding to the material failure. Taking into onsideration the modifiations desribed above, at present the GTN yield ondition is usually defined as follows: where: e e m f * q i 3 m q f osh q ( 1 q f 1 3 * * ), (5) effetive stress aording to the Huber-Mises-Henky hypothesis, yield point, mean stress (hydrostati pressure), urrent void volume fration, Tvergaard oeffiients. The urrent void volume fration f * is determined by the following formula: f for f f, * f f F f f ( f f ) for f f f, (6) F f f F f for f f F F, where: f ritial void volume fration orresponding to the onset of their oalesene, ritial void volume fration orresponding to the material failure,

6 3 Pawe³ Kossakowski f dla f f, * f f F f f ( f f ) dla f f f, F (6) f f F f dla f f F F, gdzie: f krytyzny udzia³ objêtoœiowy pustek odpowiadaj¹y poz¹tkowi ³¹zenia siê pustek, krytyzny udzia³ objêtoœiowy pustek odpowiadaj¹y zniszzeniu materia³u, wspó³zynnik definiuj¹y prêdkoœæ wzrostu f * opisany zale noœi¹: f ( q q q )/ q F Udzia³ objêtoœiowy pustek istniej¹yh w strukturze materia³u okreœla wielkoœæ f, odnosz¹a siê do jego pierwotnej porowatoœi. Oznaza to, e w sytuaji poz¹tkowej, gdy materia³ nie zosta³ jeszze poddany proesowi deformaji, bie ¹a wartoœæ udzia³u objêtoœiowego pustek wynosi f * f. Zarówno bie ¹a wartoœæ udzia³u objêtoœiowego pustek f * (VVF), jak i krytyzne wartoœi f oraz odnoszone s¹ do maierzy materia³owej z³o onej z wydzielonyh elementów o œiœle okreœlonyh wymiarah, o w symulajah numeryznyh prowadzonyh w opariu o metodê elementów skoñzonyh MES odpowiada pojedynzym elementom skoñzonym. Proes wzrostu pustek opisywany jest najzêœiej za pomo¹ nastêpuj¹ego modelu: ( ) pl f f f 1 f : I gdzie: f s N f gr N nul 1 exp pl em s N N pl em, (7) wzrost udzia³u objêtoœiowego pustek, f gr wzrost udzia³u objêtoœiowego pustek istniej¹yh w materiale, f nul wzrost udzia³u objêtoœiowego pustek spowodowany ih nukleaj¹, f N s N pl udzia³ objêtoœiowy pustek nukleowanyh, odhylenie standardowe odkszta³enia nukleaji pustek, tensor prêdkoœi przyrostu odkszta³eñ plastyznyh, the oeffiient defining the rate of growth f * desribed by the following relation: f ( q q q )/ q F The volume fration of voids existing in the struture of the material is determined by the oeffiient f whih refers to the original porosity. This indiates that in the initial situation, when the material has not yet been subjeted to the deformation proess, the urrent value of the void volume fration equals f * f. Both the urrent value of void volume fration f * (VVF) and the ritial values of f and refer to the matrix material onsisting of separate omponents with speifi dimensions, what in the numerial simulations, arried out on the basis of the finite element method (FEM), orresponds to single finite elements. The growth of voids is usually desribed using the following model: ( ) pl f f f 1 f : I s N f gr N nul 1 exp pl em s N N pl em, where: f growth of the void volume fration, f gr growth of the volume fration of voids existing in the material, f nul growth of the volume fration of voids due to their nuleation, f N the volume fration of voids nuleated, standard deviation of void nuleation strain, s N pl I N pl em pl em (7) tensor of plasti strain rate inrease, seond-order tensor defining the growth rate of plasti strain, the mean void nuleation strain, equivalent plasti strain, equivalent plasti strain growth rate. It should be pointed out that the proess of mirodamage growth is still the subjet of intense researh, and equation (7) is subjeted to various modifiations [e.g. 13].

7 ROADS AND BRIDGES DROGI I MOSTY 11 (1) I N pl em pl em tensor drugiego rzêdu definiuj¹y prêdkoœæ przyrostu odkszta³eñ plastyznyh, œrednie odkszta³enie nukleaji pustek, zastêpze odkszta³enie plastyzne, prêdkoœæ przyrostu zastêpzego odkszta³enia plastyznego. Nale y zaznazyæ, e proes wzrostu mikrouszkodzeñ w dalszym i¹gu jest przedmiotem intensywnyh badañ, a relaja (7) poddawana jest ró nym modyfikajom [13]. 3. PARAMETRY MATERIA OWE MODELU GTN DLA STALI KONSTRUKCYJNYCH Model GTN jest modelem skomplikowanym, opisanym przez szereg wielkoœi. Poni ej sharakteryzowano jego poszzególne parametry przedstawiaj¹ sposób ih wyznazania lub przyjmowania, a tak e podano wartoœi typowe, stosowane w odniesieniu do stali konstrukyjnyh. Parametry sprê ysto-plastyzne materia³u Parametry sprê yste najzêœiej opisywane s¹ za pomo¹ wspó³zynnika sprê ystoœi pod³u nej E i lizby Poissona v, które dla stali mo na przyj¹æ odpowiednio E = 5 GPa oraz v =,3. W elu zdefiniowania w³asnoœi plastyznyh materia³u koniezne jest okreœlenie graniy plastyznoœi oraz wartoœi rzezywistyh naprê eñ normalnyh w funkji odpowiadaj¹yh im odkszta³eñ w zakresie plastyznym. Nieliniow¹ relajê ( ) mo na opisaæ za pomo¹ modeli upraszzaj¹yh, np. modelu Ramberga-Osgooda. Udzia³ objêtoœiowy pustek istniej¹yh w materiale f Wielkoœæ f okreœla poz¹tkowy udzia³ objêtoœiowy pustek znajduj¹yh siê w materiale i odnosi siê do jego porowatoœi. Udzia³ objêtoœiowy pustek f wyznaza siê w trakie badañ mikrostrukturalnyh przy u yiu np. tehniki skaningowej, odnosz¹ powierzhniê wtr¹eñ i wydzieleñ do powierzhni referenyjnej. Mo liwe jest równie wyznazenie porowatoœi poz¹tkowej zgodnie z prawem Arhimedesa i tym samym okreœlenie f. Alternatywn¹ metod¹ jest przyjêie maksymalnej dopuszzalnej zawartoœi wtr¹eñ i wydzieleñ dla danego materia³u, za³o enie ih sferyznego kszta³tu i oblizenie wielkoœi f. 3. MATERIAL PARAMETERS OF THE GTN MODEL FOR THE STRUCTURAL STEELS The GTN model is a ompliated one as it is desribed by a number of parameters. Presented below are its individual parameters desribed through the presentation of the way they have been determined or assumed. The typial values applied to strutural steels are also desribed below. Elasti-plasti material parameters Elasti parameters are usually desribed by the longitudinal elastiity oeffiient E and the Poisson s ratio v, whih an be assumed for steel as E = 5 GPa and v =.3. In order to define the plasti properties of a material, it is neessary to determine both the yield point and the value of the true normal stress in a funtion of the orresponding to them strains in the plasti range. The non-linear relationship ( )an be desribed by the simplified models, e.g. the Ramberg-Osgood model. The volume fration of voids existing in the material f The rate f speifies the initial void volume fration in the material and refers to its porosity. Void volume fration f is determined by onduting the mirostrutural studies using e.g. the sanning tehniques and addressing the inlusions and partiles surfae to the referene surfae. It is also possible to determine the initial porosity in aordane to the law of Arhimedes and thus determine the f. An alternative method is the assumption of a maximum ontent of inlusions and partiles for a given material, as well as their spherial shape and the alulation of the parameter f. Tvergaard oeffiients q i Typial values of the Tvergaard oeffiients assumed for metalli materials are the rates q 1 = 1.5, q = 1. and q q =.5 [3, 1]. These values were for many years 3 1 treated as onstants, and are often found in the literature. Studies onduted in the later years showed that the Tvergaard oeffiients are dependent on the elasti and strength properties of the material, i.e. the oeffiient of the longitudinal elastiity E, the yield point and the hardening exponent N [14].

8 3 Pawe³ Kossakowski Wspó³zynniki Tvergaarda q i Typowymi wartoœiami wspó³zynników Tvergaarda przyjmowanymi dla materia³ów metalowyh s¹ wielkoœi q 1 = 1,5; q = 1, oraz q q =,5 [3, 1]. Wartoœi te 3 1 przez lata traktowano jako sta³e i s¹ one zêsto spotykane w literaturze. W przeprowadzonyh w latah póÿniejszyh badaniah wykazano, e wspó³zynniki Tvergaarda zale- ne s¹ od w³asnoœi sprê ysto-wytrzyma³oœiowyh materia³u, tj. wspó³zynnika sprê ystoœi pod³u nej E, graniy plastyznoœi oraz wyk³adnika umonienia N [14]. Krytyzny udzia³ objêtoœiowy pustek odpowiadaj¹y poz¹tkowi ³¹zenia siê pustek f Zgodnie z wynikami badañ Rihelsena i Tvergaarda [15] wielkoœæ f jest powi¹zana z poz¹tkowym udzia³em objêtoœiowym pustek f. Przyjmuje siê, e minimalna wartoœæ krytyznego udzia³u objêtoœiowego pustek odpowiadaj¹ego poz¹tkowi ³¹zenia siê pustek wynosi f = =,4 dla f =, osi¹gaj¹ maksimum f =,1 dla f = =,6. Wielkoœæ f mo e byæ wyznazana w trakie symulaji numeryznyh na zasadzie kalibraji krzywej wytrzyma³oœiowej wyznazonej oblizeniowo i eksperymentalnie. Krytyzny udzia³ objêtoœiowy pustek odpowiadaj¹y zniszzeniu materia³u Maksymaln¹ teoretyzn¹ wartoœi¹ tego parametru jest =,667. Jednak e z obserwaji wynika, e materia³y metalowe niszz¹ siê przy du o ni szyh udzia³ah objêtoœiowyh pustek, w graniah =,1,5. Zale- noœi¹ podawan¹ w literaturze jest relaja wi¹ ¹a krytyzny udzia³ objêtoœiowy pustek odpowiadaj¹y zniszzeniu materia³u z udzia³em objêtoœiowym pustek istniej¹yh w materiale f w postai: =, f [16]. Udzia³ objêtoœiowy pustek nukleowanyh f N Wielkoœæ f N wyznazana jest w trakie badañ mikrostrukturalnyh materia³u poddanego odkszta³eniu, analogiznie jak w przypadku f. Z uwagi na bardzo ma³e rozmiary nukleowanyh mikrouszkodzeñ, eksperymentalne wyznazenie parametru f N jest zagadnieniem trudnym. Dla stali konstrukyjnyh typow¹ wartoœi¹ udzia³u objêtoœiowego pustek nukleowanyh jest f N =,4. The ritial void volume fration orresponding to the onset of void oalesene f Aording to the results of researhes onduted by Tvergaard and Rihelsen [15] the parameter f is related to the initial void volume fration f. It is assumed that the minimum value of the ritial void volume fration orresponding to the onset of void oalesene equals f =.4 for f =, reahing the maximum f =.1 for f =.6. The parameter f an be determined during numerial simulations on the basis of the alibration of the omputationally and experimentally determined strength urve. The ritial void volume fration orresponding to the material damage The maximum theoretial value for this parameter is = =.667. However, the observations show that metalli materials are subjeted to damage at muh lower void volume frations, within the limits of =.1.5. A relation appearing in the literature is the relation that binds the ritial void volume fration orresponding to the material damage with a volume fration of voids existing in the material f in the form of =.15+ f [16]. Volume fration of nuleated voids f N Parameter f N is determined by onduting the mirostrutural analysis of the material subjeted to deformation, as in the ase of f. Due to a very small dimensions of nuleated mirodamages, the experimental determination of the parameter f N is a diffiult issue. A typial value of the nuleated void volume fration for strutural steels is f N =.4. The mean strain of void nuleation N The parameter N determines the level of strains related to nuleation that is formation of new voids. The strain of nuleation N an be determined experimentally, for example by means of eletro-mehanial tehnology DCPD (Diret Current Potential Drop). The typial value for strutural steels is N =.3. The standard deviation of the void nuleation strain s N The GTN model assumes a normal distribution of the void nuleation strain N whose value is adopted in the range s N =.1.1.

9 ROADS AND BRIDGES DROGI I MOSTY 11 (1) Œrednie odkszta³enie nukleaji pustek N Parametr N okreœla poziom odkszta³eñ przy któryh dohodzi do nukleaji, zyli powstawania nowyh pustek. Odkszta³enie nukleaji N mo e byæ wyznazane eksperymentalnie, np. za pomo¹ elektromehaniznej tehniki DCPD (ang. Diret Current Potential Drop). Wielkoœi¹ typow¹ dla stali konstrukyjnyh jest N =,3. Odhylenie standardowe odkszta³enia nukleaji pustek s N W modelu GTN zak³ada siê normalny rozk³ad odkszta³enia nukleaji pustek N o odhyleniu standardowym s N, którego wartoœæ jest przyjmowana w zakresie s N =,1,1. 4. NUMERYCZNE MODELOWANIE PLASTYCZNEGO ZAKRESU PRACY MATERIA U W OPARCIU O MODEL GTN Prowadzenie oblizeñ w sytuaji, gdy materia³ prauje w zakresie plastyznym jest zagadnieniem skomplikowanym, a in ynier prowadz¹y tego typu oblizenia mo e w ih trakie napotkaæ szereg problemów. Podstawow¹ trudnoœi¹ jest fakt, e wiele popularnyh programów oblizeniowyh stosownyh w Polse w ogóle nie umo liwia definiowania w³asnoœi sprê ysto-plastyznyh materia³ów, a o za tym idzie analiza zakresów nieliniowyh jest niemo liwa. Model GTN jest zaimplementowany w zaawansowanyh programah opartyh o metodê elementów skoñzonyh, takih jak Abaqus, ANSYS, ADINA i inne, natomiast w szeregu programów in ynierskih nie jest on dostêpny. Kolejnym problemem jest fakt, e w trakie symulaji proesów pêkania i¹gliwego przy u yiu metody elementów skoñzonyh pojawia siê tzw. efekt skali siatki (ang. mesh-size effet), maj¹y prze³o enie na uzyskiwane wyniki. Efekt ten jest wyraÿnie widozny w przypadku zastosowania modelu GTN, w postai zjawiska os³abienia wytrzyma³oœi materia³u (ang. softening), wyró niaj¹ego siê obni eniem koñowej zêœi wykresu wytrzyma³oœiowego. Co prawda opraowano kilka metod, za pomo¹ któryh efekt os³abienia jest minimalizowany, jednak z uwagi na brak implementaji tyh metod w dostêpnym na rynku oprogramowaniu ih praktyzne zastosowanie jest mono ogranizone. Najprostszym sposobem minimalizaji efektu os³abienia jest stosowanie siatki o odpowiednih wymiarah, np. w opariu o tzw. wymiar harakterystyzny 4. NUMERICAL MODELING OF THE PLASTIC RANGE OF THE MATERIAL WORK ON THE BASIS OF THE GTN MODEL Conduting alulations when the material works in the plasti range is a ompliated matter and an engineer doing suh alulations may enounter several problems. The main diffiulty is the fat that many popular alulation programs appliable in Poland do not enable defining the elasti-plasti properties of materials and thus the analysis of the non-linear ranges is not possible. The GTN model is implemented in the advaned programs based on the finite element method suh as Abaqus, ANSYS, ADINA and others, however it is not available in a number of engineering programs. Another problem is the fat that during the simulation of dutile frature, using the finite elements method, appears the mesh-size effet whih has an impat on the obtained results. This softening effet is learly visible in the ase of GTN model appliation and is haraterized by lowering the final part of the strength urve. Although several methods of its minimalizing have been developed, due to the lak of implementation of these methods in ommerially available software, their pratial use is severely limited. The simplest method of the softening effet minimization is the use of a properly sized mesh e.g. on the basis of the so-alled harateristi length. This dimension, in ase of the strutural steel, is in the range from to 3 µm and the mesh of the numerial model should have the same minimal dimensions. Another method is the determination of the area in a numerial model that onstitutes a proess zone in whih the failure of a material is expeted. Applying in this area a material model that takes into onsideration the influene of mirodamages on its strength, that is a ell model, e.g. the GTN model. A model of the elasti-plasti material [11, 17] is applied in the remaining part of the element. Suh an approah in the alulation gives a qualitatively better results ompared to the lassial one due to the fat that it reflets the atual phenomena and proesses whih take plae in the material struture, espeially the mirodamage evolution. However, in the event of ompliated ases, an inorretly determined proess zone may result in alulation errors, and therefore the appliation of this method seems to be limited. It should also be noted that simulating the inelasti states often requires numerial alulations using the dynami

10 34 Pawe³ Kossakowski (ang. harateristi length). Wymiar ten w przypadku stali konstrukyjnyh waha siê w graniah 3 µm i takie minimalne wymiary powinna mieæ siatka modelu numeryznego. Kolejn¹ metod¹ jest wydzielenie w modelu numeryznym obszaru, w którym spodziewane jest zniszzenie materia³u (ang. proess zone) i zastosowanie tam modelu materia³owego uwzglêdniaj¹ego wp³yw mikrouszkodzeñ na jego wytrzyma³oœæ (ang. ell model), np. modelu GTN. W pozosta³ej zêœi elementu stosuje siê model materia³u sprê ysto-plastyznego [11, 17]. Zastosowanie w oblizeniah takiego podejœia daje jakoœiowo lepsze wyniki w porównaniu z podejœiem klasyznym, gdy odzwieriedla rzezywiste zjawiska i proesy jakie zahodz¹ w strukturze materia³u, g³ównie ewolujê mikrouszkodzeñ. Jednak w przypadkah skomplikowanyh niepoprawne przyjêie strefy zniszzenia mo e prowadziæ do b³êdów oblizeniowyh i z tego wzglêdu stosowanie tej metody wydaje siê byæ ogranizone. Nale y równie dodaæ, e symuluj¹ stany pozasprê yste zêsto koniezne jest prowadzenie oblizeñ numeryznyh przy u yiu modu³ów analizy dynamiznej (np. Abaqus Expliit), o w przypadku d³ugih zasów zadañ stawia du e wymogi jednostkom oblizeniowym. 5. PRZYK AD SYMULACJI ZNISZCZENIA STALI S35JR Z WYKORZYSTANIEM MODELU GTN Model GTN jest podstawowym modelem zniszzenia zaleanym przez normatywy i literaturê do stosowania w analizah stanów pozasprê ystyh konstrukji metalowyh. Z praktyznego punktu widzenia interesuj¹a jest mo liwoœæ prowadzenia oblizeñ w a³ym zakresie pray elementu i materia³u, tj. od stanu nieobi¹ onego a do zniszzenia. Poni ej przedstawiono przyk³ad symulaji numeryznej elementu rozi¹ganego wykonanego ze stali S35JR, która jest jednym z podstawowyh gatunków stosowanyh w mostownitwie. Stal S35JR zaliza siê do grupy stali niskowêglowyh o maksymalnej zawartoœi wêgla, % oraz maksymalnyh zawartoœiah pierwiastków: Mn = 1,4%, P =,35%, S =,35% oraz N = =,1%. Przeprowadzona analiza obejmuje dwa zasadnize zakresy: okreœlenie parametrów mikrostruktury GTN oraz modelowanie numeryzne statyznej próby rozi¹gania elementu o przekroju ko³owym wraz z symulaj¹ zniszzenia stali S35JR w opariu o model GTN. W pierwszym etapie okreœlono parametry wytrzyma³oœiowe stali S35JR analysis modules (e.g. Abaqus Expliit) whih, in ase of long-term tasks demands ertain requirements from the alulation units. 5. EXAMPLE SIMULATION OF FAILURE OF S35JR STEEL USING THE GTN MODEL The GTN model is a basi failure model reommended by the standards and the literature for use in the analysis of the inelasti states of metal strutures. From a pratial perspetive, the possibility of onduting alulations in the entire range of the material and the element operation, i.e. the unloaded state until the failure is interesting. Presented below is an example of the numerial simulation of a tensile element made of S35JR steel, whih is one of the basi materials used in the bridge engineering. The S35JR steel belongs to a group of low arbon steels having a maximum arbon ontent of.% and the maximum ontent of the following elements: Mn = 1.4%, P =.35%, S = =.35% and N =.1%. The analysis inludes two major ranges: defining the parameters of the GTN mirostruture and the numerial modeling of the stati tensile strength tests of the element with a irular ross-setion with the S35JR steel failure simulation based on the GTN model. The first stage of the simulation has defined the S35JR steel strength parameters based on a standard stati tensile strength tests for speimens with a irular ross-setion, in aordane with [18]. The test was performed using the MTS 3 testing mahine with a load-bearing apaity of 1 kn and the hydrauli drive with a ontrolled inrease of displaement. The applied speimens had the nominal diameter d = 1 mm and the length of the measuring base L = 5 mm. The sample size was n = 8 speimens. Average strength parameters for the signifiane level of.5 were: yield point = 318 ±.59 MPa, with a standard deviation s = 3.73 MPa and the tensile strength m = 457 ± 4.91 MPa with a standard deviation s = = 7.9 MPa. A mean elongation was A= 33.3 ± 1.47% [11]. The strength parameters obtained from the test enabled the approximation of the tensile urve ( ) aording to the following model [11]: for, E u ( ) for, u (8) u n E n 1/ N for, u

11 ROADS AND BRIDGES DROGI I MOSTY 11 (1) w opariu o standardow¹ próbê statyznego rozi¹gania próbek o przekroju ko³owym wed³ug [18]. Próbê prowadzono przy u yiu maszyny wytrzyma³oœiowej MTS 3 o noœnoœi 1 kn i napêdzie hydrauliznym przy kontrolowanym przyroœie przemieszzenia. Zastosowano próbki o œredniy nominalnej d =1 mm i d³ugoœi bazy pomiarowej L =5 mm. Lizebnoœæ próby wynosi³a n =8 próbek. Œrednie parametry wytrzyma³oœiowe dla poziomu istotnoœi,5 wynios³y: grania plastyznoœi = = 318 ±,59 MPa z odhyleniem standardowym s = = 3,73 MPa oraz wytrzyma³oœæ na rozi¹ganie m = 457 ± ± 4,91 MPa z odhyleniem standardowym s = 7,9 MPa. Œrednie wyd³u enie wynios³o A = 33,3 ± 1,47% [11]. Uzyskane parametry wytrzyma³oœiowe pozwoli³y na dokonanie aproksymaji krzywej rozi¹gania ( ) wed³ug poni szego modelu [11]: dla, E u ( ) dla, (8) u gdzie: u n E n 1/ N dla, odkszta³enie, odkszta³enie odpowiadaj¹e graniy plastyznoœi, u odkszta³enie odpowiadaj¹e poz¹tkowi umonienia, naprê enie, grania plastyznoœi, u naprê enie odpowiadaj¹e poz¹tkowi umonienia, n naprê enie odpowiadaj¹e poz¹tkowi nieliniowej zêœi krzywej, E wspó³zynnik sprê ystoœi pod³u nej, N wyk³adnik umonienia. Model opisany zale noœi¹ (8) pozwoli³ na wyznazenie wartoœi rzezywistyh naprê eñ i odkszta³eñ w relaji ( ), za pomo¹ któryh zdefiniowano parametry sprê ystoplastyzne stali S35JR. W Tabliy 1 podano w³asnoœi sprê ysto-plastyzne, natomiast na Rys. pokazano krzyw¹ aproksymayjn¹ ( ) wyznazon¹ na podstawie modelu (8) dla badanego materia³u. u where: strain, strain orresponding to the yield point, u strain orresponding to the onset of hardening, stress, yield point, u stress orresponding to the onset of hardening, n stress orresponding to the onset of the non-linear part of urve, E modulus of longitudinal elastiity, N hardening exponent. The model desribed by the relation (8) enabled the estimation of the true values of stress and strain in relation ( )whih were used to define the elasti-plasti parameters of steel S35JR. Table 1 presents the elasti-plasti properties, whereas Fig. shows the approximate urve ( )determined on the basis of the model (8) for the analysed material. The GTN model parameters have been determined on the basis of the results of mirostrutural analyses, strength properties of steel S35JR and numerial simulations of tensile tests. The initial void volume fration f has been assumed as a mean value for the analysed material on the basis of the test results [9-11, 19], i.e. at the level f = =.1 =.1%. The Tvergaard oeffiients have been determined using the results of researh onduted by Faleskog et al. inluded in [14]. The ratio /E =.155 is determined by the yield point obtained from the strength tests. The values of the Tvergaard oeffiients for the hardening exponent N =.195 have been determined as q 1 = 1.91, q =.79 and q 3 = The other GTN model parameters have been determined based on an analysis of the tensile urves ( ), whih were speified during the strength tests and the numerial simulations. The GTN material parameters have been iteratively hanged within ertain limits and the onvergene of the numerially and experimentally obtained values has been established as an optimization riterion. The ritial value of void fration f, whih orresponds to the onset of void oalesene, has been determined as f =.6, as suggested by Rihelsen and Tvergaard [15] and depending on the initial void volume fration f. Void volume fration, orresponding to the material failure, has been determined as =.5, what orresponds to a value that has been assumed in studies [4, 15].

12 36 Pawe³ Kossakowski Table 1. The elasti-plasti properties for S35JR steel [11] Tablia 1. W³asnoœi sprê ysto-plastyzne stali S35JR [11] u [MPa] n [MPa] u [MPa] E [GPa] N Parametry modelu GTN wyznazono na podstawie wyników badañ mikrostrukturalnyh, w³asnoœi wytrzyma³oœiowyh stali S35JR oraz przeprowadzonyh symulaji numeryznyh prób rozi¹gania. Poz¹tkowy udzia³ objêtoœiowy pustek f przyjêto jako wartoœæ œredni¹ dla badanego materia³u w opariu o wyniki pra [9-11, 19], tj. na poziomie f =,1 =,1 %. W elu wyznazenia wspó³zynników Tvergaarda wykorzystano rezultaty badañ Faleskoga i innyh zawarte w [14]. Wyznazona w badaniah wytrzyma³oœiowyh grania plastyznoœi okreœla iloraz /E =,155. Dla wyk³adnika umonienia N =,195, wartoœi wspó³zynników Tvergaarda wyznazono jako q 1 = 1,91; q =,79 i q 3 = 3,65. Pozosta³e parametry modelu GTN okreœlono opieraj¹ siê o analizê krzywyh rozi¹gania ( ), które wyznazono w trakie badañ wytrzyma³oœiowyh oraz symulaji numeryznyh. Iterayjnie zmieniano parametry materia³owe GTN w pewnyh graniah, za kryterium optymalizaji obieraj¹ zbie noœæ wartoœi ( ) uzyskanyh numeryznie i eksperymentalnie. Krytyzn¹ wartoœæ udzia³u pustek f, odpowiadaj¹¹ poz¹tkowi ³¹zenia siê pustek, wyznazono na poziomie f =,6, zgodnie z sugestiami Rihelsena i Tvergaarda [15], w zale noœi od poz¹tkowego udzia³u objêtoœiowego pustek f. Udzia³ objêtoœiowy pustek, odpowiadaj¹y zniszzeniu materia³u wyznazono na poziomie =,5, o odpowiada wartoœi przyjmowanej w badaniah [4, 15]. Wartoœi pozosta³yh parametrów przyjêto jako: udzia³ objêtoœiowy pustek nukleowanyh f N =,4, œrednie odkszta³enie nukleaji N =,3 oraz odhylenie standardowe odkszta³enia nukleaji s N =,5. Wartoœi parametrów modelu GTN dla stali S35JR zestawiono w Tabliy. Table. The mirostrutural parameters of the GTN model for S35JR steel Tablia. Parametry mikrostrukturalne modelu GTN w przypadku stali S35JR f f q 1 q q 3 N f N s N Stress / Naprê enie [MPa] ( ) u u 3 1 n Strain / Odkszta³enie Rys.. Aproksymaja krzywej rozi¹gania ()wprzypadku stali S35JR Fig.. The approximation of the tensile urve ()for S35JR steel The values of other parameters have been assumed as: the volume fration of nuleated voids f N =.4, the average nuleation strain N =.3 and the standard deviation of nuleation strain s N =.5. The values of the model GTN parameters for S35JR steel are summarized in Table. The numerial simulation was performed using Abaqus 6.1 program, aompanied by a non-linear dynami analysis referred to as Expliit. The modeled element had a irular ross-setion orresponding to the speimens used in the strength tests. The analysis was onduted using the modified Gurson-Tvergaard-Needleman (GTN) model, desribed by the funtion (5), and assuming the material parameter values given in Table. The elements were subjeted to stati tension with a ontrolled displaement rate in the stati range. The speimens were modelled as axially symmetrial ones, using the standard four node elements referred to as CAX4R []. Due to the symmetry of the issue and the use of the axially symmetri model, only 1/4 of the speimens were subjeted to modeling (Fig. 3). The mesh with dimensions orresponding to the harateristi length determined for S35JR steel at 5 µm =.5 mm [11] was applied in the area near the rak. The strength tests resulted in the neking and thus the failure ourred in the entral part of the speimens. This fat was taken into onsideration in the numerial model, in whih the rak surfae was obtained through the adoption of a small noth with a radius of R = d/ =.5 mm. Suh a solution an also be applied for modeling the failure zone loated in any plae on the length of the speimen, as well as in ase of the ourrene of several nekings and geometri imperfetions.

13 ROADS AND BRIDGES DROGI I MOSTY 11 (1) Symulajê numeryzn¹ wykonano przy u yiu programu Abaqus wersja 6.1 z u yiem nieliniowej analizy dynamiznej typu Expliit. Modelowano element o przekroju ko³owym odpowiadaj¹y próbkom u ytym podzas przeprowadzonyh badañ wytrzyma³oœiowyh. W analizie pos³u ono siê zmodyfikowanym modelem Gursona-Tvergaarda-Needlemana (GTN) opisanym funkj¹ (5), przyjmuj¹ wartoœi parametrów materia³owyh podane w Tabliy. Elementy poddawano statyznemu rozi¹ganiu z kontrolowan¹ prêdkoœi¹ przemieszzenia w zakresie statyznym. Próbki modelowano jako osiowo symetryzne, u ywaj¹ standardowyh elementów zterowêz³owyh typu CAX4R []. Ze wzglêdu na symetriê zagadnienia oraz zastosowanie modelu osiowosymetryznego modelowano jedynie 1/4 próbek (Rys. 3). W obszarze w pobli u p³aszzyzny pêkniêia zastosowano siatkê o wymiarah odpowiadaj¹yh harakterystyznej d³ugoœi wyznazonej dla stali S35JR na poziomie 5 µm = =,5 mm [11]. W trakie przeprowadzonyh prób wytrzyma³oœiowyh przewê enie, a o za tym idzie zniszzenie powstawa³o w œrodkowej zêœi próbek. Zosta³o to uwzglêdnione w modelu numeryznym, w którym wymuszono p³aszzyznê pêkniêia przez przyjêie niewielkiego karbu o promieniu R = d/ =,5 mm. Rozwi¹zanie takie mo e byæ równie zastosowane w przypadku modelowania strefy zniszzenia znajduj¹ej siê w dowolnym miejsu na d³ugoœi próbki, jak równie w przypadku wystêpowania kilku przewê eñ, a tak e imperfekji geometryznyh. Numeryzna symulaja zniszzenia stali S35JR oparta zosta³a na porównaniu krzywyh wytrzyma³oœiowyh ( ) wyznazonyh numeryznie i eksperymentalnie. Analizie poddano równie wzrost pustek (mikrouszkodzeñ), zdefiniowany za pomo¹ parametru VVF, postêpuj¹y w trakie proesu odkszta³ania materia³u. Wykresy krzywyh naprê eñ nominalnyh oraz udzia³u objêtoœiowego pustek VVF w funkji odkszta³eñ dla punktu le ¹ego w œrodku przekroju poprzeznego na p³aszzyÿnie pêkniêia próbki pokazano na Rys. 4. Jak widaæ w pierwszym przypadku w zakresie odkszta³enia materia³u, dla <,1, naprê enia wyznazone eksperymentalnie oraz numeryznie s¹ zbie ne. W zakresie tym nie obserwuje siê wzrostu pustek, którego poz¹tek notowany jest przy =,1, o odpowiada osi¹gniêiu maksymalnyh naprê eñ nominalnyh = 455 MPa. W zakresie odkszta³eñ 1 pustki zazynaj¹ wzrastaæ, o ma prze³o enie na os³abianie struktury materia³u, szzególnie w strefie zniszzenia. Poz¹tek intensywnego wzrostu pustek obserwowany jest dla odkszta³eñ =,, o powoduje poz¹tek zjawiska softeningu, zyli obni ania wytrzyma³oœi materia³u, Displaement Przemieszzenie 4 mm The axis of symmetry / Oœ symetrii L/=5mm D d/ = 5 mm Proess zone Strefa zniszzenia D D =.5.5 mm Fig. 3. The numerial model of the analysed element Rys. 3. Model numeryzny analizowanego elementu D R =.5 mm The numerial simulation of failure of S35JR steel has been based on a omparison of the numerially and experimentally determined strength urves ( ). The analysis was onduted on the growth of voids (mirodamages), defined using the VVF parametr, progressing through the proess of the material deformation. The diagrams of urves of both the nominal stress and the void volume fration VVF in the strain funtion for a point in the entre of the ross setion in the plane of the speimen frature are shown in Figure 4. Nominal stress Naprê enie nominalne [MPa] Experiment / Eksperyment Simulation / Symulaja 1 VVF Simulation / Symulaja Nominal strain / Odkszta³enie nominalne Fig. 4. A diagram of stresses and void volume fration VVF in the funtion of strains for S35JR steel Rys. 4. Wykres naprê eñ i udzia³u objêtoœiowego pustek VVF w funkji odkszta³eñ w przypadku stali S35JR As shown in the first ase, in the range of the material deformation, for <.1, the experimentally and numerially determined stresses are onvergent. In this range, R D/ Void volume fration VVF Udzia³ objêtoœiowy pustek VVF

14 38 Pawe³ Kossakowski postêpuj¹ego w oraz to wiêkszym stopniu a do zniszzenia. Dla odkszta³eñ =,5 obserwowana jest zmiana, nieznazny spadek prêdkoœi wzrostu pustek, o odpowiada poziomowi parametru VVF =,4. Pustki ponownie zazynaj¹ wzrastaæ szybiej tu przed symulowanym zniszzeniem materia³u, przy =,9. Modelowane numeryznie zniszzenie materia³u notowane jest dla odkszta³eñ =,3 i jest to poziom wyraÿnie ni szy ni œrednie odkszta³enia nominalne =,336 uzyskane w badaniah eksperymentalnyh w momenie zniszzenia. Jednozeœnie naprê enia nominalne w momenie zniszzenia, wyznazone numeryznie na poziomie = 36 MPa, s¹ wyraÿnie wy sze ni œrednie naprê enia = 33 MPa okreœlone eksperymentalnie dla tego zakresu. Zniszzenie materia³u modelowane numeryznie nastêpuj¹e wyraÿnie wzeœniej w porównaniu z wynikami badañ eksperymentalnyh, o w istotnym stopniu zwi¹zane jest z przyjêtym kryterium zniszzenia definiowanym przez krytyzny udzia³ objêtoœiowy pustek =,5. Mikrostrukturalne kryterium zniszzenia oparte na wielkoœi =,5, definiuj¹e a³kowit¹ utratê wytrzyma³oœi materia³u, jest zatem bardziej konserwatywne w porównaniu do wartoœi teoretyznej =,67, gdy pozwala na wzeœniejsze przewidywanie zniszzenia badanego materia³u. Udzia³ pustek obserwowany w momenie zniszzenia okreœlony zosta³ na poziomie VVF =,1. Nag³y spadek naprê eñ nominalnyh obserwowany w momenie zniszzenia zwi¹zany jest ze zmian¹ panuj¹ego stanu naprê enia w strefie zniszzenia. Szzególnie interesuj¹y jest rozk³ad rzezywistyh naprê eñ pod³u nyh w analizowanym zakresie, o pokazano na mapah naprê eñ przedstawionyh na Rys. 5. Jak widaæ w hwili zniszzenia, dla odkszta³eñ nominalnyh =,3, najwiêksze naprê enia pod³u ne obserwowane s¹ w œrodkowym obszarze próbki, osi¹gaj¹ wartoœæ = 754 MPa (Rys. 5a). Przy poziomie odkszta³eñ =,31 dohodzi do utraty wytrzyma³oœi materia³u objawiaj¹ej siê spadkiem naprê eñ pod³u nyh, o jest wyraÿnie widozne na mapie pokazanej na Rys. 5b. S, S (Avg: 75%) +7.54E E E+ +5.7E E E E E+ +.69E+ +.15E E E E+1 S, S (Avg: 75%) +1.73E E E E E E E E E+ -.8E E+ -3.8E E+ a) b) there is no growth of voids, whose onset is observed at =.1, whih orresponds to reahing the maximum nominal stress of = 455 MPa. In the range of strains >.1 the voids begin to grow, whih is refleted in the weakening of the material struture, espeially in the area of failure. The beginning of the intensive growth of voids is observed for strains =., what results in the beginning of the phenomenon referred to as softening, that is a derease in the material strength, progressing gradually until a failure. Regarding strains =.5, there is a hange in the form of insignifiant derease in the growth rate of voids, what orresponds to the level of parameter VVF =.4. Voids restart to grow more rapidly just before the simulated material failure, at =.9. The numerial modeling of the material failure is listed for deformations =.3 and this is a level signifiantly lower than the average nominal strain =.336 obtained in experimental studies at failure. At the same time the nominal stress at failure that has been numerially determined at = 36 MPa is notably higher than the average stress = 33 MPa whih is experimentally determined for this range. A numerially modeled material failure, whih ours muh earlier ompared with the experimental results, has been, to a large extent, assoiated with the assumed failure riterion, defined by the ritial void volume fration =.5. The mirostrutural failure riterion based on the parameter =.5 and defining the omplete loss of the material strength is therefore more onservative in omparison to the theoretial value =.67 as it enables the early predition of failure of the analysed material. Void fration observed at failure has been determined at VVF =.1. A sudden derease of the nominal stress observed at failure is assoiated with a hange of the urrent stress state in the proess zone. The distribution of the longitudinal stress in the analysed range is partiularly interesting, as shown on the maps of stress presented in Figure 5. As it an be seen at failure, for the nominal strain =.3, the highest longitudinal stresses are observed in the entral area of the speimen, reahing a value of = 754 MPa (Fig. 5a). At the level of strain =.31, ours the loss of material strength demonstrated by a derease of longitudinal stresses, whih is learly visible on the map shown in Fig. 5b. Fig. 5. The maps of longitudinal stresses for S35JR steel at failure for strains: a) =.3, b) =.31 Rys. 5. Mapy naprê eñ pod³u nyh w momenie zniszzenia stali S35JR w przypadku odkszta³eñ: a) =,3; b) =,31

15 ROADS AND BRIDGES DROGI I MOSTY 11 (1) Kolejnym analizowanym w pray zjawiskiem by³a ewoluja mikrouszkodzeñ (pustek), obserwowana na podstawie analizy map rozk³adów udzia³ów objêtoœiowyh pustek VVF w trakie proesu deformaji materia³u. Jak widaæ na Rys. 6a ukazuj¹ym rozk³ad udzia³ów objêtoœiowyh pustek w hwili zniszzenia materia³u, dla odkszta³eñ =,3 najsilniejszy wzrost pustek obserwowany jest w œrodkowej zêœi próbki na p³aszzyÿnie pêkniêia i tym samym inijaja pêkania spodziewana jest w³aœnie w tym obszarze. Jak ju wspomniano udzia³ objêtoœiowy pustek w momenie zniszzenia zanotowano na poziomie VVF =,1. Wartoœæ ta mo e byæ wiê traktowana jako kryterium mikrostrukturalne, odpowiadaj¹e przewidywanemu momentowi zniszzenia stali S35JR. W hwili po zniszzeniu, dla odkszta³eñ =,31, obserwuje siê zjawisko rozwoju mikrouszkodzeñ obejmuj¹yh obszar o niewielkiej gruboœi bezpoœrednio przyleg³y do p³aszzyzny pêkniêia. Fig. 6. The maps of void volume frations VVF for S35JR steel at failure for strains: a) =.3, b) =.31 Rys. 6. Mapy udzia³ów objêtoœiowyh pustek VVF w momenie zniszzenia stali S35JR dla odkszta³eñ: a) =,3; b) =,31 6. WNIOSKI W artykule przedstawiono za³o enia modelu materia³u Gursona-Tvergaarda-Needlemana (GTN), bêd¹ego jednym z podstawowyh modeli zniszzenia stosowanyh w analizah wytrzyma³oœiowyh elementów in ynierskih, a tak e przyk³ad numeryznej symulaji zniszzenia elementu rozi¹ganego wykonanego ze stali S35JR. Przedstawione oblizenia wykaza³y, e zastosowanie zmodyfikowanego modelu GTN uwzglêdniaj¹ego rzezywiste parametry mikrostrukturalne z powodzeniem umo liwi³o symulajê zniszzenia stali S35JR w wyniku pêkania i¹gliwego. Wykres rozi¹gania uzyskany przy pomoy symulaji numeryznyh by³ zbie ny z wynikami badañ doœwiadzalnyh. Przeanalizowano wzrost mikrouszkodzeñ w trakie proesu uplastyznienia wyznazaj¹ krytyzny udzia³ objêtoœiowy pustek. Wielkoœæ ta mo e mieæ zastosowanie jako kryterium mikrostrukturalne, odpowiadaj¹e przewidywanemu momentowi zniszzenia stali S35JR. Another phenomenon analysed in the researh was the evolution of mirodamages (voids) observed on the basis of maps of void volume fration VVF distribution in the proess of deformation of the material. As shown in Figure 6a, presenting the distribution of void volume frations at material failure, the strongest growth of voids for strains =.3 is observed in the entral part of a speimen on a rak surfae and thus a rak initiation is expeted to be in this area. As it was mentioned before, the void volume fration at failure was notied at VVF =.1. Therefore, this value an be onsidered as a mirostrutural riterion, orresponding to the expeted S35JR steel failure. Immediately after failure, for strains =.31, one an observe a phenomenon of mirodamage development overing an area of low thikness diretly adjaent to the rak surfae. VVF (Avg: 75%) E E- +8.4E E E E E E E- +.54E E E-3 +1.E-3 a) b) 6. CONCLUSIONS VVF (Avg: 75%) +.5E-1 +.9E E E E E E E E E- +4.5E- +,175E- +1.E-3 The paper presents the assumptions of the Gurson-Tvergaard-Needleman (GTN) material model whih is one of the fundamental damage material models applied in the strength analysis of the engineering elements. It also shows an example of the numerial simulation of failure of the tensile element made of S35JR steel. The tensile diagram obtained as a result of the numerial simulation was onvergent with the results of experimental researhes. The mirodamage growth in the plastiity proess resulted in the determination of the ritial void volume fration was analysed. This value an be applied as a mirostrutural riterion orresponding to the expeted S35JR steel failure.