Dłuość: k = = = = oiezi: k = Ojętość: = = = Jeostki = = i (l) = 54 () = 944 il e. = 855 il eo. = 74 il osk = 85 (ekt) = () = = = l (ililit) = l (lit) = l (ektolit) = l ooł: Roet Ślusski SZKOLNE WZORY MATEMATYCZNE Ms: t = k k = = = Czs: q (kitl) = k oz (uj) = 8 l (ut) = 456 ok = 65 i zień = 4 = 6 i i = 6 s oku zestę jest 66 i Ru Śląsk 4 - -
Zesół Szkół oizjl Ruzie Śląskiej ooł: Roet Śluski Zesół Szkół oizjl Ruzie Śląskiej ooł: Roet Śluski oooieństo łkoite O uto: Szkole zo tetze ostł z otze ostzei uzio szkoł śeiej ztel oz ti tli tetz któ zte ł iezęe tei i zo. Mł ojętość oz uż ź ziok szj szkieu szukiiu ioji. Tlie szją się jko uzuełieie oęzik i oo l uzió szi. złożei: ( A) ( A B ) ( B ) ( A B ) ( B ) B B B B (B ) (B ) oet ost i skł Koioie zęśi lu łośi ez otji o utoze zoioe. R. Ślusski Ozzei: K kitł ozątko liz okesó kitlizji (iesię ktłó lt) % sto oeto (jeko kż okesie) K kitł o okes kitlizji O łąze osetki z okesó kitlizji Ooetoie oste ole t że osetki o kitłu z okes ie są olize o kitłu i ie ioą uziłu ooetoiu okesie stę. K O K K Ooetoie skłe ole t że osetki o kitłu z okes są olizoe o kitłu i ioą uził ooetoiu okesie stę. K K O K - -
Zesół Szkół oizjl Ruzie Śląskiej ooł: Roet Śluski Zesół Szkół oizjl Ruzie Śląskiej ooł: Roet Śluski Ozzei: skońzo zió zzeń eleet (zz. ee) A zzeie ozió ziou A' zzeie zeie o A ( A ' \ A ) zzeie ieożlie (A) oooieństo zzei A Klsz eiij oooieńst Jeśli szstkie zzei eleete są jekoo oooe to oooieństo zzei A jest óe ilozoi liz zzeń eleet szjją zzeiu A i liz szstki zzeń eleet. ( A) Włsośi oooieńst Ruek oooieńst A A (A) (A) () () ( A') ( \ A) ( A) ( A) ( A') ( A B) ( A) ( B) ( A B) A B to ( A B) ( A) ( B) ( A B) ( A) ( B) ( A B) Zzei A i B są iezleże : ( A B) ( A) ( B) oooieństo ukoe oooieństo zjśi zzei A o ukie że zszło zzeie B: ( A B) ( A B) (B) ( B) - - Tei Deiij zkł Liz tule N Liz łkoite C Liz iee W Liz ieiee IW Liz zeziste R Liz iesze Liz zlęie iesze Liz oskołe Njiększ sól zielik Njiejsz sól ielokotość zeził ott zeził okięt zeził ostoie okięt zeził leostoie okięt Liz i liz otze zez oie o iej jeośi Liz tule oz liz o i zeie Liz jąe zestić się osti ułk ( C N ) Liz zeziste ie ęąe lizi iei Liz iee oz liz ieiee Liz tule > któe ją tlko zieliki tule: i. Die liz tule któ jiększ sól zielikie jest. Liz któe są óe suie s zielikó tul (óż o s sieie). Njiększ liz tul zez któą zieli się kż z (ó lu ięej) liz tul. Njiejsz liz tul któ zieli się zez kżą z (ó lu ięej) liz tul....... - - -... - 5 5 ; R : ;4 ; R : ; 4 ; R : ; 4 We tei ; R : ;4 - - 5 7... i 4 i 9 9 i 4 6 = + + 8 = 4 + 7 + 4 + + (46) = () = (46) = 6 () = 6 (5) = 55
Zesół Szkół oizjl Ruzie Śląskiej ooł: Roet Śluski Zesół Szkół oizjl Ruzie Śląskiej ooł: Roet Śluski ostoe zi złożoe Zie Czt Nz zi ~ ie że zzezeie (ej) q lu q ltet zń q q i q koiukj zń q q jeżeli to q ilikj zń q q te i tlko te q óożość zń q Wtośi loize osto zń złożo Altet Koiukj q q q q Ilikj Róożość q q q q uku zń ~ łązoeo śok ~ ~ oójeo zzezei ~ q ~ ~ q zzezei ltet ~ q ~ ~ q zzezei koiukji ~ q ~ q zzezei ilikji q ~ q ~ kotozji q q zeoiośi ilikji Loik - 4 - Różi zioó - szstkie te eleet któe leżą o A i ie leżą o B. A \ B eutj tozeie iąó -eleeto ze ziou eleetó (istot kolejość).!... sili Wij z otózeii tozeie iąó k-eleeto ze ziou eleetó (istot kolejość i te se eleet oą się otzć). V k... k z k Wij ez otózeń - tozeie iąó k-eleeto ze ziou eleetó (istot kolejość i te se eleet ie oą się otzć). V k! k!... k Koij tozeie ozioó k-eleeto ze ziou eleetó (kolejość eleetó ie jest istot). C k A Koitok! sol Neto k k! k! - 9 - B
Zesół Szkół oizjl Ruzie Śląskiej ooł: Roet Śluski Zesół Szkół oizjl Ruzie Śląskiej ooł: Roet Śluski Wekto zei: u Doie i oejoie ektoó: u u Iloz skl ektoó: os Wekto i są : óolełe ostołe Su zioó szstkie te eleet któe leżą o A lu o B. B A Iloz zioó - szstkie te eleet któe leżą i o A i o B. B A - 8 - Dzielik D liz zieli się zez... jeśli osttią ą jest 4 6 8 (liz jest zst)... jeśli su liz zieli się zez 4... jeśli ie osttie tozą lizę (uoą) zieląą się zez 4 5... jeśli osttią ą jest lu 5 6... jeśli liz zieli się zez i zez 8... jeśli tz osttie tozą lizę (tzoą) ozielą zez 8 9... jeśli su liz zieli się zez 9... jeśli osttią ą jest Doją (oejują) ułki o ó ioik oje (oejuje) i liziki ioik ozosti ez zi. Doją (oejują) ułki o óż ioik leż je sozić o sóleo ioik i ostęoć jk żej. Możą ułki oż i liziki oz ioiki. Dzielą ułki oż iesz zez ootość uieo. : - 5 - B A B A Dziłi zio Dziłi ułk zkł Włsośi ooji Ce ozielośi liz łkoit
Zesół Szkół oizjl Ruzie Śląskiej ooł: Roet Śluski Zesół Szkół oizjl Ruzie Śląskiej ooł: Roet Śluski - zeieość oi - zeieość ożei ( ) ( ) - łązość oi ( ) ( ) - łązość ożei ( ) - ozzielość ożei zlęe oi (oejoi) l Jeśli to = l Jeśli to: Dziłi tetze Wzo skóoeo ożei Wtość ezzlę lu i i lu lu - 6 - oięt uktu (oś oięt) zę uktu (oś zę) Wzó olełość ięz o ukti A B AB Wsółzęe śok oik AB: Wsółzęe ekto AB A B D ekto Dłuość ekto: AB : : AB Możeie ekto zez lizę: Ukł sółzę Wekto i i są óe : u - 7 - ( )
Zesół Szkół oizjl Ruzie Śląskiej ooł: Roet Śluski Zesół Szkół oizjl Ruzie Śląskiej ooł: Roet Śluski Wle: V l tozą l zekój osio l jest ostokąte o i. Stożek: V l l tozą stożk zekój osio stożk jest tójkąte óoie o ostie i sokośi. Kul: 4 V 4 zekoje osio kuli jest koło (ielkie) o oieiu. - 6 -... ( z) N R : ) ( ) ( - 7 - = l l Bł ootoe ieistkoie Usuie ieieośi z ioik otęi i ziłi i
Zesół Szkół oizjl Ruzie Śląskiej ooł: Roet Śluski Zesół Szkół oizjl Ruzie Śląskiej ooł: Roet Śluski Włsośi ukji Deiij: Fukją ozooująą zió X zió Y z tkie zoząkoie któe kżeu eleetoi z ziou X zoząkouje jee eleet ze ziou Y. Oz. : X Y. Miejse zeoe ukji z tki uet l któeo ukj zjuje tość tz. ( ). Fukj jest osą zioze A te i tlko te z ze zoste uetó z teo ziou osą tośi ukji. ) ( ) ( Fukj jest leją zioze A te i tlko te z ze zoste uetó z teo ziou leją tośi ukji. ) ( ) ( zeksztłie kesu ukji ostołośi: V Gistosłu: ( ) V Gistosłu ost śi oze są ostokąti (sokość jest ostoł o ost). Gistosłu iło ost i ostie ielokąt oe (tójkąt óooz kt ięiokąt oe...) zesuięie o ekto u q ( óę lu ół) Ostosłu: ( ) ( ) q V O zesuięie o ekto u ( leo lu o) ( ) ( ) Ostosłu iło śi oze są zstjąi tójkąti óoiei i ostie jest ielokąt oe (soek sokośi O leż śoku okęu oiseo ostie) - 8 - - 5 -
Zesół Szkół oizjl Ruzie Śląskiej ooł: Roet Śluski Zesół Szkół oizjl Ruzie Śląskiej ooł: Roet Śluski Koło: l oó koł zesuięie o ekto u q ( ) ( ) q Czookąt is koło Czookąt ois kole δ γ Seti zlęe osi OX α β ( ) ( ) Bł zestzee - ielośi Seti zlęe osi OY Ozzei: ( ) ( ) Sześi: V ojętość ł ole oiezi łkoitej ole oiezi ost ole oiezi ozej V Seti zlęe uktu ( ) ( ) 6-4 - - 9 -
Zesół Szkół oizjl Ruzie Śląskiej ooł: Roet Śluski Zesół Szkół oizjl Ruzie Śląskiej ooł: Roet Śluski oioto ostokąte o osi OX i skli s ( ioie) oziąie s śiskie s ( ) s ( ) Kt: ol iu łski R oioto ostokąte ostokąt: o osi OY i skli s ( ozioie) oziąie s śiskie s R ( ) ( s ) Fukj zst l kżeo D : D i ( ) ( ) (kes setz zlęe osi OY) Fukj iezst l kżeo D : D i ( ) zstość i iezstość ukji (kes setz zlęe uktu O) Róolełook: Ro: si si si zekąte ou Tez: α α - - - -
Zesół Szkół oizjl Ruzie Śląskiej ooł: Roet Śluski Zesół Szkół oizjl Ruzie Śląskiej ooł: Roet Śluski R R 4 śoek okęu oiseo tójkąie leż ołoie zeiostokątej Tójkąt óooz Tójkąt ostokąt Tiezeie itos zostokąte zeiostokąt W tójkąie ostokąt su któ łuośi zostokąt jest ó ktoi łuośi zeiostokątej. Tiezeie Tles. R ostć liio (kieuko): α sółzik kieuko z ol uet ukji (zie) tość ukji t Róie ostej zeoząej zez ukt l l Fukj liio : ost ostoł o osi OX Róie ostej zeoząej zez ukt i o sółziku kieuko : Wuek ostołośi ost: zli Wuek óolełośi ost: Wzó kąt ięz ie osti: t AB AC BD CE AD AE DE BC DE BC AD AB AE AC A C B E D BC ED ostć oól ostej: A B C Olełość uktu o ostej A B C : A B A B C - - - -
Zesół Szkół oizjl Ruzie Śląskiej ooł: Roet Śluski Zesół Szkół oizjl Ruzie Śląskiej ooł: Roet Śluski ostć oól: ostć koiz: q ostć ilozo Fukj kto q 4 4 q sółzęe iezołk oli óżik ukji ktoej : Ce ooieńst tójkątó Ce kk. Jeśli kąt jeeo tójkąt są óe ó kąto uieo tójkąt to tójkąt te są ooe. Ce. Jeśli oki jeeo tójkąt są oojole o okó uieo tójkąt to tójkąt te są ooe. Ce k. Jeśli oki jeeo tójkąt są oojole o ó okó uieo tójkąt i kąt zte ięz ti oki są óe to tójkąt te są ooe. ostć ilozo : Wiosek: G tójkąt są ooe to ją i kąt óe i i oki oojole (stosuek łuośi oku jeeo tójkąt o łuośi ooieieo oku uieo tójkąt jest stł). Wzó siusó i osiusó Tiezeie siusó. W kż tójkąie stosuek łuośi ooleo oku tójkąt o sius zeilełeo kąt jest ó śei okęu oiseo t tójkąie. R si si si Tiezeie osiusó. W ool tójkąie zozą zo os os os zeksztłją oższe zo oż olizć os kąt tójkąt. os - - - -
Zesół Szkół oizjl Ruzie Śląskiej ooł: Roet Śluski Zesół Szkół oizjl Ruzie Śląskiej ooł: Roet Śluski Tójkąt ool Ozzei: łuośi okó tójkąt kąt tójkąt ole tójkąt oień okęu iseo R oień okęu oiseo sokość ouszzo ok oło oou tójkąt γ α β Róie ktoe 8 oło oou 4 Dłuośi okó tójkąt sełiją ieóośi: i i Wzo ole tójkąt: si 4R R si si si oień koł iseo tójkąt i oiseo tójkąie: są oziązi: jest jeo oziązie: óie ie oziązi zezisteo G to: Wzo Viete śoek okęu iseo tójkąt leż zeięiu się usiez kątó tójkąt i są teo seo zku : i są óż zkó : R 4 4 śoek okęu oiseo tójkąie leż zeięiu się setl okó tójkąt i są o otie : i i są o ujee : i - - - -
Zesół Szkół oizjl Ruzie Śląskiej ooł: Roet Śluski Zesół Szkół oizjl Ruzie Śląskiej ooł: Roet Śluski W W W zzik łó Ukł jeo oziązie W i te: W W W. W Ukł ie oziązi W i ( W lu W ). Ukł ieskońzeie iele oziązń W i W i W. Meto zziko oziązi ukł. óń li. ostć koiz: S sółzęe śok okęu oień okęu ostć oól: Róie okęu zli óżi iąu t. zó -t z iąu t. S... su iesz zó iąu S S Tz liz z tozą ią tetz z. q zli q q iloz iąu eo. q zó -t z iąu eoetzeo S S q q l q l q S... su szstki zó iąu eo. S q q q Tz liz z tozą ią eoetz Cią jest osą : Cią jest leją : Cią tetz Cią eoetz Mootoizość iąu z. zli zli - 4 - - 9 -
Zesół Szkół oizjl Ruzie Śląskiej ooł: Roet Śluski Zesół Szkół oizjl Ruzie Śląskiej ooł: Roet Śluski Deiij. Nie ęzie ukją okeśloą e otozeiu uktu. Jeżeli istieje i łśi li to ię tę z ooą ukji ukie. Oz.. Wzo: zie R ooe iektó ukji: stł si os os si R t t R os si Róie stzej o kesu ukji ukie : oo - óżizk - 8 - si os t t W I ćite szstkie ukje są otie II tlko sius III tes i otes IV osius. si os t t lu si si os os si os os si si os os si os os si si os os si si t t t t t t t t t t Deiije ukji tooetz ostoe tożsośi i zo tooetze si t os t lu t os t si t t t t t t t t t t t t t si si os t t os os si os si t - 5 - α. = ( )
Zesół Szkół oizjl Ruzie Śląskiej ooł: Roet Śluski Zesół Szkół oizjl Ruzie Śląskiej ooł: Roet Śluski t si t os t t t os t t t t si t si si si os si si os si os os os os os os si si Wtośi ukji tooetz kątó kąt α stoie i si os t t o o 6 45 o 4 6 o 9 o 8 6-6 - si os si si os si os si t t os t t 8 si os8 os 8 si t8 t 8 os t8 t k 6 si t k 8 t k 6 os t k 8 t si : k lu ( ) k (l : ) os : k lu k (l : ) t : k (l : ) t : k (l : ) lo > > lo lo lo lo lo ostoe zo eukje Roziązi ost óń tooetz lo lo lo lo lo Lot lo - 7 -