Wprowadzenie do inżynierii przetwarzania informacji. Ćwiczenie 2. Kodowanie informacji w systemach cyfrowych Cel dydatyczny: Nabycie umiejętności posługiwania się różnymi odami wyorzystywanymi w systemach cyfrowych i arytmetyce stałopozycyjnej. Poznanie odów binarnych, binarnodziesiętnych, odów detecyjnych i alfanumerycznych oraz odów uzupełnieniowych (od uzupełnień do jedności U1 i od uzupełnień do dwóch U2). 1. Podać reprezentację liczby dziesiętnej R = 12 w 4-bitowym odzie Graya. 2. Przedstawić liczbę dziesiętną R = 1234 w odzie BCD8421. 3. Jaa jest reprezentacja liczby dziesiętnej R = 561 w odzie Aiena? 4. Przedstawić liczbę dziesiętną R = 128 w odzie BCD plus 3. 5. Podać, tóre segmenty wyświetlacza 7-segmentowego zapalą się w przypadu, gdy na wyświetlaczu pojawi się cyfra 5? 6. Zapisać liczbę dziesiętną R = 22 w 8-bitowym odzie NKB z ontrolą parzystości. 7. Zaodować liczbę dziesiętną R = 65 w odzie dwójowo-dziesiętnym 1 z 10. 8. Podać słowo odowe reprezentujące liczbę dziesiętną R = 876 w odzie dwójowodziesiętnym 2 z 5. 9. Przedstawić liczbę dziesiętną R = 127 w odzie dwójowo-dziesiętnym 2 z 7. 10. Jai jest od małej litery a i dużej litery A w odzie ASCII? Ile wynosi różnica tych odów? 11. Podać reprezentację liczby dziesiętnej R = -11 w 16-bitowym odzie: a) zna-moduł (ZM), b) U1, c) U2. 12. Przedstawić liczbę dziesiętną R = -6.75 w 8-bitowym odzie (4 bity na część całowitą i 4 bity na część ułamową): a) ZM, b) U1, c) U2. 13. Podać reprezentację liczby dziesiętnej R = -39.625 w 16-bitowym odzie (8 bitów na część całowitą i 8 bitów na część ułamową): a) ZM, b) U1, c) U2. 14. Jaa jest wartość dziesiętna liczby binarnej ze znaiem R = 1100 1001.0100 w odzie: a) ZM, b) U1, c) U2. Wyorzystać wzory na obliczanie wartości dziesiętnych liczb zapisanych w odach U1 i U2, a taże podejście oparte na wyznaczaniu postaci liczby przeciwnej i obliczaniu wartości otrzymanej liczby dodatniej.
Wprowadzenie do inżynierii przetwarzania informacji. Ćwiczenie 2. Kodowanie informacji w systemach cyfrowych Cel dydatyczny: Nabycie umiejętności posługiwania się różnymi odami wyorzystywanymi w systemach cyfrowych i arytmetyce stałopozycyjnej. Poznanie odów binarnych, binarnodziesiętnych, odów detecyjnych i alfanumerycznych oraz odów uzupełnieniowych (od uzupełnień do jedności U1 i od uzupełnień do dwóch U2). 2. Kody Wprowadzenie teoretyczne Informacja dysretna słada się ze znaów, tórymi mogą być litery, cyfry lub inne symbole. W celu automatyzacji procesów przetwarzania i transmisji informacji dysretnej, zamiast znaów graficznych, są wyorzystywane specjalne ody zbudowane z bardzo prostych symboli. W systemach cyfrowych informacje są odowane za pomocą symboli dwuwartościowych, przyjmujących wartości logiczne 0 lub 1. Symbole te są nazywane bitami informacji. Kody wyorzystujące symbole dwuwartościowe (zera lub jedyni) są nazywane odami binarnymi (dwójowymi). Znai przedstawia się w odach binarnych w postaci ciągów zer i jedyne. Każdy ciąg stanowi słowo odowe, tóre reprezentuje w sposób jednoznaczny oreślony zna lub liczbę. Z puntu widzenia efetywności przetwarzania informacji najlepiej jest, gdy wszystie znai są przedstawiane za pomocą słów odowych o jednaowej długości. Ze względu na szybość procesów przetwarzania należy wyorzystywać słowa odowe o ja najmniejszej długości. Rozmiar słowa odowego zależy od liczby znaów, tóre należy zaodować. Na przyład w celu zaodowania 256 znaów słowo odowe musi zawierać co najmniej 8 bitów, gdyż od binarny złożony z 8 bitów pozwala zapisać liczby z przedziału od 0 (00000000 (2) ) do 255 (11111111 (2) ). Często do słów odowych są wprowadzane bity redundancyjne, tóre umożliwiają wyrycie i eliminację błędów pojawiających się podczas ich przesyłania. W tym celu są stosowane odpowiednie ody detecyjne i orecyjne. 2.1. Kody dwójowe wagowe i niewagowe W przypadu dwójowych odów wagowych (pozycyjnych), ażdy bit (ażda pozycja) słowa odowego ma oreśloną wagę (np. naturalny od binarny). Wagi są liczbami całowitymi i mogą przyjmować wartości ujemne. Wartości liczbowe odów są wyznaczane jao sumy wag tych pozycji słów odowych, tóre zawierają jedyni. W odach niewagowych nie ma bezpośredniej zależności między pozycją cyfry a jej wagą. Słowa odowe są tworzone według z góry zadanych reguł (np. od Graya). 2.1.1. Naturalny od binarny (NKB) Zapis liczby nieujemnej w naturalnym odzie binarnym (NKB) odpowiada jej reprezentacji w pozycyjnym odzie dwójowym. Wagi naturalnego odu binarnego -pozycyjnego są równe 2 i, gdzie i=0,1,2,...,. Na przyład za pomocą odu 3-bitowego można zaodować 8 olejnych wartości: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Waga pozycji 0 wynosi 1, waga pozycji 1 równa się 2, natomiast waga pozycji 2 wynosi 4.
4 2 1 wagi 3-bitowego odu NKB 0 = 0 0 0 1 = 0 0 1 2 = 0 1 0 3 = 0 1 1 4 = 1 0 0 5 = 1 0 1 6 = 1 1 0 7 = 1 1 1 2.1.2. Kod Graya Przyładem niewagowego odu binarnego jest od Graya, w tórym sąsiednie słowa różnią się wartością tylo jednego bitu. Ponadto wartości słów różnią się o możliwie małą wielość, a słowa odowe są unialne. Poniżej przedstawiono sposób odowania danych z wyorzystaniem 3-bitowego odu Graya. 0 0 0 0 1 0 0 1 2 0 1 1 3 0 1 0 4 1 1 0 5 1 1 1 6 1 0 1 7 1 0 0 2.2. Kody dwójowo-dziesiętne BCD W odach dwójowo-dziesiętnych BCD (ang. Binary Coded Decimal) ażda cyfra dziesiętna jest zapisywana w odzie dwójowym. Do zaodowania dziesięciu cyfr są potrzebne co najmniej cztery bity cztery cyfry binarne, za pomocą, tórych można utworzyć szesnaście 4-bitowych słów odowych. Sześć spośród 16 ombinacji odu 4-bitowego nie będzie wyorzystywanych. Kody BCD mogą być: wagowe ażda pozycja ma oreśloną wagę; ciąg wag odu jest zwyle używany jao nazwa odu (np. od BCD 8421, od Aiena od BCD 2421); niewagowe wagi pozycji nie mają znaczenia (np. od plus 3, od wsaźniów cyfrowych siedmiosegmentowych). 2.2.1. Kod BCD Podstawowym wagowym odem BCD jest od BCD 8421 (w srócie od BCD), w tórym olejne cyfry dziesiętne są odowane za pomocą pierwszych dziesięciu słów naturalnego odu binarnego (NKB).
Wagi: 8 4 2 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 2 0 0 1 0 3 0 0 1 1 4 0 1 0 0 5 0 1 0 1 6 0 1 1 0 7 0 1 1 1 8 1 0 0 0 9 1 0 0 1 Przyład 2.1. Przedstawić liczbę dziesiętną 347 w odzie BCD 8421. Kodując ażdą cyfrę dziesiętną na czterech bitach otrzymujemy reprezentację liczby 347 w odzie BCD 8421. 3 4 7 0011 0100 0111. Można zauważyć, że dla przedstawienia liczby dziesiętnej w odzie BCD zwyle trzeba więcej bitów niż do zaodowania tej liczby w odzie NKB. Liczba 347 10 może być zapisana w odzie NKB na dziewięciu bitach w postaci 1 0101 1011, natomiast w odzie BCD wymaganych jest dwanaście bitów. 2.2.2. Kod Aiena Kod ten jest odem wagowym BCD o wagach 2, 4, 2, 1. Sposób odowania cyfr w odzie Aiena przedstawiono poniżej. Wagi: 2 4 2 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 2 0 0 1 0 3 0 0 1 1 4 0 1 0 0 5 1 0 1 1 6 1 1 0 0 7 1 1 0 1 8 1 1 1 0 9 1 1 1 1 W odzie tym cyfry od 0 do 4 oduje się z wyzerowanym najstarszym bitem, natomiast cyfry od 5 do 9 z ustawionym najstarszym bitem. Liczba dziesiętna 347 ma w odzie Aiena następującą postać: 3 4 7 0011 0100 1101.
2.2.3. Kod BCD z nadmiarem 3 Przyładem niewagowego odu BCD jest od z nadmiarem 3 nazywany odem plus 3. Kod ten otrzymuje się dodając trzy do cyfry dziesiętnej i zapisując ją następnie w odzie BCD. Stąd nazwa +3. W odzie tym nie ma możliwości przypisania wagi ażdej pozycji. w odzie +3 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 2 0 1 0 1 3 0 1 1 0 4 0 1 1 1 5 1 0 0 0 6 1 0 0 1 7 1 0 1 0 8 1 0 1 1 9 1 1 0 0 Przyład 2.2. Przedstawić liczbę dziesiętną 347 w odzie BCD plus 3. W wyniu dodania tróji do ażdej z cyfr otrzymujemy wartości 6, 7, 10. Kodując otrzymane liczby w odzie BCD uzysujemy liczbę 347 w odzie +3: 3 4 7 6 7 10 0110 0111 1010. 2.2.4. Kod wsaźniów cyfrowych 7-segmentowych Wyświetlanie informacji w systemach cyfrowych może być realizowane za pomocą wsaźniów cyfrowych siedmiosegmentowych. Matryca wyświetlacza wraz z numeracją segmentów ma następującą postać. 1 6 5 7 4 2 3 Poszczególne cyfry są reprezentowane przez podświetlanie odpowiednich segmentów. Cyfrę 0 uzysuje się przez podświetlenie segmentów o numerach 1,2,3,4,5,6, cyfrę 1 przez podświetlenie segmentów o numerach 2,3, cyfrę 2 przez podświetlenie segmentów 1,2,4,5,7, cyfrę 3 przez podświetlenie segmentów 1,2,3,4,7, cyfrę 4 przez podświetlenie segmentów 2,3,6,7, cyfrę 5 przez podświetlenie segmentów 1,3,4,6,7, cyfrę 6 przez podświetlenie segmentów 3,4,5,6,7, cyfrę 7 przez podświetlenie segmentów 1,2,3, cyfrę 8 przez podświetlenie segmentów o numerach 1,2,3,4,5,6,7, natomiast cyfrę 9 przez podświetlenie segmentów o numerach 1,2,3,6,7.
w odzie wsaźniów 7-segmentowych Segmenty 7 6 5 4 3 2 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 2 1 0 1 1 0 1 1 3 1 0 0 1 1 1 1 4 1 1 0 0 1 1 0 5 1 1 0 1 1 0 1 6 1 1 1 1 1 0 0 7 0 0 0 0 1 1 1 8 1 1 1 1 1 1 1 9 1 1 0 0 1 1 1 2.3. Kody detecyjne i orecyjne Kody detecyjne i orecyjne umożliwiają wyrycie i sorygowanie błędów występujących w systemach cyfrowych oraz w systemach transmisji danych. Kody taie są tworzone poprzez dodanie bitów ontrolnych do przesyłanej informacji. Dla oreślonej lasy błędów istnieją ody detecyjne i orecyjne umożliwiające ich wyrycie. Kody orecyjne pozwalają dodatowo sorygować wyryte błędy. Wśród odów detecyjnych najwięsze zastosowanie znalazł od z ontrolą parzystości oraz od ze stałą liczbą jedyne. Natomiast z grupy odów orecyjnych najczęściej są wyorzystywane binarne ody cyliczne, np. od Bose-Chaudhuri-Hocquenghema (BCH) lub niebinarne ody cyliczne orygujące błędy grupowe, np. od Reeda-Solomona (RS). 2.3.1. Kod z ontrolą parzystości Kod ten jest tworzony przez dodanie do ażdego słowa odu dwójowego bitu przyjmującego taą wartość, aby liczba jedyne w słowie była parzysta (lub nieparzysta). Kontrolę parzystości można zastosować w dowolnym odzie. Słowa odowe są rozszerzane o dodatową pozycję ontrolną. Dla odu BCD 8421 bit parzystości umożliwia wyrycie znieształcenia dowolnej nieparzystej liczby bitów odu, natomiast są niewyrywalne znieształcenia dowolnej parzystej liczby elementów. W celu rozdzielenia bitów części informacyjnej od bitów części ontrolnej słów odowych wprowadzono ropę. Wagi: 8 4 2 1. 0 0 0 0 0 0. 0 1 0 0 0 1. 1 2 0 0 1 0. 1 3 0 0 1 1. 0 4 0 1 0 0. 1 5 0 1 0 1. 0 6 0 1 1 0. 0 7 0 1 1 1. 1 8 1 0 0 0. 1 9 1 0 0 1. 0
2.3.2. Kody ze stałą liczbą jedyne Kody tej lasy zawierają stałą liczbę jedyne we wszystich słowach odowych. Mogą one być zarówno wagowe, ja i niewagowe. Stała liczba jedyne umożliwia wyrycie błędów przy odbiorze słów odowych. Najbardziej rozpowszechnionym odem o stałej liczbie jedyne jest od 1 z 10. Jest to od wagowy dwójowo-dziesiętny, w tórym jedyna jest umieszczana w słowach odowych na pozycjach o wagach 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Wagi: 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 2 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 3 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 4 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 5 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 6 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 7 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 8 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 9 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Na uwagę zasługują również: od niewagowy 2 z 5 oraz od wagowy 2 z 7 ( 1 z 2 i 1 z 5 ). W obu tych odach liczba możliwych słów odowych wynosi 10 (liczba możliwych rozładów dwóch jedyne na 5 pozycjach wynosi 10; tyle samo wynosi iloczyn liczby możliwych rozładów jedyni na dwóch pozycjach przez liczbę możliwych rozładów jedyni na pięciu pozycjach) dlatego ody te są najczęściej stosowane do odowania cyfr dziesiętnych przy odowaniu dwójowo-dziesiętnym. W odzie dwójowo-dziesiętnym 2 z 5 poszczególne cyfry są odowane w sposób następujący (cztery słowa z jedynami na pozycji 0, trzy słowa z jedynami na pozycji 1, dwa słowa z jedynami na pozycji 2, jedno słowo z jedyną na pozycji 3): 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 2 0 1 0 0 1 3 1 0 0 0 1 4 0 0 1 1 0 5 0 1 0 1 0 6 1 0 0 1 0 7 0 1 1 0 0 8 1 0 1 0 0 9 1 1 0 0 0
W odzie wagowym, dwójowo-dziesiętnym 2 z 7 ( 1 z 2 i 1 z 5 ) poszczególne cyfry są odowane w sposób następujący: Wagi: 5 0 4 3 2 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 2 0 1 0 0 1 0 0 3 0 1 0 1 0 0 0 4 0 1 1 0 0 0 0 5 1 0 0 0 0 0 1 6 1 0 0 0 0 1 0 7 1 0 0 0 1 0 0 8 1 0 0 1 0 0 0 9 1 0 1 0 0 0 0 Kody orecyjne są generowane w oparciu o odpowiednie wielomiany orecyjne, tóre umożliwiają utworzenie słowa odowego złożonego z wielomianu informacyjnego, reprezentującego bity informacyjne, uzupełnionego o resztę z dzielenia wielomianu informacyjnego przez wielomian orecyjny. Wielomiany reprezentujące słowa odowe odbierane bez załóceń dzielą się bez reszty przez wielomian orecyjny. W przypadu pojawienia się reszty należy uruchomić procedurę orygującą błędy. 2.4. Kody alfanumeryczne Kody tego typu służą do przedstawiania cyfr, liter oraz innych znaów specjalnych. Najbardziej powszechnym odem alfanumerycznym jest 7-bitowy od znany pod nazwą American Standard Code for Information Interchange (ASCII). Pozwala on zaodować 128 symboli i jest używany przez więszość producentów miroomputerów. Kod ten jest również wyorzystywany przy przesyłaniu informacji alfanumerycznej między omputerem i zewnętrznymi urządzeniami I/O, taimi ja daleopis (TTY) lub monitor (CRT). W odzie ASCII znai o odach od 0 do 31 reprezentują ody sterujące wyorzystywane do omuniacji z terminalami oraz innymi urządzeniami I/O. Znai o odach powyżej 31 reprezentują druowalne symbole alfanumeryczne. Rozszerzony od ASCII umożliwia zapis symboli na ośmiu bitach, a więc pozwala zaodować 256 symboli. Znai o odach od 128 do 255 są pewnymi symbolami graficznymi, tórych postać zależy od zainstalowanego zestawu symboli alfanumerycznych. Kod ASCII Symbol Opis 0 NUL Bez informacji. 1 SOH Począte nagłówa. 2 STX Począte testu. 3 ETX Koniec testu. 4 EOT Koniec transmisji. 5 ENQ Zapytanie. 6 ACK Odpowiedź pozytywna. 7 BEL Dzwone. 8 BS Cofanie. 9 HT Tabulacja pozioma. 10 LF Zmiana wiersza.
11 VT Tabulacja pionowa. 12 FF Zmiana formularza. 13 CR Powrót areti (ursora). 14 SO Poza odem. 15 SI W odzie. 16 DLE Zmiana znaczenia ciągu znaów. 17 DC1 Sterowanie urządzeniem 1. 18 DC2 Sterowanie urządzeniem 2. 19 DC3 Sterowanie urządzeniem 3. 20 DC4 Sterowanie urządzeniem 4. 21 NAK Odpowiedź negatywna. 22 SYN Synchronizacja. 23 ETB Koniec transmisji blou danych. 24 CAN Anulowanie. 25 EM Koniec zapisu. 26 SUB Zastąpienie. 27 ESC Przełączenie, zmiana zestawu znaów. 28 FS Oddzielenie głównych grup. 29 GS Oddzielenie grupy informacji. 30 RS Oddzielenie podgrup (pozycji). 31 US Oddzielenie części grup. 32 SP Spacja. Przyładowy zestaw znaów o odach od 32 do 255 może mieć następującą postać.! " # $ % & ' ( ) * +, -. / 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 : ; < = >? @ A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z [ \ ] ^ _ ` a b c d e f g h i j l m n o p q r s t u v w x y z { } ~ Ç ü é â ä ů ć ç ł ë Ő ő î Ź Ä Ć É Ĺ ĺ ô ö Ľ ľ Ś ś Ö Ü Ť ť Ł č á í ó ú Ą ą Ž ž Ę ę ź Č ş Á Â Ě Ş Ż ż Ă ă đ Đ Ď Ë ď Ň Í Î ě Ţ Ů Ó ß Ô Ń ń ň Š š Ŕ Ú ŕ Ű ý Ý ţ - ˇ ű Ř ř W generatorach znaów alfanumerycznych są najczęściej stosowane 64 znai (litery, cyfry, znai przestanowe). Do zaodowania tych 64 znaów wystarcza od 6-bitowy. Na przyład cyfry dziesiętne są w tym odzie reprezentowane w sposób następujący. 0 110000 1 110001 2 110010 3 110011 4 110100 5 110101 6 110110 7 110111 8 111000 9 111001
2.5. Kody wyorzystywane w arytmetyce stałopozycyjnej W odach stałopozycyjnych miejsce rozdziału części całowitej i ułamowej jest z góry ustalone. Dane oduje się na ustalonej liczbie bitów. Na przyład załada się, że część całowita liczby może sładać się masymalnie z n cyfr, natomiast część ułamowa z masymalnie m cyfr. Wówczas, liczbę binarną R złożoną z n cyfrowej części całowitej i m cyfrowej części ułamowej można zapisać w postaci: R = (a n-1 2 n-1 + a n-2 2 n-2 +... + a 1 2 1 + a 0 2 0 + a -1 2-1 + a -2 2-2 +... + a -m+1 2 -m+1 + a -m 2 -m ) lub w formie sróconej: R = a n-1 a n-2... a 1 a 0.a -1 a -2... a -m+1 a -m. Ponieważ w przypadu arytmetyi stałopozycyjnej miejsce przecina jest ustalone, doładność reprezentacji (mierzona odległością na osi liczbowej sąsiednich liczb reprezentowanych słowami o danej długości) jest stała i dla liczby z m miejscami po przecinu wynosi 1/2 m. Zapis równoważny liczby rzeczywistej R w przypadu odowania stałopozycyjnego ma postać: n 1 a = m R = 2. Arytmetya stałopozycyjna liczb opiera się na przedstawionych wcześniej odach binarnych naturalnym odzie binarnym (NKB) i odzie dwójowo-dziesiętnym (BCD). Najczęściej liczby dodatnie i ujemne są odowane za pomocą odów: zna-moduł (ZM), uzupełnień do jedności (U1), uzupełnień do dwóch (U2). Liczby dodatnie mają we wszystich tych odach taą samą postać i są przedstawiane ta ja w naturalnym odzie binarnym NKB. W przypadu liczb ujemnych najstarszy bit ażdego słowa odowego jest wyorzystywany jao bit znau. Przyjmuje się, że gdy liczba jest ujemna, to wartość tego bitu jest równa 1, natomiast gdy liczba jest dodatnia, to jest on równy 0. Sposób interpretacji pozostałych bitów słowa jest inny dla ażdego z odów. Za pomocą tych odów można przedstawiać zarówno liczby całowite, ja i ułamowe. 2.5.1. Kod zna moduł (ZM) W odzie tym najstarszy bit jest bitem znau. Jeśli liczba jest dodatnia, to bit znau jest równy 0, a gdy jest ujemna, to jest on równy 1. Pozostałe bity reprezentują moduł liczby w odzie NKB. Zares odowanych liczb zależy od długości słowa. W przypadu słowa n-bitowego można przedstawiać liczby dziesiętne z zaresu od -(2 n-1 1) do +(2 n-1 1). Na przyład jeśli n=4, to za pomocą odu ZM można zapisać liczby dziesiętne z przedziału od 7 do 7. Na przyład: -7 = 1111 (najstarszy bit równa się 1), natomiast 7 = 0111 (najstarszy bit równa się 0). Można zauważyć, że na czterech bitach nie da się zapisać liczby 13, gdyż nie należy ona do przedziału [-7,7]. W celu zaodowania liczby 13 należy wyorzystać n=5 bitów. Wówczas, -13 = 11101, natomiast 13 = 01101. Jeśli przyjmie się n=8 (słowo 8-bitowe 1 bajt), to zares możliwych do przedstawienia liczb dziesiętnych należy do przedziału od 127 do 127. Na przyład: -127 = 11111111, natomiast 127 = 01111111.
W odzie ZM istnieją dwie dopuszczalne reprezentacje liczby 0. Dla 8-bitowych słów są to następujące słowa: 0 = 00000000 ZM (reprezentacja dodatnia) oraz -0 = 10000000 ZM (reprezentacja ujemna). Podwójna reprezentacja liczby 0 jest wadą tego odu, gdyż stwarza pewne problemy przy realizacji algorytmów arytmetycznych. Przedstawiony sposób odowania dotyczy również liczb ułamowych, w tórych n cyfr jest przeznaczonych na odowanie części całowitej i m na odowanie części ułamowej. W celu wyznaczenia wartości dziesiętnej liczby binarnej R=a n-1 a n-2...a 1 a 0.a -1 a -2...a -m+1 a -m przedstawionej w odzie ZM należy obliczyć wartość dziesiętną modułu liczby (bez uwzględniania bitu znau), a następnie oreślić zna liczby na podstawie bitu znau. 2.5.2. Kod uzupełnień do jedności (U1) W odzie tym najstarszy bit reprezentuje bit znau. Liczby dodatnie na najbardziej znaczącej pozycji mają 0 i są reprezentowane ta ja w odzie NKB. Liczby ujemne na najbardziej znaczącej pozycji mają 1, a pozostałe bity mają przeciwne wartości niż bity słowa odu NKB reprezentującego moduł liczby. Jest to inaczej uzupełnienie do samych jedyne (odjęcie od samych jedyne) modułu przedstawionej liczby w odzie NKB. Przyjmuje się, że waga najbardziej znaczącej pozycji a n-1 słowa odowego R = a n-1 a n-2...a 1 a 0 ma wartość ujemną równą sumie wag wszystich pozostałych pozycji. W przypadu, gdy R jest liczbą całowitą suma wag pozycji o numerach różnych od n-1 wynosi: n 2 n 1 2 1 n 1 w = 2 = 1* = 2 1. 2 1 = 0 Wartość dziesiętną liczby całowitej R = a n-1 a n-2...a 1 a 0 zapisanej w odzie U1 można obliczyć ze wzoru: n 2 n 1 1(2 1) + 2 = 0 R = a n a. Zares liczb dziesiętnych reprezentowanych w odzie U1 jest tai sam ja dla odu ZM. Liczba zero ma taże dwie reprezentacje. W przypadu słów 8-bitowych są to: reprezentacja dodatnia 0 = 00000000 U1 i reprezentacja ujemna 0 = 11111111 U1. W celu wyznaczenia postaci liczby dziesiętnej w odzie U1 na n bitach należy wyznaczyć reprezentację modułu liczby w odzie NKB. Jeśli liczba jest dodatnia, to otrzymane słowo odowe przedstawia liczbę w odzie U1, natomiast jeśli liczba jest ujemna, to należy zanegować wszystie bity otrzymanego słowa w odzie NKB (najstarszy bit powinien być równy 1). Na przyład dla słów 4-bitowych: 7 = 0111 (najstarszy bit równa się 0), natomiast -7 = 1000 (negacja bitów modułu liczby). Jeśli przyjmie się słowa 8-bitowe, to zares możliwych do przedstawienia liczb dziesiętnych należy do przedziału od -127 do 127. Na przyład: 127 = 01111111 U1, natomiast -127 = 10000000 U1. Liczba 7 może być przedstawiona w odzie U1 w postaci 00000111 a liczba -7 jao 11111000. W przypadu obliczania wartości dziesiętnej liczby zapisanej w odzie U1 można sorzystać z podanego wzoru lub zamienić liczbę ujemną na dodatnią i wyznaczać jej wartość ta ja dla odu NKB, a następnie uzupełnić zna. Np. dla liczby R = 11111000 zapisanej w odzie U1 można od razu stwierdzić, że jest ona ujemna. Liczba przeciwna -R = 00000111 jest liczbą dodatnią. Jej wartość w odzie NKB jest równa 7. Stąd liczba R = -7. Korzystając ze wzoru otrzymuje się zależność: R = 11111000 U1 = -(2 8-1 1) + 2 6 + 2 5 + 2 4 + 2 3 = -127 + 64 + 32 + 16 + 8 = -7. W obu przypadach otrzymuje się taie same wynii.
W celu przedstawienia liczb ułamowych w odzie U1 należy oddzielić n cyfr części całowitej od m cyfr części ułamowej. Wówczas najmniej znacząca cyfra będzie miała wagę 2 -m. Sposób zamiany dziesiętnej liczby ułamowej na liczbę w odzie U1 jest analogiczny ja dla liczb całowitych (negacja bitów dla liczb ujemnych). Waga najbardziej znaczącej pozycji słowa odowego R=a n-1 a n-2...a 1 a 0.a -1 a -2...a -m+1 a -m ma wartość ujemną równą sumie wag wszystich pozostałych pozycji i wynosi: w n 2 1 n 1 m n 1 m = 2 + 2 = (2 1) + (1 2 ) = 2 2 = 0 = m. Wartość liczbową liczby całowitej R=a n-1 a n-2...a 1 a 0.a -1 a -2...a -m+1 a -m. zapisanej w odzie U1 można obliczyć ze wzoru: n 2 n 1 m 1(2 2 ) + 2 = m R = a n a. Inny sposób polega na wyznaczeniu postaci liczby w odzie NKB i obliczeniu jej wartości dziesiętnej. W przypadu liczb dodatnich od liczby w formacie U1 jest tai sam ja w odzie NKB. Natomiast w przypadu liczby ujemnej należy wyznaczyć od NKB liczby przeciwnej, obliczyć jej wartość binarną, a następnie dodać do otrzymanej liczby dziesiętnej zna. Na przyład liczba R = 2.5 zapisana na ośmiu bitach (cztery bity na część całowitą n=4 i cztery bity na część ułamową m=4) w odzie U1 ma postać 0010.1000, natomiast liczba R = -2.5 może być zapisana w odzie U1 jao 1101.0111. Zgodnie ze wzorem wartość dziesiętna liczby R = 1101.0111 U1 = -(2 3 2-4 ) + 2 2 + 1 + 2-2 + 2-3 + 2-4 = -8 + 5 + 1/4 + 1/8 + 2/16 = -3 + 2/4 = -2.5. Otrzymany wyni potwierdza poprawność zapisu liczby R=-2.5 w odzie U1. 2.5.3. Kod uzupełnień do dwóch (U2) Kod U2 różni się od odu U1 wartością wagi pozycji najbardziej znaczącej. W odzie U2 waga tej pozycji jest ujemna i jest więsza od wagi dla odu U1 o wartość odpowiadającą wadze pozycji najmniej znaczącej. Dla liczb całowitych postaci R = a n-1 a n-2...a 1 a 0 waga pozycji najbardziej znaczącej wynosi w = 2 n-1-1 + 1 = 2 n-1 natomiast dla liczb ułamowych postaci R=a n-1 a n-2...a 1 a 0.a -1 a -2...a -m+1 a -m waga jest równa w = 2 n-1-2 -m + 2 -m = 2 n-1. W obu przypadach waga pozycji najbardziej znaczącej ma taą samą wartość, stąd dla odu uzupełnień do dwóch U2 wartość dziesiętną liczby R=a n-1 a n-2...a 1 a 0.a -1 a -2...a -m+1 a -m można obliczyć ze wzoru: n 2 n 1 1(2 ) + 2 = m R = a n a. Ja wynia ze wzoru dla liczb dodatnich reprezentacja liczby R w odzie U2 jest taa sama ja w odzie U1 i NKB. W przypadu liczb ujemnych reprezentacja liczby R w odzie U2 jest taim samym słowem ja liczby R+1 w odzie U1. Na przyład liczba 13 w odzie U1 i odzie U2 może być przedstawiona jao 00001101. Natomiast liczba 13 ma w odzie U1 postać 11110010, a w odzie U2 postać 11110011. Zares liczb dziesiętnych reprezentowanych w odzie U2 na n pozycjach zawiera się w przedziale od -(2 n-1 ) do +(2 n-1 1). Na przyład dla n=8 zares możliwych do przedstawienia liczb dziesiętnych należy do przedziału od 128 do 127. Na przyład: -128 = 10000000 U2, natomiast 127 = 01111111 U2. Liczba zero ma jednoznaczną reprezentację 0 = 00000000 U2 (liczby -0 nie da się zapisać, gdyż zawsze jest generowane przeniesienie na pozycję n+1).
W celu wyznaczenia postaci liczby dziesiętnej w odzie U2 na n bitach należy wyznaczyć reprezentację modułu liczby w odzie NKB. Jeśli liczba jest dodatnia, to otrzymane słowo odowe przedstawia liczbę w odzie U2, natomiast jeśli liczba jest ujemna, to należy zanegować wszystie bity otrzymanego słowa w odzie NKB i dodać do niego 1 (najstarszy bit powinien być równy 1). Na przyład dla słów 4-bitowych: 7 = 0111 (najstarszy bit równa się 0), natomiast -7 = 1001 (negacja bitów modułu liczby plus 1). Jeśli przyjmie się słowa 8-bitowe, to liczba 7 może być przedstawiona w odzie U2 w postaci 00000111 a liczba -7 jao 11111001. Przyład 2.3. Podać sposób odowania liczb całowitych ze znaiem na czterech bitach za pomocą odów: zna-moduł (ZM), uzupełnień do jedności (U1) oraz uzupełnień do dwóch (U2). Liczba dziesiętna ZM U1 U2 +7 0111 0111 0111 +6 0110 0110 0110 +5 0101 0101 0101 +4 0100 0100 0100 +3 0011 0011 0011 +2 0010 0010 0010 +1 0001 0001 0001 +0 0000 0000 0000-0 1000 1111 ---- - 1 1001 1110 1111-2 1010 1101 1110-3 1011 1100 1101-4 1100 1011 1100-5 1101 1010 1011-6 1110 1001 1010-7 1111 1000 1001-8 ---- ---- 1000 Przyład 2.4. Przedstawić reprezentację liczby R = -4.8125 w odach ZM, U1 i U2 na 10 bitach (n=5 bitów na część całowitą i m=5 bitów na część ułamową). Reprezentacja liczby R = 4.8125 w odzie NKB ma postać 00100.11010. Stąd liczba R może być przedstawiona w odzie zna-moduł jao 10100.11010. Postać liczby R w odzie U1 jest następująca: 11011.00101. W odzie U2 liczba może być przedstawiona jao 11011.00101 + 1 = 11011.00110. Podsumowując: R = -4.8125 10 = 10100.11010 ZM = 11011.00101 U1 = 11011.00110 U2. Sprawdzenie wartości na podstawie wzorów. Dla U1 wartość dziesiętna R = -(2 4 2-5 ) + 2 3 + 2 1 + 2 0 + 2-3 + 2-5 = -16 + 1/32 + 8 + 2 +1 + 1/8 + 1/32 = -5 + 1/8 + 2/32 = -5 + 3/16 = -4-13/16 = -4.8125. Dla U2 wartość dziesiętna R = -(2 4 ) + 2 3 + 2 1 + 2 0 + 2-3 + 2-4 = -16 + 8 + 2 +1 + 1/8 + 1/16 = -5 + 1/8 + 1/16 = -5 + 3/16 = -4-13/16 = -4.8125. Otrzymane wynii potwierdzają poprawność przedstawionych reprezentacji.