Charakterystyki częstotliwościowe cewek Rogowskiego

dr inż. STANISŁAW SZKÓŁKA Politechnika Wrocławska Charakterystyki częstotliwościowe cewek Rogowskiego W artykule przedstawiono wyniki badań symulacyjnych dotyczących wierności transformacji przebiegów odkształconych prądów przez cewkę Rogowskiego ekranowaną dodatkowo ekranem aluminiowym. Zamieszczono wyniki badań poświęconych wpływowi parametrów cewki i rezystancji obciążenia na charakterystyki amplitudowofazowe przetwornika z cewką Rogowskiego. Omówiono zbadanie możliwości wykorzystania indukcyjności własnej cewki jako członu całkującego sygnału wyjściowego. 1. WSTĘP Kompaktowa budowa cewek Rogowskiego sprawia, że małe rozmiary i ciężar w połączeniu z dużą wiernością przekształcania i niską ceną predestynują je do roli atrakcyjnego przetwornika prądu przemiennego [2, 3, 5, 1]. Zaleta liniowego przekształcania sygnału odnosi się wyłącznie do sinusoidalnego przebiegu prądu. Z uwagi na wzrastającą liczbę i moc odbiorników nieliniowych wykorzystanie tej cechy staje się problematyczne [5]. Różniczkujące działanie cewki sprawia, iż na jej zaciskach wyjściowych pojawia się sygnał będący pochodną monitorowanego prądu. W przypadku sinusoidalnego przebiegu prądu sygnał wyjściowy będzie sinusoidą, ale przesuniętą o kąt 90 pomniejszony o kąt ψ wynikający z charakterystyki amplitudowo-fazowej przetwornika. Występujące przesunięcie fazowe pomiędzy przebiegiem prądu i sygnałem wyjściowym cewki uniemożliwia bezpośrednie wykorzystanie tego sygnału jako wielkości wejściowej wielu współczesnych układów elektroenergetycznej automatyki zabezpieczeniowej. Pojawia się też kolejny problem w jaki sposób całkować sygnał wyjściowy w celu uzyskania wiernego obrazu przebiegu pierwotnego. Najkorzystniejszą formą całkowania byłoby wykorzystanie indukcyjności własnej cewki. Zastosowanie analogowo-cyfrowych układów całkujących ograniczy możliwość liniowego przekształcania w szerokim zakresie wartości monitorowanych prądów. Brak magnetowodu w przetwornikach z cewką Rogowskiego sprawia, iż konstrukcje te są podatne na wpływ strumieni pasożytniczych. Zwarta budowa nowoczesnych aparatów i urządzeń elektrycznych sprawia, iż silny wpływ pól elektromagnetycznych pochodzących od sąsiednich torów prądowych należy ograniczać przez stosowanie różnego rodzaju ekranów cewki [4]. Nasuwa się pytanie, czy i w jakim stopniu obecność ekranów wpłynie na charakterystyki amplitudowofazowe takich przetworników. Niniejszy artykuł jest próbą udzielenia na nie odpowiedzi. 2. CHARAKTERYSTYKI AMPLITUDOWO- FAZOWE PRZETWORNIKÓW Z CEWKĄ ROGOWSKIEGO Pod pojęciem przetwornik rozumie się cewkę Rogowskiego wyposażoną w zespół ekranów magnetycznych i elektrostatycznych zapewniających konstrukcji maksymalną odporność na wpływ strumieni pasożytniczych i elektryczności statycznej [4]. W [1] poruszono problematykę przenoszenia wyższych harmonicznych przez cewkę Rogowskiego z amorficznym rdzeniem. Rodzi się w tym kontekście pytanie, czy i w jakim stopniu obecność ekranów wpłynie na przenoszenie wyższych harmonicznych oraz charakterystyki amplitudowo-fazowe przetwornika. Z uwagi na sugestie [2] odnośnie do możliwości wykorzystania indukcyjności własnej jako członu

Nr 6(520) LISTOPAD-GRUDZIEŃ 2014 19 całkującego w jednym z badanych przetworników (RC1) znacznie zwiększono indukcyjność własną cewki i przeprowadzano badania symulacyjne. Do wyznaczenia charakterystyk amplitudowofazowych przetworników wykorzystano parametry dwóch cewek Rogowskiego oznaczonych w dalszej części jako RC1 i RC2. Parametry realnej cewki RC2 o stałej przekształcania s dla harmonicznej Oznaczenie przetwornika Rezystancja R C [Ω] Zestawienie parametrów dla cewek RC1 i RC2 Indukcyjność L C [H] Pojemność C E [pf] podstawowej 1 mv/a, ekranowanej magnetycznie i statycznie zmierzono przy dwóch częstotliwościach: 1 i 5 khz. Uśrednione wartości parametrów tej cewki wynoszą: R c = 130 Ω, L c = 5 mh, C E = 0,1 nf (tab. 1). Podana wartość pojemności C E dotyczy pojemności cewki Rogowskiego w stosunku do uziemionego ekranu E. Stała przekształcania s [mv/a] Ekrany magnetyczne Tabela 1. Ekran elektrostatyczny E RC1 130 0,5 100 1 TAK TAK RC2 130 0,005 100 1 TAK TAK W hipotetycznym przetworniku RC1 zwiększono 100-krotnie wartość indukcyjności w stosunku do rzeczywistej wartości indukcyjności istniejącej cewki RC2. Należy tutaj nadmienić, iż uzyskanie tak dużej wartości indukcyjności w cewce powietrznej wiązałoby się ze znacznym powiększeniem liczby zwojów i rozmiarów cewki, co praktycznie wyklucza taką konstrukcję. Do wyznaczania charakterystyk amplitudowofazowych oraz symulacji procesu transformacji odkształconego prądu wykorzystano pakiet symulacyjny TCAD7. Skupione parametry (R C, L C, C E ) cewki Rogowskiego przedstawiono w postaci dziesięciu trójników (R, L, C ) połączonych szeregowo i obciążonych rezystancją R o (rys. 1). W tak przyjętym modelu pomija się indukcyjność rozproszenia i zakłada się, że L C = M + 10 L. Rys. 1. Model cewki Rogowskiego wykorzystany do wyznaczania charakterystyk amplitudowo-fazowych przetworników oraz symulacji transformacji odkształconych przebiegów prądów [opracowanie własne] W celu uzyskania charakterystyk amplitudowofazowych przetwornika RC1 przeprowadzono symulację pracy układu z rys. 1. dla następujących wartości częstotliwości: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 i 100 khz przy dwóch krańcowych wartościach rezystancji obciążenia R o = 10 i 100 kω. Uzyskane wyniki przedstawiono w postaci charakterystyki amplitudowo-fazowej na rys. 2. Miejscem geometrycznym wskazów napięcia U R jest okrąg o średnicy E R. Zarówno kąt ψ przesunięcia fazowego pomiędzy tymi wielkościami, jak i amplituda U R jest funkcją wartości przekształcanej częstotliwości oraz rezystancji obciążenia. Znajomość charakterystyki pozwoli na optymalny dobór parametrów pracy przetwornika w zależności od wymaganego stopnia dokładności przekształcania w zadanym zakresie częstotliwości.

20 MECHANIZACJA I AUTOMATYZACJA GÓRNICTWA Rys. 2. Charakterystyki amplitudowo-fazowe przetwornika RC1 dla różnych wartości częstotliwości i rezystancji obciążenia R o = 10 i 100 kω [opracowanie własne] Za amplitudę E R sem e R (t) przyjęto wartość E R = 10e j0 mv. Na kołowej charakterystyce amplitudowo-fazowej łukami poszczególnych częstotliwości oznaczono skrajne położenia wskazów napięcia U R dla dwóch wartości rezystancji obciążenia R o 10 i 100 kω. Przykładowe wskazy napięcia U R naniesiono dla częstotliwości f = 1 khz, przy czym strzałka łuku określa miejsce wskazu U R dla obciążenia 100 kω, a początek łuku dla obciążenia 10 kω. W analizowanym zakresie częstotliwości amplituda napięcia U R zmienia się w granicach od 10 do ok. 9,5 mv, a faza y w granicach ok. -1 do -16 stopni. Ze wzrostem częstotliwości przekształcania w miarę zbliżania się do częstotliwości rezonansowej (ok. 80 khz) amplitudy napięcia U R maleją do zera, a fazy y dążą do -90 stopni. Po przekroczeniu częstotliwości rezonansowej faza y zmienia się skokowo do +90 stopni, a wartość napięcia U R zaczyna ponownie wzrastać. Z jednej strony zwiększanie rezystancji obciążenia R o korzystnie wpływa na charakterystyki przenoszenia, z drugiej zaś czyni układ bardziej podatnym na zakłócenia. Dlatego też do dalszych symulacji przyjęto trzy możliwe wartości rezystancji R o 10, 20 i 40 kω. Na rys. 3. przedstawiono uzyskaną symulacyjnie charakterystykę amplitudową przetwornika CR1. Obecność aluminiowego ekranu elektrostatycznego E nie wpływa znacząco na wartości amplitud uzyskiwanego z przetwornika sygnału U R w zakresie częstotliwości do 10 khz. Przy większych wartościach częstotliwości dochodzi do rezonansu, w związku z którym amplituda spada do zera (rys. 3a), a faza y zmienia się skokowo od -90 do +90 (rys. 4a). Rezystancja R o obciążenia przetwornika ma znaczący wpływ na dokładność transformacji. Wzrasta ona wraz ze wzrostem wartości R o. Na rys. 4. przedstawiono charakterystyki fazowe przetwornika CR1. Rys. 3. Charakterystyki amplitudowe przetwornika RC1 dla różnych wartości rezystancji obciążenia R o : a) ekranowanego, b) nieekranowanego [opracowanie własne]

Nr 6(520) LISTOPAD-GRUDZIEŃ 2014 21 Rys. 4. Charakterystyki fazowe przetwornika RC1 dla różnych wartości rezystancji obciążenia R o : a) ekranowanego, b) nieekranowanego [opracowanie własne] Badania symulacyjne odnoszące się do charakterystyk amplitudowych i fazowych realnego przetwornika RC2 wykazały, iż jego parametry pozwalają na wierne przenoszenie sygnałów o częstotliwościach do 16 khz. Istotną rolę w dokładności przetwarzania odgrywa rezystancja obciążenia. Wyniki badań przedstawiono w postaci wykresów (rys. 5 a i b). Rys. 5. Charakterystyka przetwornika RC2: a) charakterystyka amplitudowa, b) charakterystyka fazowa [opracowanie własne] 3. TRANSFORMACJA PRZEBIEGÓW ODKSZTAŁCONYCH Indukowana w cewce sem e R (t) ma przebieg prostokątny o wartości max. A = 10 mv, a częstotliwość podstawowa f = 50 Hz (ωt = 314 [1/s] rys. 6). Do przykładowej symulacji transformacji odkształconego przebiegu prądu wybrano klasyczny przebieg piłokształtny (rys. 7) opisany zależnością (1). Rys. 6. Idealny przebieg prostokątny sem e R (t) [opracowanie własne] Rys. 7. Idealny przebieg monitorowanego prądu i(t) indukującego sem e R (t) z rys. 6 [opracowanie własne]

22 MECHANIZACJA I AUTOMATYZACJA GÓRNICTWA Indukowaną sem e R można w przybliżeniu zapisać w postaci sumy pierwszych 21 harmonicznych: (1). Po uwzględnieniu przyjętych założeń otrzymuje się: e R = 12,74 coswt 4,24 cos3wt + 2,54 cos5wt 1,82 cos7wt +.+ 0,61 cos21wt, (2) a po przejściu na zapis sinusoidalny przebieg indukowanej sem e R (t) można zapisać: e R = 12,74 sin(wt+90) + 4,24 sin(3wt+270) + 2,54 sin(5wt+90) + 1,82 sin(7wt+270) +.+ 0,61 sin(21wt+90). (3) Przy założeniu, że stała przekształcania s cewki Rogowskiego dla 1. harmonicznej wynosi [1 mv/a], odpowiadający indukowanej sem e R (t) przebieg indukującego ją prądu i(t) (rys. 7) można zapisać jako:,(4) a po przekształceniu: i (t) = 12,74 sinwt 1,41 sin3wt + 0,51 sin5wt 0,26 sin7wt +.+ 0,03 sin21wt. (5) Siła elektromotoryczna e R (t) cewki Rogowskiego opisana zależnością (3) (rys. 6) składa się z 21 szeregowo ze sobą połączonych źródeł napięciowych (rys. 1) poszczególnych harmonicznych e kr (t). Monitorowany prąd i(t) zastąpiono połączonymi równolegle źródłami prądowymi poszczególnych harmonicznych prądu (5). W tabeli 2. przedstawiono uzyskane z symulacji wartości amplitud i faz poszczególnych harmonicznych: monitorowanego prądu i(t), sem e(t) indukowanej w cewce oraz napięcia U R (t) występującego na przykładowym obciążeniu przetwornika RC1 rezystancją o wartości 20 kω, przy czym: k rząd harmonicznej, I km amplituda k-tej harmonicznej monitorowanego prądu i(t), E km amplituda k-tej harmonicznej indukowanej siły elektromotorycznej e(t), U Rkm amplituda k-tej harmonicznej napięcia U(t) na rezystancji obciążenia R o, y i, y e, y ur fazy początkowe harmonicznych odpowiednio prądu i(t), siły elektromotorycznej e(t), napięcia U R (t). Tabela 2. Wartości amplitud i faz harmonicznych prądu i(t), sem e(t) i napięcia u R (t) na rezystorze R o = 20 kω obciążającym przetwornik RC1 [opracowanie własne] k I km y i E km y e U Rkm y ur - [A] [ ] [mv] [ ] [mv] [ ] 1 12,73 0 12,73 90 12,66 89,5 3 1,41 180 4,24 270 4,22 268,7 5 0,51 0 2,55 90 2,53 87,8 7 0,26 180 1,82 270 1,81 266,9 9 0,16 0 1,41 90 1,40 86,0 11 0,11 180 1,16 270 1,15 265,1 13 0,07 0 0,98 90 0,97 84,2 15 0,06 180 0,85 270 0,84 263,3 17 0,04 0 0,75 90 0,74 82,5 19 0,03 180 0,67 270 0,66 261,6 21 0,03 0 0,61 90 0,60 80,7 Jak wynika z danych przedstawionych w tabeli 2., przetwornik CR1 ze sztucznie zawyżoną wartością indukcyjności wiernie przenosi amplitudy poszczególnych harmonicznych w badanym zakresie do 21. harmonicznej. Największy błąd kątowy, wynoszący ok. 10, występuje przy transformacji 21. harmonicznej. Uzyskanie odpowiedzi na pytanie, czy możliwe jest wykorzystanie indukcyjności własnej cewki jako członu całkującego, wymagało przeprowadzenia symulacji porównawczej transformacji przebiegu prądu (5) przez obydwa przetworniki CR1 i CR2. Przetwornik CR2 jest modelem rzeczywistym. Porównując przebiegi napięć wyjściowych U RC1 i U RC2

Nr 6(520) LISTOPAD-GRUDZIEŃ 2014 23 obu przetworników dla różnych wartości rezystancji obciążenia R o (rys. 8), nietrudno zauważyć, że w miarę jej zmniejszania przebieg napięcia U RC1 hipotetycznego przetwornika RC1 zbliża się (rys. 9b) do idealnego przebiegu monitorowanego prądu (rys. 7). W analizowanym zakresie częstotliwości (do 21. harmonicznej) efekt całkowania występuje, ale tylko w przetworniku o sztucznie zawyżonej wartości indukcyjności. Rys. 8. Przebieg napięcia U R ekranowanego przetwornika RC na tle przebiegu sem E R dla rezystancji obciążenia R o =10 kω: a) przetwornik RC1, b) przetwornik RC2 [opracowanie własne] Rys. 9. Przebieg napięć U R ekranowanych przetworników RC1 i RC2 na tle przebiegu sem E R : a) dla rezystancji obciążenia R o =1 kω, b) dla rezystancji obciążenia R o =100 Ω [opracowanie własne] Natomiast w rzeczywistym przetworniku RC2 nie udało się uzyskać efektu całkowania i nawet przy R o = 100 Ω przebieg napięcia U RC2 rzeczywistego przetwornika RC2 nadal posiada kształt sem E R. Efekt całkowania z pewnością zacznie występować silniej w zakresie bardzo dużych częstotliwości. Nasuwa się tutaj wniosek, że w elektroenergetyce, gdzie pasmo branych pod uwagę harmonicznych kończy się praktycznie na 50. harmonicznej (2,5 khz), nie uda się, niestety, wykorzystać indukcyjności własnej cewki Rogowskiego jako członu całkującego w układach monitorowania i pomiaru prądu. Na rys. 10. przedstawiono powiększony fragment napięcia przetwornika RC2 na tle indukowanej w cewce sem E R. Jak widać, maksymalne różnice wartości chwilowych obu sygnałów wynoszą ok. 0,1 mv, a przesunięcie fazowe praktycznie nie jest zauważalne. Rys. 10. Powiększony fragment przebiegu napięcia U R ekranowanego przetwornika RC2 na tle przebiegu sem E R dla rezystancji obciążenia R o = 20 kω [opracowanie własne]

24 MECHANIZACJA I AUTOMATYZACJA GÓRNICTWA 4. PODSUMOWANIE Jakość przekształcania przetworników prądowonapięciowych z cewką Rogowskiego w znaczącej mierze zależy od ich konstrukcji, a przede wszystkim od obecności ekranów magnetycznych [4] i elektrostatycznych. Dokładność przekształcania jest funkcją zarówno samych parametrów cewki Rogowskiego, wartości rezystancji obciążenia, jak i zakresu częstotliwości transformowanego sygnału. Użycie ekranu elektrostatycznego nie wpływa na charakterystyki amplitudowo-fazowe rzeczywistego przetwornika w zakresie częstotliwości do 10 khz. Wykorzystanie indukcyjności własnej realnej cewki jako członu całkującego jest niemożliwe w zakresie niskiej częstotliwości do ok. 2,5 khz. Użycie analogowych układów całkujących sygnał wyjściowy przetwornika sprawi, iż zaleta w postaci liniowości przekształcania zostanie częściowo utracona. Zastosowanie przetwornika z cewką Rogowskiego do określonego celu (wyłącznie monitorowanie wartości prądu lub jako wielkość wejściowa do zabezpieczeń) musi uwzględniać nie tylko warunki środowiskowe (obecność zakłócających pól elektromagnetycznych) oczekiwany zakres przenoszonych częstotliwości i dokładności transformacji zależy przede wszystkim od parametrów cewki Rogowskiego i rezystancji jej obciążenia. Literatura 1. Habrych M., Lubryka J., Macierzyński D., Kozłowski A., Morawiec M.: Przetwornik prądowo-napięciowy ze zmodyfikowanym rdzeniem amorficznym do pomiarów prądowych przebiegów odkształconych. Mechanizacja i Automatyzacja Górnictwa 2012, nr 10 (500), s. 24-29. 2. Miedziński B., Szkółka S., Borczyński J., Kowalski Z.: Właściwości przetworników prądowych z cewką Rogowskiego w układach pomiarowych zabezpieczeń. Mechanizacja i Automatyzacja Górnictwa 2004, nr 7 (402), s. 77-84. 3. Miedziński B., Szkółka S., Wiśniewski G., Lisowiec A.: Cewki Rogowskiego jako elementy nowoczesnych układów automatyki i pomiarów. Mechanizacja i Automatyzacja Górnictwa 2008, nr 2 (433), s. 23-30. 4. Szkółka S., Zych K.: Wybrane aspekty ekranowania Cewek Rogowskiego. Mechanizacja i Automatyzacja Górnictwa 2014, nr 1 (515), s. 5-13. 5. Szkółka S., Wiśniewski G.: Rogowski coil as a modern sensor for monitoring of current. Przegląd Elektrotechniczny 2009, nr 1, s. 131-135. Artykuł został zrecenzowany przez dwóch niezależnych recenzentów. Pełnych radości, spokoju i nadziei Świąt Bożego Narodzenia oraz zdrowia, szczęścia, optymizmu, energii, wszelkiej pomyślności, ości, sukcesów w życiu prywatnym i zawodowym w Nowym, 2015 Roku wszystkim P.T. Czytelnikom życzy Redakcja MiAG