Podstawy Informatyki Metalurgia, I rok Wykład 3 Liczby w komputerze
Jednostki informacji Bit (ang. bit) (Shannon, 1948) Najmniejsza ilość informacji potrzebna do określenia, który z dwóch równie prawdopodobnych stanów przyjął układ. Jednostka informacji (1b). Bajt (ang. byte) (Shannon, 1948) Najmniejsza adresowalna jednostka informacji pamięci komputerowej, składająca się z bitów. Zazwyczaj przyjmuje się, że 1B = 8b (oktet), ale nie jest to reguła! Najbardziej znaczący bit (bajt) - bit (bajt) o największej wadze (w zapisie z lewej strony). Najmniej znaczący bit (bajt) - bit (bajt) o najmniejszej wadze (w zapisie z prawej strony).
Systemy pozycyjne W pozycyjnych systemach liczbowych ten sam symbol (cyfra) ma różną wartość w zależności od pozycji, którą zajmuje w zapisie danej liczby. x = 4 3 2 1 = 4 i= p podstawa systemu pozycyjnego. c c c c c c i p Do zapisu liczby służą cyfry c i (których jest p) ustawiane na kolejnych pozycjach.pozycje numerujemy od zaczynając od strony prawej zapisu. Każda pozycja posiada swoją wagę równą p i. Wartość liczby obliczamy sumując iloczyny cyfr przez wagi ich pozycji. i
Systemy pozycyjne zapis liczby ułamkowej x = c.... c c c c n 1 2 1 1 2... m = c c n 1 i= m c i p i Część ułamkowa liczby m pozycji. Część całkowita liczby n pozycji. Wartość liczby obliczamy sumując iloczyny cyfr przez wagi ich pozycji.
System dwójkowy (binarny) Gottfried Leibnitz, XVIIw. Cyfry:, 1. Przykład: 11111.111 (2) = 1*2 5 + 1*2 4 + *2 3 + 1*2 2 + 1*2 1 + 1*2. + 1*2-1 + 1*2-2 + *2-3 + 1*2-4 System ten jest wygodny maszyny. Reprezentacja cyfry binarnej zajmuje dokładnie jeden bit. n-cyfrowa liczba binarna bez znaku zajmuje n bitów w pamięci komputera.
Konwersja kodu dziesiętnego na dwójkowy Część całkowitą liczby dzielimy sukcesywnie przez 2 i bierzemy reszty 55.8125 Część ułamkową liczby mnożymy sukcesywnie przez 2 i bierzemy część całkowitą 55 1 8125 27 1 1 625 13 1 1 25 6 5 3 1 1 1 1 55 (1) =11111 (2).8125 (1) =.111 (2) 55.8125 (1) =11111.111 (2)
System szesnastkowy Cyfry:, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. System łaczy zalety systemu binarnego (dobre wykorzystanie pamięci) oraz dziesiątkowego (zwięzłość). Reprezentacja cyfry szesnastkowej zajmuje 4 bity: Cyfra (1) (2) Cyfra (1) 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 1 1 11 1 11 11 111 Przykład: 37.D = 3*16 1 + 7*16 + D*16-1 8 9 A B C D E F 8 9 1 11 12 13 14 15 (2) 1 11 11 111 11 111 111 1111
Reprezentacja liczb całkowitych Założenie: liczba całkowita ze znakiem jest zapisywana w słowach n-bitowych. (Dla przykładu weźmy n = 8). 1 1 1 1 1 znak (najbardziej znaczący bit) moduł liczby (7 bitów). Liczba nieujemna jest kodowana jako: znak i kod binarny modułu tej liczby. np. liczba 55 w przykładzie powyżej.
Liczba ujemna jest kodowana jako: znak 1 i kod binarny modułu tej liczby. Liczba -55 111111 bo 11111 (2) =55 (1) = -55 + Sposób wygodny dla człowieka. Przy operacjach arytmetycznych trzeba porównać znaki. Podwójna reprezentacja liczby : oraz 1 (redundancja). Zakres liczb: [-2 n-1 + 1, 2 n-1-1] (2 n - 1 liczb).
Kod uzupełnień do 1 (U1) Liczba ujemna x (analogicznie przeciwna) jest kodowana na jeden z dwóch (równoważnych) sposobów: negujemy (bitowo) kod binarny modułu x albo bierzemy kod binarny liczby 2 n -1 +x. Sposób 1: liczba -55 1) Kod binarny modułu (=55): 11111 2) Negacja bitowa: 111 Sposób 2: liczba -55 1) Kod binarny liczby 2 8-1 -55 =256-56 =2: 111 Sposób mało wygodny dla człowieka. + Łatwe operacje arytmetyczne. Dwie reprezentacje liczby : oraz 11111111. Zakres liczb: [-2 n-1 + 1, 2 n-1-1] (2 n - 1 liczb).
Zasady dodawania 1 Liczby zapisane w kodzie U1 dodajemy zgodnie z zasadami dodawania dwójkowego, ale 2 jeżeli wystąpi przeniesienie poza bit znaku, to do wyniku należy dodać 1. Z przeniesieniem 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (77) + 1 1 1 1 (-43) 1 1 + 1 1 1 (34) 1 1 1 1 1 1 1 1 (-77) + 1 1 1 1 (-43) 1 1 1 + 1 1 1 1 1 (-12)
Kod uzupełnień do 2 (U2) Liczba ujemna x (analogicznie przeciwna) jest kodowana na jeden z dwóch (równoważnych) sposobów: negujemy (bitowo) kod binarny modułu x i dodajemy 1; bierzemy kod binarny liczby 2 n +x. Sposób 1: liczba -55 1) Kod binarny modułu (=55): 11111 2) Negacja bitowa: 111 3) Dodanie 1: 1111 Sposób mało wygodny dla człowieka. + Łatwe operacje arytmetyczne. Jedna reprezentacja liczby : Zakres liczb: [-2 n-1, 2 n-1-1] (2 n liczb). Sposób 2: liczba -55 1) Kod binarny liczby 2 8-55 =256-55 =21: 1111
Dodawanie w kodzie U2 Dodawanie w kodzie U2 odbywa się zgodnie z zasadami dodawania dwójkowego 1 1 1 1 1 1 1 1 (-77) + 1 1 1 1 (43) 1 1 1 1 1 1 (-34) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (77) + 1 1 1 1 1 (-43) 1 1 (34) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (-77) + 1 1 1 1 1 (-43) 1 1 (-12)
Liczby ułamkowe stałoprzecinkowe Liczba stałopozycyjna (n +m)-bitowa 1 1 1 1 1 posiada n bitów przeznaczonych na część całkowitą oraz m bitów przeznaczonych na kodowanie części ułamkowej. c n 1... c3c2c1c. c 1c 2... c m = Założenie: liczba bez znaku. Wartość największa: 2 n -1 + 1 2 -m = 2 n 2 -m Wartość najmniejsza: + 2 -m = 2 -m n 1 i= m c i p i
Liczby zmiennoprzecinkowe (floating( floating-point numbers) Liczba zmiennoprzecinkowa x =(-1) s m p c s znak liczby, m mantysa, p podstawa systemu, c cecha. m e = 9.19 x 1-31 kg G = 6.67 x 1-11 m 3 kg -1 s -2 N A = 6.22 x 1 23 mol -1
Normalizacja liczby zmiennoprzecinkowej Położenie przecinka w liczbie zmiennoprzecinkowej nie jest ustalone. 273.16 = 2.7316 x 1 2 =.27316 x 1 3 = 27316 x 1-2 Znormalizowana liczba zmiennoprzecinkowa to taka liczba, której mantysa spełnia zależność: W systemie dziesiętnym: czyli m= 1.... 9.999999 1 m <p 1 m 1 W systemie dwójkowym znormalizowana liczba zmiennoprzecinkowa ma zawsze część całkowitą równą ±1.
Zatem, do zakodowania liczby zmiennoprzecinkowej potrzeba zakodować (przyjmujemy, ze podstawa będzie równa 2): znak, mantysę, cechę.
Standard IEEE 754 W celu ujednolicenia reprezentacji binarnej oraz operacji numerycznych na różnych platformach sprzętowych, wprowadzono standard zapisu zmiennoprzecinkowego IEEE 754 (William Kahan). Standard ten definiuje: formaty reprezentacji liczb zmiennoprzecinkowych: single-precision (32 bity), double-precision (64bity), single-extended precision ( 43 bitów) double-extended precision ( 79 bitów, zazwyczaj 8 bitów), wartosci specjalne (np. nieskończoność, NaN), zmiennoprzecinkowe operacje, modele zaokrąglania, wyjątki.
Ogólny format w standardzie IEEE 754 sign(bit znaku): liczba dodatnia, 1 liczba ujemna, exponent (cecha): kod z nadmiarem (BIAS = 2 e-1-1), fraction (mantysa): liczba stałoprzecinkowa, kod U1, pozbawiona najbardziej znaczącego bitu reprezentującego część całkowitą bit ten nie jest przechowywany. e liczba bitów cechy Typ zera liczby nieznormalizowane liczby znormalizowane nieskończoności NaN (nieokreślone) Cecha od 1 do 2 e-1 2 e -1 2 e -1 Mantysa dowolna
Liczby pojedynczej precyzji 31 23 bit znaku: liczba dodatnia, 1 liczba ujemna, cecha: (BIAS =127), zakres: -126 127, mantysa: m =1.fraction Znormalizowane liczby o najmniejszym module: ±2-126 ±1.175494351 1-38 Liczby o największym module: ±((1 - (1/2) 24 )2 128 ) ± 3.428235 1 38
Liczby podwójnej precyzji 63 52 bit znaku: liczba dodatnia, 1 liczba ujemna, cecha: (BIAS =123), zakres: -122 123, mantysa: m =1.fraction Znormalizowane liczby o najmniejszym module: ±2-122 ±2.225738585722 1-38 Liczby o największym module: ±((1 - (1/2) 53 )2 124 ) ± 1.7976931348623157 1 38
Stałe i zmienne Podstawowymi obiektami występującymi w programie są stałe i zmienne. Ich znaczenie jest takie samo jak w matematyce. Stałe i zmienne muszą posiadać nazwę i posiadają przypisaną wartość. Nazwa jest ciągiem znaków, z których pierwszy musi być literą, np.: x, alfa1, pierwiastek1, Obowiązują tylko znaki ASCII (abc...z, ABC...XYZ). Nie ma polskich liter ani greckich. Charakter zmiennych jest deklarowany we wstępnej części programu (zazwyczaj zaraz na początku, przed instrukcjami właściwymi programu)
Zmienne są różnych typów: całkowite : 1, 2, 128 rzeczywiste :.456, -734.129 logiczne : true, false znakowe : imie, adres itp.
Typy zmiennych w Fortranie INTEGER*1 (1 bajt) -128 127 INTEGER*2 (2 bajty) -32768 32767 INTEGER*4 (4bajty) -2147483648 2147483647 REAL*4 (4 bajty) ±1.175494E-38 3.42823E+38 REAL*8 (8 bajtów) ±2.22574D-38 1.797693D+38 COMPLEX (zespolony) para liczb REAL LOGICAL (logiczny).true..false. długość jak INTEGER CHARACTER*1 1 bajt CHARACTER*n n bajtów
SHORTINT (-128..127) INTEGER (-32768..32767} Typy zmiennych w Pascalu LONGINT {-2147483648..2147483647} BYTE {..255} WORD {..65535} 1 bajt 2 bajty 4 bajty 1 bajt 2 bajty BOOLEAN {TRUE/FALSE} logiczny 1/8 bajta CHAR 1 znak STRING -255 znaków REAL {2.9E-39.. 1.7E38} DOUBLE {5.E-324.. 1.7E38} EXTENDED {1.9E-4951.. 1.1E4932} 1 bajt 6 bajtów 8 bajtów 1 bajtów
Typy danych w języku C int - typ całkowity. Zmienne tego typu typu mogą przyjmować wartości całkowite dodatnie lub ujemne. short int - typ całkowity krótki long int - typ całkowity długi float - typ zmiennoprzecinkowy pojedynczej precyzji. double - typ zmiennoprzecinkowy podwójnej precyzji. long double - typ zmiennoprzecinkowy podwójnej precyzji długi. void - typ pusty oznaczający brak wartości (stosowany w ANSI C).Tylko parametry przekazywane do funkcji mogą być typu void (oznacza wtedy, że do funkcji nic się nie przekazuje) lub zwracane przez funkcję (funkcja nic nie zwraca). Oprócz tego typ void może być stosowany przy tworzeniu pewnych typów złożonych. char - typ znakowy. Można za jego pomocą przechowywać znaki w kodzie ASCII. Na ogół typ char ma 1 bajt długości w związku z czym można za jego pomocą przechowywać liczby z zakresu -128.. 127 (jeśli jest ze znakiem) lub.. 255 (jeśli jest bez znaku).
Tablice Tablica jest to struktura danych zawierająca uporządkowany zbiór obiektów tego samego typu i odpowiada matematycznemu pojęciu wektora, macierzy, zmiennych indeksowych, itp. 1 2 3 4 5 6 7 a S = a + + + 1 a 2... a n
Dlaczego tablice? Jeśli n=3, to nie tak ważne. A jeśli n=1? - deklarujemy jedną zmienną tablicową a nie 1 zwykłych. - w programie można łatwo odwołać się do elementu, którego numer jest wyliczany, np.: k=2*i-1 Dla i=5 mamy k=9 Do zmiennej tablicowej A odwołujemy się: x:=a[9], lub x:=a[k], a nawet x:=a[2*i-1] Proste? A gdyby nie było zmiennych tablicowych?
Dlaczego tablice, cd. Przykład programu: k=2*i-1 wybierz k z: 1: x:=a1 2: x:=a2 3: x:=a3... 9: x:=a9... 1: x:=a1 Bez sensu!
Deklraracje tablic FORTRAN: DIMENSION A(1) INTEGER B(55) Uwaga! Indeksy tablic od 1 a(1)..a(1) PASCAL: A:array [1..1] of real; B:array[1..55] of integer; C: double a[1]; int b[55]; Uwaga! Indeksy tablic od a[]..a[99]