M O D E L O W A N I E I N Y N I E R S K I E n r 4 7, I S S N 1 8 9 6-7 7 1 X O K R E L E N I E O S I O B R O T U M A Y C H R O B O T W G Ą S I E N I C O W Y C H D L A P O T R Z E B O P I S U M O D E L E M D W U K O O W Y M K o n r a d M a j k u t 1 a, M a r i u s z G i e r g i e l 1 b 1 K a t e d r a R o b o t y k i i M e c h a t r o n i k, ia k a d e m i a Gƒ r n i c z o -H u t n i c z a a k m a j k u t @ a g h. e d u. p l, b g i e r g i e l @ a g h. e d u. p l S t r e s z c z e n i e P r o b l e m o p i s a n y w n i n i e j s z y m a r t y k u l e j e s t c z c i ą s z e r s z e g o z a g a d n i e n i a z w i ą z a n e g o z p o r u s z ra on bi oe tƒ m w s i g ą s i e n i c o w y c h p o d c z a s s k r t u. Z a g a d n i e n i e t o d o t y c z y d o k a d n i e j k i n e m a t y k i s k r t u k i nc ih e w( id eo l 4 0 k g ) p ozj -a dƒ w g ą s i e n i c o w y c h. T e z a a r t y k u u : d l a p e w n e g o z m i e n n e g o n a d u g o c i g ą s i e n i c y n a c i s k u j e d n o s tp ko om wi e gd o z y g ą s i e n i c ą a p o d o e m, r o d e k o b r o t u g ą s i e n i c y n i e l e y s yn ma e to rs i i g ą s i e n i c y d z i e l ą c e j j e j d u g o ć n a pƒ o -. W n i s e k z t e g o j e s t n a s t p u j ą c y : z m i a n a kr a o d m a s y r o b o t a g ą s i e n i c o w e g om a w p y w n a s p o sƒ b, w j a k i b d z i e o n s k r c a. O p i s a n y t u p r o b l e m j e s t c z c i ą b a d a z w i ą z a n y c h z k i n e m a t y k ą r o b o tƒ w g ą s i e n i c o w y c h y nc a h rƒ p o d -n o a c h. S o w a k l u c z o w e : k i n e m a t y k a, r o b o t y g ą s i e n i c o w e D E F I N I N G A N A X I S O F R O T A T I O N O F S M A L L T R A C K E D R O B O T S F O R T W O - W H E E L E D M O D E L D E S C R I P T I O N S u m m a r y T h e p r o b l e m d e s c r i b e d i n t h i s a r t i c l e i s p a r t o f a w i d e r p r o b l e m o f m o v e m e n t o rf o bt or t a cw kh ed n t u r n i n g ; i t s r e l a t e d t o a p r o b l e m o f t u r n k i n e m a t i c s o f ( sm a x l. l 4 0 k g ) t r a c k e d v e h i c l e s T. h e s i s o f t h e a r t i c l e i s : f o r as -o m e v r i a b l e u n i t a r y p r e s s u r e o f t r a c k s o n g r o u n d, t h e r o t a t i o n c e n t e r o f t h e t r a c k l i e s o u t ion f e syp ml mi et tri y n g l l e n g t h o f t r a c k i n t o e q u a l h a l v e s. T h e c o n c l u s i o n o f t h i s i s : w h e n w e c h a n g e c e n t e r o f m a s s o f t t, ri at c kw ei d l l r o b o t u r n i n d i f f e r e n t w ady e. s c r i b e d p r o b l e m i s p a r t o f w i d e r r e s e a r c h r e l a t i n g t o k i n e m a t i c s o f t r a c k e d rfo -b o t s o n d i f e r e n t g r o u n d s. K e y w o r d s : k i n e m a t i c s, t r a c k e d r o b o t s 1. W S T P T e m a t y k a n i n i e j s z e g o a r t y k u u d o t y c z y s p o s o b u o - p c ą a p o d o e m j a k o p r o s t o k ą t ) O. r y g i n a l n ą p r o p o z y c j ą r u s z a n i a s i r o b o tƒ w g ą s i e n i c o w y c h. W z o r o w a n o s i t u a r t y k u u j e s t z a s t o s o w a n i e m o d e l u d w u k o o w e g o d o gƒ w n i e n a p r a c y [ 1 ] Z. e w z g l d u n a p rƒ b p o w i ą z a n i a o p i s u z a c h o w a n i a p o j a z dƒ w d w u g ą s i e n i c o w y c h. Z aoo - m o d e l u g ą s i e n i c o w e g o z k o o w y m z a s i g n i t o rƒ w n i e n o, e p o j a z d p o s i a d a d w a s z t y w n e k o a, k tƒ re n i i n f o r m a c j i w p r a c a c h [ 2 ], [ 3 ], [ 4 ] i [ 6 ]. M o d e l k i n e m oa td yk ks i z, t a c a j ą s i p o d w p y w e m n a c i s k u n a p o d oa e b. y k tƒ r e g o c z ć j e s t o p i s a n a w t y m a r t y k u l e b d z i e o - w y k l e p i e j z r o z u m i e pć r z y c z y n y u y c i a m o d e l u d w u k o o w e g o r z y s t a n y w o b l i c z e n i a c h d y n a m i k i [ 5 N] a. p o c z ą t k u d o r o z w i ą z a n i a p r o b l e m u r u c h u r o b o t a g ą s i e n oi wc e g o, z a o o n o, e r o z m i a r y r o b o t a s ą n i e w i e l k i e ( o k. 0, 5 nm a j p i e r w n a l e y z d e f i n i o w a ć m o d e l d w u k o o w y. C h a r a k - d u g o c i ), a j e g o m a s a w y n o s i o k o o 4 0 k g. J a k o r o b o t g ą s i e n i c o w y n a l e y r o z u m i e ć p o j a z d z d w o m a g ą s i e n iac- t e r y s t y c z n ą c e c h ą t e g o m o d e l u j e s t t o, e m a t y l k o d w a p u n k t y w s pƒ l n e z p o d o e m. P o z a t y m, j e l i z a o y ć m i. P o z a t y m z a o o n o b r a k n i e z a l e n e j a m o r t y z a c j i kƒ r u c h b e z p o l i z gƒ w ( c z y l i i d e a l n a p r z y c z e p n o ć kƒ d o a z a w i e s z e n i e j e s t s z t y w nre o. z w a o n o r u c h p o p a s keij p o d o a ) m o n a s t w i e r d z i ć, e c h w i l o w a p r d k o ć t y c h p o w i e r z c h n i (p o t r a k t o w a n o o b s z a r s t y k u m i d z y g ą s iie -n 141
O K R E L E N I E O S I O B R O T U M A Y C H R O B O T W G Ą S I E N I C O W Y C H D L A P O T R Z E B O P I S U d wƒ c h p u n k tƒ w w z g l d e m p o d o a j e s t rƒ w n a e ru z ( p u n k t y L i P n a r y s. 1 ). P o n i e w a p o j a z d p o si a d a d w i e g ą s i e n i c e, n a j e d n ą z g ą s i e n i c o d d z i a u j e p o o w a r, M k tƒ r a j e s t s u m ą o m- m e n tƒ w t a r c i a o d p o d o a M o r a z M x- Z a p i s a ć m o n a : M 2 = M + M = M 2 = M ( 2 ) R y s. 1. M o d e l d w u k o o w y Gƒ w n y m c e l e m p r z e j c i a n a m o d e l d w u k o o w y j e s t z n a l e z i e n i e o s i w i r t u a l n y c h kƒ o r a z o d s t p u m i d z y n i m i (r y s. 2 ). J a k w i d a ć, c e l t e n s k a d a s i z d wƒ c h R y s. 3. R y s u n e k p o m o c n i c z y d l a o b l i c z e e t a pƒ w. T e n a r t y k u o p i s u j e e t a p p o s z u k i w a n i a o s i kƒ. W i d a ć w i c, e p o o w a m o m e n t u n a p d o w e g o M p o - t r z e b n a j e s t d o o b r o t u p o j e d y n c z e j g ą s i e no ik cr y e. l o n o j ą j a k o M G ( t a k j a k w e w z o r z e ( 2 ) ). D o d a t k o wmo o n a s t w i e r d z i, ć e p o o w a m o m e n t u M G rƒ w n o w a y m o m e n t o p o r u s k r t u M d o l n e j c z c i g ą s i e n i c y r yz s. 1 ( x < 0, > ). D r u g a p o o w a m o m e n t u M G rƒ w n o w a y m o m e n t o p o r u s k r t u M x- gƒ r n e j c z c i g ą s i e n i c y z r y s. 3 ( x <,L > ). O p i s u j e t o p o n i s z a f o r m u : a R y s. 2. P r z e j c i e z m o d e l u g ą s i e n i c o w e g o n a d w u k o o; w y o p r a c o w a n e n a p o d s t a w i e [ 1 ] P r z y c z y n ą z a s t o s o w a n i a m o d e l u d w u k o o w e g o w o p i s i e ( t a k e i s t e r o w a n i u ) r u c h u p o j a z dƒ ą sw i e gn i oc - w y c h j e s t m o l i w o ć w p r o w a d z e n i a a u t o k a l i b r a c j i zp -o j a Z rƒ w n a n i a ( 3 ) w y n i k a, e : d u, t z n. p o j a z d s a m b d z i e w s t a n i e o k r e l i ć p o o e n i e M M = 0 ( 4 ) o s i kƒ w i r t u a l n y c h o r a z o d s t p u m i d z y n i m i w z ao l- e n c i o d t e g o n a j a k i m p o r u s z a s i p o dao u tu o. k a l i b r a c j a T a k w i c c o d o w a r t o c i m o m e n t t a r c i a d o l n e g o p o l e g a n a w y k o n a n i u p r z e z p o j a z d o k r g u ( p r d k o c i p r z e d z i a u d u g o c i g ą s i e n i c y m u s i b y ć rƒ w n y mno -m e g ą s i e n i c s ą i d e n t y c z n e, k i e r u n k i p r z e c i w n e ). P r o m i e t o w i t a r c i a gƒ r n e g o pe rd z i a u d u g o c i g ą s i e n i c y. N a o k r g u p o z w o l i o k r e l i ć p o o e n i e w i r t u a l n e j o s i kƒ. r y s.3 c e l o w o w p r o w a d z o n o o d l e g o ć a b y s p r a w d z i ć, P o a u t o k a l i b r a c j i u z y s k a n e w y n i k i s ą w p r o w a d z o n e j a k o j a k ą w a r t o ć o n a p r z y j m u j e, g d y r o z k a d o b c i ą e n( ix a ) q p a r a m e t r y d o m o d e l u d w u k o o w e g o. P o w o d e m z a s t o so - n a d u g o c i g ą s i e n i c y j e s t z m i e n n y. B a z u j ą c n a d a l n a w a n i a t a k i c h z a b i e gƒ w j e s t w y p o s a e n i e s t e r o w a n i a r y s.3, m o n a s t w i e r d z i ć, e : r o b o t a w c e c h y a d a p t a c y j n e, t j. d o bƒ r p e w n y c h p a r a me - t rƒ w w p y w a j ą c y c h n a k i n e m a t y k w z a l e n o c i o d r = ψ x ( 5 ) p o d o a. o r a z : r 2. Z D E F I N I O W A N I E O S I S K R T U = x ψ ( 6 ) R O B O T A P o d c z a s s k r t u p o j a z d u g ą s i e n i c o w e g o rp ze o tb n y j e s t m o m e n t n a p d o w y M ( ry s.3 ), k tƒ r y rƒ w n o w a y m o m e n t o p o r u s k r t u p o c h o d z ą c y o d s i t a r c i a o p o d o e. M o n a w i c z a p i s a ć : M = M ( 1 ) M 2 = M 4 = M = M ( 3 ) E l e m e n t a r n a s i a n a c i s k u d N e l e m e n t u g ą s i e n i c y n a p o d o e : dn = q(x)dx ( 7 ) J e l i z a o y ć w s pƒ c z y n n i k t a r c i a p o m i d z y g ą s i e n i c ą a p o d o e m j a k o, w t e d y e l e m e n t a r n a s i a t a r c i a d T p o m i d z y g ą s i e n i c ą a p o d o e m w y n o s i : dt = μdn = μq(x)dx ( 8 ) 142
K o n r a d M a j k u t, M a r i u s z G i e r g i e l E l e m e n t a r n y m o m e n t t a r c i a w d o l n y m o b s z a r z e g ą s i ie -n c y ( x < 0, > ) n a p o d s t a w i e ( 5 ) i ( 8 ) w y n o s i : dm = r dt = μq(x)(ψ x)dx ( 9 ) E l e m e n t a r n y m o m e n t t a r c i a w gƒ r n y m o b s z a r z e g ą s i ei n- c y ( x <,L > n a p o d s t a w i e ( 6 ) i ( 8 ) w y n o s i : dm = r dt = μq(x)(x ψ)dx ( 1 0 ) W z w i ą z k u z t y m z ( 9 ) w y n i k a, e : o r a z z ( 1 0 ) : M = μq(x)(ψ x)dx M = μq(x)(x ψ)dx P o d s t a w i a j ąc ( 1 1 ) i ( 1 2 ) d o,( 4 o ) t r z y m a ć m o n a : μ q(x)(ψ x)dx = 0 C o m o n a z a p i s a ć j a k o : μ q(x)(x ψ)dx ( 1 1 ) ( 1 2 ) ( 1 3 ) R y s. 4. P o o e n i e o s i d l a s t a e g o n a c i s k u q ( x ) P o d s t a w i a j ą c d o ( 1 4 ) i r o z w i ą z u j ą c : 2aL + 3b ψ = 3a + 6b L ( 1 7 ) J e l i u p r oć c i( 1 7 ), p r z y j m u j ą c b = 0 ( f u n k c j a o b c i ą e n i a t rƒ j k ą t n e g o ) : ψ = 2 3 L ( 1 8 ) μ q(x)(ψ x)dx + μ q(x)(ψ x)dx = 0 ( 1 4 ) W rƒ w n a n i u ( 1 4 ) m o n a z r e d u k o w a ć w i e l k o ć, d z i e l ą c o b y d w i e s t r o n y rƒ w n a n i a p r z e z ( c o m o n a u c z y n i ć, g d y w s pƒ c z y n n i k t a r c i a j e s t rƒ n y o d z e r a ). M io - l w o ć r e d u k c j i w rƒ w n a n i u ( 1 4 ) o z n a c z a, e r o d z a j p o d o a n i e m a w p y w u n a p o w y s z ą r e l a c j. J e s t t o p i e r w s z y w n i o s e k w y n i k a jcąy z ( 1 4 ). J e l i p r z, y j ą će q ( x ) = c o n s t = q ( c z y l i r o z k a d o b c i ą e n i a n a c a e j d u g o c i g ą s i e n i c y j e s t as y, j e d n a k o w y ): q (ψ x)dx + q (ψ x)dx = 0 ( 1 5 ) P o d o b n i e j a k w p r z y p a d k u, q j a k o s t a ą m o n a w t e d y w y ą c z y ć p r z e d c a k. N a s t p n iq e z o s t a j ez r e d u k o w a n e, d z i e l ą c p r z e z e o b y d w i e s t r o n y rƒ w n a n i a ( 1 5 ). O b l i c za - j ą c c a k i w ( 1 5 ) i r o z w i ą z u j ą c rƒ w n a n i we z gz l e d u n a o t r z y m a ć m o n a ( r y s. 4 ): R y s. 5. P o o e n i e o s i d l a l i n i o w e g o n a c i s k u q ( x ) W y n i k z ( 1 8 ) p o k a z u j e, e j e l i o b c i ą e n i e g ą s i e n i c y j e s t n i e rƒ w n o m i e r n e, o o b r o t u n i e m u s i z n a j d o w a ć s i w p o o w i e d u g o c i g ą s i e n i c y. D l a o b c i ą e n i ka ą t nrƒ e gj o z o s t a o t o p o k a z a n e n ra y s.5 i j e s t d r u g i m w n i o s k i e m w y c i ą g n i t y m z r e l a c j i ( 1 4 ). 3. P O R W N A N I E T E O R I I Z E K S P E R Y M E N T E M ψ = L R o z w a o n o s y t u a c j p o k a z a n ą n a ry s. 6. P o j a z d gą - ( 1 6 ) 2 s i e n i c o w y, k tƒ r e g o r o d e k m a s y l e n a y o s i s y m e t r i i ( p o o w a d u g o c i g ą s i e n i c, y j) e s t w y p o s a o n y w m a r k e r W y n i k z ( 1 6 ) o z n a c z a, e j e l i r o z k a d o b c i ą e n i a pnra z y m o c o w a n y d o k o r p u s u rƒ w n i e w p o o w i e d u g o c i g ą s i e n i c y j e s t rƒ w n o m i e r n y, t o o b r o t u g ą s i e n i c y z n a j d u j e s i w p o o w i e j e j d u g o c i. g ą s i e n i c y. P r z e p r o w a d z o n o d o w i a d c z e n i e z d o d a t k o w y m o b c i ą e n i e m p o j a z d u p r z y o o n y m w t r z e c h rƒ n y c h Z a o o n o t e r a z q ( x ) j a k o n p. f u n k c j t r a p e z o w ą m i e j s c a c h n a j e g o d u g o c i. q ( x ) = a x + b. 143
OKREŚLENIE OSI OBROTU MAŁYCH ROBOTÓW GĄSIENICOWYCH DLA POTRZEB OPISU W pierwszym przypadku obciążenie jest przyłożone z przodu pojazdu (F), w drugim na środku długości gąsienicy (C), w trzecim w tylnej części pojazdu (R). Za każdym razem pojazd startuje z tego samego punktu startowego (SP) i obraca się o 360. Poza tym, założono przeciwne kierunki ruchu gąsienic. Wartości prędkości gąsienic muszą jednak pozostać identyczne. Jest to bardzo istotne założenie z punktu widzenia doświadczenia. Oczekiwano różnego zachowania się pojazdu podczas skrętu z powodu zmiany położenia osi obrotu w każdym przypadku. Oczekiwane trajektorie markera zostały pokazane na rys.6. Trajektorie te zostały zweryfikowane za pomocą doświadczenia. Dla celów weryfikacyjnych została przygotowana specjalna niewielka platforma gąsienicowa. Pojazd został wyposażony w obciążenie, które może być przymontowane z przodu (F), w środku (C) oraz z tyłu (R). Pokazano to na rys.7 b). Na pojeździe przyklejono marker w postaci strzałki. Pokazany na rys.7a) jest użyty tylko w celu informacji o tym, gdzie znajduje się przód pojazdu (F). Z kolei przedstawiony na rys.8 ołówek został użyty do rysowania trajektorii środka pojazdu. Trzeba zaznaczyć, że ołówek znajduje się dokładnie w połowie długości gąsienicy. Dla potrzeb tego artykułu zastosowano kreślenie trajektorii za pomocą ołówka. Celem jest pokazanie istoty doświadczenia. Dla lepszej analizy trajektorii będą użyte systemy optyczne. Rys. 6. Wpływ zmiany pozycji dodatkowego obciążenia na trajektorię skrętu (skręt 360 ) Rys. 8. Ołówek rysuje trajektorię Rys. 9 pokazuje rezultaty doświadczenia. Tak jak oczekiwano, trajektorie w każdym z trzech przypadków zgadzają się z odpowiadającymi im przewidywaniami z rys.6. Doświadczenie dowodzi, że zmieniając rozkład obciążenia na długości gąsienicy q(x), oś kół wirtualnych (czyli oś, na której znajduje się środek obrotu naszego pojazdu) przesuwa się w kierunku większej koncentracji obciążenia. Rys. 7. Pojazd gąsienicowy użyty w doświadczeniu 144
K o n r a d M a j k u t, M a r i u s z G i e r g i e l 4. W N I O S K I T e n a r t y k u p o k a z u j e p i e r w s z y e t a p t w o r z e n i a m o d e l u d w u k o o w e g o d l a p o j a z dƒ w g ą s i e n i c o w y c - h z n a j d y w a n i e T a k j a k w i da ć z p o p r z e d n i e g o r o z d z i a u, d o dw -i a o s i kƒ w i r t u a l n y c h m o d e l u. D r u g i e a t a p o s z u k i w a n i e c z e n i e p o tw i e r d z a t e o r i D. l a t e g o t e m o n a u y ć t e o ri i o o d s t p u p o m i d z y k o a m i w i r t u a l n y m i z a l e y o d p o l i z g u z m i e n n e j o s i o b r o t u w k i n e m a t y c e n i e w i e l k i c h r o b o tƒ w p o m i d z y g ą s i e n i c a m i a p o d o e m i n i e z o s t a o mƒ w i o n y g ą s i e n i c o w y c h. W s z c z e gƒ l n o c i n a u w a g z a s u g u j e f a k t w, t y m a r t y k u l e. C a o ć t w o r z y m o d e l d w u ko o w y e p o j a z d m o e s i a u t o k a l i b r o w a ć w c e l u z n a l e z i e n i z a r y s.2. J a k t o z o s t a o s t w i e r d z o n e w r o z d z i a l e t r z e c i m, s w o j e j a k t u a l n e j o s i o b r o t u. Z r o z d z i a u e gd o r u wg id a ć, z a o o n o p r z e c i w n e k i e r u n k i o b r o tƒ w g ą s i e n i c p r z y c z y m e p o o e n i e o s i p o z o s t a j e s t a e b e z w z g l d u n a p o d o w a e r t o c i p r d k o c i g ą s i e n i c m u s z ą p o z o s t a w a ć i d ez n- t y c p o j a k i m p o r u s z a s i p o j a z d ( j e l i t y l k o p r z e b i e g n a c i n s e k. u N a r y s.1 0 p r z e d s t a w i o no s y t u a c j, k i e d y t o z a o e n i e n a d u g o c i g ą s i e n i c y q ( x ) p o z o s t a j e t e n s a m ). n i e z o s t a o s p e n i o n e T. r a j e k t o r i e m a r k e r a s t a j ą s i s p i r a l a m i, a n i e o k r g a m i, c o j e s t w y m a g a nje a. k k o lw i e k n a w e t i w t y m w y p a d k u w i d a ć w y r a n y w p y w r o z k a d u n a c i s k u q ( x ) n a t r a j e k t o r i s k r t u p o j a z d u. R y s. 1 0. E f e k t, g d y p r d k o c i g ą s i e n i c n i e s ą j e d n a k o w e R y s. 1 1. P r z y k a d r o b o t a g ą s i e n i c o w e g o z e z m i e n n ą o s i ą o b r o t u R y s. 9. W y n i k i d o w i a d c z e n i a N a k o n i e c, n a ry s. 11 p o k a z a n o t y p o w y p r z y k a d ro - b o t a g ą s i e n i c o w e g o z e z m i e n n ą o s i ą o b r o t u. Z e w z g l d u n a z m i a n p o o e n i a p r z e n o s z o n e g o b - o c i ą e n i a z m i e n i a s i r o z k a d n a c i s k u p o w i e r z c h n i o w e g o p o m i d z y g ą s i e n i c a m i a p o d o e m. N a l e y t e n a d m i e n i ć, e e f e k t p r z e s u n i c i a o s i jt ey sm t w y r a n i e j s z y, i m w i k s z y j e s t s t o s u n e k m a s y m a n i p u l o w a n e g o o b c i ą e n i a d o m a s y c a e g o p o j a z d u. P r a c a p o w s t a a w r a m a c h p r o j e k t u r o z w o j o w e g o N R 0 3 0 0 5 7 1 0 d o f i n a n s o w a n e g o p r z e z N C B i R 145
O K R E L E N I E O S I O B R O T U M A Y C H R O B O T W G Ą S I E N I C O W Y C H D L A P O T R Z E B O P I S U L i t e r a t u r a 1. B u r d z i s k i Z.: T e o r i a r u c h u p o j a z d u g ą s i e n i c o w e. g ow a r s z a w : W K, 1 9 7 2. 2. G i e r g i e l J., H e n d z e l Z., yw l. s k: im o d e l o w a n i e i s t e r o wa n i e m o b i l n y c h r o b o tƒ w k o o w y c h. W a r s z a w a : P W N, 2 0 0 2. 3. G i e r g i e l J., H e n d z e l Z, y l s k : i M W o. d e l o w a n i e i s t e r o w a n i e m o b i l n y c h r o b o tƒ w k o o w y c h W. a r s z a w a : W y d. N a u k. P W N, 2 0 0 2. 4. H e n d z e l Z.: S t e r o w a n i e r u c h e m n a d ą n y m m o b i l n y c h r o b o tƒ w k o o w y c h. R z e s zƒ w : O f i c. W y d. Po l i t e c h n i k i R z e s z o w s k i e j, 1 9 9. 6 5. M a j k u t K., G i e r g i e l M :. M o d e l l i n g o f ydn a m i c s o f s m a l l c a t e r p i l l a r. r oi bn o: t M o d e l l i n g a n d O p t i m i z a t i o n o f P h y s i c a l S y s t e m s. G l i w i c e : P o l. l., 2n 0r 1 1, 0, s. 5 3 a 5 8. 6. M a k a P. : P o z y c j o n o w a n i e i n a d ą a n i e m i n oi br o t a k o o w e g o. Pr a c a d o k t o r s k a. K r a kƒ w : A G H, 2 0 0 8. 146