1 Modelos y Simulación - 75.26 Clase 7: Unidad 3: 7-5-2019 Sistemas dinámicos en tiempo continuo Facultad de Ingeniería - Universidad de Buenos Aires Modelos y Simulación - 75.26 - Clase 7
2 Temas de hoy Sistemas dinámicos con tiempo continuo - Material de lectura (esta clase): Libros (Mínimo): [2] Introduction to the Modeling and Analysis of Complex Systems - Sayama, Cap 5 y 6. Libros (opcional): [6] Programming for Computations Python - Linge and Langtangen, Cap 4 [10] Introduction to Computational Science_ Modeling and Simulation for the Sciences - Angela B. Shiflet, George W. Shiflet-(2014), Cap 2,4 y 6 [11] Dynamical Systems with Applications using MATLAB - Stephen Lynch (2014) [12] Essential Matlab for Engineers and Scientists - Brian Hahn and Dan Valentine (2013), Cap 12 Facultad de Ingeniería - Universidad de Buenos Aires Modelos y Simulación - 75.26 - Clase 4
Sistemas dinámicos en tiempo discreto
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<latexit sha1_base64="/vu4i38bcwgwayjaz59la5ocktm=">aaachhicbvdlsgmxfm34rpu16tkfwsk4kdipgi5eim5cvrapaichk8m0oznmkgse0nbpb/gdbvup3ilbwr/wo8y0g2jrhcdjoefemxw/4uxpx/m0fhaxlldwc2vf9y3nrw17z7eh4lqswicxj2xlx4pyjmhdm81pk5eurz6ntb9/nenneyovi8wdhitujxbxsjarra3l2qejdjfuahtodifoipy5v0bweilpljllz1jwhqaclebenc/+6gqxssmqnofyqtzyeu0osdsmcdoudljfe0z6uevbbgocueuojx8zwypdbdcmptlcwwn7u2oii6ugkw+cedy9natl5l9aolkbm9t1eo4omuhstqwzlg9tdnums6rgwcqlmg8mweqy835ielhiok2errmmmo1hhjqqzwtw7wmpepvhvad74bacawtoqbxcgbqoawiewbn4bi/wo/vqvvnvu+uclffsgt9lfxwd6ksgcq==</latexit> <latexit 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Cambio de variables 6 A veces es conveniente definir un cambio en la variables de estado para simplificar las ecuaciones del sistema. Ejemplo: ecuación logística para crecimiento poblacional Logistic Map
Comportamiento asintótico sistemas no-lineales 7 Sistemas Lineales: ya lo vimos (un único punto fijo) El análisis de la dinamica de sistemas no-lineales es complicado pero lo que podemos hacer es analizar el comportamiento en un entorno reducido de los puntos fijos.
Comportamiento asintótico sistemas no-lineales 8 En un entorno reducido, el sistema se comporta como un sistema lineal con una matriz determinada por el Jacobiano de la función no lineal evaluada en el punto fijo Sistema Lineal!!!
Comportamiento asintótico sistemas no-lineales 9
Sistemas dinámicos en tiempo continuo
Sistemas dinámicos en tiempo continuo 11
Sistemas dinámicos en tiempo continuo 12 Ejemplo: Segundo orden Primer orden no-autónomo (dos dimensiones) Introducimos variable clock Primer orden autónomo (3 dimensiones)
Sistemas dinámicos lineales en tiempo continuo 13
Simulación de sistemas no-lineales autónomos en tiempo continuo (discretización) 14 Método de Euler (MALO!!) Método más preciso: Algoritmo de Runge-Kutta orden 4: Método más eficiente con discretización adaptativa En MATLAB: En Python:
<latexit sha1_base64="ixykwuy1bgojoy2l7fehsx6chjc=">aaacaxicbzc7sgnbfizn4y3g26qnydmyhggrdkxqjhc00dkcuuasw+zsbdjk9slmwuly1szxsbfqxna3spntncrbapshgy//nmoz8zur4aos68vilswula/kvwtr6xubw+b2tkofsasstkmrypzdfbm8yhxgifgrkoz4jmbnz3g5qtfvmvq8dg5hhlgut/ob9zglok2eudfxjkgjo0otf1jcwvel0d3xucxqmuwrbe2f/4kdqrflqvxmz44b0thnavbblgrbvgtdhejgvlc00ikviwgdkj5rawyiz1q3mv6q4kptunglpx4b4kn7cyihvljj39gdpogbmq9nzp9q7ri8827cgyggftdzii8wgei8iqo7xdikyqybumn1xzedeb0j6nakogr7/us/0dgp25pvtovviyyopnphb6iebhsgquga1vadufsantalejuejwfjzxifteambgyx/zlx8q20mzw5</latexit> <latexit sha1_base64="ixykwuy1bgojoy2l7fehsx6chjc=">aaacaxicbzc7sgnbfizn4y3g26qnydmyhggrdkxqjhc00dkcuuasw+zsbdjk9slmwuly1szxsbfqxna3spntncrbapshgy//nmoz8zur4aos68vilswula/kvwtr6xubw+b2tkofsasstkmrypzdfbm8yhxgifgrkoz4jmbnz3g5qtfvmvq8dg5hhlgut/ob9zglok2eudfxjkgjo0otf1jcwvel0d3xucxqmuwrbe2f/4kdqrflqvxmz44b0thnavbblgrbvgtdhejgvlc00ikviwgdkj5rawyiz1q3mv6q4kptunglpx4b4kn7cyihvljj39gdpogbmq9nzp9q7ri8827cgyggftdzii8wgei8iqo7xdikyqybumn1xzedeb0j6nakogr7/us/0dgp25pvtovviyyopnphb6iebhsgquga1vadufsantalejuejwfjzxifteambgyx/zlx8q20mzw5</latexit> <latexit sha1_base64="ixykwuy1bgojoy2l7fehsx6chjc=">aaacaxicbzc7sgnbfizn4y3g26qnydmyhggrdkxqjhc00dkcuuasw+zsbdjk9slmwuly1szxsbfqxna3spntncrbapshgy//nmoz8zur4aos68vilswula/kvwtr6xubw+b2tkofsasstkmrypzdfbm8yhxgifgrkoz4jmbnz3g5qtfvmvq8dg5hhlgut/ob9zglok2eudfxjkgjo0otf1jcwvel0d3xucxqmuwrbe2f/4kdqrflqvxmz44b0thnavbblgrbvgtdhejgvlc00ikviwgdkj5rawyiz1q3mv6q4kptunglpx4b4kn7cyihvljj39gdpogbmq9nzp9q7ri8827cgyggftdzii8wgei8iqo7xdikyqybumn1xzedeb0j6nakogr7/us/0dgp25pvtovviyyopnphb6iebhsgquga1vadufsantalejuejwfjzxifteambgyx/zlx8q20mzw5</latexit> <latexit sha1_base64="ixykwuy1bgojoy2l7fehsx6chjc=">aaacaxicbzc7sgnbfizn4y3g26qnydmyhggrdkxqjhc00dkcuuasw+zsbdjk9slmwuly1szxsbfqxna3spntncrbapshgy//nmoz8zur4aos68vilswula/kvwtr6xubw+b2tkofsasstkmrypzdfbm8yhxgifgrkoz4jmbnz3g5qtfvmvq8dg5hhlgut/ob9zglok2eudfxjkgjo0otf1jcwvel0d3xucxqmuwrbe2f/4kdqrflqvxmz44b0thnavbblgrbvgtdhejgvlc00ikviwgdkj5rawyiz1q3mv6q4kptunglpx4b4kn7cyihvljj39gdpogbmq9nzp9q7ri8827cgyggftdzii8wgei8iqo7xdikyqybumn1xzedeb0j6nakogr7/us/0dgp25pvtovviyyopnphb6iebhsgquga1vadufsantalejuejwfjzxifteambgyx/zlx8q20mzw5</latexit> Análisis de sistemas dinámicos en tiempo continuo 15 Condición de punto fijo: dx dt = G(x )=0 Ejemplo 1: modelo logistico continuo Puntos fijos Ejemplo 2: modelo Lotka-Volterra Puntos fijos
Ejemplo: Contagio de enfermedades (epidemias y pandemias) Modelo matemático SIR (contagio entre personas) Variables S(t): Susceptibles I(t): Infectados Ecuaciones diferenciales R(t): Recuperados Parámetros : Nro. de contacto : Duración de la enfermedad
Simulaciones Runge-Kutta (1) Susceptibles Infectados
Simulaciones Runge-Kutta (2) Susceptibles Infectados
Simulaciones en Matlab (1) Código MATLAB: link Github Definición de Modelo SIR Método de Euler
Código MATLAB: link Github Simulaciones en Matlab (2) Método de Runge Kutta Orden 4
Simulaciones en Matlab (3) Ejemplo de código para la simulación modelo SIR Código MATLAB: link Github
Casos de estudio más complejos Propagación de Malaria A Multipatch Malaria Model with Logistic Growth Populations, Gao, D. and Ruan, S., SIAM J. App. Math., 72 (3), 2012. 1. Vector de contagio = mosquito 2. Se considera un modelo con ecuaciones diferenciales en multiples zonas geográficas (multipatch). 3. Se estudian los efectos de las migraciones humanas. Efectos de la vacunación en enfermedades Rich Bifurcation Structure in a Two-Patch Vaccination Model, Knipl, D., Pilarczyk, P. and Rost, G. SIAM J. App. Dyn. Syst., 14 (2), 2015. 1. Impacto de las migraciones entre grandes ciudades 2. Distintos tipos de evolución dependiendo del parámetro de reproducción. 3. El parámetro de reproducción se puede controlar con un plan de vacunación.
Linearización de Sistemas No-Lineales 23
Linearización de Sistemas No-Lineales 24
Material de Lectura - Material de lectura (esta clase): Libros (Mínimo): [2] Introduction to the Modeling and Analysis of Complex Systems - Sayama, Cap 5 y 6. Libros (opcional): [6] Programming for Computations Python - Linge and Langtangen, Cap 4 [10] Introduction to Computational Science_ Modeling and Simulation for the Sciences - Angela B. Shiflet, George W. Shiflet-(2014), Cap 2,4 y 6 [11] Dynamical Systems with Applications using MATLAB - Stephen Lynch (2014) [12] Essential Matlab for Engineers and Scientists - Brian Hahn and Dan Valentine (2013), Cap 12 - Leer para la próxima clase: Libros (Mínimo): [2] Introduction to the Modeling and Analysis of Complex Systems - Sayama, Cap 8. Libros (opcional): [11] Dynamical Systems with Applications using MATLAB - Stephen Lynch (2014), Cap 3 y 13