"Maemac ą ja Facuz: coolwe m ę powe od azu pzeładają o a wój wła jęz wówcza aje ę o czmś zupełe m." Joha Wola Goehe Weźm : m m Jeżel zdeujem ucje pomoccze j : j dla j = m o = m dze = Czl wacz pzeaalzowad ucję : De. Nech cą =. Mówm że cą ma acę = oz. lm = ε > : < ε Np. Waż że Tw. WKW zbeżośc cąu lm 4 4 : 4 4 lm :......... lm
Dowód: boę dowole > dla dla = ma *.. + Np. Oblcz Odp.: Zadae: Zbadaj zbeżośd cąów: a = 4 +5 + + + + + b = + + + + + + + = + + + 4 +...... j j j...... :... 4 lm 4 lm e e
De. Nech Ooczeem puu o pomeu > azwam K = * : < + Sąedzwem puu o pomeu > azwam S = K \{ + De. Mówm że ucja : ma w puce acę oz. lm = de. Cauche o ε > δ > K δ : < ε de. Heeo > S : lm = lm = zauważm że dla jeżel pzjmem wpółzęde beuowe = coα = α o = + = lm = lm + coα + α jeżel lm + coα + α e zależ od wbou α π Np. Oblcz. lm lm co lm co lm lm Odp.: ucja e ma ac w puce lm co lm co lm lm lm
.. Zadae: Zbadaj ee ac ucj: a lm + b lm + c lm + + co lm lm co lm lm lm lm lm co lm lm
De. Nech : Gacam eowam ucj w puce azwam ażdą z ac lm lm - oaz lm lm -. Tw. o acach eowach Jeżel eje lm = oaz > + : lm = φ [ lub > + : lm = φ ] o eje aca eowaa lm lm - = [ lub lm lm - = ] Dowód: weźm dowol cą lm lmlm aalocze w dum pzpadu. lm lm lm lm Np. Oblcz ace eowae dla w. lm lm lm lm lm lm.
Zadae: Oblcz ace eowae: a = w + = b = co + w + = c = e + + w = Woe: Jeżel ace eowae ucj w puce e ą ówe o ucja e ma ac w m puce. De. Mówm że ucja : je cąła w puce D lm = Mówm że ucja : je cąła w zboze X D je cąła w ażdm puce zbou X Woe: Suma locz loaz złożee ucja odwoa o le eje z ucj cąłch ą cąłe w zboach w óch ą oeśloe. Np. Zbadaj cąłośd. je cąła w \{}. je cąła w \{: = =-}
Zadae: Zbadaj cąłośd ucj: a = + + = b = l + = c = = De. Nech :. - ą pochodą cząową pochodą cząową wzlędem zmeej ucj w puce azwam lczbę oz. Woe: Wze właośc pochodej ucj jedej zmeej ouje ę do pochodch cząowch ucj welu zmech. Np. Oblcz pochode cząowe.............. lm l ac
+. = + = dla = + + + dla = = lm = lm = lm = = lm = + = + + + e eje Zadae:. Wlcz pochode cząowe: a = l b z = z + + z c z = ac z. Zbadaj ee pochodch cząowch w podach puach: a = + = = b = + 4 + 4 = + = 4 c z = +z + z z = + z =
De. Nech : ma wze pochode cząowe w Różczą ucj w puce azwam odwzoowae czl d = = d : Woe: d : je omą lową = Np. Napz óżczę w puce - ucj = l+ d - = 5 4 5 = + = + = 5 = 4 5 Zadae: Wlcz óżcz w podach puach ucj: a = w = π b z = l + z w z = 4 c = ac + w = De. Mówm że : je óżczowala w eje d oaz lm d = dze = + + + je pzoem zupełm ucj dla pzou
Tw. Jeżel : ma wze pochode cząowe cąłe w o je óżczowala w Dowód: Nech = d = + = + + + + + = = + + + + + z w. Laae a eją ξ θ ae że + + + = + ξ + + = + θ = + ξ + - + + θ - + + d lm = Np. Zbadaj óżczowalośd w puce ucj
= + + + = 4 + + lm 4 + + = lm = 4 co 4 α + co α α coα α = lm lm 4 = lm 4 = 4 czl e je cąła aalocze dla zbadajm cz mmo o ucja je óżczowala d lm + = lm + + lm ucja e je óżczowala = = lm dla + + = + lm = = coα = α
Zadae: Zbadaj óżczowalośd: a = l + w = b = c = + = w = z + + z z z = w z = Iepeacja eomecza óżcz Fucja : je óżczowala w eje powezcha cza do weu = w puce Tw. Jeżel : je óżczowala w o powezcha cza do weu = w puce ma ówae - = d dze Δ= Dowód: = płazczza cza do ucj : w puce je wzaczoa pzez dwe poe: czą do pzeoju weu z= płazczzą ówolełą do Oz pzechodzącą pzez czą do pzeoju weu z= płazczzą ówolełą do Oz pzechodzącą pzez weo euowe ch poch o: czl weo omal do płazczz czej α = α: + z = α: z = + α: z = d
Np. Napz ówae płazczz czej do = l w puce = = = = : z = : z = Zadae: Napz ówaa płazczz czej do weu ucj w podam puce: a = + w = b = w = c = ac + w = Tw. Jeżel : m dla = mają wze pochode cząowe w puce =... om oaz : ma wze pochode cząowe w puce =... o: Dowód: = = lm = lm... j j j m = + m m = + m + m m m =
ech = m = m = + m m = + m m z cąłośc ucj mam = lm + + = lm = + + + + + = = lm lm + + + lm + m m + + lm lm + lm + m m = lm + + lm = = + = = +
Np. Oblcz pochode cząowe ucj złożoej dla = l = = Zadae: Oblcz pochode cząowe ucj złożoej: a dla = + l = e + ac = ac b dla z = + z = coco = co = c dla z = z = = = + l 6 l 6