WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI

KLASA I Tytuł modułu Umiejętności podstawowe: konieczne i podstawowe : rozszerzające, wykraczające i dopełniające I. LICZBY zaznacza na osi liczbowej punkty odpowiadające liczbom całkowitym, wymiernym (np. 1 1 2, 1 ), parom liczb 2 2 przeciwnych odczytuje współrzędne punktów na osi liczbowej oblicza odległość między punktami odpowiadającymi liczbom wymiernym oblicza sumy, różnice, iloczyny i ilorazy liczb całkowitych określa znak iloczynu i ilorazu liczb całkowitych stosuje zasady dotyczące kolejności wykonywania działań w prostym wyrażeniu arytmetycznym na liczbach całkowitych wymienia dzielniki naturalne liczb dwucyfrowych uzasadnia podzielność liczb naturalnych przez 2, 3, 4, 5, 9 i 10 podaje przykłady liczb pierwszych i złożonych rozkłada liczbę na czynniki pierwsze wyznacza największy wspólny dzielnik liczb naturalnych rozwiązuje proste zadania tekstowe, wykorzystując działania w zbiorze liczb całkowitych podaje cyfry używane do zapisu liczb w systemie rzymskim zamienia liczby zapisane w systemie rzymskim na liczby zapisane w systemie dziesiętnym (i odwrotnie) zamienia ułamek niewłaściwy na liczbę mieszaną (i odwrotnie) skraca i rozszerza ułamki zaznacza na osi liczbowej liczby spełniające dany warunek określa, ile liczb całkowitych spełnia dany warunek uzasadnia podzielność liczb naturalnych przez 6, 8, 15, 20 itd. stosuje podzielność liczb naturalnych do rozwiązywania zadań tekstowych rozwiązuje zadania o podwyższonym stopniu trudności dotyczące liczb zapisanych w systemie rzymskim stosuje ułamki do rozwiązywania zadań tekstowych oraz osadzonych w kontekście praktycznym oblicza wartości wyrażeń arytmetycznych zawierających ułamki zwykłe i dziesiętne skończone zgodnie z własną strategią obliczeń; podaje ich interpretację wyznacza cyfrę znajdującą się na podanym miejscu po przecinku w rozwinięciu dziesiętnym liczby szacuje wyniki działań, w tym w zadaniach osadzonych w kontekście praktycznym stosuje cechy podzielności do uzasadniania ogólnych własności liczb całkowitych lub ich sum rozwiązuje zadania o podwyższonym stopniu trudności dotyczące działań na liczbach całkowitych i wymiernych

stosuje ułamki do zamiany jednostek zamienia ułamki zwykłe na dziesiętne (i odwrotnie) dodaje, odejmuje, mnoży i dzieli ułamki zwykłe oraz dziesiętne oblicza wartość wyrażenia arytmetycznego zawierającego działania na ułamkach, stosując zasady dotyczące kolejności wykonywania działań sprawdza, o ile lub ile razy jedna liczba jest większa od drugiej stosuje działania na ułamkach do rozwiązywania zadań tekstowych porównuje liczby wymierne zapisane w różnych postaciach zaokrągla liczbę z podaną dokładnością ocenia, czy przybliżenie zostało podane z nadmiarem czy z niedomiarem szacuje wartości prostych wyrażeń arytmetycznych buduje wyrażenia arytmetyczne odpowiednie do kontekstu praktycznego zadań tekstowych

II.POTĘGI I PIERWIAS TKI oblicza wartości potęg liczb wymiernych o wykładnikach naturalnych zapisuje liczbę w postaci potęgi określa znak potęgi w prostych przypadkach zapisuje w postaci jednej potęgi iloczyn i iloraz potęg o takich samych podstawach zapisuje w postaci jednej potęgi potęgę potęgi stosuje prawa działań na potęgach do obliczania wartości prostych wyrażeń arytmetycznych oblicza wartości pierwiastków kwadratowego i sześciennego z liczby nieujemnej oblicza wartości prostych wyrażeń arytmetycznych, w których występują pierwiastki kwadratowe lub sześcienne, pamiętając o zasadach dotyczących kolejności wykonywania działań wyznacza liczbę podpierwiastkową, gdy dana jest wartość pierwiastka kwadratowego lub sześciennego stosuje pierwiastek drugiego stopnia do rozwiązywania prostych zadań dotyczących pól kwadratów i objętości sześcianów zamienia w prostych przypadkach jednostki długości, prędkości i pola określa znak potęgi w trudniejszych przypadkach porównuje liczby zapisane w postaci potęg zapisuje potęgę w postaci iloczynu lub ilorazu potęg o takich samych podstawach zapisuje w postaci jednej potęgi iloczyny i ilorazy potęg o takich samych wykładnikach stosuje prawa działań na potęgach do upraszczania wyrażeń algebraicznych oblicza wartości wyrażeń arytmetycznych, w których występują pierwiastki kwadratowe lub sześcienne, pamiętając o zasadach dotyczących kolejności wykonywania działań porównuje liczby, stosując własności działań na pierwiastkach kwadratowych i sześciennych stosuje zamianę jednostek do rozwiązywania zadań praktycznych rozwiązuje zadania o podwyższonym stopniu trudności dotyczące potęg i pierwiastków III. PROCENT Y zamienia procenty i promile na ułamki (i odwrotnie) określa, jakim procentem całości jest jej część w prostych przypadkach określa, jakim procentem jednej liczby jest druga liczba oblicza procent danej liczby oblicza w pamięci liczbę, gdy dany jest jej procent, np.10%, stosuje procenty w zadaniach o kontekście praktycznym, m.in. dotyczących stężeń, diagramów, lokat bankowych, obniżek, podwyżek wyznacza liczbę, znając jej procent, również w zadaniach osadzonych w kontekście praktycznym oblicza, o ile procent jedna liczba jest większa lub

IV.FIGURY PŁASKIE 50%, 1% oblicza, w prostych przypadkach, cenę towaru po obniżkach lub podwyżkach w prostych przypadkach porównuje cenę wyjściową z ceną po podwyżkach lub obniżkach wykorzystuje procenty do rozwiązywania prostych zadań praktycznych wskazuje proste równoległe i prostopadłe oraz odcinki równoległe i prostopadłe sprawdza, czy punkty są współliniowe oblicza długość łamanej przy danych długościach jej boków oblicza miary wskazanych kątów w prostych przypadkach (również kątów tworzonych przez wskazówki zegara), korzystając z własności kątów przyległych, wierzchołkowych, odpowiadających i naprzemianległych konstruuje prostą prostopadłą i prostą równoległą do danej prostej i przechodzącą przez dany punkt konstruuje symetralną odcinka i dwusieczną kąta oraz kąty o miarach 30, 45, 60 opisuje proste konstrukcje geometryczne sprawdza, czy istnieje trójkąt o danych kątach wyznacza miarę trzeciego kąta w trójkącie klasyfikuje trójkąty ze względu na miary kątów lub długości boków sprawdza, czy dane trójkąty są przystające; podaje cechę, z której przystawanie wynika (w prostych przypadkach) rozpoznaje i nazywa czworokąty mniejsza od drugiej porównuje cenę wyjściową z ceną po podwyżkach i obniżkach stosuje pojęcie punktu procentowego do opisu zmiany wielkości stosuje obliczenia procentowe do rozwiązywania zadań osadzonych w kontekście praktycznym stosuje procenty do rozwiązywania zadań o podwyższonym stopniu trudności uzasadnia własności trójkątów i czworokątów rozwiązuje zadania o podwyższonym stopniu trudności dotyczące figur na płaszczyźnie, w szczególności trójkątów i czworokątów

V. WYRAŻEN IA ALGEBRAI CZNE stosuje własności kątów i przekątnych, w kwadratach, prostokątach i rombach (w prostych przypadkach) oblicza pola trójkąta i czworokąta w prostych przypadkach zaznacza punkty w układzie współrzędnych i odczytuje współrzędne zaznaczonych punktów oblicza pola trójkątów prostokątnych i prostokątów, znając współrzędne ich wierzchołków oblicza wartość liczbową wyrażenia algebraicznego opisuje proste związki między wielkościami za pomocą wyrażeń algebraicznych nazywa dane wyrażenia algebraiczne rozpoznaje wyrażenia, które są jednomianami; podaje ich przykłady podaje współczynniki liczbowe jednomianów porządkuje jednomiany mnoży jednomiany wypisuje wyrazy sumy algebraicznej wskazuje wyrazy podobne w sumie algebraicznej redukuje wyrazy podobne w sumie algebraicznej dodaje i odejmuje sumy algebraiczne w prostych wyrażeniach algebraicznych mnoży sumy algebraiczne przez jednomiany w prostych przypadkach wyłącza podany czynnik z wyrazów sumy poza nawias buduje i przekształca proste wyrażenia algebraiczne odpowiednio do kontekstu wynikającego z treści rozwiązywanego zadania stosuje wyłączanie wspólnego czynnika poza nawias do uzasadniania ogólnych własności liczb stosuje wyrażenia algebraiczne do zapisu zależności między różnymi wielkościami rozwiązuje zadania o podwyższonym stopniu trudności dotyczące wyrażeń algebraicznych

VI. RÓWNANI A VII. SYMETRIE sprawdza, czy dana liczba jest rozwiązaniem równania sprawdza, czy równania są równoważne rozwiązuje proste równania liniowe z jedną niewiadomą zapisuje zależności między wielkościami za pomocą równań liniowych z jedną niewiadomą (w prostych przypadkach) rozwiązuje proste zadania tekstowe, w tym dotyczące procentów, stosując równania liniowe porównuje liczby, używając symboli nierówności zaznacza na osi liczbowej zbiór liczb spełniających warunek typu: x 3, x <5 zapisuje nierówność, jaką spełniają liczby zaznaczone na osi liczbowej sprawdza, czy dana liczba jest rozwiązaniem nierówności oblicza, ile liczb naturalnych (całkowitych) spełnia podaną nierówność (w prostych przypadkach) wyznacza wskazaną wielkość z podanych wzorów, w tym wyrażających zależności fizyczne i geometryczne (w prostych przypadkach) znajduje obraz punktu w symetrii względem danej prostej lub względem danego punktu znajduje obraz trójkąta w symetrii względem prostej równoległej do jednego z boków rysuje obraz kwadratu w symetrii względem jednego z wierzchołków wskazuje oś symetrii i środek symetrii danej figury (jeśli rozwiązuje równania liniowe z jedną niewiadomą, tworząc własną strategię rozwiązania wyznacza wskazaną niewiadomą z równania z większą liczbą zmiennych stosuje pojęcia równania sprzecznego i równania tożsamościowego analizuje treść zadania tekstowego, układa równanie, rozwiązuje je i podaje odpowiedź rozwiązuje zadania tekstowe, w tym dotyczące procentów, stosując równania liniowe zaznacza na osi liczbowej zbiór liczb spełniających warunek typu: - 1 x < 3 zapisuje nierówność, jaką spełniają liczby zaznaczone na osi liczbowej (w trudniejszych przypadkach) oblicza, ile liczb naturalnych (całkowitych) spełnia podaną nierówność wyznacza wskazaną wielkość z podanych wzorów, w tym wyrażających zależności fizyczne i geometryczne; podaje konieczne założenia stosuje równania w zadaniach, zwłaszcza w zadaniach tekstowych o znacznym stopniu trudności rozwiązuje równania, które są iloczynem czynników liniowych stosuje symetrię osiową do rozwiązywania problemów konstrukcyjnych rozwiązuje zadania, stosując złożenie różnych symetrii oblicza pole części wspólnej figury i jej obrazu w symetrii względem prostej rozwiązuje zadania o podwyższonym stopniu trudności dotyczące symetrii i figur symetrycznych

istnieją); podaje ich liczbę (w prostych przypadkach) podaje przykłady figur osiowosymetrycznych i środkowosymetrycznych znajduje obrazy punktów w układzie współrzędnych w symetrii względem osi układu lub początku układu współrzędnych KLASA II Umiejętności podstawowe Tytuł modułu konieczne podstawowe rozszerzające dopełniajace wykraczające

Umiejętności podstawowe Tytuł modułu 1. Statystyka odczytywać informacje z diagramu odczytywać informacje z tabeli przedstawiać informacje na diagramach i w tabelach konieczne podstawowe rozszerzające dopełniajace wykraczające odczytywać dane przedstawione na diagramie i w tabeli obliczać średnią arytmetyczną wyników wyznaczać modalną wyników wyznaczać medianę wyników interpretować wyniki w oparciu o liczby charakteryzujące zbiór wyników 2. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach obliczać wartość potęgi o wykładniku naturalnym zapisywać potęgi w postaci iloczynu jednakowych czynników obliczać wartość wyrażenia arytmetycznego mnożyć i dzielić potęgi o tych samych podstawach podnosić potęgę do potęgi zapisywać potęgi na różne sposoby zamieniać jednostki z wykorzystaniem zapisu potęgowego upraszczać wyrażenie korzystając ze wzorów na iloczyn i iloraz potęg o tych samych podstawach oraz potęgę potęgi stosować poznane twierdzenia o potęgach obliczać wartości wyrażeń arytmetycznych zawierających potęgi, zgodnie z poznanymi twierdzeniami dostrzegać i formułować reguły 3. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych wykładnikach obliczać potęgi o wykładniku naturalnym zapisywać potęgi w postaci iloczynu jednakowych czynników obliczać wartość wyrażeń arytmetycznych zgodnie z kolejnością wykonywania działań mnożyć i dzielić potęgi o tych samych wykładnikach obliczać wartość wyrażeń, stosując wzory dotyczące działań na potęgach przekształcać wyrażenia algebraiczne do najprostszej postaci doprowadzać wyrażenia algebraiczne do najprostszej postaci zgodnie z poznanymi regułami formułować reguły posługiwać się poznanymi pojęciami matematycznymi

Umiejętności podstawowe Tytuł modułu 4. Potęga o wykładniku całkowitym konieczne podstawowe rozszerzające dopełniajace wykraczające obliczać potęgi liczb o wykładnikach naturalnych wyznaczyć odwrotność danej liczby przedstawić liczbę w postaci potęgi o wykładniku całkowitym obliczać potęgi o wykładniku ujemnym stosować poznane twierdzenia o potęgach do potęg o wykładnikach całkowitych korzystać z poznanych wzorów dotyczących potęg przedstawiać wyrażenia algebraiczne zawierające potęgi o wykładnikach całkowitych w najprostszej postaci zapisywać liczby z wykorzystaniem dziesiątkowego pozycyjnego systemu liczenia i całkowitych wykładników liczby 10 zapisywać liczby w notacji wykładniczej i zamieniać notację wykładniczą na postać dziesiętną formułować reguły posługiwać się poznanymi pojęciami matematycznymi 5. Wielokąty wpisane w okrąg rozpoznawać wielokąty wpisane w okrąg wskazywać środek okręgu opisanego na trójkącie wyznaczać konstrukcyjnie środek okręgu opisanego na trójkącie: ostrokątnym, prostokątnym, rozwartokątnym opisać okrąg na trójkącie korzystać z własności wielokątów wpisanych w okrąg badać własności czworokątów wpisanych w okrąg wyznaczać, o ile to możliwe, środki okręgów opisanych na czworokątach formułować warunki określające możliwości wpisywania wielokątów w okrąg dostrzegać analogie formułować hipotezy 6. Położenie prostej względem okręgu rozpoznawać na rysunku styczne i sieczne badać wzajemne położenie prostych: siecznej i stycznej do okręgu wyznaczać konstrukcyjnie styczną do okręgu znajdować punkty płaszczyzny spełniające podane warunki uzasadnić konstrukcję stycznej do okręgu

Umiejętności podstawowe Tytuł modułu 7. Wielokąty opisane na okręgu konieczne podstawowe rozszerzające dopełniajace wykraczające rozpoznawać trójkąty opisane na okręgu rozpoznawać wielokąty opisane na okręgu wyznaczać środek okręgu wpisanego w trójkąt rysować wielokąty opisane na okręgu wykorzystywać własności wielokątów opisanych na okręgu 8. Obwód i pole koła obliczać i szacować z zadaną dokładnością długość okręgu, gdy dany jest jego promień obliczać pole koła, gdy dana jest długość promienia lub średnicy obliczać długość promienia, gdy dana jest długość okręgu obliczać długość promienia lub średnicy, gdy dane jest pole koła obliczać pole pierścienia kołowego obliczać długość łuku obliczać pole wycinka koła posługiwać się przybliżeniami dziesiętnymi liczby π określać własności odcinka kołowego obliczać pole odcinka kołowego 9. Mnożenie sum algebraicznych obliczać wartości liczbowe wyrażeń algebraicznych redukować wyrazy podobne w sumie algebraicznej mnożyć sumę algebraiczną przez jednomian wyłączać wspólny czynnik poza nawias mnożyć sumy algebraiczne przedstawiać sumę w postaci iloczynu

Umiejętności podstawowe Tytuł modułu 10. Kwadrat sumy wyrażeń algebraicznych konieczne podstawowe rozszerzające dopełniajace wykraczające zapisywać kwadrat sumy dwóch wyrażeń w postaci sumy algebraicznej zapisywać kwadrat różnicy dwóch wyrażeń w postaci sumy algebraicznej przekształcać kwadrat sumy i różnicy dwóch wyrażeń na sumę algebraiczną z wykorzystaniem wzorów skróconego mnożenia stosować praktycznie wzory na kwadrat sumy i kwadrat różnicy do obliczania wartości kwadratów liczb naturalnych przekształcać wyrażenia algebraiczne z wykorzystaniem wzorów skróconego mnożenia uzasadnić geometrycznie wzór na kwadrat sumy rozwiązywać równania z wykorzystaniem wzorów skróconego mnożenia na kwadrat sumy i kwadrat różnicy uzasadniać proste z wykorzystaniem wzorów na kwadrat sumy i kwadrat różnicy 11. Różnica kwadratów wyrażeń algebraicznych stosować wzór na różnicę kwadratów wyrażeń algebraicznych obliczać wartość różnicy kwadratów dwóch liczb naturalnych z zastosowaniem wzoru zamieniać różnicę kwadratów wyrażeń algebraicznych na iloczyn sumy przez różnicę tych wyrażeń korzystać ze wzorów skróconego mnożenia przekształcać wyrażenia algebraiczne z wykorzystaniem wzorów skróconego mnożenia interpretować geometrycznie wzór na różnicę kwadratów wyrażeń algebraicznych rozwiązywać równania z wykorzystaniem wzoru na różnicę kwadratów uzasadniać proste z wykorzystaniem wzorów skróconego mnożenia na różnicę kwadratów

Umiejętności podstawowe Tytuł modułu 12. Przekształcanie wzorów konieczne podstawowe rozszerzające dopełniajace wykraczające przekształcać wyrażenia algebraiczne opisywać sytuację matematyczną wyrażeniem algebraicznym wyznaczać określoną wielkość z podanego wzoru przekształcać wzory 13. Twierdzenie Pitagorasa rozpoznać trójkąt prostokątny spośród trójkątów o podanych długościach boków wyznaczać długość trzeciego boku trójkąta prostokątnego, gdy dane są długości dwóch pozostałych jego boków rozpoznać wśród trójkątów prostokątnych trójkąt egipski podać twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa zbudować kwadrat o polu dwa razy większym od pola danego kwadratu udowodnić twierdzenie Pitagorasa sformułować twierdzenia analogiczne do twierdzenia Pitagorasa dla innych trójkątów niż prostokątne

Umiejętności podstawowe Tytuł modułu 14. Wprowadzenie pojęcia pierwiastka konieczne podstawowe rozszerzające dopełniajace wykraczające wskazać liczbę taką, że po podniesieniu jej do kwadratu, otrzymamy daną liczbę wskazać liczbę taką, że po podniesieniu jej do sześcianu otrzymamy daną liczbę obliczać wartości pierwiastków kwadratowych obliczać wartości pierwiastków sześciennych szacować wartość pierwiastków kwadratowych zaokrąglać wartości pierwiastków kwadratowych ze wskazaną dokładnością umiejscowić liczbę, np. 2, na osi liczbowej oszacować i zaokrąglić niewymierne wartości pierwiastków stosować kalkulator do obliczeń wartości działań na liczbach wymiernych i pierwiastkach o wartościach niewymiernych wskazać podobieństwa i różnice między definicją pierwiastka kwadratowego a definicją pierwiastka trzeciego stopnia 15. Mnożenie i dzielenie pierwiastków obliczać wartości pierwiastków arytmetycznych drugiego i trzeciego stopnia stosować reguły kolejności wykonywania działań zamieniać iloczyn pierwiastków na pierwiastek iloczynu zamieniać iloraz pierwiastków na pierwiastek ilorazu podnosić pierwiastek do potęgi i obliczać jego wartość wyłączać czynnik przed znak pierwiastka włączać czynnik pod znak pierwiastka szacować wartość wyrażenia, w którym występuje pierwiastek usuwać niewymierność z mianownika ułamka

Umiejętności podstawowe Tytuł modułu 16. Budowa odcinków o niewymiernych długościach konieczne podstawowe rozszerzające dopełniajace wykraczające obliczać wartości kwadratów i pierwiastków kwadratowych zastosować twierdzenie Pitagorasa do obliczania długości boków trójkąta prostokątnego rysować odcinki o długościach wyrażonych pierwiastkiem kwadratowym z liczby naturalnej rozstrzygać na podstawie twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa, czy trójkąt o podanych długościach boków jest trójkątem prostokątnym 17. Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa stosować twierdzenie Pitagorasa do rozwiązywania zadań stosować twierdzenie Pitagorasa do obliczenia długości wysokości w trójkątach równoramiennych, równobocznych, przekątnych w prostokątach, kwadratach, rombach stosować wzór na długość przekątnej kwadratu stosować wzór na długość wysokości trójkąta równobocznego uzasadniać i formułować twierdzenia z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa dostrzegać formułować spostrzeżenia

Umiejętności podstawowe Tytuł modułu 18. Twierdzenie Pitagorasa w układzie współrzędnych konieczne podstawowe rozszerzające dopełniajace wykraczające zaznaczać punkty o podanych współrzędnych w układzie współrzędnych rysować wielokąty o podanych współrzędnych wierzchołków obliczać odległość punktu o podanych współrzędnych od początku układu współrzędnych korzystać z twierdzenia Pitagorasa do rozwiązywania zadań wyznaczać długość odcinka o podanych współrzędnych jego końców sprawdzać, czy trójkąty o podanych współrzędnych wierzchołków są prostokątne obliczać pola danych trójkątów i czworokątów z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa i twierdzenia odwrotnego korzystać z poznanych wzorów przy wyliczaniu długości odcinka 19. Przyporządkowani a określać dziedzinę i przeciwdziedzinę przyporządkowań wskazywać wartości przyporządkowania dla konkretnego argumentu dostrzegać i określać przyporządkowania opisywać przyporządkowania na podstawie rysunku, grafu, tabeli, wykresu przedstawiać przyporządkowania na różne sposoby 20. Pojęcie funkcji rozpoznawać, które przyporządkować jest, a które nie jest funkcją odczytywać z wykresu funkcji wartości funkcji dla danego argumentu i odwrotnie określać dziedzinę, przeciwdziedzinę i zbiór wartości funkcji opisywać funkcje różnymi sposobami: słownie, za pomocą grafu, tabeli, wykresu rozpoznawać, czy dany wykres jest wykresem funkcji rysować wykres funkcji na podstawie jej różnych opisów obliczać wartości funkcji dla danego argumentu sprawdzać, czy punkty o podanych współrzędnych należą do wykresu funkcji dostrzegać formułować spostrzeżenia

Umiejętności podstawowe Tytuł modułu 21. Własności funkcji rozpoznawać na podstawie wykresu, czy funkcja jest rosnąca, malejąca, czy stała konieczne podstawowe rozszerzające dopełniajace wykraczające odczytywać z wykresów funkcji przedziały dziedziny, w których funkcja jest rosnąca, malejąca, stała odczytywać z wykresu miejsca zerowe funkcji rysować wykresy funkcji na podstawie informacji o jej monotoniczności i miejscach zerowych dostrzegać formułować spostrzeżenia 22. Proporcjonalność prosta rozpoznawać wykresy proporcjonalności prostej rysować wykresy proporcjonalności prostej wyznaczać wzory proporcjonalności prostej określać położenie wykresu proporcjonalności prostej w zależności od współczynnika proporcjonalności 23. Funkcja liniowa rysować wykresy funkcji liniowych sprawdzać, czy punkt o podanych współrzędnych należy do wykresu funkcji liniowej wyznaczać miejsca zerowe funkcji liniowych wyznaczyć równanie funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez punkty o danych współrzędnych określać własności funkcji liniowej na podstawie jej wzoru 24. Równania liniowe z dwiema niewiadomymi opisywać sytuację za pomocą równania sprawdzać, czy para liczb spełnia równanie pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi rozwiązywać graficzne równania stopnia pierwszego z dwiema niewiadomymi wyznaczać zbiór rozwiązań równania postaci Ax By C 0, gdzie A, B 0

Umiejętności podstawowe Tytuł modułu 25. Układ równań. Interpretacja graficzna konieczne podstawowe rozszerzające dopełniajace wykraczające przedstawiać wykresy równań w układzie współrzędnych sprawdzać, czy dana para liczb spełnia układ równań rozwiązywać graficznie układ równań zapisać układ równań na podstawie rysunku prostych ilustrujących te równania nazywać układy równań 26. Rozwiązywanie układów równań metodą podstawiania sprawdzać, czy dana para liczb jest rozwiązaniem układu równań rozwiązywać układy równań metodą podstawiania rozwiązywać zadania tekstowe za pomocą układu równań nazywać układy równań 27. Ostrosłupy rozpoznawać wśród podanych brył ostrosłupy wyznaczać liczbę: ścian, krawędzi, wierzchołków, wielokąta będącego podstawą ostrosłupa na podstawie podanej własności ostrosłupa rysować siatki ostrosłupów rozpoznawać ostrosłupy prawidłowe rysować ostrosłupy wyznaczać długość krawędzi czworościanu foremnego, gdy dana jest długość sumy wszystkich krawędzi wyznaczać długości krawędzi bocznej i krawędzi podstawy w ostrosłupie prawidłowym rysować zadane przekroje ostrosłupów 28. Pole powierzchni i objętość ostrosłupa obliczać pole powierzchni ostrosłupów obliczać objętość ostrosłupów odczytywać informacje z rysunku wykorzystywać wzory na pole powierzchni ostrosłupów wykorzystywać wzory na objętość ostrosłupów rysować ostrosłupy rysować zadane przekroje ostrosłupów rozwiązywać zadania z wykorzystaniem poznanych zależności dostrzegać zależności pomiędzy graniastosłupami a ostrosłupami o tej samej podstawie i wysokości

Umiejętności podstawowe Tytuł modułu 29. Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa w zadaniach konieczne podstawowe rozszerzające dopełniajace wykraczające rozpoznawać i nazywać graniastosłupy i ostrosłupy określać własności graniastosłupów i ostrosłupów zapisywać związki między długościami boków trójkąta prostokątnego stosować przekształcenia algebraiczne stosować twierdzenie Pitagorasa i twierdzenia do niego odwrotne 30. Określanie szans podawać przykłady doświadczeń losowych odczytywać wyniki doświadczeń losowych wyznaczać wszystkie możliwe wyniki prostych doświadczeń losowych określać zdarzenia danego doświadczenia losowego rysować odpowiednie przekroje graniastosłupów i ostrosłupów obliczać pola trójkątów i czworokątów obliczać długości przekątnych prostopadłościanu i sześcianu obliczać pole zaznaczonego przekroju danej bryły przedstawiać na schematach przebieg doświadczenia losowego określać szanse w typowych grach i doświadczeniach losowych tworzyć modele probabilistyczne dla typowych doświadczeń losowych przewidywać wyniki doświadczenia losowego

Umiejętności podstawowe Tytuł modułu 31. Procent składany wykonywać działania na liczbach wymiernych obliczać procent danej liczby obliczać liczbę, gdy dany jest jej procent konieczne podstawowe rozszerzające dopełniajace wykraczające wykonywać obliczenia z wykorzystaniem procentów obliczać należne odsetki po roku oszczędzania planować i stosować obliczenia na kalkulatorze poszukiwać i porządkować informacje porównywać i analizować dane przedstawione w różny sposób obliczać procent składany KLASA III Umiejętności podstawowe Tytuł modułu KONIECZNE PODSTAWOWE ROZSZERZAJĄCE DOPEŁNIAJACE WYKRACZAJĄCE 32. Histogramy czytać dane przedstawione na diagramach i w tabelach sporządzać diagramy słupkowe interpretować dane przedstawione na diagramach i w tabelach czytać dane zilustrowane piramidą ludności interpretować dane zilustrowane piramidą ludności sporządzać histogramy

Tytuł modułu 33. Rozwiązywanie układów równań Umiejętności podstawowe KONIECZNE PODSTAWOWE ROZSZERZAJĄCE DOPEŁNIAJACE WYKRACZAJĄCE przekształcać równania liniowe na równania równoważne przekształcać układy równań na równoważne układy równań rozwiązywać proste układy równań liniowych metodą przeciwnych współczynników i metodą podstawiania graficznie rozwiązywać układy równań liniowych rozpoznawać układy równań oznaczonych, nieoznaczonych i sprzecznych rozwiązywać układy równań liniowych metodą przeciwnych współczynników graficznie interpretować układy równań oznaczonych, nieoznaczonych i sprzecznych budować schemat blokowy ilustrujący sposób postępowania podczas rozwiązywania układu równań metodą podstawiania

Tytuł modułu 34. Rozwiązywanie układów równań Umiejętności podstawowe KONIECZNE PODSTAWOWE ROZSZERZAJĄCE DOPEŁNIAJACE WYKRACZAJĄCE przekształcać równania liniowe na równania równoważne przekształcać układy równań na równoważne układy równań rozwiązywać proste układy równań liniowych metodą przeciwnych współczynników i metodą podstawiania graficznie rozwiązywać układy równań liniowych rozpoznawać układy równań oznaczonych, nieoznaczonych i sprzecznych rozwiązywać układy równań liniowych metodą przeciwnych współczynników graficznie interpretować układy równań oznaczonych, nieoznaczonych i sprzecznych budować schemat blokowy ilustrujący sposób postępowania podczas rozwiązywania układu równań metodą podstawiania 35. Rozwiązywanie zadań tekstowych za pomocą układów równań rozwiązywać proste zadania tekstowe za pomocą równań rozwiązywać proste zadania tekstowe za pomocą układów równań rozwiązywać zadania tekstowe za pomocą równań rozwiązywać zadania tekstowe za pomocą układów równań

Tytuł modułu 36. Wielkości odwrotnie proporcjonalne Umiejętności podstawowe KONIECZNE PODSTAWOWE ROZSZERZAJĄCE DOPEŁNIAJACE WYKRACZAJĄCE budować tabelki liczbowe przedstawiające podane zależności rozpoznawać wielkości wprost proporcjonalne rozpoznawać wielkości odwrotnie proporcjonalne przekształcać wyrażenia algebraiczne rozwiązywać proste zadania tekstowe zapisywać zależności występujące w zadaniach opisywać wzorem przedstawione zależności stosować wiadomości o proporcjach do rozwiązywania zadań dostrzegać i formułować spostrzeżenia dostrzegać wielkości wprost i odwrotnie proporcjonalne opisywane za pomocą wzorów fizycznych 37. Przykłady funkcji nieliniowych sporządzać wykresy funkcji nieliniowych, wykorzystując tabele sporządzać wykresy funkcji nieliniowych podanych wzorem odczytywać z wykresów podstawowe własności funkcji opisywać przyporządkowania za pomocą wzorów określać dziedziny i zbiory wartości przykładowych funkcji nieliniowych opisywać własności funkcji nieliniowych na podstawie ich wykresów opisywać z wykresów funkcji nieliniowych przedstawioną sytuację z życia codziennego dostrzegać i je uzasadniać formułować hipotezy i je weryfikować uzasadniać badać własności funkcji nieliniowych

38. Proporcje sprawdzać, czy dane liczby tworzą proporcję wskazywać wyrazy skrajne i wyrazy środkowe w podanych proporcjach rozwiązywać równania podane w postaci proporcji rozwiązywać proste zadania tekstowe z zależnościami podanymi w postaci proporcji układać proporcje na podstawie tekstów zadań rozwiązywać zadania tekstowe z zależnościami podanymi w postaci proporcji przekształcać wzory zapisane w postaci proporcji stosować proporcje złożone rozwiązywać zadania tekstowe z wykorzystaniem proporcji złożonej przekształcać wzory zapisane w postaci proporcji złożonych 39. Twierdzenie Talesa stosować twierdzenie Talesa dzielić konstrukcyjnie odcinki na równe części stosować twierdzenie Talesa w sytuacjach realistycznych schematyzować i matematyzować badać stosunki pól figur analizować dowody twierdzeń argumentować uzasadniać dostrzegać i wykorzystywać analogie 40. Podobieństwo figur obliczać wymiary figur podobnych na podstawie skali podobieństwa rysować figury podobne w danej skali wyznaczać skale podobieństw wyznaczać skale, w jakich występują figury podobne uzasadniać, że dane figury są podobne wyznaczać stosunek pól figur podobnych obliczać pola figur podobnych w danej skali dostrzegać i je uzasadniać formułować hipotezy i je weryfikować

41. Podobieństwo trójkątów rozpoznawać trójkąty podobne w oparciu o poznane cechy podobieństwa trójkątów wyznaczać długości odpowiednich boków trójkątów podobnych wyznaczać miary kątów trójkątów podobnych wyznaczać skale podobieństw porównywać pola trójkątów podobnych formułować twierdzenia i twierdzenia do nich odwrotne dostrzegać i je uzasadniać formułować hipotezy i je weryfikować uzasadniać podane wykorzystywać poznane cechy do badania podobieństwa innych figur 42. Wykorzystywanie związków miarowych w trójkątach stosować twierdzenie Pitagorasa do wyliczania długości jednego z boków trójkąta prostokątnego dostrzegać zależności między długościami boków a miarami kątów w trójkątach prostokątnych równoramiennych dostrzegać zależności między długościami boków a miarami kątów w trójkątach prostokątnych, w których miary kątów ostrych są równe 30 i 60 stosować poznane zależności do wyznaczania długości boków w trójkątach prostokątnych dostrzegać związki między kątami w trójkątach prostokątnych a stosunkami długości boków stosować poznane związki miarowe do rozwiązywania zadań, w których występują inne wielokąty wyznaczać związki miarowe w trójkątach prostokątnych równoramiennych oraz trójkątach prostokątnych o miarach kątów ostrych 30 i 60 wykorzystywać poznane związki miarowe występujące w trójkątach prostokątnych do rozwiązywania praktycznych problemów występujących w życiu dostrzegać badać, jak zmienia się stosunek długości odpowiednich boków trójkąta prostokątnego w zależności od miary kąta formułować hipotezy i je weryfikować zapisywać dostrzeżone

43. Walec szkicować bryły obrotowe powstałe z obrotu wskazanych wielokątów względem zadanych osi obrotu wskazywać figury, z których na skutek obrotu względem danej osi można otrzymać daną bryłę obrotową obliczać pola powierzchni bocznych i całkowitych walców obliczać objętości walców szkicować figury, z których na skutek obrotu wokół osi powstała dana bryła wskazywać oś obrotu walca wyznaczać figury tworzące siatkę walca rysować siatki walców wskazywać przekroje walców obliczać poszczególne wymiary walca obliczać wymiary prostokąta, z którego na skutek obrotu względem zadanej osi powstał walec rozwiązywać zadania o treści praktycznej z wykorzystaniem poznanych wzorów na pole powierzchni i objętość walca 44. Stożek wskazywać figury, z których na skutek obrotu względem danej osi można otrzymać stożki podawać wymiary stożków na podstawie długości boków trójkątów prostokątnych, w wyniku obrotu których powstały te stożki obliczać pola powierzchni bocznych i całkowitych stożków obliczać objętości stożków wyznaczać figury tworzące siatkę stożka rysować siatki stożków i ich przekroje szkicować bryły obrotowe powstałe z obrotu wskazanych wielokątów względem zadanych osi obrotu przekształcać wzory rozwiązywać zadania o treści odnoszącej się do rzeczywistości z wykorzystaniem poznanych wzorów na pole powierzchni i objętość stożka wskazywać figury, z których na skutek obrotu względem danych osi można otrzymać stożki ścięte wyznaczać figury tworzące siatkę stożka ściętego szkicować siatki stożków ściętych obliczać objętości stożków ściętych

45. Kula wskazywać figury, z których na skutek obrotu względem danej osi można otrzymać kulę obliczać pola powierzchni kul obliczać objętości kul obliczać pole powierzchni i objętość kuli o zadanym promieniu obliczać długość promienia kuli o podanej objętości lub polu powierzchni rozwiązywać zadania o treści odnoszącej się do rzeczywistości z wykorzystaniem poznanych wzorów na pole powierzchni i objętość kuli 46. Twierdzenie Pitagorasa w przestrzeni rozpoznawać i wyznaczać w bryłach trójkąty prostokątne, których bokami są odpowiednie odcinki obliczać długości odcinków brył niezbędne do obliczania ich pól powierzchni i objętości z zastosowaniem twierdzenia Pitagorasa lub własności trójkątów prostokątnych o kątach ostrych 30 i 60 oraz 45 przekształcać wzory 47. Wielościany foremne rozróżniać wielościany foremne rysować wielościany foremne obliczać długości krawędzi, pola powierzchni i objętości niektórych wielościanów foremnych wyznaczać przekroje wielościanów foremnych dostrzegać i związki zachodzące w wielościanach foremnych oraz między wielościanami o takich samych polach lub długościach krawędzi

48. Podobieństwo w przestrzeni rozpoznawać bryły podobne zgodnie z podanymi zasadami obliczać wymiary brył podobnych do danych obliczać pola powierzchni i objętości brył podobnych do danych wyznaczać skale podobieństw brył podobnych obliczać pola powierzchni i objętości graniastosłupów, ostrosłupów i brył obrotowych stawiać hipotezy i je weryfikować określać zależności między danymi wielkościami 49. Regularności w tabliczce mnożenia dodawać i mnożyć liczby naturalne korzystać z praw działań przedstawiać dowolne liczby naturalne w postaci sum potęg liczby 2 rozumować przez analogię uzasadniać dostrzeżone

50. Starożytne systemy liczbowe zapisywać liczby w różnych systemach liczenia odczytywać liczby zapisane w różnych systemach liczenia zamieniać liczby z systemu dziesiątkowego na dwójkowy zamieniać liczby z systemu dwójkowego na dziesiątkowy porównywać liczby zapisane w systemach dziesiątkowym i dwójkowym 51. Matematyka w gimnazjum samodzielnie poszukiwać odpowiednich materiałów informacyjnych przedstawiać zdobyte informacje stosować różnorodne formy przekazu rozumować przez analogię uzasadniać dostrzeżone