Modelowanie tranzystora MOS

Transkrypt

1 Modelowanie tranzystora MOS 1. Przypomnienie podstawowych wiadomości o modelach elementów Co to jest model elementu? Modelem elementu elektronicznego nazywamy ilościowy opis jego elektrycznych charakterystyk. Dlaczego modelowanie jest bardzo ważne? Parametry układów analogowych bardzo silnie zależą od charakterystyk i parametrów elementów. Co więcej, w wielu przypadkach parametry elementów mogą decydować o tym, czy układ w ogóle działa, czy też nie 1. Nie ma możliwości zbudowania prototypu układu z pojedynczych elementów i doświadczalnego przebadania. Projekt musi oprzeć się na symulacji, a do niej potrzebne są modele elementów. Aby zagwarantować możliwie jak najwyższe prawdopodobieństwo sukcesu projektu, tzn. prawdopodobieństwo, że układ po wykonaniu będzie działał tak jak zamierzył projektant, modele elementów powinny jak najdokładniej opisywać ich rzeczywiste charakterystyki. Wyniki symulacji układu elektronicznego są tylko tak dobre, jak dobre są użyte modele elementów nigdy lepsze. Rodzaje modeli Podział modeli ze względu na sposób opisu: modele analityczne: opisują charakterystyki elementów przy użyciu wzorów i/lub równań matematycznych modele tablicowe: opisują charakterystyki elementów przez podanie tablic wartości prądów dla wybranych dyskretnych wartości napięć obecnie bardzo rzadko stosowane, większość symulatorów nie daje możliwości ich użycia. Dalej będzie mowa wyłącznie o modelach analitycznych. Podział modeli ze względu na pochodzenie użytych w nich wzorów: modele fizyczne: użyte w nich wzory pochodzą z rozwiązania (z reguły uproszczonego) równań opisujących zjawiska fizyczne w elemencie, parametry 1 W układach cyfrowych tak na ogół nie jest. Elementy czynne przebywają w jednym z dwóch stanów skrajnych: włączenia lub wyłączenia. Prąd płynie lub nie, napięcie jest równe napięciu zasilania lub równe zeru. W poprawnie zaprojektowanym układzie parametry elementów mają wpływ na szybkość działania układu, pobór mocy, ale nie na to, czy układ w ogóle działa, czy też nie.

2 liczbowe w tych wzorach mają określony sens fizyczny (np. koncentracja domieszek, ruchliwość nośników itp.) modele typu black box : element jest traktowany jako czarna skrzynka bez wnikania w zjawiska fizyczne, użyte w modelu wzory są arbitralnie dobrane tak, by dobrze aproksymowały obserwowane doświadczalnie charakterystyki, parametry liczbowe w tych wzorach nie mają sensu fizycznego. Modele fizyczne mają wiele bardzo istotnych zalet. Idealny model fizyczny pozwala zrozumieć i zinterpretować obserwowane doświadczalnie charakterystyki elementu, przewidzieć zmiany tych charakterystyk przy zmianach konstrukcji elementu, obliczyć teoretycznie wartości parametrów liczbowych modelu na podstawie znajomości jego struktury fizycznej. Takich idealnych modeli fizycznych jednak nie ma. Bogactwo zjawisk fizycznych w elemencie, ich skomplikowany opis matematyczny, a niekiedy także niepełne zrozumienie tych zjawisk powodują, że modele fizyczne są otrzymywane przy daleko idących uproszczeniach i są zwykle dość grubym przybliżeniem rzeczywistych charakterystyk elementu. Ponieważ jednak potrzebne są modele jak najdokładniejsze, modele fizyczne poprawia się przez wprowadzenie mniej lub bardziej arbitralnie zdefiniowanych dodatkowych składników lub czynników we wzorach, współczynników dopasowujących itp. Tak są zbudowane wszystkie współcześnie używane modele tranzystorów MOS (i wielu innych elementów). W pewnem sensie jest to połączenie modeli fizycznych (równania fizyczne są podstawą modelu) i modeli typu czarna skrzynka (model fizyczny jest poprawiany przy użyciu arbitralnie dobranych zależności empirycznych). Podział modeli ze względu na rodzaj modelowanych charakterystyk: modele DC: opisują charakterystyki elementu dla prądu stałego modele małosygnałowe: opisują właściwości elementu dla sygnałów zmiennych o małej amplitudzie modele zjawisk reaktancyjnych: pojemności (i ewentualnie indukcyjności) występujących w elemencie modele specjalne: opisują inne właściwości elementu istotne tylko w niektórych zastosowaniach, jak np. modele szumowe Podstawą modelowania każdego nieliniowego elementu aktywnego, a w tym tranzystora MOS, jest jego model DC. Jest on niezbędny dla określenia punktu pracy elementu w układzie, tj. składowych stałych prądów i napięć, a także do modelowania działania elementu dla sygnałów o dowolnie dużej amplitudzie i dowolnym kształcie. Model małosygnałowy jest to model dla małych przyrostów napięć i prądów, toteż wynika wprost z modelu DC. W praktyce model małosygnałowy tranzystora MOS jest opisany analitycznymi wzorami wynikającymi ze zróżniczkowania wzorów dla modelu DC, ponieważ różniczkowanie numeryczne jest operacją bardzo mało dokładną.

3 Model małosygnałowy dobrze oddaje właściwości elementu tylko dla sygnałów o małej amplitudzie i małej częstotliwości. Jeżeli chcemy symulować działanie elementu dla dowolnie dużej częstotliwości sygnału, konieczne jest dołączenie modeli zjawisk reaktancyjnych. W przypadku tranzystorów MOS są to modele pojemności występujących w strukturze tranzystora. Pełny model tranzystora umożliwiający wykonanie wszystkich potrzebnych typów symulacji zawiera wszystkie wymienione wyżej rodzaje modeli: model DC, małosygnałowy, pojemności i ewentualnie modele innych zjawisk, np. szumów. 2. Pułapki modelowania Aby prawidłowo i świadomie używać modeli elementów w symulacjach, trzeba pamiętać, że: Dobre dopasowanie modelu DC do charakterystyk doświadczalnych nie zawsze oznacza dobrą dokładość modelowania charakterystyk małosygnałowych. Kilka różnych modeli DC tego samego tranzystora dających na oko podobną dokładność modelowania charakterystyk stałoprądowych może dać zupełnie odmienne charakterytyki małosygnałowe. Dzieje się tak dlatego, że modele małosygnałowe są wrażliwe na lokalne szczegóły kształtu charakterystyki stałoprądowej. Dlatego przy projektowaniu układów analogowych, gdzie parametry małosygnałowe mają zwykle duże znaczenie, jakość dopasowania modelu DC do rzeczywistych charakterystyk nie jest wystarczającym kryterium oceny, czy model jest dostatecznie dobry. Problem ten będzie zilustrowany przykładami na zajęciach projektowych. Dobre dopasowanie modelu małosygnałowego nie musi świadczyć o dobrym dopasowaniu modelu DC. Wynika to z faktu, że znajomość pochodnej funkcji pozwala określić wartość funkcji z dokładnością do stałej całkowania. Niektóre modele tranzystora MOS są dobre w jednych zakresach prądów i napięć, a mało dokładne w innych, lub nawet w ogóle nie opisują niektórych obszarów charakterystyk. Zatem dobór modelu może zależeć od tego, w jakich warunkach ma pracować modelowany tranzystor. W większości modeli tranzystora MOS parametry liczbowe modelu są określone dla tranzystora o ściśle określonych wymiarach kanału, nie można modelu z tymi samymi wartościami parametrów używać do opisu tranzystorów o innych wymiarach (wyjątki od tej zasady będą dalej omawiane). Nie wolno parametrów liczbowych określonych dla konkretnego modelu używać w innym modelu, wyniki będą z reguły błędne. Parametry mające sens fizyczny (np. ruchliwość nośników) mogą mieć w dobrze dopasowanym modelu wartość różną od rzeczywistej wartości fizycznej.

4 O dokładności modelowania elementu decyduje nie tylko jakość użytego modelu, lecz także właściwy dobór parametrów liczbowych modelu. Dobór parametrów modelu dla najbardziej zaawansowanych i skomplikowanych modeli może być bardzo trudny. Często lepszy jest model prostszy, lecz z dobrze dobranymi wartościami parametrów, niż model teoretycznie dokładniejszy, dla którego jednak nie dysponujemy porządnie określonymi wartościami paramterów. Na koniec zasada ogólna: dysponowanie nawet najdokładniejszymi modelami i najlepszym symulatorem nie zwalnia projektanta od zrozumienia działania układu. Wyniki symulacji są niezbędną pomocą w projektowaniu, ale zrozumienia działania układu nie zastępują. Każdy wynik symulacji powinien być krytycznie przeanalizowany: zgadza się z oczekiwanym, czy nie? Jeśli nie, to dlaczego? Ślepa wiara w wyniki symulacji prędzej lub później prowadzi do katastrof projektowych. 3. Najprostszy tranzystor i najprostszy model L x j kana! bramka t ox n+ #ród!o warstwa zubo"ona Qb dren n+ p Model DC Rys. 1. Najprostszy tranzystor MOS Najprostszy tranzystor, dla którego można wyprowadzić najprostsze wzory opisujące model DC, ma: prostą geometrię jak na rysunku wyżej, zerową głebokość wnikania warstw zaporowych źródła i drenu w obszar pod bramką, bardzo długi kanał (w praktyce ten warunek jest spełniony jeśli długość kanału L jest o rząd wielkości większa od wymiarów w głąb : grubości tlenku t ox i głębokości złącz źródła i drenu x j ), bardzo szeroki kanał (szerokość kanału W jest wymiarem prostopadłym do płaszczyzny rysunku), stałą koncentrację domieszek w obszarze pod bramką. Dla takiego tranzystora można wyprowadzić następujący wzór 2 prąd drenu w funkcji napięć bramka-źródło V GS i dren-źródło V DS : określający 2 Wszystkie wzory podawane są dla tranzystora z kanałem typu n.

5 = µc ox W L # ( V "V GS T )V DS " V 2 & DS % ( (1) $ 2 ' W tej zależności µ jest ruchliwością nośników w kanale tranzystora, C ox pojemnością tlenku bramkowego na jednostkę powierzchni, V T napięciem progowym tranzystora, zaś W i L wymiarami kanału. Wzór ten obowiązuje przy daleko idących założeniach upraszczających. Oprócz założeń wymienionych wcześniej obowiązują także m.in. założenia, że: gęstość ładunku ruchomych nośników w kanale jest w każdym punkcie pomiędzy źródłem i drenem taka sama, prąd w kanale jest wyłącznie prądem unoszenia, ruchliwość nośników jest stała i w każdym punkcie jednakowa, nie zależy od wartości napięć polaryzujących, napięcie progowe V T nie zależy od wymiarów tranzystora ani od wartości napięć polaryzujących, podłoże tranzystora jest elektrycznie zwarte ze źródłem, napięcie V GS jest większe lub równe progowemu: V GS V T, napięcie V DS jest mniejsze lub równe napięciu V DSsat zwanemu napięciem nasycenia: V DS V DSsat = V GS - V T. Zakres napięć zdefiniowany dwoma ostatnimi warunkami nazywamy zakresem liniowym (chociaż charakterystyki liniowe wcale nie są). Dla napięć V DS większych od V DSsat prąd drenu ma wartość niezależną od napięcia i równą = µc ox W L ( V GS "V T ) 2 2 (2) Ten zakres napięć nazywamy zakresem nasycenia (bo prąd drenu ulega nasyceniu i przestaje zależeć od V DS ). Dla napięć V GS mniejszych od progowego prąd drenu jest równy zeru. Ten zakres napięć bramki nazywamy zakresem podprogowym. = 0 (3) Wygodnie jest wprowadzić oznaczenia pomocnicze: K = µc ox (4)! = K W L (5)

6 Wzory (1) (3) określają najprostszy model DC tranzystora. Taki model jest przydatny do ręcznych obliczeń projektowych ze względu na prostotę wzorów, i do takich obliczeń będzie wykorzystywany w wykładzie. Wzory (1) (3) są też podstawą najprotszego modelu stosowanego w symulatorach układów elektronicznych, zwanego modelem poziomu 1 (level 1). Jednak obliczenia i symulacje wykonywane przy użyciu tego modelu są bardzo mało dokładne, ponieważ w rzeczywistych tranzystorach żadne z wymienionych wyżej założeń nie jest spełnione. Model małosygnałowy Mówiąc o najprostszym modelu małosygnałowym tranzystora MOS mamy na myśli dwie wielkości 3 : transkonduktancję g m i konduktancję wyjściową g ds, oraz ich zależności od punktu pracy tranzystora, tj. wartości składowych stałych napięć i prądów. Transkonduktancja jest miarą zmian wartości prądu wyjściowego przy zmianach napięcia wejściowego, w układach analogowych jest to ważny parametr decydujący m.in. o wzmocnieniu napięciowym stopni wzmacniających. g m =!!V GS (6) Konduktancja wyjściowa jest miarą wpływu napięcia drenu na wartość prądu wyjściowego g ds =!!V DS (7) W modelu najprostszym obie konduktancje mają wartość równą zeru w zakresie podprogowym. W zakresie liniowym, obliczając odpowiednie pochodne, otrzymujemy g m =!V DS dla zakresu liniowego (8) g m =!( V GS " V T ) = 2! = oraz 2 V GS " V T dla zakresu nasycenia (9) g ds =!( V GS " V T " V DS ) dla zakresu liniowego (10) 3 Konduktancja wejściowa g we jest równa zeru, ponieważ w tranzystorze z izolowaną bramką prąd wejściowy jest równy zeru.

7 g ds = 0 dla zakresu nasycenia (11) Parametry małosygnałowe określone wzorami (8) - (11) dziedziczą małą dokładność modelu (1) - (5). W zakresie podprogowym, a w przypadku konduktancji wyjściowej także w zakresie nasycenia, nie oddają dobrze właściwości tranzystora nawet jakościowo. Niemniej, bywają używane do przybliżonych szacunków w obliczeniach ręcznych. Zdefiniowane wyżej parametry małosygnałowe mogą służyć do analizy układów tylko dla małych częstotliwości, ponieważ nie opisują efektów wynikających z istnienia w strukturze tranzystora pojemności. Pojemności te będą omówione nieco dalej. Będziemy teraz kolejno usuwać założenia upraszczające. W niektórych przypadkach uda się nam nieco poprawić najprostszy model (1) (11). 4. Rozwinięcie i ulepszenia najprostszego modelu Napięcie progowe W najprostszej teorii tranzystora MOS napięcie progowe ma wartość V T =! ms " 2! F " Q B C ox " Q ss C ox (12) gdzie! ms jest różnicą prac wyjścia między półprzewodnikiem, a materiałem bramki (zależy ona od rodzaju materiału bramki oraz od koncentracji domieszek w półprzewodniku),! F jest potencjałem Fermiego w głębi półprzewodnika (zdala od bramki), Q B jest ładunkiem (na jednostkę powierzchni) w warstwie zubożonej 4 (patrz rys. 1), Q ss jest ładunkiem stałym zlokalizowanym w tlenku bramkowym 5 (na jednostkę powierzchni).! F wyraża się wzorem! F = " kt q ln # N & a % ( (13) $ ' n i gdzie N a jest koncentracją domieszki akceptorowej w podłożu, n i samoistną koncentracją nośników. Ładunek Q B jest równy Q b =! 2qN a " Si ( 2# F!V BS ) (14) gdzie! Si jest przenikalnością dielektryczną krzemu, a V BS jest napięciem polaryzacji podłoża, tj. napięciem przyłożonym między podłoże, a źródło tranzystora. Przyjęto konwencję, że napięcie to ma znak ujemny, gdy 4 W tranzystorze n-kanałowym ładunek ten ma znak ujemny. 5 Ładunek ten ma zawsze znak dodatni.

8 polaryzuje obszar kanału względem podłoża zaporowo (taka polaryzacja jest prawidłowa). Wzór (14) ujawnia zależność napięcia progowego od napięcia polaryzacji podłoża. Uwzględniając tę zależność można wzór (12) sprowadzić do postaci V T = V T 0 +! ( 2" F # V BS # 2" F ) (15) w którym V T 0 jest niezależne od polaryzacji podłoża, a współczynnik! jest dany przez! = 2q" Si N a C ox (16) Wzór (15) jest wykorzystywany w wielu modelach tranzystora, także wtedy, gdy napięcia progowego nie wyznacza się ze wzorów (12) - (14). Jest tak dlatego, że zależność (15) oddaje prawidłowo od strony jakościowej i często nieźle od strony ilościowej zależność napięcia progowego od napięcia polaryzacji podłoża (pod warunkiem odpowiedniego doboru wartości parametrów V T 0,! i! F ; mają one zwykle w takich przypadkach niefizyczne wartości). Wpływ modulacji długości kanału Realny tranzystor ma bardziej skomplikowane kształty obszarów. Obszary domieszkowane źródła i drenu zachodzą pod obszar bramki, zatem faktyczna długość kanału jest mniejsza od wymiaru obszaru polikrzemu tworzącego bramkę. Dodatkowo skracają kanał warstwy zaporowe złącz p-n między drenem i źródłem, a podłożem. Szerokość warstwy zaporowej złącza drenu zależy od napięcia drenu, a więc długość kanału także jest zależna od tego napięcia. Rzeczywiste kształty obszarów i długość kanału pokazuje rys. 2. L x j kana! bramka t ox n+ #ród!o warstwa zubo"ona Qb dren n+ Le!L Lt!L p warstwy zaporowe Rys. 2. Struktura tranzystora z uwzględnieniem rzeczywistych kształtów obszarów źródła i drenu oraz warstw zaporowych

9 Rzeczywistą długość kanału L e otrzymamy odejmując od długości konstrukcyjnej 6 L odległości!l, na jakie obszary źródła i drenu zachodzą pod bramkę, oraz głebokości wnikania warstw zaporowych. Warstwę zaporową złącza źródła zwykle ignoruje się, bowiem jej grubość jest mała (złącze niespolaryzowane lub spolaryzowane niezbyt wielkim napięciem), natomiast warstwa zaporowa złącza drenu może mieć istotny wpływ na rzeczywistą długość kanału, na dodatek zależąc od napięcia drenu. Skracanie kanału przy wzroście napięcia drenu oznacza wzrost prądu drenu. Zatem rzeczywista wartość prądu drenu w zakresie nasycenia nie jest stała w funkcji V DS, jak sugerowałby to wzór (2), lecz rośnie ze wzrostem V DS. W najprostszym modelu tranzystora uwzględnia się różnicę między konstrukcyjną, a rzeczywistą długością kanału w następujący sposób. W zależnościach (1) i (2) wprowadza się zamiast L dlugość rzeczywistą L e 1 L e = 1 ( L! 2"L 1+ #V DS) (17) gdzie człon ( 1 +!V DS ) służy do wprowadzenia do modelu zależności długości kanału od napięcia drenu. Jest to zależność o charakterze empirycznym, a! jest parametrem modelu, który dopasowuje się tak, by dobrze przybliżyć zależność prądu drenu w zakresie nasycenia od napięcia drenu. W sumie zależności (1) - (5) uzupełnione zależnościami (15) - (17) stanowią pełny model DC zwany modelem poziomu 1 ( level 1 ) w symulatorach układów elektronicznych. 5. Modele bardziej zaawansowane Model poziomu 1 ((1)-(5), (15)-(17)) nie uwzględnia wielu bardzo istotnych zjawisk fizycznych, które uwidaczniają się zwłaszcza w przypadku tranzystorów o bardzo małych wymiarach. Omówimy kolejno te zjawiska. Prąd podprogowy W rzeczywistym tranzystorze prąd drenu nie staje się dokładnie równy zeru, gdy napięcie bramki spada poniżej napięcia progowego. Dla opisania charakterystyk tranzystora w tym zakresie trzeba odrzucić założenie, że prąd w kanale jest wyłącznie prądem unoszenia. Prąd ten jest zawsze sumą prądu unoszenia i prądu dyfuzji, bowiem w kanale istnieje gradient koncentracji nośników wynikający z wyciągania nośników z kanału przez spolaryzowane 6 W praktyce projektowej przyjęto, że długość kanału, jaką projektuje konstruktor układu i jaka jest używana w symulacji elektrycznej, zwana długością konstrukcyjną, jest równa odpowiedniemu wymiarowi w projekcie topografii układu, natomiast obliczenie rzeczywistej długości kanału dokonywane jest wewnątrz modelu tranzystora. Wymaga to oczywiście podania odpowiednich parametrów modelu, takich jak np.!l.

10 zaporowo złącze drenu, a obecność gradientu koncentracji oznacza występowanie składowej dyfuzyjnej prądu. = u + d (18) Proporcje między tymi składowymi zależą od napięcia bramki, które steruje koncentracją nośników w kanale. Prąd unoszenia u jest proporcjonalny do koncentracji nośników, zaś prąd dyfuzji d do gradientu tej koncentracji (na odcinku od źródła do drenu). Możliwa jest sytuacja, gdy koncentracja jest niewielka, a gradient tej koncentracji mimo to duży, i taka właśnie sytuacja występuje w zakresie podprogowym. W prądzie drenu dominuje wówczas składowa dyfuzyjna, choć składowa unoszenia też nie jest równa zeru. Składową dyfuzyjną można przybliżyć następującą zależnością ( ) W " d = I t exp q V! V GS T $ L e # $ nkt %" ' &' 1! exp (! qv + % DS $ * -' (19) # ) kt,& w której I t oraz n są to parametry modelu zależne od parametrów fizycznych struktury tranzystora. Jak widać, prąd drenu w zakresie podprogowym jest wykładniczą, a nie liniową ani kwadratową funkcją napięcia bramki 7. Pod tym względem tranzystor MOS w zakresie podprogowym przypomina tranzystor bipolarny, w którym również prąd kolektora jest wykładniczą funkcją napięcia emiter-baza. Ten fakt powoduje, że w niektórych układach analogowych tranzystory MOS pracują właśnie w zakresie podprogowym. Z drugiej strony, występowanie prądu podprogowego oznacza, że obniżenie napięcia bramki poniżej V T w rzeczywistości nie powoduje całkowitego wyłączenia tranzystora. Może to mieć pewne niekorzystne skutki w przypadku cyfrowych układów CMOS (zwiększa ich pobór mocy). Modelowanie tego zakresu jest więc bardzo potrzebne. Prąd podprogowy jest uwzględniany w bardziej zaawansowanych modelach tranzystora MOS. Od strony jakościowej zależności składowej unoszenia, dyfuzyjnej oraz całkowitego prądu drenu najdogodniej jest przedstawić w skali półlogarytmicznej (rys 3). 7 Nie tylko składowa dyfuzyjna, ale także składowa unoszenia prądu drenu wykazuje w zakresie podprogowym wykładniczą zależność od napięcia bramki. Jest to pokazane na rys. 3.

11 log d u V T V GS Rys. 3. Składowe prądu drenu i prąd całkowity w skali półlogarytmicznej Wpływ długości kanału na napięcie progowe Porównanie rys. 1 i rys. 2 pokazuje, że w rzeczywistym tranzystorze całkowity ładunek Q b zgromadzony pod bramką jest mniejszy, niż w przypadku wyidealizowanej struktury z rys. 1. Wzór (12) sugeruje, że powinno to spowodować zmianę wartości napięcia progowego, i tak jest w istocie. Im krótszy kanał tranzystora, tym większa część obszaru, w którym występuje ładunek Q b, jest zajęta przez złącza i ich warstwy zaporowe. Powoduje to spadek wartości napięcia progowego przy zmniejszaniu długości kanału. Zaproponowano szereg opisów ilościowych tego zjawiska. Jest ono uwzględniane w bardziej zaawansowanych modelach tranzystora MOS. Obserwuje się jednak także w przypadku tranzystorów wykonywanych przy użyciu najbardziej zaawansowanych technologii zjawisko odwrotne - w pewnym zakresie długości kanału napięcie progowe przy skracaniu kanału rośnie, i dopiero dla bardzo krótkich kanałów zaczyna gwałtownie maleć. Ten efekt wynika z nierównomiernego domieszkowania kanału w kierunku od źródła do drenu, czyli w kierunku równoległym do powierzchni. W nowoczesnych technologiach koncentracja domieszki w kanale jest wyższa w pobliżu źródła i drenu, a niższa w środku kanału. Skracanie kanału powoduje, że średnia koncentracja domieszek rośnie, co powoduje wzrost napięcia progowego.

12 W tranzystorach o krótkim kanale napięcie progowe uzależnione jest też od napięcia drenu, bowiem podnoszenie napięcia drenu powoduje poszerzanie warstwy zaporowej złącza drenu i tym samym skracanie kanału. Wszystkie trzy omówione zjawiska są współzależne. Nie są znane proste wzory je opisujące, ale w zaawansowanych modelach tranzystora MOS zjawiska te są uwzględniane. Nasycenie prędkości nośników w kanale Nośniki mają prędkość unoszenia proporcjonalną do natężenia pola elektrycznego tylko dla małych natężeń tego pola, i tylko dla małych natężeń pola ma sens pojęcie ruchliwości jako stałego współczynnika. W tranzystorach MOS, zwłaszcza w tranzystorach z bardzo krótkim kanałem, natężenia pola są bardzo duże, zarówno dotyczy to pola prostopałego do powierzchnu (pochodzącego od polaryzacji bramki), jak i pola równoległego (pochodzącego od różnicy napięć dren-źródło). W rezultacie założenie, że ruchliwość nośników jest stała, przestaje być spełnione. W silnych polach ruchliwość nośników maleje, w bardzo silnych prędkość unoszenia w ogóle przestaje zależeć od natężenia pola - mówimy, że ulega nasyceniu. Zaproponowano wiele zależności opisujących ten efekt. Mają one charakter empiryczny. Praktycznie wszystkie modele tranzystora MOS poza modelem poziomu 1 zawierają lepszy lub gorszy opis zależności ruchliwości od napięć polaryzujących tranzystor. Spadek ruchliwości nośników w silnych polach elektrycznych powoduje, że zależność prądu drenu od napięcia bramki w zakresie nasycenia zmienia kształt. Zgodnie z (2) zależność ta powinna być kwadratowa: ~ V GS2. Jednak ze wzrostem V GS rośnie natężenie pola elektrycznego w kanale i ruchliwość maleje. Powoduje to, że prąd narasta wolniej. Efekt ten jest szczególnie widoczny w tranzystorach z krótkim kanałem. Powoduje on, że prąd zależy od napięcia bramki w przybliżeniu liniowo, a nie kwadratowo: ~ V GS. Jonizacja lawinowa nośników W kanale tranzystorów MOS o krótkich kanałach panują w typowych warunkach polaryzacji wysokie natężenia pola elektrycznego, w których ujawnia się zjawisko lawinowego powielania nośników. Zjawisko to powoduje dodatkowy wzrost prądu drenu przy dużych napięciach polaryzacji drenu. Jest ono uwzględniane w bardziej zaawansowanych modelach tranzystora MOS przez wprowadzenie dodatkowego czynnika, przez który mnoży się prąd drenu. Znane są różne postacie wzorów opisujących zależność tego czynnika do napięcia drenu, wzory te mają pochodzenie empiryczne. Kilka słów o modelach zaawansowanych Liczba opracowanych i dostępnych w symulatorach modeli tranzystora MOS zbliża się do setki. Większość tych modeli budowano w następujący sposób. Przyjmowano na początek wszystkie założenia modelu najprostszego,

13 odrzucając jedynie założenie o stałej wartości ładunku nośników w każdym punkcie kanału. Otrzymuje się wówczas wzory opisujące prąd drenu o nieco bardziej skomplikowanej postaci, niż wzory (1) - (2), i o większej dokładności (pominiemy je tutaj). Następnie dołączano prąd podprogowy, sklejając w sposób mniej lub bardziej sztuczny charakterystyki prądu unoszenia i prądu dyfuzyjnego. Uwzględniano efekt nasycenia prędkości nośników przez potraktowanie ruchliwości jako zmiennej o wartości uzależnionej od napięć polaryzujących. Uwzględniano efekt jonizacji lawinowej przez wprowadzenie mnożnika prądu drenu uzależnionego od napięcia drenu. Dokładano efekty polaryzacji podłoża oraz krótkiego kanału przez potraktowanie napięcia progowego jako funkcji długości kanału, napięcia polaryzacji podłoża i napięcia drenu. Ze względu na współzależność wszystkich tych zjawisk napięcie progowe w zaawansowanych modelach jest opisane niezwykle złożonymi wzorami o dużej liczbie parametrów. Wzory te przynajmniej w części mają charakter empiryczny. Tak skonstruowane są najczęściej stosowane modele. Praktycznie każdy symulator zawiera wbudowane modele zwane modelami poziomu 2 i 3 ( level 2, level 3 ). Jednak w praktyce przemysłowej używane są powszechnie nowsze modele: BSIM3, BSIM4 i EKV. Modele BSIM 3 i BSIM 4 zostały opracowane w USA i są tam uważane za standard przemysłowy. Są bardzo złożone od strony matematycznej, ale pozwalają uzyskać dobrą zgodność z rzeczywistymi charakterystykami tranzystorów dla najnowocześniejszych technologii, gdzie kanał ma długość poniżej 0,2 mikrometra. Ich poważną wadą jest wielka liczba parametrów: ponad 100 dla modelu BSIM 3, i jeszcze więcej dla BSIM 4. W Europie (na Politechnice w Lozannie) opracowano model EKV. Jest to jedyny znany model, w którym od samego początku uwzględniano zarówno prąd unoszenia, jak i dyfuzyjny. W związku z tym model EKV opisuje w jednolity sposób wszystkie zakresy polaryzacji tranzystora (podprogowy, liniowy i nasycenia), co jest jego wielką zaletą (dzięki temu uzyskuje się m.in. bardzo dobrą dokładność modelowania małosygnałowego). Model EKV jest stosunkowo prosty matematycznie, zawiera nieco ponad 20 parametrów mających w większości charakter łatwych do zinterpretowania wielkości fizycznych. Jest on obecnie uważany za najbardziej dogodny w projektowaniu układów analogowych. Używając symulatorów należy zwrócić uwagę, że chociaż z przyczyn historycznych powszechnie przyjęte jest rozróżnianie modeli przez wartość parametru level, to tylko modele level1, level 2 i level 3 we wszystkich symulatorach oznaczają to samo 8. Pozostałe modele występują w różnych symulatorach pod różnymi numerami. W symulatorze IMiOSpice model BSIM3 występuje jako level 8, model BSIM4 jako level 14, model EKV jako level 44. Jako przykład pokazano niżej charakterystyki wyjściowe generowane dla tego samego tranzystora przez model level 1 i model BSIM3. Kryterium 8 lub prawie to samo istnieją różnice w praktycznej implementacji, na ogól mało istotne.

14 dopasowania modelu był przebieg charakterystyki w zakresie nasycenia dla napięcia bramki wynoszącego 5V. Różnice kształtu charakterystyk są łatwe do zauważenia. ID [A] NMOS device no. 4 Device dimensions: W = 5 um, L = 0.5 um Device model: level VGS = 5 V V V V V 2.5 V V 1.5 V 1 V VDS [V] Rys. 4. Charakterystyki tranzystora o długości kanału 0,5 mikrometra - model level 1

15 ID [A] NMOS device no. 4 Device dimensions: W = 5 um, L = 0.5 um Device model: BSIM3v VGS = 5 V 4.5 V V V V 2.5 V V V 1 V 0.5 V VDS [V] Rys. 5. Charakterystyki tranzystora o długości kanału 0,5 mikrometra - model BSIM3 wersja 3 6. Model małosygnałowy - spojrzenie ogólniejsze Uwzględniając roszerzenia najprostszego modelu (wpływ napięcia drenu na prąd drenu (17), opis prądu podprogowego (19)) można sformułować nieco dokładniejsze wyrażenia opisujące parametry małosygnałowe. Dla transkonduktacji g m otrzymujemy: g m = n kt q dla zakresu podprogowego (20) (w zakresach liniowym i nasycenia obowiązują nadal wzory (8) i (9)). Dla konduktancji wyjściowej g ds, otrzymujemy g ds =! dla zakresu nasycenia (21)

16 Zależność (21) może być używana także w zakresie podprogowym, z tym że parametr! może mieć w zakresie podprogowym inną wartość, niż w zakresie nasycenia. Zauważono, że po odpowiedniej normalizacji zależność transkonduktancji od punktu pracy tranzystora przybiera bardzo prostą postać. Wartość g m jest stała w zakresie podprogowym i odwrotnie proporcjonalna do pierwiastka z prądu drenu w zakresie nasycenia (patrz wzory (20) i (9)). Jeżeli uwzględnimy fakt (nie opisany tutaj wzorami), że spadek ruchliwości nośników w kanale powoduje liniową, a nie kwadratową zależność prądu drenu od napięcia bramki w zakresie nasycenia, to okaże się, że wartość będzie odwrotnie proporcjonalna do wartości prądu drenu, a nie do pierwiastka z tej wartości. Te spostrzeżenia ilustruje rys. 6. Rys. 6. Zależność g m logarytmiczne) od prądu drenu w zakresach podprogowym i nasycenia (skale Co więcej, okazuje się że ten obraz zależości g m od prądu drenu, chociaż został uzyskany z najprostszego modelu, ma charakter ogólny i dobrze oddaje rzeczywiste zależności dla dowolnego tranzystora MOS, a nie tylko tych, które spełniają założenia prostego modelu. Na rys. 6 zaznaczono prąd = I wi umownie dzielący zakres podprogowy od zakresu nasycenia. Stosunek prądu drenu do wartości I wi nazywany jest współczynnikiem inwersji [6]. Współczynnik ten znormalizowany względem wymiarów kanału tranzystora wyraża się wzorem IC = I o! # " W L $ & % (22)

17 gdzie I o jest pewną stałą dla danej technologii, zaś W i L są to wymiary kanału. Wyrażając zależność g m w funkcji tego współczynnika otrzymujemy [7] uniwersalną zależność, którą ilustruje na przykładzie pomiarów tranzystorów wykonanych w technologii CMOS 0,5 µ m rys. 7. Rys. 7. Zależność g m od współczynnika inwersji dla tranzystorów o różnych długościach kanału (od 0,5 µ m do 33,4 µ m) wykonanych w technologii CMOS 0,5 µ m [7]. Spostrzeżenie, że zależność ilorazu g m od współczynnika inwersji ma charakter uniwersalny, jest istotne ponieważ: 1. pozwala ocenić jakość modeli DC tranzystorów MOS: model, który nie oddaje prawidłowo tej zależności, na pewno nie gwarantuje dobrej dokładności modelowania, 2. pozwala analizować i optymalizować projektowane bloki analogowe w bardzo ogólny sposób, co zostanie pokazane w dalszych wykładach. 7. Modelowanie pojemności W tranzystorze MOS mamy zawsze do czynienia z dwoma rodzajami pojemności: pojemnościami bramki (względem źródła, drenu, kanału i podłoża) oraz pojemnościami warstw zaporowych złącz pn źródła i drenu. O tych ostatnich będzie mowa dalej, na razie zajmiemy się pojemnościami bramki. Rys. 8 pokazuje te pojemności: pojemność względem obszaru kanału oraz pojemności zakładek bramki nad drenem i źródłem.

18 Pojemno#$ bramki wzgl%dem obszaru kana"u C GS0 : pojemno#$ "zak"adki" bramki nad!ród"em C GD0 : pojemno#$ "zak"adki" bramki nad drenem bramka n+!ród"o dren n+ p Rys. 8. Pojemności bramki w tranzystorze MOS Pojemności C GS0 i C GD0 można uważać za niezależne od napięć polaryzujących tranzystor. Są one proporcjonalne do szerokości kanału tranzystora i dlatego w modelach tranzystorów są wyrażane jako pojemność na jednostkę długości (a nie powierzchni). Z pojemnością bramki względem obszaru kanału sytuacja jest dużo bardziej skomplikowana. Pojemność ta musi być dla celów symulacji układów elektronicznych rozdzielona na składowe: pojemność bramka-dren, pojemność bramka-źródło i pojemność bramka-podłoże. Sposób tego podziału zależeć musi od napięć polaryzujących. Przykładowo, w zakresie głęboko podprogowym, gdy kanał nie istnieje, uzasadnione jest utożsamienie całej pojemności bramki z pojemnością bramka-podłoże. Gdy kanał istnieje, ekranuje on elektrostatycznie bramkę od podłoża. Wówczas mówienie o pojemności bramka-podłoże traci sens, a pojemność bramki względem kanału musi być w jakiejś proporcji podzielona na dwie: bramka-źródło i bramka-dren. W prostym modelu ( level 1 ) przyjęto dość arbitralnie następujące założenia: 3. całkowita pojemność bramki jest równa C gate = WLC ox (23) 4. w zakresie podprogowym pojemność ta jest równa pojemności bramkapodłoże C GB ; pojemności bramka-dren i bramka-źródło są równe zeru, 5. w zakresie liniowym pojemność ta jest dzielona po połowie między pojemność bramka-dren C GD i pojemność bramka-źródło C GS, pojemność bramka-podłoże jest równa zeru, 6. w zakresie nasycenia pojemność ta jest przypisywana pojemności bramkaźródło C GS, przy czym przyjmuje się, że jest zmniejszona do wartości równej 2WLC ox 3; pojemności bramka-dren i bramka-podłoże są równe zeru.

19 Ponieważ w rzeczywistości pojemności nie zmieniają się w sposób skokowy, w modelu wartości pojemności obliczane według powyższych założeń są w zakresach pośrednich pomiędzy podprogowym a liniowym, czy też liniowym a nasycenia sklejane przy pomocy arbitralnie dobranych krzywych przejściowych. Taki model pojemności cechuje prostota, ale niestety ma on fundamentalną wadę: można pokazać, iż nie spełnia zasady zachowania ładunku. Dlatego wyniki symulacji układów, w których istotna jest zmiana ładunku w funkcji czasu, należy z góry traktować jako bardzo mało dokładne. Zaawansowane modele używają innych, bardziej złożonych metod obliczania pojemności, w których zasada zachowania ładunku nie jest naruszona. 8. Modele obszarów źródła i drenu Źródło i dren są to obszary tworzące złącza pn w stosunku do podłoża, w którym wykonano tranzystor. Uzasadnione jest więc modelowanie ich w taki sposób, w jaki modeluje się diody półprzewodnikowe. Możliwe są dwa podejścia: diody obszarów źródeł i drenów mają model wbudowany do modelu tranzystora, diody obszarów źródeł i drenów są traktowane jako odrębne elementy w schemacie układu. Praktycznie wszystkie modele tranzystora zawierają wbudowane modele diod źródła i drenu. Wadą tego rozwiązania jest to, że w realnym układzie taki sam (w sensie wymiarów kanału) tranzystor może mieć najróżniejsze kształty i wymiary obszarów źródła i drenu. W modelach jest to uwzględnione w taki sposób, że można niezależnie od długości i szerokości kanału podać powierzchnię i obwód drenu i źródła. Ale to nie zawsze rozwiązuje problem. Często stosuje się topografie układu, w których dwa tranzystory mają wspólny dren lub wspólne źródło. Jeśli wówczas odpowiednia dioda jest modelowana w obu tranzystorach, to w rezultacie jest ona w układzie uwzględniona dwukrotnie. W praktyce z modeli diod źródła i drenu wbudowanych w model tranzystora często korzysta się na etapie symulacji układu przez zaprojektowaniem topografii, kiedy dokładne kształty i wymiary źródeł i drenów nie są jeszcze znane. Można wówczas przyjąć minimalne obszary, jakie dopuszczają reguły projektowania. Po zaprojektowaniu topografii można już określić rzeczywiste obwody i powierzchnie źródeł i drenów. Na tym etapie często korzysta się z wyników ekstrakcji schematu z topografii. Programy dokonujące ekstrakcji działają rozmaicie: jedne przypisują obwodom i powierzchniom źródeł i drenów wartości zerowe, i ekstrahują źródła i dreny jako odrębne diody o odpowiednich wymiarach. Inne starają się przypisać właściwe wartości powierzchni i obwodów źródeł i drenów modelom diod wbudowanym w modele tranzystorów, co jednak prowadzi czasem do niejednoznacznych sytuacji (dwa tranzystory o wspólnym drenie!) i błędów w modelowaniu. Bez względu na przyjęty sposób reprezentacji diod źródeł i drenów elementy te są zazwyczaj modelowane przy użyciu najprostszego modelu DC i najprostszego modelu pojemności złączowej. Pojemność złączowa jest zwykle modelowana jako równoległe połączenie dwóch pojemności: pojemności

20 płaskiego dna złącza (proporcjonalnej do powierzchni) i pojemności części obwodowej złącza (proporcjonalnej do obwodu). Taki podział wynika z faktu, że część płaska złącza ma zwykle charakterystykę pojemnościowo-napięciową istotnie różniącą się od charakterystyki części obwodowej. Model DC jest zwykle najprostszym modelem prądu diody (! I = I s exp qu $ + * # & ' 1- (24) ) " nkt %, gdzie parametr I s jest proporcjonalny do powierzchni złącza, zaś n jest stałą, zwykle nieco większą od jedności. Model pojemności także jest zwykle najprostszym modelem pojemności złączowej C j = ( " * 1! * $ ) # C j0 U U dyf m (25) % + - ' & -, gdzie C j0 jest w przypadku dna złącza proporcjonalne do jego powierzchni, a w przypadku części obwodowej złącza - do obwodu. U dyf jest napięciem znanym jako dyfuzyjne z teorii złącza pn, m - współczynnikiem zależnym od rozkładu domieszek. Oba te parametry mają z reguły inne wartości dla dna złącza, a inne dla części obwodowej. Warto w tym miejscu zaznaczyć, że we współczesnych technologiach MOS, gdzie wymiary obszarów są bardzo małe, pojemność części obwodowej złącza może być nie tylko porównywalna, ale nawet większa od pojemności dna. Modele (24) i (25) bywają rozbudowane o dodatkowe poprawki mające na celu poprawę ich numerycznych właściwości. Chodzi tu o uniknięcie wzrostu prądu do bardzo dużych wartości dla dużych napięć U we wzorze (24), i wzrostu pojemności do nieskończoności dla U = U dyf we wzorze (25). Z tymi poprawkami mogą wiązać się dodatkowe parametry modelu. Obszary źródeł i drenów wprowadzają też rezystancje rozproszone, które mogą mieć niepomijalny wpływ na charakterystyki tranzystora. Rezystancje te są zazwyczaj wbudowane w model tranzystora, jednak zwykle wygodniej jest rozpatrywać je jako odrębne elementy pasożytnicze. Warto zwrócić uwagę, że jeśli rezystancje te są wbudowane w model tranzystora, to często mają niezerowe wartości domyślne. Jeśli więc zamierzamy te rezystancje uwzględnić jako odrębne elementy, trzeba odpowiedniemu parametrowi modelu nadać wartość 0, a jeśli chcemy je pozostawić w modelu, powinniśmy zadbać o prawidłowe ich obliczenie.

21 9. Modelowanie szumów W niektórych rodzajach układów analogowych mogą być istotne szumy własne układu. W tranzystorach MOS występują trzy źródła szumów: szumy cieplne szumy typu 1/f, szumy powielania lawinowego. Szum cieplny związany jest z każdym przewodnikiem, a jego fizycznym źródłem są chaotyczne ruchy cieplne nośników ładunku. Jest to szum biały (widmo napięcia szumów jest płaskie). W przypadku tranzystora MOS szumy cieplne są związane z przewodnictwem w kanale, a ich opis ilościowy dany jest wzorem 2 v nth = 8 3 kt q q g m!f (26) Jest to kwadrat średniej amplitudy napięcia szumów odniesionego do bramki tranzystora. Amplituda napięcia szumów jest wprost proporcjonalna do temperatury T i do pasma częstotliwości, w jakim obserwujemy szumy,!f. Szum typu 1/f charakteryzuje się widmem, w którym amplituda maleje z częstotliwością (stąd nazwa). Fizyczne źródła tego szumu nie są do końca wyjaśnione, większość badaczy uważa, że ich źródłem są zachodzące losowo procesy generacji-rekombinacji nośników ładunku w centrach generacjirekombinacji znajdujących się na granicy krzem-sio 2. Kwadrat średniej amplitudy tych szumów odniesiony do bramki tranzystora można przybliżyć zależnością 2 v n1 / f = K f!f (27) µc ox WL f " gdzie K f jest stałym współczynnikiem zależnym od technologii i typu tranzystora, zaś! jest współczynnikiem zwykle bardzo bliskim 1. Szum powielania lawinowego jest istotny tylko wtedy, gdy tranzystor pracuje z dostatecznie wysokim napięciem drenu, przy którym ujawnia się już zjawisko powielania lawinowego nośników, mające również charakter losowy. To źródło szumów można reprezentować przez zastępcze źródło prądowe połączone równolegle z obwodem dren-źródło tranzystora. Kwadrat wartości średniej amplitudy tego prądu jest równy 2 i law = 2qI law!f (28) lub po przeniesieniu na wejście

22 2 v law = 2qI law g m 2!f (29) W tych wzorach I law oznacza składową prądu drenu powstającą na skutek powielania lawinowego. 10. Schematy zastępcze W rozważaniach układowych wygodnie jest posługiwać się schematami zastępczymi reprezentującymi modele elementów. Schemat zastępczy dla sygnałów o dowolnej amplitudzie i częstotliwości (do analiz DC i wielkosygnałowych) wygląda następująco: D C GDO R SD D DB C JD C GD G C GB B C GS C JS C GSO R SS D SB S Rys 9. Wielkosygnałowy schemat zastępczy tranzystora MOS z uwzględnieniem schematów zastępczych obszarów źródła i drenu. Prąd opisany jest modelem DC tranzystora. Schemat zastępczy małosygnałowy jest prostszy, w normalnych warunkach polaryzacji małosygnałowe konduktancje diod źródła i drenu są do pominięcia. Na schemacie uwzględniono natomiast dodatkowe źródło prądowe, które modeluje oddziaływanie polaryzacji podłoża (w modelu wielkosygnałowym odpowiedniego elementu nie ma, ponieważ to oddziaływanie odbywa się poprzez wpływ na wartość napięcia progowego, a więc mieści się w modelu prądu drenu patrz wzór (15)).

23 D C GDO R SD C JD C GD G g m v gs g mb v bs C GB B g ds C GS C JS C GSO R SS S Rys. 10. Małosygnałowy schemat zastępczy tranzystora MOS 11. Skąd się biorą wartości parametrów modeli Każdy model jest przydatny tylko wtedy, gdy znamy właściwe wartości występujących w nim parametrów liczbowych. Właściwe wartości to takie, przy których model w możliwie najdokładniejszy sposób przybliża rzeczywiste charakterystyki elementu. Wartości parametrów modelu najczęściej określane są doświadczalnie. Otrzymuje się je poprzez dopasowanie charakterystyk generowanych przez model do rzeczywistych charakterystyk elementu. Te ostatnie otrzymuje się z pomiarów. Służą do tego struktury próbne zawierające zestawy tranzystorów o różnych, dokładnie znanych wymiarach kanałów. Parametry najprostszych modeli są właściwe tylko dla tranzystorów o takich wymiarach kanału, dla jakich zostały określone. Modele bardziej zaawansowane (BSIM3, BSIM4) mają wbudowane zależności niektórych parametrów (jak np. napięcie progowe) od wymiarów kanału. Parametry określone dla tych modeli mogą być zwykle stosowane dla tranzystorów o różnych wartościach szerokości i długości kanału. Określanie optymalnych wartości parametrów jest trudne, tym trudniejsze, im więcej parametrów ma dany model. Najczęściej służą do tego specjalne programy komputerowe dobierające według pewnej strategii parametry modelu tak, aby uzyskać najlepsze dopasowanie charakterystyk z modelu do rzeczywistych (np. metodą najmniejszych kwadratów). W praktyce projektant układów korzysta zwykle z modeli, dla których wartości parametrów podał producent układów.

24 Parametry modeli mogą też być obliczane teoretycznie, przy użyciu symulatorów elementów półprzewodnikowych, które generują symulowane charakterystyki elementów (poprzez rozwiązywanie odpowiednich układów równań różniczkowych opisujących zjawiska fizyczne w elemencie). Do nich mogą być następnie dobierane wartości parametrów modelu. Parametry otrzymane tą metodą na ogół gorzej odwzorowują rzeczywiste charakterystyki elementów, ponieważ symulowane charakterystyki nigdy nie są takie same, jak rzeczywiste. Literatura i inne dostępne materiały [1] Y.P.Tsividis, Operation and modeling of the MOS transistor, McGraw-Hill, New York, [2] F.Maloberti, Analog design for CMOS VLSI systems, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, [3] R.L.Geiger, P.E.Allen,N.R.Strader, VLSI design techniques for analog and digital circuits, McGraw-Hill, New York, [4] (modele BSIM3 i BSIM4: opisy, dokumentacja, kody w jęz. C). [5] (model EKV: opisy, dokumentacja, kody w jęz. C) [6] E.Vittoz, Micropower techniques, w: Design of MOS VLSI circuits for telecommunications, Prenitce Hall, [7] D.Foty, Modernizing the framework for deep submicron design - for CMOS and beyond, w: Proc. of MIXDES 2003, Łódź, 2003.