Modelos y Simulación

Transkrypt

1 1 Modelos y Simulación Clase 7: Unidad 3: Sistemas dinámicos en tiempo continuo Facultad de Ingeniería - Universidad de Buenos Aires Modelos y Simulación Clase 7

2 2 Temas de hoy Sistemas dinámicos con tiempo continuo - Material de lectura (esta clase): Libros (Mínimo): [2] Introduction to the Modeling and Analysis of Complex Systems - Sayama, Cap 5 y 6. Libros (opcional): [6] Programming for Computations Python - Linge and Langtangen, Cap 4 [10] Introduction to Computational Science_ Modeling and Simulation for the Sciences - Angela B. Shiflet, George W. Shiflet-(2014), Cap 2,4 y 6 [11] Dynamical Systems with Applications using MATLAB - Stephen Lynch (2014) [12] Essential Matlab for Engineers and Scientists - Brian Hahn and Dan Valentine (2013), Cap 12 Facultad de Ingeniería - Universidad de Buenos Aires Modelos y Simulación Clase 4

3 Sistemas dinámicos en tiempo discreto

4 <latexit sha1_base64="ry2hfclp+qgtk4hruggj2opqcce=">aaab83icbzdlsgmxfibp1futt6pln8eivbdlrgtdcevbxfawf2jhkkkzbwgme5kmwia+hhsxirj1zdz5nqbtllt1qmjh/59dtv5acqan6347uaxlldw1/hphy3nre6e4u9fqcaiirzoyx6ovye05e7rumog0jrxfucbpmxhet/zmi1waxelejct1i9wxlgqegyt1nh5o0cw6kdv7ufssurv3wmgrvaxkkfwtw/zq9gksrfqywrhwbc+vxk+xmoxwoi50ek0ljkpcp22lakdu++l05ze6skophbgyrxg0vx9ppdjsehqftjpczqdnvyn4n9dothjhp0zixfbbzg+fcucmrpmaui8psgwfwcbembsrigosmde2poinwzv/8ii0tiue5buzuvuqiympb3aizfdghkpwczwoawejz/akb07ivdjvzsesnedkm/vwp5zph4nekay=</latexit> <latexit sha1_base64="ry2hfclp+qgtk4hruggj2opqcce=">aaab83icbzdlsgmxfibp1futt6pln8eivbdlrgtdcevbxfawf2jhkkkzbwgme5kmwia+hhsxirj1zdz5nqbtllt1qmjh/59dtv5acqan6347uaxlldw1/hphy3nre6e4u9fqcaiirzoyx6ovye05e7rumog0jrxfucbpmxhet/zmi1waxelejct1i9wxlgqegyt1nh5o0cw6kdv7ufssurv3wmgrvaxkkfwtw/zq9gksrfqywrhwbc+vxk+xmoxwoi50ek0ljkpcp22lakdu++l05ze6skophbgyrxg0vx9ppdjsehqftjpczqdnvyn4n9dothjhp0zixfbbzg+fcucmrpmaui8psgwfwcbembsrigosmde2poinwzv/8ii0tiue5buzuvuqiympb3aizfdghkpwczwoawejz/akb07ivdjvzsesnedkm/vwp5zph4nekay=</latexit> <latexit sha1_base64="ry2hfclp+qgtk4hruggj2opqcce=">aaab83icbzdlsgmxfibp1futt6pln8eivbdlrgtdcevbxfawf2jhkkkzbwgme5kmwia+hhsxirj1zdz5nqbtllt1qmjh/59dtv5acqan6347uaxlldw1/hphy3nre6e4u9fqcaiirzoyx6ovye05e7rumog0jrxfucbpmxhet/zmi1waxelejct1i9wxlgqegyt1nh5o0cw6kdv7ufssurv3wmgrvaxkkfwtw/zq9gksrfqywrhwbc+vxk+xmoxwoi50ek0ljkpcp22lakdu++l05ze6skophbgyrxg0vx9ppdjsehqftjpczqdnvyn4n9dothjhp0zixfbbzg+fcucmrpmaui8psgwfwcbembsrigosmde2poinwzv/8ii0tiue5buzuvuqiympb3aizfdghkpwczwoawejz/akb07ivdjvzsesnedkm/vwp5zph4nekay=</latexit> <latexit sha1_base64="ry2hfclp+qgtk4hruggj2opqcce=">aaab83icbzdlsgmxfibp1futt6pln8eivbdlrgtdcevbxfawf2jhkkkzbwgme5kmwia+hhsxirj1zdz5nqbtllt1qmjh/59dtv5acqan6347uaxlldw1/hphy3nre6e4u9fqcaiirzoyx6ovye05e7rumog0jrxfucbpmxhet/zmi1waxelejct1i9wxlgqegyt1nh5o0cw6kdv7ufssurv3wmgrvaxkkfwtw/zq9gksrfqywrhwbc+vxk+xmoxwoi50ek0ljkpcp22lakdu++l05ze6skophbgyrxg0vx9ppdjsehqftjpczqdnvyn4n9dothjhp0zixfbbzg+fcucmrpmaui8psgwfwcbembsrigosmde2poinwzv/8ii0tiue5buzuvuqiympb3aizfdghkpwczwoawejz/akb07ivdjvzsesnedkm/vwp5zph4nekay=</latexit> <latexit sha1_base64="nbq+1azqlsrja0bcyqvfniakmwg=">aaab+xicbzdlssnafiynxmu9rv26gsxcxvgsexqjfavxwcfeoa1hmp20qyetmhnswklfxi0lrdz6ju58g6dtftr6w8dhf87hnpmdrhanjvntrayurw9sfrak2zu7e/v2wwfdx6mire5jeatwqdqtxli6cbcslshgokcwzjc4m9abq6y0j+utjbpmraqnecgpawp5tj3yad/g+/liz+dcnzz5dsmpodphzxbzkkfcnd/+6nrjmkzmahve67brjoblragngk2knvszhnab6bg2qukipr1sdvkenxqni8nymscbz9zfexmjtb5hgemmcpt1ym1q/ldrpxbeexmxsqpm0vmimbuyyjynaxe5yhte2achiptbme0trsiysiombhfxy8vquki4hh8vs9xbpi4cokynqixcdiwq6ahvub1rnetp6bw9wzn1yr1bh/pwfsufouj/zh3+ai1fkks=</latexit> <latexit sha1_base64="nbq+1azqlsrja0bcyqvfniakmwg=">aaab+xicbzdlssnafiynxmu9rv26gsxcxvgsexqjfavxwcfeoa1hmp20qyetmhnswklfxi0lrdz6ju58g6dtftr6w8dhf87hnpmdrhanjvntrayurw9sfrak2zu7e/v2wwfdx6mire5jeatwqdqtxli6cbcslshgokcwzjc4m9abq6y0j+utjbpmraqnecgpawp5tj3yad/g+/liz+dcnzz5dsmpodphzxbzkkfcnd/+6nrjmkzmahve67brjoblragngk2knvszhnab6bg2qukipr1sdvkenxqni8nymscbz9zfexmjtb5hgemmcpt1ym1q/ldrpxbeexmxsqpm0vmimbuyyjynaxe5yhte2achiptbme0trsiysiombhfxy8vquki4hh8vs9xbpi4cokynqixcdiwq6ahvub1rnetp6bw9wzn1yr1bh/pwfsufouj/zh3+ai1fkks=</latexit> <latexit sha1_base64="nbq+1azqlsrja0bcyqvfniakmwg=">aaab+xicbzdlssnafiynxmu9rv26gsxcxvgsexqjfavxwcfeoa1hmp20qyetmhnswklfxi0lrdz6ju58g6dtftr6w8dhf87hnpmdrhanjvntrayurw9sfrak2zu7e/v2wwfdx6mire5jeatwqdqtxli6cbcslshgokcwzjc4m9abq6y0j+utjbpmraqnecgpawp5tj3yad/g+/liz+dcnzz5dsmpodphzxbzkkfcnd/+6nrjmkzmahve67brjoblragngk2knvszhnab6bg2qukipr1sdvkenxqni8nymscbz9zfexmjtb5hgemmcpt1ym1q/ldrpxbeexmxsqpm0vmimbuyyjynaxe5yhte2achiptbme0trsiysiombhfxy8vquki4hh8vs9xbpi4cokynqixcdiwq6ahvub1rnetp6bw9wzn1yr1bh/pwfsufouj/zh3+ai1fkks=</latexit> <latexit sha1_base64="nbq+1azqlsrja0bcyqvfniakmwg=">aaab+xicbzdlssnafiynxmu9rv26gsxcxvgsexqjfavxwcfeoa1hmp20qyetmhnswklfxi0lrdz6ju58g6dtftr6w8dhf87hnpmdrhanjvntrayurw9sfrak2zu7e/v2wwfdx6mire5jeatwqdqtxli6cbcslshgokcwzjc4m9abq6y0j+utjbpmraqnecgpawp5tj3yad/g+/liz+dcnzz5dsmpodphzxbzkkfcnd/+6nrjmkzmahve67brjoblragngk2knvszhnab6bg2qukipr1sdvkenxqni8nymscbz9zfexmjtb5hgemmcpt1ym1q/ldrpxbeexmxsqpm0vmimbuyyjynaxe5yhte2achiptbme0trsiysiombhfxy8vquki4hh8vs9xbpi4cokynqixcdiwq6ahvub1rnetp6bw9wzn1yr1bh/pwfsufouj/zh3+ai1fkks=</latexit> Propiedades sistemas tiempo discreto (1) 4 Cualquier sistema dinámico puede escribirse como un sistema autónomo de primer orden definiendo nuevas variables de estado (aumentando la dimensión). Modelo x t = F (x t 1 ) Condición Punto Fijo x*: x = F (x ) Tipos de Puntos Fijos: Estable (atractor) Inestable (repulsor) Ciclo límite (atractor)

5 <latexit sha1_base64="/vu4i38bcwgwayjaz59la5ocktm=">aaachhicbvdlsgmxfm34rpu16tkfwsk4kdipgi5eim5cvrapaichk8m0oznmkgse0nbpb/gdbvup3ilbwr/wo8y0g2jrhcdjoefemxw/4uxpx/m0fhaxlldwc2vf9y3nrw17z7eh4lqswicxj2xlx4pyjmhdm81pk5eurz6ntb9/nenneyovi8wdhitujxbxsjarra3l2qejdjfuahtodifoipy5v0bweilpljllz1jwhqaclebenc/+6gqxssmqnofyqtzyeu0osdsmcdoudljfe0z6uevbbgocueuojx8zwypdbdcmptlcwwn7u2oii6ugkw+cedy9natl5l9aolkbm9t1eo4omuhstqwzlg9tdnums6rgwcqlmg8mweqy835ielhiok2errmmmo1hhjqqzwtw7wmpepvhvad74bacawtoqbxcgbqoawiewbn4bi/wo/vqvvnvu+uclffsgt9lfxwd6ksgcq==</latexit> <latexit sha1_base64="/vu4i38bcwgwayjaz59la5ocktm=">aaachhicbvdlsgmxfm34rpu16tkfwsk4kdipgi5eim5cvrapaichk8m0oznmkgse0nbpb/gdbvup3ilbwr/wo8y0g2jrhcdjoefemxw/4uxpx/m0fhaxlldwc2vf9y3nrw17z7eh4lqswicxj2xlx4pyjmhdm81pk5eurz6ntb9/nenneyovi8wdhitujxbxsjarra3l2qejdjfuahtodifoipy5v0bweilpljllz1jwhqaclebenc/+6gqxssmqnofyqtzyeu0osdsmcdoudljfe0z6uevbbgocueuojx8zwypdbdcmptlcwwn7u2oii6ugkw+cedy9natl5l9aolkbm9t1eo4omuhstqwzlg9tdnums6rgwcqlmg8mweqy835ielhiok2errmmmo1hhjqqzwtw7wmpepvhvad74bacawtoqbxcgbqoawiewbn4bi/wo/vqvvnvu+uclffsgt9lfxwd6ksgcq==</latexit> <latexit sha1_base64="/vu4i38bcwgwayjaz59la5ocktm=">aaachhicbvdlsgmxfm34rpu16tkfwsk4kdipgi5eim5cvrapaichk8m0oznmkgse0nbpb/gdbvup3ilbwr/wo8y0g2jrhcdjoefemxw/4uxpx/m0fhaxlldwc2vf9y3nrw17z7eh4lqswicxj2xlx4pyjmhdm81pk5eurz6ntb9/nenneyovi8wdhitujxbxsjarra3l2qejdjfuahtodifoipy5v0bweilpljllz1jwhqaclebenc/+6gqxssmqnofyqtzyeu0osdsmcdoudljfe0z6uevbbgocueuojx8zwypdbdcmptlcwwn7u2oii6ugkw+cedy9natl5l9aolkbm9t1eo4omuhstqwzlg9tdnums6rgwcqlmg8mweqy835ielhiok2errmmmo1hhjqqzwtw7wmpepvhvad74bacawtoqbxcgbqoawiewbn4bi/wo/vqvvnvu+uclffsgt9lfxwd6ksgcq==</latexit> <latexit sha1_base64="/vu4i38bcwgwayjaz59la5ocktm=">aaachhicbvdlsgmxfm34rpu16tkfwsk4kdipgi5eim5cvrapaichk8m0oznmkgse0nbpb/gdbvup3ilbwr/wo8y0g2jrhcdjoefemxw/4uxpx/m0fhaxlldwc2vf9y3nrw17z7eh4lqswicxj2xlx4pyjmhdm81pk5eurz6ntb9/nenneyovi8wdhitujxbxsjarra3l2qejdjfuahtodifoipy5v0bweilpljllz1jwhqaclebenc/+6gqxssmqnofyqtzyeu0osdsmcdoudljfe0z6uevbbgocueuojx8zwypdbdcmptlcwwn7u2oii6ugkw+cedy9natl5l9aolkbm9t1eo4omuhstqwzlg9tdnums6rgwcqlmg8mweqy835ielhiok2errmmmo1hhjqqzwtw7wmpepvhvad74bacawtoqbxcgbqoawiewbn4bi/wo/vqvvnvu+uclffsgt9lfxwd6ksgcq==</latexit> <latexit sha1_base64="1lfs6juigz50l1vlkxgj7bdxedw=">aaacgnicbvdlsgmxfl3js9bxqesrgkvwvwakobuh6mzlbfuadhgymuwbmnmqziqy7crf8afc6h+4e7du/ag/w0w7ilzecjx7zrm5yfeszqsyre9jaxlldw29tfhe3nre2tx39lsytgwhtrlzwhq8lclnew0qpjjtjili0oo07q2vc719t4vkcxsnrgl1qtypwmaivppyzanxj2u3j117jc7rt1flo9s1k1bvmhzabhybklbuwzw/en5m0pbginaszde2euvkwchgoj2ue6mkcszd3kdddsmcuulk029m0ilmfbteqp9iosn7eyldozsj0npoekubnndy8l/nl/mfc9tvcofklepsrsmywx6khkky5tkhnwlkfb9pgilg+v2idldarok0yzoyez6grdcqvw2nb88q9asiohicwjgcgg3nuicbaeatcdzaezzdi/fovbpvxvvmumqumwfwp4ypb/ppoaa=</latexit> <latexit sha1_base64="1lfs6juigz50l1vlkxgj7bdxedw=">aaacgnicbvdlsgmxfl3js9bxqesrgkvwvwakobuh6mzlbfuadhgymuwbmnmqziqy7crf8afc6h+4e7du/ag/w0w7ilzecjx7zrm5yfeszqsyre9jaxlldw29tfhe3nre2tx39lsytgwhtrlzwhq8lclnew0qpjjtjili0oo07q2vc719t4vkcxsnrgl1qtypwmaivppyzanxj2u3j117jc7rt1flo9s1k1bvmhzabhybklbuwzw/en5m0pbginaszde2euvkwchgoj2ue6mkcszd3kdddsmcuulk029m0ilmfbteqp9iosn7eyldozsj0npoekubnndy8l/nl/mfc9tvcofklepsrsmywx6khkky5tkhnwlkfb9pgilg+v2idldarok0yzoyez6grdcqvw2nb88q9asiohicwjgcgg3nuicbaeatcdzaezzdi/fovbpvxvvmumqumwfwp4ypb/ppoaa=</latexit> <latexit sha1_base64="1lfs6juigz50l1vlkxgj7bdxedw=">aaacgnicbvdlsgmxfl3js9bxqesrgkvwvwakobuh6mzlbfuadhgymuwbmnmqziqy7crf8afc6h+4e7du/ag/w0w7ilzecjx7zrm5yfeszqsyre9jaxlldw29tfhe3nre2tx39lsytgwhtrlzwhq8lclnew0qpjjtjili0oo07q2vc719t4vkcxsnrgl1qtypwmaivppyzanxj2u3j117jc7rt1flo9s1k1bvmhzabhybklbuwzw/en5m0pbginaszde2euvkwchgoj2ue6mkcszd3kdddsmcuulk029m0ilmfbteqp9iosn7eyldozsj0npoekubnndy8l/nl/mfc9tvcofklepsrsmywx6khkky5tkhnwlkfb9pgilg+v2idldarok0yzoyez6grdcqvw2nb88q9asiohicwjgcgg3nuicbaeatcdzaezzdi/fovbpvxvvmumqumwfwp4ypb/ppoaa=</latexit> <latexit sha1_base64="1lfs6juigz50l1vlkxgj7bdxedw=">aaacgnicbvdlsgmxfl3js9bxqesrgkvwvwakobuh6mzlbfuadhgymuwbmnmqziqy7crf8afc6h+4e7du/ag/w0w7ilzecjx7zrm5yfeszqsyre9jaxlldw29tfhe3nre2tx39lsytgwhtrlzwhq8lclnew0qpjjtjili0oo07q2vc719t4vkcxsnrgl1qtypwmaivppyzanxj2u3j117jc7rt1flo9s1k1bvmhzabhybklbuwzw/en5m0pbginaszde2euvkwchgoj2ue6mkcszd3kdddsmcuulk029m0ilmfbteqp9iosn7eyldozsj0npoekubnndy8l/nl/mfc9tvcofklepsrsmywx6khkky5tkhnwlkfb9pgilg+v2idldarok0yzoyez6grdcqvw2nb88q9asiohicwjgcgg3nuicbaeatcdzaezzdi/fovbpvxvvmumqumwfwp4ypb/ppoaa=</latexit> <latexit sha1_base64="msttwbbygdloikxczhg4sm+ta60=">aaacgxicbvdlsgmxfl1tx7w+rl3qilgef1jmiqalf0u3livyb7tdkmmkbwjmqziryrqbf8mfckt/4e7cuvih/a4z7sdaeifwcs659ybhizmtyri+jcls8srqwng9tlg5tb1j7u41zzqiqhsk4pfoe1hszklauexx2o4fxyhhacsbxmd6654kyalwto1i6gs4h7iei1hpyjupx12u3t527fep+rlux+gs2a5ztirwtnaishnqhrzqrvnv9sosbdruhgmpo7yvkyffqjhc6atutssnmrnipu1ogokasied/mkcjjxjo14k9akvmrk/o1icsdkkpo0msbries0j/9v8mq2c2656f07kwjhrncsz5b2eixwhlcbkm0gj4imnmbfmvx+raraykb1msqdjz8ewcjrviq3x7vm5dpvhviqdoiitsoecanaddwgagqd4gmd4mr6nv+pnej9zc0besw9/yvj4bn3bn8q=</latexit> <latexit sha1_base64="msttwbbygdloikxczhg4sm+ta60=">aaacgxicbvdlsgmxfl1tx7w+rl3qilgef1jmiqalf0u3livyb7tdkmmkbwjmqziryrqbf8mfckt/4e7cuvih/a4z7sdaeifwcs659ybhizmtyri+jcls8srqwng9tlg5tb1j7u41zzqiqhsk4pfoe1hszklauexx2o4fxyhhacsbxmd6654kyalwto1i6gs4h7iei1hpyjupx12u3t527fep+rlux+gs2a5ztirwtnaishnqhrzqrvnv9sosbdruhgmpo7yvkyffqjhc6atutssnmrnipu1ogokasied/mkcjjxjo14k9akvmrk/o1icsdkkpo0msbries0j/9v8mq2c2656f07kwjhrncsz5b2eixwhlcbkm0gj4imnmbfmvx+raraykb1msqdjz8ewcjrviq3x7vm5dpvhviqdoiitsoecanaddwgagqd4gmd4mr6nv+pnej9zc0besw9/yvj4bn3bn8q=</latexit> <latexit sha1_base64="msttwbbygdloikxczhg4sm+ta60=">aaacgxicbvdlsgmxfl1tx7w+rl3qilgef1jmiqalf0u3livyb7tdkmmkbwjmqziryrqbf8mfckt/4e7cuvih/a4z7sdaeifwcs659ybhizmtyri+jcls8srqwng9tlg5tb1j7u41zzqiqhsk4pfoe1hszklauexx2o4fxyhhacsbxmd6654kyalwto1i6gs4h7iei1hpyjupx12u3t527fep+rlux+gs2a5ztirwtnaishnqhrzqrvnv9sosbdruhgmpo7yvkyffqjhc6atutssnmrnipu1ogokasied/mkcjjxjo14k9akvmrk/o1icsdkkpo0msbries0j/9v8mq2c2656f07kwjhrncsz5b2eixwhlcbkm0gj4imnmbfmvx+raraykb1msqdjz8ewcjrviq3x7vm5dpvhviqdoiitsoecanaddwgagqd4gmd4mr6nv+pnej9zc0besw9/yvj4bn3bn8q=</latexit> <latexit sha1_base64="msttwbbygdloikxczhg4sm+ta60=">aaacgxicbvdlsgmxfl1tx7w+rl3qilgef1jmiqalf0u3livyb7tdkmmkbwjmqziryrqbf8mfckt/4e7cuvih/a4z7sdaeifwcs659ybhizmtyri+jcls8srqwng9tlg5tb1j7u41zzqiqhsk4pfoe1hszklauexx2o4fxyhhacsbxmd6654kyalwto1i6gs4h7iei1hpyjupx12u3t527fep+rlux+gs2a5ztirwtnaishnqhrzqrvnv9sosbdruhgmpo7yvkyffqjhc6atutssnmrnipu1ogokasied/mkcjjxjo14k9akvmrk/o1icsdkkpo0msbries0j/9v8mq2c2656f07kwjhrncsz5b2eixwhlcbkm0gj4imnmbfmvx+raraykb1msqdjz8ewcjrviq3x7vm5dpvhviqdoiitsoecanaddwgagqd4gmd4mr6nv+pnej9zc0besw9/yvj4bn3bn8q=</latexit> <latexit sha1_base64="tvomjzd+jliqi7mla47fvqei4ss=">aaacgxicbvdlsgmxfl1tx7w+rl3qilgef1jmiqarkbpxwce+ob2gtcztqzmpkoxqpt34g/6aw/0dd+lwlt/gd5hpb9hwc4gtc869nzlezjlulvvpfjawv1bxiuuljc2t7r1zd68po0qq2iarj0tbw5jyftkgyortdiwodjxow97wotnb91rifov3ahrtj8d9kpuywuptrnk47nlt9rfrj0/rz6u6rpfids2yvbgmhrabnymy5fv3za+uh5ekokeihevzsa1yoskwihfoj6vuimmmyrd3aufdeaduoun0fxn0rbkf9skht6jqlp3dkejaylhgawea1udoaxn5r+blbodcdtw7cfiwxomiizkt7yucqqhlmsgfcuouh2maiwd6/ygmsmbe6tblohh7pozf0kxwbi1vz8q1qzyiihzaezyadedqgxuoqwmipmatpmol8wi8gm/g+8xampkeffhtxsc3gq+fxg==</latexit> <latexit sha1_base64="tvomjzd+jliqi7mla47fvqei4ss=">aaacgxicbvdlsgmxfl1tx7w+rl3qilgef1jmiqarkbpxwce+ob2gtcztqzmpkoxqpt34g/6aw/0dd+lwlt/gd5hpb9hwc4gtc869nzlezjlulvvpfjawv1bxiuuljc2t7r1zd68po0qq2iarj0tbw5jyftkgyortdiwodjxow97wotnb91rifov3ahrtj8d9kpuywuptrnk47nlt9rfrj0/rz6u6rpfids2yvbgmhrabnymy5fv3za+uh5ekokeihevzsa1yoskwihfoj6vuimmmyrd3aufdeaduoun0fxn0rbkf9skht6jqlp3dkejaylhgawea1udoaxn5r+blbodcdtw7cfiwxomiizkt7yucqqhlmsgfcuouh2maiwd6/ygmsmbe6tblohh7pozf0kxwbi1vz8q1qzyiihzaezyadedqgxuoqwmipmatpmol8wi8gm/g+8xampkeffhtxsc3gq+fxg==</latexit> <latexit sha1_base64="tvomjzd+jliqi7mla47fvqei4ss=">aaacgxicbvdlsgmxfl1tx7w+rl3qilgef1jmiqarkbpxwce+ob2gtcztqzmpkoxqpt34g/6aw/0dd+lwlt/gd5hpb9hwc4gtc869nzlezjlulvvpfjawv1bxiuuljc2t7r1zd68po0qq2iarj0tbw5jyftkgyortdiwodjxow97wotnb91rifov3ahrtj8d9kpuywuptrnk47nlt9rfrj0/rz6u6rpfids2yvbgmhrabnymy5fv3za+uh5ekokeihevzsa1yoskwihfoj6vuimmmyrd3aufdeaduoun0fxn0rbkf9skht6jqlp3dkejaylhgawea1udoaxn5r+blbodcdtw7cfiwxomiizkt7yucqqhlmsgfcuouh2maiwd6/ygmsmbe6tblohh7pozf0kxwbi1vz8q1qzyiihzaezyadedqgxuoqwmipmatpmol8wi8gm/g+8xampkeffhtxsc3gq+fxg==</latexit> <latexit sha1_base64="tvomjzd+jliqi7mla47fvqei4ss=">aaacgxicbvdlsgmxfl1tx7w+rl3qilgef1jmiqarkbpxwce+ob2gtcztqzmpkoxqpt34g/6aw/0dd+lwlt/gd5hpb9hwc4gtc869nzlezjlulvvpfjawv1bxiuuljc2t7r1zd68po0qq2iarj0tbw5jyftkgyortdiwodjxow97wotnb91rifov3ahrtj8d9kpuywuptrnk47nlt9rfrj0/rz6u6rpfids2yvbgmhrabnymy5fv3za+uh5ekokeihevzsa1yoskwihfoj6vuimmmyrd3aufdeaduoun0fxn0rbkf9skht6jqlp3dkejaylhgawea1udoaxn5r+blbodcdtw7cfiwxomiizkt7yucqqhlmsgfcuouh2maiwd6/ygmsmbe6tblohh7pozf0kxwbi1vz8q1qzyiihzaezyadedqgxuoqwmipmatpmol8wi8gm/g+8xampkeffhtxsc3gq+fxg==</latexit> <latexit sha1_base64="io74x6vy8seoitwymnclqhv7nwq=">aaacghicbvdlsgmxfm3uv62vuzfdbivgqsyiobuh6mzlbfuadhwymbqnzwsg5i5qhi78dx/arf6bo3hrzh/wo8y0s9dwa4hdoffkjidibnfgof9wawv1bx2jvfnz2t7z3bp3d9o6thvllrqlwhudopngkrwag2ddrdesbyj1gvf17ncemni8lncwszgxkahka04jgmm3q6mfszjis9wxjhusx94dzkvn6ts1p+7mgjejw5aaktd07e9+gnm0yhkoifr3xccblymkobvswumnmiwejsmq9qyvjglay2afmojjo4r4ectzjocz+jurkujrsrsyyyjasc96ufivf+r8woxtmljwmi6tfjik8+wdvgcicd4sdrlifmteeeivn+/hdequowc6rjhi3mualkn7to4afntwa1wvfzvrfr2he+sic9ran6ijwoiir/smxtcr9ws9we/wx3y0zbwzq/qh1ucpmmkgrw==</latexit> <latexit sha1_base64="io74x6vy8seoitwymnclqhv7nwq=">aaacghicbvdlsgmxfm3uv62vuzfdbivgqsyiobuh6mzlbfuadhwymbqnzwsg5i5qhi78dx/arf6bo3hrzh/wo8y0s9dwa4hdoffkjidibnfgof9wawv1bx2jvfnz2t7z3bp3d9o6thvllrqlwhudopngkrwag2ddrdesbyj1gvf17ncemni8lncwszgxkahka04jgmm3q6mfszjis9wxjhusx94dzkvn6ts1p+7mgjejw5aaktd07e9+gnm0yhkoifr3xccblymkobvswumnmiwejsmq9qyvjglay2afmojjo4r4ectzjocz+jurkujrsrsyyyjasc96ufivf+r8woxtmljwmi6tfjik8+wdvgcicd4sdrlifmteeeivn+/hdequowc6rjhi3mualkn7to4afntwa1wvfzvrfr2he+sic9ran6ijwoiir/smxtcr9ws9we/wx3y0zbwzq/qh1ucpmmkgrw==</latexit> <latexit sha1_base64="io74x6vy8seoitwymnclqhv7nwq=">aaacghicbvdlsgmxfm3uv62vuzfdbivgqsyiobuh6mzlbfuadhwymbqnzwsg5i5qhi78dx/arf6bo3hrzh/wo8y0s9dwa4hdoffkjidibnfgof9wawv1bx2jvfnz2t7z3bp3d9o6thvllrqlwhudopngkrwag2ddrdesbyj1gvf17ncemni8lncwszgxkahka04jgmm3q6mfszjis9wxjhusx94dzkvn6ts1p+7mgjejw5aaktd07e9+gnm0yhkoifr3xccblymkobvswumnmiwejsmq9qyvjglay2afmojjo4r4ectzjocz+jurkujrsrsyyyjasc96ufivf+r8woxtmljwmi6tfjik8+wdvgcicd4sdrlifmteeeivn+/hdequowc6rjhi3mualkn7to4afntwa1wvfzvrfr2he+sic9ran6ijwoiir/smxtcr9ws9we/wx3y0zbwzq/qh1ucpmmkgrw==</latexit> <latexit sha1_base64="io74x6vy8seoitwymnclqhv7nwq=">aaacghicbvdlsgmxfm3uv62vuzfdbivgqsyiobuh6mzlbfuadhwymbqnzwsg5i5qhi78dx/arf6bo3hrzh/wo8y0s9dwa4hdoffkjidibnfgof9wawv1bx2jvfnz2t7z3bp3d9o6thvllrqlwhudopngkrwag2ddrdesbyj1gvf17ncemni8lncwszgxkahka04jgmm3q6mfszjis9wxjhusx94dzkvn6ts1p+7mgjejw5aaktd07e9+gnm0yhkoifr3xccblymkobvswumnmiwejsmq9qyvjglay2afmojjo4r4ectzjocz+jurkujrsrsyyyjasc96ufivf+r8woxtmljwmi6tfjik8+wdvgcicd4sdrlifmteeeivn+/hdequowc6rjhi3mualkn7to4afntwa1wvfzvrfr2he+sic9ran6ijwoiir/smxtcr9ws9we/wx3y0zbwzq/qh1ucpmmkgrw==</latexit> Propiedades sistemas tiempo discreto (2) 5 Los sistemas dinámicos lineales tiene un único punto fijo El comportamiento está determinado por los autovalores y autovectores de la matriz del sistema. x1 u2 x* u1 u nt = t nu n0 - Autovalores reales o complejos 1, 2 < 1 - Autovalores reales o complejos 1, 2 > 1 - Autovalores complejos 1 = 2 =1 - Autovalores reales 1 < 1, 2 > 1 x1 ATRACTOR (punto fijo estable) REPULSOR (punto fijo inestable) CICLO LIMITE SADDLE POINT

6 Cambio de variables 6 A veces es conveniente definir un cambio en la variables de estado para simplificar las ecuaciones del sistema. Ejemplo: ecuación logística para crecimiento poblacional Logistic Map

7 Comportamiento asintótico sistemas no-lineales 7 Sistemas Lineales: ya lo vimos (un único punto fijo) El análisis de la dinamica de sistemas no-lineales es complicado pero lo que podemos hacer es analizar el comportamiento en un entorno reducido de los puntos fijos.

8 Comportamiento asintótico sistemas no-lineales 8 En un entorno reducido, el sistema se comporta como un sistema lineal con una matriz determinada por el Jacobiano de la función no lineal evaluada en el punto fijo Sistema Lineal!!!

9 Comportamiento asintótico sistemas no-lineales 9

10 Sistemas dinámicos en tiempo continuo

11 Sistemas dinámicos en tiempo continuo 11

12 Sistemas dinámicos en tiempo continuo 12 Ejemplo: Segundo orden Primer orden no-autónomo (dos dimensiones) Introducimos variable clock Primer orden autónomo (3 dimensiones)

13 Sistemas dinámicos lineales en tiempo continuo 13

14 Simulación de sistemas no-lineales autónomos en tiempo continuo (discretización) 14 Método de Euler (MALO!!) Método más preciso: Algoritmo de Runge-Kutta orden 4: Método más eficiente con discretización adaptativa En MATLAB: En Python:

15 <latexit sha1_base64="ixykwuy1bgojoy2l7fehsx6chjc=">aaacaxicbzc7sgnbfizn4y3g26qnydmyhggrdkxqjhc00dkcuuasw+zsbdjk9slmwuly1szxsbfqxna3spntncrbapshgy//nmoz8zur4aos68vilswula/kvwtr6xubw+b2tkofsasstkmrypzdfbm8yhxgifgrkoz4jmbnz3g5qtfvmvq8dg5hhlgut/ob9zglok2eudfxjkgjo0otf1jcwvel0d3xucxqmuwrbe2f/4kdqrflqvxmz44b0thnavbblgrbvgtdhejgvlc00ikviwgdkj5rawyiz1q3mv6q4kptunglpx4b4kn7cyihvljj39gdpogbmq9nzp9q7ri8827cgyggftdzii8wgei8iqo7xdikyqybumn1xzedeb0j6nakogr7/us/0dgp25pvtovviyyopnphb6iebhsgquga1vadufsantalejuejwfjzxifteambgyx/zlx8q20mzw5</latexit> <latexit sha1_base64="ixykwuy1bgojoy2l7fehsx6chjc=">aaacaxicbzc7sgnbfizn4y3g26qnydmyhggrdkxqjhc00dkcuuasw+zsbdjk9slmwuly1szxsbfqxna3spntncrbapshgy//nmoz8zur4aos68vilswula/kvwtr6xubw+b2tkofsasstkmrypzdfbm8yhxgifgrkoz4jmbnz3g5qtfvmvq8dg5hhlgut/ob9zglok2eudfxjkgjo0otf1jcwvel0d3xucxqmuwrbe2f/4kdqrflqvxmz44b0thnavbblgrbvgtdhejgvlc00ikviwgdkj5rawyiz1q3mv6q4kptunglpx4b4kn7cyihvljj39gdpogbmq9nzp9q7ri8827cgyggftdzii8wgei8iqo7xdikyqybumn1xzedeb0j6nakogr7/us/0dgp25pvtovviyyopnphb6iebhsgquga1vadufsantalejuejwfjzxifteambgyx/zlx8q20mzw5</latexit> <latexit sha1_base64="ixykwuy1bgojoy2l7fehsx6chjc=">aaacaxicbzc7sgnbfizn4y3g26qnydmyhggrdkxqjhc00dkcuuasw+zsbdjk9slmwuly1szxsbfqxna3spntncrbapshgy//nmoz8zur4aos68vilswula/kvwtr6xubw+b2tkofsasstkmrypzdfbm8yhxgifgrkoz4jmbnz3g5qtfvmvq8dg5hhlgut/ob9zglok2eudfxjkgjo0otf1jcwvel0d3xucxqmuwrbe2f/4kdqrflqvxmz44b0thnavbblgrbvgtdhejgvlc00ikviwgdkj5rawyiz1q3mv6q4kptunglpx4b4kn7cyihvljj39gdpogbmq9nzp9q7ri8827cgyggftdzii8wgei8iqo7xdikyqybumn1xzedeb0j6nakogr7/us/0dgp25pvtovviyyopnphb6iebhsgquga1vadufsantalejuejwfjzxifteambgyx/zlx8q20mzw5</latexit> <latexit sha1_base64="ixykwuy1bgojoy2l7fehsx6chjc=">aaacaxicbzc7sgnbfizn4y3g26qnydmyhggrdkxqjhc00dkcuuasw+zsbdjk9slmwuly1szxsbfqxna3spntncrbapshgy//nmoz8zur4aos68vilswula/kvwtr6xubw+b2tkofsasstkmrypzdfbm8yhxgifgrkoz4jmbnz3g5qtfvmvq8dg5hhlgut/ob9zglok2eudfxjkgjo0otf1jcwvel0d3xucxqmuwrbe2f/4kdqrflqvxmz44b0thnavbblgrbvgtdhejgvlc00ikviwgdkj5rawyiz1q3mv6q4kptunglpx4b4kn7cyihvljj39gdpogbmq9nzp9q7ri8827cgyggftdzii8wgei8iqo7xdikyqybumn1xzedeb0j6nakogr7/us/0dgp25pvtovviyyopnphb6iebhsgquga1vadufsantalejuejwfjzxifteambgyx/zlx8q20mzw5</latexit> Análisis de sistemas dinámicos en tiempo continuo 15 Condición de punto fijo: dx dt = G(x )=0 Ejemplo 1: modelo logistico continuo Puntos fijos Ejemplo 2: modelo Lotka-Volterra Puntos fijos

16 Ejemplo: Contagio de enfermedades (epidemias y pandemias) Modelo matemático SIR (contagio entre personas) Variables S(t): Susceptibles I(t): Infectados Ecuaciones diferenciales R(t): Recuperados Parámetros : Nro. de contacto : Duración de la enfermedad

17 Simulaciones Runge-Kutta (1) Susceptibles Infectados

18 Simulaciones Runge-Kutta (2) Susceptibles Infectados

19 Simulaciones en Matlab (1) Código MATLAB: link Github Definición de Modelo SIR Método de Euler

20 Código MATLAB: link Github Simulaciones en Matlab (2) Método de Runge Kutta Orden 4

21 Simulaciones en Matlab (3) Ejemplo de código para la simulación modelo SIR Código MATLAB: link Github

22 Casos de estudio más complejos Propagación de Malaria A Multipatch Malaria Model with Logistic Growth Populations, Gao, D. and Ruan, S., SIAM J. App. Math., 72 (3), Vector de contagio = mosquito 2. Se considera un modelo con ecuaciones diferenciales en multiples zonas geográficas (multipatch). 3. Se estudian los efectos de las migraciones humanas. Efectos de la vacunación en enfermedades Rich Bifurcation Structure in a Two-Patch Vaccination Model, Knipl, D., Pilarczyk, P. and Rost, G. SIAM J. App. Dyn. Syst., 14 (2), Impacto de las migraciones entre grandes ciudades 2. Distintos tipos de evolución dependiendo del parámetro de reproducción. 3. El parámetro de reproducción se puede controlar con un plan de vacunación.

23 Linearización de Sistemas No-Lineales 23

24 Linearización de Sistemas No-Lineales 24

25 Material de Lectura - Material de lectura (esta clase): Libros (Mínimo): [2] Introduction to the Modeling and Analysis of Complex Systems - Sayama, Cap 5 y 6. Libros (opcional): [6] Programming for Computations Python - Linge and Langtangen, Cap 4 [10] Introduction to Computational Science_ Modeling and Simulation for the Sciences - Angela B. Shiflet, George W. Shiflet-(2014), Cap 2,4 y 6 [11] Dynamical Systems with Applications using MATLAB - Stephen Lynch (2014) [12] Essential Matlab for Engineers and Scientists - Brian Hahn and Dan Valentine (2013), Cap 12 - Leer para la próxima clase: Libros (Mínimo): [2] Introduction to the Modeling and Analysis of Complex Systems - Sayama, Cap 8. Libros (opcional): [11] Dynamical Systems with Applications using MATLAB - Stephen Lynch (2014), Cap 3 y 13