RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH LINIOWYCH

Transkrypt

1 A. J. S t o d ó l k ie w ic z. 0 KILKU KLASACH RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH LINIOWYCH R Z Ę D U n-go. KRAKÓW. NAKŁADEM AKADEMII UMIEJĘTNOŚCI. SKŁAD GŁÓW NY W KSIĘGARNI SPÓ ŁK I W YDAW NICZEJ PO LSK IEJ.

2

3 A. J. S t o d ó ł k i e w i c z. 0 KILKU KLASACH r r R0W NÄN RÓŻNICZKOWYCH LINIOWYCH R Z Ę D U n-go. KRAKÓW. NAKŁADEM AKADEMII UMIEJĘTNOŚCI. SKŁAD GŁÓW NY W KSIĘGARNI SPÓ ŁKI W YDAW NICZEJ POLSKIEJ

4 Osobne odbicie z Tomu XXVI. Rozpraw W ydziału matematyczno-przyrodniczego Akademii Umiejętności w Krakowie. C A 0 V 9 It Itraków, Drukarnia Uniwersytetu Jagiellońskiego, pod zarządem A. M. Kosterkiewlcza.

5 U kilku klasach równań różniczkowych liniowych, rzędu n9. Przez A. J. S todółkie wicza. (Kzeez przedstawiona n a posiedzeniu W ydz. m at.-przyr. z d. 3 października 1892 r. ; ref. członek Zajączkowski) Weźmy równanie różniczkowe liniowe postaci ogólnej, X n, X są pewne funkeye zmiennej nieza w którem X,, X 3, leżnej x, i oznaczmy tedy mnożąc równania (1) i (2) odpowiednio przez czynniki 1, u,, p,,......, p _, yn_,, i dodając do siebie, otrzymamy:, dyf"^ dy'- 3 dy' dy m = X - X, - A,... (3)... - X _, y' X y 1 p, yc" - ' t p2 / - j +... f p _, y + p _, y

6 2 A. J. STODÓŁKI KWJCZ. [146] Załóżmy dalej, źe (4) y(n_,) + \\y (n~2) + ^ yr - J) p _, y '+ y = u natenczas, po wyrugowaniu z równania (3) przy pomocy związku (4) i po zrównaniu do zera spółczynników przy y("~'j>,,..., y', y, otrzymamy następujący układ równań na wyznaczenie ilości p.,, ;j., = H-, (Pi X,) + X 2 Pa (5) dy-.f dx d\>-n dx = = P 2 ( p l X, ) + X, IJ'3 ) = p. - z ( p i ~ X J - f - X,,., p» -, ; P» - i ( p i X J + X,,, tudzież, jedno równanie, określające funkcyę u (6) X + (p, X,) m. Korzystając z postaci równań (5), możemy łatwo wyprowadzić warunki całkowalności dla następującej klasy równań różniczkowych: fjn1l fln *11 (jn ^ 1 d ^ d ^ ' ' + d ^ - ' + ' " + (a»-i X, + b -i) + («.i Xt + 6 ) y = X, w której, jak widzimy, wszystkie spółczynniki sa liniowe względem pewnej dowolnej funkcyi X, zmiennej niezależnej; at bi, a2 b2,..., a bn są liczby s*tałe. Ze względu na równanie (7) układ (5) przybierze postać : (fx' = Pi (pi»i X, ^ i)+ a äxt + óa p2, (8) = P2 (Pi ai X, b1)-\-ai X i -j-ó3 x3, = p z (pi ~ ai A )+ «_, X, + ó _,, = p _, (pi <h X, ó,)+«,, X, + ó,

7 [147] O K ILK U KLASACH RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH LINIOW YCH, skąd widoczna, że, jeżeli weźmiemy: (Ic, (Z,, 8_ 0/n [A,, fl.s, H, a ' % a ' ' '" a, natenczas z (8) otrzymamy równania warunkowe a» a.. /«, - - f - at a, \a, / 6 =?L ba a, a, 'a, ) (9-1; - 6 i Mówiąc innemi słowy, jeżeli w równaniu (7) liczby 6,, &3,..., ó, uczynią zadość warunkom (9), natenczas to równanie (7) da się całkować przez kwadratury w całej ogólności, gdyż następnem równaniem róźniczkowem (4) w tym przypadku będzie y ( - U + y C -» ) + ^ y f -» ) + _. + y = «a, a, a, równanie liniowe ze spółczynnikami stałymi. Oczywista, źe warunki (9) stosują się także bez zmiany i do znanej klasy równań różniczkowych liniowych, których spółczynniki są liniowe względem gdyż w tym szczególnym przypadku mamy X t x. Dalej, możemy utworzyć nową klasę równań różniczkowych, całkowalnych pod postacią skończoną, przyjmując P-i = «, Y-\-bt, = at Y Ą- b,,..., u. _, = a _, F + 6 _,, gdzie F jest jakąbądź funkcyą zmiennej niezależnej a:, ilości zaś «, ó,) a,, b,,, ó _, są pewnemi liczbami. Równania (5) w tym przypadku dadzą nam następujące warunki: d Y X = a' dx + 0, ^ + 6, - («i y + &:)(*, Y + bi - Xi), X 3 = «2 + a3 y + ^3 ~ ( S y + F + Ó, Jf,), dy X n~ I = an-2'j~ + «-1 D+ ó _, (a _,2F+ ó d Y X«(? _, («_, F+ ó _, )(«j F + ń, A,). F + 6, Aj), (10)

8 4 A. J. STODÓŁKIBWICZ. [1 4 8 ] Stąd wnioskujemy, ź e, jeżeli spółezynniki równania (1) przy pomocy pewnej oznaczonej funkeyi Y i liczb stałych ó,, a,, 6,,......, a _,, dadzą się wyrazić w sposób (10), natenczas równanie (1) daje się całkować przez kwadratury, jeśli tylko istnieją warunki (9). W rzeczy samej, wynikającem z (4) równaniem różniczkowem będzie y * -') -t- (a, F + 6,) y ( - ') F +&,) y ( - ' ) (o _, F +,) y = w równanie, które, jak widzieliśmy powyżej, dozwala się całkować pod postacią skończoną, jeżeli tylko spełnione są warunki (9). Ażeby wyprowadzić jeszcze jedne klasę równań różniczkowych liniowych, których całka wyraża się przez kwadratury, załóżmy a, a, an natenczas, z układu równań (5) otrzymamy Z, X., a-i ~~ *. ~ ai (ai ) a; a 2at ai (a, xxt) (U) a _, (n 2) x A t) -A.«1 ' (n 1) u _,, («, 1 ) Na zasadzie tego, cośmy powiedzieli powyżej, orzec teraz możemy, źe w przypadku, gdy spółezynniki równania ( 1 ) określają się przez związki (11) to przy zupełnie dowolnych liczbach..., an-, równanie dane można całkować w całej ogólności pod postacią skończoną, ponieważ wynikaj acem równaniem różniczkowem (4) będzie równanie, k tó re, ja k wiadomo, daje się zawsze całkować przez kwadratury. Ze wszystkiego, co powyżej wyłożyłem, można w ogóle wywnioskować, źe, nadając różne kształty funkeyom pomocniczym p,, p2,....., p _,, możemy odpowiednio odnaleźć nieskończenie wiele najrozmaitszych postaci równań różniczkowych liniowych, które można całkować pod postacią skończoną. Ograniczając się jednak do tych kilku godniejszych uwagi klas, objaśnimy przykładem wyłożoną teoryę.

9 [1 4 9 ] o K i l k u k l a s a c h r ó w n a ń r ó ż n ic z k o w y c h l i n i o w y c h. 5 Niecli będzie dane do scałkowania równanie Ir + L - I [ * + «- ( # - * + J)(* 4- + f [ n 1 (nx x n + T) {x. + 1 Xt) ] y X, (12) w którem Xt i X są jakiekolwiek funkcye zmiennej x. Spółczynniki tego równania czynią zadość warunkom (10), kiedy tudzież F" = #. ( t y = l J ( t ę ~ ^. ( t ę = 3 j.. J, f i ^, 6, = b, = bs =... = b _3 = i ; ó _, = (n 1), W skutek tego będzie p., = ar+jz, [A2= 2 z ) + i, [a3 = 3ar+i, [a _2= (n 2) x + l, 1a _, = (n 1) x n -j- 1. Podług wyłożonej teoryi wynikającem równaniem różniczkowem (4) będzie +{x+l) y(n_2) + (2x+T) /" " 3) [ ( «- 2)a? + 2 ] / + + l(«i)* w +i] y u, (13) gdzie w wyznacza się z równania (6) f (* I T, ) dr I / x + i Xy ) f l łj u e ( ci + e. J (14) Ponieważ dla równania (13) spełniają się warunki (9), przeto według tej samej teoryi następnem równaniem różniczkowem będzie 4. 2y{n~s> (n 1) y = w,. (15) Równanie (6) dla tego ostatniego równania różniczkowego przybiera postać du.... fa T = u + (-* *) Mi i z którego mamy ar * 2" + - «+1 e udx).

10 ft A. j. STOKÓŁKlUWICŹ. [150] Wstawiając w ostatni wzór wartość na u (14), otrzymamy -«+ L + j C*+ l -r i ) *» (16) m, = e 2 _ c2+ (ci + / (*+ 1 -V, J dx~l e Xdx) dx J Jeżeli następnie, pierwiastki równania oznaczymy przez r ' + 2rn- J (w- 2) r + n - l = 0 natenczas całka równania (15) będzie r y= e C»+ t -r _ 2a:+r _.T,... (Cg + f + M,e c 6 Cn-2 +, daj...! rtej dx I Po wyrugowaniu z ostatniego wzoru funkcyi ii, przy pomocy równania (16), łatwo otrzymamy szukaną całkę ogólną danego równania (12).

11 I # I I I i I l

12 ' j