Gimnazjum Zadania. klasa 2

Transkrypt

1 Autorzy Anna Bazyluk Anna Dubiecka Barbara Dubiecka-Kruk Zbigniew Góralewicz Tomasz Malicki Piotr Piskorski Henryk Sienkiewicz Andrzej Ziemieńczuk Gimnazjum Zadania klasa

2 Projekt okładki, strony tytułowej i layoutu Jakub Sowiński Redaktor inicjujący Ewa Rucińska Redaktor merytoryczny Józef Daniel Redaktor techniczny Janina Soboń Redaktor graficzny Joanna Plakiewicz ISBN ISBN Copyright by Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne Spółka Akcyjna Warszawa 006 Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne Spółka Akcyjna 0-05 Warszawa, Aleje Jerozolimskie 6 Adres do korespondencji: Warszawa, p. poczt. nr 9 Wydanie pierwsze Ark. drukarskich 7,5 Skład i łamanie: Agencja BELLE-AMI, Warszawa Druk i oprawa: POZKAL, Inowrocław

3 SPIS TREŚCI. Statystyka Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych wykładnikach.... Potęga o wykładniku całkowitym Kąty w kole Wielokąty wpisane w okrąg Położenie prostej względem okręgu Wielokąty opisane na okręgu Obwód i pole koła Mnożenie sum algebraicznych Kwadrat sumy wyrażeń algebraicznych.... Różnica kwadratów wyrażeń algebraicznych Przekształcanie wzorów Twierdzenie Pitagorasa Wprowadzenie pojęcia pierwiastka Mnożenie i dzielenie pierwiastków Budowa odcinków o niewymiernych długościach Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa Twierdzenia Pitagorasa w układzie współrzędnych Przekształcenia w układzie współrzędnych Przyporządkowania Pojęcie funkcji Własności funkcji Proporcjonalność prosta Funkcja liniowa Równania liniowe z dwiema niewiadomymi Układ równań. Interpretacja graficzna Rozwiązywanie układów równań metodą podstawiania Ostrosłupy Pole powierzchni i objętość ostrosłupa Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa w zadaniach Określanie szans Procent składany Odpowiedzi... 0

4 Drugoklasiści! Opracowaliśmy dla Was zbiór zadań, którego celem jest poszerzenie i uzupełnienie zestawu zadań zamieszczonych w podręczniku i zeszytach ćwiczeń. Pragniemy Wam umożliwić wyszukiwanie dodatkowych zadań i ćwiczeń o różnym poziomie trudności. Jednym z Was proponujemy coś innego niż w podręczniku, coś bardziej ambitnego, o wyższym niż przeciętny poziomie trudności, innym natomiast prezentujemy zadania proste, ćwiczące opanowywane wiadomości. Ten zbiór zadań, został tak przygotowany, aby w możliwie dużym stopniu spełniał wszystkie Wasze oczekiwania. Każdy uczeń może znaleźć w tym zbiorze zadania na miarę swoich potrzeb i chęci. Zbiór zadań jest ściśle skorelowany z podręcznikiem i zeszytami ćwiczeń dla klasy drugiej gimnazjalnej. Podobnie jak w podręczniku, struktura zbioru jest modułowa. Do każdego modułu proponujemy zadania na trzech poziomach: podstawowym (poziom I), średnim (poziom II) i trudniejszym (poziom III). Na poziomie I jest najwięcej zadań o charakterze ćwiczeniowym, trenującym. Poziom II jest skierowany do uczniów, którzy mogą wiele osiągnąć, pod warunkiem, że zechcą spróbować swych sił w pokonywaniu coraz to wyżej ustawionych poprzeczek. Poziom III pomyślany jest w zasadzie dla najzdolniejszych uczniów. Na każdym poziomie trudności są zadania, po które może sięgnąć każdy z Was. Rozwiązywanie zadań wtedy najlepiej spełnia swój cel, gdy macie satysfakcję z podjętych działań. Uzyskanie końcowego rozwiązania jest tylko jednym z elementów dających zadowolenie. Sukcesem może być także rozbudzenie zainteresowania lub uzyskanie częściowego rozwiązania, szczególnie wtedy, gdy zadanie uważane jest za trudne. Także sposób rozwiązania, wybrana metoda, poczynione obserwacje, mogą składać się na poczucie sukcesu. Chcielibyśmy, aby ten zbiór zadań był dla Was źródłem satysfakcji. Najlepsi i najzdolniejsi z Was mogą znaleźć coś ciekawego i interesującego w zadaniach z poziomu podstawowego. Ale również Ci, którzy uważają się za słabych z pewnością znajdą na poziomie drugim i trzecim takie zadania, którymi mogą się zająć i osiągnąć sukces. W tym zbiorze zadania są bardzo różnorodne. Obok zadań klasycznych, zamieściliśmy problemy otwarte. Są także ćwiczenia krótkie, obliczeniowe, zarówno proste, jak i bardziej skomplikowane. Wiele zadań wymaga użycia kalkulatora. Proponujemy także zadania dłuższe, wymagające zbierania danych czy badania problemu. Zbiór ten traktujcie jako źródło zadań, do którego będziecie sięgać w miarę potrzeb i możliwości. W żadnym razie nie polecamy przerabiania wszystkich zadań moduł po module. Mamy nadzieję, że proponowany zbiór zadań zainteresuje Was, a dzięki temu będzie dużą pomocą w nabywaniu coraz to nowych umiejętności matematycznych. Autorzy

5 Statystyka. Przeanalizuj diagram ilustrujący wyniki badań przeprowadzonych przez TNS OBOP. Wiek a używanie okularów korekcyjnych 00% 90% 80% 70% 60% 50% 0% 0% 0% 0% 0% Podstawa (N = 005): Wszyscy badani 80% 86% 86% 67% 0% % % % 5-9 lat 0-9 lat 0-9 lat 0-9 lat 6% 7% 7% 8% lat 60 lat iwięcej nie używa okularów korekcyjnych używa okularów korekcyjnych źródło: W której grupie wiekowej najczęściej są noszone okulary? Ile procent osób w wieku lat nosi okulary korekcyjne? Ile procent osób w wieku 0 9 lat nie używa okularów korekcyjnych? W grupie stu osób w wieku lat, ilu można się spodziewać osób, które nie używają okularów? Wśród osób w wieku 5 9 lat, ile razy więcej nie nosi okularów niż je nosi?. Przedstaw na diagramie następującą informację: Z badania TNS OBOP wynika, że kobiety częściej niż mężczyźni używają szkieł korekcyjnych okulary nosi 7% kobiet i 7% mężczyzn.. Oto wyniki, które uzyskało czterech uczniów z kartkówek z matematyki. a) Oblicz średnią arytmetyczną ocen z kartkówek dla poszczególnych uczniów. b) Podaj wartość modalną wyników każdego ucznia. c) Oblicz medianę ocen z kartkówek dla każdego ucznia. Kartkówki. Domańska Dominika 5 6. Mariańska Maria 5 5. Pawłowski Paweł Tomaszewski Tomasz. Podaj średnią, wartość modalną i medianę podanych wyników rzutu kostką. a),,,, 5,, b),, 5,, c),,,,, d),,,,,,, 5 5

6 Statystyka 5. Przeanalizuj diagram ilustrujący wyniki badań TNS OBOP. Jak często wymieniamy okulary korekcyjne? Podstawa (N = ): Osoby noszące okulary korekcyjne co najmniej raz w miesiącu 0% raz na -6 miesięcy % raz na 7- miesięcy 6% raznalata % raznalata % raz na -5 lat 7% razna6latlubwięcej 0% nie wiem % jeszcze nie wymieniałem 8% 0% 5% 0% 5% 0% 5% źródło: Ile procent badanych wymienia okulary częściej niż co pół roku? Ile procent badanych nie wymieniała jeszcze okularów? Ile procent badanych wymienia okulary co najmniej raz w roku? Ile procent badanych wymienia okulary raz na lata? Ile razy więcej ankietowanych wymienia okulary raz na lata niż raz na 6 lub więcej lat? Ile razy więcej ankietowanych wymienia okulary raz na lata niż co najmniej raz w roku? Odpowiedź podaj w zaokrągleniu do całości. 6. Diagram przedstawia rozkład wyników ze sprawdzianu z matematyki. a) Oblicz średnią arytmetyczną ocen z tego 6 sprawdzianu. b) Podaj wartość modalną wyników tego sprawdzianu. c) Podaj medianę wyników tego sprawdzianu. 0 liczba uczniów ndst dop dst db bdb cel 7. Który wynik, w zbiorze wyników uporządkowanym od najmniejszego do największego, jest medianą, jeżeli a) analizowanych jest 5 wyników. b) analizowanych jest 5 wyników. c) analizowanych jest 0 wyników. d) analizowane są 5 wyniki. 8. Zaproponuj takie dwa równoliczne zbiory wyników, by miały a) taką samą średnią, a różną modę i medianę. b) taką samą modę, a różną średnią i medianę. c) taką samą medianę, a różną średnią i modę. 6

7 Statystyka 9. Przeanalizuj diagramy ilustrujące wyniki badań TNS OBOP. Używanie okularów korekcyjnych 5,% Podstawa (N = 005): Wszyscy badani nie używam okularów,6% 5,% 58% używamokularów dodali(minusy) używam okularów do bliży (plusy) używam okularów do dali i do bliży Korzystanie z okularów korekcyjnych Podstawa (N = ): Osoby noszące okulary korekcyjne % na stałe, przez cały czas w ciągu dnia 68% nie na stałe, wyłącznie czasowo źródło: Jaki typ okularów korekcyjnych jest częściej noszony? Ile procent badanych używa okularów, a ile używa okularów do dali? Jaki procent wszystkich badanych stanowią czasowo noszący okulary? Na podstawie tych danych wykonaj zestawienie procentu osób, które nie używają okularów, używają okularów stale oraz używają okularów czasowo. 0. Diagram przedstawia rozkład wyników ze 6 sprawdzianu. Nie zaznaczono na nim liczby uczniów, którzy uzyskali ocenę dostateczną. Wiadomo, że jest ich mniej niż dziesięć. Określ, na ile sposobów można wskazać liczbę 0 ocen dostatecznych z tego sprawdzianu, jeżeli a) wartość modalna wyników wynosiła 5, a mediana. b) wartość modalna wyników wynosiła 5, a mediana. c) wartość modalna wyników wynosiła, a mediana,5. d) wartość modalna wyników wynosiła, a mediana. liczba uczniów? ndst dop dst db bdb cel 7

8 Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach. Zapisz iloczyn w postaci potęgi. a) b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c),,,, d) ( ) ( ) ( ) e) f) a a a a a a a. Przedstaw w postaci potęgi liczby. a) b) c) 9 d) 8 e) 7. Przedstaw w postaci potęgi liczby. a) 8 b) c) d) 56 e). Oblicz. a) + ( ) 5 b) c) ( ) ( ) + ( ) 6 ( ) + d) 6 7 ( ) ( ) e) 6 + ( ) 6 ( ) 5 5. Podany iloczyn potęg zapisz w postaci potęgi o tej samej podstawie. a) 7 b) c) ( ) ( ) ( ) 5 ( ) ( ) 0 d) (,5) (,5) 0 (,5) e) (,5) 7 (,5) (,5) (,5) f) ( 0,) 0 ( 0,) ( 0,) 99 g) 5 ( ) 7 ( 5) ( ) ( ) i) h) 5, 8 0, j) 5, ( ) Przedstaw w postaci jednej potęgi. a) ( ) 5 b) (( ) ) c) (( 0,8) 5 ) 0 d) ((,) 6 ) 0 e) (( ) ) 5 f) ((( 5) 7 ) 9 ) g) ((((,5) 0 ) 5 ) ) 5 h) ((((5,) ) ) 0 ) 0 8

9 Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach 7. Przedstaw podany iloraz potęg w postaci potęgi o tej samej podstawie. a) 0 : 5 b) ( )5 : ( )5 c) (,8)6 : (,8) d) ( 5,)6 : ( 5,)8 e) 5 0 ( 5, ) f) 5 ( 5, ) g) ( ) : h) 7 ( ) ( 5, ) : ( ) 8. Liczbę 0 8 przedstaw na trzy różne sposoby w postaci iloczynu a) dwóch potęg o podstawie 0 i naturalnych wykładnikach. b) trzech potęg o podstawie 0 i naturalnych wykładnikach. c) czterech potęg o podstawie 0 i naturalnych wykładnikach. 9. Przedstaw liczbę 5 jako potęgę potęgi. Na ile sposobów możesz to zrobić, gdy oba wykładniki są liczbami naturalnymi? 0. Zapisz w kolejności rosnącej liczby:,, 8 5,, 6, 56, 8.. Liczbę 5 przedstaw na trzy sposoby w postaci ilorazu potęg o podstawie 5 i naturalnych wykładnikach. Na ile sposobów można to zrobić?. Podaną liczbę zapisz w postaci iloczynu liczby całkowitej i potęgi liczby 0. a) 000 b) 500 c) d) e) Podany iloczyn zapisz w postaci liczby naturalnej bez użycia potęg. a), 0 6 b),0 0 9 c), 0 8 d) 5, Doprowadź wyrażenie do najprostszej postaci. Wynik przedstaw w postaci potęgi. a) 5 7 b) 8 c) 5 0 : 5 0 d) ( 6 ) :( 6 ) : : 580 ( 6) 0 :( 6) 6 5. Jaka jest ostatnia cyfra danej liczby? a) b) 8 c) 5 00 d)

10 Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach 6. Doprowadź wyrażenie do najprostszej postaci. a) ( ) ( ) ( ) : ( ) 7 5 b) c) 8 : 7 : d) (( 0, ) ) ( 0008, ) ( 0, 0) 8 : 0, Doprowadź wyrażenie do najprostszej postaci. Tam, gdzie to konieczne, napisz odpowiednie założenia. a) a5 b7 8 c ( ) b) 5abc 7 abc 5 6 c) ( ) ( a5 ) 9 ( b ) 8 8abc 6 5 9( a5) 6( b) c7 8. Granice Polski mają długość 50 km. Przyjmując, że 0 ziarenek piasku ułożonych w jednej linii zajmuje około milimetra, oblicz, ile ziaren piasku trzeba ułożyć w ten sposób wzdłuż granic Polski. Wynik przedstaw w postaci iloczynu liczby naturalnej i potęgi liczby Jaka jest reszta z dzielenia liczby 7 przez? 0. Podaj ostatnią cyfrę liczby, będącej wynikiem działania. a) b) c) d) Jaka jest reszta z dzielenia liczby (( ) ) przez? 0

11 Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych wykładnikach. Iloczyn potęg zapisz w postaci potęgi iloczynu. a) 5 5 b) c) 5 0 ( ) 0 ( ) 0 ( 6) 0. Oblicz wartość wyrażenia. a) 5 (0,) b) 7 (0,) 7 (,5) 7 c) (,5) 8 ( 0,8) 8 ( 0,) 8 ( 0,5) 8. Oblicz wartość wyrażenia. 5 5 a) ( ) ( ) b) ( ) ( ) c) d). Iloraz potęg zapisz w postaci potęgi ilorazu. a) 0 8 : 5 8 b) 00 0 : ( 60) 0 c) ( 56) 5 : 7 5 d) ( 50) 5 : ( 50) 5 5. Oblicz. a) (,) : (0,6) b) (,5) 5 : 5 5 c) (,) : ( 0,08) d) ( 0,08) : ( 0,7) ( ) ( ) Oblicz. a) 0 b) 0 ( 0) c) ( 800) 0 d) ( 70) ( 80) 7. Oblicz wartość wyrażenia. 6 ( ) 0 0 ( 8 ) ( 9 ) d) ( ) ( ) 00, a) 6 (0,5) b) c) 6 e) 055, 0 f) ( ) ( ) ( 7 ) 8. Przedstaw potęgę 6 9 w postaci iloczynu a) dwóch potęg o tym samym wykładniku. b) trzech potęg o tym samym wykładniku. c) czterech potęg o tym samym wykładniku. Spróbuj to zrobić na 5 sposobów w każdym przypadku. 00

12 Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych wykładnikach 9. Oblicz. a) 0. Oblicz. 8 8 : b) 7 : ( ) ( c) ) ( ) 8 8 : d) a) (6 : (0,) ) : 5 b) ((,5) 5 ( ) 5 ) : 5 c) 05, : d) (,) 5 : ((,) 5 : (0,) 5 ) e) 5 ( ) : ( 5, ) 5 ( ) ( ), : 5,. Oblicz. a) b) ( 6 : 8 ) 5 c) ( ) : ( 805 : 65 ) ( 605 : 55) d) (( 5) ) (( 0) : ( 5) ) ( 5 6) e) ( 5 5 ) ( 60 : 66) 5 ( 50). Oblicz. ( 5 a) ) + ( : ) ( ) ( ) ( ) + : b) ( 5 ) ( ) : : :( ) 5 5. Przekształć wyrażenie do najprostszej postaci. Czy każdą liczbę możesz podstawić w miejsce liter? a a a5 b b7 ( ) ( : ) a a a a a) b) ( ) ( ) ab ( ) a ( ) 9 a 8 b c ( ) ( ) ( ) 6 c) a b c 6. Doprowadź wyrażenie do najprostszej postaci. Zapisz odpowiednie założenia ( ab c ) ( ab c ) + ( ab c ab c ) ( ) ( ) ( ) 0ab c 5ab c 5, ab c ab c,

13 Potęga o wykładniku całkowitym. Oblicz. a) b) ( ) c) ( 5) 5 d) ( ) 6. Wyznacz x. a) x = b) 6 6 x = c) 6 9 x = ( ) d) 0x = (0,00). Oblicz. a) 5 5 b) c) (5 ) (5 ) 5 d) ( ) 6 ( ) 8 e) 5 : 7 f) : g) 5 7 : 5 0 h) : 7. Doprowadź wyrażenie do najprostszej postaci. a) 5 5 (5 ) : ( (5 ) : (5) ) b) ( ) : (( 5 ) : (8 ) ) 5. Doprowadź do najprostszej postaci wyrażenie. a) ( a 5 b c 6 ) (6a 7 b 9 c 5 ) b) (((z z z 5 ) ) ) : (((z 8 : z ) ) ) 5 6. Podaną liczbę zapisz w postaci dziesiętnej. a) b) c) Oblicz wartość wyrażenia. 5 5 (0,) ,5 (,5) 6 + (0,) 0 (0,) + 0 (0,5) 8. Oblicz. a) (0,) b) ( 0,5) c) ( 0,5) d) ( 0,5) 9. Wyznacz x. a) (0,5) x = 8 b) x = (0,5) 6 c) (0,) x = 5 d) ( ) x = (0,5) 0. Oblicz. a) (0,) 0 b) (0,5) 5 (0,5) c) (0,) 5 5 d) (0,) : 0 6 e) 6 : (0,5) f) 8 : ( )

14 Potęga o wykładniku całkowitym. Doprowadź wyrażenie do najprostszej postaci. a) (0,5) 5 ((0,5) ) : ((0,5) (0,5) 0 ) b) , 8 : (((0,0) : 5 ) ((5 ) : (0,008) (0,) )). Doprowadź do najprostszej postaci wyrażenie. a) abc 6 a bc abc 6 a bc5 b) a 5b 5c6 5 a b c 6 : 5a6 b 5c a 5b c 6. Liczbę przedstawioną w postaci wykładniczej zapisz w postaci liczby dziesiętnej. a), b),0 0 9 c) 9,9 0 d) 8,9 0. Oblicz. 0 05, : + ( ) ( ) 7 5. Oblicz. a) (,5) b) (,) c) (5,5) d) ( 00,5) 7 e) ( 8 ) f) ( ) g) 5 ( ) h) ( ) Wyznacz x. x a) 5, ( ) = ( ) c) x ( ) = ( ) b), 075, 5 d) x ( ) = ( ) x ( ) = ( ) 07, 7. Oblicz. a) 06 5 (, ) ( ) ( 5 ) b), d) ( 0, 006) c) 075, ( ) e) 06, : 6 f) , :, : ( )

15 Potęga o wykładniku całkowitym 8. Oblicz. a) ( ) (, ) :, : 9 b) (, ) : ( 05, : 05, ) ( ) ( ) ( ) 5 9. Doprowadź do najprostszej postaci wyrażenie. ( x y ) ( xy ) ( x y ) 8 ( x y ) 0. Uporządkuj w kolejności rosnącej liczby, zapisane w postaci wykładniczej. a), 0 5, 0, 0, 0 0, 0 b),8 0 0, 0 -, ,5 0 7, Oblicz. a) b) c) 5 0 ( 5 ) 5 ( : ) ( ) : ( ) 5 7 ( ) ( ) ( ) ( ) 08, + ( ) 0 5