Wojewódzki Konkurs rzedmiotowy z Matematyki dla uczniów gimnazjów woj. śląskiego w roku szkolnym 016/017 rzykładowe rozwiązania zadań i schemat punktowania Etap szkolny rzy punktowaniu zadań otwartych należy stosować następujące ogólne reguły: Oceniamy rozwiązania zadań zgodnie z podanym niżej schematem, tzn. przyznajemy daną liczbę punktów, jeżeli rozwiązanie zawiera wszystkie wskazane na danym poziomie elementy. unktując rozwiązania zadań, przyznajemy tylko całkowitą liczbę punktów. Nie jest wymagana pisemna odpowiedź, ale jednoznaczne wskazanie wyniku lub rozstrzygnięcia problemu. Za każdy, inny niż podany w kluczu, poprawny sposób rozwiązania zadania przyznajemy maksymalną liczbę punktów. W przypadku, gdy zadanie rozwiązywano innym sposobem, niż podany w kluczu, ale popełnione zostały błędy lub nie dokończono rozwiązywania, należy przyznać punkty w zależności od poziomu wykonania zadania. Liczba punktów umożliwiająca kwalifikację do kolejnego etapu wynosi co najmniej 51. Zadanie 1. Za każde poprawnie zapisane hasło w krzyżówce 1 punkt, czyli w sumie 1 punktów. 1) W Y S O K O Ś Ć ) C Y F R A 3) M I A R A K Ą T A ) H E K T A R 5) R Ó Ż N I C A 6) J E D N O M I A N 7) D Z I E L N I K 8) Ś R E D N I C A 9) N I E W I A D O M A 10) K W A D R A T 11) L I C Z N I K 1) R Ó W N O L E G Ł O B O K 13) D W U S I E C Z N A K Ą T A 1) O B J Ę T O Ś Ć 15) R O M B 16) W Y K Ł A D N I K 17) R O M I E Ń 18) L I C Z B A 19) D Z I E D Z I N A 0) O T Ę G O W A N I E 1) O Ś S Y M E T R I I 1
Zadania zamknięte Za każde poprawnie zaznaczone wskazanie 1 punkt, czyli w sumie punkty. Zadanie 3 5 6 7 8 9 Odpowiedź I RAWDA FAŁSZ FAŁSZ RAWDA RAWDA RAWDA RAWDA RAWDA Odpowiedź II FAŁSZ RAWDA FAŁSZ RAWDA RAWDA FAŁSZ FAŁSZ FAŁSZ Odpowiedź III RAWDA FAŁSZ FAŁSZ FAŁSZ RAWDA RAWDA FAŁSZ RAWDA rzykładowe rozwiązania: Zadania otwarte Zadanie 10. ABC XYZB XCB CYA AZB 1 1 1 6 7 7 3 33 6 ABC ABC 15 Odp. ole trójkąta ABC wynosi 15 j.
Zadanie 11. a 5k 1, b 5m, c 5p 3, gdzie k, m, p są liczbami całkowitymi. a) a b c 5k 1 5m 5 p 3 k k 5m m 5p 6 p 5 5 liczba całkowita Odp. Reszta z dzielenia sumy kwadratów liczb a, b, c wynosi. b) a c 5k 1 5p 3 k 5p 10kp8k 8p 31 5 5 liczba całkowita Odp. Reszta z dzielenia kwadratu sumy liczb a, c wynosi 1. Zadanie 1. Objętość części akwarium niezapełnionej wodą wynosi: 5 0,1 dm 3. 1 3,15 Objętość kulki wynosi: 1, 575 [dm 3 ] lub [dm 3 ]. Odp. Objętość kulki jest mniejsza niż objętość części akwarium niezapełnionej wodą, zatem po zanurzeniu kulki woda nie wyleje się z akwarium. Zadanie 13. Czas rędkość Droga I etap trasy Wojtka,5 h 6 km/h 13,5 km II etap trasy Wojtka 5 min = 1 5 h III etap trasy Wojtka x 5,5 km/h 5,5x [km] I etap trasy Ani (czyli I+II etap Wojtka) II etap trasy Ani (czyli III etap trasy Wojtka),5+ 1 5 = 3 h,5 km/h 1 km x,5 km/h,5x [km] 3
Łączna długość drogi przebytej przez Wojtka i Anię od momentu rozpoczęcia powrotu przez Wojtka do momentu spotkania wynosiła 1,5 km, stąd: 5,5x +,5x = 1,5 x = 0,15 [h] Łączny czas treningu do momentu spotkania: 9 0,15 [h] = h 9 min 3 60 W czasie x Ania przebyła 0,15,5 0, 65 [km], zatem cała droga Ani i jednocześnie odległość od miejsca rozpoczęcia treningu do miejsca spotkania wyniosła: 1 + 0,675 = 1,675 [km] Odp. Czas, jaki upłynął od momentu wyruszenia na trening do momentu spotkania Ani i Wojtka wyniósł h 9 min, a odległość od miejsca wyjścia do miejsca spotkania 1,675 km. II sposób 1 Droga Wojtka do momentu odpoczynku: 6 13, 5 km. 1 Czas Wojtka do momentu wyruszenia w drogę powrotną: h 5 min h h 0 min. 3 8 9 Droga Ani do momentu wyruszenia przez Wojtka w drogę powrotną:,5 1 km. 3 3 x - droga Ani do momentu spotkania, od chwili wyruszenia przez Wojtka w drogę powrotną. t czas do momentu spotkania, od chwili wyruszenia przez Wojtka w drogę powrotną. x,5t 1,5 x 5,5t 15 3 t 100 0 9 60 h = 9 min A x lub od razu 10t = 1,5 1,5 x W Łączny czas treningu do momentu spotkania: h 0 min + 9 min = h 9 min 9 9 droga: 1 1,675 km 60 Odp. Czas, jaki upłynął od momentu wyruszenia na trening do momentu spotkania Ani i Wojtka wyniósł h 9 min, a odległość od miejsca wyjścia do miejsca spotkania 1,675 km.
Schemat punktowania: Zad. oziom wykonania Schemat punktowania Liczba punktów oziom 6: pełne rozwiązanie. oprawne obliczenie pole trójkąta 15 [j ]. ABC 3 p. 10 11 oziom : zasadnicze trudności oziom : dokonano istotnego oziom 0: rozwiązanie oziom 6: pełne rozwiązanie. oziom 5: zasadnicze trudności bezbłędnie, ale dalsza część rozwiązania zawiera usterki (błędy rachunkowe, niedokonanie wyboru właściwych rozwiązań itp.). oziom : zasadnicze trudności oziom : dokonano istotnego oziom 0: rozwiązanie Zapisanie poprawnych wyrażeń arytmetycznych prowadzących do obliczenia pola trójkąta ABC. rzyjęcie do obliczeń prawidłowego prostokąta XYZB (na rysunku albo w zapisie wzoru na pole prostokąta). Rysunek trójkąta ABC w układzie współrzędnych. Uzasadnienie obu poprawnie wyznaczonych reszt: r = oraz r = 1 (zauważenie całkowitych składników przekształconego wyrażenia albo inne uzasadnienie wyznaczonej reszty, np. rachunek reszt). Zapisanie sumy kwadratów liczb a, b, c ORAZ zapisanie kwadratu sumy liczb a, c w postaci przekształconego wyrażenia pozwalającego wyznaczyć szukaną resztę. Zapisanie sumy kwadratów liczb a, b, c ALBO kwadratu sumy liczb a, c w postaci przekształconego wyrażenia pozwalającego wyznaczyć szukaną resztę. Wykorzystanie informacji o resztach z dzielenia liczb przez 5 (np. zapis odpowiednich wyrażeń). p. 1 p. p. 3 p. p. 1 p. 5
Zad. oziom wykonania Schemat punktowania Liczba punktów 1 oziom 6: pełne rozwiązanie. odanie poprawnego wniosku. 3 p. oziom : zasadnicze trudności oziom : dokonano istotnego oziom 0: rozwiązanie Oszacowanie objętości kulki pozwalające na dokonanie porównania z objętością części akwarium. Obliczenie objętości części akwarium niezapełnionej wodą. odanie wzoru na objętość prostopadłościanu, obliczenie objętości akwarium. p. 1 p. Zad. oziom wykonania Schemat punktowania 13 oziom 6: pełne rozwiązanie. oziom 5: zasadnicze trudności bezbłędnie, ale dalsza część rozwiązania zawiera usterki (błędy rachunkowe, niedokonanie wyboru właściwych rozwiązań itp.). oziom : zasadnicze trudności oziom : dokonano istotnego oziom 1: dokonano niewielkiego, ale koniecznego postępu na drodze do całkowitego oziom 0: rozwiązanie oprawne obliczenie odległości od miejsca wyjścia do miejsca spotkania Ani i Wojtka (1,675 km). oprawne obliczenie czasu, jaki upłynął od momentu wyruszenia na trening do momentu spotkania Ani i Wojtka ( h i 9 min). Obliczenie czasu, jaki upłynął od momentu rozpoczęcia drogi powrotnej Wojtka do spotkania z Anią. Liczba punktów 5 p. p. 3 p. Obliczenie drogi Ani w I etapie jej trasy. p. Obliczenie drogi Wojtka w I etapie jego trasy. 1 p. 6