Cyrowe Przetwarzanie Obrazów Digital Image Processing Aurelio A. Heckert Copyright (c) 2008 Cezary Bołdak Permission is granted to copy, distribute and/or modiy this document under the terms o the GNU Free Documentation License, Version 1.2 or any later version published by the Free Sotware Foundation; with no Invariant Sections, no Front- Cover Texts, and no Back-Cover Texts. A copy o the license is included in the section entitled "GNU Free Documentation License"
Wykład 6 Przetwarzanie obrazów w dziedzinie częstotliwości (requency-space image processing) Wykład 6 2008 Cyrowe Przetwarzanie Obrazów 2
Sygnał analogowy y sygnał jest zapisem zmienności pewnej wielkości y w zależności od upływającego czasu y(t)=(t) t/x unkcja może być dana analitycznie (równanie) lub nie zmienna niezależna t (czas) może też oznaczać dystans, położenie x na sygnał taki można narzucić szereg warunków (ciągłość, różniczkowalność,...) Wykład 6 2008 Cyrowe Przetwarzanie Obrazów 3
Rozkład sygnału na unkcje bazowe każdy sygnał można zastąpić kombinacją liniową innych unkcji nazywanych unkcjami bazowymi: y(t)=a 1 1 (t)+a 2 2 (t)+...+a n n (t) (+...) czasami jest to suma skończona, czasami nie załóżmy sygnał dany wzorem: 1 jeżeli k 2 t k 2 y t ={ 0 jeżeli k 2 t k 1 2 sygnał taki można przedstawić za pomocą nieskończonej sumy sinusów o wzrastającej częstotliwości: sin x 1 3 sin 3x 1 5 sin 5x 1 7 sin 7x = 1 i=0,, sin 2i 1 x 2i 1 jeśli weźmiemy skończoną liczbę składników, będzie to tylko przybliżenie sygnału (tym dokładniejsze im więcej składników) Wykład 6 2008 Cyrowe Przetwarzanie Obrazów 4
Rozkład sygnału na unkcje bazowe na wykresie przestawiona jest sum 10 składników (i=0,...9) (nie wszystkie składowe sinusy są narysowane) animacja pokazująca wpływ liczby składników na jakość przybliżenia Fullostars, Wikipedia.org Wykład 6 2008 Cyrowe Przetwarzanie Obrazów 5
Transormata częstotliwościowa jeśli przyjmiemy że unkcjami bazowymi są w tym przypadku unkcje sinus o wzrastającej częstotliwości (unkcje harmoniczne), to można uznać że dokonaliśmy przejścia z dziedziny czasu na dziedzinę częstotliwości wartościami unkcji w dziedzinie częstotliwości są same zera z wyjątkiem częstotliwości =1 (wartość 1), =3 (wartość 1/3), =5 (wartość 1/5),... y (x ) tranormata Y ( ) częstotliwościowa x użycie innych unkcji bazowych da inne wartości transormacja ta (transormata) jest odwracalna znowu możemy przejść z dziedziny częstotliwości do dziedziny czasowej (przestrzennej) Wykład 6 2008 Cyrowe Przetwarzanie Obrazów 6
Odwrotna transormata częstotliwościowa transormacja ta jest odwracalna Y ( ) odwrotna tranormata częstotliwościowa y (x ) zmiana wartości w dziedzinie częstotliwości przy tych samych unkcjach bazowych może dać inną postać unkcji w dziedzinie częstotliwości: x sin x 1 2 sin 2x 1 3 sin 3x 1 4 sin 4x Y ( ) odwrotna tranormata częstotliwościowa y (x ) x Wykład 6 2008 Cyrowe Przetwarzanie Obrazów 7
Charakterystyka sinusoidy y x =Asin 2 x y okres sygnału amplituda A przesunięcie azowe = 2 częstotliwość kątowa [radiany] = 1 częstotliwość [Hz] Wykład 6 2008 Cyrowe Przetwarzanie Obrazów 8
Transormata Fouriera transormata Fouriera jest przykładem takiej transormaty częstotliwościowej unkcjami bazowymi są tu unkcje sinusów i cosinusów o zwiększającej się częstotliwości (unkcje harmoniczne) gdzie: okres sygnału y współczynniki A i B są zespolone!!! zespolony współczynnik koduje amplitudę i azę unkcji bazowej równoważna orma: y x =A 0 k =1 gdzie współczynniki C są zespolone A k cos 2 k x B k sin 2 k y x =A 0 k =1 A k cos 2 k x Ak B k sin 2 k x B k A k = re A k 2 im A k, Ak =tg 1im A k re A k, B i k B k analogicznie. y x = k= C k e i 2 k x = k= C k {cos 2 x x x k i sin 2 x x k } e ±i x =cos x ±i sin x Wykład 6 2008 Cyrowe Przetwarzanie Obrazów 9
Wyliczanie współczynników C k = C k e i k 1 = y x e i 2 k x dx współczynniki C mierzą podobieństwo unkcji y(x) do każdej z unkcji bazowych miara podobieństwa wyliczana jest przez całkę z iloczynu skalarnego 2 unkcji okres λ y(x) okres λ (y*base)(x) base(x) iloczyn skalarny równy jest sumie pól liczonej na długości okresy unkcji y(x) unkcja y(x) jest uważana za periodyczną y x =y x k transormata Fouriera jest odwracalna: Y = y x e i 2 x dx y x = Y e i 2 x d Wykład 6 2008 Cyrowe Przetwarzanie Obrazów 10
Dyskretna transormata Fouriera w przypadku dyskretnym (sygnał cyrowy, obraz cyrowy) całki zamieniają się na sumy unkcje bazowe również mają postać dyskretną sygnał cyrowy traktowany jest jako jeden okres i uzupełniany z przodu i z tyłu swoimi powtórzeniami może to wprowadzać nieciągłości y 0 liczba próbek określana jest na N jest to też okres unkcji y x = k=0 N 1 Ck e i 2 k t/x N x 2 k N 1 i Y = k =0 C N k e C k = 1 N x=0 N 1 y x e i 2 k N x Wykład 6 2008 Cyrowe Przetwarzanie Obrazów 11
y[] 0 y[n]=y[0]=0 Transormata Fouriera sinusa y(x) Re(Y()) Im(Y()) Y() x y [ x ]=sin 2 N x Y [0]=0 Y [1]=0 C i Y [N 1]=0 C i R Y t 2 I Y t 2 sinus ma częstotliwość =1 (jeden przebieg na N próbek) powoduje powstanie 2 pików w DFT: komponentu drugiego (Y[1]) i ostatniego (Y[]), są one symetryczne w części urojonej względem punktu (N/2, 0) Wykład 6 2008 Cyrowe Przetwarzanie Obrazów 12
Transormata Fouriera sinusa y(x) Re(Y()) Im(Y()) Y() x y [ x ]=sin 2 N 2 x Y [2]=0 C i Y [N 2]=0 C i y(x) Re(Y()) Im(Y()) Y() x y [ x ]=sin 2 N 2 x Y [4]=0 C i Y [N 4]=0 C i wzrastająca częstotliwość powoduje przesunięcie pików części urojonej w stronę punktu (N/2,0) moduł transormaty również się przesuwa Wykład 6 2008 Cyrowe Przetwarzanie Obrazów 13
Transormata Fouriera cosinusa y(x) Re(Y()) Im(Y()) Y() x y [ x ]=cos 2 N x Y [1]=C 0 i Y [N 1]=C 0 i y(x) Re(Y()) Im(Y()) Y() x y [ x ]=cos 2 N 4 x Y [4]=C 0 i Y [N 4]=C 0 i tu również położenie pików reprezentuje częstotliwość piki w części rzeczywistej są symetryczne względem linii prostopadłej do osi OX i przechodzącej przez punkt (N/2, 0) amplituda transormaty pozostaje cały czas taka sama Wykład 6 2008 Cyrowe Przetwarzanie Obrazów 14
Składowa stała sygnału Y[0] = 0 całka pod wykresem jest równa 0 jest to częstotliwość 0 przesunięcie unkcji do góry powoduje pojawienie się rzeczywistej składowej stałej y(x) Re(Y()) Im(Y()) Y() x y[ x]=cos 2 N x 0.5 Y [0]=D Y [1]=C 0 i Y [N 1]=C 0 i y(x) Re(Y()) Im(Y()) Y() x y [ x ]=cos 2 N 4 x 0,5 Y [0]=D Y [4]=C 0 i Y [N 4]=C 0 i Wykład 6 2008 Cyrowe Przetwarzanie Obrazów 15
Zakres częstotliwości najmniejszą niezerową częstotliwością braną pod uwagę jest min =1 jedno powtórzenie sygnału w oknie/obrazie y(x) Re(Y()) x największą częstotliwością, zgodnie z teorią próbkowania Nyquista- Shannona, jest =N/2 y(x) y(x) Re(Y()) x x N/2 częstotliwość daje w transormacie 2 piki : Y[] i Y[N-F] Wykład 6 2008 Cyrowe Przetwarzanie Obrazów 16
Przesunięcie w azie sygnału y(x) Re(Y()) Im(Y()) x y(x) y [ x ]=cos 2 N x 8 Re(Y()) Im(Y()) x y(x) y[x]=cos 2 N x 4 Re(Y()) Im(Y()) x przesunięcie w azie o /2 da w wyniku sinus w miarę przesuwania maleje część rzeczywista i rośnie urojona moduł pozostaje cały czas ten sam! wpływ przesunięcia azy na wartość Y[0] /2 Im(Y[1]) 0 /4 /4 Re(Y[1]) Wykład 6 2008 Cyrowe Przetwarzanie Obrazów 17
Sygnał złożony y[x]=cos 2 N x 1 2 cos 2 N 4 x 2 3 cos 2 6 x ; x=0,, N 1 N y(x) x Re(Y()) Im(Y()) Y[1]=Y[]=50 Y[4]=Y[N-4]=25 Y[6]=Y[N-6]=33.33 sygnał złożony łatwo się separuje w dziedzinie częstotliwości Wykład 6 2008 Cyrowe Przetwarzanie Obrazów 18
sygnał sinusa z szumem y(x) Separowanie sygnału od szumu x po transormacie Fouriera: Re(Y()) Im(Y()) po progowaniu i odwrotnej transormacie odzyskujemy sygnał bez szumu: sygnał szumu to różne częstotliwości o mniejszej częstotliwości y(x) x Wykład 6 2008 Cyrowe Przetwarzanie Obrazów 19
Złożoność obliczeniowa DFT Szybka Transormata Fouriera (FFT) mamy do policzenia ~N współczynników każdy współczynnik to suma ~N wyrażeń złożoność obliczeniowa DFT: O(N2 ) złożoność odwrotnej transormaty jest taka sama szybka transormata Fouriera (Fast Fourier Transorm) FFT pozwala policzyć współczynniki ze złożonością O(N ln N)!!! dla małych N nie ma to wielkiego znaczenia dla dużych N różnice są bardzo duże!!! 40 30 N / ln(n) 20 10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 FFT jest dość skomplikowana zwykle są unkcje biblioteczne które liczą FFT oryginalna FFT liczy dla N=2k (potęgi 2) procedury biblioteczna radzą sobie z tym Wykład 6 2008 Cyrowe Przetwarzanie Obrazów 20 N
Dyskretna transormata Fouriera 2D zakładamy rozmiar obrazu NxN N 1 F a, b = 1 N 2 x=0 N 1 I x,y = 1 N 2 a=0 N 1 i2 y=0 I x, y e a x N b y N IDFT 2D (odwrotna transormata Fouriera 2D): N 1 b=0 I x, y e i2 a x N b y transormata Fouriera jest separowalna względem wymiarów: F a, b = 1 N y=0 N 1 X a, y e i2 b y N gdzie N X a, y = 1 N x=0 N 1 I x, y e i2 a x tzn. najpierw można policzyć N transormat 1D w N wierszach a następnie N transormat 1D w kolumnach (z wynikami pierwszych N transormat) co znacznie przyspiesza obliczenia O(N 2 ) zamiast O(N 4 ) dalsze przyspieszenie obliczeń: FFT O(N ln N) N I(x,y) FFT 1D FFT 1D FFT 1D FFT 1D F(a,b) FFT 1D... FFT 1D Wykład 6 2008 Cyrowe Przetwarzanie Obrazów 21
Transormata obrazu Image Re(FFT(Image)) Im(FFT(Image)) kolor biały wartości dodatnie, czarny ujemne, szary wartości zerowe niewiele tu widać Wykład 6 2008 Cyrowe Przetwarzanie Obrazów 22
Moduł + aza transormaty FFT Image = R FFT Image 2 I FFT Image 2 aza FFT Image =tg 1 I FFT Image R FFT Image kolor czarny: aza -, kolor biały: aza + składowa stała niskie częstotliwości wysokie częstotliwości FFT(image)[0]=34721,451 + 0i składowa stała jest duża liczbą całkowitą (moduł = 34721,451), aza=0 składowa stała znacznie przewyższa inne częstotliwości (max =11221) małe częstotliwości są silniej reprezentowane niż wysokie obraz nie ma żadnej zauważalnej prawidłowości większość inormacji ważnej w interpretacji niesie ze sobą moduł jest on najczęściej używany Wykład 6 2008 Cyrowe Przetwarzanie Obrazów 23
Przesunięcie obrazu transormaty na poprzednim rysunku częstotliwości niskie (niosące najwięcej użytecznej inormacji) są rozproszone po rogach transormaty zwykle gromadzi się je w środku obrazu przez przesunięcie ćwiartek obrazu transormaty dotyczy to wartości rzeczywistej/zespolonej oraz modułu/azy tshit składowa stała niskie częstotliwości wysokie częstotliwości obraz modułu jest uporządkowany, w obrazie azy nic to wizualnie nie zmienia przed transormata odwrotną trzeba powrócić do stanu początkowego Wykład 6 2008 Cyrowe Przetwarzanie Obrazów 24
Logarytmiczna skala modułu składowa stała ma dużo większą wartość od pozostałych częstotliwości (na środkowym obrazie została ona obcięta z 34721 do 1000 aby inne częstotliwości nie były czarne jak na lewym obrazie) dlatego w większości wizualizacji przedstawia się logarytm modułu (obraz prawy) FFT(Image) min( FFT(Image), 1000) log( FFT(Image) +1) w obrazie azy nie ma to znaczenia zakres jest (-,+ ) operacja tylko w celach wizualizacyjnych Wykład 6 2008 Cyrowe Przetwarzanie Obrazów 25
Transormata odwrotna Image transormata Fouriera jest odwracalna: X=IFT(FT(X)) DFT jest tylko przybliżeniem transormaty Fouriera stąd w DFT pojawia się strata jakości (eekt przybliżeń) IFFT(FFT(Image)) Wykład 6 2008 Cyrowe Przetwarzanie Obrazów 26
Transormata odwrotna bez azy IFFT pomimo pozornego chaosu aza jest niezbędna do odwrócenia transormaty Wykład 6 2008 Cyrowe Przetwarzanie Obrazów 27
Transormata odwrotna bez modułu IFFT rekonstrukcja bez modułu też jest niemożliwa Wykład 6 2008 Cyrowe Przetwarzanie Obrazów 28
Funkcje bazowe 2D Re(FFT(Image)) Im(FFT(Image)) IFFT Image unkcjami bazowymi są sinusoidy i cosinusoidy 2D Re(FFT(Image)) Im(FFT(Image)) IFFT Image sin 2 x N cos 2 x N kolor szary: 0 kolor biały: >0 kolor czarny: <0 Wykład 6 2008 Cyrowe Przetwarzanie Obrazów 29
Amplituda unkcji bazowych Re(FFT(Image)) Im(FFT(Image)) IFFT Image Re(FFT(Image)) Im(FFT(Image)) IFFT Image wysokość pików steruje amplitudą (jasnością) unkcji bazowych Re(FFT(Image)) Im(FFT(Image)) IFFT Image sinusoida staje się mniej kontrastowa bardziej szara (zbliżona do wartości 0 kolor szary) Wykład 6 2008 Cyrowe Przetwarzanie Obrazów 30
kolor szary: 0 kolor biały: >0 kolor czarny: <0 Faza unkcji bazowych kolor szary: aza 0 kolor biały: aza + kolor czarny: aza - Re(FFT(Image)) Im(FFT(Image)) IFFT Image aza(fft(image)) FFT(Image) Re(FFT(Image)) Im(FFT(Image)) IFFT Image aza(fft(image)) - /2 + /2 /2 aza steruje przesunięciem. bazowej (sinus to przesunięty w azie cosinus) Re(FFT(Image)) Im(FFT(Image)) Image FFT(Image) aza(fft(image)) IFFT + /4 /4 Wykład 6 2008 Cyrowe Przetwarzanie Obrazów - /4 31
Re(FFT(Image)) Im(FFT(Image)) IFFT Image Częstotliwość unkcji bazowych Re(FFT(Image)) Im(FFT(Image)) IFFT Re(FFT(Image)) Im(FFT(Image)) IFFT Image Image położenie pików steruje częstotliwością. bazowych bliżej środka mniejsze częstot. dalej od środka większe częstot. częstotliwość minimalna = 1 Re(FFT(Image)) Im(FFT(Image)) IFFT Image częstotliwość maksymalna = N/2 (tylko 1 pik na FFT) paski biało-czarne o grubości 1 Wykład 6 2008 Cyrowe Przetwarzanie Obrazów 32
Orientacja unkcji bazowych Re(FFT(Image)) Im(FFT(Image)) IFFT Image Re(FFT(Image)) Im(FFT(Image)) IFFT Image orientacja unkcji bazowej określona jest przez stosunek składowych x i y pików w dziedzinie częstotliwości Re(FFT(Image)) Im(FFT(Image)) IFFT Image Wykład 6 2008 Cyrowe Przetwarzanie Obrazów 33
Składanie unkcji bazowych Re(FFT(Image)) Im(FFT(Image)) IFFT Image cos 2 x N cos 2 3x N Re(FFT(Image)) Im(FFT(Image)) IFFT Image cos 2 x N cos 2 y N Re(FFT(Image)) Im(FFT(Image)) IFFT Image cos 2 3x N cos 2 3y N Wykład 6 2008 Cyrowe Przetwarzanie Obrazów 34
Transormata wysokich częstotliwości Image FFT(Image) FFT(Image) FFT FFT paski biało-czarne o grubości 1 paski biało-czarne o grubości 5 lewy obraz i jego transormata jest zrozumiała, to maksymalna częstotliwość cosinusa N/2 ale prawa? pojawiają się dodatkowe częstotliwości: oprócz głównej (N/10, w kółkach) również jej wielokrotności: N/5 i ~N/2 o niższych amplitudach! są to składowe harmoniczne dzieje się tak, ponieważ próbkowany sygnał nie jest już sinusoidą tylko wykresem 0101010101 Wykład 6 2008 Cyrowe Przetwarzanie Obrazów 35
Transormata sygnałów nieciągłych sygnał FFT(sygnał) FFT 65 60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 transormata sygnału ze skokiem wartości jest złożeniem wielu częstotliwości tak w 2D jak i w 3D: Image log( FFT(Image) +1) FFT Wykład 6 2008 Cyrowe Przetwarzanie Obrazów 36
Transormata rozkładu Gausa Image log( FFT(Image) +1) Image log( FFT(Image) +1) FFT FFT transormata Fouriera krzywej Gausa też jest krzywą Gausa!!! jest to jedna z niewielu orm które mają skończony, kompaktowy kształt w dziedzinie częstotliwości i w dziedzinie przestrzennej tak w 3D jak i w 2D: 1,1 1 0,9 FFT 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 Wykład 6 2008 Cyrowe Przetwarzanie Obrazów 37
Zasada nieoznaczoności Heisenberga *** Image log( FFT(Image) +1) FFT =2 Image FFT log( FFT(Image) +1) nie można mieć małego obrazu unkcji Gausa w dziedzinie częstotliwości i przestrzennej zwiększając szerokość w dziedzinie przestrzennej zmniejsza się ją w dziedzinie czasu =5 Image log( FFT(Image) +1) iloczyn szerokości (odchylenia standardowego) w dziedzinie częstotliwości i przestrzennej jest stały: FFT xy =const =20 Wykład 6 2008 Cyrowe Przetwarzanie Obrazów 38
Filtrowanie obrazu: iltr dolnoprzepustowy skoro mamy widmo częstotliwości obrazu, można wybrać tylko te, które nas interesują i usunąć pozostałe na przykład iltr wygładzający jest iltrem dolnoprzepustowym zatrzymuje w obrazie tylko niższe częstotliwości i usuwa wyższe: Image log( FFT(Image) +1) aza( FFT(Image) ) FFT maska IFFT Wykład 6 2008 Cyrowe Przetwarzanie Obrazów 39
Filtrowanie obrazu: maska z krawędziami obraz co prawda jest wygładzony, ale pojawiają się zniekształcenia!!! jest to wpływ ostrych krawędzi maski obcinającej wysokie częstotliwości (które wnoszą do widma wiele składowych harmonicznych Image IFFT(FFT(Image)) lepsze eekty da zastosowanie maski w postaci unkcji Gausa 2D powstaje iltr Butterworth'a Wykład 6 2008 Cyrowe Przetwarzanie Obrazów 40
Filtrowanie obrazu: iltr Butterworth'a zastosowana maska jest unkcją Gausa 2D o takim samym odchyleniu standardowym co promień koła poprzedniej maski zniekształcenia znikają!!! a obraz jes wygładzony Image log( FFT(Image) +1) aza( FFT(Image) ) FFT maska IFFT Wykład 6 2008 Cyrowe Przetwarzanie Obrazów 41
IFFT(FFT(Image)) iltr z maską kołową Porównanie: iltr Butterworth'a vs maska kołowa IFFT(FFT(Image)) iltr Butterwortha Wykład 6 2008 Cyrowe Przetwarzanie Obrazów 42
Filtr Butterworth'a górnoprzepustowy maska.* FFT(Image) maska.* aza( FFT(Image) ) maska usunięte są niskie częstotliwości IFFT( maska.* FFT(Image) ) wysokie częstotliwości zostają wysokie częstotliwości to głównie krawędzie uzyskujemy detektor krawędzi na podobnej zasadzie iltry typu band-pass, band-stop Wykład 6 2008 Cyrowe Przetwarzanie Obrazów 43
Czułość iltrów dolnoprzepustowych maska =20 czułością (stopniem rozmycia) można sterować przez zmianę szerokości maski (odchylenia standardowego) czym mniejsza, tym rozmycie większa!!! odwrotnie niż z maskami konwolucji maska =50 maska =100 Wykład 6 2008 Cyrowe Przetwarzanie Obrazów 44
Czułość iltrów górnoprzepustowych maska-negatyw =20 czułością na cienkie linie można sterować przez zmianę szerokości maski (odchylenia standardowego) usunięcie niewielu niskich częstotliwości zachowuje detale maska-negatyw =50 maska-negatyw =100 Wykład 6 2008 Cyrowe Przetwarzanie Obrazów 45
Wykorzystanie FFT w konwolucji konwolucja w dziedzinie przestrzennej odpowiada zwykłemu pomnożeniu elementów macierzy w dziedzinie częstotliwości: FFT Image Mask =FFT Image.* FFT Mask ponieważ FFT jest szybką operacją O(N ln N) pojawia się możliwość szybkiego iltrowania w dziedzinie przestrzennej przez tymczasowe przejście do dziedziny częstotliwości: Image Mask=IFFT FFT Image.* FFT Mask znany już przykład: iltracja z maską Gausa (poprzednie slajdy) Wykład 6 2008 Cyrowe Przetwarzanie Obrazów 46
Schemat konwolucji przez FFT 1. weź maskę konwolucji i obraz Image 2. umieść ją w centrum obrazu o wart. 0 o rozmiarach takich jak Image [ 0 1 0 0] 1 4 1 0 1 3. oblicz transormaty FFT maski i obrazu i wymnóż ich elementy FFT (Image) FFT (mask).* = IFFT 4. do wyniku zastosuj odwrotną FFT * Uwaga: Należy pamiętać o wykonywanych operacjach tshit! Wykład 6 2008 Cyrowe Przetwarzanie Obrazów 47
Porównanie konwolucji przez FFT i zwykłej brak znaczących różnic FFT zapewnia stały czas, niezależnie od wielkości maski złożoność konwolucji w dziedzinie przestrzennej silnie zależy od wielkości maski FFT wnosi skomplikowanie praktyka: małe maski: zwykła konw. duże maski: przez FFT Wykład 6 2008 Cyrowe Przetwarzanie Obrazów 48
Selektywne iltrowanie częstotliwości: iltry Gabora pojedynczy iltr Gabora pozwala przeiltrować obraz zachowująć tylko precyzyjnie dobrany zakres częstotliwości pozwala to zrobić zarówno w dziedzinie częstotliwości za pomocą konwolucji z wyliczoną maską, jak i w dziedzinie częstotliwości maska konwolucji ma zespolone współczynniki (choć istnieją też wersje ze współczynnikami rzeczywistymi maska w dziedzinie częstotliwości jest unkcją Gausa (koperta, envelop) modulowaną (zespoloną) sinusoidą (nośnik, carrier) Wykład 6 2008 Cyrowe Przetwarzanie Obrazów 49
Nośnik maski iltru Gabora nośnik jest zespoloną sinusoidą: s x, y =e i 2 u 0 x v 0 y P =cos 2 u 0 x v 0 y P i sin 2 u 0 x v 0 y P gdzie: (u0, V0) określa częstotliwość zespolonej sinusoidy P azę tej sinusoidy część rzeczywista cosinusoida, część urojona sinusoida, obie przesunięte w azie P częstotliwość w kierunku x: N u 0, w kierunku y: N v 0 Re(s) Im(s) Obraz 100x100, u 0 =1/60; v 0 =1/30, P= /4 aza P= /4 okres sinusoidy: =[ 1 u 0, 1 v 0 ]=[60,30] Wykład 6 2008 Cyrowe Przetwarzanie Obrazów 50
kopertą jest unkcja Gaussa: Koperta maski iltru Gabora w r x, y =K e a2 x x 0 2 r b 2 y y 0 2 r gdzie: 1/a K czynnik skalujący a, b skalują 2 osie unkcji Gausa (x 0, y 0 ) środek unkcji Gausa kąt obrotu unkcji Gausa wokół (x 0, y 0 ) nie ma znaczenia jeśli a=b (x-x 0 ) r = (x-x 0 ) cos + (y-y 0 ) sin (y-y 0 ) r = - (x-x 0 ) sin + (y-y 0 ) cos N a 1/b N b (x 0,y 0 ) Obraz 100x100, a=1/10, b=1/20, (x 0,y 0 )=(10,5), K=5, = /6 FFT(Obraz) Wykład 6 2008 Cyrowe Przetwarzanie Obrazów 51
Maska iltru Gabora g x, y =K e a2 x x 0 2 r b 2 y y 0 2 r e i 2 u x v 0 0 y P okres sinusoidy: =[ 1 u 0, 1 v 0 ]=[60, 30] Re(g) Im(g) (x 0,y 0 ) (x 0,y 0 ) Obraz 100x100, a=1/10, b=1/20, (x 0,y 0 )=(10,5), K=5, = /6, u 0 =1/30 v 0 =1/60, P=0 maska jest iloczynem sygnału-nośnika z ograniczającą ją kopertą Wykład 6 2008 Cyrowe Przetwarzanie Obrazów 52
Re(g) Maska iltru Gabora w dziedzinie częstotiwości Im(g) FFT (g) FFT FFT g u,v = K 2 x ab e i 0 u u 0 y 0 v v 0 P e u u0 r 2 a 2 FFT g u,v = K ab e 2 u u 0 r a 2 (N u 0, N v 0 )=(3.333, 1,666) v v 2 0 r b 2 v v 2 0 r b 2 aza u,v = 2 x 0 u u 0 y 0 v v 0 P Wykład 6 2008 Cyrowe Przetwarzanie Obrazów 53
Zakres częstotliwości iltru Gabora Obraz 100x100, a=0.3, b=0.2, (x 0,y 0 )=(10,5), K=5, = /4, u 0 =1/5 v 0 =1/10, P=0 N b=20 (N u 0, N v 0 )=(20, 10) N a=30 parametry P oraz (x 0, y 0 ) nie mają wpływu na zakres częstotliwości tylko na jej azę Wykład 6 2008 Cyrowe Przetwarzanie Obrazów 54
Filtrowanie iltrowanie z tak obliczoną maską w dziedzinie przestrzennej to zwykła konwolucja, ale wynik jest zespolony!!! do iltrowania używa się tylko środka maski jej brzegi zawierają wartości 0 iltrowań można też w dziedzinie częstotliwości po przejściu przez FFT wynik jest ten sam ma to zwykle zdarzenie, bo aby wybrać precyzyjnie częstotliwości a i b muszą być małe a zatem koperta Gausa jest duża, więc maski w dziedzinie przestrzennej są duże Wykład 6 2008 Cyrowe Przetwarzanie Obrazów 55
Filtrowanie częścią rzeczywistą i urojoną maski iltrowanie w dziedzinie częstotliwości maska 41x41 długi czas obliczeń Maska 100x100, a=0.1, b=0.05, (x 0,y 0 )=(10,5), K=5, = /4, u 0 =1/5 v 0 =1/10, P=0 mr=re(g(30:70,30:70)) Image * mr Image * mr mi=im(g(30:70,30:70)) Image * mi Image * mi Wykład 6 2008 Cyrowe Przetwarzanie Obrazów 56
Filtrowanie całością maski jedynie iltrowanie maską zespoloną daje ciągłe wyniki wzięcie tylko części rzeczywistej lub urojonej daje wyniki poszatkowane Image * maska Re (Image * maska) maska 41x41 zespolona!!! aza (Image * maska) Im (Image * maska) Wykład 6 2008 Cyrowe Przetwarzanie Obrazów 57
Transormata FFT składowych maski Re(g) FFT (Re(g)) Im(g) FFT (Im(g)) FFT FFT FFT (g) FFT + i wzięcie tylko części rzeczywistej lub urojonej maski powoduje dodanie drugiej iltrowanej częstotliwości pełna zespolona maska nie powoduje tego eektu Wykład 6 2008 Cyrowe Przetwarzanie Obrazów 58
Bank iltrów Gabora pojedyncza zespolona maska wyodrębnia jedną częstotliwość określoną przez parametry (u 0,v 0 ) z pewnym marginesem określonym przez a, b i jeśli jesteśmy zainteresowani zbiorem częstotliwości należy zastosować kilka masek, z których każda wykrywa jedną częstotliwość często chodzi nam o jeden moduł częstotliwości i kilka orientacji tworzy się wtedy bank iltrów Gabora: moduł częstotliwości jest stały, zmieniają się kierunki: płatki banku leża na okręgu orientacja płatka określona przez zmienia się aby orientować go do środka częstotliwości 0 pojedynczy płatek to obraz FFT jednej maski każdy z iltrów daje jedną odpowiedź tworzy się przez to tzw. przestrzeń Gabora przestrzeń tę można dalej przetwarzać, np. w celu klasyikacji, np: bierzemy wartość maksymalną Wykład 6 2008 Cyrowe Przetwarzanie Obrazów 59
Orientacja płatków orientacja steruje wykrywanymi częstotliwościami parametry stałe: moduł = 0.2, a=0.1, b=0.075, (x 0,y 0 )=(10,5), K=1, P=0 parametry zmienne:, u 0, v 0 zależne od orientacji płatków w poniższych przykładach wykrywane są linie pionowe i poziome, potem ukośne = u 0 =-1/5 v 0 =0 = /2 u 0 =0 v 0 =1/5 =3 /2 u 0 =0 v 0 =-1/5 =0 u 0 =1/5 v 0 =0 =3 /4 u 0 =-0.28 v 0 =0.28 = /4 u 0 =0.28 v 0 =0.28 =5 / 4 u 0 =-0.28 v 0 =-0.28 =7 / 4 u 0 =0.28 v 0 =-0.28 Wykład 6 2008 Cyrowe Przetwarzanie Obrazów 60
Liczba płatków czym więcej płatków, tym więcej pokrytych kierunków obraz się zapełnia coraz więcej w nim szczegółów parametry stałe: moduł = 0.2, a=0.1, b=0.075, (x 0,y 0 )=(10,5), K=1, P=0 parametry zmienne:, u 0, v 0 zależne od n liczby płatków n=4 n=6 n=8 n=16 Wykład 6 2008 Cyrowe Przetwarzanie Obrazów 61
Wielkość płatków podobny eekt zapełniania obrazu detalami można osiągnąć powiększając płatki parametry a i b powiększając parametr b pokrywa się też sąsiednie kierunki b=0.075 b=0.10 b=0.15 b=0.25 Wykład 6 2008 Cyrowe Przetwarzanie Obrazów 62
Wielkość płatków zmniejszając parametr a zwiększa się też kopertę Gausa maski - iltr ma większy zasięg z większej odległości widzi krawędź działa to też w drugą stronę większy płatek mniejsza koperta precyzyjniejsza lokalizacja krawędzi a=0.03 a=0.066 a=0.1 a=0.15 Wykład 6 2008 Cyrowe Przetwarzanie Obrazów 63
Odległość płatków od środka rozsuwając płatki od środka. interesujemy się wyższymi częstotliwościami przesuwając je do środka, skupiamy się na mniejszych częstotliwościach jeśli płatki pokrywają częstotliwość 0, pojawia się składowa stała obserwujemy pojawienie się oryginalnego obrazu (eekt uśredniania) moduł=0.05 moduł=0.10 moduł=0.20 moduł=0.40 Wykład 6 2008 Cyrowe Przetwarzanie Obrazów 64
Filtr kołowy iltr, który pokrywa wszystkie kierunki danej częstotliwości iltr typu band-pass powinien dawać w wyniku ciągłe krawędzie n=8 n=16 n=24 n=24 Wykład 6 2008 Cyrowe Przetwarzanie Obrazów 65
GNU Free Documentation License Version 1.2, November 2002 Copyright (C) 2000,2001,2002 Free Sotware Foundation, Inc. 51 Franklin St, Fith Floor, Boston, MA 02110-1301 USA Everyone is permitted to copy and distribute verbatim copies o this license document, but changing it is not allowed. 0. PREAMBLE The purpose o this License is to make a manual, textbook, or other unctional and useul document "ree" in the sense o reedom: to assure everyone the eective reedom to copy and redistribute it, with or without modiying it, either commercially or noncommercially. Secondarily, this License preserves or the author and publisher a way to get credit or their work, while not being considered responsible or modiications made by others. This License is a kind o "copylet", which means that derivative works o the document must themselves be ree in the same sense. It complements the GNU General Public License, which is a copylet license designed or ree sotware. We have designed this License in order to use it or manuals or ree sotware, because ree sotware needs ree documentation: a ree program should come with manuals providing the same reedoms that the sotware does. But this License is not limited to sotware manuals; it can be used or any textual work, regardless o subject matter or whether it is published as a printed book. We recommend this License principally or works whose purpose is instruction or reerence. 1. APPLICABILITY AND DEFINITIONS This License applies to any manual or other work, in any medium, that contains a notice placed by the copyright holder saying it can be distributed under the terms o this License. Such a notice grants a world-wide, royalty-ree license, unlimited in duration, to use that work under the conditions stated herein. The "Document", below, reers to any such manual or work. Any member o the public is a licensee, and is addressed as "you". You accept the license i you copy, modiy or distribute the work in a way requiring permission under copyright law. A "Modiied Version" o the Document means any work containing the Document or a portion o it, either copied verbatim, or with modiications and/or translated into another language. A "Secondary Section" is a named appendix or a ront-matter section o the Document that deals exclusively with the relationship o the publishers or authors o the Document to the Document's overall subject (or to related matters) and contains nothing that could all directly within that overall subject. (Thus, i the Document is in part a textbook o mathematics, a Secondary Section may not explain any mathematics.) The relationship could be a matter o historical connection with the subject or with related matters, or o legal, commercial, philosophical, ethical or political position regarding them. The "Invariant Sections" are certain Secondary Sections whose titles are designated, as being those o Invariant Sections, in the notice that says that the Document is released under this License. I a section does not it the above deinition o Secondary then it is not allowed to be designated as Invariant. The Document may contain zero Invariant Sections. I the Document does not identiy any Invariant Sections then there are none. The "Cover Texts" are certain short passages o text that are listed, as Front-Cover Texts or Back-Cover Texts, in the notice that says that the Document is released under this License. A Front-Cover Text may be at most 5 words, and a Back- Cover Text may be at most 25 words. A "Transparent" copy o the Document means a machine-readable copy, represented in a ormat whose speciication is available to the general public, that is suitable or revising the document straightorwardly with generic text editors or (or images composed o pixels) generic paint programs or (or drawings) some widely available drawing editor, and that is suitable or input to text ormatters or or automatic translation to a variety o ormats suitable or input to text ormatters. A copy made in an otherwise Transparent ile ormat whose markup, or absence o markup, has been arranged to thwart or discourage subsequent modiication by readers is not Transparent. An image ormat is not Transparent i used or any substantial amount o text. A copy that is not "Transparent" is called "Opaque". Examples o suitable ormats or Transparent copies include plain ASCII without markup, Texino input ormat, LaTeX input ormat, SGML or XML using a publicly available DTD, and standard-conorming simple HTML, PostScript or PDF designed or human modiication. Examples o transparent image ormats include PNG, XCF and JPG. Opaque ormats include proprietary ormats that can be read and edited only by proprietary word processors, SGML or XML or which the DTD and/or processing tools are not generally available, and the machine-generated HTML, PostScript or PDF produced by some word processors or output purposes only. The "Title Page" means, or a printed book, the title page itsel, plus such ollowing pages as are needed to hold, legibly, the material this License requires to appear in the title page. For works in ormats which do not have any title page as such, "Title Page" means the text near the most prominent appearance o the work's title, preceding the beginning o the body o the text. A section "Entitled XYZ" means a named subunit o the Document whose title either is precisely XYZ or contains XYZ in parentheses ollowing text that translates XYZ in another language. (Here XYZ stands or a speciic section name mentioned below, such as "Acknowledgements", "Dedications", "Endorsements", or "History".) To "Preserve the Title" o such a section when you modiy the Document means that it remains a section "Entitled XYZ" according to this deinition. The Document may include Warranty Disclaimers next to the notice which states that this License applies to the Document. These Warranty Disclaimers are considered to be included by reerence in this License, but only as regards disclaiming warranties: any other implication that these Warranty Disclaimers may have is void and has no eect on the meaning o this License. 2. VERBATIM COPYING You may copy and distribute the Document in any medium, either commercially or noncommercially, provided that this License, the copyright notices, and the license notice saying this License applies to the Document are reproduced in all copies, and that you add no other conditions whatsoever to those o this License. You may not use technical measures to obstruct or control the reading or urther copying o the copies you make or distribute. However, you may accept compensation in exchange or copies. I you distribute a large enough number o copies you must also ollow the conditions in section 3. You may also lend copies, under the same conditions stated above, and you may publicly display copies. Wykład 6 2008 Cyrowe Przetwarzanie Obrazów 66
3. COPYING IN QUANTITY I you publish printed copies (or copies in media that commonly have printed covers) o the Document, numbering more than 100, and the Document's license notice requires Cover Texts, you must enclose the copies in covers that carry, clearly and legibly, all these Cover Texts: Front-Cover Texts on the ront cover, and Back-Cover Texts on the back cover. Both covers must also clearly and legibly identiy you as the publisher o these copies. The ront cover must present the ull title with all words o the title equally prominent and visible. You may add other material on the covers in addition. Copying with changes limited to the covers, as long as they preserve the title o the Document and satisy these conditions, can be treated as verbatim copying in other respects. I the required texts or either cover are too voluminous to it legibly, you should put the irst ones listed (as many as it reasonably) on the actual cover, and continue the rest onto adjacent pages. I you publish or distribute Opaque copies o the Document numbering more than 100, you must either include a machine-readable Transparent copy along with each Opaque copy, or state in or with each Opaque copy a computer-network location rom which the general network-using public has access to download using public-standard network protocols a complete Transparent copy o the Document, ree o added material. I you use the latter option, you must take reasonably prudent steps, when you begin distribution o Opaque copies in quantity, to ensure that this Transparent copy will remain thus accessible at the stated location until at least one year ater the last time you distribute an Opaque copy (directly or through your agents or retailers) o that edition to the public. It is requested, but not required, that you contact the authors o the Document well beore redistributing any large number o copies, to give them a chance to provide you with an updated version o the Document. 4. MODIFICATIONS You may copy and distribute a Modiied Version o the Document under the conditions o sections 2 and 3 above, provided that you release the Modiied Version under precisely this License, with the Modiied Version illing the role o the Document, thus licensing distribution and modiication o the Modiied Version to whoever possesses a copy o it. In addition, you must do these things in the Modiied Version: * A. Use in the Title Page (and on the covers, i any) a title distinct rom that o the Document, and rom those o previous versions (which should, i there were any, be listed in the History section o the Document). You may use the same title as a previous version i the original publisher o that version gives permission. * B. List on the Title Page, as authors, one or more persons or entities responsible or authorship o the modiications in the Modiied Version, together with at least ive o the principal authors o the Document (all o its principal authors, i it has ewer than ive), unless they release you rom this requirement. * C. State on the Title page the name o the publisher o the Modiied Version, as the publisher. * D. Preserve all the copyright notices o the Document. * E. Add an appropriate copyright notice or your modiications adjacent to the other copyright notices. * F. Include, immediately ater the copyright notices, a license notice giving the public permission to use the Modiied Version under the terms o this License, in the orm shown in the Addendum below. * G. Preserve in that license notice the ull lists o Invariant Sections and required Cover Texts given in the Document's license notice. * H. Include an unaltered copy o this License. * I. Preserve the section Entitled "History", Preserve its Title, and add to it an item stating at least the title, year, new authors, and publisher o the Modiied Version as given on the Title Page. I there is no section Entitled "History" in the Document, create one stating the title, year, authors, and publisher o the Document as given on its Title Page, then add an item describing the Modiied Version as stated in the previous sentence. * J. Preserve the network location, i any, given in the Document or public access to a Transparent copy o the Document, and likewise the network locations given in the Document or previous versions it was based on. These may be placed in the "History" section. You may omit a network location or a work that was published at least our years beore the Document itsel, or i the original publisher o the version it reers to gives permission. * K. For any section Entitled "Acknowledgements" or "Dedications", Preserve the Title o the section, and preserve in the section all the substance and tone o each o the contributor acknowledgements and/or dedications given therein. * L. Preserve all the Invariant Sections o the Document, unaltered in their text and in their titles. Section numbers or the equivalent are not considered part o the section titles. * M. Delete any section Entitled "Endorsements". Such a section may not be included in the Modiied Version. * N. Do not retitle any existing section to be Entitled "Endorsements" or to conlict in title with any Invariant Section. * O. Preserve any Warranty Disclaimers. I the Modiied Version includes new ront-matter sections or appendices that qualiy as Secondary Sections and contain no material copied rom the Document, you may at your option designate some or all o these sections as invariant. To do this, add their titles to the list o Invariant Sections in the Modiied Version's license notice. These titles must be distinct rom any other section titles. You may add a section Entitled "Endorsements", provided it contains nothing but endorsements o your Modiied Version by various parties--or example, statements o peer review or that the text has been approved by an organization as the authoritative deinition o a standard. You may add a passage o up to ive words as a Front-Cover Text, and a passage o up to 25 words as a Back-Cover Text, to the end o the list o Cover Texts in the Modiied Version. Only one passage o Front-Cover Text and one o Back- Cover Text may be added by (or through arrangements made by) any one entity. I the Document already includes a cover text or the same cover, previously added by you or by arrangement made by the same entity you are acting on behal o, you may not add another; but you may replace the old one, on explicit permission rom the previous publisher that added the old one. The author(s) and publisher(s) o the Document do not by this License give permission to use their names or publicity or or to assert or imply endorsement o any Modiied Version. Wykład 6 2008 Cyrowe Przetwarzanie Obrazów 67
6. COLLECTIONS OF DOCUMENTS You may make a collection consisting o the Document and other documents released under this License, and replace the individual copies o this License in the various documents with a single copy that is included in the collection, provided that you ollow the rules o this License or verbatim copying o each o the documents in all other respects. You may extract a single document rom such a collection, and distribute it individually under this License, provided you insert a copy o this License into the extracted document, and ollow this License in all other respects regarding verbatim copying o that document. 7. AGGREGATION WITH INDEPENDENT WORKS A compilation o the Document or its derivatives with other separate and independent documents or works, in or on a volume o a storage or distribution medium, is called an "aggregate" i the copyright resulting rom the compilation is not used to limit the legal rights o the compilation's users beyond what the individual works permit. When the Document is included in an aggregate, this License does not apply to the other works in the aggregate which are not themselves derivative works o the Document. I the Cover Text requirement o section 3 is applicable to these copies o the Document, then i the Document is less than one hal o the entire aggregate, the Document's Cover Texts may be placed on covers that bracket the Document within the aggregate, or the electronic equivalent o covers i the Document is in electronic orm. Otherwise they must appear on printed covers that bracket the whole aggregate. 8. TRANSLATION Translation is considered a kind o modiication, so you may distribute translations o the Document under the terms o section 4. Replacing Invariant Sections with translations requires special permission rom their copyright holders, but you may include translations o some or all Invariant Sections in addition to the original versions o these Invariant Sections. You may include a translation o this License, and all the license notices in the Document, and any Warranty Disclaimers, provided that you also include the original English version o this License and the original versions o those notices and disclaimers. In case o a disagreement between the translation and the original version o this License or a notice or disclaimer, the original version will prevail. I a section in the Document is Entitled "Acknowledgements", "Dedications", or "History", the requirement (section 4) to Preserve its Title (section 1) will typically require changing the actual title. 9. TERMINATION You may not copy, modiy, sublicense, or distribute the Document except as expressly provided or under this License. Any other attempt to copy, modiy, sublicense or distribute the Document is void, and will automatically terminate your rights under this License. However, parties who have received copies, or rights, rom you under this License will not have their licenses terminated so long as such parties remain in ull compliance. 10. FUTURE REVISIONS OF THIS LICENSE The Free Sotware Foundation may publish new, revised versions o the GNU Free Documentation License rom time to time. Such new versions will be similar in spirit to the present version, but may dier in detail to address new problems or concerns. See http://www.gnu.org/copylet/. Each version o the License is given a distinguishing version number. I the Document speciies that a particular numbered version o this License "or any later version" applies to it, you have the option o ollowing the terms and conditions either o that speciied version or o any later version that has been published (not as a drat) by the Free Sotware Foundation. I the Document does not speciy a version number o this License, you may choose any version ever published (not as a drat) by the Free Sotware Foundation. 5. COMBINING DOCUMENTS You may combine the Document with other documents released under this License, under the terms deined in section 4 above or modiied versions, provided that you include in the combination all o the Invariant Sections o all o the original documents, unmodiied, and list them all as Invariant Sections o your combined work in its license notice, and that you preserve all their Warranty Disclaimers. The combined work need only contain one copy o this License, and multiple identical Invariant Sections may be replaced with a single copy. I there are multiple Invariant Sections with the same name but dierent contents, make the title o each such section unique by adding at the end o it, in parentheses, the name o the original author or publisher o that section i known, or else a unique number. Make the same adjustment to the section titles in the list o Invariant Sections in the license notice o the combined work. In the combination, you must combine any sections Entitled "History" in the various original documents, orming one section Entitled "History"; likewise combine any sections Entitled "Acknowledgements", and any sections Entitled "Dedications". You must delete all sections Entitled "Endorsements." (not as a drat) by the Free Sotware Foundation. Wykład 6 2008 Cyrowe Przetwarzanie Obrazów 68