STAN DYNAMICZNY MASZYN

...le zaczte - le s koczy... ROZDZIAŁ II STAN DYNAMICZNY MASZYN 1. WSTP 2. POWSTAWANIE OBCIE DYNAMICZNYCH 3. STUDIUM DYNAMIKI MASZYN 4. IDEALIZACJA UKŁADÓW RZECZYWISTYCH 5. DRGANIA W BUDOWIE MASZYN

1. WSTP Funkcjonowane maszyn, urzdze, nstalacj, a w ogólnoc obektów mechancznych neodłczne jest zwzane z przekazywanem rónorakch oddzaływa słowych. W wkszoc przypadków oddzaływana te mona podzel na cz statyczn, stał w czase, która zapewna projektowane połoene bd projektowany ruch oraz cz dynamczn - na ogół o charakterze oscylacyjnym. Analzujc zachowane s obektów mechancznych pod wpływem oddzaływa mona przyj, e stan naprenowy, połoene równowag, redn ruch na torze tp. jako wynk dzałana czc statycznej jest znany ne stanow problemu. Problemem zatem bdze tu zrozumene, przewdywane poprawane zachowana s obektu pod wpływem czc dynamcznej oddzaływa, czyl analza dynamczna obektu. Czy jednak w oblczu coraz wkszego skomplkowana konstrukcyjnego funkcjonalnego obektów mechancznych (np. pojazd kosmczny) wynk takej analzy dynamcznej mog by warygodne? Otó, nejednokrotne stwerdzono teoretyczne praktyczne, e zachowane s (reakcja) dynamczne skomplkowanych obektów mechancznych złoone jest z reakcj elementarnych, (zachowane s układu elementarnego), które mona pozna przestudowa kad oddzelne. Sposób syntezy reakcj elementarnych w reakcj złoonego obektu mechancznego jest nejednokrotne skomplkowany, lecz jednoznaczny. Moe on by poznany za pomoc wnklwe stosowanych wzgldne prostych metod analtycznych. Z tego włane wynka zdolno do analzy dynamcznej skomplkowanych obektów mechancznych złoonych z welu podukładów zaufane, e bd one zachowywa s tak jak przewduj wynk bada stanowskowych. 2. POWSTAWANIE OBCIE DYNAMICZNYCH Dynamka jest dzałem mechank zajmujcym s ruchem cał w ujcu makroskopowym z uwzgldnenem przyczyn powodujcych ruch. Dynamka maszyn jest wc nauk o drganach konstrukcj maszyn, geometryczne nezmennych, o zachowawczej postac równowag. Celem dynamk maszyn jest okrelene odpowedz konstrukcj (przemeszcze, napre) poddanej dzałanu dowolnego obcena dynamcznego. Obcene dynamczne jest obcenem, którego warto, kerunek, zwrot lub mejsce przyłoena s zmenne w czase [2,4,9,13,22,25]. Do głównych problemów wystpujcych ju na etape projektowana maszyn naley wymen nastpujce: - wyznaczene statycznych dynamcznych obce dzałajcych na poszczególne wzły elementy maszyny; - ustalene rozkładu napre w wybranych obszarach oblczanej konstrukcj, - wybór najbardzej obconych elementów oraz oszacowane ch wytrzymałoc trwałoc (nezawodnoc dzałana). Najtrudnejszym przedswzcem zatem, jest wyznaczene przebegu, charakteru zman wartoc ekstremalnych obce dynamcznych w projektowanej konstrukcj. Od dokładnoc wyznaczena stanu tych obce zalee bdze poprawno prowadzonych oblcze projektowych, a w ch rezultace nezawodna praca, a take walory eksploatacyjne koszt wytwarzana maszyny. Perwszym krokem podczas analzy dynamk jest zwykle wyznaczene czstoc drga własnych elementów układów maszyny (tzw. wdmo drga maszyny lub zespołu). Zwykle obserwuje s, e drgana swobodne z tym czstocam w maszyne podlegaj szybkemu wytłumenu. Jednak zawsze zachodz obawa o narastane drga, gdy zewntrzne

oddzaływana (determnstyczne lub losowe) w swojej strukturze bd zawera take wymuszena o czstotlwocach zblonych do czstoc drga własnych maszyny. Najbardzej nebezpeczne stany obce dynamcznych zwzane z tym ekstremalne wartoc napre powstaj w obszarze drga rezonansowych z najnszym czstocam własnym maszyny. Wysoke obcena dynamczne mog powstawa np. podczas szybkej (skokowej) zmany warunków pracy maszyny, jej układu napdowego czy najazdu na przeszkod terenow. Istotnym ródłem wzbudzena drga maszyny s slnk spalnowe oddzaływana zewntrzne na osprzt roboczy oraz na układ jezdny. Zwykle zachodzce przy tym zmany stanu obcena wzłów maszyny maj charakter procesów przejcowych o gasncej ampltudze. Wanym etapem pracy maszyny jest zmana prdkoc ruchu postpowego lub obrotowego jej elementów oraz łczene rozłczane sprzgeł. Zachodzce przy tym procesy przejcowe zwykle maj posta neperodycznych waha stanu obcena. Charakter tych waha jest bardzo zróncowany. W przebegach procesów przejcowych wdoczne s zwykle znaczne zmany ampltud obcena, a proces wygaszana waha tych obce czsto trwa znaczne dłuej n czynnoc je wywołujce. S sytuacje, w których chwlowe zmany stanu obcena prowadz do znaczcego narastana drga zjawsk rezonansowych. Jel podczas pracy maszyny nektóre jej parametry zmenaj s w sposób okresowy (np. w rezultace powtarzana czynnoc roboczych, pracy zaworów lub rozdzelaczy), to w układze dynamcznym maszyny stneje molwo wzbudzena tzw. drga parametrycznych. Znanym wanym ognwem maszyny s wały napdowe z przegubam krzyakowym. Ich praca jest stałym ródłem zmennych obce dynamcznych, które mog wywoływa drgana parametryczne. Podobne zmenne nacsk tarce mdzy zbam kół zbatych (np. w rezultace drobnych nedokładnoc ch wykonana lub powtarzalnoc kontaktów tych samych par zbów) s wanym czynnkem powstawana parametrycznych drga gtnych wałów skrzy przekładnowych reduktorów. Obserwowane przy tym slne wzmocnene drga (rezonans parametryczny) jest spowodowane zblanem s czstotlwoc zmany parametrów układu do czstoc własnej lub prdkoc obrotowej elementów wrujcych. Energa na podtrzymane tych drga wynka z sł wewntrznych układu (np. sł sprystoc). Praktyczne we wszystkch przypadkach obracajce s elementy maszyn s ródłem okresowych wymusze (oddzaływa dynamcznych) o czstotlwocach wynkajcych z krotnoc prdkoc obrotowej. Oczywce, zwkszane s tych drga (narastane ampltud drga mechancznych czy pozomu hałasu) bdze zalee od włacwoc całego układu dynamcznego maszyny. Wystpene zgodnoc czstotlwoc tych wymusze z czstocam własnym maszyny moe prowadz do znaczcego narastana drga. Wywołane nm stany obce dynamcznych s czsto przyczyn uszkodzena lub znszczena elementów. W systemach automatycznej regulacj oraz układach mechancznych pracujcych w obecnoc znacznych sł tarca suchego, mog pojaw s drgana samowzbudne. S one nekedy wan przyczyn wysokch obce dynamcznych w układach napdowych np. ze sprzgłam cernym. Drgana gtno - skrtne obracajcych s wałków, zwykle zwzane z hydrodynamcznym procesam w łoyskowanu, czsto s głównym powodem znacznego ogranczena prdkoc obrotowych elementów napdowych maszyn. Jednym z stotnych czynnków dynamcznego oddzaływana na maszyn jest praca slnka spalnowego. Oddzaływana te wynkaj z nerównomernoc przebegu momentu obrotowego slnka, a take procesów jego rozruchu zatrzymywana. Podczas jazdy maszyny obserwuje s oddzaływana dynamczne, zwzane ze współprac układu jezdnego z nerównym podłoem. Wzajemne oddzaływane pomdzy poruszajc s maszyn a podłoem wpływa ne tylko na drgana układu jezdnego, ale take

układu napdowego nadwoza. Wdoczny jest wpływ zmany nachylena rodzaju podłoa oraz jego stanu na ogólny pozom obce dynamcznych maszyny. Z najbardzej uznanych przedswz, prowadzonych w celu zmnejszena obce dynamcznych, warto wymen nastpujce: - modyfkacja parametrów charakterystyk konstrukcyjnych, prowadzca do ogranczena molwoc wzbudzana drga rezonansowych lub przesunca czstotlwoc tych drga poza obszary normalnych warunków pracy maszyny (przedzał prdkoc jazdy, prdkoc obrotowej slnka tp.); - wprowadzane do układów napdowych elastycznych sprzgeł przecenowych odpowedno dobranych tłumków, których zadanem jest zmnejszene ampltud drga oraz rozproszene ch energ. Warto tu podkrel, e zmnejszene obce dynamcznych pozomu drga oraz hałasu w układach napdowych sterowana maszyn, a tym samym zwkszene ch trwałoc oraz nezawodnoc mona osgn dzk zastosowanu hydraulcznych zespołów napdowych, wprowadzenu amortyzatorów hydraulcznych, tłumków drga oraz dynamcznych elmnatorów drga. Dobór ch charakterystyk najczcej jest oparty na wynkach analzy dynamk maszyny oraz zachodzcych w nej procesów. Podczas wyznaczana obce dynamcznych mog by stosowane metody fzycznego matematycznego modelowana. Metody modelowana fzycznego s wykorzystywane podczas bada prototypów maszyn ch zespołów na stanowskach laboratoryjnych oraz podczas specjalne przygotowanych testów polgonowych. Badana laboratoryjne pozwalaj na znaczne skrócene czasu w stosunku do bada polgonowych. Łatwej te wówczas zachowa powtarzalno warunków bada. Jednak kada z tych metod jest bardzo kosztowna czasochłonna [14,71,81]. Wszystke wyej opsane przedswzca naley wykona na etape prac projektowych budowy prototypów. Jel ne doprowadz one do znaczcego obnena pozomu drga maszyny, to wówczas naley bra pod uwag koneczno zasadnczych zman w jej układze konstrukcyjnym. Dogodnym narzdzem do analzy opsanych stanów obce dynamcznych s systemy programów komputerowych, których podstaw stanow modele dynamk maszyn lub wydzelonych z nch zespołów. Wykorzystane współczesnych metod modelowana matematycznego cyfrowej symulacj pracy maszyny daje molwo analzy welu warantów konstrukcj wybór na tej podstawe rozwza optymalnych. 3. STUDIUM DYNAMIKI MASZYN Dynamka jest nauk o tym, jak rzeczy zmenaj s w czase o słach, które s przyczyn tych zman [14,22,28,30,43,71]. Celem studum dynamk układu jest zrozumene zasad funkcjonowana, zman stanu obce dynamcznych przewdywane poprawnego zachowana s układu. Potrzeba znajomoc dynamk układu wynka z coraz wkszych wymaga stawanych maszynom. Wraz ze wzrostem prdkoc ch ruchu wartoc obce, zwkszenem wymaga dotyczcych trwałoc nezawodnoc, a take konecznoc stosowana sterowana automatycznego rone znaczene analzy dynamk konstrukcj. Na podstawe praw Newtona mona stwerdz, e w dynamce bezwzgldnym układem odnesena jest układ majcy zawsze przyspeszene równe zeru. Układ tak, poruszajcy s jednostajne prostolnowo jest równoznaczny układow pozostajcemu stale w spoczynku. Podstawowe prawa dynamk słuszne w tym układze na ogół ne s słuszne w nnym układze, gdy zmana układu odnesena powoduje zman zalenoc mdzy sł a ruchem. Układy odnesena poruszajce s ruchem jednostajnym prostolnowym wzgldem absolutne neruchomego układu odnesena, w którym słuszne s podstawowe prawa dynamk nazywa s układam nercjalnym (Galleusza, bezwładnocowym).

Analza dynamk układu składa s z nastpujcych etapów [32,81]: - etap I - dokładne okrelene układu, jego stotnych cech budowa modelu fzycznego, którego własnoc dynamczne bd w dostatecznym stopnu zgodne z własnocam rzeczywstego obektu; - etap II analtyczny ops zjawsk dynamcznych odzwercedlanych modelem fzycznym, czyl znalezene modelu matematycznego, równa rónczkowych opsujcych ruch modelu fzycznego; - etap III - przestudowane własnoc dynamcznych modelu matematycznego na podstawe rozwzana równa rónczkowych ruchu, ustalene przewdywanego ruchu układu; - etap IV - podjce decyzj projektowych, tj. przyjce fzycznych parametrów układu, z modernzacj przystosowan do oczekwa. Synteza optymalzacja prowadzca do osgnca wymaganych własnoc dynamcznych konstrukcj. Przedstawona procedura opera s na znajomoc modelu układu, a wnosk płynce z dzała na modelach zale od ch jakoc. Budow model zajmuje s dentyfkacja, która utosama systemy rzeczywste z ch modelam. Na rys.2.1 przedstawono etapy studum dynamk układu z zaznaczenem sprze zwrotnych dotyczcych poprawana modelu fzycznego oraz porównana projektu z wykonan konstrukcj. Przy opracowywanu zada studum dynamk konstrukcj szeroko wykorzystywane s schematy blokowe. Maj one na celu przedstawene kolejnoc zdarze lub wzajemne ch powzana, ułatwaj pokazane skomplkowanych układów za pomoc schematu blokowego zalenoc zwzków mdzy czcam tych układów. Złoone układy mog wc by studowane oddzelne, by w kocu złoy to w cało. Dla kadego bloku mona poda model matematyczny opsujcy własnoc dynamczne, a schemat lokowy wskae drog zespolena bloków odpowadajcych m model, umolwajc analz własnoc dynamcznych całego układu. Poprawk modelu fzycznego UKŁAD Etap I Etap II Etap III WYJCIOWY MODELOWANIE PRZYJCIE STUDIUM rzeczywsty FIZYCZNE RÓWNA RUCHU WŁACIWOCI RUCH DYNAMICZNYCH UKŁADU Warunk technczne Etap IV DECYZJE KONSTRUKCYJNE Rys.2.1 Etapy studum dynamk układu Funkcjonowane maszyn urzdze mechancznych neodłczne jest zwzane z przekazywanem rónorakch oddzaływa słowych. Oddzaływana te mona podzel na statyczne (stałe w czase, zapewnajce projektowane połoena lub projektowany ruch) dynamczne (na ogół o charakterze oscylacyjnym). Analzujc zachowane s obektów mechancznych pod wpływem czc statycznej (stan naprenowy, połoene równowag, redn ruch na torze) przyjmuje s, e jest ono znane ne stanow problemu. Problemem jest zatem zrozumene przewdywane zachowana s obektu pod wpływem czc dynamcznej oddzaływa, czyl analza dynamczna obektu. Kluczem do okrelena dynamk czyl drga obektu mechancznego jest znajomo molwych odpowedz układu dynamcznego, do którego mona zredukowa badany obekt.

Uzyskane modelu fzycznego obektu jest perwszym krokem jego analzy dynamcznej. W welu przypadkach otrzymany układ dynamczny bdze układem elementarnym, podstawowym, zwanym układem lub modelem o jednym stopnu swobody. Procedura dojca od obektu rzeczywstego do jego zastpczego układu dynamcznego, zwanego czsto modelem lub modelowanem jest perwszym krokem analzy dynamcznej. Wag tego kroku dla całej analzy dynamcznej nech uzmysłow fakt, e dla jednego obektu mechancznego mona obmyl neskoczene wele model, od bardzo prostych do nezwykle skomplkowanych, a do tego aden moe ne oddawa dostateczne precyzyjne poszukwanych własnoc obektu. Tak wc procedur modelowana, czyl dojca do modelu zastpczego obektu mechancznego naley przeanalzowa na przykładze wycgn ogólne wnosk metodyczne. Własnoc mechanczne, które bd nas nteresowa przy modelowanu to: masa (nercja), sztywno dyssypacja energ maszyny, urzdzena. Własnoc te, jak łatwo spostrzec, rozłoone s w sposób cgły na rozptoc obektu. Dc jednak do molwej prostoty opsu modelu dalszej jego analzy własnoc te bdzemy skupa w okrelonych punktach obektu zwanych punktam redukcj. Perwszym krokem modelowana jest okrelene punktu redukcj własnoc mechancznych obektu. Punkt ten mus spełna trzy stotne warunk: 1 drgana musz me ampltudy zauwaalne, ne moe to by wc punkt podpory neruchomej, 2 mus by spełnona wzgldna łatwo redukcj rozcgłych własnoc nercyjnych, sztywnoc dyssypacj obektu do własnoc dyskretnych, 3 mus stne bezporedn zwzek mdzy ampltud drga w punkce redukcj a celem analzy dynamcznej. Suma załoe daje: model dyskretny lnowy, o klku stopnach swobody, stacjonarny, zdetermnowany. Nastpnym krokem analzy dynamcznej obektu jest zastosowane praw mechank fzyk do uzyskana równa rónczkowych ruchu. Analza rozwza tych równa w funkcj parametrów modelu daje znajomo własnoc dynamcznych modelu. Wnosk płynce z analzy zachowana s modelu wnny dalej by skonfrontowane z wynkam eksperymentu na obekce. W przypadku stotnych rónc zmenamy model tak dalece, by otrzyma zgodne zachowane s obektu jego modelu. Wymaga to dodatkowo pełnej wedzy umejtnoc prowadzena eksperymentu. Podczas analzy stanu dynamcznego maszyn mona poszukwa odpowedz w zakrese: - oceny statecznoc układu; - wartoc ampltud drga lub wystpujcych sł; - opsu stanu ustalonego lub procesów przejcowych; - okrelena czstoc rezonansowych. W zalenoc od celu prowadzonej analzy dynamcznej obektu stawa s róne wymagana budowanym modelom, a ch ocen przeprowadza s rónym metodam eksperymentalnym. 3.1 Modelowane obektu dynamcznego Modelowane to budowa modelu nomnalnego, który w odnesenu do dynamk maszyn jest modelem fzycznym oraz ops jego modelem matematycznym. Oba te etapy s ze sob zwzane czsto prowadzone równolegle. W procese budowy modelu fzycznego trzeba okrel układ, wydzel go z otoczena oraz ustal sposób oddzaływana otoczena na układ układu na otoczene. Nastpne naley ustal struktur układu, czyl okrel jego elementy poda sprzena mdzy nm.

Model fzyczny to utworzony układ fzyczny, odpowadajcy rzeczywstemu układow pod wzgldem cech stotnych dla badanego zagadnena, ale prostszy poddajcy s łatwej studom analtycznym. Uproszczone modele fzyczne układów rzeczywstych pozwalaj szybko dokładne przewdywa rzeczywste własnoc dynamczne projektowanych konstrukcj. Tworzc fzyczny model układu przyjmuje s wele załoe przyblonych co do uproszcze matematycznych opsu rzeczywstoc, jednoczene zapewnajc dostateczne dokładne odtworzene rzeczywstoc. Nej wymenono rodzaje przyble techncznych, które okazuj s przydatne daj s stosowa w rónym stopnu w rónych zagadnenach: - pomjane małych wpływów (zmnejsza lczb zmennych, a wc równa ruchu, np. gradent sły ckoc ne jest stotny dla samolotu, a stotny dla statku kosmcznego); - załoene, e układ badany ne powoduje zman w otaczajcym go rodowsku (np. pobudzene jest nezalene od reakcj układu); - zastpowane parametrów rozłoonych przez parametry skupone [y(x,t); y(t); lub skuponych w klku punktach y 1 (t), y 2 (t), y 3 (t)]. Zatem zamast równa rónczkowych czstkowych, stosowa mona równana rónczkowe zwyczajne; - zakładane prostych lnowych zalenoc mdzy zmennym fzycznym opsujcym przyczyn skutk; przyblena lnowe s nezwykle pomocne dla uproszczena analzy matematycznej ruchu układu; równane rónczkowe zwyczajne lnowe ma posta: d n x d n 1 x d 2 x A + A +... + A + A n n n 1 1 2 2 1 dt dt n dt d m y d m 1 y d 2 y + B + B +... + B + m m m 1 m 1 2 dt dt dt 2 dy + B + B y +... = f ( t ) 1 dt 0 dx dt + A x + 0 Zmenne x, y s funkcjam tylko zmennej nezalenej t, a współczynnk A, B mog zmena s w funkcj czasu, ale ne w funkcj x, y. Wyraz f(t) moe by dowoln funkcj czasu, ale ne zaley od zmennych x, y. W równanu ne mog wystpowa loczyny zmennych lub ch pochodnych, take jak: xy, x 2, xx, yy. Przykład zwyczajnego lnowego równana rónczkowego: d 2 x dx 3 + 14 + (sn 4t) x = 5t 3 (2.2) dt 2 dt Jel współczynnk A, B s stałe, to równane jest stacjonarne (o stałych współczynnkach). Modele lnowe - uproszczone rozwzane układu lnearyzowanego moe obowzywa tylko w ogranczonym zakrese zman stanów obektów (np. spryna, rezystor). - załoene, e parametry fzyczne ne s funkcj czasu (zmana długoc w czase klka model dla rónych długoc); - unkane neokrelonoc pomjane szumów (determnzm, uceczk od statystycznego traktowana zagadne). csły ops ruchu układu fzycznego w ogólnym przypadku daje układ równa rónczkowych nelnowych, o pochodnych czstkowych. Podane sze przyble sprawa, e model fzyczny układu staje s łatwejszy do analzy matematycznej, która jest znaczne uproszczona czsto o całe rzdy welkoc. (2.1) 3.2 Modelowane systemów mechancznych Ops sformalzowany modelu fzycznego polega na ułoenu matematycznych relacj

równoc lub nerównoc, które wynkaj ze zblansowana welkoc, podporzdkowanych bezporedno lub poredno prawom zachowana lub zasadom dynamk. S to na ogół welkoc charakteryzujce ruch obcena wystpujce w modelu fzycznym take jak: sły momenty, masa, energa, pdy, krty tp. Istnej dwe metody tworzena relacj matematycznych w opsach sformalzowanych, systemu mechancznego. Perwsza, to droga analtyczna, wynkajca z wedzy o modelowanym systeme, jego własnocach zachodzcych w nm procesach zwzkach. Druga droga - empryczna, która zasadza s na zalenocach korelacyjnych jest wykorzystywana przy braku adekwatnej teor, molwej do zastosowana. Metoda analtyczna opera s główne na zasadze d'alemberta zasadze najmnejszego dzałana. 1. Modele utworzone według zasady d' Alemberta Zasada d'alemberta jest jedn z podstawowych zasad rónczkowych, która pozwala sprowadz trudne zadana z dynamk systemów mechancznych do postac łatwejszej do rozwzana. Zakładajc, e połoene -tego cała okrela sze współrzdnych uogólnonych: q v = 1, 2,...,6, mona łatwo zapsa równana ruchu dla tego cała we współrzdnych kartezjaskch [57]: m m m I I I x y z.. x.. y.. z.. = = = a α = 1 a P xα + b β = 1 b Py α + α = 1 β = 1 a α = 1 a P α = 1 zα + b β = 1 R xβ R R b β = 1 yβ zβ ϕ = M + M (2.3).. ϕ x y.. + ϕ = z a α = 1 = M a α = 1 xα yα M + zα b β = 1 + M b β = 1 xβ yβ M zβ Model matematyczny (2.3) jest układem równa rónczkowych drugego rzdu, opsujcych ruch -tego cała materalnego, na które dzałaj sły zewntrzne (czynne) reakcje (berne). Sposób w jak te sły zostan odzwercedlone decyduje czy te równana bd lnowe czy ne, co jak wadomo, ma stotny wpływ na sposób ch rozwzywana. Układ równa (2.3) mona napsa dla kadego cała, które w modelu fzycznym reprezentuje jak element modelowanego systemu mechancznego. Ponewa reakcje pochodzce od wzajemnych relacj mdzy elementam równowa s, to przez odpowedne podstawena mona je wyelmnowa uzyska układ równa ruchu dla modelu całego systemu. Przez całkowane równa ruchu, w zalenoc od charakteru danych newadomych, mona rozwzywa perwsze lub druge zadane mechank. Wstawajc do układu (2.3) przemeszczena: x = y = z = const. oraz kty obrotu: ϕ x = ϕ y = ϕ z = const., uzyskuje s równana równowag -tego cała modelu fzycznego, pozostajcego w stane statycznym: a α = 0 a α = 1 b + P x α Rxβ = 0 P y Ryβ = 0 β = 0 b + a α = 1 + M x α M xβ = 0 M y M yβ = 0 β = 1 a α = 1 + b a b α P z α Rzβ = 0 β = 1 α = 1 β = 1 + + b a b α M z M zβ = 0 β = 1 α = 1 β = 1 α (2.4)

Układ równa (2.4) jest powszechne wykorzystywany do badana statycznych model systemów mechancznych. 2. Modele utworzone według zasady najmnejszego dzałana Zasada najmnejszego dzałana, znana w mechance jako zasada Hamltona, jest najogólnejszym prawem ruchu w systemach zachowawczych (tzn. takch, w których ne zachodz rozpraszane energ). Zgodne z t zasad, dla modelu fzycznego kadego systemu zachowawczego mona sformułowa funkcje stanu w postac Lagrange'a. Jeel system przemeszcza s z punktu 1 w chwl t 1 do punktu 2 w chwl t 2 to dzałane w sense Hamltona jako funkcja stanu systemu, przyjmuje warto mnmaln z zalenoc: t 2 dx W = L( x,, t) dt (2.5) dt t 1 Wyznaczene takej funkcj x(t) w przedzale czasu t [t 1, t 2 ), która mnmalzuje funkcjonał W jest zadanem rachunku waracyjnego. Dla neskoczene małych przedzałów czasu zasada najmnejszego dzałana przyjmuje posta rónczkow staje s odpowednkem trzecego prawa Newtona, które mów, e suma sł dzałajcych na punkt materalny jest równowaona sł bezwładnoc tego punktu. Ne wdajc s w szczegóły mona powedze, e po dokonanu odpowednch przekształce z zasady najmnejszego dzałana otrzymuje s model matematyczny w postac równa Lagrange'a drugego rodzaju. S to równana rónczkowe zwyczajne rzdu drugego, które wraz z warunkam pocztkowym wyraaj równowag sł momentów. Dla zachowawczych systemów mechancznych, funkcja Lagrange'a jest rónc.ẋ mdzy energ knetyczn potencjaln zaley tylko od x, t; ne zaley natomast od pochodnych wyszych rzdów. Potwerdza to fakt, e stan systemu mechancznego jest całkowce okrelony przez współrzdne przestrzenne prdkoc, które s pochodnym tych współrzdnych. Poza tym funkcja Lagrange'a wyraa stan systemu w danej chwl t ne zaley od tego w jak sposób ten stan został osgnty.oznacza to, e ta funkcja jest nezalena ad hstor systemu. Pozwala to modelowa pewne zjawska zachodzce w takch systemach jako procesy Markowa. Zasada najmnejszego dzałana jest bardzo wygodna do budowana model systemów mechancznych, w których równoczene wystpuj róne rodzaje ruchu, np. w robotach gdze mamy do czynena z ruchem postpowym obrotowym oraz systemów, w których zachodz przemany energ, np. w maszynach elektrycznych, gdze mamy do czynena z zaman energ mechancznej na energ pola magnetycznego. 3.3 Wymary jednostk układ SI Studum dynamk maszyn ma zawsze charakter locowy. Pomary s jego neodłczn czc, a ujce locowe czas poszczególnych faz ruchu stanow główny przedmot zadana. wat mechank mona opsa locowo za pomoc podstawowych jednostek układu SI. Zwzk mdzy sł welkocam geometrycznym (prdko, przypeszene, przemeszczene) maj domnujce znaczene w dynamce maszyn. Sprawdzane wymarów wyraena wnny by tego samego wymaru, na kadym etape bada. W trakce badana analtycznego równa wzów, równowag, charakterystyk czasowych naley bada zgodno wymarów, potwerdzajcych poprawno rozwaa. 3.4 Równana ruchu Centralnym zagadnenem wyprowadzana równa ruchu dla danego modelu układu fzycznego jest sformułowane zalenoc wyraajcych równowag, opsujcych blans sł, wydatków przepływów, energ, który mus stne dla całego układu dla jego podukładów.

Dotyczy to take napsana równa spójnoc opsujcych zalenoc mdzy rucham elementów układu z uwzgldnenem ch połcze. Ogólne zatem naley rozway oddzelne: - wybór zmennych (przepływu co przechodz spadku róncy stanów); - warunk (równana) równowag lub spójnoc; - prawa fzyk wynkajce std zalenoc zestawamy w układ równa ruchu. Przy układanu równa ruchu modelu mechancznego naley przestrzega nastpujcej procedury: - zalenoc geometryczne; narysowa układ, okrel współrzdne ch dodatne zwroty, zanotowa tosamoc geometryczne, napsa zaleno spójnoc geometrycznej wcej układ; - równowag sł; napsa zalenoc wynkajce z blansu sł lub z blansu energ; - zwzków medzy geometr układu słam; napsa dla poszczególnych elementów układu zalenoc fzyczne mdzy słam geometr układu. W kocowej faze sprawdz, czy jest taka sama lczba nezalenych lnowych równa rónczkowych jak newadomych, co umolwa opsane stanu układu. Przyblena lnowe s nezwykle pomocne dla uproszczena analzy matematycznej ruchu układu. Stan układu w danej chwl opsany przez rónczkowe równana ruchu oraz sygnały wejcowe, okrela jego połoene na cały czas przyszły. Równana rónczkowe nelnowe, lepej opsujce rzeczywste obekty, rzadko daj s sprowadz do postac nadajcej s do analzy, zwykle za do ch rozwzana koneczne jest zastosowane maszyny cyfrowej. Stan układu mechancznego jest okrelany jako zbór nezalenych współrzdnych połoena układu oraz ch pochodnych wyraa s przez połoena prdkoc. Rozwzujc równana lnowe, nezalene czy jest to równane ze stałym współczynnkam, czy zalenym od czasu, to rozwzane to jest na tyle ogólne, e jest słuszne dla wszystkch wartoc zmennych opsujcych ruch układu. Rozwzane równana nelnowego słuszne jest tylko dla tej szczególnej wartoc zmennej, dla której zostało otrzymane. Dlatego te własnoc dynamczne modelu lnowego mona zbada bardzej wyczerpujco mnejszym nakładem wysłku, n poprzez przestudowane modelu nelnowego. Naley jednak pamta, e uproszczone rozwzana układu lnearyzowanego moe obowzywa tylko w ogranczonym zakrese zman jego stanów [14,32,33]. Tak wc, nawet przy zdumewajcych molwocach oblczenowych, z jakch obecne moemy korzysta przy rozwzywanu duych układów równa nelnowych, rola lnowego modelu zachowuje nadal sw warto, gdy pozwala on szybko dostateczne dokładne pozna własnoc dynamczne badanego układu. Newele układów fzycznych wykazuje charakterystyk rzeczywce lnowe. Przykładowo, zaleno mdzy sł wydłuenem spryny jest zawsze w pewnym stopnu nelnowa, ale w rozsdnych grancach (w zakrese odkształce lnowych) mona uzna j za lnow. Własnoc dynamczne tego układu s blske tych, które wynkaj z zalenoc doskonale lnowych. Stan układu w danej chwl zwzany jest z energ zmagazynowan w jego elementach, co umolwa ops zman stanu układu w kategorach model energetycznych. 3.5 Prawa zasady Prawa Newtona stwerdzaj ogólne prawdłowoc, którym podlegaj systemy mechanczne. Zastosowane tych praw do układana równa ruchu, jest nekedy utrudnone ne zawsze prowadz bezporedno do rozwzana zadana. Dlatego dla utworzena modelu matematycznego, który pozwol rozwza zadane, wykorzystuje s prawa zachowana zasady dynamk, które zostały sformułowane na podstawe praw Newtona.

1. Prawa zachowana Prawa zachowana, zwane równe prawam dynamk, s ogólnym twerdzenam, które mów jak zmenaj s prdkoc punktów lub cał modelu fzycznego w zalenoc od sł czynnych reakcj wzów. S to prawa zachowana ruchu rodka masy, prawa zachowana pdu, krtu energ. Przy specjalnych załoenach dotyczcych sł czynnych reakcj, kade prawo dynamk moe bezporedno doprowadz do całek równa ruchu, systemu mechancznego. Mmo tego, ruch systemu ne daje s okrel w pełn adnym ze wspomnanych praw, ponewa adne z nch ne pozwala utworzy układu równa ruchu. Dlatego prawa dynamk s stosowane do tworzena model matematycznych, które odzwercedlaj proste modele fzyczne, słuce m.n. do rozwzywana zada z knematyk ruchu systemów. Powszechno praw dynamk jest podstaw do formułowana analog mdzy nnym dotyczcych systemów mechancznych, elektrycznych, społeczno-ekonomcznych. W tych ostatnch, odpowednkem energ masy s zasoby fnansowe sła robocza. 2. Zasady dynamk Ogólne twerdzena, pozwalajce utworzy model matematyczny, który odzwercedla skomplkowany model fzyczny (np. urzdzena mechancznego ) nosz nazw zasad. Podobne jak prawa dynamk, zasady opsuj własnoc ruchu systemu mechancznego. adna z zasad ne prowadz bezporedno do całek równa ruchu. Jednak sposób w jak kada z nch opsuje ruch systemu, pozwala wyprowadz układ rónczkowych równa ruchu, a nastpne dokona ch całkowana. Wszystke zasady dzel s na dwe kategore, a manowce na zasady rónczkowe całkowe. Do perwszej kategor nale: zasada d'alemberta, zasada prac przygotowanych zasada najmnejszego dzałana lub wymuszena. Wszystke one maj posta równa lub nerównoc rónczkowych. Zasady w postac rónczkowej stosuj s do model fzycznych systemów mechancznych, zarówno z wzam geometrycznym jak knematycznym, przy czym te ostatne mog by całkowalne lub necałkowalne. Do zasad w postac całkowej nale: zasady stacjonarnego dzałana w postac Hamltona lub Lagrange'a zasada Helmholtza. Te zasady ne stosuj s do systemów z ne całkowalnym wzam rónczkowym. Załómy, e model fzyczny systemu mechancznego składa s z punktów materalnych. Stan ruchu układu punktów we współrzdnych uogólnonych mona zapsa w postac równa Lagrange'a: d L L = 0 (2.6) dt qv q v gdze: L -jest tzw. funkcj stanu według Lagrange'a, równ sume energ knetycznej T funkcj sł czynnych U (czyl energ potencjalnej): L=T+U. Jeel w czase od t 1 do t 2 układ przeszedł z połoena 1 do połoena 2, to całka funkcj stanu: t 2 W = Ldt (2.7) t 1 nazywa s dzałanem w sense Hamltona. Przyjmujc t zasad za punkt wyjca mona wyprowadz równana ruchu układu punktów lub cał materalnych, tworzcych model fzyczny systemu mechancznego. 3.6 Podstawy modelowana matematycznego W procese modelowana, prowadzcym od badanego systemu, poprzez modele: cybernetyczny fzyczny, do modelu matematycznego, ten ostatn charakteryzuje s najwyszym stopnem abstrakcj. Mmo, e operuje on pojcam znakam, to jednak umolwa badane funkcjonowana systemu, oraz wyznaczene jego stanów welkoc na

wyjcu, przy zmane wymusze na wejcu. Wynk oblcze maj charakter locowy, ale dua lczba takch wynków pozwala wycga wnosk jakocowe. Baz do sformułowana zadana w sense matematycznym wykonana opsu sformalzowanego modelu fzycznego badanego segmentu systemu, s zmenne opsowe modelu. Zmenne opsowe modelu mona sklasyfkowa według dwóch kryterów: fzycznego matematycznego [14,33,71,81]. Według kryterum fzycznego, mona wyrón trzy grupy zmennych, przy czym dwe perwsze grupy opsuj własnoc, procesy zwzk zachodzce w systeme, jego dynamk wzajemne oddzaływane systemu rodowska. Te trzy grupy zmennych to: 1. zmenne wejcowe opsujce wymuszena dzałajce na system; mona je dodatkowo podzel na zmenne kontrolowane, zwane równe decyzyjnym, na które badacz ma wpływ nezalene od badacza zmenne sytuacyjne, 2. zmenne stanu wyjca; nezalene od "lokalzacj" w modelu fzycznym, charakteryzuj one neznane reakcje systemu (łczne zwane nekedy stanem), które nteresuj badacza ze wzgldu na cel bada, 3. zmenne pomocncze, opsujce poredne zalenoc mdzy zmennym wejcowym oraz reakcjam, a słu do uproszczena zapsu zalenoc wystpujcych w modelu. Według kryterum matematycznego, zmenne opsowe modelu mona podzel na dwe grupy, a manowce: 1. funkcje czasu Z r (t), bd nnej zmennej nezalenej, które w sensowny sposób przyporzdkowuj kademu zdarzenu welko o ustalonej nazwe reprezentuj zmenne wejca, wyjca stanu. Maj one bezporedn wpływ na zachowane badanego segmentu systemu; odpowedno uporzdkowane w szereg, funkcje te tworz wektor: z(t) = [z 1 (t), z 2 (t),..., z r (t),..., z Γ1 (t)]t (2.8) W zalenoc od fzycznego charakteru modelowanego systemu przyjtego sposobu opsu, współrzdne z r (t), mog by funkcjam zdetermnowanym, probablstycznym lub stochastycznym. Do opsu sformalzowanego dynamcznych zman welkoc fzycznych, zachodzcych podczas funkcjonowana systemu, wykorzystuje s pochodne po czase wektora z(t) lub jego współrzdnych z r (t); 2. parametry s ξ, które s welkocam odgrywajcym szczególn rol w sformalzowanym opse modelu fzycznego. Ich natura fzyczna czyn je zmennym, ale w danym modelu matematycznym pozostaj stałe. W badanach systemów techncznych parametry te tworz zbór welkoc, które opsuj skład struktur badanego segmentu systemu. Mona z tych welkoc utworzy wektor: s s, s,..., s,..., s ] T (2.9) = [ 1 2 ξ Θ gdze: ξ = 1,2,..., Θ - skoczony cg ndeksów. Przytoczona klasyfkacja jest konsekwencj fzycznego charakteru modelowanego segmentu celu bada oraz uproszcze poczynonych przy budowe modelu fzycznego. Zakładajc, e stneje operator Ψ(t), dla którego zmenne oraz parametry mona zapsa w postac wektorów, to ogóln posta modelu matematycznego mona przedstaw jako zmodyfkowan form w postac: 2 dz( t) d z( t) Ψ( t )[ z( t),,, s, t] = 0 (2.10) 2 dt dt Wyraene to przedstawa ogóln, rónczkow posta zapsu modelu matematycznego, który jest odzwercedlenem modelu fzycznego, badanego segmentu systemu techncznego. W zalenoc od postac zmennych opsowych, operatora Ψ(t) oraz parametrów s ξ, model moe by równanem lub układem równa: algebracznych, rónczkowych zwyczajnych lub czstkowych, perwszego lub wyszego rzdu; moe to by model determnstyczny, losowy, stochastyczny, statyczny lub dynamczny, dyskretny lub cgły,

lnowy lub nelnowy td. Model matematyczny jest systemem, posadajcym skład struktur, które całkowce rón s od składu struktury badanego systemu jego modelu fzycznego. Elementam, które tworz skład modelu matematycznego s wyraena funkcje matematyczne. Struktur modelu stanow rozmeszczene tych elementów, zgodne z relacjam matematycznym lub logcznym, które odzwercedlaj zalenoc: wejca, stanu wyjca. Model okrela reguły wzajemnej zalenoc tych welkoc, czyl tzw. reguły nterakcj. Model matematyczny pownen by poprawny uyteczny. Model poprawny jest kompletny, logczny jednoznaczny. Model jest nekompletny, gdy ne zawera wszystkch, stotnych dla celu bada własnoc procesów zwzków, które mog zastne w badanym segmence. Jeel przyjte reguły wzajemnej zalenoc pomdzy elementam modelu, s sprzeczne z rzeczywstoc opsan prawam natury, to model jest nelogczny. Model ne jest jednoznaczny, gdy zawera wele molwoc, lecz z opsu sformalzowanego ne wadomo, o któr molwo chodz modelujcemu. Warunek poprawnoc modelu jest zwzany z postulatem poprawnego sformułowana zadana, które posada rozwzana w okrelonych zborach; te rozwzana s jednoznaczne cgłe wzgldem parametrów zmennych. W odnesenu do matematycznego modelowana systemów, postulat ten sprowadza s do stwerdzena, e model jest skonstruowany poprawne, jeel zmenne zale w sposób cgły od jego parametrów, w przedzałach ch okrelonoc molwej zmennoc. Ten warunek mona wzmocn, wymagajc rónczkowalnoc rozwza wzgldem parametrów. Uyteczny model matematyczny pownen zapewna: - stnene jednoznaczno rozwzana równa, z których jest zbudowany, - molwo uzyskana wynków locowych, - molwo emprycznego porównana tych wynków z welkocam wytwarzanym przez modelowany system. W praktyce rozwzane modelu mona uzyska doberajc odpowedno jego skład struktur. Naley jednak pamta, e postulat rozwzalnoc modelu jest czsto sprzeczny z postulatem prawdzwoc odzwercedlena. Dodatkowo, tworzc model trzeba bra pod uwag ogranczone molwoc algorytmów oblczenowych. Poprawno modelu oznacza cgło rónczkowalno zmennych modelu wzgldem jego parametrów. To z kole umolwa badane wralwoc, które polega na locowym okrelenu jak due s przyrosty zmennych modelu przy danych przyrostach jego parametrów. Model jest tym lepszy m mnejsza jest jego wralwo na zmany parametrów. Proces modelowana matematycznego badanego systemu techncznego obejmuje czynnoc zwzane z utworzenem "rodowska", w którym modelowane bdze realzowane. To "rodowsko" jest okrelone przez: - cel modelowana, który wynka z zastnałych potrzeb, - wedz, wyraajc s znajomoc praw rzdzcych zachowanem s systemu, - zbór danych. Wedza dane, którym dysponuje badacz przystpujc do budowy modelu, maj charakter a pror. Dane s wstpne okrelane razem z modelem fzycznym badanego systemu, ale zarówno podczas budowy modelu matematycznego, jak jego weryfkacj, moe s okaza, ze nektóre dane trzeba uzupełn, a nne s nepotrzebne. Weryfkacja modelu matematycznego wykonywana po jego utworzenu moe równe wymaga uzupełnena wedzy, uwzgldnena nnych praw teor lub zmany hpotez. W procese budowy modelu matematycznego mona wyrón nastpujce etapy: - wybór rodzaju modelu, - nterpretacja opsu sformalzowanego, - algorytmzacja oblcze,

- weryfkacja modelu. Koneczno rozwzana zadana, które jest celem modelowana powoduje, e etapy 1, 2 3 s ze sob powzane w konsekwentne rozwjajc s cało. Etap 4 jest szczegó1ne wany wtedy, gdy rezultaty modelowana maj by stosowane w praktyce. W badanach teoretycznych, których celem jest jedyne usprawnene metod rozwzywana równa tworzcych model, ten etap jest na ogół opuszczany. Wybór rodzaju modelu jest konsekwencj celu modelowana specyfk zadana badawczego, oraz sposobu odzwercedlena segmentu systemu w modelu fzycznym. Rodzaj modelu jest uwarunkowany molwocam oblczenowym umejtnocam badacza. Model matematyczny, który jest nterpretacj opsu sformalzowanego modelu fzycznego, wymaga najperw okrelena zmennych opsowych ch parametrów. Ops, a w szczegó1noc jego struktura, jest rezultatem przetworzena posadanej wedzy na zbór nesprzecznych relacj matematyczno-logcznych, wykonanych na tych zmennych parametrach. Jest to czynno cle zwzana z doborem znaków, reguł budowana przekształcana wyrae, aksjomatów td. Algorytmzacja oblcze pownna zapewn molwo rozwzana modelu. Aby taka molwo stnała, model matematyczny pownen s składa z jawne wyraonych równa, które dadz s rozwza metodam analtycznym, numerycznym lub przez symulacj. Najdokładnejsze jest rozwzane analtyczne. Rezultatem moe by zbór wartoc lczbowych bd funkcje jednej, lub welu zmennych. Dla bada systemów techncznych szczególne wane s funkcje czasu w postac cgłej, gdze czas t jest zmenn nezalen. Numeryczne, mona rozwzywa model, który składa s wprawdze z jawne wyraonych równa, ale ne stneje dogodna molwo rozwzana go na drodze analtycznej. Wtedy wartoc zmennych zalenych mog by okrelone tylko za pomoc odpowednego algorytmu numerycznego, a rozwzane ma posta szeregu lczb. Tak algorytm jest zazwyczaj zaprogramowany do rozwzana na komputerze. Mówmy wtedy o modelu komputerowym, co ne jest zupełne csłe, bo model pozostaje ten sam, tylko rozwzane ne jest analtyczne. Weryfkacja polega na sprawdzenu zgodnoc rezultatów, uzyskanych z bada modelu matematycznego, z odpowednm welkocam uzyskanym na drodze dowadczalnej dla rzeczywstego systemu lub jego modelu materalnego. W przypadku bada systemów techncznych, jako element weryfkacj mona uzna dentyfkacj modelu, która polega na zberanu przetwarzanu nformacj, wykorzystywanych dla ulepszena uclena jego struktury parametrów. Zdentyfkowany model bdze odzwercedla badany system w sense jakocowym locowym, z wymagan dokładnoc. Ogólne borc, weryfkacja jest procesem cgłym odbywa s na kadym etape tworzena modelu. W tym sense proces budowy modelu matematycznego ma charakter teracyjny. Stwerdzene nezgodnoc wynków oblczenowych z danym dowadczalnym lub molwocam oblczenowym, na którymkolwek etape, wymaga powrotu do etapu wczenejszego poczynena odpowednch modyfkacj. Badacz ma wc do dyspozycj krytera, które umolwaj na beco, przynajmnej w sposób poredn, dokonywa weryfkacj zgodnoc modelu matematycznego. S to: - krytera wewntrzne, które wynkaj z budowy modelu dotycz: 1). zgodnoc formalnej, gwarantujcej brak sprzecznoc koncepcyjnych, logcznych matematycznych, 2). zgodnoc algorytmcznej, zapewnajcej pełne okrelene relacj matematycznych tworzcych model. Zgodno modelu z tym kryterum umolwa wykonane oblcze z wymagan dokładnoc. - krytera zewntrzne wynkaj z celów oraz warunków zgodnoc modelowana z teor z danym dowadczalnym. S to krytera: heurystyczne, pragmatyczne uytkowe. Perwsze, dotycz wartoc naukowych, które s wyraone zdolnoc modelu do nterpretacj

okrelonych zjawsk, obektów sytuacj, weryfkacj hpotez formułowana nowych zada badawczych. Krytera pragmatyczne uytkowe słu do badana bezporednej zgodnoc rezultatów modelowana z rzeczywstoc. Modele matematyczne, uzyskane w rezultace omówonego procesu modelowana, pozwalaj rozwzywa zadana analzy, dentyfkacj syntezy. Zadana analzy polegaj na wyznaczenu zmennych stanu wyjca modelu fzycznego w zalenoc od zmennych wejcowych. W praktyce s to zadana: - wyznaczana wartoc przebegów charakterystyk, okrelajcych zachowane modelowanego systemu, - wyznaczana pewnych charakterystyk w funkcj parametrów lub zmennych decyzyjnych, - badana stablnoc czułoc modelu na zakłócena; w rezultace otrzymuje s nformacje o wpływe oddzaływana wybranych welkoc wejcowych na charakterystyk systemu, - ocena systemu, która polega na porównanu rzeczywstych charakterystyk z postawonym wymaganam, - badana poznawcze, majce na celu wykryce neznanych dotd praw zalenoc, zachodzcych pomdzy oddzaływanem rodowska reakcj systemu. Zadana dentyfkacj polegaj na wyznaczenu takch parametrów struktury modelu matematycznego, które dla danych zmennych wejcowych umolw otrzymane przebegów zmennych stanu wyjca takch samych jak te, które wytwarza system. Informacje a rzeczywstych welkocach wejca, stanu wyjca badanego systemu uzyskuje s na drodze emprycznej [16,25]. Zadana syntezy polegaj na wyznaczanu optymalnych wartoc parametrów struktur modelu matematycznego lub zmennych decyzyjnych oraz na sterowanu procesam zachodzcym w modelu. Zadana syntezy dostarczaj nformacj dla zaprojektowana systemu techncznego, który bdze realzowa zadane eksploatacyjne w sposób optymalny. Pewna grupa zada syntezy zajmuje s sterowanem procesam eksploatacj stnejcych systemów. Rezultatem rozwzywana zada nalecych do tej grupy s nformacje, które umolwaj podejmowane racjonalnych decyzj podczas sterowana systemu oraz zapewnaj optymalny sposób jego obsługwana. 4. IDEALIZACJA UKŁADÓW RZECZYWISTYCH 4.1 Determnzm losowo rzeczywstoc Kada racjonalna ocena stanu dynamcznego maszyny jest wynkem dokonywana odpowednch pomarów przetwarzana ch wynków. Głównym problemem do rozwzana jest tu kwesta zalenoc pomdzy cecham maszyny, a wartocam pomerzonych symptomów stanu, co stanow o zakrese modelowana obserwowanej maszyny. Ops otaczajcej nas rzeczywstoc opera s na przyjmowanu model tworzonych na prawach faktach uwzgldnajcych nastpujce zasady: - zasada przyczynowoc; - zasada determnzmu; - zasada neoznaczonoc; - zasada losowoc. Pogldy na stot zwzku przyczynowego operaj s na zwzkach przyczynowo - skutkowych zachodzcych w nastpstwe czasowym oddzaływana pomdzy zjawskam, okrelajcym zalenoc pomdzy przyczynam ch skutkam. Formuła: nc ne dzeje s bez przyczyny lecz wszystko z jakej racj konecznoc stała s podstaw gromadzena wedzy, formułowanych praw na ch podstawe teor tworzcych nauk [Bobrowsk 1998].

Zasada przyczynowoc jest podstaw skrajnego determnzmu w pogldze na zjawska zachodzce w otaczajcej nas rzeczywstoc, formułowane w postac jednoznacznej odpowedz na pytana: - czy kade zjawsko ma ustalon jednoznaczne przyczyn? ; - czy kada przyczyna ma jednoznaczne okrelony skutek?. Modelowe przedstawane rzeczywstoc z konecznoc welu ograncze opera s na determnstycznym pojmowanu zjawsk, wykorzystujcym newtonowsk pogld na otaczajcy nas wat. W takm ujcu obekt bada pokazano na rys.2.2, wyodrbnajc jako główne: zmenne wejcowe, zmenne zakłóce, zmenne stanu oraz zmenne wyjcowe. Zbór zmennych wejcowych X, zwany take wymuszenam, okrela oddzaływana urzdze lub warunk pracy obektu (zaslane, sterowane) podczas dagnozowana. W badanach stanu maszyn przyjmuje s, e zbór X zmennych wejcowych jest nezmenny (stały podczas badana), by wszelke zmany sygnałów dagnostycznych były spowodowane jedyne zman stanu badanej maszyny. Zbór X zawera te zmenne stanu maszyny, zwanych take cecham stanu, opsujce aktualny stan badanej maszyny. Stan badanej maszyny jest okrelony jel znane s wartoc wszystkch, stotnych wzgldem kryterum decyzyjnego, nezalenych cech stanu. Zbór nezalenych cech stanu jest zborem mnmalnym, ponewa ne zawera cech zbdnych, ne wnoszcych dodatkowych nformacj o stane maszyny. X Zakłócena Z S uszkodzena A (X, S) symptomy n m m n Rys.2.2 Ops modelu maszyny Zbór Z zmennych zakłóce obejmuje: - warunk otoczena: wlgotno, temperatur, stan czystoc atmosfery, których dokładne ustalene ne jest molwe; - warunk dagnozowana: obcene, prdko obrotowa, temperatura płynów eksploatacyjnych, których równe ustalene na stałym pozome jest nemolwe; - cechy stanu obektu, które ne zostały uwzgldnone w prowadzonych badanach; - błdy: urzdze dagnostycznych, bloków pomarowych, dopasowujcych tp. Zbór S zmennych wyjcowych przedstawa zbór sygnałów wyjcowych traktowanych w dagnostyce techncznej jako sygnały dagnostyczne. Przyczynowo detrmnzm opsu stanu maszyny zostaj coraz czcej modyfkowane przez zasad neoznaczonoc, traktujc otaczajcy nas wat w kategorach losowoc. Pocztkowo zjawska losowoc opsywano w kategorach prawdopodobestw przy pomocy metod statystycznych, skrywajc newedz ludzk dalej w modelach determnstycznych. Przekonane o tym, e wat jest newtonowsk, musało ustp pod nacskem koncepcj kwantowego relatywstycznego poznawana wata. Mechanka kwantowa zrywa ostateczne z pełnym determnzmem, a zasada neoznaczonoc Hesenberga okrela stope nedokładnoc pomarów podstawowych welkoc fzycznych - połoena pdu :

x p x h, stała Plancka h = 6,62 x 10 34 Js (2.11) 4Π Zwkszene dokładnoc pomaru połoena czstk zmnejsza dokładno pomaru jej pdu na odwrót. To samo dotyczy pomarów energ czasu ne ma to nc wspólnego z dokładnoc przyrzdów pomarowych: h E t (2.12) 2 Π Energ w danym stane mona wyznaczy tym dokładnej, m dłuej czstka przebywa w tym stane. Dla okrelena przyszłego stanu czstk naley zna dokładne jej pocztkowe połoene pocztkow prdko, co w myl zasady neoznaczonoc ne pozwala przewdze dokładne przyszłego połoena czstk. Dlatego, nawet najlepej zorganzowany przeprowadzony eksperyment ne zapewna powtarzalnoc wynków, co oznacza, e losowo decyzj o stane jest konecznoc ne do unknca. Dopero stworzene teor chaosu determnstycznego, opartego na nelnowych transformacjach determnstycznych pozwala na przyblone opsywane zjawsk w warunkach losowoc. Z chaosem determnstycznym cle zwzane jest wystpowane tzw. atraktorów, którym s zazwyczaj neokresowe trajektore przycgajce nne trajektore ze swego otoczena. Prowadz to wprost do teor fraktal, gdze cechy fraktalne (powtarzajce s) propaguj s w przestrzen, stanowc dobre przyblene systemów rozwjajcych s. Chaos determnstyczny wprowadza nepewno bardzej ogóln n zasada neoznaczonoc Hesenberga. W ostatnch latach dla welu systemów analzowanych metodam statystycznym udało s efektywne wyznaczy atraktory, precyzyjne prognozujce ewolucj tych systemów, co przekonuje, e chaos ne zawsze jest zjawskem negatywnym. Dodane losowego szumu do systemu ne zaburzonego moe prowadz do statystycznej stablnoc lub okresowoc ewolucj systemu. ródłem chaosu mog take by nedokładnoc w okrelanu parametrów wystpujcych w modelu, znane jako zjawsko bfurkacj prowadzce do błdów w procese wnoskowana o stane. Tak wc nowoczesne traktowane obektów zjawsk, opsywanych w kategorach chaosu zdetermnowanego, daje nowe metody analzy systemów determnstycznych zaburzanych losowo. Przedstawone problemy zdecydowane zmenaj dotychczasowe podejce do zagadne modelowana stanu dynamcznego maszyn, a take dobrze obrazuj uznane, lecz mało dokładne, determnstyczne załoene metodologczne: maszyna jest urzdzenem zdetermnowanym, gdze kademu stanow odpowadaj jednoznaczne objawy, na którym buduje s tradycyjne model maszyny. Przekonane o tym, e wat jest newtonowsk - ustpuje pod nacskem koncepcj holstycznego (kwantowego relatywstycznego) poznawana wata, stajc s ródłem nowych koncepcj obszarów bada. 4.2 Idealzacja układów Przeprowadzajc analz teoretyczn dowolnego rzeczywstego układu fzycznego lub techncznego trzeba go dealzowa, pomjajc szereg mnej wanych, drugorzdnych jego włacwoc. Modelowany układ rzeczywsty jest wc zwykle zastpowany podczas analzy teoretycznej układem wydealzowanym, zwanym układem zastpczym [33]. W przypadku drga mechancznych układ zastpczy składa s z punktów materalnych brył ne odkształconych, obarczonych pewnym wzam sztywnym odkształcalnym, których mas pomjamy, moe take zawera odkształcalne elementy o

cgłym rozkładze masy. Zasadncze uproszczena, których dokonujemy przechodzc od rzeczywstego do zastpczego układu mechancznego dotycz: lczby stopn swobody, zalenoc sł sprystych od odkształce, charakteru sł oporu oraz nnych sł ne zachowawczych, a take sposobu dzałana obce zewntrznych. Układ zastpczy moe wc by bardzej lub mnej złoony, w zalenoc od konkretnych potrzeb. Bardzej złoony układ zastpczy lepej odzwercedla cechy układu rzeczywstego, ale wymaga złoonej analzy matematycznej. Układ prostszy, wprawdze gorzej ujmuje cechy układu rzeczywstego, jednak analza jego jest prostsza. Zbudowane układu zastpczego w konkretnym przypadku badanej konstrukcj wymaga dokładnej analzy charakteru obce, odkształce oraz sł wewntrznych dzałajcych w rozwaanym układze. Mona zatem stwerdz, e dowolny układ mechanczny mona zamodelowa: - układam dyskretnym o skoczonej lczbe swobody lub cgłym o neskoczonej lczbe swobody; - układam lnowym lub nelnowym w zalenoc od tego, czy s opsane lnowym czy nelnowym równanam rónczkowym. Charakterystyk spryste tłumena wystpujce w maszynach konstrukcjach s z reguły nelnowe. Na ch nelnowo maj wpływ nastpujce czynnk: - tzw. czynnk typu "naturalnego", wynkajce z konstrukcj przeznaczena maszyn, jak: tarce suche, tarce konstrukcyjne tp.; - tzw. czynnk "programowe", wystpujce na skutek odpowednego doboru spryn, stosowana luzów oraz nelnowych amortyzatorów tłumków. Wkszo nelnowoc, spotykanych w układach drgajcych, pochodz od tłumena sł sprystych. W welu układach rzeczywstych tłumene jest złoone pochodz od tarca suchego, tarca wskotycznego, wewntrznego konstrukcyjnego. Człony spryste wykazuj równe zmenno współczynnka sprystoc w zalenoc od odkształce. Wszystke spryny s do pewnego stopna nelnowe. Oznacza to, e przy duych odkształcenach sła sprystoc wystpujca w spryne ne jest wprost proporcjonalna do odkształcena. Dla małych ug elementów sprystych, pomja s nelnowoc, przyjmujc charakterystyk spryst jako lnow. Przy duych ugcach zastpuje s charakterystyk nelnow zlnearyzowan charakterystyk o zastpczym współczynnku sprystoc. W przypadku układów sprystych z tworzyw sztucznych lub układów, w których wystpuj luzy, ne mona pomn nelnowoc, ponewa prowadz to do powanych błdów. W welu przypadkach mona zaobserwowa wpływ nelnowoc spryn na zachowane s układu. Problematyk budowana układów zastpczych zajmuje s teora modelowana. Modelowane to budowa modelu (układu zastpczego) obektu rzeczywstego, który w odnesenu do dynamk maszyn jest modelem fzycznym oraz matematycznym modelem opsu zachowana s modelu w rónych, modelowanych przypadkach. Oba etapy modelowana s ze sob zwzane czsto prowadz s je równolegle. W procese budowy modelu fzycznego trzeba przede wszystkm okrel układ, wydzel go z otoczena oraz ustal sposób oddzaływana otoczena na układ układu na otoczene. Nastpne naley ustal struktur układu, czyl okrel jego elementy poda sprzena mdzy nm [16]. W lteraturze techncznej opsano klka podstawowych procedur upraszczana model podstawowych. Do najwanejszych nale: - pomjane jednego lub wcej elementów zmennych opsowych reguł opsujcych reakcj; - zastpowane jednej lub welu zmennych losowych przez zmenne determnstyczne; - uogólnane zakresu jednej lub wkszej lczby zmennych opsowych; - grupowane elementów w blok okrelene zmennych opsowych dla bloków.

Rozwzujc zadana z dynamk mona formułowa pytana typu jakocowego, np. czy układ jest stateczny lub typu locowego, np. jake s wartoc ampltudy drga lub wystpujcych sł. Do tego potrzebny jest dobry model matematyczny opsujcy rozwaany model układu. Kad maszyn w opse strukturalnym mona przedstaw za pomoc trzech parametrów: masy m, sztywnoc k oraz tłumena c, za w ujcu funkcjonalnym za pomoc parametrów procesu drganowego. 4.3 Lczba stopn swobody Trudnoc w badanu dynamk układów mechancznych w znacznej merze zale od lczby stopn swobody. Lczb stopn swobody układu mechancznego nazywamy lczb nezalenych współrzdnych, jednoznaczne okrelajcych połoene wszystkch punktów materalnych układu. W układach mechancznych odwzorowywanych procesam drganowym połoene punktów układu zmena s z upływem czasu, czyl współrzdne te s funkcjam czasu do ch opsu stosowane najczcej s równana rónczkowe [22,33]. Równana rónczkowe przedstawaj stan równowag dynamcznej układu, czyl stan równowag dynamcznej sł dzałajcych na układ w czase jego ruchu. Lczba tych równa zaley od lczby stopn swobody układu. Pod pojcem stopna swobody układu bdcego punktem materalnym lub brył doskonale sztywn rozume s molwy ruch prosty nezaleny od nnych ruchów wykonywanych przez układ. Lczba stopn swobody układu jest wc lczb nezalenych ruchów prostych wykonywanych przez układ. Swobodny punkt materalny ma wc trzy stopne swobody, za swobodna bryła doskonale sztywna sze stopn swobody (trzy translacje trzy obroty wzgldem os x, y, z). Ogranczena nałoone na ruch cał nazywane wzam, odberaj pewn lczb stopn swobody (w skrajnym przypadku wszystke stopne swobody). Podczas ruchu neswobodnego układu pojawaj s w wzach sły reakcj, które naley uwzgldn w rozwaanach równowag dynamcznej. Dowolny układ mechanczny posada neskoczene wele punktów materalnych, a w zwzku z tym neskoczon lczb stopn swobody. Przy rozwzywanu zagadne praktycznych wygodne jest posługwa s uproszczonym układam, które charakteryzuj s skoczon lczb swobody. W takch uproszczonych układach oblczenowych nektóre elementy przyjmuje s jako bezmasowe odkształcalne wzy, elementy, którym przypsuje s mas punktow lub traktuje s je jako bryły sztywne. 4.4 Lnearyzacja charakterystyk obektów Model matematyczny obektu lub procesu, stanowc pewn dealzacj rzeczywstoc, moe by w ogólnoc lnowy lub nelnowy, co zaley od włacwoc równa opsujcych stan modelu. Wyróna s klka typów nelnowoc charakterystyk członów wykonawczych, słownków, zaworów, m.n.: - geometryczne, zwzane ze zmennym połoenem lub luzem w połczenach elementów; - fzyczne, wynkajce z włacwoc materałów; - strukturalne, opsujce zaleno momentu bezwładnoc od połoena elementu lub zmany połoena rodka jego masy. Charakterystyk sł sprystoc tłumena w rzeczywstych układach najczcej s opsywane nelnowym funkcjam przemeszcze lub prdkoc ch elementów. Naley podkrel, e czsto celowo wprowadza s elementy o charakterystykach nelnowych w celu uzyskana podanego zachowana s badanego układu. W badanach praktycznych dopuszcza s czsto rozwaana ogranczone do małych drga (przesun) mas modelu, co pozwala na lnowy ops modelu. S jednak przypadk, w których przyjmowane przebegu stycznej do nelnowej charakterystyk (warunek

lnowoc) zamast uwzgldnena jej rzeczywstego kształtu ograncza molwoc analzy zachowana s modelu przy znacznych wymuszenach obcenach. Układy nelnowe ne poddaj s zasadze superpozycj (sumowana) rozwza szczególnych. Perwszym krokem podczas analzy złoonego nelnowego układu dynamcznego jest rozwaene jego struktury pod ktem molwoc wydzelena członów lnowych. Operacj pokazan na rys.2.3 prowadz s na drodze przekształce nelnowych równa opsujcych model matematyczny. Wybór metody dalszego postpowana zaley od oszacowana znaczena wpływu wydzelonego członu nelnowego na przebeg odpowedz badanego układu. W analze układów nelnowych stotnym problemem jest take zbadane ch stablnoc. x 0 człon człon y lnowy nelnowy Rys.2.3 Szeregowe połczene członów układu dynamcznego Stosowane metod lnearyzacj podczas badana model nelnowych pozwala w welu przypadkach sprowadz układy równa nelnowych do postac, w której molwe jest zastosowane metod włacwych dla analzy układów lnowych [33,57]. W metodze lnearyzacj bezporednej funkcje nelnowe wystpujce w równanach modelu matematycznego s zastpowane przez ekwwalentne zalenoc przyblone, o charakterze lnowym. Krokem podstawowym w tej operacj jest rozłoene funkcj nelnowej w szereg Taylora wokół wartoc rednej argumentu tej funkcj. Zakłada s przy tym, e sygnał wejcowy jako argument nelnowej funkcj, jest przebegem stacjonarnym o rozkładze normalnym. Szersze zastosowane ma metoda lnearyzacj statystycznej, która jest stosowana wówczas, gdy na wejcu członu nelnowego jest sygnał o strukturze losowej, a charakterystyk statystyczne tego sygnału s znane. Współczynnk lnearyzacj s wyznaczane na podstawe zalenoc, które wynkaj z przyjtych kryterów równowanoc statystycznej. Zwykle rozwaa s dwa krytera równowanoc statystycznej : - równo wartoc oczekwanej warancj funkcj nelnowej aproksymujcej; - mnmalzacja wartoc rednej kwadratu róncy funkcj nelnowej funkcj aproksymujcej. Przebeg funkcj aproksymujcych dobrze opsuj włacwoc funkcj nelnowych w blskm otoczenu wartoc rednej jej argumentu (wymuszena). S zatem dopuszczalne podczas analzy małych przemeszcze wokół połoena równowag, okrelanego zwykle redn wartoc wymuszena. Specjalstyczna lteratura [2,6,14,33,71] wskazuje na stnene welu metod lnearyzacj charakterystyk nelnowych, do których nale: lnearyzacja zwykła, lnearyzacja prostoktna, lnearyzacja wg J.G. Panowk, lnearyzacja energetyczna, lnearyzacja harmonczna. Przykład lnearyzacja zwykła [33]. Załómy, e badanom podlega układ nelnowy opsany zalenoc: m x + f ( x ) + α x = P cos 0 ω t (2.13) gdze: m, α, 0 P, ω - stałe dodatne. W mejsce nelnowej funkcj f(x) wstawamy funkcj lnow, otrzyman z lnearyzacj zwykłej. Metoda ta polega na zastpenu nelnowej charakterystyk układu ln prost, najczcej styczn w rodkowym punkce charakterystyk (prosta OD na rys.2.4).

Rys.2.4 Sposób lnearyzacj za pomoc stycznej Ten sposób lnearyzacj odpowada analtyczne rozkładow funkcj nelnowej f(x) na szereg Taylora pomncu wszystkch wyrazów rozwnca oprócz perwszego: df f ( x) = k x k = 0 (2.14) z z dx Współczynnk k z nazywany zastpcz stał sprystoc oznacza nachylene krzywej w punkce 0 (tangens kta nachylena) przy dostateczne małych wychylenach x od punktu 0. Tak człon układu uwaany jest za lnowy o stałej k z. Nekedy zamast stycznej przyjmuje s dla lnearyzacj seczn o stałym nachylenu k z. W odnesenu do okresu drga jak ampltudy drga metoda ta daje due błdy przy duej nelnowoc charakterystyk. Równane (2.13) po uwzgldnenu (2.14) przyjmuje posta: x = 0 m x + k x + α x = P cos ω t z 0 bdce podstaw welu rozwaa teoretycznych. (2.15) 4.5 Zasada prac przygotowanych Przesuncem przygotowanym (wrtualnym) nazywa s elementarne przesunce punktu materalnego, zgodne z wzam. Oznacza to, e przesunce przygotowane jest przesuncem pomylanym ne przedstawa rzeczywstego przemeszczena punktu. Sens geometryczny przesun przygotowanych obrazuj nastpujce przykłady. Jel punkt znajduje s na powerzchn, to przesunce przygotowane jest styczne do tej powerzchn; jel punkt znajduje s na ln krzywej, to przesunce jest styczne do tej ln; jel dwa punkty znajduj s w stałej odległoc, to rzuty przesun przygotowanych obu punktów na prost je łczc s równe [8,33]. Warunkem konecznym wystarczajcym równowag układu materalnego jest zerowane s sumy prac przygotowanych wszystkch sł reakcj wzów przy dowolnym przesuncu przygotowanym. Ponewa z załoena wszystke punkty materalne układu znajduj s w równowadze, to dla kadego punktu wnno by spełnone równane: P R = 0 =1,2,..., w (2.16) gdze: P wypadkowa sł czynnych; R wypadkowa reakcj wzów. Zadajc tym punktom przesunca przygotowane, gdze wypadkowa sł czynnych reakcj wzów jest dla kadego punktu równa zeru, otrzymuje s: P δ r + R δr = 0 (2.17)