Unwestet Wmńso- Mus w Ostne Złd Mehn onstu udownh ELEMENTY RCHUNU WETOROWEGO Włd d nż. Roet Smt Zen tetu 1. wtows J.: Stt ogón. Wsw : Wdw. Potehn Wswse, 1971. 2. wtows J.: Mehn tehnn. Wsw: Wdw.. Potehn Wswse, 1976. 3. Ngós R., Seśn W.: Zó dń mehn ogóne. Ofn Potehn Wswse, 1993. 4. Wśnows P.: Mehn teoetn. Ofn Potehn Wswse, 21 5. Ms J.: Mehn ogón. t.1 Stt nemt, WNT, 26. 6. Leo J.: Mehn ogón.. T. 1. Stt nemt, T. 2. Dnm, Wsw, PWN 1996. 7. Osńs Z., Mehn ogón.. Cęść I II, Wsw, PWN 1987. 1
1. PODSTWOWE POJĘCI Sem nwm weość fną, tó est łowe hteown edną ą (np. tempetu, śnene, ms, poe, eneg ). Wetoem nwm odne, n tóm wóżnono poąte one., Ceh weto: ) długość (wtość ewgędn, moduł); ) eune, t. post n tóe weto eż; ) wot; d) punt płożen., 2
W eżnoś od pote weto sfuem w 3-eh 3 guph: 1. Weto uepon wąn onetnm puntem (posd eh,,,, d); 2. Weto śgą sę wąn oeśoną postą w pesten, e e onetnego puntu epen; (posd eh,, ). 3
3. Weto swoodn - weto t posd oeśon eune, wot, ntomst ne posd onetnego puntu epen. Pooste ste ównoegł do oeśone poste w pesten; (posd eh,, ). Cęsto m stosowne w owżnh teoetnh. 2. WETOR I OŚ Osą - nwm postą n tóe ostł uston wot, punt O wn eowm o ustono odne ednostow. Wesoem os - nwm weto współnow tą osą, posdą długość ednostową wot godn dodtnm wotem os. L 3, -2, td. nwm mm weto wgędem os. 4
Mą weto wgędem os nwm ę wżąą długość weto wżoną w pęth ednosth, p m t est dodtn ed wot weto est godn e wotem os, uemn ed wot weto est pewn do wotu os. 3 2 ntn ps weto powżsh psów wn otmuem mnożą mę weto wgędem os pe weso te os. α. - weto est utem weto n oś. Jeś długość weto wnos, to m utu weto wgędem os ęde onem osα. osα m 5
m osα o ótse onen m utu n oś: m m m - n oś - n oś - n oś 3. DODWNIE WETORÓW Złóżm, że mm wn w pesten pewen teńs (postoątn) ułd współędnh O,, t. ułd teh wemne postopdłh os O, O O. w 6
Sumą wetoów,,... nwm weto o poątu w poątu pewsego weto ońu w ońu osttnego weto po upoądownu h w ten sposó, że poąte nstępnego weto pow sę ońem popednego. 3.1. ntn ps weto swoodnego O O O O,, - weso os,,. 7
Neh,, oną m utów weto O n ose,,. O 4. ODEJMOWNIE WETORÓW Wetoem pewnm do weto nwm weto Różną wetoów nwm sumę wetoów weto pewnego do weto, t.. - - ( ) 8
9 ntn ps weto ueponego 4.1. (,, ) (,, ) - - - ntn ps weto o dnh współędnh ego poątu oń wż sę woem: ) ( ) ( ) (
1 5. MNOŻENIE SLRNE 5. MNOŻENIE SLRNE WETORÓW WETORÓW Ion sn Ion sn dwóh wetoów est sem wż sę woem: ), os( (1*) wted, gd weto m m m m Jeże weto dne są w pse ntnm to wć możn, że on sn wż sę woem: (2*)
5.1. ąt męd wetom Ze wou (1*) wn, że os(, ) gde: 2 2 2 2 2 2 ; 6. ILOCZYN WETOROWY DWÓCH WETORÓW Ionem wetoowm wetoów nwm t weto, tó: 1) m długość ówną onow długoś ou wetoów snus ąt męd nm wtego sn(, ) 2) est postopdł do ou wetoów: 3) wot weto wn uh postępow śu pwosętne p ooe o nmnes ąt od weto do weto (oót ten est pw). 11
12 O esownemu pou - wn to nemennoś 1) 2) eh defnne weto Ion wetoow dwóh wetoów ównoegłh est ówn eo wn to pewse eh defnne. Wć możn, że eże weto psne są ntne: to ntne: o: 4 14243 4 4 3 4 14 2 4 14243 ) ( ) ( ) (
7. MOMENT WETOR WZGLĘDEM PUNTU Mom O O Moment weto wgędem puntu O ówn sę onow wetoowemu O Mom O O Momentem weto wgędem puntu O nwm on wetoow weto o poątu w pune O ońu w poątu dnego weto tego weto. Moment weto wgędem puntu posd pewną nteesuąą włsność, tóą możn psć w nstępuąe twedene: Moment weto wgędem puntu ne men sę, eże mst puntu ędąego ońem weto O weźmem owe nn punt C eżą n poste wnone pe weto. C Mom O O OC 13
Dowód: Mom O O O OC C C : Mom O ( OC C) OC C 142 43 OC ówn sę ponewż C Woe dowonoś wou puntu C może nm ć punt, gde weto O Wted Mom O O O sn π 2 8. MOMENT WETOR WZGLĘDEM OSI Defn: Momentem weto wgędem os nwm ut n tę oś momentu weto wgędem dowonego puntu n ne eżąego Mom ( Mom ) ) O 1 1 ) Π 14
) 1 1 ) Π Mom Mom Zps pon n sunu w ęś ) est ednm e sposoów on momentu weto wgędem os Mom Woe dowonoś wou puntu O n os może hodć wątpwość moment weto wgędem os defnown est w sposó ednonn. Wątpwość tę usuw nstępuąe twedene: Mom O onst Mom Dowód: pt J.wtows Stt ogón. 15
mą punt wspón O O O O Powżse dw sun są sótowm pedstwenem ftu, że moment weto wgędem os est ówn eu w dwóh ppdh: 1) weto oś są ównoegłe, 2) weto oś mą punt wspón. P onu momentu weto CD wgędem os wnone pe weto postępuem nstępuąo: 1. Oś psuem ntne (,, ) (,, ) ( ) ( ) ( ) 16
2. Moment weto CD wgędem poste ówn sę utow momentu weto CD wgędem puntu, tó est poątem weto. Mom CD ( Mom CD) ( C CD) D O C 3. Doonuem utown weto n weto. O C CD 4. Doonuem psu ntnego momentu weto CD wgędem os: Mom CD m ( Mom CD) m O gde: - weso os wnone pe weto 17