Dyrn rocy Marowa. Rozarumy roc ochayczny, w órym aramr cągły zwyl. Będzmy załadać, ż zbór anów co nawyż rzlczalny. Proc, rocm Marowa, śl dowolngo n, dowolnych chwl czau < <...< n, oraz dowolnych anów x, y, x,..., x n łnona zalżność: P { y x, x x } P{ y x},..., n n n n n n Proc Marowa dnorodny w cza, żl dowolnych anów x, y oraz chwl czau < mamy P y x x, y, { } co oznacza, ż rawdoodobńwo rzśca z anu x do anu y w cza od momnu do momnu zalży ylo od różncy -, a n zalży od momnu wyścowgo w zczgólnośc moż o być zawz chwla. Przymmy oznaczn P{ }, gdz n -, n >. n ch P [ ] macrz rawdoodobńw rzśca,,,..., ończon lczby anów. P J o macrz ochayczna. Zalżność nazywamy równanm Chamana - Kołmogorowa. Wyna z n, ż Uwaga. P P P P P ch P - rawdoodobńwo, ż w chwl roc znadz ę w an. Ta rawdoodobńwa nazywamy ndy rawdoodobńwam całowym. onżza właność. Wdy ch,,..., rozład rocu w chwl Wdy P
Załadamy, ż func ą cągł w unc, oraz lm Wdy ą cągł w dowolnym nnym unc. In ż wdy chocaż moż być nończona granca raworonna ' lm ' oraz ończona granca raworonna lm Dla wygody rzymmy oznaczna ' Wlośc nazywamy nnywnoścam rzśca z anu do anu gdy, oraz nnywnoścam wyśca z anu do ozoałych anów gdy. ' Ponważ lm, o ą gęoścam rawdoodobńwa rzśca z anu do anu, oraz małych mamy, co oznacza, ż małych rawdoodobńwo rzśca z anu do anu roorconaln do, wółczynnm roorconalnośc nnywność gdy nnywność rzśca zrowa o a rawdoodobńwo zrow. Podobn małych mamy. Orślamy macrz nnywnośc Λ o lmnach równym nnywnoścom ończon lczby anów Λ Włanośc macrzy nnywnośc a, wyrazy na główn rząn ą ndodan, b wyrazy oza rząną ą numn. c uma wyrazów ażdgo wrza równa dowód c ąd : zam lm
czyl Macrzą nnywnośc nazywamy ażdą macrz Λ aą, ż: a lmny ozadagonaln ą numn, b lmny dagonaln ą ndodan, c uma lmnów w ażdym wrzu wyno. Uwaga. Jśl Λ macrzą nnywnośc o macrz P Λ I m gdz -m < namnzym lmnm macrzy Λ lży na główn rząn Λ macrzą ochayczną. Warośc włan macrzy nnywnośc maą zawz moduł n węzy nż m, ch część rzczywa mśc ę w rzdzal [-m, ]. Dal będzmy rozarywal dnorodn rocy Marowa, órych wzy nnywnośc ą ończon. Ta roc łna równana Kołmogorowa: d *,, ualongo d równan roywn - odno ę do rzyzłośc d **,, ualongo d równan rroywn - odno ę do rzzłośc rzy warunach ocząowych,,,. Możmy owyżz ułady równań zaać w oac macrzow: d * P' P Λ czyl P P Λ d oraz d ** P' Λ P czyl P ΛP d W zaoowanach częśc ou ę równan roywn. dowód Dla równana roywngo. W równanu Chamana - Kołmogorowa odawamy
naęn od obu ron odmumy dzlmy ob rony orzyman równośc rzz [ ] Załadaąc, ż rozarywan nnywnośc ną, gdy rzdzmy do grancy wdy o uwzględnnu ' ' lm lm orzymamy roywn równan Kołmogorowa. Ponważ uład równań Kołmogorowa * można zaać ż w oac macrzow: d P P Λ d z warunm ocząowym P I, o rozwązan można zaać w oac wyładncz Λ P gdz Λ Oznaczaąc P mamy I Λ Λ! Λ! czau orzymamy nny za równana roywngo d... o zróżnczowanu względm ***,,... d Przymuąc [,,...] wor rozładu rocu w momnc macrz Λ możmy owyżzy uład równań zaać w oac worow: ' Λ czyl Λ d d Rozwązan go równana ma oać Λ Przyład. aryować graf wyznaczyć równana roywn Kołmogorowa rocu Marowa o macrzy nnywnośc: Λ 4 7 4
[ ] [ ] [ ] 4 d d d 4 d d 7 d Prayczny oób worzna ach równań na odaw grafu naęuący: - czba równań równa lczb anów, - wa rona ażdgo równana o ochodna rawdoodobńwa dango anu, - Prawa rona ma yl ładnów l rawędz grafu zwązanych z danym wrzchołm, - Srzałom wchodzącym odowada ładn równy nnywnośc rzy rzałc omnożon rzz rawdoodobńwo anu z órgo ona wychodz, - Srzałom wychodzącym odowada ładn równy nnywnośc rzy rzałc omnożon rzz rawdoodobńwo anu z órgo ona wychodz orzdzony znam mnu onważ rzał wychodzą z dngo anu, o nnywnośc można zumować. W roych rzyadach rozwązan uładu równań ' Λ można wyznaczyć modą rzzałcna alac'a. Przyład. Sym łada ę z dngo lmnu odawowgo dwóch lmnów zaaowych. lmn odawowy obcążony u ę z nnywnoścą. lmny zaaow ą nobcążon n uą ę. Gdy ou ę lmn odawowy go func rzmu lmn zaaowy wdy u ę z nnywnoścą. Sym rza racować z chwlą ouca ę wzych lmnów. ch będz rocm oznaczaącym lczbę zuych lmnów w cza. Przymmy, ż rozład ocząowy ma oać [,,, ]. aryumy graf rocu go macrz nnywnośc. Rozwązuąc równan Kołmogorowa wyznaczymy wor rozład granczny. 5
6 [ ] [ ] [ ] [ ] Λ Uład ' Λ zaumy o wółrzędnych w oac Pochodn ranformumy wg wzoru: f f f orzymumy uład równań Rozwązuąc orzymany uład równań wyznaczamy orygnały rranformay na odaw zalżnośc! n n n α α w zczgólnośc α α ; ; ; Zauważmy, ż rawdoodobńwo, ż w chwl uład racu wyno. Prawdoodobńwa granczn ą równ [,,, ]. Rozład granczny, rgodyczność roców Marowa. lm, π n π π...,,, Twrdzn. Macrz nnywnośc Λ ma zawz warość właną równą. Twrdzn. Rozład granczny n zalży od rozładu ocząowgo macrz nnywnośc Λ ma dnoroną warość właną równą. Wdy odowadaąca macrz ochayczna nrozładalna.
Twrdzn. Jśl rocm Marowa o ończn wlu anach oraz n chwla aa, ż wzy wyrazy macrzy rzśca ą dodan, o ną granc rawdoodobńw rzśca lm π nzalżn od anu wyścowgo, ą dodan maą umę równą. Prawdoodobńwa nazywamy rawdoodobńwam rgodycznym. Proc Marowa, órgo ną rawdoodobńwa rgodyczn nazywamy rocm rgodycznym. Twrdzn. Jśl ończona macrz nnywnośc Λ ma oza rząną ylo dodan lmny o roc n rgodyczny ma dodan rawdoodobńwa granczn. Dwa ooby wyznaczana rozładu granczngo orślaą naęuąc wrdzna: Twrdzn. Rozład granczny nzrowym rozwązanm uładu Λ łnaącym warun unormowana uma ładowych zro. Równan Λ wyna z równana różnczowgo d d Λ, bowm śl n rozład granczny o n zalży on od zam go ochodna o równa zro. Twrdzn. Rozład granczny można wyznaczyć za omocą dołnń algbracznych M lmnów z rząn macrzy -Λ: Przyład. aryować graf wyznaczyć rozład granczny rocu Marowa o macrzy nnywnośc: M M 5 Λ 4 6 7
[ ] [ ] [ ] 4 od. [4/49; 4/49; /49] Proc Poona. Proc {, } nazywamy rocm zlczaącym śl oznacza całową lczbę badanych zdarzń zaobrwowanych do chwl. Proc zlczaący mu łnać warun:, rzymu ylo całow włanośc, Jśl < o, 4 Dla < - równ lczb zdarzń zaobrwowanych w rzdzal, ], Proc zlczaący rocm o rzyroach nzalżnych śl rozłady lczby zdarzń obrwowanych w rozłącznych rzdzałach czau ą nzalżn, n. n zalży od -. Uwaga. Każdy roc o rzyroach nzalżnych rocm Marowa. Proc zlczaący rocm dnorodnym w cza gdy rozład lczby zaobrwowanych zdarzń w rzdzal czau zalży ylo od długośc go rzdzału, n. - ma a am rozład a -. Proc Poona dnorodnym rocm Marowa o rzyroach nzalżnych o rozładz. P P P τ τ,,... - nnywność rocu, > aramry rocu Poona: m, K, mn,, < ρ, Uzaadnn.! 8
9 Ponważ P! o!! P m P!!!!!!! Zam D Z dnorodnośc rocu < mamy, zam ąd z nzalżnośc orzymamy [ ], R, R ogóln <, R Sąd mn,, m m R, K < < oraz < < D D, K, ρ Zauważmy, ż, ą zawz dodano orlowan ła zalżnośc mędzy nm znaczn ada gdy dna z chwl wloron węza od drug.
Przyłady zaw modlowanych rocm Poona. - lczba wymowanych czą rzz cało romnowórcz w wnym rzdzal czau, - lczba awar ymu omunacyngo romnowórcz w wnym rzdzal czau, - lczba zgłozń do oralu nrnowgo w wnym rzdzal czau, Graf rocu Poona naęuący [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 5 4 Macrz nnywnośc rocu Poona ma oać Λ Przymuąc,,... wor rozładu rocu w momnc, o równan Kołmogorowa ' Λ zaumy o wółrzędnych w oac...... Przymumy rozład ocząowy,,,... Rozwązanm go uładu! czyl...,!...,,!,!,
zauważmy, ż uma lmnów go wora wyno dn. Zam dnowymarowy rozład go rocu zn. rozład w dowoln ualon chwl wyznaczony rzz rozład Poona. Uzaadnn. Soób I. Pochodn func ranformumy wg wzoru: f f f, f f orzymumy uład równań...... Rozwązumy orzymany uład równań. Z rwzgo równana wyznaczamy rzz odawan wyznaczamy olno,,...,,... aęn wyznaczamy orygnały rranformay na odaw zalżnośc! n n n α α... ;!...; ;! ; ; Soób II. Rozarumy funcę worzącą wora rozładu,,... Ψ, Jśl omnożymy ozczgóln równana różnczow rozarywango uładu odowdno rzz,,,...,,... dodamy ronam o orzymamy zalżność, Ψ Ponważ
Ψ, o orównuąc owyżz równośc orzymamy równan różnczow Ψ, Ψ, z warunm ocząowym Ψ, Rozwązanm go równana funca Ψ, Rozwaąc drug czynn w zrg oęgowy orzymamy Ψ,!! cz Ψ,, węc orównuąc wółczynn rzy ozczgólnych oęgach zmnn, orzymamy a orzdno ; ;! Problm. T - cza rwzgo zgłozna, T n - cza mędzy n - a n-ym zgłoznm, Wyznaczyć rozład ych zmnnych loowych. Rozwązan. {T > } oznacza zdarzn, ż n było zgłozna w [, ], P T > P ;...; zam P T < F dyrybuana rozładu wyładnczgo. aęn zauważmy, ż z nzalżnośc wyna P T > T P bra zgł ozń w, ] T P bra zg ozń w, ] { } { } ł Zam T ż ma rozład wyładnczy nzalżny od T. Id. Wno. Odęy czau mędzy olnym zmanam anów w dnorodnym roc Poona ą nzalżnym zmnnym loowym o ym amym rozładz wyładnczym: P T < >! ;... Paramry go rozładu o T, D T. Twrdzn. Suma ończon lczby nzalżnych roców Poona rocm Poona, órgo aramr umą aramrów ozczgólnych roców.
Przyładowa ralzaca rocu Poona 4. cza an,,,,8 -,4,9,,8,48,4,6,9,76 4,9 4,77, 5,8 6,6,9 6,9 7,46,45 7,9 8,,6 8,9 8,97,64 9 4, 9,,77 4,4 9,76,47 6,74,,85 8, 4,79, 8,59 5,54,7 4 8,78 5,79,6 5,6 8,,8 6, 9,,88 7,59 9,47 4, 8,99 9,99 4,7 9,6, 5,6 6, 5, 5,88 8,67 8,7 5,96 8,96 8,7 6, 9,6 8,97 6,9 4,5,6 6,94 5,5, 7,8 6,7 4,5 7,4 7 4,8 5,7 7,45 8 4,5 5,7 7,59 9 4,85 5,87 8, 6,74 8, any 45 4 5 5 5 5 R alz aca rocu Po on a 4 waroś c rocu ś rdna - odch.. rdna odch..,,5,,5,,5,,5 4, 4,5 5, 5,5 6, 6,5 7, 7,5 8, 8,5 9, c z a
Uwaga. P P τ τ P τ! <, zn. P [ ] τ!, Przyład. Srawdzć, ż rocu Poona zachodz: P Przyład. Srawdzć, ż rocu Poona równana Kołmogorowa maą oać: d *,, ualongo d d równan roywn **,, ualongo a ch rozwązanm d równan rroywn! Przyład. Srumń zgłozń do ymu lomunacyngo rocm Poona. Wadomo, ż nnywność go rocu wyno zgł/mn. a oblczyć rawdoodobńwo wyąna co nawyż dngo zgłozna w cągu und, b oblczyć rawdoodobńwo wyąna rzch zgłozń w cągu und, c oblczyć rawdoodobńwo, ż cza mędzy olnym zgłoznam będz węzy nż und. Rozwązan. Ad. a und o,5 mnuy, zam odczyuąc z ablcy rozłdu Poona,5 mamy. P, 5 P, 5 P, 5,,5, 558 Ad. b analogczn P, 5, 6 Ad. c T cza mędzy zgłoznam. J o zmnna loowa o rozładz wyładnczym. Ponważ und o, mnuy,6 mamy. P T, -,6. 4
- nnywnośc urodzń,,,... - nnywnośc śmrc,,,... Proc urodzń śmrc. [ ] [ ] [ ]... - rawdoodobńwo rzśca z anu do anu o cza, maą włanośc:,- o,, o,, - o,, o, - > łnaą uład równań Kołmogorowa: d *,,, d warun ocząow,,,. Dal rozarumy roc urodzń śmrc z ończoną lczbą anów,,...,. [ ] [ ] [ ] [ ] ch P [ ] ochayczna macrz rzśca,,,...,.... Proc urodzń śmrc dnorodnym rocm Marowa. Dla rocu urodzń śmrc macrz nnywnośc ma oać: Λ [ ] uład równań Kołmogorowa można zaać w oac macrzow: d P P Λ d Rozwązan go równana ma oać Λ Gdz I Λ Λ Λ...!! P P Λ Przymuąc,,..., wor rozładu rocu w momnc, o równan Kołmogorowa ' Λ zaumy o wółrzędnych w oac 5
6 Przymumy rozład ocząowy,,,... Uład równań Kołmogorowa: Λ d d ma rozwązan oac Λ gdz...!! Λ Λ Λ Λ I Uwaga. Proc urodzń śmrc ma nnywnośc dodanch rozład granczny oac:...... `,,..., gdz...... Dowód. Zaoumy oób rwzy. Rozarzmy równan Λ [ ] czyl uład równań Jśl rzyąć, ż z ; z ; d. o
7 z z z z z z ąd z rzymuąc ao aramr mamy z warunów unormowana ozuwan wzory. Uwaga. Jśl roc urodzń śmrc ma rzlczalną lczbę anów, o rozład granczny oac...... `,,... gdz...... załadamy, ż zrg...... zbżny. Przyład. ch,,,,..., gdz >, dana ała. Zbada nn w ym rzyadu rawdoodobńw grancznych. Przyład roc Yul a. J o roc urodzń órgo nnywnośc urodzń ą równ,,,.... Przymumy, ż,,... wor rozładu rocu w momnc, oraz ocząowy,,,,... Srawdź, ż równan Kołmogorowa ' Λ ma go rocu oać a rawdoodobńwa > łnaą o równan.
Przyład. W załadz racuą mazyny, z órych ażda u ę nzalżn od ozoałych z nnywnoścą mazyny/godz. Mazyny ą narawan rzz robonów. ch oznacza lczbę zuych mazyn w chwl. Rozarzmy naęuąc rzyad: ą mazyny robon racuący z nnywnoścą mazyna/godz. ą mazyny robonów racuących bz wółracy z nnywnoścą mazyna/godz. ażdy. ą 4 mazyny robonów racuących bz wółracy z nnywnoścą mazyna/godz. ażdy. 4 ą mazyny robonów racuących z łną wółracą z nnywnoścą mazyna/godz. ażdy. 5 ą mazyny robonów racuących z łną wółracą z nnywnoścą mazyna/godz. ażdy. 6 ą mazyny robonów racuących z ogranczoną wółracą z nnywnoścą mazyna/godz. ażdy gdy racuą oobno z nnywnoścą,5mazyny/godz. gdy racuą razm. W ażdym rzyadu: a naryować graf, b wyznaczyć rawdoodobńwa granczn, c oblczyć rawdoodobńwo granczn, ż żadn robon n racu, d oblczyć rawdoodobńwo granczn, ż rzynamn dna mazyna rawna, oblczyć rawdoodobńwo granczn, ż rzynamn dna mazyna cza na narawę, f oblczyć śrdna lczbę zuych mazyn, g oblczyć śrdna lczbę zaęych robonów. ZADAIA Zadan. aryować graf wyznaczyć rozład granczny rocu Marowa o macrzy nnywnośc: 6 4 Λ 4 7 Oblczyć granczną warość oczwaną granczną warancę. Zadan. Proc Marowa orślony grafm [ ] [ ] [ ] Wyznaczyć go macrz nnywnośc równana Kołmogorowa. Wyznaczyć wor rozładu ocząowgo,,. Wyznaczyć rozład granczny. Po am cza oągn warość,5? Czy dyolw? 4 8
Zadan. Przymuąc, ż roc ma any,,, ; naryować graf wyznaczyć rozład granczny rocu Marowa o macrzy nnywnośc: 8 4 Λ 5 Wyać równana Kołmogorowa go rocu. Oblczyć granczną warość oczwaną granczną warancę. Zadan 4. Proc Marowa orślony grafm 6 [ ] [ ] [ ] [ ] 4 Wyznaczyć go macrz nnywnośc równana Kołmogorowa. Wyznaczyć rozład granczny go rocu. Oblczyć granczną warość oczwaną granczną warancę. Zadan 5. Srawdź, ż śl roc Marowa ma macrz nnywnośc: Λ a b a b gdz a, b, a b > o go macrz rawdoodobńw rzść równa P ab ab b a a a ab a b a b b b a b Wyznaczyć wor rozładu ocząowgo,. Wyznaczyć rozład granczny. Zadan 6. Srumń awar wngo ymu modlowany rocm Poona. Wadomo, ż rzcęn dna awara zdarza ę raz na godzn. a oblczyć rawdoodobńwo wyąna doładn dn awar w cągu godzn, b oblczyć rawdoodobńwo wyąna nawyż dwóch awar w cągu godzn, c oblczyć rawdoodobńwo bzawaryn racy w cągu godzn, d oblczyć rawdoodobńwo, ż cza mędzy olnym awaram będz węzy nż godzn, oblczyć rawdoodobńwo, ż cza mędzy olnym awaram będz węzy nż godzn mnzy od godzn, f oblczyć warość oczwaną bzawaryngo czau racy go ymu. Zadan 7. Srumń zgłozń do ymu lomunacyngo rocm Poona. Wadomo, ż nnywność go rocu wyno zgł/mn. 9
a oblczyć rawdoodobńwo wyąna co nawyż dngo zgłozna w cągu und, b oblczyć rawdoodobńwo wyąna rzch zgłozń w cągu und, c oblczyć rawdoodobńwo, ż cza mędzy olnym zgłoznam będz węzy nż und, d l und wyno śrdn cza oczwana na rwz zgłozn? Zadan 8. Wyznaczyć aramry naryować rzyładowa ralzac rocu Z gdz dnorodnym rocm Poona o nnywnośc. Zadan 9. Srawdź, ż macrz rawdoodobńw rzśca rocu rzłączana mędzy anam {-, } gnrowango rocm Poona, zn. rocu Z Z, gdz dnorodnym rocm Poona o nnywnośc ma oać P Zadan. W załadz racuą mazyny, z órych ażda u ę nzalżn od ozoałych z nnywnoścą mazyny/godz. Mazyny ą narawan rzz robonów. ch oznacza lczbę zuych mazyn w chwl. Rozarzmy naęuąc rzyad: ą mazyny robon racuący z nnywnoścą mazyna/godz. ą mazyny robonów racuących bz wółracy z nnywnoścą mazyna/godz. ażdy. ą 4 mazyny robonów racuących bz wółracy z nnywnoścą mazyna/godz. ażdy. 4 ą mazyny robonów racuących z łną wółracą z nnywnoścą mazyna/godz. ażdy. 5 ą mazyny robonów racuących z łną wółracą z nnywnoścą mazyna/godz. ażdy. 6 ą mazyny robonów racuących z ogranczoną wółracą z nnywnoścą mazyna/godz. ażdy gdy racuą oobno z nnywnoścą,5mazyny/godz. gdy racuą razm. W ażdym rzyadu: a naryować graf, b wyznaczyć rawdoodobńwa granczn, c oblczyć rawdoodobńwo granczn, ż żadn robon n racu, d oblczyć rawdoodobńwo granczn, ż rzynamn dna mazyna rawna, oblczyć rawdoodobńwo granczn, ż rzynamn dna mazyna cza na narawę, f oblczyć śrdna lczbę zuych mazyn, g oblczyć śrdna lczbę zaęych robonów..kowal..9