EGZAMIN GIMNAZJALNY W ROKU SZKOLNYM 2011/2012

Centralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN GIMNAZJALNY W ROKU SZKOLNYM 2011/2012 CZĘŚĆ MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZA MATEMATYKA PRZYKŁADOWY ZESTAW ZADAŃ PAŹDZIERNIK 2011

czas (w procentach) Zadanie 1. Do przygotowania podwieczorku użyto 120 mandarynek i 180 śliwek. Każda porcja składała się z takiej samej liczby mandarynek i takiej samej liczby śliwek, a owoców nie dzielono na części. Dla ilu maksymalnie osób przygotowano taki podwieczorek? Wybierz odpowiedź spośród podanych. A. 90 B. 20 C. 30 D. 60 Informacja do zadań 2. i 3. Asia trenuje kolarstwo. Trasa, którą pokonała w ciągu 4 godzin, wiodła leśną drogą, ścieżką rowerową, a następnie polną drogą i chodnikiem. Na diagramie przedstawiono w procentach czas jazdy Asi po leśnej drodze, ścieżce rowerowej i polnej drodze, ale nie narysowano słupka z informacją dotyczącą jazdy po chodniku. 40 35 30 25 20 15 10 5 0 leśna droga ścieżka rowerowa roga droga polna chodnik Zadanie 2. Jaki procent czasu Asia jechała po chodniku? Wybierz odpowiedź spośród podanych. A. 10% B. 15% C. 20% D. 25% Zadanie 3. Ile minut Asia jechała leśną drogą? Wybierz odpowiedź spośród podanych. A. 60 minut B. 72 minuty C. 84 minuty D. 96 minut Zadanie 4. Korzystając z tego, że (123) 2 = 15129, wskaż wartość liczby 1,5129. Wybierz odpowiedź spośród podanych. A. 0,0123 B. 0,123 C. 1,23 D. 12,3 Strona 2 z 11

Zadanie 5. Na rysunkach przedstawiono osie liczbowe, a na każdej z nich kropkami zaznaczono trzy liczby. Na którym rysunku jedna z tych liczb jest sumą dwóch pozostałych? Wybierz odpowiedź spośród podanych. A. B. 0 1 0 1 C. D. 0 1 0 1 Zadanie 6. Które zdanie jest fałszywe? Wybierz odpowiedź spośród podanych. A. Jeżeli liczba jest podzielna przez 12, to jest podzielna przez 6. B. Jeżeli liczba jest podzielna przez 6, to jest podzielna przez 2 i przez 3. C. Jeżeli liczba jest podzielna przez 3 i przez 5, to jest podzielna przez 15. D. Jeżeli liczba jest podzielna przez 3 i przez 6, to jest podzielna przez 18. Zadanie 7. Do pojemnika wsypano 200 koralików białych i 300 czerwonych. Wymieszano je i zapakowano do woreczków po 50 sztuk. Okazało się, że w jednym z woreczków znalazły się tylko białe koraliki. Dokończ poniższe zdanie, wybierając odpowiedź spośród podanych. Wobec tego nie jest możliwe, aby A. wszystkie pozostałe białe koraliki znajdowały się w trzech woreczkach. B. w jednym z pozostałych woreczków nie było białych koralików. C. w większości pozostałych woreczków znalazło się po 17 białych koralików. D. w każdym z pozostałych woreczków było więcej koralików białych niż czerwonych. Strona 3 z 11

Zadanie 8. W szufladzie znajduje się 10 par skarpetek, w tym 3 pary skarpetek czarnych. Tomek losowo wyjmuje po jednej skarpetce z szuflady. Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F jeśli jest fałszywe. Tomek, aby mieć pewność, że przynajmniej dwie wyjęte skarpetki będą czarne, musi wyjąć co najmniej 16 skarpetek. Tomek za pierwszym razem nie wyjął czarnej skarpetki. Prawdopodobieństwo, że za drugim razem wyjmie czarną skarpetkę, wzrosło. P P F F Zadanie 9. Pan Jerzy wyjechał z pewnego miasta samochodem w trasę liczącą 210 km o godzinie 9:30. Dziesięć minut później z tego samego miasta wyjechał w tę samą trasę pan Wojciech. Wykresy przedstawiają zależność drogi przebytej przez obu kierowców od czasu jazdy. droga (km) 240 210 180 150 120 90 60 30 9:30 10:00 10:30 11:00 11:30 12:00 12:30 godzina Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F jeśli jest fałszywe. O godzinie 10:30 bliżej celu był pan Wojciech. P F Większą średnią prędkość na całej trasie uzyskał samochód pana Jerzego. P F Strona 4 z 11

Zadanie 10. Dana jest funkcja określona wzorem y = x, gdzie x jest liczbą dodatnią. Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F jeśli jest fałszywe. Wartości tej funkcji są zawsze dodatnie. P F Punkt (9, 3) należy do wykresu tej funkcji. P F Zadanie 11. Dany jest układ równań x y 15 2x y 6 Dokończ poniższe zdanie, wybierając odpowiedź spośród podanych. Liczby spełniające ten układ równań spełniają też warunek: A. obie liczby są parzyste. B. obie liczby są ujemne. C. ich suma jest podzielna przez 3. D. ich różnica jest równa 0. Zadanie 12. W dwóch zbiornikach znajduje się 420 litrów mleka. Jeśli z pierwszego zbiornika przelejemy do drugiego 6 1 jego zawartości, to w obu zbiornikach będzie taka sama ilość mleka. Ile litrów mleka jest w pierwszym zbiorniku? Wybierz odpowiedź spośród podanych. A. 175 B. 229 C. 245 D. 252 Zadanie 13. Do pięciu różnych naczyń rozlano 6 litrów wody. Dokończ poniższe zdanie, wybierając odpowiedź spośród podanych. Średnia arytmetyczna ilości wody w tych naczyniach zmieni się, gdy A. jedno naczynie opróżnimy, przelewając jego zawartość do pozostałych naczyń. B. poprzelewamy wodę z jednego naczynia do drugiego, tak by w każdym naczyniu było jej tyle samo. C. z czterech naczyń odlejemy trochę wody do piątego naczynia. D. do każdego naczynia dolejemy taką samą ilość wody. Strona 5 z 11

Zadanie 14. Dokończ poniższe zdanie, wybierając odpowiedź spośród podanych. Długość przekątnej prostokąta przedstawionego na rysunku jest równa A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 60 12 Zadanie 15. Przedstawiony na rysunku trójkąt ABC jest prostokątny, ale nie jest równoramienny. Odcinek BE jest wysokością tego trójkąta, a BD jest dwusieczną kąta prostego. Oceń prawdziwość poniższych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F jeśli jest fałszywe. Półprosta BD jest dwusieczną kąta CBE. P F Odcinek BE jest wysokością w trójkącie CBD. P F Zadanie 16. Na planie pokoju wykonanym w skali 1 : 50 prostokątna podłoga ma wymiary 8 cm i 12 cm. Dokończ poniższe zdanie, wybierając odpowiedź spośród podanych. W rzeczywistości pole powierzchni podłogi tego pokoju jest równe A. 96 m 2 B. 48 m 2 C. 24 m 2 D. 12 m 2 Strona 6 z 11

Zadanie 17. Wykonano następującą konstrukcję. 1. Narysowano trójkąt ABC. 2. Wykreślono dwusieczne dwóch kątów wewnętrznych tego trójkąta i ich punkt przecięcia oznaczono literą O. 3. Poprowadzono prostą prostopadłą do boku AB i przechodzącą przez punkt O. Punkt przecięcia tej prostej i boku AB oznaczono literą D. 4. Narysowano okrąg o środku w punkcie O i promieniu OD. Dokończ poniższe zdanie, wybierając odpowiedź spośród podanych. Skonstruowany w opisany powyżej sposób okrąg A. przechodzi przez wszystkie wierzchołki tego trójkąta. B. jest styczny do wszystkich boków tego trójkąta. C. ma środek leżący na jednym z boków trójkąta. D. przecina jeden z boków trójkąta w dwóch punktach. Zadanie 18. Bryłę ułożono z jednakowych sześciennych klocków. Na rysunkach przedstawiony jest widok tej bryły z dwóch stron. Z ilu klocków składa się ta bryła? Wybierz odpowiedź spośród podanych. A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 Zadanie 19. Czy kulę o objętości 500 cm 3 można przełożyć przez otwór w kształcie kwadratu o boku 10 cm? Wybierz odpowiedź T (tak) albo N (nie) i jej uzasadnienie spośród oznaczonych literami A D. T N ponieważ A. średnica kuli jest mniejsza od przekątnej kwadratu. B. średnica kuli jest mniejsza od boku kwadratu. C. średnica kuli jest większa od przekątnej kwadratu. D. średnica kuli jest większa od boku kwadratu. Strona 7 z 11

Zadanie 20. Do czterech naczyń I, II, III i IV (patrz rysunek) o jednakowej pojemności równej 300 ml wlano po 150 ml wody. W dwóch naczyniach wysokość słupa wody sięga do połowy ich wysokości. I II III IV Które to naczynia? Wybierz odpowiedź spośród podanych. A. I i II B. I i III C. II i IV D. III i IV Zadanie 21. Dla 38 uczestników wycieczki zarezerwowano nocleg w 15 pokojach. Dla dziewcząt zarezerwowano tylko pokoje dwuosobowe, a dla chłopców tylko pokoje trzyosobowe. Uczestnicy wycieczki zajęli wszystkie miejsca w zarezerwowanych pokojach. Ile dziewcząt i ilu chłopców brało udział w tej wycieczce? Zapisz obliczenia. Strona 8 z 11

Zadanie 22. Uzasadnij, że dwusieczne kątów BAD i ABC równoległoboku ABCD są prostopadłe. D C A B Strona 9 z 11

Zadanie 23. Na rysunkach przedstawiono tę samą bryłę widzianą z dwóch stron. Każda ze ścian tej bryły jest albo kwadratem, albo trójkątem równobocznym. Kwadratem jest też czworokąt ABCD (patrz rysunki). Każda krawędź ma długość 2. Jaką objętość ma ta bryła? Zapisz obliczenia. A A D D B B C C Strona 10 z 11

Brudnopis Strona 11 z 11

Centralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN GIMNAZJALNY W ROKU SZKOLNYM 2011/2012 CZĘŚĆ MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZA MATEMATYKA ODPOWIEDZI I PROPOZYCJE OCENIANIA PRZYKŁADOWEGO ZESTAWU ZADAŃ PAŹDZIERNIK 2011

Zadania zamknięte Numer Odpowiedź zadania poprawna Punktacja Zasady przyznawania punktów 1. D 0-1 poprawna odpowiedź 1 p. 2. D 0-1 błędna odpowiedź lub brak odpowiedzi 0 p. 3. C 0-1 4. C 0-1 5. B 0-1 6. D 0-1 7. D 0-1 8. P P 0-1 9. P F 0-1 10. P P 0-1 11. C 0-1 12. D 0-1 13. D 0-1 14. D 0-1 15. F P 0-1 16. C 0-1 17. B 0-1 18. D 0-1 19. T B 0-1 20. B 0-1 - 2 -

Uwaga Zadania otwarte Za każdy z występujących poziomów, począwszy od P 1, przyznajemy po 1 punkcie. Zadanie 21. (0-3) Przykładowe sposoby rozwiązań I sposób ułożenie układu równań x liczba pokoi dwuosobowych y liczba pokoi trzyosobowych 2x liczba dziewcząt 3y liczba chłopców Otrzymujemy układ równań: x y 15 2x 3y 38 Rozwiązując ten układ równań metodą podstawiania lub przeciwnych współczynników otrzymamy: x = 7, y = 8 zatem: 2x = 14, 3y = 24 Odpowiedź. W wycieczce uczestniczyło 14 dziewcząt i 24 chłopców. lub x liczba dziewcząt y liczba chłopców x 2 liczba pokoi dwuosobowych y 3 liczba pokoi trzyosobowych Otrzymujemy układ równań: x y 38 x 2 y 3 15 Po rozwiązaniu układu równań otrzymamy: x = 14, y = 24 Odpowiedź. W wycieczce uczestniczyło 14 dziewcząt i 24 chłopców. II sposób ułożenie równania z jedną niewiadomą x liczba pokoi dwuosobowych 15 x liczba pokoi dwuosobowych 2x liczba dziewcząt 3(15 x) liczba chłopców 2x 3(15 x) 2x 45 3x x 7 x 7 38 38-3 -

2x = 14 3(15 x) = 24 Odpowiedź. W wycieczce uczestniczyło 14 dziewcząt i 24 chłopców. III sposób metoda prób i błędów Uczeń zakłada, że liczba pokoi dwuosobowych wynosi 1, wówczas jest 14 pokoi trzyosobowych. Sprawdza, ile osób mieszczą te pokoje 1 2 14 3 2 42 44 za dużo, potem kolejno lub skokami sprawdza inne liczby pokoi. 4 2 11 3 8 33 41 za dużo 5 2 10 3 10 30 40 za dużo 6 2 9 3 12 27 39 za dużo 7 2 8 3 14 24 38 zgadza się Uczeń sprawdza, czy są jeszcze inne możliwości: 8 2 7 3 16 21 37 za mało 9 2 6 3 18 18 36 za mało 10 2 5 3 20 15 35 za mało Uczeń zauważa, że im więcej pokoi dwuosobowych, tym mniej trzyosobowych i tym mniej osób łącznie w tych pokojach się mieści. Czyli nie ma już innej możliwości niż 7 pokoi dwuosobowych i 8 trzyosobowych. 7 2 = 14 8 3 = 24 Odpowiedź. W wycieczce uczestniczyło 14 dziewcząt i 24 chłopców. IV sposób wyrażenie jednej zmiennej jako funkcji drugiej x liczba pokoi dziewcząt y liczba pokoi chłopców 2x 3y 38 3y 38 2x y 38 2x 3 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 y 38 2x 34 32 28 26 22 20 16 14 10 8 12 10 8 6 4 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 x i y muszą być liczbami całkowitymi, czyli wystarczy sprawdzić pięć możliwości: x = 1: 1 12 15 x = 4: 4 10 15 x = 7: 7 + 8 = 15 x = 10: 10 6 15 x = 13: 13 4 15 Tylko dla x = 7 otrzymujemy sumę 15. Zatem 2 7 14 liczba dziewcząt 3 8 24 liczba chłopców Odpowiedź. W wycieczce uczestniczyło 14 dziewcząt i 24 chłopców. - 4 -

Poziom wykonania P 6 pełne rozwiązanie 3 punkty uzyskanie poprawną metodą odpowiedzi: 14 dziewcząt i 24 chłopców P 4 zasadnicze trudności zadania zostały pokonane bezbłędnie, ale rozwiązanie nie zostało dokończone lub dalsza część rozwiązania zawiera poważne błędy merytoryczne 2 punkty ułożenie równania z jedną niewiadomą lub układu równań z dwiema niewiadomymi lub wyrażenie jednej niewiadomej jako funkcji drugiej lub dokonanie pełnego przeglądu możliwości w metodzie prób i błędów P 1 dokonano niewielkiego, ale koniecznego postępu na drodze do całkowitego rozwiązania 1 punkt zauważenie zależności między liczbą i rodzajem pokoi a liczbą dziewcząt i liczbą chłopców lub podstawienie i sprawdzenie warunków zadania dla co najmniej 2 liczb pokoi P 0 rozwiązanie niestanowiące postępu 0 punktów rozwiązanie błędne lub brak rozwiązania Zadanie 22. (0-3) Przykładowe sposoby rozwiązań I sposób D P C A α α β β B Korzystając z definicji dwusiecznej, mamy: BAP = DAP = α oraz CBP = ABP = β. Korzystając z własności miar kątów w równoległoboku, mamy: 2α + 2β = 180, stąd α + β = 90. Korzystając z twierdzenia o sumie kątów trójkąta, mamy: APB = 180 (α + β) = 180 90 = 90. Odpowiedź. Dwusieczne AP i BP są prostopadłe. - 5 -

II sposób Korzystając z własności miar kątów w równoległoboku, mamy: 2α + 2β = 180, stąd α + β = 90. β = 90 α Z twierdzenia o sumie kątów trójkąta, mamy: x = 180 (α + 90 α) x = 180 90 x = 90 Odpowiedź. Dwusieczne są prostopadłe. A α α D x P 90 α 90 α B C Poziom wykonania P 6 pełne rozwiązanie 3 punkty wykorzystanie faktu, że suma kątów jakie tworzą dwusieczne z bokiem AB jest równa 90 i wyprowadzenie wniosku, że dwusieczne kątów są prostopadłe P 4 zasadnicze trudności zadania zostały pokonane bezbłędnie, ale rozwiązanie nie zostało dokończone lub dalsza część rozwiązania zawiera poważne błędy merytoryczne 2 punkty wykorzystanie faktu, że suma kątów przy jednym boku równoległoboku wynosi 180 P 2 dokonano istotnego postępu, ale zasadnicze trudności zadania nie zostały pokonane 1 punkt wykorzystanie własności dwusiecznej kąta P 0 rozwiązanie niestanowiące postępu 0 punktów rozwiązanie błędne lub brak rozwiązania Zadanie 23. (0-4) Przykładowy sposób rozwiązania Bryłę można podzielić na dwa takie same graniastosłupy prawidłowe trójkątne. Podstawa każdego z nich 2 2 3 jest trójkątem równobocznym o boku długości 2, więc pole podstawy jest równe. 4 2 2 3 Wysokość każdego z graniastosłupów równa jest 2, więc jego objętość równa jest 2 2 3. 4 Objętość całej bryły jest równa 2 2 3. Odpowiedź. Cała bryła ma więc objętość 4 3. Poziom wykonania P 6 P 5 pełne rozwiązanie 4 punkty obliczenie objętości bryły ( 4 3 ) zasadnicze trudności zadania zostały pokonane bezbłędnie, ale dalsza część rozwiązania zawiera usterki 3 punkty zauważenie, że objętość bryły można obliczyć dzieląc ją na dwa graniastosłupy, wybranie poprawnej metody obliczania objętości graniastosłupów, ale zostały popełnione błędy rachunkowe w obliczeniach - 6 -

P 3 zasadnicze trudności zadania zostały pokonane, ale w trakcie ich pokonywania popełniono błędy 2 punkty zauważenie, że bryłę można podzielić na dwie bryły, rozpoznanie, że jedna z nich jest graniastosłupem prawidłowym trójkątnym i obliczenie jego objętości, ale została zastosowana niepoprawna metoda obliczania objętości drugiej bryły P 1 dokonano niewielkiego, ale koniecznego postępu na drodze do całkowitego rozwiązania 1 punkt obliczenie pola trójkąta lub dostrzeżenie, że bryłę można podzielić na dwie bryły, z których jedna jest graniastosłupem prawidłowym trójkątnym P 0 rozwiązanie niestanowiące postępu 0 punktów rozwiązanie błędne lub brak rozwiązania - 7 -