Teoria Sygnałów. II rok Geofizyki III rok Informatyki Stosowanej. Wykład 11

Transkrypt

1 Tor Sgłów II rok Gofk III rok Ifortk Stosowj Wkłd

2 Dl sgłu skońogo, dskrtgo fukję wdowj gęstoś o w sę odstw fukj utokorlj: ϕ Φ [ ] [ ] [ ] [ k] w[ ] ϕ π,,,, k [ ] k,,,, Produrę oż rlowć w for skj tj wkorst rodur FFT. Okuj sę ow, ż dl długgo ągu dh kost ol fukj korlj ϕ [] w sosó ośrd jst węks ż ol tj fukj w dd ęstotlwośowj. Produr dl sgłu [],,,,- wgląd stęująo:. Uuł ąg [] r do długoś -. Ol -uktową DTF 3. L kwdrt wd ltudowgo [k] 4. Ol -uktową, odwrotą DTF - rwsh wrtoś twor fukję korlj 5. ooą wrgo ok w[] twor sgł: [ ] s ϕ ϕ [ ] w[ ] [ ] w[ ] 6. Ol DTF dl sgłu s[]

3 Wdową gęstość o roksuj sę s ooą rodogru - kwdrtu wd ltudowgo [k] sgłu. Jst to sttor oążo otrć orwę stj lż dokoć jgo uśrd w ruho ok. Wk ęd wóws ż do tod wkorstująj fukję korlj. Trsforj Trsforj stow wkl wż ręd do l dh frowh w t rkłd dh gofh. W trk th orów do rjstrją okrśloj wlkoś fj. w gof - tęż ol gtgo, rędkoś drgń grutu, tęż turlgo roow g w odwr w okrśloh ukth w rstr lu w wrh oth su. T s ostj okrślo ór dskrth wrtoś fukj dl wrh wrtoś rgutu t, to [t ],,,.... Trsforj owl w lt sosó rdstwć włsoś sgłów frowh tkż kostruowć hrktrstk fltrów owljąh rdukję suów wo sgłu użtgo. Dl dfow trsforj rjj, ż d jst ór l rwsth lu soloh { } d jko {, -, -,,,.... }. żdu ągow tgo tu oż rorądkowć fukję j soloj F okrśloą wor wą dwustroą trsfortą, orję rorądkow ągow { } fukj trsforją rkstł.

4 Dfuj sę rówż trsfortę jdostroą: Dl sgłów rowh trsfort jdo- dwustro są so rówowż. ω Prdstwją ą soloą w ost guowj r otruj : r ω Jśl oduł l to trsfort srowd sę do dskrtj trsforj Fourr. Prkłd: Dl ągu {...3.4} trsfort ostć rws rók wstęuj w hwl 3 t: sgł row Dl rwsj rók w hwl t-3 otr: sgł row Wrto uwżć, ż rws trsfort jst okrślo dl ś drug dl. Sosó odtwor sgłu odstw jgo trsfort jst trwl l tlko dl sgłów skońoh. Dwustro trsfort jst ż tlko w w osr żoś okrślo or d ąg. A hodł żość us ć sło wruk: < r ω < r ω r < Powż trsforow ąg jst ożo r k r - srg jst wględ suowl wt wtd gd o trsfort Fourr. trsfort ągu u stj o ż ąg trsfort Fourr. Jd wruk jst r > l trsfort dl tkgo ągu stj dl < <. I Osr żoś r Osr rku żoś

5 Ogól osr żoś jst rś o roh rówh lsu lsu oż ow sć dl ągu dwustrogo: Prws srg jst ż wwątr koł o rou drug wątr koł o rou. Jśl > to srg dwustro jst ż wwątr rś P,. I Prkłd. h d ęd ąg skońo: u[t ]u[] {,,,.... } Trsfort tgo ągu d jst jko, > Fukję, któr osd ohodą w kżd uk wgo osru D w holoorfą w t osr. Fukj wstęują o rwj stro owżsgo woru jst holoorf dl wsstkh >. Prkłd 3. Wć trsfortę ągu: [ ] u [ ] α α α α α < > α [ ] { },,,, α od wruk, ż Prkłd 4. Olć trsfortę ągu: < < < < < <

6 Odwrot trsforj. Odwrot trsforj sgól użt w rowąwu rówń różowh d jst wor: π ξ ξ dξ gd krw jst rg ortow dodto osru wrjągo koło O. W rdkh r s lowh trsforj ęd ł jęśj ostć fukj wrj: D gd wrtoś or są koljo w gu rsdu w thż guh. sdu, dl ojdh guów, ogą ć olo woru: Po rołożu trsforj ułk rost korst trsforj srgu gotrgo rkłd stęj stro Ią todą ol trsforj odwrotj jst wdl lk fukj wrj rgutu r owk. Wsółk r koljh otęgh ędą suk wrtoś ągu. Prkłd 5 Trsforj sgłu dskrtgo ostć: Bgu jdokrot są w ukth /. okłd ułk rost: /.5.5 u[ ] [ ] [ ] [ ] > [ ] u[ ].5

7 Włsoś trsforj. Węksość rtooh włsoś trsforj jst owst. Dl wrh ost rdstwo dowód. Włsość. Trsforj jst orją lową to dl dowolh l α β or dowolh ągów { } { } którh trsfort są rów odowdo Y hod: Włsość. h ąg {,,.... }.ost rsuęt o jdą rókę w rwo w dd su odowd to oóźu sgłu, to stąo ąg {,,,.... }. O sol tę orję jko σ to * σ{,,,...} Wtd trsfort tgo ągu jst rów: -krot łoż orj oóź owoduj rsuę ągu { } o js w rwo: Trsfort jst w t wdku rów: Y β α β α * * σ {..,.,,,,..., * σ { } f F σ Włsość 3. h ęd orją twor róż rwsgo rędu tj. {, -, -, 3 -,...} Powż orj t oż ć s jko I-σ I jst orją tożsośową otruj włsoś log dl róż rędu otruj: Włsość 4. h ęd lą rwstą lu soloą g{ }., }, -<< Wtd: Włsość 5 o różkowu trsfort h g{ }, -<<Wtd: { } { } I σ { } { } I σ G d d G

8 Włsość 6 o łkowu trsfort god owżs wor ją jd js G otruj: G ξ dξ ξ gd drog łkow lż w osr ltoś fukj odłkowj, stł jst trktow jko ; wę g G otruj: G F ξ dξ ξ Włsość 7 o slo ągów Jśl w [ ] [ ] [ ] [ k] [ k] Dowód w trk ćwń to WY Włsość 8 o lo ągów Jśl [ ] [ ] [ ] π w to W Y ξ ξ ξ dξ rw jst krwą kętą lż w ęś wsólj osrów żoś Y. Włsość 9 lżość Prsvl * [ ] [ ] ξ Y ξ π kol jdostkow, gd ξ ξ dξ ω otr π * [ ] [ ] ω Y ω dω Ukłd dskrt LTI j w DYSETYI FILTAI LIIOWYI h o sgł wjśow do ukłdu ś t sgł wjśow. [] Dskrt ukłd low [] Ukłd jst low jśl [ ] [ ] [ ] [ ] ś w s, gd: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] t : Odowdą ulsową ukłdu w jgo odowdź uls jdostkow δ [ ] : h δ δ [ ] [ ] Powż ukłd jst lż od su [ ] h[ ]

9 l ożą oustro r lę t uwg lowość ukłdu otr [ ] δ [ ] [ ] h[ ] otrują dowolą wlkość rsuę o ą jko. Lw stro ęd rów [ ] δ [ ] [ ] h[ ] Odowdź ukłdu suę dowolj l rsuęth wględ s ulsów ęd wosć suow oustro [ ] δ [ ] [ ] h[ ] [ ] [ ] h[ ] l [ ] [ ] h[ ] [ ] [ ] h[ ] [ ] k [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] k h k h k A h k A h[ k] A H A Jk jst odowdź ukłdu dskrtgo LTI oud hro? Φ k k k odfkow jst ltud f sgłu - odowdo r hrktrstkę ltudową fową odowd ulsowj. Dfj ukłdu rowgo: jst to tk ukłd dl którgo dl którgo odowdź wrd w s oud. Powż δ [ ] h[ ] wę h[ ], <. Otruj wóws dl ukłdu rowgo: [ ] [ ] h[ ] kol ukłd w stl jśl odowdź oud o ogroj ltud [ ] rówż ogroą ltudę [ ]. Ukłd ulg wóws wudu. Wruk ko wstrją stloś ukłdu dgo jst: h [ ] < Prkłd. owż rów sręż wrot: [ ] [ ] [ ] Jgo odowdź ulsow ostć: [] [] h [ ], Ukłd jst stl jśl <. - [-] -

10 [ ] [ ] [ ] Y { [ ] } { [ ] } { [ ] } Y Y Y Y Y H H S S q {,,,, } σ q wruk : q < h Ogól ostć ukłdu lowgo ostć: [ ] h[ ] [ ] g[ k] [ k] k Prkt rlj th ukłdów jst osw rów: [ ] h[ ] [ ] g[ k] [ k] k

11 Trstj dskrtgo ukłdu lowgo. [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] k k k B Y A Ogól ostć ukłdu lowgo jst stęują tr ord wkłd: lu o wj rorgj rów: Olją oustro trsforję otruj: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ], k k k stosowo od o wsółk wgują, ukąć kolj oń. A B H Y Jśl ukłd low ęd wrł srężń wroth wóws trstj ęd wrć guów gdż wsstk wsółk k dl k>. Trstj ukłdu jst odo do trstj ukłdów logowh o łtwo uwżć stosują rost rkstł: Ukłd frow os owżsą trstją jst stl gd gu k lżą wwątr okręgu o rou jdostkow. skąd łtwo olć trstję ukłdu: H Jśl orów trsforję dskrtą trsforję Fourr oż wągąć wosk, ż o trsforję są so rówowż dl ulokow okręgu jdostkow dl ulsj uorowj wględ ęstotlwoś rókow rówj πfπf/f r. A oć jk ukłd low odfkuj ltudę fę sgłu stosuj sgł. H A B A B rg rg ϕ θ ϕ θ Φ A B H ϕ θ A B Φ ϕ θ Chrktrstk ęstotlwośow dskrtgo ukłdu LTI owstj w trk rsuw uktu o okręgu jdostkow. Dl kżdj wrtoś l lo odlgłoś od r dl r lo odlgłoś od guów otrć wrtość hrktrstk ltudowj. Wrtość hrktrstk fowj dl tj sj wrtoś l suują kąt hl odków od r do wrtoś odjują od j suę kątów odków od guów do wrtoś.

12 I I 3 * * * * * ϕ * 3 * θ ro uso w olżu jkjś ęstotlwoś f owoduj jj tłu r ukłd. ro lżą okręgu jdostkow owoduj łkowt usuę tęj ęstotlwoś sgłu. lż sę gu do wj ęstotlwoś wwątr okręgu jdostkowgo owoduj wo tj skłdowj hroj w sgl. tod r guów jst włą todą jkośową rojktow fltrów frowh o żądh rtrh hrktrstk.