ANALIZA NIELINIOWYCH SAMOWZBUDNYCH CYKLÓW GRANICZNYCH DRGAŃ POWŁOKI O MAŁYM WZNIOSIE W NIELINIOWYM OPŁYWIE NADDŻ WIĘ KOWYM BARBARA GAJL (WARSZAWA)

Transkrypt

1 MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA, 2 (974) ANALIZA NIELINIOWYCH SAMOWZBUDNYCH CYKLÓW GRANICZNYCH DRGAŃ POWŁOKI O MAŁYM WZNIOSIE W NIELINIOWYM OPŁYWIE NADDŻ WIĘ KOWYM BARBARA GAJL (WARSZAWA). Wstę p W dotychczasowej lteraturze, zajmują cej sę zagadeam aerosprę ż ystoś cukładów powerzchowych w opływach addź wę kowych, zajmowao sę wyzaczaem krytyczych wartoś c parametrów, okreś lają cych grace stateczoś c drgań samowzoudzoych były to badaa ukł adów zlearyzowaych; rozpatrywao także cykle gracze w problemach elowych płaskch pł yt przy zał oż eu lowoś c sł aerodyamczych bez uwzglę dea tłumea materałowego [3]. Nelowe zagadee drgań samowzbudych powł ok o małym wzose skoń czoej dł ugoś c wymaga zastosowaa elowej aerodyamk z uwzglę deem wpływu opływu stacjoarego a opł yw estacjoary. Jak wykazał y aalzy przeprowadzoe w pracach [l 2], wartość poprawek wykłych z uwzglę dea kształ tu powł ok elowoś c drgań jest epomjala. W ejszej pracy okreś loo cykl graczy pewych waruków począ tkowych, pokazao zmeość w czase przemeszczeń puktów powłok zmeość w czase fukcj A (t), bę dą cych składowym szeregu okreś lają cego welkoś c przemeszczeń ormalych powerzch powłok. Uwzglę doo tłumee materałowe wg modelu Vogta oraz elową zależ ość cś ea od drgań powerzch powł ok wpływ opływu stacjoarego a opływ estacjoary. Przyję to stałe krzywzy w keruku podłuż ym poprzeczym. Zastosowao techczą elową teorę powł ok. Rozwą zae a przemeszczea ormale powerzch powłok przedstawoo w postac podwójego szeregu fukcj własych zastosowao ortogoalzacyją metodę Galerka w celu sprowadzea elowego rówaa róż czkowego czą stkowego czwartego rzę du do ukł adu rówań róż czkowych zwyczajych drugego rzę du. Układ rówań róż czkowych zwyczajych przedstawoy w postac bezwymarowej rozwą zao umerycze. Oblczea został y wykoae a elektroowej maszye cyfrowej GIER. Do programu włą czoo duń ską procedurę Merso opartą a zaej metodze umeryczej Rugego- Kutta. Przykład oblczoo astę pują cych parametrów: lczba Macha M = 3; Ljh ozacza stosuek długoś c powłok do jej gruboś c = 240; wartoś c krzywzy poprzeczej podłuż ej k x = k z = 0,08 oraz wzosu s = 0,08. W oparcu o wcześ ej przeprowadzoe rozważ aa przyję to lość fal podłuż ych = 4 lość fal poprzeczych m =, 2 Mechaka Teoretycza

2 8 B. GAJL czyl rozwą zywao w przykładze ukł ad czterech rówań. Program maszyy lczą cej apsao w te sposób, ż moż emy dowole zmeać waruk począ tkowe, lczbę rówań w ukł adze oraz parametry przepływu powł ok. Lczee jest bardzo pracochł oe, gdyż oblczae jedego puktu pł aszczyzy fazowej trwa maszyy G IER okoł o 3 m. Z tego wzglę du ograczoo sę do jedego przykładu. 2. Rówaa problemu Rozpatrujemy powłokę o mał ym wzose skoń czoej długoś c, której rzut a płaszczyzę xz ma długość b szerokość L. Przyjmujemy, że a krawę dzach powłok są spełoe waruk podparca przegubowo- przesuwego. Przyjmujemy poadto, że powłoka staow czę ść eograczoej pł aszczyzy, która poza powł oką jest eodkształ cala. Powł oka jest opływaa z jedej stroy addź wę kowym strumeem gazu dealego o prę dkoś c U w keruku rówoległ ym do os x. Nesprę ż ystoś ć materał u powłok uwzglę doo przez wprowadzee modelu Vogta. Rys. Zagadee przedstawamy w postac bezwymarowej. Wprowadzamy astę pują ce ozaczea: g 0 ozacza gę stość powetrza w eskoń czooś, cwspół rzę de x, z przemeszczee ś rodkowej powerzch powłok w keruku ormalym w(x, z, t) odosmy do szerokoś c powł ok L ozaczamy odpowedo x, z, w(x, z, t). Gł ówe krzywzy k x k z odosmy do l L ozaczamy przez k x k z. Fukcję aprę ż eń Ary'ego 0(x, z, t) I _ odosmy do - T- Q 0 U 2 L 3 ozaczamy przez <E>(x, z, t), cś ee zaś Ap(x, ź, t) odosmy do cś ea dyamczego Q 0 U 2 ozaczamy przez Ap(x, z, t). Przez N ozaczamy sły dzałają ce a jedostkę dł ugoś c przekroju powł ok, odosmy je do Q 0 U 2 L ozaczamy w zależ oś cod keruku dzałaa odpowedo N x N z. Czas T odesoy jest do lorazu L U ozaczoy przez t, współ czyk zaś tł umea materał owego do Lja 0 ozaczoy przez 6; a 0 ozacza prę dkość dź wę ku.

3 ANALIZA NIELINIOWYCH SAMOWZBUDNYCH CYKLÓW GRANICZNYCH DRGAŃ POWŁOKI 9 Stosujemy techczą elową teorę powłok, która jest szczególym przypadkem elowej teor mał ych odkształ ceń (zlearyzowaej wzglę dem skł adowych wektora przemeszczea, styczych do powerzch podstawowej powł ok) meś c sę poadto w ramach zał oż eń Krchhoffa- Love'a. Za powerzchę podstawową przyjmujemy ś rodkową powerzchę powł ok. Rówaa ruchu powł ok w ukł adze bezwymarowym mają astę pują cą postać: w 8*& +Ap 8x8z 8xdz > gdze 6 ozacza tłumee materał owe, Aj = 2{- v 2 ){Llhy Qs alje, (2.3) A 2 = 2(.l- v 2 )(Llhy eo a 2 0l2B, A 8 = 2Ele o al{hjl); M ozacza lczbę Macha, v współ czyk Possoa, E moduł sprę ż ystoś cyouga, Qs gę stość materał u powł ok, h grubość powłok, zaś Ap jest róż cą cś eń dzałają cą a powerzchę powł ok wyraża sę wzorem (2.4) Ap = s 6 są małym parametram mają te sam ses co w [ 2], wyraż ea zaś a składowe cś ea są podae w [2]. 3. Okreś lee fukcj aprę ż eń Rozwą zaa układu rówań (2.) (2.2) bę dzemy poszukwal w postac podwójego szeregu fukcj własych (3.) w(x, z, t) = 2J ^J A m (t)s'm7xsm ^- z, m gdze m są. lczbą fal w keruku podł uż ym poprzeczym, a X bl wydłuż eem powłok. Rozwą zae rówaa (2.2) przedstawamy jako sumę rozwą zań (3.2) (x,z, t) m 0 (x,z,t)+0 2 (x,z,t), gdze 0 (pc,z, t) jest rozwą zaem ogólym rówaa jedorodego, atomast 0 2 {x, z, t) jest rozwą zaem szczególym rówaa pełego. 2*

4 20 B. GAJL Rozwą zae ogóle przedstawamy za pomocą wzoru [] (3.3) *!(*, z, t) - ~(N x z 2 +Ń z x 2-2N xz xz), gdze Ń X,Ń Z, Ń xz są pewym stał ym, uzyskaym z cał kowaa; zakł adamy maowce, że ś rede przemeszczee powerzch w kerukach x z jest rówe zeru zapsujemy to w postac A A gdze u(x, z, t), v(x, z, t) ozaczają bezwymarowe przemeszczea w kerukach os x z. Zależ ość mę dzy pochodym uv a. fukcją Ary'ego jest astę pują a c[]: (3.5) gdze (3.6) N x = " *^, Po podstaweu (3.) do (3.5), a astę pe do (3.4) wykoau cał kowaa otrzymujemy (3.7) Z (3.) drogą prostych przekształ ceń otrzymujemy (k+k) J^ ć - ć - m m ^yj * m J o. :2 {K+ x ) 2^ 2J jr"'"( o t -

5 ANALIZA NIELINIOWYCH SAMOWZBUDNYCH CYKLÓW GRANICZNYCH DRGAŃ POWŁOKI 2 Podstawają c (3.7), (3.8) (3.9) do (3.3) otrzymujemy astę pują ce wyraż ea a pochode fukcj aprę ż eń: Rozwą zae szczególe rówaa (2.2), a tym samym wartoś c fukcj & 2 (x> z, t), okreś lamy w sposób astę pują cy. Podstawamy (3.) do rówaa (2.2) otrzymujemy (3.) V 2 V (*, z, t) = - j^twy 2J ZJ A- 2 m ^^ q m 2 m s Q A «m m s q. q, V- VF. Im rmc,_q _,,. ^, m, t.,l,, x mw Poszukujemy rozwą zaa rówaa (3.) z warukam brzegowym m (3.2) 6 2 dz = 0, x = 0 oraz JC = ; 8 2 & 2 C 8 2 & 2 Tr- z- dx= 0, - dx = 0, <9* 2 ' J 8xdz ' o o z = 0 oraz z = A. Rówae (3.) przekształ camy do postac (3.3) V 2 V (x, z, 0 = ~ m s g x cos- y(m q)z[q(ts+q)cos( +s)x+q(ms~q)cos7(- s)x] + X, V V", >" 2 r,,,. WMI J + > _; *" T + ^ M MrvOsmw^^s pzj. Zakł adamy rozwą zae (speł ają ce waruk brzegowe (3.2)) w astę pują cej postac: (3.4) & 2 (x, z,t) A m (t)a sq (t) cos (m q)z[a cos7(+s)x + m s Q _ j ' I m ;.

6 22 B, GAJL Przewdywae rozwą zae (3.4) podstawamy do (3.3) otrzymujemy rówae a współ czyk. Z tego rówaa okreś lamy ^ y " X 3 q{ms+q) 2 > *. r l 3 q{ms- q) (.5) C = - p?. v2-, 2, X z q{ms+q) 2 ' rł ~ Podstawając (3.5) do (3.4) otrzymujemy rozwą zae szczególe O 2 (x, z, t). 4. Redukcja rówań Mając okreś loą fukcję aprę żń e< >{x, z, t) moż emy sprowadzć róż czkowe czą stkowe rówae ruchu powł ok (2.) do rówaa róż czkowego zwyczajego drugego rzę du (wzglę dem czasu 0 podstawając uprzedo do (2.) rozwą zae zał oż oe w postac szeregu fukcj wł asych (3.) odpowede pochode fukcj aprę żń e<t>(x, z, t). Zapsujemy rówae (2.) w postac (4.) JP[w(*,*,f)]«"O. Po zastosowau ortogoalzacyjej metody Galerka otrzymamy ukł ad rówań różczkowych zwyczajych drugego rzę du x (4.2) J J? [w(x, z, 0K(x, z)dxdz = 0, o o gdze l,r =,2, 3,..., zaś (4.3) W r {x, z) = stocs -.-z A jest fukcją ortogoalzują cą.

7 ANALIZA NIELINIOWYCH SAMOWZBUDNYCH CYKLÓW GRANICZNYCH DRGAŃ POWŁOKI 23 Jeż el założ ymy, że fukcja opsują ca powerzchę f(x, z) = swxs(jr X)z podstawmy ją do (2.), to ukł ad rówań opsują cy drgaa powł ok przyberze postać [ V 4 AjM 2 ZJ [ 9 (I+ )( ' "> Podajemy teraz lstę ozaczeń symbol wprowadzoych w tym rówau. X, X x, X 2, oraz M są okreś loe wzoram (2.3) (3.). Poadto (4.5) j8 y wykładk adabaty, s jest okreś loe wzorem (2.3), A 4 2X(L h) 2, )= 0 = l 4,,) = 0 (I+ń 2 ) = 0. (4.6) gdze m s q = 0 (l+s) 2 = 0; Pmą r = =

8 24 B. GAJL J r ( w- (9T r ) _C_'"+ (9Tr)" d l a (4.7) M Ir = gdze m s q ( + ^) 2 = 2 # 0, j8 msr okreś loo wzorem (4.6). (4.8) H lr = ł [ ^ gdze a) = 0(+ X-!) - d l a x (r±) O r 2 =, ^(r- ) m - s" r =, % (r+ ) = O r =, ( l) ł X; = - 4 każ dego. Ul

9 ANALIZA NIELINIOWYCH SAMOWZBUDNYCH CYKLÓW GRANICZNYCH DRGAŃ POWŁOKI 25 = 0 (±) 2 =, = 0 (+) m 0, = - A[ T( - (; ) r ) ± ( - ^f 2 )] da (.) 2^, = 0 (r±l) 2 = l, = (r±l) = 0. (4.9) «2?* 2, y (I±B) = l 2, _ p _V'! "+ +,v;:, da (+«) = 0 (l+) 2 =, f) = 0 ( + K) = 0. (4.0) C = Ak x +Bk x, gdze (4.) m m gdze

10 26 B. GAJL (4.2) A, = ] 2 A m (t)a sq (t m s q + j-!) + k z (- s) 2 +k x [ j I gdze A,B,C,D okreś loo wzorem (3.5), + «+ J+ J + s-,) = 0 dk l ( y- ( m + «) _f_y+ >»+ «"I r+w J +g J J r, d k («- ap- (»-»):+{»4«) ] = dk (- s) 2 = I 2, ^'^^' hl r- (?K - g ) X F - (_y- c»-) a _(_y+ (m-,) "l + r + (m- r J dk ^"^ ^ ^ Ą r+(m- «)][r- (m- 8 )] = 0 dk (j- q)2 = r 2. (4.3) F " = 2 S S S M0A m (t){[(j) 2 + (m) 2 ] x gdze Ą okreś loo w (3.5) x a ftmr - 2jrtmaf l Pj mr } E t, = 0 dk 2 = (+) 2 * 0, = dk = (Tń )= 0, - (- y- o= f») _

11 ANALIZA NIELINIOWYCH SAMOWZBUDNYCH CYKLÓW GRANICZNYCH DRGAŃ POWŁOKI r 2 m (j+m) 2 * 0, r = (j+m) m 0, l = (4.4) gdze _ d a 0 0 gr okreś loo wzorem (4.6). 2 = (l+s) 2 * 0, B - (l^s) - 0, (4.5) j m s q 2 (m gdze ^, JB X, C t, X> t okreś loo wzoram (3.5), 0, «+)(c) = Y (+s) = ( + ) = 0. Fł ) = 0 - ^r "(m+qkffj) = -j (t+q)= (r+j) = 0.

12 28 B. GAJL = o - - J" - -j P(m- q)jr = = «(«- «)(r?j) = "(m- 9)(r-) j~ "(m (m- q) 2 «(m- 8 )("tj) = - J (m- q) = (r+j) = Oblczea umerycze wosk koń cowe W celu okreś lea zmeoś c przemeszczeń drgają cej powłok w czase zbadaa cyklu graczego rozwą zao umerycze układ rówań róż czkowych elowych (4.4). Zastosowao metodę Rugego- Kutta jako bardzo dokł adą dają cą sę stosukowo ł atwo zaprogramować elektroowych maszy lczą cych. Oprócz tego waż ą zaletą tej metody jest moż lwość zastosowaa zmeego odstę pu, co jest szczególe waż e przy poszukwau cyklu graczego. Numerycze oblczea wykoao a cyfrowej maszye matematyczej GIER powł ok duralowych (JE = 7,2-0 9 kg m 2, v - 0,3, Q s = 285kG sek 2 m 4 ). W opływe a pozome morza a Q 340m sek, Q 0 = 0,25kG sek 2 m 4. Przyję to do oblczeń wydłuż ee X, maksymaly wzos s = 0,08 stałe krzywzy w keruku podłuż ym poprzeczym k x = k. 0,08. Poadto uwzglę doo tł umee materał owe przyję to wartość 6 = 0,2. Oblczea wykoao lczby Macha M = 3 wartoś c L h przyjmowaych w kostrukcjach lotczych. Wyzaczoo cykl graczy loś c fal poprzeczych m = oraz lczby fal podłużych (w keruku przepływu) 4. Wybór parametrów e = 0,08 M = 3 jest podyktoway tym, że tego zestawu moż emy stosować teorę potecjalego przepł ywu w drugm przyblż eu, e wprowadzając błę du w stosuku do teor skoś ej fal uderzeowej. Tł umee materał owe 6 = 0,2 jest typowym tł umeem kostrukcj lotczych, a poza tym e moż a go pomą ć ze wzglę du a to, że wprowadza destablzację układu w zakrese badaych parametrów. Oblczee przeprowadzoo welkoś c typowych kostrukcj lotczych, poeważ w tej dzedze steje ajwę cej ustaleń dotyczą - cych drgań samowzbudych typu f latteru. Badae przeprowadzoo lczby fal podł uż ych = 4, gdyż za pomocą czterech wyrazów szeregu Fourera moż a z dużą dokładoś cą aproksymować szeroką klasę

13 ANALIZA NIELINIOWYCH SAMOWZBUDNYCH CYKLÓW GRANICZNYCH DRGAŃ POWŁOKI 29 fukcj gładkch. Wartoś c rozwą zań ewele zmeają sę, jeż el wprowadzmy lczbę fukcj własych wę kszą od czterech. Program apsay jest w ję zyku GIER Algol 4. Rozwą zujemy rówań róż czkowych drugego rzę du. Do programu włą czoa jest duń ska procedura Merso rozwą zują ca z dowolą dokł adoś cą rówań róż czkowych zwyczajych perwszego rzę du. Program przystosoway jest do dzałaa a pamę c szybkej (operacyja plus bę be). Realzacja programu wymaga wprowadzea z taś my oś mokaałowej astę pują cych daych w kolejoś c: lczba rówań drugego rzę du, y[l: 2] waruk począ tkowe a zmee, a astę pe a pochode, x wartość począ tkowa czasu, x 2 wartość czasu, od którego lczymy, x 3 długość kroku, x 4 koń cowa wartość czasu, M lczba Macha, Ljh stosuek dł ugoś c powł ok do jej gruboś c, k x krzywza w keruku podłuż ym, k z krzywza w keruku poprzeczym, dok daa dokł adoś ć. Wyk otrzymujemy a drukarce werszowej w astę pują cej kolejoś c: A t (t)... A (t), A±(t)... A {t). Są oe puktem wyjś cowym do oblczea przemeszczea W(t) prę d- koś c przemeszczea W{t) w każ dym pukce badaego obszaru powł ok. Na tej podstawe sporzą dzoo wykresy a płaszczyź e fazowej puktów o współrzę dych x = = 0,75; z = 0,52 oraz x = 0,25; z = 0,5A (rys. 2, rys. 8) oraz wykresy zmeoś c fukcj A {t) (rys. 4, 5, 6, 7). Pokazao zmeość przemeszczeń w czase a rys. 3 rys. 9 wyż ej wymeoych puktów. Z podaych przebegów ależ ałoby woskować, że ustalee sę drgań samowzbudzoych astę puje mę dzy sódmym a dzewą tym cyklem daych parametrów, p. puktu x = 0,75, z = 0,5, maksymale wychylee przyjmuje wartość dzesę cokrote wyż szą od daych wychyleń począ tkowych. Oblczea w zakrese rozważ aego tematu wykoao założ oych astę pują cych waruków począ tkowych: A^O) = 0, 0" 2, A 2 (0) m 0,08 0-2, A 3 (0) m 0,06 0-2, AM = 0,04 lo" 2, 4.(0) = 0, gdze =, 2, 3, 4, co daje puktu x = 0,75, z = 0,5 wartość wychylea WfS) = = 0,03 0-2, W(Q) = 0. Oblczea te mają a celu ustalee charakteru zma zachodzą cych w okrese ustalaa sę drgań samowzbudych.

14 V K II l lj U ft ' sl, f 7 j ( s ^ ^ s w(t) O z ', z' 0,5 Ifo 0,05 ' 0 0,05 0,0 0,5 ~o?a *. Rys. 2 s ^ s s N )r y 00' * X'O,75. Z Q5Z V V V y y N 0. l I M'3 Llh Z4L 8 0,2 'e4,08 0,5 V X wlt) a,20' f Ą 0, 0 ą z - IO 2 - wft) J U u J z z- 0,5X 0 30 *4, I l 9=0,2 A J <o k z =0,08, Uo 3, Uh=2< m tu, e- Q, J T~ o t Rys. 3 [30]

15 Rys. 4 ^ Atft) 0,0 0 0,0 0,20 V zo V W30 f f I =4 r= M 3 k x =k z =0,08 Ł=0,08 6 X Rys. 5 0 z A 5 (t) 0.2D 0,0 0,0 0,20 A V 7 0 W A 40 U ) J ra u =A Uh=lAQ 8~0,Z k x =k z =Of& Ł 0,08 Rys. 6 3]

16 0.20 Rys. 7 I,' I t ' t z f I r k ^ s ' ***** y U- f ' yh k - 0,05 W ^ < > m Ę JO - Oflb ^^ - a - 0,2( w(t) O Z wo _^ V s! r«ł ^- 5 z- 0,52 N T~ ; a r- Z= M'3 L h=240 B=QZ e- 0,t 8 I5-4 ~t~ Mt) 0,, 0 Rys. 8 [32]

17 ANALIZA NIELINIOWYCH SAMOWZBUDNYCH CYKLÓW GRANICZNYCH DRGAŃ POWŁOKI 33 z~0,5a 4, m L h=240, 6=0,2, k x =k z =!~0,08 0,2 0, 0 0, 0,2 YlD j f VJ 3 V.r* V f r I so I s 0 0,3 cm Rys. 9 Lteratura cytowaa w tekś ce. B. B. EOJIOTHH, HeKOHcepeamusube 3adauu teopuu ypyo ycmouweocmu, MocKBa Cz. WOŹ NIAK, Nelowa teora powłok, PWN, Warszawa EARL H. DOWELL, Nolear Oscllatos of a Flutterg Plate, AJAA J., 4, N o. 7, 966. AJAA J. No. 0, Z. DŻ YGADŁO, Aalza drgań eautoomczych układów powerzchowych w oplywe addź wę kowym, Dodatek do Bul. WAT Nr 7 (9), Warszawa M. HOLT, S. L. STRACK, Supersoc Pael Flutter of a Cyldrcal Shell of Fte Legth, J. A.S., No. 3, M. D. OLSON, Y. C. FUNG, Comparg Theory ad Expermet for the Supersoc Flutter of Crcular Cyldrcal Shells, AYAA J., No. 0, L. L. CARTER, R. O. STEARMAN, Some Aspects of Cyldrcal Shell Pael Flutter, AYAA J., No., Z. DŻ YGADŁO, S. KALISKI, L. SOLARZ, E. WŁODARCZYK, Drgaa fale, PWN, Warszawa N. W. MCLACHLAN, Rówae róż czkowe zwyczaje elowe w fzyce aukach techczych, PWN, Warszawa B. P. DEMDOwtcz, Y. A. MARON, E. Z. SZUWAŁOWA, Metody umerycze, cz. II, PWN, Warszawa B. GAJL, Pressure Actg o the Oscllatg Surface of a Arfol Nolear Supersoc Potetal Flow, Proc. Vbr. Probl., Warsaw,, 9, B. GAJL, La presso sur la surface vbrate de I'ale das I'dcoulemet supersoque la deuxhe approxmator, Flud Dyamcs Trasactos, 4, 9-20, 969. P e 3 IO M e AHAJIH3 HEJIHHEftHLIX ABTOKOJIEBATEJIbHblX PEflEJIBHblX OBOJIO^KH B HEJIHHEftHOM CBEPX3BYKOBOM ITOTOKE B pa6oe paccmotpehł HejmeftHbe 3afla* abokoje6ahhf ojorx oeorcraek KOHetmoft B Koroptrx yhtbbaotca HejHHeHHfce aspoflhhavurqeckhe HBJeHHK H 3aBHcHM0cb HecarraoHapHoro 3 Mechaaka Teoretycza

18 34 B. GAJL OT apamctpob crauohaphoro TetjeHHH. KpoMe Toro yhhtbbaetch fleymphpobahhejcbh3ah- Hoe c (J)H3raecKHMH CBoScTBaMH Maepaja osoomca, omcbbaemoro MOflejtra Ooftrra. PemeHHe HJIH HopwaJwbx epememeo cpeflhhhoft obepxhocth o6ojot«<h peflcrabjeho B HBotaoro phfla o co6ctbełm $>ym<h,v[fm, flj KOToporo pmveheh optorohah3ajhohhth peuehhe CHCTeMb o6bkhobehhbx ahdpdpepehqhabhbx ypabhehjrfł, K 6e3pa3MepH0wy BHfly. BtraHCJeHHH BboHeHb Ha 3E[BM. HafleH pesejbhbh HWSKJI flja HeKOTopbx ycobhh. IIo<a3aHa 3aBHCHwocTt ox BpeMeHH epewemehhh TOMCK obepxhocth OSOJIOMKH. Summary ANALYSIS OF NON- LINEAR SELFEXCITED LIMIT CYCLES OF VIBRATIONS OF SHALLOW SHELLS IN A NON- LINEAR SUPERSONIC FLOW The subject of the preset paper s the problem of olear selfexcted vbratos of a shallow shell of fte legth. Nolear aerodyamcs s appled, the fluece of statoary flow o the ostatoary flow as also materal dampg s take to accout. Normal dsplacemet of the shell s preseted as a double seres of egefuctos. To obta the set of ordary dfferetal equatos, Galerk's ortogoalzato method s appled. The set wrtte a odmesoal form s solved umercally. Usg a dgtal computer, the lmt cycle uder certa tal codtos s foud. Varato of the dsplacemets of the shell tme s also show. POLITECHNIKA WARSZAWSKA Praca została złoż oaw Redakcj da 9 maja 973 r.