Wykład 4(20 marzec 2014r.) Liczby całkowite i rzeczywiste Paulina Rogowiecka Klaudia Kamińska Adrianna Znyk 1
Spis treści: Czynniki pierwsze metoda próbnych dzieleń Pierwszość liczby naturalnej algorytmy naiwne Generowanie liczb pseudolosowych Liczby Fibonacciego Całkowity pierwiastek kwadratowy 2
Czynniki pierwsze metoda próbnych dzieleń Problem i jego rozwiązanie Podstawowy problem polega na znalezieniu rozkładu liczby p > 1 na iloczyn czynników pierwszych. Obecnie nie istnieje żaden szybki algorytm rozkładu dużej liczby naturalnej na czynniki pierwsze. Zasadnicze twierdzenie arytmetyki mówi, iż każda liczba naturalna większa od 1 może być jednoznacznie zapisana jako iloczyn liczb pierwszych. 3
Rozwiązanie Pierwsze podejście do znalezienia rozkładu liczby p na jej czynniki pierwsze nazywa się ono bezpośrednim poszukiwaniem rozkładu na czynniki pierwsze. Sprawdzimy podzielność liczby p przez kolejne liczby naturalne od 2 do pierwiastka z p. Jeśli liczba p będzie podzielna przez daną liczbę, to liczbę wyprowadzimy na wyjście, a za nowe p przyjmiemy wynik dzielenia i próbę dzielenia będziemy powtarzać dotąd, aż nie będzie to już możliwe. Wtedy przejdziemy do następnego dzielnika. 4
Przykład: Rozłożyć liczbę 44100 na czynniki pierwsze. Podział Reszta Czynnik Znalezione czynniki Uwagi 44100 : 2 = 22050 0 2 2 dzieli się 22050 : 2 = 11025 0 2 2 2 dzieli się 11025 : 2 = 5512 1 X 2 2 nie dzieli się 11025 : 3 = 3675 0 3 2 2 3 dzieli się 3675 : 3 = 1225 0 3 2 2 3 3 dzieli się 1225 : 3 = 408 1 X 2 2 3 3 nie dzieli się 1225 : 4 = 306 1 X 2 2 3 3 nie dzieli się 1225 : 5 = 245 0 5 2 2 3 3 5 dzieli się 245 : 5 = 49 0 5 2 2 3 3 5 5 dzieli się 49 : 5 = 9 4 X 2 2 3 3 5 5 nie dzieli się 49 : 6 = 8 1 X 2 2 3 3 5 5 nie dzieli się 49 : 7 = 7 0 7 2 2 3 3 5 5 7 dzieli się 7 : 7 = 1 0 7 2 2 3 3 5 5 7 7 dzieli się Kończymy, ponieważ wynik ostatniego dzielenia jest równy 1 44100 = 2 2 3 3 5 5 7 7 5
Schemat krokowy Algorytm rozkładu liczby naturalnej na czynniki pierwsze Wejście p liczba rozkładana na czynniki pierwsze, pϵ N, p > 1 Wyjście: Czynniki pierwsze liczby p. Elementy pomocnicze: g granica sprawdzania podzielności liczby p. gϵn i kolejne podzielniki, iϵn Lista kroków: 01: g [ p] ; granica sprawdzania czynników pierwszych 02: Dla i=2,3, g wykonuj kroki 03 06 ; w pętli sprawdzamy podzielność liczby p przez kolejne liczby 03: Dopóki p mod i=0 ; dopóki dzielnik dzieli p 04: Pisz i ; wyprowadzamy go i 05: p p div i ; dzielimy przez niego p 06: Jeśli p=1,to zakończ ; pętlę przerywamy, gdy stwierdzimy brak dalszych dzielników 07: Jeśli p>1 to pisz p ; p może posiadać ostatni czynnik większy od pierwiastka z p 08: Zakończ 6
Program-przykład #include <iostream> #include <cmath> using namespace std; int main () unsigned int p,i,g; cin >> p; g = (unsigned int) sqrt (p); for(i = 2; i <=g; i++) while(!(p % i)) cout << i << ; p/= i ; if( p==1) break; if(p > 1) cout << p; cout << endl; return 0; Program w pierwszym wierszu czyta liczbę p i w następnym wierszu wypisuje kolejne czynniki pierwsze tej liczby. Wynik 3971235724 2 2 431 2303501 7
Pierwszość liczby naturalnej algorytmy naiwne Problem i jego rozwiązanie Problem polega na sprawdzeniu, czy liczba naturalna p jest pierwsza. 8
Rozwiązanie Liczba jest pierwsza jeśli nie posiada dzielników innych poza 1 i sobą samą. Pierwsze rozwiązanie testu na pierwszość polega na próbnym dzieleniu liczby p przez liczby z przedziału od 2 do [ p] i badaniu reszty z dzielenia. Powód takiego postępowania jest prosty jeśli liczba p posiada czynnik większy od pierwiastka z p, to drugi czynnik musi być mniejszy od pierwiastka, aby ich iloczyn był równy p. W przeciwnym razie iloczyn dwóch liczb większych od p dawałby liczbę większą od p. Zatem wystarczy przebadać podzielność p przez liczby z przedziału <2,[ p]>, aby wykluczyć liczby złożone. 9
Schemat krokowy Algorytm sprawdzania pierwszości liczby naturalnej Wejście: p liczba badana na pierwszość, p ϵ N, p > 1 Wyjście: TAK, jeśli p jest pierwsze lub NIE w przypadku przeciwnym. Elementy pomocnicze: g granica sprawdzania podzielności p. g ϵ N i kolejne podzielniki liczby p, i ϵ N Lista kroków: 01: g [ p] ; wyznaczamy granicę sprawdzania podzielności p 02: Dla i=2,3,,g wykonuj krok 03 ; przebiegamy przez przedział <2,[ p]> 03: Jeśli p mod i=0, to pisz NIE i zakończ ; jeśli liczba z przedziału <2,[ p]> dzieli p, to p nie jest pierwsze 04: Pisz TAK ; jeśli żadna liczba z <2,[ p]> nie dzieli p, p jest pierwsze 05: Zakończ 10
Program-przykład Program odczytuje w pierwszym wierszu liczbę p, a w drugim wierszu wypisuje słowo TAK, jeśli liczba p jest pierwsza lub NIE w przypadku przeciwnym. W programie zastosowano zmienne 64-bitowe, zatem zakres p jest dosyć duży. Jednakże dla wielkich liczb naturalnych test na pierwszość może zająć wiele czasu. #include <iostream> #include <cmath> using namespace std; int main () unsigned long long g,i,p; bool t; cin >> p; g = (unsigned long long) sqrt (p); t=true; for(i = 2; i <=g; i++) if (p % i == 0) t=false; break; if( t ) cout << TAK ; else cout << NIE ; cout << endl; return 0; Wynik 10000000000037 TAK 11
Generowanie liczb pseudolosowych Mieszanie pseudolosowe Zadanie mieszania, tasowania zawartości tablicy sprowadza się do wykonywania w pętli zamiany miejscami dwóch elementów tablicy o wylosowanych indeksach. Pętla musi być wykonana tyle razy, aby tasowanie objęło wszystkie elementy w praktyce wystarcza ilość wykonań równa 3n, gdzie n jest ilością elementów. Problem 1: Dany, skończony zbiór liczb całkowitych pomieszać pseudolosowo. 12
Schemat krokowy: Algorytm mieszania pseudolosowego Wejście n liczba elementów w tablicy, n ϵ N Z tablica elementów, indeksy rozpoczynają się od 0 Wyjście: Tablica Z z potasowaną zawartością Zmienne pomocnicze i licznik obiegów pętli i ϵ N x przechowuje element tablicy Z przy zamianie zawartości. Typ ten sam, co elementy tablicy Z. losowa(x) funkcja zwracająca liczbę pseudolosową z zakresu od 0 do x - 1 Lista kroków: 01: Dla i=1,2,,3n: wykonuj 02 07 ; tasowanie wykonujemy w pętli 02: i 1 losowa (n) ; losujemy pierwszy indeks 03: i 2 losowa (n) ; losujemy drugi indeks 04: x Z[i 1 ] ; zamieniamy miejscami Z[i 1 ] i Z[i 2 ] 05: Z[i 1 ] Z[i 2 ] 06: Z[i 2 ] x 07: Zakończ 13
Program -przykład Program tasuje tablicę 10 elementów całkowitych o kolejnych wartościach od 0 do 9. Tablica jest najpierw wyświetlana przed tasowaniem, a następnie po tasowaniu. #include <iostream> #include <cstdlib> #include <time.h> using namespace std; int main() int Z[] = 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9; int i1,i2,i,x; srand((unsigned) time(null)); for(i = 0; i < 10; i++) cout << Z[i] << " "; cout << endl; for(i = 1; i <= 30; i++) i1 = rand() % 10; i2 = rand() % 10; x = Z[i1]; Z[i1] = Z[i2]; Z[i2] = x; for(i = 0; i < 10; i++) cout << Z[i] << " "; cout << endl; return 0; Wynik: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 2 3 1 6 4 0 9 5 8 14
Losowanie bez powtórzeń Zadanie losowania bez powtórzeń można rozwiązać na kilka różnych sposobów. Jeśli przedział <a,b> jest mały, to możemy go odwzorować w tablicy, następnie zawartość tej tablicy potasować poprzednio podanym algorytmem i jako wynik zwrócić pierwsze n elementów. Tasowanie nie dubluje elementów tablicy, zatem otrzymamy n liczb bez powtórzeń. Taki algorytm posiada klasę złożoności obliczeniowej O(n). Jeśli przedział <a,b> jest bardzo duży, a n stosunkowo małe, to postępujemy w sposób następujący. Przygotowujemy pustą tablicę o n elementach. Losujemy liczbę pseudolosową. Jeśli wylosowana liczba jest już w tablicy, to losujemy ponownie dotąd, aż wylosowanej liczby nie będzie w tablicy. Liczbę dopisujemy do tablicy. Jeśli tablica jest zapełniona, kończymy. W przeciwnym razie powtarzamy losowanie. Algorytm w takiej postaci posiada optymistyczną klasę złożoności obliczeniowej O(n 2 ). Problem 2: Wylosować z przedziału całkowitego <a,b> n liczb pseudolosowych bez powtórzeń. 15
Schemat krokowy: Algorytm losowania bez powtórzeń Wejście n liczba określająca, ile liczb pseudolosowych bez powtórzeń należy wylosować, n ϵ N a,b liczby określające całkowity przedział losowania, b - a n, a,b ϵ C Wyjście: n różnych od siebie liczb pseudolosowych z przedziału <a,b> Zmienne pomocnicze T tablica przechowująca wylosowane liczby pseudolosowe. Indeksy od 0 do n-1. i licznik wylosowanych liczb pseudolosowych. i ϵ N j wykorzystywane do przeszukiwania tablicy T. j ϵ N x wylosowana liczba pseudolosowa losowa(x) funkcja zwracająca liczbę pseudolosową z zakresu od 0 do x - 1 Lista kroków: 01: Dla i = 0,1,...,n-1 wykonuj 02...06 02: x a + losowa(b - a + 1) ; losujemy liczbę pseudolosową 03: Dla j = 0,1,...,i - 1 wykonuj 04 ; sprawdzamy, czy wylosowana liczba jest w T 04: Jeśli T[j] = x, to idź do 02 ; jeśli tak, powtarzamy losowanie 05: T[i] x ; jeśli nie, zapamiętujemy w T wylosowaną liczbę 06: Wyprowadź x ; wyprowadzamy liczbę na wyjście 07: Zakończ 16
#include <iostream> #include <cstdlib> #include <time.h> using namespace std; int main() int a,b,i,j,n,x, * T; bool test; Program-przykład 2 srand((unsigned)time(null)); cin >> a >> b >> n; if(n <= b - a + 1) T = new int[n]; for(i = 0; i < n; i++) Do test = true; x = a + rand()%(b-a+1); for(j = 0; j < i; j++) if(t[j] == x) test = false; break; while(!test); T[i] = x; cout << x << " "; else cout << "n jest za duze!\n"; cout << endl; delete [] T; return 0; W pierwszym wierszu program odczytuje trzy liczby: a,b krańce przedziału, n ilość liczb pseudolosowych do wylosowania. Jeśli długość przedziału <a,b> pozwala na wygenerowanie zadanej ilości różnych liczb pseudolosowych, to program je generuje i wyświetla w następnym wierszu. W przeciwnym razie wypisuje odpowiedni komunikat. Wynik: 1 80 20 39 79 12 38 80 3 11 33 9 76 19 21 8 14 37 29 24 71 50 1 17
Liczby Fibonacciego Leonardo Fibonacci był włoskim matematykiem żyjącym w latach od 1175 do 1250. Jest on autorem specyficznego ciągu liczbowego, który pojawia się w wielu zastosowaniach informatycznych (i nie tylko). Wyrazy ciągu Fibonacciego definiujemy rekurencyjnie w sposób następujący: F 0 = 0 F 1 = 1 F i = F i-2 + F i-1, dla i > 1 Problem: Wyznaczyć n-ty wyraz ciągu Fibonacciego. 18
Rozwiązanie 1 Rozwiązanie opieramy bezpośrednio na definicji wykorzystując wywołania rekurencyjne. Jest to bardzo złe rozwiązanie (podajemy je tylko ze względów dydaktycznych), ponieważ algorytm wielokrotnie oblicza wyrazy ciągu, co w efekcie prowadzi do wykładniczej klasy złożoności obliczeniowej O(2 n ). Schemat krokowy: Algorytm generacji liczb Fibonacciego metodą rekurencyjną Wejście n numer liczby ciągu Fibonacciego do wyliczenia, n ϵ N Wyjście: n-ta liczba ciągu Fibonacciego Lista kroków funkcji Fibo(n): 01: Jeśli n 1, to zwróć n i zakończ ; f 0 lub f 1 02: Zwróć Fibo(n - 2) + Fibo(n - 1) i zakończ ; dwa wywołania rekurencyjne 19
Program- przykład: W pierwszym wierszu program odczytuje n numer liczby Fibonacciego do wyliczenia. W następnym wierszu program wypisuje wartość n-tej liczby Fibonacciego. Z uwagi na wykładniczą klasę złożoności obliczeniowej czas obliczeń szybko rośnie, zatem nie podawaj zbyt dużych n (<45), inaczej nie doczekasz się wyniku lub komputer zgłosi przepełnienie pamięci. #include <iostream> using namespace std; unsigned long fibo(int n) if(n <= 1) return n; else return fibo(n - 2) + fibo(n - 1); int main() int n; cin >> n; cout << fibo(n) << "\n\n"; return 0; Wynik: 25 75025 20
Rozwiązanie 2 Drugie rozwiązanie wykorzystuje zasadę programowania dynamicznego.polega ona na tym, iż rozwiązanie wyższego poziomu obliczamy z rozwiązań otrzymanych na poziomie niższym, które odpowiednio zapamiętujemy. Dzięki temu podejściu program nie musi liczyć wszystkich składników od początku, wykorzystuje wyniki poprzednich obliczeń. W efekcie klasa złożoności obliczeniowej algorytmu spadnie do O(n). 21
Schemat krokowy: Algorytm generacji liczb Fibonacciego metodą iteracyjną Wejście n numer liczby ciągu Fibonacciego do wyliczenia, n ϵ N Wyjście: n-ta liczba ciągu Fibonacciego Elementy pomocnicze: f 0,f 1,f kolejne trzy liczby Fibonacciego, f 0,f 1,f ϵ C Lista kroków: 01: f 0 0 ; pierwsza lub f i-2 liczba Fibonacciego 02: f 1 1 ; druga lub f i-1 liczba Fibonacciego 03: Dla i = 0,1,...,n wykonuj 04...08 04: Jeśli i > 1, to idź do 06 05: f i i następny obieg pętli 03 06: f f 0 + f 1 ; obliczamy kolejną liczbę Fibonacciego 07: f 0 f 1 ; zapamiętujemy wyniki obliczeń pośrednich 08: f 1 f ; dla następnego obiegu pętli 09: Pisz f 10: Zakończ 22
Program - przykład: Program odczytuje z pierwszego wiersza numer n liczby Fibonacciego, a w następnym wierszu wyświetla jej wartość. Z uwagi na ograniczony zakres liczb 64 bitowych, program wylicza dokładnie maksymalnie 93-cią liczbę ciągu Fibonacciego. #include <iostream> using namespace std; int main() unsigned long long f,f0,f1; int i,n; f0 = 0; f1 = 1; cin >> n; for(i = 0; i <= n; i++) if(i > 1) f = f0 + f1; f0 = f1; f1 = f; else f = i; cout << f << endl; return 0; Wynik: 93 12200160415121876738 23
Całkowity pierwiastek kwadratowy Całkowity pierwiastek kwadratowy jest największą liczbą całkowitą p, która spełnia nierówność: p 2 x Problem: Znaleźć kwadratowy pierwiastek całkowity nieujemnej liczby rzeczywistej x. 24
Rozwiązanie 1 Problem możemy rozwiązać następująco. Tworzymy ciąg kwadratów kolejnych liczb całkowitych począwszy od 0: 0 2 1 2 2 2 3 2...i 2 do momentu, gdy dla pewnego i otrzymamy spełnioną nierówność i 2 > x. Wtedy p = i - 1. Pozostaje do rozwiązania efektywny sposób tworzenia kwadratów kolejnych liczb całkowitych. Wypiszmy kilkanaście początkowych wyrazów tego ciągu: i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12... i 2 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144... Teraz policzmy ciąg różnic pierwszego rzędu: r 1i = i 2 - (i-1) 2, dla i > 0. 25
Różnica pierwszego rzędu powstaje przez odjęcie od wyrazu i-tego jego poprzednika w ciągu, czyli wyrazu (i - 1)-szego. i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12... i 2 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144... r 1 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23... Teraz analogicznie utwórzmy ciąg różnic drugiego rzędu: r 2i = r 1i - r 1(i-1), dla i > 1 Różnice drugiego rzędu powstają w analogiczny sposób z różnic pierwszego rzędu, jak różnice pierwszego rzędu powstają z wyrazów ciągu od i-tej różnicy pierwszego rzędu odejmujemy poprzedzającą ją, (i - 1)-szą różnicę. i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12... i 2 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144... r 1 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23... r 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2... 26
Różnice rzędu drugiego tworzą już ciąg stały o wyrazach równych 2. W tabelce na czerwono zaznaczyliśmy pierwsze wyrazy odpowiednio: ciągu kwadratów i 2 0 ciągu różnic pierwszego rzędu r 1i 1 ciągu różnic drugiego rzędu r 2i 2 Mając te trzy wartości możemy rekurencyjnie konstruować ciąg kolejnych kwadratów: a = 0, r 11 = 1, r 2 = 2, gdzie a 0 pierwszy wyraz ciągu kwadratów Dla i > 0 mamy: r 1i = r 1(i-1) + r 2 kolejna różnica pierwszego rzędu powstaje z poprzedniej przez dodanie różnicy drugiego rzędu a i = a i-1 + r 1i kolejny kwadrat powstaje z poprzedniego przez dodanie wyliczonej różnicy pierwszego rzędu 27
Schemat krokowy: Algorytm obliczania całkowitego pierwiastka kwadratowego wersja nr 1 Wejście x liczba, której pierwiastek obliczamy, x 0, x ϵ R Wyjście: całkowity pierwiastek kwadratowy z x Elementy pomocnicze: i numery wyrazów ciągu kwadratów, i ϵ C a wyraz ciągu kwadratów, aϵ C r 1 różnica pierwszego rzędu, r 1ϵ N r 2 różnica drugiego rzędu, r 2 ϵ N Lista kroków: 01: a 0 ; pierwszy kwadrat 0 2 02: r 1 1 ; początkowa wartość różnicy pierwszego rzędu 03: r 2 2 ; wartość różnic drugiego rzędu 04: i 0 ; numer pierwszego wyrazu 05: Dopóki a x wykonuj 06...08 ; szukamy pierwszego wyrazu a większego od x 06: a a + r 1 ; następny kwadrat 07: r 1 r 1 + r 2 ; wyliczamy nową różnicę pierwszego rzędu 08: i i + 1 ; następny numer 09: Zakończ z wynikiem i - 1 ; obliczamy pierwiastek całkowity 28
Program-przykład: W pierwszym wierszu program odczytuje liczbę x. Następnie wyznacza jej całkowity pierwiastek kwadratowy i wypisuje go w wierszu drugim. Dodatkowo w wierszu trzecim program wypisuje kwadrat znalezionego pierwiastka kwadratowego dla celów porównawczych. #include <iostream> using namespace std; int main() double x; unsigned int i,a,r1,r2; cin >> x; a = 0; r1 = 1; r2 = 2; for(i = 0; a <= x; i++) a += r1; r1 += r2; i--; cout << i << endl << i * i << endl << endl; return 0; Wynik: 135 11 121 29
Koniec!! 30