SPIS TREŚCI P r z e d m o w a... L ite ratu ra u z u p e łn ia ją c a... R O Z D Z IA Ł. P R Z E S T R Z E N IE I F O R M Y.... A bstrakcyjne przestrzenie lin io w e.... Motywacja i ak sjo m aty k a... 2. Powłoki liniowe'. Podprzestrzenie... 3. Uwagi o interpretacji geometrycznej...... 2. W ym iar i baza.... Liniowa zależność... 2. Wymiar i baza przestrzeni lin io w ej... 3. Współrzędne. Izomorfizm przestrzeni... 4. Część wspólna i suma algebraiczna podprzestrzeni... 5. Sumy p r o s t e..... C. Przestrzenie ilorazow e... Ć w iczenia... 3. P rzestrzeń dualna.... Formy liniowe... 2. Przestrzeń dualna i baza dualna... 3. Refleksywność... 4. Kryterium liniowej niezależności... 5. Interpretacja geometryczna rozwiązań układów liniowych jednorodnych Ć w iczenia... 4. Form y dwuliniowe i kw adratow e.... Odwzorowania w ielodniow e... 2. Formy dwuliniowe'... 3. Transformacja macierzy formy dwudniowej... 4. Formy symetryczne i antysym etryczne... 5. Formy kwadratowe... 6. Postać kanoniczna formy kwadratowej... XI XII 3 6 8 8 8 0 3 6 8 2 22 24 24 25 27 28 30 3 32 32 33 34 35 36 38
7. Formy kwadratowe rzeczyw iste... 40 8. Formy i macierze dodatnio określone... 42 9. Postać kanoniczna formy antysymetrycznej... 46 0. Pfaffian... 4 8... 50 R O Z D Z I A Ł 2. O P E R A T O R Y L I N I O W E. Przekształcenia liniowe przestrzeni liniowych.... Język przekształceń liniowych... 2. Macierz przekształcenia liniowego... 3. Wymiar jądra i obrazu... 2. Algebra operatorów liniow ych.... Definicje i przykłady... 2. Algebra operatorów..... 3. Macierze operatora liniowego w różnych bazach... 4. Wyznacznik i ślad operatora liniowego... 3. Podprzestrzenie niezmiennicze i wektory własne.... R zuty... 2. Podprzestrzenie niezmienniczo... 3. Wektory własne. Wielomian charakterystyczny... 4. Kryterium diagonalizowalności... 5. Istnienie podprzestrzeni niezmienniczych... 6. Operator sprzężony... 7. Operator ilorazowy... 4. Postać kanoniczna J o rd a n a.... Twierdzenie Hamiltona-Cayleya... 2. Postać kanoniczna Jordana: twierdzenie i wnioski... 3. Podprzestrzenie pierwiastkowe... 4. Przypadek operatora nilpot.entnego... 5. Jednoznaczność... 6. Inne podejścia do P K J... 7. Inne postaci normalne... 5 5 52 54 55 56 56 57 60 62 65 66 66 67 69 7 74 74 76 77 78 79 82 82 85 86 89 9 92 O Z D Z I A Ł 3. P R Z E S T R Z E N I E L I N I O W E Z I L O C Z Y N E M K A L A R N Y M... 95. P rzestrzen ie e u k lid e s o w e... 95. Rozważania heurystyczne i definicje... 95 2. Podstawowe pojęcia m etry czn e... 97 3. Ortogonalizacja... 99 4. Izomorfizmy przestrzeni euklidesowych... 03 2
5. B a z y o r to n o r m a ln e i m a c ie r z e o r t o g o n a l n e... 05 6. P r z e str z e n ie s y m p l e k t y c z n e... 06 Ć w i c z e n i a... 09 2. P r z e s t r z e n i e u n i t a r n e... 0. F o r m y h e r m i t o w s k i e... 0 2. Z w ią zk i m e t r y c z n e... 2 3. O r t o g o n a l n o ś ć... 3 4. M a c ie r z e u n ita r n e... 4 5. P r z e str z e n ie u n o r m o w a n e... 0 Ć w i c z e n i a... ] i g 3. O p e r a t o r y l i n i o w e n a p r z e s t r z e n i a c h z i l o c z y n e m s k a l a r n y m... pjy. Z w ią zk i o p e r a to r ó w lin io w y c h i form ( M in io w y c h... ( p, 2. K la s y o p e r a to r ó w l i n i o w y c h... 2 i 3. P o s ta ć k a n o n ic z n a o p e r a to r ó w h e r m ito w sk ic h... 2r, 4. S p r o w a d z a n ie fo rm y k w a d ra to w ej d o o si g ł ó w n y c h... 27 5. S p r o w a d z a n ie p a ry form k w a d r a to w y c h d o p o s ta c i k a n o n ic z n e j... 2g (i. P o s ta ć k a n o n ic z n a iz o m e tr ii lin io w y ch... 2«) 7. O p e r a to r y n o r m a l n e... 32 8. O p e r a to r y d o d a tn io o k r e ś l o n e... l.td 9. R o z k ła d b ie g u n o w y... 38 Ć w i c z e n i a... 3<j 4. K o m p l e k s y f i k a c j a i u r z e c z y w i s t n i e n i e... 4. S tr u k tu r a z e s p o l o n a... 4 2. U r z e c z y w istn ie n ie... 43 3. K o m p lek sy fik a cja... 40 4. K o m p le k sy fik a c ja > u r z e c z y w istn ie n ie k o in p F k s y f ik a o ja... 48 Ć w i c z e n i a... 49 5. W i e l o m i a n y o r t o g o n a l n e... 50. Z a g a d n ie n ie a p r o k s y m a c j i... 50 2. M e to d a n a jm n ie jszy c h k w a d r a t ó w... 5 3. U k ła d y lin io w e i m e to d a n a jm n ie jszy c h k w a d r a t ó w... 53 4. W ie lo m ia n y tr y g o n o m e tr y c z n e... 55 5. U w a g a o o p e r a to r a c h s a m o s p r z ę ż o n y c h... 56 6. W ie lo m ia n y L e g e n d r e a... 59 7. O r to g o n a ln o ść z w a g a m i... 62 8. W ie lo m ia n y C z e b y sz e w a (p ie r w szeg o r o d z a j u )... 63 9. W ie lo m ia n y H e r m ite a... 64 Ć w i c z e n i a... 65 R O Z D Z I A Ł 4. P R Z E S T R Z E N I E P U N K T O W E A F I N I C Z N E I E U K L I D E S O W E... 67. P r z e s t r z e n i e a f i n i c z n e... 67. D e fin ic ja p r z e str z e n i a f in ic z n e j... 6 7 2. I z o m o r f i z m... 69 3. W s p ó ł r z ę d n e... 70 3
4. P o d p r z e str z e n ie a fin ic z n e... 7 5. W s p ó łr z ę d n e b a r y c e n tr y c z n e... 74 6. F u n k cje a fin ic z n e i u k ła d y ró w n a ń l i n i o w y c h... 78 7. W z a je m n e p o ło ż e n ie p o d p r z e str z e n i a f i n i c z n y c h... 80 Ć w i c z e n i a... 82 2. P r z e s t r z e n i e ( a f i n i c z n e ) e u k l i d e s o w e... 82. M etry k a e u k li d e s o w a... 82 2. O d le g ło ś ć p u n k tu o d p o d p r z e str z e n i a f i n i c z n e j... 84 3. O d le g ło ś ć d w ó c h p o d p r z e str z e n i a f i n i c z n y c h... 85 4. W y z n a c z n ik G r a m a i o b ję t o ś ć r ó w n o le g lo ś c ia n u... 87 Ć w i c z e n i a... 88 3. G r u p y i g e o m e t r i a... 89. G r u p a a f in ic z n a... 89 2. Iz o m e tr ie p r z e str z e n i e u k lid e s o w e j... 92 3. G r u p a iz o r n e t r ii... 9 4 4. G e o m e tr ia lin io w a o d p o w ia d a ją c a d a n ej g r u p i e... 97 5. P r z e k s z ta łc e n ia a fin ic z n e p r z e str z e n i e u k l i d e s o w e j... 2 0 0 6. Z b io ry w y p u k ł e... 20 Ć w i c z e n i a... 204 4. P r z e s t r z e n i e z m e t r y k ą n i e o k r e ś l o n ą... 2 0 4. M e tr y k a n ie o k r e ś lo n a... 2 0 4 2. Iz o m e tr ie p s e u d o e u k lid e s o w e... 2 0 5 3. G r u p a L o r e n t z a... 2 0 6 4. W ła ś c iw a g r u p a L o r e n t z a... 2 0 8 Ć w ic z e n ia... 22 R O Z D Z I A Ł 5. K W A D R Y K I... 23. F u n k c j e k w a d r a t o w e... 2 3. F u n k cje k w a d ra to w e n a p r z e str z e n i a f in ic z n e j... 2 3 2. P u n k ty śro d k o w e fu n k cji k w a d ra to w ej... 2 5 3. S p r o w a d z a n ie fu n k cji k w a d ra to w ej d o p o s ta c i k a n o n ic z n e j... 2 6 4. F u n k cje k w a d r a to w e n a p r z e str z e n i e u k lid e s o w e j... 2 8 Ć w i c z e n i a... 22 2. K w a d r y k i w p r z e s t r z e n i a f i n i c z n e j i e u k l i d e s o w e j... 22. O g ó ln e p o ję c ie k w a d r y k i... 22 2. Ś ro d e k k w a d r y k i... 2 2 4 3. P o s ta c ie k a n o n ic z n e k w a d ryk w p r z e str z e n i a f i n i c z n e j... 2 2 4 4. U w a g i o g ó ln e o r o d z a ja c h k w a d r y k... 2 2 7 5. K w a d ryk i w p r z e str z e n i e u k l i d e s o w e j... 229 Ć w i c z e n i a... 232 3. P r z e s t r z e n i e r z u t o w e... 233. M o d e le p ła s z c z y z n y rzu to w ej... 233 2. P r z e str z e n ie r z u to w e w y ż sz y c h w y m ia r ó w... 2 3 6 3. W s p ó łr z ę d n e j e d n o r o d n e... 2 3 7 4
4. M a p y a f i n i c z n e... 2 3 8 5. P o ję c ie r z u to w e g o z b io r u a l g e b r a i c z n e g o... 2 3 9 6. P e łn a g r u p a r z u t o w a... 24 7. G e o m e tr ia r z u t o w a... 2 4 4 8. D w u s t o s u n e k... 2 4 6 9. Z a p is d w u sto su n k u w e w sp ó łr z ę d n y c h... 2 4 8 Ć w i c z e n i a... 25 4. K w a d r y k i w p r z e s t r z e n i r z u t o w e j... 2 5 2. K la s y f ik a c j a... 2 5 2 2. P r z y k ła d y i p r z e d sta w ie n ia a fin ic z n e k w a d ry k r z u t o w y c h... 2 5 3 3. P r z e c ię c ie k w a d ry k i rzu to w ej z p r o s t ą... 254 4. O g ó ln e u w a g i o k w a d ry k a ch r z u t o w y c h... 2 5 5 Ć w i c z e n i a... 2 5 6 R O Z D Z I A Ł 6. T E N S O R Y... 2 5 7. W s t ę p n e i n f o r m a c j e o t e n s o r a c h... 257. P o ję c ie t e n s o r a... 2 5 7 2. I lo c z y n t e n s o r o w y... 2 5 9 3. W sp ó łr z ę d n e t e n s o r a... 2 6 0 4. T e n so r y w różn y ch u k ła d a c h w s p ó ł r z ę d n y c h... 2 6 3 5. Ilo c z y n te n s o r o w y p r z e str z e n i lin io w y c h... 2 6 5 Ć w i c z e n i a... 2 6 9 2. K o n t r a k c j a, s y m e t r y z a c j a i a n t y s y m e t r y z a c j a t e n s o r ó w... 2 7 0. K o n tra k cja t e n s o r a... 2 7 0 2. T en so r str u k tu r a ln y a l g e b r y... 2 7 3 3. T e n so r y s y m e t r y c z n e... 2 7 6 4. T e n so r y a n t y s y m e t r y c z n e... 2 8 0 5. A lg e b r a t e n s o r o w a... 2 8 2 Ć w ic z e n ia... 2 8 3 3. A l g e b r a z e w n ę t r z n a... 284. Ilo c z y n z e w n ę t r z n y... 284 2. A lg e b r a z e w n ę tr z n a p r z e str z e n i lin io w e j... 2 8 5 3. Z w ią zek z w y z n a c z n i k a m i... 2 8 9 4. P o d p r z e str z e n ie lin io w e i /» - w e k t o r y... 29 5. K r y te r ia p r o s to ty /» - w e k t o r ó w... 2 9 3 Ć w i c z e n i a... 2 9 5 R O Z D Z I A Ł 7. Z A S T O S O W A N I A... 2 9 7. N o r m a o p e r a t o r o w a i f u n k c j e o p e r a t o r ó w l i n i o w y c h... 2 9 7. N o r m a o p e r a to r a lin io w e g o... 2 9 7 2. F u n k cje o p e r a to r ó w lin io w y c h ( m a c i e r z y )... 30 3. F u n k cja w y k ła d n ic z a... 3 0 2 4. P o d g r u p y je d n o p a r a m e tr o w e p e łn e j g r u p y l i n io w e j... 3 0 5 5. P r o m ie ń sp e k tr a ln y... 3 0 9 Ć w i c z e n i a... 3 0 5
2. Liniowe rów nania ró żn iczk o w e... 3. Pochodna funkcji w ykładniczej... 3 2. Równania różniczkowe... 33 3. Liniowe równanie różniczkowe zwyczajne stopnia n... 34 3. W ielościany w ypukłe i program ow anie lin io w e... 35. Sformułowanie problem u... 35 2. M otyw acja... 35 3. Podstawowe pojęcia geometryczne... 37 Ć w iczenia... 320 4. M acierze n ie u je m n e... 32. Motywacja ekonomiczna... 32 2. Własności macierzy nieujem nyeh... 322 3. Macierze stochastyczne... 323 5. G eom etria Ł obaczew skiego... 327. Przestrzeń Łobaczewskiego... 327 2. Izometrie przestrzeni Łobaczewskiego... 329 3. Metryka Łobaczewskiego... 33 4. Płaszczyzna Łobaczewskiego... 333 6. P roblem y nierozw iązane... 340. Problem S trassena... 340 2. Rozkłady ortogonalne... 340 3. Skończone płaszczyzny rzu to w e... 34 4. Bazy przestrzeni liniowych i kwadraty ła c iń sk ie... 343 Odpowiedzi i wskazówki do ćwiczeń... 344 Uwagi metodyczne... 360 Pytania egzaminacyjne... 360 Skorowidz... 363 6