Wyznaczenie naprężeń normalnych w przekrojach komina żelbetowego czteroprzewodowego

Transkrypt

1 Buwnitw i hitktu (00) 97- Wyznzni nężń nmlnyh w zkjh kmin żlbtwg ztzwwg zyztf Bzęki, Mt Słwik blwnt, t ntukji Buwlnyh, Wyził Inżyniii Buwlnj i Snitnj, Plithnik Lublk, ul. Nbytzyk 0, 0-6 Lublin, -mil: kzyztfbzki@w.l t ntukji Buwlnyh, Wyził Inżyniii Buwlnj i Snitnj, Plithnik Lublk, ul. Nbytzyk 0, 0-6 Lublin Stzzni: W ninijzj y zzntwn nlityzny ób wyznzni nężń w kmini ztzwwym zkju złżnym z wyinków iśini. Pznlizwn zty ml blizniw kmin: ukł zwów łny i z twmi utwiny n kztłt mbu w tunku zływu witu z ukł zwów łny i z twmi utwiny n kztłt kwtu w tunku zływu witu. Pzy wyknywniu blizń wykzytn M. Lhmn [] i [], w któyh n ą n wyjśiw blizń kminów wilzwwyh. Słw kluzw: nężni nmln, kmin ztzwwy, zkój łny i łbiny twmi.. Wwzni Oblizni nężń w ztywnym zkju wyknn zgni z ntęująymi złżnimi: ) w zęśi kntukyjnj kmin łnin jt z łkih zkjów Bnullig; ) btn zni tylk nężni śikją; ) tl zni nężni ziągją i śikją; ) wół btnu i tli wyżn jt zz tunk mułów ężytśi btnu i tli zbjniwj: n = E E () gzi: E muł ężytśi łużnj tli zbjniwj, E muł ężytśi łużnj btnu; 5) biążni witm jt ymtyzn wzglęm i -; 6) w zyku zkju łng kmin wykzytn ymtię wzglęm i -, zkój łbiny ni jt ymtyzny wzglęm i -; 7) zkój znjuj ię w jniwym tni nężni i kztłni; ) gubść zkju ztiśiniwg jt zą niżz mini zwnętzng. W wyniku tg mżn zyjąć, ż kztłni w wyinku iśiniwym btnu jt tł i wyni tyl m kztłni w śku wyink. Wilkśi iują zkój kmin t: lgłść mięzy śkmi zwów, M zkątn kwtu bku, łw zkątnj kwtu bku, miń kęgu wyznzjąy łżni śków iężkśi wyinków i-

2 9 zyztf Bzęki, Mt Słwik śini btnwyh, miń kęgu wyznzjąy łżni śków iężkśi zbjni, wwnętzny miń wyinków iśini, R zwnętzny miń wyinków iśini, ϕ, ϕ kąty kślją gni zziłów wżnśi łżni i bjętnj, ϕ kąt śkwy kśljąy zięi ię kęgów wyznzjąyh łżni tli zbjniwj w zkju, ϕ kąt śkwy kśljąy kni wyink iśiniwg btnu i zątk ztzni mięzy iśiniwj, ξ kąt śkwy łużąy kślniu łżni twu. Pzzgóln kąty iują twy w zyku kmin utwing w kztłt mbu w tunku zływu witu zfiniwn z mą wilkśi x = x, x = - x, x x = x = - x, x = x, x x 5 6 = -, x = x, x x 7 = -. Pmty gmtyzn zkjów kmin łng i łbing twmi ztwin n yunkh - w wóh nlizwnyh zykh utwini kmin w tunku kiunku ziłni witu w. N twi [] i [] twizn, ż njbzij nikzytnym l y kmin jt utwini w kztłt mbu kiunku ziłni witu. Dugi znizy kiunk y kntukji wytęuj zy utwiniu n kztłt kwtu w tunku zływu witu. Obi t ytuj n blizniu zzgółwij i blizń jt zmizzny w y [5]. Gmti zkju kmin ztł zyjęt zgni z ą [6]. W tykul ztwin główn blizni l njbzij nikzytnj ytuji blizniwj t jt utwini w kztłt mbu. VIII VII V VI IV III II I O ϕ x ϕ ϕ ϕ ϕ O g ϕ ϕ N ϕ g O x y α ϕ M x g ϕ x ϕ g O ϕ ϕ R ϕ g g W y O ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ O g ϕ N ϕ g O x y Ry.. Pzkój łny kmin ztzwwg: ) mty gmtyzn iują zkój, b) zkł kztłń btnu l łżni i bjętnj w bzz iśini lnyh. Fig.. Th -tin f fu-flu inf nt himny: ) gmtil mt whih ib -tin, b) itibutin f tin in nt f nutl xi lt in bttm ing gin. O α ϕ ϕ ϕ ε` ε(ϕ ) g ε(ϕ ) α ε(ϕ ) W ε` =ε` ϕ ϕ ϕ g

3 IV III II I I VIII VII VI V IV III II I ξ ξ Wyznzni nężń nmlnyh w zkjh kmin żlbtwg ) b) π ξ ξ ϕ ϕ ϕ ϕ ξ ξ R ϕ ϕ π ξ O x y ξ M π ξ π ξ ϕ ϕ ξ ξ 7 ξ 6 π ξ ξ 5 π ξ W g g y O π ξ α ϕ ξ x ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ O g ϕ ϕ g π ξ O x y Ry.. Pzkój kmin ztzwwg łbiny twmi: ) mty gmtyzn iują zkój, b) zkł kztłń btnu l łżni i bjętnj w bzz iśini śkwyh. Fig.. Th -tin f fu-flu inf nt himny wkn by ning: ) gmtil mt whih ib -tin, b) itibutin f tin in nt f nutl xi lt in mil ing gin. VII VI V IV III II I O g ϕ g ϕ ϕ O ϕ x g x ϕ ϕ ϕ ϕ N O y x ϕ g ϕ ϕ g ϕ R g g y W O g ϕ g O α ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ N ϕ ξ y x g x π ξ O x π ξ ϕ ϕ ϕ ϕ π ξ π ξ ε` W ε` =ε` ε(ϕ ) W ε(ϕ ) g ε(ϕ ) g α ε(ϕ ) ϕ ε(ϕ ) ε` =ε` ϕ ϕ g ϕ α Ry.. Pzkój łny kmin ztzwwg: ) mty gmtyzn iują zkój, b) zkł kztłń btnu l łżni i bjętnj w bzz iśini lnyh. Fig.. Th -tin f fu-flu inf nt himny: ) gmtil mt whih ib -tin, b) itibutin f tin in nt f nutl xi lt in bttm ing gin. ε` g ϕ

4 00 zyztf Bzęki, Mt Słwik I I VIII VII VI V IV III II I ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ϕ g ϕ O g ϕ ϕ x g O x ϕ ϕ N O x y ϕ ϕ ϕ g ϕ ϕ ϕ ϕ g ϕ R ξ ξ ξ ξ g g W y ξ ξ α g ϕ g ξ ξ ϕ ϕ ϕ O g x g O x ϕ ϕ N O x y ϕ ϕ ϕ ϕ ε` W ` = ` α ϕ g ε(ϕ ) g g ϕ Ry.. Pzkój kmin ztzwwg łbiny twmi: ) mty gmtyzn iują zkój, b) zkł kztłń btnu l łżni i bjętnj w bzz iśini gónyh. Fig.. Th -tin f fu-flu inf nt himny wkn by ning: ) gmtil mt whih ib -tin, b) itibutin f tin in nt f nutl xi lt in u ing gin. ε(ϕ ). Wyznzni łżni i bjętnj nlizwny zkój ztzwwg kmin żlbtwg ny jt ziłniu biążń zwnętznyh wująyh wtni ił wwnętznyh: iły łużnj N i mmntu zginjąg M. Sił N ził n mimśzi : M = N by wyznzyć łżni i bjętnj kzytn z wunku ównwgi mmntów: å M l- l = 0 Dl zkju łng ównni () zin w ti () ntmit l zkju łbing twmi w ti (5). 0 () ( ) = ( ) å ( ) = i xi xi () () 0 (5) gzi: mimśó iły N, u lgłść śk iężkśi nikńzni młg wyink iśiniwg zkju btnu i x, u lgłść śk iężkśi nikńzni młg wyink zkju tli i x, σ nężni śikją w btni zyjęt zgni z wzm σ = E ε, ε kztłni tli, σ nężni w tli zyjęt zgni z wzm σ = E ε, ε kztłni btnu, óżnizk l btnu, óżnizk l zbjni, l wizhni btnu (l zkju łng jt t łw l wizhni btnu, l z-

5 Wyznzni nężń nmlnyh w zkjh kmin żlbtwg... 0 kju łbing l łg zkju btnu), l wizhni zbjni (l zkju łng jt t łw l wizhni tli, l zkju łbing l łkwit tli), σ i nężni w zbjniu znjująym ię zy kwęzi twu zgni z σ i = E ε i, ε i kztłni tkwg zbjni zy kwęzi twu, ξi l wizhni zkju zbjni tkwg in z mą wółzęnj kątwj ξ i, u ξi lgłść śk iężkśi i-tg zkju zbjni tkwg i x. W lu mtmtyzng iu wwzn w śku zkju ktzjńki ukł wółzęnyh Oxy z tzy lkln bigunw ukły wółzęnyh Bnullig bigunh O, O, O g i ih bigunwyh O x, O x, O g x g. Ukł bigunwy zątku w unki O in z mą wółzęnj kątwj ϕ, ukł biguni O zy użyiu wółzęnj ϕ, ukł biguni O g wykzytują wółzęną ϕ g. Pnt w lzj zęśi y zminną kątwą ϕ nlży zumić zgni z wzm: j l iśini lng f = ï íj l iśini śkwyh (6) j g l iśini góng Płżni i bjętnj jt kśln z mą kąt α, któy nlży zumić zgni z zlżnśią (7) l zkju łng, l zkju łbing zgni z (): g = í ï l łżni VIII i bjętnj l łżni II-VII i bjętnj l łżni I i bjętnj l łżni II-IV i bjętnj g = í ï l łżni IV-I i bjętnj () l łżni I-III i bjętnj Okślni bzów I-VIII l zkju łng i I-IV l zkju łbing ztwin w złązniku z mą wini wzów (79)-() z ()-(5). Śki iężkśi infinitzymlni młyh wyinków zkju btnu ą ówn (wini l iśini góng, iśini śkwyh i iśini lng): =-( - j )= ( j - ) (9) g g g = j (7) (0) = j = j () gzi: miń kęgu wyznzjąy łżni śków iężkśi wyinków iśini btnwyh, =.

6 0 zyztf Bzęki, Mt Słwik Dfiniują wzó () zin = (wini l iśini góng, iśini śkwyh i iśini lng): ï g = jg - = í ï = j = j Dl tli wykzytniu wilkśi η wyżjąj tunk mini nikńzni młyh wyinków zkju tli i btnu zgni z η = / z wzm () wywzn związk wyżjąy śki iężkśi infinitzymlni młyh wyinków zkju tli nlgizn jk l btnu = (wini l iśini góng, iśini śkwyh i iśini lng): ï g = hjg - = í ï = hj = hj Dl zyku zkju łbing twmi nśni zbjni tkwg zin = i x xi (wini l iśini góng, iśini śkwyh i iśini lng): i x ï xg = h xi - = í ï h x x = i ï h x x = î i P wykzytniu wyżj wywznyh zlżnśi z winih zkztłnih ównń () i (5) zin j w ti (5) i (6): = = n - -n i i x i x - - å å - i i x Stni zbjni zwu żlbtwg, zbjni tkwg z óżnizki l btnu i tli zfiniwn jk: () () () (5) (6) = i x, x = (7) i b

7 Wyznzni nężń nmlnyh w zkjh kmin żlbtwg... 0 = b j, = = b j, = ( -) = ( -) bj () gzi: b gubść btnu w zkju. Okztłni btnu i tli l zkju łng. Pniżj zzntwn ób wyznzni kztłń l btnu i tli w wybnyh zziłh, l zkju łng. zytją z bińtw tójkątów i Ry. l iśini lng ułżn j: j j - = R j ( )= R (9) ( j - ) (0) W lzj zęśi y kżzw w nlgizny ób wyznzn wzy wyżją kztłni zym wylkjnwn wtść bzwymiwyh kztłń (w zyku ównni (0) wynzą n j - ). Pniżj ztwin wtśi bzwymiwyh kztłń l zzgólnyh łżń i bjętnj: I, = - j,. = í ï = - j I,. = j - I,. II, -VII Ig g = - j II, -VII. g g = í ï = j - II, -VII. = j - II, - VII. l iśini lng l iśini śkwyh l iśini góng l iśini lng l iśini śkwyh l iśini góng () () = = j - VIII, VIII,. g g g l iśini gónyh (), = í ïii, VIII -VII I, l łżni VIII i bjętnj l łżni II-VII i bjętnj l łżni I i bjętnj Okztłni btnu mżn zić jk: VIII, R g = ( j ï )= í II, - R I R, VII () (5)

8 0 zyztf Bzęki, Mt Słwik nlgizni jk l btnu zfiniwn związki mniz wyżją bzwymiw wtśi kztłń l tli (wini l iśini góng, iśini śkwyh i iśini lng): I, = - hj,. = í ï = - hj I,. = hj - I,. II, -VII VIII, Ig g = - hj II, -VII. g g = í ï = hj - II, -VII. = hj - II, - VII. = hj - VIII,. g g g = í ï = hj - VIII,. g = - h j,. VIII g (6) (7) () l łżni VIII i bjętnj VIII, = í ï II, -VII l łżni II-VII i bjętnj (9) I, l łżni I i bjętnj P kzytniu z wyżzyh wzów kztłni tli zin jk: VIII, R g = ( j ï )= í II, - R I R, Dl zkju kmin łbing twmi wzy () (0) ztją tki m. Zmini ulgją gni i ilść łżń i bjętnj. Płżniu I i bjętnj wiją łżni I-III l zkju łbing. Płżnim II-VII i bjętnj wiją łżni IV-I l zkju łbing. Płżniu VIII i bjętnj wiją łżni II-IV l zkju łbing. Pniżj ztwin wtśi bzwymiwyh kztłń zbjni tkwg l zzgólnyh łżń i bjętnj w zyku zkju łbing (wini l iśini góng, iśini śkwyh i iśini lng): i, I -III i, IV -I VII = - hx, -. = í ï = -h x i, I -III. i = - hx i, I -III. i i I III g i = - hx i, IV -I. g i = í ï = hx - i, IV -I. i = hx - i, IV - I. i (0) () ()

9 Wyznzni nężń nmlnyh w zkjh kmin żlbtwg i, II-IV = hx - i, II-IV. g i g = í ï = h x - i, II-IV. i g = - hx, -. i II IV i g () l łżni II-IV i bjętnj i, II-IV = i í ï i, IV -I l łżni IV-I i bjętnj () i, I -III l łżni I-III i bjętnj N twi wyżzyh zlżnśi kztłni zbjni tkwg zin jk: ï R g = ( x) = ï í ï ï ïî R i, II -IV i i i i, IV -I ï R i, I -III Wykzytują związki (7) i (), wzy wyżją kztłni btnu i tli, knują zminy zminnyh łkwni i ztują ównni (5) i (6) zilni w zykh gy ś bjętn znjuj ię w bzz iśini lnyh, śkwyh i gónyh z wyknują twini: j =, j =, (5) (- ) j = Y, (- ) j = Y (6) j å i i x xi =, (- ) j å = Y i xi gzi: α t um kątów wiją lu btnu, α t um kątów wiją lu tli; ównni (5) i (6) wyżn w ti: (7) ( - ) n = ( - ) Y n Y Równni t łuży wyznzni łżni i bjętnj zkju. ()

10 06 zyztf Bzęki, Mt Słwik. Wyznzni wtśi wółzynników B i C Mkymln nężni śikją w btni blizn z wzów: = B N = gzi: B t wółzynnik kśljąy mkymln nężni śikją w btni, σ t nężni śikją w zkju wywłn iłą iwą N, σ mkymln nężni śikją w btni, l wizhni btnu (l zkju łng jt t łw l wizhni btnu, l zkju łbing l łg zkju btnu). by blizyć wółzynnik B kzytn z wunku ównwgi umy zutów ił n ś Y: å Y = 0 D Z - N = 0 gzi: D łkwit ił śikją w tfi śiknj btnu, Z łkwit ił w zbjniu, N ił iw. Równni w zyku zkju łng zin w ti (), w niini zkju łbing w ti (): (9) (0) () () N - = 0 () - N = 0 i i x () å W lzj nlizi wyznzn l wizhni zkju łng (5) i łbing (6): = - j j b (5) = - j j x b (6) by wyznzyć wółzynniki B w lzj zęśi nlży ztzyć kż z ównń () i () w tzh zykh. Piwzy zyk wytęuj gy ś bjętn znjuj ię w bzz iśini lng, ugi ś bjętn w bzz iśini śkwyh z tzi gy ś bjętn znjuj ię bzz iśini góng. Ptwiją związki iują kztłni btnu, tli i zbjni tkwg, óżnizki l btnu i tli, l zbjni tkwg, knują zminy zminnyh łkwni winih twinih tzymn wółzynnik B l zkju łng (7) z zkju łbing (): l łżń i bjętnj wini VIII, II-VII, I:

11 Wyznzni nężń nmlnyh w zkjh kmin żlbtwg ( - ) j j R g ( - ) - Y n - Y g g ( j j R ) - B = í ï ( - ) - Y n - Y ( ) ( R ) - j j ï ( - ) - (- Y n ) Y l łżń i bjętnj wini II-IV, IV-I, I-III: ( - ) j j x R g ( - ) - Y n - Y g g ( R ) ( - ) B = ï j j x í ( - ) - Y n - Y ( ) ( R ) - j j x ï ( - ) - Y n (- ) Y Mkymln nężni ziągją w tli wyznzn z wzu: = C gzi: C wółzynnik kśljąy njwiękz nężni ziągją w tli, σ mkymln nężni ziągją w tli. by wyznzyć wółzynnik C nlży zkztłić ównni (9) ti C = mx =, gzi: σ mx mkymln nężni śikją w btni: σ mx mx mkymln nężni ziągją w tli. Wzó (50) ztwi wtść wółzynnik C l zkju łng kmin (wini l łżń i bjętnj VIII, II-VII, I): h - g n R - C = ï h í n (50) R h- n R Wtść wółzynnik C l zkju łbing twmi zy zyjętym łżniu twów jt tk m jk l zkju łng. Zmini ulg jyni ilść i zk łżń i bjętnj. (7) () (9). Ztwini wółzynników funkyjnyh l zkju łng i łbing Finln wtśi wółzynników funkyjnyh w zzgólnyh zziłh łżni i bjętnj l zkju łng i łbing ztwin wini w złąznikh i B.

12 0 zyztf Bzęki, Mt Słwik 5. Wtśi wółzynników B i C l ukłu zwów utwinyh n kztłt mbu w tunku zływu witu N Ry. 5 zzntwn wyky funkji: f(α) = /, B(α), C(α) l: ϕ = 5, ϕ = 5, η =, n = 7.07, ρ R =, ρ =.9, ρ = {0,00; 0,005; 0.0}. Mżn zuwżyć, ż zyji wtśi ρ R z zziłu (0.; ) m znikmy wływ n kńw związni w tunku zyjętg ρ R =. W zyku zkju łbing wyky n Ry 5b wyknn w ytuji gniznj, gy l zbjni tkwg wyni 0 z l kąt ξ = 6. Ry. 5. Wyky funkji f(α) = /, B(α), C(α) l zkju: ) łng, b) łbing. Fig. 5. Gh f funtin f(α) = /, B(α), C(α) f: ) full tin, b) tin wkn by ning. W tblh i ztwin wtśi wółzynników B i C blizn l zkju łng kmin. Oblizni wyknn l ntęująyh nyh: ϕ = 5, ϕ = 5, η =, n = 7.07, ρ R =, ρ =.9.

13 Wyznzni nężń nmlnyh w zkjh kmin żlbtwg Tbl. Wtśi wółzynnik B l zkju łng zy biążniu witm jk n y.. Tbl. Cffiint B f full tin t win l in th fig. Wtśi wółzynnik B / 0,00 0,00 0,005 0,006 0,007 0,00 0,009 0,0 0,,99,9,97,96,95,9,9,9,0,9,7,65,5,,,,5,77,757,7,7,706,69,67,65,5,,0,65,,97,66,7,09 5,75 5,59 5,77 5,9 5,,95,,79,5, 7,956 7,596 7, 7,09 6, 6,6 6,7,06 0,6 9,79 Tbl. Wtśi wółzynnik C l zkju łng zy biążniu witm jk n y.. Tbl. Cffiint C f full tin t win l in th fig.. Wtśi wółzynnik C / 0,00 0,00 0,005 0,006 0,007 0,00 0,009 0,0 0, 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,995 0,99 0,9 0,95 0,9 0,979 0,976 0,97,5,,7,57,5,,,,,5,,0,9,906,,767,707,65 9,69 9,6,,9,9 7,97 7,69 7,7,5,0,,09,55,05 0,65 0,6 9,95 9,9 6,6,97 6. Wtśi wółzynników B i C l ukłu zwów utwiny n kztłt kwtu w tunku zływu witu W y [5] zwzn ówniż nlizę zkjów kznyh n Ry. i. W tblh i ztwin wtśi wółzynników B i C l zkju łng z Ry. l nyh ϕ = 5, ϕ = 5, η =, n = 7.07, ρ R =. Tbl. Wtśi wółzynnik B l zkju łng zy biążniu witm jk n y.. Tbl. Cffiint B f full tin t win l in th fig.. Wtśi wółzynnik B / 0,00 0,00 0,005 0,006 0,007 0,00 0,009 0,0 0,9,9,9,9,9,905,95,6,77,06,06,006,996,96,976,966,956,5,,,07,9,77,6,7,,5,07,99,96,9,90,75,,,,6,,0,,0,0,957,5 6,979 6,6 6,06 5,6 5,6 5,6 5,96 5,66,999, 7,70 7,07 6,996 6,7 6,5 6,7

14 0 zyztf Bzęki, Mt Słwik Tbl. Wtśi wółzynnik C l zkju łng zy biążniu witm jk n y.. Tbl. Cffiint C f full tin t win l n th fig.. Wtśi wółzynnik C / 0,00 0,00 0,005 0,006 0,007 0,00 0,009 0,0 0,9 0,00 0,00 0, ,0 0,0 0, 0,9 0,97 0,95 0,9 0,9,5,06,0,005,97,95,99,906,5,5,565,,,,5,066,9,9,6,576, 0, 9,77 9,9,7,07,5,9 0,96,5 6,79 5,5,7,96,76, 6,7,59, 9,50,06 6,95 5,95 N Ry. 6 ztwin wyky funkji: f(α) = /, B(α), C(α) l: ϕ = 5, ϕ = 5, η =, n = 7.07, ρ R =, ρ = {0,00; 0,005; 0.0} l ukłu zwów utwinyh w kztłt kwtu. Mżn zuwżyć, ż zyji wtśi ρ R z zziłu (0.; ) ni wływ n kńw związni w niiniu ρ R =. Dl zkju łbing wyky n Ry. 6b wyknn w ytuji gniznj, gy l zbjni tkwg wyni 0 z l kątów ξ = 6, ξ = 9, ξ = 6, ξ = 9. Ry. 6. Wyky funkji f(α) = /, B(α), C(α) l zkju: ) łng, b) łbing. Fig. 6. Gh f funtin f(α) = /, B(α), C(α) f: ) full tin, b) tin wkn by ning.

15 Wyznzni nężń nmlnyh w zkjh kmin żlbtwg Wniki Pztwin w tykul zlżnśi, łużą wyznzni nężń w btni i tli w zkjh kmin ztzwwg ztły wykzytn zy jktwniu tkig biktu zmyłwg. Pjkt kntukyjny żlbtwg kmin ztzwwg był tmtm y mgitkij [5] zlizwnj n WIBiS kiunkim inż. M. Słwik. Wywzn wzy mgą ówniż łużyć igntyki kminów ztzwwyh zkju ztlitnj knizynki (kminy EC Gy ni III, EC I i ECII Huty twi, Huty Mizi Głgów II, EC Lublin Wtków) z zwjkig kmin Zuih ubugg Hizkftwk kntukji ilwj zbliżnj zzntwnj w tykul. Złąznik Finln wtśi wółzynników funkyjnyh w zzgólnyh zziłh łżni i bjętnj l zkju łng ztwin w kilku zykh n zykłzi wzów (5) (). é é -j j = ( ) = - I I j, I. j, I. 0 ê ë ê ë -j j I,. I,. - j j Ig g g (5),. j - j û ú j ú û é -j j = ( ) = II II j j, II -VII., II -VII. -( - ) ë ê -j j j II, -VII. -, II -VII. j, II -VII. g g g j -j j û ú é -j j Y = Y = Y ( ) = - g VIII g g ( ) j j VIII,. VIII,. 0 0 ë ê -j j j VIII,. VIII,. j VIII. g g j - j j û ú (5) (5) - ( inj ) -( j ) - j inj j in I ( ) = -j - j in j inj ( ) - Y I ( j - j in j j (5) ( ) ( - - ) (55)

16 zyztf Bzęki, Mt Słwik ( -j h inj j é h êf - f j j j j ( ) -( ) ( ) -( ) ( ) in in (56) ûú ( )( - ) (57) Y ( j - j j j Wyknują blizni fmuł II, Y II złżn ż w tfi śiknj bęą wły iśini śkw z iśiń lny w zki kątwym π α π/ ϕ. Wywzni wzu n wiążąy kąt = ( - ) = wynik z. - II ( ) = - - j j in j inj ( inj ) -( j ) ( -j ) é - - ûú inj j ( ) - -( ) é - ûú (5) Używją wyżni n ( ) w wzz (5) tzymn - ( ) ( in ) -( ) ( in ) II ( ) = - - j j in j inj - j j j j j ( - ) in - Y II ( in -j - j - (59) - - é ûú - (60) Wykzytują w wyżzym wzz wyżni n ( ) tzymn ( - ) Y II ( in -j - j in Wtśi funkji, Y,, Y w zziłh, w któyh wytęują wilkśi α, α, ϕ, ϕ mżn ltntywni uśi kzytją z twizń tyząyh funkji yklmtyznyh. W ninijzym tykul n fmę bzij zwięzłą. Wtśi α, ϕ, ϕ nlży blizć z ( )= ( ), j = - ( ), j = ( - ). (6) { } Mżn zuwżyć ż funkj ( j, ) = - hj II, - VII. g g g w zizini D = ( j, j j g ) : Ù 0 zyjmuj wtśi t- g ni i ujmn (zyjęt η = ). Dl btnu m mij t m ytuj nśni ( j, ) II, - VII. g g. Tn fkt uwzglęnin zz wyzilni VI i VII zziłu łżni i bjętnj i w tku blizń, Y, VI, Y VI, VII, Y VII : é 7 = h j ( j ) -( j ) j h ê ú - ç j - h inj ë û h( -hj) inj - j h (6) ( ) ê in ú ç

17 Wyznzni nężń nmlnyh w zkjh kmin żlbtwg... ç j j h i ç7 - ( nj j hinj j ) - ( ) (6) Y = ç ç 9 ç - j in j j j ) in - é ( j inj inj j ) - - ûú III ( ) = - - j j inj j ç (6) ( ) j in ç9 j j inj j (65) Y III = - ç - - IV ( ) = - - j j ( inj j ) é - j in ( inj j inj j ê ) ë ú û - è j ç é ( inj ) -( j ) ( j ) -( inj ) ûú (66) ( ) Y IV ( - j in -j - j ( inj j inj j ) (67) é - ûú é - ( ê ) j in inj j j ú - ë û (6) V ( ) = - - j inj j ê inj j in ç ( inj j ) (70) Y V = - j ç -j - ( ) in - ( ) VI ( ) = - in - (7) - - Y VI ( in - in (7) VII ( ) = - in ( )( - - ) in - j ( ) ( - j ) in j (7) Y VII ( in - ( in )- éin j - j ûú (7) VIII ( g ) = - g - g in g g in g Y VIII ( g ) = - g g in g (75) (76)

18 zyztf Bzęki, Mt Słwik g ( g -j h inj j é h êj - j j j j j ( ) -( ) ( ) -( ) ( ) in in (77) ûú ( )( - ) (7) Y g ( g j - - j j j g Wtśi funkji zwiją ię w ntęująyh zziłh: I, Y I l: Î 0, - j ) (79), Y l Î 0, - j ),, Y l Î - j, j III III ) (0), Y l Î j, - j ),, Y l Î - j, j V V ) () II II IV IV ), Y l Î j, ( j )- () VI VI ), Y l Î ( j )-,,, Y l Î j, VIII VIII g ) () VII VII Złąznik B Finln wtśi wółzynników funkyjnyh w zzgólnyh zziłh łżni i bjętnj l zkju łbing ztwin w kilku zykh n zykłzi wzów () (5). I ( ) = -j - x j in é ( j ) -( inj inj j x j ) ( ) -( ) ûú ( - ) -in inj j - x in x () ( ) ( ) ( - - ) (5) Y I ( j x-j in j x j ( ( x- j ) h ( inx- x inj j ) é h j - j x j j j j ( ) -( ) ( ) -( ) in in ú ú û 6 å - å - i, I III. x xi i, I III. x xi å i, I -III. g xg xi 7 (6) Y ( ( j x-j ) ( - j x j ) 6 - çå - å å (7) i, I III. xi i, I -III. xi i, I -III. g xi i = 7 II ( ) = -j - 7x j x inx in é x j x x j j j j ( - )- in ê( ) -( in ) ( in ) -( ) ûú j - x inj in x- in ()

19 Y Wyznzni nężń nmlnyh w zkjh kmin żlbtwg... 5 = Y ( ) = ( j x- j )( x- - j j ) in 7 in x (9) II II 9 III ( ) = -j - 6x j ( x-j ) é x - - x x û ú é in in ( j ) -( inj ) ( in j ) -( j ) ûú j - x inj in x- in (90) ç in inx- x (9) Y III = j x-j ç x j j IV ( ) = - j j x- 5 x- 6j é - j inj ûú ( inj ) -( j ) - inx x j x j x ( - in in ) 5 inx inj x in - j -x- in - in in (9) ç5 ( ) in in inx inj - x (9) Y IV ( ç - j x- j j x ( ( x - j ) hinj ( - hj ) j -h j -h inj - j é é h inx- x h j j x j inj ûú ûú 6 å - - i, IV I. x xi å i, IV I. x xi å i IV -I g g,. x xi (9) Y = Y ( ) = ( j -j )( 5 x j -j ) h in j - j in j )- å iiv, -I. xi å i, IV -I. xi å i IV -I g i,. x (95) 7 7 ( j j 5x ( x j ) ( x - j x j - x j j é in in in - ( inj inj j ) ú û V ( ) = ( ) - inx x j - x inj in x ú - - (96) ( j x) ( -j - j 5x) Y V ( ) = - in in x inj j - x (97) 5 VI ( ) = - - j j 5x ( x-j ) ( x - j in j inj in x inj - x j ø j - -( inj ) ( inj ) -( j ) - in xx inj j - x in x (9)

20 6 zyztf Bzęki, Mt Słwik ç in j inj in x inj j - x (99) Y VI ( - j x ç j j x j j x ( x j ) ( x - j in VII ( ) = j inj - x in x inj j ) j inj inj j inj j x in x Y VII ( ) = - (00) ( j x) ( -j - j x) éj inj inj j in inx x ûú ( - ) (0) 5 VIII ( ) = - - j j x ( x-j ) ( x - j in j inj - x inx inj j ) ( j ) - -( inj ) ( inj ) -( j ) in xx inj j - x in x Y VIII ( - j x ç j j x (0) ç5 - - in ( j inj inj j ) in x- x (0) ç - I ( ) = - - j x x- j ç x j - x in x inj j ) ( inj ) -( j ) inx x inj j - x in x in - (0) ( - - ) in ( inj j ) in x- x (05) Y I ( - j x j x ( ) = - x ( x) x in - x in x ( inx- x) ( - ) in - Y ( ç x ç x (06) ç ç - in in x- x in - - (07) I ( ) = - x ( x) x in - x inx ( inx- x) ( ) in ( - - )- - j ( ) inj ( - j ) (0) ç ç - in in x- x é ( )- in ûú éin j - j ( ) (09) ûú Y I ( ç x ç x

21 Wyznzni nężń nmlnyh w zkjh kmin żlbtwg... 7 ( ) = - x ( in in x- x) - x in - x inx g g g (0) II g g g ( ) ç x in inx- x () Y II g = ç - g g g g ( g ( x- j ) h ( inx- x inj j ) é h j - j x j j j j - - in in ú ú û 6 å - - i, II IV. x xi å i, II IV. x xi å - i, II IV. g xg xi () ç 5 ç è - h( inj j )- ç g 6 - å i, II-IV. x i i, II-IV. xi i, II-IV. g xi å å () Y g ( g ç- j - j - x ç j x j III g g g g 7 7 ( ) = - x ( in in x) inx x - x in in x () Y III g = - g g g ( ) x in in x g g (5) in ç in g (6) IV g = - g g ç - g g (7) Y IV ( g ) = g - g in g Wtśi funkji zwiją ię w ntęująyh zziłh: I, Y I l: Î 0, x ) (), Y l Î x, - x),, Y l Î -x, - j III III ) (9) II II, Y l Î 0, - j ),, Y l Î - j, j V V ) (0) IV IV, Y l Î j, - x),, Y l Î - x, x VII VII ) () VI VI, Y l Î x, - j ),, Y l Î - j, j I I ) () VIII VIII ), Y l Î j, ( j )- () ), Y l Î ( j )-,,, Y l Î j, x II II g ) () I I, Y l Î x, - x),, Y l Î - x, IV IV g ) III III g (5)

22 zyztf Bzęki, Mt Słwik Littu [] Lhmn M., Nśnść i wymiwni zkjów iśiniwyh lmntów mimśw śiknyh, Wywnitw Intytutu Thniki Buwlnj, Wzw 006. [] Lhmn M., Lwińki P., Wyznzni nężń nmlnyh w żlbtwyh kminh wilzwwyh, Inżynii i buwnitw n /99. [] Żuńki J., Wływ intfnji ynmiznj n biążni witm tlwyh kminów wilzwwyh, P Intytutu Thniki buwlnj wtlnik n [] Żuńki J., Jóźwik R., Obiążni witm tlwyh kminów wilzwwyh. LV nfnj nukw ILiW PN i N PZITB, yni 999. [5] Bzęki., P mgitk Pjkt kmin zmyłwg ztzwwg kntukji żlbtwj, Plithnik Lublk, 00. [6] Mtj O., Ciślik J., Cztzwwy kmin zmyłwy huty twi, Pblmy Pjktw Hutnitw i Pzmyłu Mzynwg N /977. Th tmintin f nml t in tin f th fu-flu inf nt himny zyztf Bzęki, Mt Słwik Fulty f Ciil n Snity Engining, Lublin Uniity f Thnlgy, 0-6 Lublin, Nbytzyk 0, -mil: kzyztfbzki@w.l btt: In th th wy f lultin f mi t in th -tin f fu-flu inf nt himny h bn nt. Tw ty f tin h bn ni: th full tin n th tin wkn by ning. Th nlyi ib in th f t th himny ngmnt in imn h in ltin t win flw. y w: nml t, inf nt himny, th full -tin n th tin wkn by ning.