O OSOBLIWOŚ CI NAPRĘ Ż EŃ W ZAGADNIENIU SKRĘ CANIA STEMPLEM PIERŚ CIENIOWYM JAN KOKOT, ZBIGNIEW O L E S I A K (WARSZAWA) 1. Wstę p

Transkrypt

1 MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3, 8 (980) O OSOBLIWOŚ CI NAPRĘ Ż EŃ W ZAGADNIENIU SKRĘ CANIA STEMPLEM PIERŚ CIENIOWYM JAN KOKOT, ZBIGNIEW O L E S I A K (WARSZAWA). Wstę p W przypadku skrę cania pół przestrzeni sprę ż ystej, gdy naprę ż eni a kontaktowe są styczne do powierzchni w kształ cie pierś cienia, zagadnienie jest uogólnieniem znanego zadania Reissnera- Sagoci'ego [6, 8, 0, ], dotyczą cego kontaktu na powierzchni koła. Zastosowanie metody transformacji całkowych Hankela do rozwią zania osiowo symetrycznych zagadnień z powierzchnią kontaktu w kształ cie pierś cienia stał o się moż liwe dopiero po ukazaniu się pierwszych prac dotyczą cych potrójnych równań cał kowych z ją drem Hankela (COOKE [3, 4], WILLIAMS [4,5]). Metoda rozwią zywania potrójnych równań całkowych opiera się zwykle na konsekwentnym zastosowaniu operatorów ER- DLLYI'EGO- KOBERA i COOKE'A [5, 2, 3]. Ukł ad potrójnych równań cał kowych w przestrzeni transformacji Hankela, odpowiadają cy mię dzy innymi zagadnieniom kontaktowym skrę cania pół przestrzeni pierś cieniem daje się sprowadzić metodą rozwią zań prónych Sneddona do ukł adu dwu równań całkowych, alo do jednego równania cał kowego Fredholma drugiego rodzaju, które moż na rozwią zać numerycznie. Rozwią zanie podane przez Cooke'a posiada ciekawą wł asnoś ć, a mianowicie jeż el i (a, ) oznacza odcinek mierzony wzdłuż szerokoś ci pierś cienia, to z postaci rozwią zania moż na znaleź ć przez, rozwinię cie asymptotyczne, osoliwość naprę ż eń na rzegu zewnę trznym pierś cienia dla r -> ~. BORODACZEW, w niedawnych pracach {, 2] posł uż ył się również metodą rozwią zań prónych, jednak jego rozwią zanie posiada postać pozwalają cą znaleźć osoliwość naprę ż eń z innego rozwinię cia asymptotycznego, tym razem dla r ~> a Ą ~. W pracy wykorzystamy oa podstawienia do przypadku szczególnego, w którym przedyskutujemy osoliwoś ci, gdy półprzestrzeń sprę ż yst a jest skrę cana pierś cieniem, a nastę pnie prostą metodę pozwalają cą z dużą dokł adnoś ci ą wyznaczyć rozkład naprę ż ń e kontaktowych. 2. Równania podstawowe Weź my pod uwagę osiowo symetryczne zagadnienie skrę cania pół przestrzeni sztywnym, pł askim stemplem pierś cieniowym. Zakł adamy, że pół przestrzeń jest jednorodnym oś rodkiem sprę ż ystym. Ze wzglę du na osiową symetrię zagadnienia wszystkie skł adowe stanu naprę ż eni a i odkształ cenia ę dziemy rozpatrywać w walcowym ukł adzie współ rzę d- nych (r, f, z). Wtedy ukł ad równań przemieszczeniowych Naviera redukuje się do jed-

2 402 J. KOKOT, Z, OLESIAK nego równania [7, ], które moż na zapisać w nastę pują j cepostaci: Po zastosowaniu transformacji cał kowej Hankela pierwszego rzę du (2.2)?(, z) = ^J0(r, *); r -+ 0 / 6 równanie (2.) redukuje się do równania róż niczkowego zwyczajnego: (2.3) (2> 2-2 )5 9 (l,z) = 0, gdzie D =- - ' Ze wzglę du na znikanie skł adowej przemieszczenia dla j/ r 2 + z oo rozwią zanie równania (2.3) przyjmiemy w postaci (2.4) w (,z) =,4(f)exp(- f Z ). Otrzymujemy nastę pująe c wzory: (2.5) u ę <r, z) = JT Ł [f- *il(«)kjp(- f*) ; i - t- r], (2.6) o^r, z) = - / ur L M(f)rap(- $z); f -* r], (2.7) ffrt(r, z) = - fi^2 W( )exp (- z); -+ r]. N ieznaną funkcję A{ ) wyznaczymy z warunku rzegowego, który w przypadku skręcania osiowo symetrycznego ma postać nastę pująąc ( } gdzie ó jest ką tem skrę cenia. a ę z (r, 0) = 0, dla r e (0, a) u {, + oo), «,(r,0) = 5r, dla re(fl,6), Warunek rzegowy (2.8) prowadzi do poniż szego ukł adu potrójnych równań cał kowych na A( ): ( )\ f - >r] = 0, dla r e [0, a) u (, + oo), - 9) *de- l A(frl- *T]= ł r, dla re(fl,5). Cał kowity moment skrę cają cy, dział ają cy na stempel, dany jest wzorem (2.0) M = - 2%f r*<f n (r, 0)dr = + 2^ J r 2^ [A( ); i^rfidr. a a Przyjmiemy nastę pująą c zasadę oznaczania funkcji, gdzie wskaź niki ę dą zawsze się odnosił y do tych samych oszarów, np,: Mr), dla re[0,a), (2.) / (/ )- Mr), dla re(a,), Mr), dla re(6,+ oo). Oecnie, wykorzystując operatory Hankela [2]: (2-2) S v, a f(x) = 2«x-/ ti- «J 2v+a (xt)f(t)dt, OD

3 O OSOBLIWOŚ CI NAPRĘ Ż EŃ 403 układ równań całkowych (2.9) zapiszemy w postaci nastę pują cej : (2.3) Si/ 2, 0 A(r) = 0, re [0,a) u (, +có), / a (i- )- 2, re («,&)." 3. Dwie postacie rozwią zania układu potrójnych równań 'całkowych (2.3) Dla każ dej z postaci rozwią zania ukł adu równań cał kowych (2.3) skonstruujemy równanie całkowe Fredholma drugiego rodzaju. Pierwsze rozwią zanie pozwoli na wyznaczenie osoliwoś ci naprę ż ń e stycznych o ę z (r, 0) przy r -» a +, drugie zaś przy r - *~. Posłuż ymy się operatorami całkowymi Erdelyi'ego- Koera [5, 2] i operatorami czę ś ciowego (frakcyjnego) cał kowania Cooke'a [5], a mianowicie: ^du, a > 0, (3.) / (*), «- 0, * _ I (x 2 u 2 Y*u 2 i + fdadii iypf- OS fit I?v 2r > r I J (OC) J i f/ ' (3.2) v \ - j n jc_ljl J (u 2 - ^2)«u- 2a - 2 " + / (M)du, ad (-,0). Zauważ my, że S/ V>a = /,,«, oraz Wprowadź my operatory (3-3) (?; fl 6L,, a )/ (x) = jsm(7r«) 3C- 2, (x 2_ c a ) - oc f (<*-?)«(&- dla a < < c < x, oraz (3.4) &*M ia )/ (x) = - 2sm(jTOt) x 2 " + 2s (rf 2 - x 2 )- a f (f2- ^)«( f 2 7L xf(t)dt, dla x < d < a <. W dalszym cią gu pracy wykorzystamy reguły składania" operatorów [2]: a (3.5) r r Jf

4 404 J. KOKOT, Z. OLESIAK oraz ( } (Ugl) (ci v. J = - GfjU**). * > *«> c > G^S (;*.«) - - frjm,,, a ) ; x < i < «. Zał óż my oecnie, że poszukiwana funkcja A( ) w równaniach (2.3) ma postać [2]: (3.7) A(rJ- A.-!,, ff(r). Po podstawieniu do ukł adu równań (2.3), otrzymamy: Ii.- / i 2 H(r) = 0, rep,fl)u(6,+ oo), (3 ' 8) K Q%ll2 H(r)^Mr), re(a,). Zastosowanie wł asnoś i c i wykorzystanie wzorów (3.) - (3.6) pozwala nam sprowadzić ukł ad równań (3.8) do ukł adu równań cał kowych Fredholma na funkcję H(r): H (x) = 0, xe[0,a), (3.9) H 2 (x) = ( xk t/ 2i _ U2 )f 2 (x)~( x- m tm 0>l/ 2 )H 3 (x), x e (a, ), Z drugiego i trzeciego równania ukł adu (3.9) moż emy wyrugować ^BT 3 (x) i w ten sposó otrzymamy równanie cał kowe Fredholma drugiego rodzaju na poszukiwaną funkcję H 2 (x): (3.0) H 2 (x) = &K ll2,_ U2 )f 2 (x)+(x;i >M 0, ll2 ) (l: al u ll2 )H 2 {x) dla x e (a, ). Równanie powyż sze moż na zapisać w równoważ nej postaci (3.) H 2 {x) - <p(x)- (- i) J ^( gdzie: <p(x) (3.2) JC(*,^) = ^===^p=^ J _ ^ Po oliczeniu cał ki w (3.2) i przejś ciu do współ rzę dnyc h ezwymiarowych równanie (3.) zapiszemy w postaci nastę pują jce i~x> I2\ 2 r (3.3) X (x) = l- ( j J K a (x,y) X (y)dy, x e («, ), gdzie If,./ N _ V n X TT,-..\ 2(x 2 y 2 ) [ j) 3 - y x 3 l x Ponieważ zarówno ją dro równania cał kowego (3.3) K a (x, y) jak i funkcja swoodna x*/ (l ~x 2 ) są klasy L 2 (e s ), to zgodnie ze znanym twierdzeniem teorii równań cał kowych,

5 O OSOBLIWOŚ CI NAPRĘ Ż EŃ ' 405 rozwią zanie równania całkowego Fredholma drugiego rodzaju (3.3)x(x) jest jedyne i również należy do klasy L 2 (e, ). Składową styczną naprę ż eni a a^ir, 0) wyrazimy przez funkcję %{x) w sposó nastę pują cy.. 2/ zó d A (3.4) tfł.cr,o) ^- y r/ - y 2 Wykorzystują c powyż szy zwią zek przepiszemy wzór na moment skrę cają cy, wyraż ając go również przez funkcję %(x): i (3.5) M = - 4/ t 3 d J x (y)dy = - fy&dyz. a Równanie powyż sze moż emy również potraktować jako zwią zek pomię dzy momentemskrę cają cym i ką tem skrę cenia, gdzie (3.6) Y7 = J X(y)dy.- i Ze zwią zku (3.4); po podstawieniu (3.6), otrzymamy nastę pują ce wyraż enie asymptotyczne dla o ę i (r, 0), przy r - *a*'. - y 2 / 2 - /2 W przypadku, gdy stempel ma podstawę koł ową (a 0), otrzymamy dokł adne rozwią - zanie, równania (3.3), (które prowadzi do dorze znanego wyniku na rozkład naprę ż en i kontaktowych): (3.8) z(x n yl - ~-f( + x*)ln± ± ^ - 2x x 2 i I x J Stosują c analogiczną metodę postę powania otrzymamy wyraż enie pozwalają ce na. ustalenie charakteru osoliwoś ci naprę ż eń kontaktowych dla r -» ~. W tym celu przyjmiemy nastę pują cą postać [4] poszukiwanej funkcji A{r) wystę pują cej w równaniu (2.3)r. (3.9) A(r)~S ll2,. m h(r). Po podstawieniu otrzymujemy ukł ad potrójnych równań cał kowych Kt/ 2.- / 2h(r) = 0, re [0, a) u (, + co), Wykorzystują c nastę pnie, jak poprzednio, definicje i wł asnoś ci podane pod (3.) - (3.6)> dostaniemy hi(x) = - r&lmiri- i/ Jfty. x e [0, a), (3.2) h 2 (x) m ( x ah,- / i 2)f2(x)- & ol ll2tll2 )h (x), x e (a, )» h 3 (x) = 0, xe(, + oo).

6 406 J. KOKOT, Z. OLESIAK Po podstawieniu za h^x) z pierwszego równania do drugiego otrzymamy równanie cał kowe Fredholma drugiego rodzaju ze wzglę du na k 2 (x): Po przejś ciu do zmiennych ezwymiarowych równanie (3.22) sprowadzi się do postaci (2\ 2 C (3.23) (x 2 - e 2 ) V (x)= (2x 2 - s 2 )-M J K (x,y) V (y)dy, gdzie Podonie jak w przypadku równania cał kowego (3.3) również tutaj moż emy stwierdzić, że rozwią zanie równania cał kowego (3.23) jest klasy L 2 (B, ). Oecnie wyraż enie na naprę ż eni a kontaktowe o ę (r,q) z dadzą się zapisać nastę pują co : (3.24) gdzie "U, / 2 Ponieważ rozwią zanie równania cał kowego (3.23) jest klasy L 2 (s, ) moż emy dokonać przejś cia asymptotycznego we wzorze (3.24), podonie jak poprzednio w (3.7). Wyraż enie asyinptotyczne dla r» ~ przyjmie postać nastę pująąc (3.25) f f f! = y Dla koł owej podstawy stempla (a = 0) otrzymujemy dokł adne rozwią zanie równania (3.23), wtedy r}(x) = Rozwią zania przyliż one Na podstawie dotychczasowych rozwią zań okreś liliś my osoliwoś ci skł adowej stycznej naprę żń ekontaktowych wystę pują cyc h na krań cach oszaru kontaktu. Na rzegach pierś cienia skł adowa owodowa wektora przemieszczenia, aczkolwiek cią gł, a nie posiada pochodnej. Dla re(a,) funkcja <r ę (r, z 0) jest dodatnia, klasy C. Rozkł ad naprę żńe kontaktowych otrzymamy dopiero po rozwią zaniu odpowiednich równań cał kowych Fredholma drugiego rodzaju, również wtedy ę dziemy w stanie wyznaczyć pozostał e

7 O OSOBLIWOŚ CI NAPRĘ Ż EŃ 407 niezerowe składowe tensora naprę ż enia, wektor przemieszczenia oraz współ czynniki %{e) i r/ (l) wystę pują ce w wyraż eniach asymptotycznych (3.7) i (3.25). Naszym celem nie jest powtórzeme tu znanych metod rozwią zań lecz pokazanie jak w łatwy sposó moż na wyznaczyć rozkł ad naprę ż eń kontaktowych ez koniecznoś ci rozwią zywania równania całkowego zagadnienia. Wykorzystują c wyraż enia asymptotyczne zapiszemy a vx (r, 0) w postaci: (4.) a ę z (r, 0) s 2fld n f(r), gdzie A = (- a)/ n, n > 2, f(r) jest regularną funkcją dodatnią. Gdyy funkcja o Vi (j-,0) yła dokładnym rozwią zaniem naszego zagadnienia, to wtedy u ę (r, 0), oliczona z transformaty Hankeła (2.5), dla re (a, ), przyję łay oczywiś cie postać zgodną z warunkiem rzegowym (2.8) 2 : (4.2) u v (r,0)=rd, re(a,). Jako pierwsze przyliż enie, dostatecznie dokł adne dla szerokich pierś cieni moż emy przyją ć, że współczynnik rj(y) dla r - *~ jest taki sam jak w przypadku kontaktu na powierzchni koła, tzn. rj(l) = 2. Wtedy współczynnik % I- I we wzorze na naprę ż eni a styczne a vz (r, 0), dla r -> a +, moż na oliczyć z warunku na moment skrę cają cy (2.0). Przyjmiemy oecnie, że trzeci przedział we wzorze (4.) został przedłuż ony w ten sposó, że oejmuje drugi. Mamy wię c dla pierwszego przedział u r e (a, a+( a)[ri), a dla trzeciego r e (a+( a)ln, ); drugi przedział znika. Jak widać z rysunku przyliż enie takie ma sens dla duż ego zakresu szerokoś ci pierś cieni. Celem oliczenia #{- 7-) wykorzystamy wzór na moment skrę cają cy w postaci n 2 a~ 2 x- r I r 2 (f- a 2 )~ t>2 dr + r ~a Jeż el i przyjmiemy podział odcinka ( a) na pewną cał kowitą liczę m czę ś i cto na ogół okaże się, że wartość naprę ż eń na granicy przedziałów doznaje skoku. Na drodze pró moż emy znaleźć takie (niecał kowite) n, że skok ę dzie mniejszy od pewnego z góry zadanego, małego e, a funkcja naprę ż eń praktycznie cią gł a. Metodą pró otrzymaliś my nastę pują cą taelkę, dla róż nych szerokoś ci pierś cienia kontaktu, gdzie l/ n jest stosunkiem długoś ci pierwszego przedział u do szerokoś ci pierś cienia: : a/ 0, 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 n 9,5 6,3 4,8 3,5 2,75 2,5 l/ n 0,05 0,59 0,208 0,286 0,36 0,40

8 408 J. KOKOT, Z. OLESIAK Ponieważ jednak tylko jedna z wielkoś ci M, lu ó jest znana z warunków zadania, założ ymy, że w przyliż eniu, dla dostatecznie szerokich pierś cieni zwią zek mię dzy momentem skrę cają cym i ką tem skrę cenia jest taki sam jak w przypadku kontaktu na powierzchni koła: (4.4) M = Miarą popełnionego łę du ę dzie róż nica mię dzy przemieszczeniem u v (r,0)re(a,) oliczonym dla rozkł adu naprę ż eń danych wzorem przyliż onym i wynikają cym z warunku rzegowego (2.8) 2. N a rysunku przedstawiliś my rozkł ady naprę ż ń e dla róż nych szerokoś ci ( ci) pierś cieni kontaktu, od 0,4 do 0,9. Dla porównania, w przypadku o najmniejszej szerokoś ci w?,0-0,5 0 I I 0, M=const. A5/TT = 0,2 \ V "~ \.. J 0,2 0,3 ^ W \ 0,. \ 0,5 Rys. v\ IQ=0,6 \ \ 0,6 y \ rozw. przyliż one 0,8 II Ew.doktadne r/, wrysowaliś my również krzywą odpowiadają cą rozwią zaniu otrzymanemu z rozwią - zania numerycznego równania całkowego Fredholma drugiego rodzaju, według metody Cooke'a. Widać, że redystryucja naprę ż eń jest nieznaczna i tym mniejsza im szerszy jest pierś cień kontaktu. Rysunek 2 przedstawia wartoś ci %{aj) i 2 a~ 2 %{aj) w zależ nośi cod szerokoś ci pierś cienia. Warto zauważ yć, że dla wą skiego pierś cienia wartość 2 a~ 2 %(aj) ss»,8 i jest liska współ czynnikowi osoliwoś ci na promieniu zewnę trznym dla przypadku kontaktu na powierzchni koła. Punkty oznaczają odpowiednie wartoś ci pierwszego przyliż enia. W drugim przyliż eniu odstą pimy od założ enia upraszczają cego, że f](l) = 2 czyli, że ^() jest taki sam jak dla kontaktu na powierzchni koła. Brakują cy warunek, (lu warunki) otrzymamy ze speł nienia warunku rzegowego w punkcie, ewentualnie w kilku punktach. Jeż el i założ ymy, że a ę s (r, 0) jest znane, wtedy otrzymamy ze wzoru (2.6)

9 O OSOBLIWOŚ CI NAPRĘ ŻŃE 409,5-0 0, 0,2 0,3 0,4 " 0,5 0,6 F7" ską d, dla z = 0, mamy (4.5) w (r,0) = - f t<v(t,p)df f JtCfr)^ gdzie (4.6) 00 > r, -J J Ji(fr)J x oo > t. Podstawiając r w warunku rzegowym'(2.8) 2, otrzymamy dodatkowy warunek (4.7) = -2 J a?2 (f, 0)[x(- i-) - (y)]^- Z kolei zamiast warunku (4.4) moż emy wziąć nastę pują cy : (4.8) nfxa 2 d = -2 Współ czynniki ^(e) oraz??() wyznaczymy, po oliczeniu cał ek, z równań algeraicznych. (4.7) i (4,8), a nastę pnie kąt orotu z równania (4.3). Oliczenia uł atwia wykorzystanie wzoru:

10 40 J. KOKOT, Z. OLESIAK który umoż liwia oliczenie jednej z cał ek w cał ce podwójnej i numeryczne scał kowanie pozostałej. Potraktujmy równanie (4.7) jako test pierwszego przyliż enia i przyjmijmy np. dla fl/ 6 = 0,5, że zgodnie z pierwszym przyliż eniem (6 2 / a 2 )^(e) =,42 (Rys. 2). Po podstawieniu i oliczeniu całek otrzymamy rj(l) ft!,58, a wię c wartość mniejsza od 2, co yło do przewidzenia. Literatura cytowana w tekś cie H. M. BOPO.HA'HEB, O xapaktnepe oco6ełmocmeu naiipnoicenuu nod Ko/ tuesum tumcumom, ITpHKJi. MaT. H Mex., 40 (976), Z, H. M. BOPOAA^IEBJ O6 OÓHOM Kjiaccepememiii mpoilhix uumeipamuixypaemhuu> IIPHKJI. MaT. u Mex., 40 (976), 4, J. C. COOKE, Triple integral equations, Quart. J. Mech. Appl. Math. 6 (963), J. C. COOKE, The solution of triple integral equations in operational form, Quart. J. Mech. Appl. Math. 8 (965), 57, 5. A. ERDŚ LYI, I. N. SNEDDON, Fractional integration and dual integral equations, Canad. J. Math. 4 (962), 685, 6. E. REISSNER, H. F. SAGOCI, Forced torsional oscillations of an elastic half- space, Int. J. Appl. Physics, 5 (944), 652, 7. W. B. RUDNICKU, Praca doktorska, Instytut Mechaniki, Uniwersytet Warszawski, 97, 8. I. N. SNEDDON, Note on oundary value prolem of Reissner and Sagoci, 3. Appl. Physics 8 (947), 30, 9. I. N. SNEDDON, Fractional integration and dual integral equations, North Carolina State College, PSR- 6, 962, 0. I. N. SNEDDON, The use of transform methods in elasticity, II, North Carolina State Univ., PSR- 24/ 5, 965,. I. N. SNEDDON, The Reissner- Sagociprolem, Proc. Glasgow Math. Assoc, 7 (966). 2. I. N. SNEDDON, Mixed oundary value prolems of potential theory, Amsterdam, North Holland Pul. Co., 966, 3. I. N. SNEDDON, The use of operators of fractional integration in applied mathematics, IPPT PAN, PWN Warszawa- Poznań, 979, 4. W. E. WILLIAMS, Note on the electrostatic prolem for a circular annulus, Quart. J. Mech. Appl. Math., 6 (963), 2, 5. W. E. WILLIAMS, Integral equation formulation of some three part oundary value prolems, Proc. Edin. Math. Soc. Ser. 2, 3 (963), 4. P e 3 K) M e OCOEEHHOCTH HAnPJDKEHHHC B SAflA^H O KPY^EHHH C KOJElJEBOił OBJIACTK) KOHTAKTA peniehhh KyKa n EopoflaBMeBa nonyqehw oco6ehiioctn Hanpa*eHHH Ha BHyrpeHHOM H HapywHoM paflnycax KOJituta KoirraKTa B 3ap,a<m o Kpy^eHHH. IIpefljioHceH npoeroh mexofl npn6jm- HteHHoro peuiehhh safla^oi, npubeflehm

11 O OSOBLIWOŚ CI NAPRĘ Ż EŃ 4 Summary ON STRESS SINGULARITIES IN TORSION BY AN ANNULUS Using the forms of solutions proposed y Cooke and Borodachev we discuss the stress singularitiese in the torsion, on outer and inner radii of the contact annulus. Next a simple method of approximat, solution is considered and verified on examples. UNIWERSVTET WARSZAWSKI INSTYTUT MECHANIKI Praca została złoż onaw Redakcji dnia 9 grudnia 979 roku