Algebra1(Wstępdo algebry)

Algebra1(Wstępdo algebry) Notatki do wykładu w semestrze zimowym 2013/2014 Ewa Cygan Wersja z 10 stycznia 2014

Spis treści Wstęp iii Oznaczenia,konwencjeipodstawowetwierdzenia... iii 1 Podstawy teorii liczb 1 1.1 PodzielnośćwZ... 1 1.2 NWDiNWWwZ... 2 1.3 RozszerzeniealgorytmuEuklidesa... 5 1.4 Oliczbachpierwszychiichwłasnościach... 6 1.5 Kongruencjeiichwłasności,twierdzeniechińskieoresztach... 9 1.6 FunkcjaEulera,jejwłasnościizastosowania... 12 1.7 MałetwierdzenieFermataitwierdzenieEulera... 14 2 Działania i ich własności 15 2.1 Podstawoweprzykładydziałań... 16 3 Elementy teorii grup 20 3.1 Podstawowedefinicjeiprzykłady... 21 3.2 Homomorfizmygrup... 27 3.3 Generatorygrup... 31 3.4 Grupailorazowa... 39 3.5 Twierdzeniaohomomorfizmachgrup... 44 3.6 GrupypermutacjiS n... 45 4 Pierścienie- wiadomości ogólne 50 4.1 Podstawowedefinicjeiprzykłady... 50 5 Ideały i ich własności 54 5.1 Pojęcieideałuioperacjenaideałach... 54 6 Twierdzenia o homomorfizmach pierścieni 57 7 Szczególne rodzaje ideałów 58 7.1 Ideałypierwsze... 58 7.2 Ideałymaksymalne... 58 7.3 Pierścieńwielomianów... 59 7.4 Pierścienieeuklidesowe... 62 7.5 Specjalneelementywpierścieniach... 63 i

ii Spis treści 7.6 Onierozkładalnościwielomianów... 66 7.7 Ciałoułamków... 69 7.8 Pierścieniefaktorialne... 70 8 Elementy teorii ciał 72 8.1 Rozszerzeniaciał... 72 8.2 Rozszerzeniaalgebraiczne... 76 8.3 Ciałorozkładuwielomianu... 79 8.4 Ciałaskończone... 80 A Aneks-teoriadonauczeniasię 83 B Twierdzenia/własności które należy znać z dowodami na egzamin ustny 85 C Aneks-teorialiczb 87 C.1 AlgorytmEuklidesa... 87 C.2 OidentycznościBezoutasłówkilka... 89 C.3 Orównaniadiofantycznych... 90 C.4 Ozasadniczymtwierdzeniuarytmetyki... 90 C.5 Ochińskimtwierdzeniuoresztach... 91 C.6 Małe twierdzenie Fermata i Twierdzenie Eulera-Fermata, historia, dowody i zastosowania... 92 D Przykłady zadań 95 D.1 PrzykładyzrozwiązaniamidoczęściI... 95 D.2 Przykładowyzestawzadańna1sprawdzian... 98 D.3 Przykładowyzestawzadańna2sprawdzian... 99

Wstęp Oznaczenia, konwencje i podstawowe twierdzenia 1.MoczbioruXoznaczamyprzez X lub#x. 2. Funkcja signum jest określona na R następująco 1, gdya<0, sgn(a):= 0, a=0, 1, gdya>0. Ponadto przyjmujemy oznaczenia: P = zbiórliczbpierwszych = {2,3,5,...}, N = zbiórliczbnaturalnych = {1,2,...}, N 0 = zbiórliczbnaturalnychzzerem = {0,1,2,...}, Z = zbiórliczbcałkowitych, Z = Z\{0} Q = zbiórliczbwymiernych, Q = Q\{0} R = zbiórliczbrzeczywistych, R = R\{0} C = zbiórliczbzespolonych, C = C\{0}. iii

Rozdział 1 Podstawy teorii liczb 1.1 Podzielność w Z Definicja1.1.1(podzielnośćwZ).Niecha,b Z.Mówimy,żebdzielia(lubinaczejb jestdzielnikiema)gdyistniejec Z:a=bc. Oznaczenie: b a. Uwaga1.1.2(własnościpodzielnościwZ).Niecha,b,c,m,n-liczbycałkowite.Wtedy: (a) 1 a, a 0, (b)jeśli0 a,toa=0, (c)relacjapodzielnościna Z jestzwrotnaiprzechodnia, (d)(b aia b)wtedyitylkowtedy,gdy a = b, (e)jeślic a,c b,toc (am+nb), (f)jeślia bib 0,to1 a b. Twierdzenie 1.1.3(algorytm dzielenia z resztą). Niech a, b- liczby całkowite, b 0. Wtedyistniejepara(q,r) Z Z: (1)a=bq+r, (2) r < b. Liczbę q nazywamy wynikiem dzielenia zaś r resztą z dzielenia. Twierdzenie 1.1.4(algorytm dzielenia z resztą- wersja B). Niech a, b- liczby całkowite, b 0.Wtedy: ( )istniejedokładniejednapara(q,r) Z Ztaka,że: (1)a=bq+r, (2)0 r< b. ( )jeślidodatkowob a,toistniejądokładniedwiepary(q,r)takie,że (1)a=bq+r, (2) r < b. Dowód. Udowodnimy pierwszą część twierdzenia 1.1.4(wynika z niej natychmiast tw. 1.1.3). Istnienie reszty NiechS:={a kb,k Z,a kb 0}-jesttoniepustypodzbiór N 0,wobectegomaon elementnajmniejszy,(??)któryoznaczymyjakor.elementtenjestwięcpostacir=a qb dlapewnegoqcałkowitegoiautomatyczniespełnianierówność:0 roraza=qb+r. 1

2 Podstawy teorii liczb Pozostajejedyniepytanie,czyr< b.udowodnimytęczęśćniewprost.gdybyr b, tor b 0orazr b =a qb b =a (q+sgn(b))b,więcr b Sorazr b <r, (skorob 0to b toconajmniej1),sprzecznośćzwyboremr. Jednoznaczność reszty nieujemnej Przypuśćmy,(dladowoduniewprost)żea=bq 1 +r 1 =bq 2 +r 2,0 r 1 < b,0 r 2 < b iniechnp.r 1 <r 2,czyliq 1 q 2 0.Wtedyb(q 1 q 2 )=r 2 r 1 imamy: b b q 1 q 2 = r 2 r 1 =(r 2 r 1 )< b sprzeczność. Zachęcam do udowodnienia we własnym zakresie drugiej części twierdzenia 1.1.4. 1.2 NWDiNWWwZ W szkole średniej spotkaliśmy się z pewnością z pojęciem największego wspólnego dzielnika i najmniejszej wspólnej wielokrotności. Przypomnimy tu więc znaną definicję w wersji teorioliczbowej. Trzeba jednak pamiętać, że odpowiednie pojęcia w wersji algebraicznej definiowane będą nieco inaczej ze względu na podstawowy problem: rozważając struktury algebraiczne nie możemy na ogół mówić pojęciu najmniejszy, czy największy, musimy przy definicjach uciekać się do innych własności. Definicja 1.2.1(NWD, NWW, względna pierwszość).( ) Największym wspólnym dzielnikiemliczba 1,...,a r Z,(zakładamy,żeprzynajmniejjednazliczbjestniezerowa) nazywamynajwiększąliczbęcałkowitą,któradzieliwszystkiea 1,...,a r. 1 Oznaczenie: NWD(a 1,...,a r )(wliteraturzerównież:(a 1,...,a r )) ( )Najmniejsząwspólnąwielokrotnościąniezerowychliczbcałkowitycha 1,...,a r nazywamy najmniejszą liczbę całkowitą dodatnią, która jest podzielna przez każdą z liczb a 1,...,a r. Oznaczenie: NWW(a 1,...,a r )(wliteraturzerównież:[a 1,...,a r ]) ( )(liczbywzględniepierwsze)liczbya 1,...,a r Z,a 1 0nazywamywzględnie pierwszymi,gdynwd(a 1,...,a r )=1. Przypomnimy teraz jak można obliczać największy wspólny dzielnik. Rozważmy przypadekdwóchliczb:a,b Z.Oczywiście,jeślia Z,b=0,toNWD(a,b)= a.załóżmy więc, że obie liczby są niezerowe i przypomnijmy algorytm służący do wyliczania wówczas NWD. Choć omawiany niżej algorytm nie jest algorytmem we współczesnym sensie tego słowa, to jednak zgodnie z tradycją zachował swą nazwę: algorytm Euklidesa. Więcej o algorytmie poczytać można w aneksie C.1 Uwaga1.2.2(Algorytm). 2 Euklidesa 3 dlaliczbcałkowitych. ( 1 )Zauważmy,żestwierdzenie największa matutajsens:rozważamynaturalnyporządekwzbiorzeliczb całkowitych,zaśpotencjalnedzielnikisąograniczonezgóryprzez a i ( 2 )NazwaalgorytmpochodziodbrzmieniafragmentunazwiskaarabskiegomatematykaMuhammada ibn Musa al.-chorezmiego, którego uznaje się za prekursora metod obliczeniowych w matematyce. Żył on na przełomie VIII i IX wieku, przyczynił się do upowszechnienia systemu dziesiętnego oraz wprowadził stosowanie zera jako symbolu oznaczającego nic ( 3 )Euklides:matematykgrecki,główniedziałającywAleksandrii,(ok.364-300p.n.e.dokładnedatynie są znane), autor jednego z najbardziej znanych dzieł matematycznych: Elementy

1.2. NWDiNWWwZ 3 Ustalmydwieliczbycałkowitea,b Z.Przyjmijmy:r 1 :=a,r 0 := b. Krok 1: Zgodnie z algorytmem dzielenia z resztą(1.3.(b)( )) istnieją liczby całkowite q 1,r 1 Ztakie,że: (1)a=r 1 =q 1 b +r 1, (2)0 r 1 < r 0 = b. Jeślir 1 =0,kończymyalgorytm.Jeślir 1 0,towykonujemyKrok2. Krok2:Istniejąliczbycałkowiteq 2,r 2 Z: (1)r 0 =q 2 r 1 +r 2, (2)0 r 2 <r 1 < r 0 = b. Jeślir 2 =0,tokończymyalgorytm.Jeślir 2 0,tokontynuujemyanalogicznie. Ogólnie,mającr i 2,r i 1 takie,żer i 1 0,wykonujemykolejnykrok: Krok(i>1):Istniejąliczbycałkowiteq i,r i Z: (1)r i 2 =q i r i 1 +r i, (2)0 r i <r i 1. Zewzględunanierówności:0 r i <r i 1 istniejen(a,b) Ntakie,żer N(a,b)+1 =0ale r N(a,b) 0. LiczbęN(a,b) Nbędziemynazywaćdalejdługościąalgorytmudlaliczbaib, (długośćmożebyćrównazero,gdyb a),zaśr(a,b):=r N(a,b) wynikiemtegoalgorytmu. W tak opisanym algorytmie r(a, b) jest największym wspólnym dzielnikiem liczb a, b. Z dowodemtegofaktuzapoznaćsięmożnanp.wc.1.jesttojednakdlanaskrokpomocniczy, celem jest udowodnienie tożsamości Bacheta-Bezouta. 1.2.4 Warto w tym momencie zwrócić uwagę na jeden fakt, który znajdzie swoje uogólnienie w teorii pierścieni. Nie bez przyczyny przypominamy znany algorytm Euklidesa tak dokładnie. Przyglądając się bowiem uważnie przebiegowi algorytmu zauważymy, że reszty pojawiające sięwkażdymkrokuspełniajązależność: r i+1 < r i,słowemzakażdymrazemobniżanajest wartość funkcji dla reszty. W przyszłości będziemy chcieli prześledzić taki sam algorytm w pierścieniach(gdzie w analogii do dodawania i mnożenia liczb będziemy mieć zadane w pewien sposób dodawanie i mnożenie elementów) tzw. euklidesowych, zastępując moduł wartością pojawiającej się tam funkcji ϕ. Zauważymy wówczas, że w taki sam jak wyżej sposób będziemy mogli znaleźć NWD elementów pierścienia euklidesowego,(choć należy zwrócić uwagę na różnicę w definicji tych pojęć w sensie algebraicznym i w sensie teorioliczbowym). Studiując teorię pierścieni euklidesowych warto wrócić do dowodów przedstawianych poniżej i zauważyć, iż możemy je przeprowadzić w analogiczny sposób w sytuacji algebraicznej. Twierdzenie1.2.3.Z:a,b Z T:(1)r(a,b)=NWD(a,b), (2)Istniejąliczbyk,l Ztakie,żer(a,b)=ka+lb,(szczególnyprzypadekidentyczności Bacheta-Bezouta 1.2.4.

4 Podstawy teorii liczb Dowód. C.1 Przejdziemy teraz do wspomnianej identyczności Bezouta,(zob. C.2) Twierdzenie1.2.4(identycznośćBacheta-Bezouta).Z:a 1,...,a n Z,(conajmniejjedna z nich jest niezerowa) T:Istniejąliczbyk 1,...,k n Z: NWD(a 1,...,a n )=k 1 a 1 +...+k n a n. Dowód. Najpierw udowodnimy naszą własność dla dwóch liczb a, b z których co najmniej jednajestniezerowa.rozważmyzbiórt={ax+by: ax+by>0,x,y Z}.Oczywiście, jednazliczb±a,±bnależydonaszegozbioruboktóraśzliczba,bjestniezerowa.wobec tego zbiór ten jest niepusty, zawiera wyłącznie liczby naturalne, posiada w takim razie elementnajmniejszy,??powiedzmyd.istniejąwięcliczbyx 0,y 0 Ztakie,żed=ax 0 +by 0. Udowodnimy, że d jest poszukiwanym największym wspólnym dzielnikiem a i b. Udowodnimy najpierw, że d a. Z algorytmu dzielenia z resztą wiemy, że istnieją q, r takie,że0 r<d,żea=dq+r.wobectego r=a dq=a(1 qx 0 ) bqy 0. Jeślir>0,tor Tijesttoelementmniejszyodd,sprzeczność.Wtakimrazier=0i oznacza to, że d a. Analogicznie dowodzimy, że d b. Załóżmyteraz,że0<tjesttakąliczbącałkowitą,któradzieliiaib.Tooznacza,że a=tm,b=tn,skądd=ax 0 +by 0 =t(mx 0 +ny 0 )czylit d,wobecczegot d. Przypuśćmyteraz,żen>2itwierdzeniemamyudowodnionedlamniejniżnliczb. Wprowadźmy następujące oznaczenia: d 0 :=NWD(a 1,...,a n 1 )>0, d:=nwd(nwd(a 1,...,a n 1 ),a n )>0. Zgodniezzałożeniemindukcyjnymwiemy,żeistniejąl 1,...,l n 1,k,l Ztakie,że ( ) d 0 =l 1 a 1 +...+l n 1 a n 1, d=kd 0 +la n. Udowodnimy,żedjestnajwiększymwspólnymdzielnikiemliczba 1,...,a n,(przyokazji udowodnimy własność rekurencyjnego obliczania NWD). Zdefinicjiwynika,żeddzielid 0 oraza n.ponieważd 0 dzielikażdea i dlai=1,...,n 1,z przechodniościrelacjipodzielnościdjestwspólnymdzielnikiemwszystkichliczba 1,...,a n. Zdrugiejstronyjeśli d Njestwspólnymdzielnikiema 1,...,a n,toz( )mamy,że d d 0 atymsamymdzielid.oznaczato,że d diwobectegod=nwd(a 1,...,a n ). Jednocześnieponowniedzięki( )wiemy,żed=kd 0 +la n =k(l 1 a 1 +...+l n 1 a n 1 )+la n iprzyjmująck i :=kl i dlai=1,...,n 1ik n :=lmamytezę. Bezpośrednio, z dowodu i twierdzenia otrzymujemy kolejne wnioski.

1.3. Rozszerzenie algorytmu Euklidesa 5 Wniosek1.2.5(wnioskizBB).Z:a 1,...,a r Z, i=1,...,r:a i 0. T:(1)Liczbya 1,...,a r sąwzględniepierwszewtedyitylkowtedy,gdyistniejąliczby całkowitek 1,...,k r takie,że: ( ) 1=k 1 a 1 +...+k r a r. (2)Jeślir>2,toNWD(NWD(a 1,...,a r 1 ),a r )=NWD(a 1,...,a r ), (3)Jeśli(a,b)=1ia bc,toa c. Odnotujmy jeszcze w tym miejscu, że wyznaczanie NWD liczb całkowitych można też przeprowadzićzapomocąichrozkładunaliczbypierwsze,jeślia=sgn(a)p k 1 1... pks s zaś b=sgn(b)p l 1 1... p ls s,(zakładamy,żep i p j dlai j,k i 0orazt i =min(k i,l i )>0dla każdegoi)tonwd(a,b)=p t 1 1... p ts s. Nie wspominamy dokładniej o tej metodzie, gdyż odwołuje się ona do zasadniczego twierdzenia arytmetyki, o którym opowiemy za chwilę. Z podstawowych informacji odnotujmy na zakończenie wniosek o zależności NWD(a, b) i NWW(a,b). Wniosek1.2.6(zależnośćmiędzyNWWiNWD).Dlaliczba,b Nzachodzirówność: NWD(a, b) NWW(a, b) = ab. Dowód. C.2 Zastosowania tożsamości Bezouta: liniowe równania diofantyczne. Nazwą liniowe równanie diofantyczne określamy równanie postaci: ax+by=c gdzie a, b, c są liczbami całkowitymi, zaś poszukiwane rozwiązania też należą do Z. Bezpośrednio z identyczności Bezouta łatwo wynika wniosek dotyczący istnienia rozwiązań liniowych równań diofantycznych,(zob. C.3). Wniosek 1.2.7(istnienie rozwiązania równania diofantycznego). Liniowe równanie diofantyczneax+by=cposiadarozwiązaniewtedyitylkowtedy,gdyd=nwd(a,b) c. Oczywiście równanie takie, jeśli posiada rozwiązanie, to ma ich nieskończenie wieleznającjednoszczególne(x 0,y 0 )otrzymujemypostaćogólną:(x 0 + kb,y d 0 ka ),k Z. d 1.3 Rozszerzenie algorytmu Euklidesa Pod pojęciem rozszerzenia algorytmu Euklidesa kryje się bądź to wzbogacanie algorytmu o dodatkowe informacje jakie przy jego wykonywaniu otrzymamy, bądź też jego modyfikacje prowadzące do wniosków algebraicznych w szerszych strukturach. W tej wstępnej części omówimy najprostsze rozszerzenie: pozwalające wyliczać jednocześnie przedstawienie Bezouta liczb a i b i tym samym też często wykorzystywaną, zwłaszcza w kryptografii odwrotność modulo zadanej liczby,(o ile oczywiście taka istnieje).

6 Podstawy teorii liczb Przedstawienie NWD dwóch liczb za pomocą kombinacji liczb wyjściowych można oczywiście uzyskać wracając krok po kroku drogą wykonywanego algorytmu, ale jest to jednak dość żmudna operacja. Możemy uprościć sobie nieco tę procedurę wyrażając w każdym kroku powstałą resztę jako kombinację liczb a i b. Procedurę tę opiszemy na przykładzie: Przykład 1.3.1. Chcemy wyliczyć NWD(720, 546) oraz przedstawić je w postaci Bezouta, (tak nazywać będziemy poszukiwaną kombinację). Wypiszmy, dla przejrzystości kolejne kroki w tabeli: 720 546 720 1 0 546 0 1 Wiemyteraz,że720=1 546+174,mnożymywięcdrugiwierszprzez1iodejmujemy od pierwszego dostając: 720 546 546 0 1 174 1 1 Jak widać dostajemy przedstawienie reszty: 174 = 1 720+( 1) 546 w postaci kombinacji wyjściowych liczb. Dalej powtarzamy procedurę zgodnie z algorytmem Euklidesa i wiemy, że546=3 174+24.Ponowniewięcmnożymydrugiwierszostatniejtabeliprzez3i odejmujemy od pierwszego. 720 546 174 1 1 24 3 4 skąd24=( 13) 720+4 546.Kontynuujemybiorącpoduwagę,że174=7 24+6i otrzymamy: 720 546 24 3 4 6 22 29 Jakwidaćterazjużpowydzieleniu24przez6jakoresztęotrzymamyzero,wobectego NWD(720,546)=6iotrzymaliśmyteż:6=22 720+( 29) 546. 1.4 O liczbach pierwszych i ich własnościach Zacznijmy od przypomnienia definicji liczby pierwszej- podstawowej cegiełki budującej liczbę całkowitą. Definicja 1.4.1(liczba pierwsza). Liczbę całkowitą p Z nazywamy liczbą pierwszą, jeśli (1)p>1 oraz (2) d p, d>0 = d=1lubd=p. Zbiór wszystkich liczb pierwszych oznaczamy dalej przez P.

1.4. O liczbach pierwszych i ich własnościach 7 Każdą liczbę naturalną większą od jedynki, nie będącą liczbą pierwszą nazywamy liczbą złożoną. Pamiętajmy dalej o umowie, iż liczba jeden nie jest ani liczbą pierwszą ani też liczbą złożoną. Definicja liczby pierwszej i proste zastosowanie identyczności Bezouta prowadzi nas do następującego wniosku. Własność1.4.2(podstawowewłasnościliczbpierwszych).(1)Jeślip P,k Z,to NWD(p,k)=1lubNWD(p,k)=p. (2)Jeślip P,k 1,...,k n Z,p k 1... k n,top k i dlapewnegoi=1,...,n. Warto zaznaczyć, że 1.4.2(2) jest własnością charakteryzującą liczby pierwsze- moglibyśmy stosując tę własność wprowadzić definicję liczby pierwszej. Jest to o tyle ciekawe z naszego punktu widzenia, że w przyszłości własność braku istotnego rozkładu elementu (jaktojestwprzypadkuliczbypierwszej,gdzierozkładasięonawyłącznienailoczynp 1, względnie( p) ( 1)) oraz 1.4.2(2) okażą się być niestety nierównoważne w ogólniejszych strukturach. Doprowadzą nas one do definicji odpowiednio elementów nierozkładalnych i elementów pierwszych,(por. III). Własność1.4.2(2)wwersjidlan=2tonicinnegojakwspomnianywcześniejLemat Euklidesa, który pojawia się w VII Księdze Elementów, sformułowany dla przypadku dwóchliczb.gauss 4 wswoimdzieledisquisitionesarithmeticaewypowiadalemateuklidesa i dowodzi przy jego pomocy twierdzenie o rozkładzie liczb całkowitych na liczby pierwsze, z którego to twierdzenia bezpośrednio wynika też gaussowskie uogólnienie lematu Euklidesa. Jak się często podkreśla lemat Gaussa pojawia się już jednak wcześniej w pracy Nouveaux élémentsdemathématiques JeanaPresteta 5 zxviiwieku. Definicja, którą wprowadzimy teraz zapewne będzie lekko razić przerostem formy nad treścią. Znów wytłumaczeniem niech będą nasze przyszłe zamierzenia, gdzie słowo jedność oznaczać będzie znacznie szerszą klasę elementów niż jest to w przypadku zbioru Z. Definicja1.4.3(jednośćwZ).Jednościamiw Znazywamyliczby 1i1.Zbiórjedności w ZbędziemyoznaczaćprzezU(Z):={ 1,1}. Definicja1.4.4(rozkładjednoznaczny).Niechk Z.Mówimy,żekposiadajednoznaczny rozkład na iloczyn liczb pierwszych, jeśli (1)istniejąp 1,...,p r P,u U(Z)takie,żek=u p 1... p r, (2)dladowolnychdwóchukładówp 1,...,p r P,q 1,...,q s P,u,v U(Z)takich,że k=u p 1... p r =v q 1... q s mamyr=sorazistniejeσ-bijekcjazbioru{1,...,r}nasiebietaka,że: i {1,...,r}: p i =q σ(i). ( 4 )CarlFriedrichGauss:matematyk,fizykiastronomniemiecki,(1777-1855), książęmatematyków ( 5 )JeanPrestet:matematykfrancuski,(1648-1690)

8 Podstawy teorii liczb Twierdzenie 1.4.5(Zasadnicze twierdzenie arytmetyki). C.4 Każda niezerowa liczba całkowita, nie będąca jednością w Z posiada jednoznaczny rozkład na iloczyn liczb pierwszych. Dowód. Wystarczy oczywiście wykazać twierdzenie dla liczb naturalnych większych od jedynki. W naturalny sposób dowód rozbija się na dwie części: wykazanie istnienia rozkładu i wykazanie jego jednoznaczności. Istnienie. Indukcja względem n: dla n = 2 teza jest spełniona. Załóżmytezędlaliczbnaturalnychmtakich,że1<m<n. Jeśli n jest liczbą pierwszą, to dowód zakończony. Jeślinniejestliczbąpierwszą,ton=ab,gdzie1<a<ni1<b<nwobectegoz założenia indukcyjnego a i b są liczbami pierwszymi bądź iloczynami takich. Stąd również n jest iloczynem liczb pierwszych. Jednoznaczność Ponownie indukcja względem n. Dla n = 2 jednoznaczność rozkładu jest oczywista ze względu na pierwszość tej liczby. Gdybybowiembyłon=p 1... p r gdziep i Pir>1to2musiałabydzielićjednąz liczbp i atymsamymbyćjejrówna(wobecpierwszości).wtedydzielącobiestronyprzez 2mielibyśmy,żepozostałep j dzieląjedynkęcojestniemożliwe.wobectegor=1ip 1 =2. Zakładająctezędlaliczbmniejszychlubrównych(n 1)gdzien>2przypuśćmy,że dla n, mamy dwa rozkłady: n=p 1... p r =q 1... q s gdziep i,q j Porazp 1... p r,q 1... q s.oczywiściemożemyprzyjąć,żer>1w przeciwnym razie mamy do czynienia z liczbą pierwszą. Niechpbędzienajmniejsząliczbąpierwsządzielącąn,skądpdzielip i dlapewnegoi, (1.4.2(2))skądp=p i czylizminimalnościpmamyp=p 1,analogiczniep=q 1. Niechterazm:= n p <n.wobectegomamyrozkład: m=p 2... p r =q 2... q s. Zzałożeniaindukcyjnegootrzymujemyr=siistniejebijekcja σzbioru{2,...,n}na siebie,(permutacjategozbioru)taka,że i {2,...,r}p i =q σ(i).przyjmującσ(1)=1, σ(i)= σ(i),dlai>1otrzymujemyposzukiwanąpermutacjęzbioru{1,...,n}. Twierdzenie 1.4.6(Euklides). Istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych. Dowód.Przypuśćmydladowoduniewprost,żeP={p 1,...,p r }. Przyjmijmym:=p 1... p r +1.Żadnep i niedzieliliczbym,(wprzeciwnymrazie dzieliłoby jedynkę). Niech p będzie liczbą pierwszą dzielącą m,(taka istnieje na mocy 1.4.5). Wobectegop/ Pipjestliczbąpierwszą,coprowadzidosprzeczności. W tej chwili istnieje całe multum dowodów nieskończoności zbioru wszystkich liczb pierwszych. Zaprezentowany powyżej dowód, w dość podobnej wersji jak w Elementach jest

1.5. Kongruencje i ich własności, twierdzenie chińskie o resztach 9 uznawany za pierwszy zapisany dowód przeprowadzony metodą niewprost i choćby z tego powodu jest tym dowodem, z którym warto się zapoznać. Liczby pierwsze obecnie to punkt wyjścia do analizy całego bogactwa problemów nie tylko stricte teorioliczbowych, o których nie sposób opowiedzieć w kilku słowach. Wspomnieć jednak wypada o wciąż udoskonalanych testach pierwszości, których celem jest zbadanie pierwszości zadanej liczby,(nie zaś jej rozkład na liczby pierwsze co jest zagadnieniem znacznie trudniejszym).jużwokolicach200p.n.e.greckimatematykeratosthenes 6 wprowadziłmetodę wyznaczania liczb pierwszych nie większych od ustalonej liczby n zwaną odtąd sitem Eratosthenesa. Jej działanie jest niezwykle proste- wypisujemy wszystkie liczby od 2 do n następnie zakreślamy 2 jako liczbę pierwszą i wykreślamy jej wszystkie wielokrotności. Potem zakreślamy pierwszą pozostałą liczbę i wykreślamy wszystkie jej wielokrotności i tak kontynuujemyażniema nietkniętych liczbmniejszychlubrównychod n.wtensposób otrzymamy tablicę liczb pierwszych nie większych od liczby wyjściowej. Obecne, o wiele bardziej zaawansowane metody testowania pierwszości dzielą się na dwa rodzaje: testy deterministyczne i probablistyczne. Do tych pierwszych zaliczyć można m.in. testlucasa-lehmera, 7 (przyużyciutegotestuznaleziononajwiększeliczbypierwsze,test dotyczybadaniapierwszościtzw.liczbmersenne a) 8,czyniektóretestyopartenakrzywych eliptycznych. Testy probablistyczne, choć nie pozwalają na zdecydowanie z pewnością, czy dana liczba jest pierwsza mają tę przewagę, że zwykle są dużo szybsze od testów deterministycznych. Liczby, którym udaje się przejść pozytywnie test probablistyczny, ale mimo to okazują się być jednak liczbami złożonymi znane są w kontekście liczb pseudopierwszych. Istnieje wiele różnych rodzajów takich liczb, z których bodaj najbardziej znane to liczby pseudopierwsze Fermata, które mimo iż pozostają liczbami złożonymi to spełniają założenia Małego Twierdzenia Fermata, o którym opowiemy dalej. Przy okazji testów probablistycznych wypada wspomnieć o dwóch testach: teście Rabina-Millera, który jest wyjątkowo efektywnym testem probablistycznym oraz o tzw. teście AKS(od nazwisk twórców: Manindra Agrawala, Neeraja Kayala i Nitina Saxena, 2002), który to test deterministyczny sprawdza pierwszość zadanej liczby w czasie wielomianowym, słowem jego czas działania jest ograniczony za pomocą zależności wielomianowej od rozmiaru danych wejściowych. Do czasu pojawienia się tego testu zasadniczo nie było dowodu na to, iż test pierwszości zadanej liczby jest problemem rozwiązywalnym w czasie wielomianowym mimo, iż uważano że taka możliwość istnieje. 1.5 Kongruencje i ich własności, twierdzenie chińskie oresztach Na pierwszej stronie swego dzieła Disquisitiones Arithmeticae Gauss wprowadza pojęcie kongruencji, czyli jak to określać będziemy dalej przystawania. Dzięki zastosowaniu tej notacji wiele własności i twierdzeń otrzymało prostszą postać, ale też znacznie ułatwiło to ( 6 )Eratosthenes:greckimatematyk,poeta,geograf,astronomifilozof(276-194p.n.e.) ( 7 )EdouardLucas,matematykfrancuski1842-1891,DerrickHenryLehmer,matematykamerykański, 1905-1991 ( 8 )LiczbyMersenne a:liczbypostaci2 p 1,gdziepjestliczbąpierwszą,nazwanetaknacześćmatematyka francuskiego Marina Mersenne a, autora pierwszej tablicy liczb pierwszych tego typu,(niestety zawierającą błędy)- Marin Mersenne: matematyk, filozof i teolog francuski,(1588-1648)

10 Podstawy teorii liczb przeprowadzanie wielu operacji matematycznych. Definicja 1.5.1(relacja przystawania modulo). Niech m N. Mówimy, że liczby całkowite k,lprzystająmodulom,gdym (k l). Oznaczenie: k l(mod m). Liczbę m nazywa się modułem kongruencji. Uwaga 1.5.2. Relacja przystawania modulo m jest relacją równoważności w zbiorze liczb całkowitych. Klasęrównoważnościliczbyk Zwrelacjimodulomoznaczamy[k] m zaśzbiórwszystkichklasrównoważnościwrelacjimodulomoznaczamy Z m. Częstozapisujemypoprostu Z m ={0,...,m 1}mającnamyślizakażdymrazem klasę równoważności reprezentowaną przez daną liczbę,(na podstawie algorytmu dzielenia zresztąwiemy,żeliczby0,...,m 1wyczerpująwszystkieklasyrównoważności). Pierwsza bardzo istotna dla dalszego ciągu uwaga, to fakt, że relacja przystawania modulo, jak łatwo sprawdzić jest zgodna z działaniami dodawania i mnożenia, co pozwoli dalej określićpoprawnietakiewłaśniedziałanianazbiorze Z m.konkretniemówiąnamotym własności 1.5.3 Własność1.5.3(podstawowewłasnościkongruencji).Z:n N,k,l,k,l Ztakie,że k k (modn)il l (modn). T:(1)k±l k ±l (modn), (2)kl k l (modn). Dowód. Ćwiczenie. Kolejny zestaw podstawowych własności kongruencji będziemy wykorzystywać dalej m.in. w rozwiązywaniu układów równań kongruencyjnych. Własności te łatwo wynikają z zastosowania zasadniczego twierdzenia arytmetyki 1.4.5 lub np. tożsamości Bezouta. 1.2.4 Własność1.5.4(własnościkongruencji).(1)Jeślik,l Z,m Z takie,żem klorazm i k są względnie pierwsze, to m l. (lemat Gaussa) (2)Jeślia,m N,k,l Ztoak al(modam) k l(modm), (3)Jeślim N,a,k,l Ztakie,żeNWD(a,m)=1,toak al(modm) k l(modm). (4)Jeślia 1,...,a r Z,k Zwzględniepierwszaza i dlai=1,...,r,tokjestwzględnie pierwszaziloczynema 1... a r. (5)Jeślim 1,...,m r Z -paramiwzględniepierwsze,k Ztaka,żem i kdlakażdego i=1,...,r,tom 1... m r k. Dowód. Ćwiczenie.

1.5. Kongruencje i ich własności, twierdzenie chińskie o resztach 11 Przejdziemy teraz do rozważania równań oraz układów równań kongruencyjnych. Łatwo sprawdzić kiedy jedno równanie postaci ax b(mod m) posiada rozwiązanie całkowite- warunkiem koniecznym i wystarczającym na podstawie tożsamości Bezouta jest, aby NWD(a, m) b. Własność 1.5.5(rozwiązanie kongruencji liniowej). Niech a, b Z, m N. Wtedy istnieje rozwiązanie kongruencji ax b(mod m) wtedy i tylko wtedy, gdy NWD(a, m) b. Dowód. Zauważmy, że istnienie rozwiązania naszej kongruencji jest równoważne temu, że istniejex Ztakie,żem ax bcozkoleijestrównoważnestwierdzeniu,iżistniejey Z takie,żeax b=myczyliax my=b. JeśliwięcNWD(a,m)niedzielibtolewastronajestpodzielnaprzezdzaśprawanie, więc nie może istnieć rozwiązanie naszej kongruncji. Z drugiej strony jeśli b = cd to wystarczy zastosować identyczność Bezouta i znaleźć α,β Ztakie,żed=αa+βm.Domnażającobiestronyprzezcdostajemyrówność: b=cαa+cβm,czylix=cαjestrozwiązaniemnaszejkongruencji. Interesować nas będzie teraz poszukiwanie rozwiązania układów równań kongruencyjnych,(liniowych). Podstawowym tutaj twierdzeniem jest wspomniane w tytule chińskie twierdzenie o resztach. Twierdzenie1.5.6(chińskieoresztach,TCR).C.5Z:m 1,...,m r N-paramiwzględnie pierwsze,k 1,...,k r Z. T:(1)Istniejel Ztakie,żel k i (modm i )dlakażdegoi=1,...,r. (2)Jeślil,l spełniają(1),tol l (modm)gdziem=m 1... m r. Dowód.Niechm:=m 1... m r orazs i := m m i.wtedys i jestiloczynemliczbm j dlaj i wobectegojestiloczynemliczbwzględniepierwszychzm i.z1.5.4(4)wynika,żerównież m i is i sąwzględniepierwsze.wobectegoistniejąa 1,...,a r,b 1,...,b r Ztakie,że a i m i +b i s i =1 dla i=1,...,r. Określmyterazl:=k 1 (b 1 s 1 )+...+k r (b r s r ).Wykażemy,żetakiewłaśnielspełniawarunki tezy. Ustalmyi 0 {1,...,r}.Wtedy l k i0 =k 1 (b 1 s 1 )+...+k i0 (b i0 s i0 1)+...+k r (b r s r ). Alem i0 a i0 m i0 =1 b i0 s i0 orazs i dlai i 0 sąpodzielneprzezm i0 czylil k i0 (modm i0 ), czego oczekiwaliśmy. Niechterazl spełniarównieżtękongruencję,tooznacza,żel ljestpodzielneprzez każdem i.wobectegoz1.5.4(5)wynika,żel ljestpodzielneprzeziloczynm 1... m r i mamy tezę. Zauważmy przy okazji, że dowód twierdzenia chińskiego o resztach dostarcza nam konkretnego algorytmu znajdowania rozwiązania układu kongruencji.

12 Podstawy teorii liczb Przykład zastosowania TCR: Rozwiązać układ kongruencji: x 2(mod3) x 3(mod5) x 1(mod7) Podać rozwiązanie ogólne oraz znaleźć najmniejszą liczbę naturalną będącą rozwiązaniem szczególnym. Co zrobić, gdy moduły kongruencji nie są parami względnie pierwsze? Oczywiście zawsze można sprowadzić układ do sytuacji, gdy moduły kongruencji są potęgami liczb pierwszych, a następnie pozbyć się zbędnych potęg,(o ile oczywiście układ otrzymany nie okazuje się sprzeczny). Można też stosować metody, które pozwalają na rozwiązywanie takich układów bez ich wcześniejszego sprowadzania do sytuacji parami względnie pierwszych modułów kongruencji. Przykład1.5.7. x 7(mod8) x 9(mod10) x 14(mod15) Układ ten jest równoważny układowi x 7(mod8) x 4(mod5) x 2(mod3) Możemy też startowy układ,(bez jego równoważnego przekształcania) rozwiązać następująco:x=7+8k,czyli7+8k 9(mod10)skąd8k 2(mod10)codaje4k 1(mod5). Mnożymyobiestronykongruencjiprzez4imamyk 4(mod5),skądk=4+5li x=39+40l.podstawiamydoostatniegorównaniaidostajemy39+40l 14(mod15), skąd10l 5(mod5)cojestrównoważne2l 1(mod3).Mnożącprzez2mamywreszcie l=2+3siostateczniex=119+120s,s Z. Oczywiście w przypadku tego akurat układu łatwo zgadnąć jedno z rozwiązań, ale nie zawsze jest to od razu możliwe:) 1.6 Funkcja Eulera, jej własności i zastosowania Zaczniemy od zapoznania się z najważniejszą dla naszych dalszych zastosowań,(w szczególności w teorii grup oraz w wykorzystaniu dalej m.in. w teorii ciał, teorii Galois) funkcją arytmetyczną 9.Funkcjętęmożnadefiniowaćnaróżnesposoby,alepostawimytustandardową definicję teorioliczbową. Definicja1.6.1(funkcjaEulera).Niechϕ:N Nbędziefunkcją przypisującą liczbie n liczbę względnie pierwszych z nią liczb całkowitych k [0,n).FunkcjęϕnazywamyfunkcjąEulera. ( 9 )funkcjaodziedzinie Niwartościachzespolonych

1.6. Funkcja Eulera, jej własności i zastosowania 13 Własność 1.6.2(podstawowe własności funkcji Eulera).(1) ϕ(1) = 1,(zero jest względnie pierwsze z jedynką). (2)Niechp-liczbapierwsza.Wtedy:ϕ(p)=p 1=p(1 1 p ),(tylkozeroniejest względnie pierwsze z p). (3)Niechp-liczbapierwsza,k N.Wtedyϕ(p k )=p k p k 1 =p k (1 1 p ),gdyżmamy p k 1 liczbcałkowitychtakich,że0 l<p k,któresąpodzielneprzezp. Udowodnimy teraz, że funkcja ϕ jest funkcją multliplikatywną(uwaga: nie jest to funkcja całkowicie multiplikatywna- tzn. jej multiplikatywność ogranicza się do względnie pierwszych argumentów, takie rozróżnienie w teorii liczb jest bardzo ważne). W dowodzie wykorzystamy twierdzenie chińskie o resztach. Twierdzenie 1.6.3(multiplikatywność funkcji Eulera). Z: m, n N- względnie pierwsze. T: ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n). Dowód.NiechI:={k [0,m): NWD(k,m)=1}, J:={l [0,n): NWD(l,n)=1} A:={s [0,m n): NWD(s,m n)=1}. Wtedy oczywiście#(i J) = ϕ(m)ϕ(n), zaś #(A) = ϕ(mn). Skonstruujemy bijekcję międzyzbioramii JiA. Zgodnieztwierdzeniemchińskimoresztachdladowolnejparyliczb(k,l) I Jistnieje dokładniejednaliczbaz k,l taka,że0 z k,l <mnoraz { z k,l k(modm) z k,l l(modn) (jedynośćwynikazżądania,aby0 z k,l <mn).liczbatajestwzględniepierwszazm(bo kbyła)orazzn(bolbyła)stądjestwzględniepierwszazmn. Mamy więc dobrze określone odwzorowanie: Φ:I J (k,l) z k,l A. (1) Φ jest injekcją. Niechbowiemz k,l =z k,l inaprzykład0 k<k <m.wtedym (z k,l k)im (z k,l k ) skądm (k k),coprowadzidosprzeczności. (2) Φ jest surjekcją. Jeślibowiemz A,toz=Φ(k,l)gdziek:=z(modm)zaśl:=z(modn).Łatwo sprawdzić,że(k,l) I J. Wobectegoϕ(m)ϕ(n)=#(I) #(J)=#(I J)=#(A)=ϕ(mn). Wniosek1.6.4.ϕ(n)=n ( ) 1 1,dladowolnegon N. p p n, p P

14 Podstawy teorii liczb 1.7 Małe twierdzenie Fermata i twierdzenie Eulera Zaczniemy od sformułowania tzw. Małego Twierdzenia Fermata, którego w tym momencie dowodzić nie będziemy, ale któremu(wraz z wybranymi dowodami) poświęcimy osobną opowieść w aneksie. W tej chwili wykorzystamy fakt, że dziś możemy na niego patrzeć jak na wniosek z ogólniejszego twierdzenia Eulera, choć historycznie rzecz ujmując to MTF było pierwszą udowodnioną własnością. Więcej o tym małym wielkim twierdzeniu poczytać można w rozdziale C.6 Twierdzenie 1.7.1(Małe twierdzenie Fermata=MTF). Jeśli p- liczba pierwsza, k Z to (1)Jeślikjestwzgędniepierwszazp,tok p 1 1(modp) (2)k p k(modp). Uogólnieniem powyższej własności jest następne Twierdzenie Eulera(nazywane też Twierdzeniem Eulera-Fermata), które wykorzystuje wprowadzone wcześniej pojęcie funkcji Eulera. Twierdzenie1.7.2(TwierdzenieEulera).Jeślim N,k Z-względniepierwszazm, tok ϕ(m) 1(modm). Dowód.Jesttooczywistegdym=1,wobectegozałóżmy,żem>1. NiechI:={j [0,m): NWD(j,m)=1}.Wówczas#I=ϕ(m). Jeślijjestliczbąwzględniepierwszązm,totakżekjmatęwłasność.Dlakażdego j Iistnieje0 r j <mtakie,żekj=mq j +r j,dlapewnegoq j.oczywiścieztejrówności wynika,żer j I.Zauważmy,że I j r j I jestbijekcją.istotniedlai<jzezbioruiresztyr i,r j musząbyćróżne,gdyżwprzeciwnym wypadkuk(j i)=m(q j q i ),czylik(j i)byłobypodzielneprzezm-sprzeczność. Wobectegoz= j= j ijesttoliczbawzględniepierwszazm.otrzymujemyw j I j Ir tensposóbukładϕ(m)kongruencjikj r j (modm). Mnożącstronamikongruencjekj r j (modm)dlawszystkichj Idostajemy: k ϕ(m) z z(modp) gdzie z jest iloczynem wszystkich liczb całkowitych z I. Ale z jest względnie pierwsza z m, skądzwłasnościkongruencjimamyk ϕ(m) 1(modm). Jak widać, jeśli m jest liczbą pierwszą jak w Twierdzeniu Fermata, dostajemy dokładnie tezętegotwierdzenia,gdyżϕ(m)wtedyjestrównem 1.

Rozdział 2 Działania i ich własności Definicja2.0.3(działanie).NiechXbędziezbioremniepustym,zaśX X:={(x,y): x X, y X} iloczynem kartezjańskim tego zbioru przez siebie. Każde odwzorowanie przypisująceparzeelementówzx,(czylielementowizx X)elementzX: nazywamy działaniemnazbiorzex.( 1 ) :X X (x,y) x y X Przykład2.0.4. (i) R R (x,y) x y Rjestdziałaniemnazbiorzeliczbrzeczywistych,(iloczyn liczb rzeczywistych jest liczbą rzeczywistą) (ii) N N (x,y) x y ZNIEjestdziałaniemnazbiorze Ngdyżmożeparzeliczb naturalnych przypisać liczbę ujemną. Definicja2.0.5(rodzajedziałań).Niech :X X (x,y) x y Xbędziedziałaniem na zbiorze X. (i)działanie nazywamy łącznymgdy x,y,z X: (x y) z=x (y z) (ii)działanie nazywamy przemiennymgdy x,y X: x y=y x (iii)elemente Xnazywamyelementemneutralnymdziałania gdy x X: x e=e x=x( 2 ) (iv)jeślidladziałania istniejeelementneutralnye,todladowolnegox Xelementx nazywamy elementem symetrycznym do elementu x względem działania jeśli x x=x x=e,( 3 ) (v)jeślinazbiorzexzadanesądwadziałania: oraz todziałanie nazywamy rozdzielnym względem działania gdy: x,y,z X: (x y) z=(x z) (y z)iz (x y)=(z x) (z y) ( 1 )czasemfakt,żeparapunktówzxprzechodzinapunktzxnazywasięwewnętrznościądziałania ( 2 )uwaga:elementneutralnyniezawszemusiistnieć,np.wnnieistniejeelementneutralnydodawania ( 3 )uwaga:elementsymetrycznymożedlapewnychelementówistnieć,dlainnychnienp.wzbiorze Zz działaniem mnożenia dla 1 element symetryczny istnieje ale nie istnieje np. dla 2 15

16 Działania i ich własności 2.1 Podstawowe przykłady działań I. Kanoniczne przykłady liczbowe (1) Działania dodawania wprowadzone na zbiorach N, Z, Q, R, C. (2)Działaniamnożeniawprowadzonenazbiorach Z, Q, R, C. II. Działania w zbiorach macierzy Bardzo ważnym typem działania jest działanie mnożenia w tzw. zbiorach macierzy. Będziemy rozważać dwa podstawowe działania na macierzach, które znają Państwo z algebry liniowej. Najczęściej pracować będziemy z macierzami o wartościach liczbowych,(tzn. całkowitych, wymiernych, rzeczywistych lub zespolonych). Zbiór wszystkim macierzy kwadratowych wymiaru n nad pewnym zbiorem liczbowym A będziemyoznaczaćprzezm n (A).Nazbiorzetymrozważaćbędziemydziałaniedodawania macierzy. Zbiórwszystkichmacierzynieosobliwych 4 wymiarunnadpewnymzbioremliczbowym AoznaczaćbędziemyGL n (A).Wzbiorzetymrozważaćbędziemydziałaniemnożeniamacierzy. III. Zbiory odwzorowań i działania na nich Definicja2.1.1(permutacjezbioru).JeśliXjestzbioremniepustym,zaśf:X Xjest bijekcją zbioru X na samego siebie to odwzorowanie takie będziemy nazywać permutacją zbioru X. Zbiór wszystkich permutacji zbioru X będziemy oznaczać przez S(X). Szczególnym przypadkiem permutacji są permutacje zbioru skończonego. Definicja 2.1.2(permutacje). Rozważmy zbiór n-elementowy:{1, 2,..., n}. Każde odwzorowanie tego zbioru przypisujące jego elementowi dokładnie jeden element tego zbioru nazywać będziemy permutacją zbioru {1,..., n} i zwyczajowo oznaczać będziemy takie odwzorowania przez greckie literki np. σ Każde z takich odwozorowań oznaczać będziemy dalej następująco: ( ) 1 2... n σ= σ(1) σ(2)... σ(n) gdzieoznaczenietomówi,żenaszeodwzorowanieσprzeprowadza1naσ(1),2naσ(2)itd. ażdonnaσ(n). Zbiór permutacji zbioru X będziemy zawsze rozważać z działaniem składania tzn. g f:=g f. Zbiórwszystkichpermutacjizbioru{1,...,n}będziemydalejoznaczaćprzezS n. ( 4 )Pamiętamy,żemacierznieosobliwatomacierzowyznacznikuróżnymodzera

2.1. Podstawowe przykłady działań 17 Tabela działania na zbiorze Częstym sposobem zapisu działania na zbiorze skończonym jest tabela tego działania- tzw. tabliczka Cayleya. Arthur Cayley- matematyk i prawnik angielski(1821-1895) znany m.in. z prac na temat teorii grup, o której zaczniemy mówić na kolejnym wykładzie. Od niego pochodzi m.in. dowód faktu, że każda grupa(zbiór z działaniem łącznym, dla którego istnieje element neutralny i każdy z elementów posiada symetryczny) może być traktowana jako część grupy permutacji. Ułóżmy dla przykładu tabelę działania w grupie permutacji: Tabela działania składania/mnożenia permutacji ( 3 elementowych ) 1 2 3 S 3 = {σ 1,σ 2,...,σ 6 } gdzie σ 1 = id, σ 2 =, σ 2 1 3 3 = ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3,σ 3 2 1 4 =,σ 1 3 2 5 =,σ 3 1 2 6 = 2 3 1 σ 1 σ 2 σ 3 σ 4 σ 5 σ 6 σ 1 σ 1 σ 2 σ 3 σ 4 σ 5 σ 6 σ 2 σ 2 σ 1 σ 5 σ 6 σ 3 σ 4 σ 3 σ 3 σ 6 σ 1 σ 5 σ 4 σ 2 σ 4 σ 4 σ 5 σ 6 σ 1 σ 2 σ 3 σ 5 σ 5 σ 4 σ 2 σ 3 σ 6 σ 1 σ 6 σ 6 σ 3 σ 4 σ 2 σ 1 σ 5 IV. Kongruencje i działania modulo Definicja2.1.3(zbiórresztmodulo).Niechm N,k Z.Zbiórtakichliczbcałkowitych lktóredajątęsamąresztęzdzieleniaprzezmjakliczbak,(inaczej:l k(modm)) nazywamy klasąrównoważnościliczbykmodulomioznaczaćjąbędziemydalej[l] m. Zbiórwszystkichtakichklasoznaczamy Z m. Uwaga2.1.4(uwaginotacyjne). (i)każdyzezbiorów Z m jestm-elementowyjako,że mamymróżnychresztzdzieleniaprzezm. (ii)częstopiszemy Z m ={0,1,2,...,m 1}zamiast Z m ={[0] m,[1] m,...,[m 1] m }- pamiętaćjednaknależy,żewtedyoznaczenie 0 mówi,żemamynamyśliwszystkie liczby podzielne przez m itd. Nazbiorze Z m będziemywprowadzaćdwadziałania:dodawaniaimnożenia. Definicja2.1.5. (i)dla[k] m,[l] m Z m definiujemy:[k] m +[l] m :=[k+l] m (ii)dla[k m ],[l] m Z definiujemy:[k] m [l] m :=[k l] m Uwaga 2.1.6. Zauważmy, że działania wykonujemy więc w ten sposób, że dodajemy/mnożymy zadane liczby i potem bierzemy resztę z dzielenia wyniku przez m. Powyższa definicja

18 Działania i ich własności działańwz m masens,tzn.jeśliweźmiemyliczbyreprezentującetesameklasyzz m to wynik działania będzie taki sam- jak wiemy to z części poświęconej teorii liczb. Zobaczmy to na przykładzie: [3] 5 =[8] 5,[2] 5 =[12] 5 -gdywymnożymymamy:[3] 5 [2] 5 =[6] 5 =[1] 5 ianalogicznie [8] 5 [12] 5 =[96] 5 =[1] 5. ( )Tabeladziałaniamnożeniamodulo5wZ 5 ={1,2,3,4} 1 2 3 4 1 1 2 3 4 2 2 4 1 3 3 3 1 4 2 4 4 3 2 1 Ćwiczenia do części 2 (pytania o własności działań dotyczą własności z def. 2.0.5) Ćwiczenie 2.1. Sprawdzić, które z poniższych odwzorowań są działaniami na zbiorze X. W przypadku gdy jest to działanie sprawdzić jakie własności spełnia. (1)X= R,x y:= x y x 2 +y 2, (2)X= Z,m n:=(m+n)/2, (3)X= Z,m n:=1, (4)X= Q, a b c d :=2ad+3bc. bd Ćwiczenie 2.2. W przypadku poniższych działań sprawdzić, czy są one łączne, przemienne, posiadają w podanych zbiorach element neutralny, a w przypadku gdy tak jest czy każdy z elementów posiada element symetryczny: (1)x y:=yna R, (2)m n:=3 mn na N, (3)x y:=2x 2y+6na R\{2}. (4)x y:= y x na Q+. Ćwiczenie2.3.NiechT:={A M 2 (R): A= [ a 0 0 0 (a) sprawdzić, że mnożenie macierzy jest działaniem na T, ],dlapewnegoa R}. (b)wykazać,żemnożeniemacierzywm 2 (R)niejestprzemiennealedziałanietojest przemiennenat, (c) sprawdzić, czy w obu zbiorach istnieją elementy neutralne względem mnożenia. Ćwiczenie 2.4. Sprawdzić, które własności działania zachodzą dla zbioru funkcji X = {f a,b (x)=ax+b,a R,b R}zdziałaniemskładaniafunkcjitzn.(f g)(x)=f(g(x)).

2.1. Podstawowe przykłady działań 19 Ćwiczenie2.5.Sprawdzićdlajakichn NdziałanieskładaniapermutacjiwzbiorzeS n jest przemienne. Ćwiczenie 2.6. Niech P będzie zbiorem wszystkich odwzorowań ze zbioru Z w Z. Na zbiorzepokreślimydwadziałania:dodawaniaodwzorowań-(f+g)(x):=f(x)+g(x) oraz składania odwzorowań-(f g)(x):= f(g(x)). Sprawdzić, czy zachodzi tu rozdzielność dodawania względem składania. Ćwiczenie2.7.Wzbiorze Z[i]={a+bi, a,b Z}wprowadzamydwadziałania: dodawanie i mnożenie liczb zespolonych. Sprawdzić, które z własności spełniają te działania. Wyznaczyć wszystkie elementy, które posiadają element symetryczny względem mnożenia. Ćwiczenie 2.8. Sprawdzić, które własności działania zachodzą dla dodawania modulo mwz m orazktórewłasnościdziałaniamnożeniamodulomzachodządladowolnego Z m oraz osobno w przypadku gdy m jest liczbą pierwszą(tzn. jedynymi jej podzielnikami są m i1). Ćwiczenie2.9.Rozważmyzbiórwektorów: R 3 :={(a,b,c): a,b,c R}.Nazbiorze tym określimy mnożenie wektorów w następujący sposób(iloczyn wektorowy): ( [ ] [ ] [ ]) v2 v (v 1,v 2,v 3 ) (w 1,w 2,w 3 ):= det 3 v1 v, det 3 v1 v,det 2 w 2 w 3 w 1 w 3 w 1 w 2 Takokreślonedziałaniena R 3 nazywamyiloczynemwektorowym-jegoefektemjest wektor prostopadły do obu wyjściowych wektorów. Sprawdzić, czy jest to działanie łączne i czy jest to działanie przemienne. Ćwiczenie 2.10.(a) Udowodnić, że jeśli dane działanie jest łączne i posiada element neutralny, to element ten jest jedyny. (b) Udowodnić, że jeśli dane działanie jest łączne, posiada element neutralny zaś element x posiada element symetryczny to element ten jest jedyny.

Rozdział 3 Elementy teorii grup Korzeni teorii grup doszukiwać się należy bardzo głęboko w rozwoju relacji między pojęciami klasycznej algebry, arytmetyki i geometrii- do powstania podstaw pojęcia grupy doprowadziły w dużej mierze próby znalezienia wspólnego opisu własności teorioliczbowych i geometrycznych. Te dwa elementy, wspierane bodźcem poszukiwania rozwiązań równań wyższych stopni zostały w końcu sprowadzone do wspólnej płaszczyzny tworząc zręby m.in. języka teorii grup. Postęp czyniony w badaniach geometrii nieeuklidesowych, dalej prace Gaussa, Eulera,Lagrange a( 1 )iwieluinnychnadrozwiązalnościąrównaństopniaconajmniej5legły upodstawbadańgalois( 2 )iabela.( 3 )Odczasutychdwóchmatematykówcałepokolenia następców podejmowały idee przez nich zapoczątkowane rozwijając teorię grup i ciał- by wspomniećdedekinda,( 4 )Kroneckera,( 5 )Jordana,( 6 )...Tooniwzbogaciliwprowadzane wcześniej pojęcia i stosowali już teorię grup w mniej lub bardziej znanej nam dziś formie. Konkretny wkład każdego z nich(albo większości) poznamy w dalszym ciągu wykładu. W przeciągu wieków pojęcie grupy przeszło długą ewolucję zanim nabrało współczesnego kształtu, a i dziś możliwe są dwa różne podejścia do charakteryzacji struktury grupowej. Myoprzemysięnaaksjomatycznympojęciugrupy.( 7 ) ( 1 )JosephLouisLagrange-matematykiastronomwłoskiegopochodzenia,pracującygłównieweFrancji, (1736-1813) ( 2 )EvaristeGalois:matematykfrancuski, Mozartmatematyki,zginąłmajączaledwie21lat,(1811-1832) pozostawiając po sobie ogromny wkład w rozwój teorii grup i nowoczesnej teorii równań algebraicznych ( 3 )NielsHenrikAbel-matematyknorweski(1802-1829) ( 4 )JuliusWilhelmRichardDedekind-matematykniemiecki,(1831-1916) ( 5 )LeopoldKronecker-matematykniemiecki(1823-1891) ( 6 )MarieEddemondCamilleJordan-matematykfrancuski,(1838-1922) ( 7 )Pojęciegrupy,jeszczenienazwane,wystąpiłoporazpierwszyuLagrange a(grupapermutacjinelementów). W swoim Disquisitiones Gauss wykorzystuje grupę addytywną i multiplikatywną pierścienia reszt modulo m, bada też grupy klas form kwadratowych. Dość często autorstwo terminu grupa przypisujesięgaloistymniemniejniejesttochybadokońcapoprawne,gdyżcoprawdaużyłonwjednymze swoich rękopisów określenia groupe, ale tę samą nazwę zastosował do tego, co dziś określamy jako warstwy grupy względem podgrupy(będzie o tym mowa dalej na wykładzie), miał więc chyba bardziej na myśli po prostu zbiór niż to co my rozumiemy jako grupę, czyli zbiór z działaniem o konkretnych własnościach. Z pewnością formalnym twórcą pojęcia grupy abstrakcyjnej jest Arthur Cayley, który zdefiniował je w 1854 roku w swoim pierwszym artykule o teorii grup opublikowanym w Philosophical Magazine. Do tego czasu zajmowano się jedynie grupami permutacji n elementów. Dalej należy obecną formę pojęcia grupy wiązać z pracami Kroneckera, Burnside a, von Dycka i H.M. Webera. 20

3.1. Podstawowe definicje i przykłady 21 3.1 Podstawowe definicje i przykłady Pojęcie grupy Definicja 3.1.1(grupa). Niech G będzie zbiorem niepustym, zaś :G G (x,y) x y G działaniem(2.0.3) na G, dla którego zachodzą następujące własności: (1) jest ono łączne, (2)posiadaelementneutralnye G, (3)każdyelementx Gposiadaelementsymetrycznyx G. Wtedyparę(G, )nazywamy grupązdziałaniem.jeśliniebędzietoprowadziłodo nieporozumień będziemy często pisali po prostu grupa G zamiast grupa(g, ). W domyśle jednak grupa jest zawsze zbiorem wraz z działaniem. Jeśli dodatkowo działanie jest przemienne grupę nazywamy przemienną lub abelową. Uwaga 3.1.2. (i) Jeśli określone na G działanie spełnia jedynie warunek łączności, to parę(g, ) nazywamy półgrupą (ii)jeśli(g, )jestpółgrupąidodatkowoistniejewgelementneutralnydziałania to (G, ) nazywamy monoidem Definicja3.1.3(rządgrupy).OgrupieGmówimy,żejestskończona,gdyzbiórGma skończoną ilość elementów. Wówczas ilość tę, czyli#g nazywamy rzędem grupy G i oznaczamy G. JeślizbiórGmanieskończonąilośćelementów,tomówimy,żeGjestgrupąorzędzie nieskończonym i piszemy: G =. Przykład3.1.4. (i) (Z,+),(Q,+),(R,+), C,+) e=0, elementsymetryczny= liczba przeciwna- grupy abelowe. (ii) (Q, ),(R, ),(C, ) e=1, elementsymetryczny=odwrotnośćliczby,-grupy abelowe z mnożeniem. (iii) Grupy reszt modulo: (Z n,+ n ),gdzie[k] n + n [l] n :=[k+l] n -grupaabelowa. (Z n, n),gdzie[k] n n[l] n :=[k l] n -grupaabelowawtedyitylkowtedy,gdyn P, (U(Z n ), n)-gruparesztmodulonliczbwzględniepierwszychzn(tzn.takich,których największy wspólny dzielnik z n jest równy 1). Wdalszejczęściwykładu,jeślibędziemymiećdoczynieniazelementamizbioru Z n to ich dodawanie i mnożenie oznaczać będziemy zwykłymi znakami: + i pamiętając o tym, że oznacza to wykonywanie tych działań modulo n.

22 Elementy teorii grup (iv)grupymacierzy:(m n (G),+)-grupamacierzykwadratowychwymiarunowspøłczynnikachzG,gdzieGoznaczagrupyaddytywne Z, Q, Rlub C,(działanie:dodawanie macierzy). JeśliF= Q,R,Cto(GL n (F), )-grupanieosobliwychmacierzykwadratowychwymiarunowspółczynnikachzf, (v) Grupy symetryczne(ogólne grupy permutacji): NiechE orazs(e):=s E :={f:e E: fbijekcja}.wtedy(s E, )jest grupą nazywaną grupą symetryczną. DlaE:={1,...,n}grupęS E oznaczamys n inazywamy grupąpermutacjinelementowych.elementygrupys n nazywamypermutacjamiizazwyczajoznaczamy małymiliteramigreckimi.( 8 ) WprzypadkugdyEjestzbioremn-elementowymgrupęS E oznaczaćbędziemyprzez S n -grupapermutacjin-elementowych. Warto pamiętać, że często pod pojęciem grupy permutacji rozumie się dowolną grupę, której elementy tworzą permutacje zadanego zbioru a działanie jest ich składaniem. (vi)grupadiedralna(dihedral( 9 ))-grupasymetriiwielokątaforemnegozdziałaniemskładania.możnaspotkaćsięzdwomanotacjamidlatejgrupy:d n orazd 2n gdzieta ostatnia związana jest z liczbą elementów grupy symetrii n-kąta foremnego,(grupa takazłożonajestznodbićin-obrotów,(wtymobrotuo360stopni-identyczność). W teorii grup używa się klasycznie dwóch notacji: multiplikatywnej i addytywnej. Działanie Element neutralny Element symetryczny Nazwa mnożenie jedynka grupy element odwrotny Oznaczenie x ylubxy 1 G lub1 x 1 Tabela 3.1: Notacja multiplikatywna. Działanie Element neutralny Element symetryczny Nazwa dodawanie zero grupy element przeciwny Oznaczenie x+y 0 G lub0 x Tabela 3.2: Notacja addytywna. Często notacja addytywna stosowana jest w przypadku, gdy grupa jest abelowa. Na wykładzie w dalszym ciągu teorii grup będziemy stosować notację multiplikatywną,(za wyjątkiem jednego rozdziału) oraz skrótowo operować wyrażeniem grupa G zamiast grupa ( 8 )TakanotacjaprzyjęłasięzaklasycznympodręcznikiemH.Wielandta,FinitePermutationGroups,Academic Press, New York, 1964 ( 9 )Dihedralgroup-określenietooznaczadokładnie grupędwuścianu

3.1. Podstawowe definicje i przykłady 23 (G, ) orazznakiemmnożenia,(częstowogólepomijanym)zamiast.nienależyjednak zapominać o tym, że grupa to zawsze zbiór z działaniem. Definicja3.1.5(iloczynstandardowy).NiechGbędziegrupą,a 1,...,a n G.Wtedy określamy iloczynelementów n a i =a 1... a n następująco: i=1 n a 1, dlan=1 ( a i =a 1... a n := n 1 a i )a n, dlan>1. i=1 Własność 3.1.6(podstawowe własności działania w grupie). Niech G będzie grupą, niech a,b,c Gorazniecha 1,...,a n G. (1) Element neutralny w G oraz element symetryczny do danego elementu są wyznaczone jednoznacznie. (2)Zachodziuogólnioneprawołączności,tzn.(a 1... a k )(a k+1... a n )=a 1... a n dla dowolnego0<k<n. i=1 (3)Zachodziwzór(a 1... a n ) 1 =a 1 n... a 1 1. (4)Zachodziprawoskracania,tzn.jeśliac=bclubca=cb,towtedya=b. (5) Jeśli dodatkowo grupa G jest przemienna, to zachodzi uogólnione prawo przemienności,tzn.a σ(1)... a σ(n) =a 1... a n dladowolnejpermutacjiσ S n. Dowód. (1)Jeślie Goraze Gsąelementamineutralnymi,toe =e e=e.jeślizaś x Goraz x Gsąelementamisymetrycznymiwzględemx G,to x= xe= x(x x)=( xx) x=e x= x. (2)Indukcjawzględemn.Gdyn=1lubn=2,totezajestoczywista,ajeślin>2,to (a 1... a k )(a k+1... a n )=(a 1... a k ) ( (a k+1... a n 1 )a n ) = ( (a 1... a k )(a k+1... a n 1 ) ) a n =(a 1... a n 1 )a n =a 1... a n. (3)Dowódindukcyjnywzględemn.Dlan=2mamy(a 1 a 2 )(a 1 2 a 1 1 )=1,czylizjedyności elementuodwrotnegomamytezę.jeślin>2oraztezajestprawdziwadlan 1,to (a 1... a n ) 1 =a 1 n(a 1... a n 1 ) 1 =a 1 n... a 1 1. (4) Wynika z łączności i istnienia elementu odwrotnego do c.

24 Elementy teorii grup (5)Dowódindukcyjnywzględemn.Dlan=2tezajestoczywista.Niechwięcn>2oraz niech1 j nbędzietakie,żeσ(j)=n.możemyzałożyć,że1<j<n(zsytuacjąj=1 lubj=nradzimysobieprosto).mamyteraz a σ(1)... a σ(n) =(a σ(1)... a σ(j 1) )a n (a σ(j+1)... a σ(n) ) =(a σ(1)... a σ(j 1) a σ(j+1)... a σ(n) )a n =(a (1)... a (n 1) )a n =(a 1... a n 1 )a n =a 1... a n, gdziepermutacja S n 1 danajestwzorem { σ(k), gdy1 k j 1, (k)= σ(k+1), gdyj k n 1. Opisowo możemy streścić powyższe rozumowanie następująco: szukamy miejsca, w którym jesta n anastępniekorzystajączłącznościiprzemiennościgrupy(bierzemyjakojeden elementa n ajakodrugiiloczyntychktórestoją zanim )przesuwamygonakoniec.do pierwszej części, która jest permutacją(n 1)-elementową stosujemy założenie indukcyjne. Warto tu znów przypomnieć fakt, o którym pisaliśmy już w notce historycznej przy okazji definicji wprowadzonej przez Webera. Mianowicie prawo skracania jest równoważne istnieniu elementu odwrotnego w przypadku gdy zbiór G jest skończony. Nie jest to trudne do wykonania ćwiczenie. Warto jednocześnie poszukać przykładu takiego monoidu nieskończonego nie będącego grupą, w którym zachodzi prawo skracania. Definicja3.1.7(potęgowanie).GdyGjestgrupą,a Gorazk Z,tookreślamy k a, gdyk>0, a k i=1 := 1, gdyk=0, (a 1 ) k, gdyk<0. Inaczejostatniąrównośćmożemyzapisaća k =(a 1 ) k dlak>0.zauważmy,żewpółgrupie możliwe jest potęgowanie z wykładnikiem > 0, natomiast w monoidzie określone są potęgiowykładniku 0. Własność3.1.8(własnościpotęg).JeśliGjestgrupą,a Gorazk,l Z,toa k a l =a k+l oraz(a k ) l =a kl. Dowód. Są to bezpośrednie wnioski z własności 3.1.6. Podgrupy Definicja3.1.9(podgrupa).Jeśli(G, )jestgrupą,topodzbiórh Gnazywamypodgrupą grupy G, gdy: