ZWIĄZKI FIZYCZN DLA MATRIAŁÓW ORTOTROPOWYCH KONFIURACJA NIOIOWA Rówaie fizcze dla rttrpwej warstw kmpztu zbrjeg włókami jedkierukwmi w płaskim staie aprężeia, w układzie iesiwm (ff-ais) Relacje trasfrmacje z kfiguracji siwej d iesiwej Macierze sztwści i pdatści w kfiguracji iesiwej kładwe macierz sztwści i pdatści w fukcji stałch iżierskich. 3.. Trasfrmacje tesrów aprężeia i dkształceia Przpmijm, że uprzedi wprwadze zstał pjęcia kfiguracji siwej i iesiwej warstw kmpztu. O tpie kfiguracji decduje ustawieie włókie, czli zarazem płżeie główch si materiałwch (, ) względem dwleg układu diesieia (, ) - rs. 3.., warstwa θ, θ kfiguracja siwa kfiguracja iesiwa (, ) główe sie materiałwe (, ) dwl układ diesieia Rs. 3.. Kfiguracja siwa i iesiwa warstw kmpztu. W kmpztach - będącch zbirem warstw dwlej rietacji względem przjęteg układu diesieia, kreślej w kdzie lamiatu kątem ddatim lub ujemm (p. płżeie warstw w prawej części rs. 3. kreśla w układzie diesieia (, ) ddati kąt θ) - isttm czikiem we wszelkich przekształceiach związach z trasfrmacjami tesrów aprężeia i dkształceia jest bardz starae pdejście d zaków tch kątów. Wprwadz w związku z tm pjęcia tzw. ddatiej i ujemej trasfrmacji tesra, związae włączie z trasfrmacjami tesrwmi i w żadm stpiu ie ależ ich traktwać jak pjęć wikającch z mechaiki kmpztów.
J. erma: MCHANIKA KOMPOZYTÓW W celu wjaśieia tch pjęć przjmijm dwa dwle układ współrzędch (, ) i (, ), bróce względem siebie dwl kąt θ - pkaza t a rs. 3.. O trasfrmacji ddatiej mówim wówczas, gd brót wjściweg układu współrzędch d układu, d któreg trasfrmujem dwl tesr, astępuje przeciwie d ruchu wskazówek zegara. W przeciwm przpadku mówim trasfrmacji ujemej. Obie trasfrmacje pkaza a rs. 3.. θ θ trasfrmacja ddatia trasfrmacja ujema Rs. 3.. Ddatia i ujema trasfrmacja układu współrzędch. W mechaice kmpztów trasfrmacje te stsuje się dla tesrów dkształceia i aprężeia, a więc smetrczch tesrów II rzędu. Przpmijm, że składwe dwleg tesra a ij rzędu II, trasfrmują się prz brcie układu współrzędch zgdie z astępującą zależścią a ij α ik α jl akl (3.) gdzie α ij są elemetami macierz przejścia, a ilcz α ik α jl twrzą macierz trasfrmacją dla tesra II rzędu, prz brcie układu współrzędch. Macierze przejścia dla bu trasfrmacji mają pstaci dla trasfrmacji ddatiej m [ ] α (3.a) m dla trasfrmacji ujemej m [ α ] m (3.b) gdzie m cs θ siθ Rzpisując rówaia (3.) dla bu wmieich trasfrmacji i krzstając z pdach macierz przejścia trzmam astępujące pstaci macierz trasfrmacjch dla trasfrmacji ddatiej (3.3), a dla ujemej (3.4) m m [ T ] [ T ] m m (3.3) [ ] [ T ] m m m m m T m m (3.4) m m m
WYKŁAD -3 3 W lamiatach warstwwch, główe sie materiałwe (, ) pszczególch warstw mgą przjmwać względem dwleg układu diesieia (, ) jed z dwóch płżeń, pkazach a rs. 3.3. Dla jasści dalszch wwdów celwe jest wraźe kreśleie tch dwóch stuacji, wraz z pdaiem wzrów trasfrmacjch dla tesrów aprężeia i dkształceia. Dl ideks "" twarzsząc awiasm klamrwm zacza, że tesr aprężeia i dkształceia umieszcze w tch awiasach kreśle są w kfiguracji iesiwej tz. w ukł. (, ). Ideks "" zacza, że tesr kreśle są w kfiguracji siwej, tz. w ukł. (, ). przejście d siwej d iesiwej [ ] T (3.5) przejście d iesiwej d siwej [ ] T (3.6) przejście d siwej d iesiwej [ ] T (3.7) przejście d iesiwej d siwej [ ] T (3.8) Rs. 3.3. Rówaia trasfrmacje dla tesrów aprężeia i dkształceia. Tesr wstępujące w rówaiach (3.5) - (3.8) mają astępujące składwe (w zapisie Vigta) { } { } 6 τ ; (3.9) { } { } 6 / ; / γ 6 ; γ γ (3.0) Zauważm, że tesr dkształceia w kfiguracji siwej, wstępując w rówaiu (3.0) różi się d teg, któr wstępuje w związkach fizczch (.35) i (.36) raz dalszch rówaiach z ich wikającch, bwiem w związkach fizczch wstępują dkształceia kątwe (tzw. "iżierskie" dkształceia kątwe), pdczas gd w (3.0) "tesrwe" dkształceia kątwe. W celu ujedliceia tacji wgdie jest skrzstać z astępującch relacji { } [ ]{ } { } [ ]{ } 6 R R R R γ ; (3.) gdzie [ ] 0 0 0 0 0 0 R macierz Reutera (3.) θ θ
J. erma: MCHANIKA KOMPOZYTÓW 3.. Macierz sztwści warstw w kfiguracji iesiwej Zredukwaa macierz sztwści warstw w płaskim staie aprężeia, kreśla w jej główch siach materiałwch - rówaie (.35) - ie jest tesrem, mim że jest macierzą smetrczą II rzędu. Taka jej pstać jest jedak wikiem jedie czst frmaleg zapisu Vigta, umżliwiająceg "upakwaie" elemetów tesra IV rzędu (takim biektem jest macierz sztwści) w macierz rzędu II. Dzięki temu upraszcza się zapis macierz, ale z drugiej str traci a charakter tesrw, c z klei pwduje, że prz brcie układu współrzędch ie mża skrzstać z prawa trasfrmacji tesra. Chcąc zatem kreślić macierz sztwści w dwlm układzie (, ) brócm względem układu si materiałwch (, ) (zarazem kreślić pstać rówań fizczch () ) ależ wkrzstać ią drgę. Pwższe stwierdzeia wmagają szerszeg kmetarza krtczeg. Nasuwa się bwiem ptaie cz ie ależałb zrezgwać z tacji zwężej a rzecz pełeg zapisu tesrweg rówań fizczch w pstaci (.a) i wkrzstać mżliwści wikające z tesrweg charakteru macierz sztwści i pdatści. Wzaczeie wartści ich składwch w dwlm układzie współrzędch a pdstawie zajmści tch składwch w główch siach materiałwch sprwadza się wówczas d zastswaia prawa trasfrmacji tesra IV rzędu w pstaci ijkl α imα j α kα lpmp (3.3) Rówaie (3.3) frmalie bardz prste, w praktce adaje się włączie d bliczeń wkwach z pmcą kmputera. Pciąga t za sbą kieczść wprwadzeia całkwicie dmieeg spsbu frmułwaia zadań mechaiki kmpztów, wkrzstująceg metd umercze. Mżliwe t jest jedak tlk wówczas, gd dspuje się dpwiedią wiedzą teretczą, a tę mża abć jedie w tradcj spsób, awet gdb wiązał się t z rezgacją z gólści rzważań. Zrzumieie pdstawwch zależści rządzącch zachwaiem się kmpztów pzwala budwać góle algrtm umercze, ale rzwiązaie awet złżeg zagadieia za pmcą dstępch prgramów kmercjch z pewścią ie pzwala a abcie gólej wiedz przedmicie. T sprawia, że mim tak zaawaswaej kmputerzacji, klascz wkład mechaiki kmpztów adal piera się a "iekmputerwej" tacji Vigta, pzwalającej stsukw prst uzskać relacje aalitcze, iezmierie ułatwiające zrzumieie prac materiałów kmpztwch, chć ceą, jaką się płaci jest graiczeie rzważań d zagadień z reguł dwuwmiarwch. Krzstając w dalszm ciągu z tacji Vigta, chcąc wzaczć macierz sztwści warstw w dwlm układzie współrzędch musim zrezgwać z rówaia (3.3) i skrzstać z ieg spsbu jej kreśleia. 4
WYKŁAD -3 Wkrzstam w tm celu prcedurę składającą się z astępującch krków:. trasfrmacja dkształceń z kfiguracji iesiwej d kfiguracji siwej,. zapisaie rówań fizczch () w kfiguracji siwej, 3. trasfrmacja aprężeń z kfiguracji siwej d iesiwej, 4. zapisaie rówań fizczch () w kfiguracji iesiwej. Przedstawia pwżej prcedura, wraz z pdaiem rówań, z którch ależ skrzstać, zstała pkazaa a rs. 3.4. θ θ { } ( ) ( ) [ R] 3.0 3.6 γ / { } ( ) [ T ]{ }.35 ( 3.3) { } ( ) [ ]{ } R ( 3.) 3.5 { } ( ) [ T ]{ } ( 3.4) 3. ( 3.) [ ][ R]{ } { } R R { } [ ][ ][ ][ ][ ] { } [ ]{ } R T R T R Rs. 3.4. chemat wzaczaia macierz sztwści w kfiguracji iesiwej. Związek fizcz w kfiguracji iesiwej (statie rówaie a rs. 3.4) ma pstać τ 6 6 6 6 66 γ [ ] [ T ][ ][ R][ T ][ R] [ T ][ ][ T ] T (3.4) (3.5) Macierz sztwści (3.5) jest pszukiwaą macierzą kreślą w dwlm układzie diesieia (,). Nsi a azwę trasfrmwaej, zredukwaej macierz sztwści, a warstwa kmpztu takiej macierz sztwści - warstw gólie rttrpwej. Z rzważań eergetczch prztczch w rzdziale. wika smetria macierz, tz. i,j, 6 (3.6) ij ji, Macierz (3.5) wraża się pprzez składwe zredukwaej macierz sztwści w ukł. -ais (rówaie.35) i macierz trasfrmacji ujemej (rówaie 3.4). Pracchłe peracje rachukwe prwadzące d jawej pstaci składwch trasfrmwaej macierz sztwści, zstaą tu pmiięte. fekt kńcw tch peracji przedstawi w pstaci tabelarczej 3.. 5
J. erma: MCHANIKA KOMPOZYTÓW 66 m 4 4 m 4 m 4 m 4 m 4 m m m m 4 4-4 m 66 m m - m (m - ) 6 m 3 - m 3 m 3 - m 3 (m 3 - m 3 ) 6 m 3 - m 3 m 3 - m 3 (m 3 - m 3) TABLA 3.. Wzr trasfrmacje dla macierz sztwści w kfiguracji iesiwej (trasfrmwaej, zredukwaej macierz sztwści). W celu uzskaia pszczególch składwch macierz trasfrmwaej ależ wsumwać ilcz klejch składwch macierz zredukwaej i fukcji trgmetrczch leżącch w tm samm wierszu c pszukiwaa składwa. Dla przkładu 4 4 m m 4 m 66 (3.7) Zwróćm uwagę a isttą różicę międz zredukwaą macierzą sztwści (tz. w siach główch materiałwch) i trasfrmwaą, zredukwaą macierzą sztwści (tz. w dwlm układzie diesieia). W tej drugiej wstępują ddatkwe wraz 6, 6 - składwe dpwiadające tzw. sprzężeiu stczemu, wiążące aprężeie rmale z dkształceiami stczmi 6, 6 - składwe dpwiadające tzw. sprzężeiu rmalemu, wiążące aprężeie stcze z dkształceiami rmalmi. Zauważm rówież, że macierz trasfrmwaa dla warstw rttrpwej i macierz sztwści dla materiału dwlej aiztrpii, (rzdział ) są frmalie takie same. T c je różi t liczba iezależch składwch. W przpadku aiztrpii wsi a - w płaskim staie aprężeia - sześć. W przpadku rttrpii - macierz trasfrmwaa adal ma czter iezależe składwe (sześć "różimiech" składwch wraża się przez czter iezależe składwe macierz zredukwaej). Tak więc, warstwa, która w kfiguracji siwej bła rttrpwa, mim że w kfiguracji iesiwej charakterzuje się macierzą sztwści całkwicie wpełią i pzrie staje się warstwą dwlej aiztrpii, w rzeczwistści adal jest rttrpwa, gdż d jej pełeg pisu wstarczają czter iezależe stałe materiałwe. 3... Trasfrmacja macierz sztwści d kfiguracji iesiwej z wkrzstaiem iezmieiczch charakterstk warstw Bardz wgd, a prz tm iezwkle ułatwiając zrzumieie wpłwu brtu warstw względem główch si materiałwch a wartści trasfrmwaej macierz sztwści pdali Tsai i Paga. Wkrzstując tżsamści trgmetrcze: m 4 4 m 3 m 3 ( 3 4cs θ cs4θ ) 8 m cs θ siθ 8 ( 3 4cs θ cs4θ ) ( si θ si4θ ) 8 (3.8) 8 ( siθ si4θ ) ( 4θ ) 8 cs m 6
WYKŁAD -3 wzr trasfrmacje pdae w tabeli 3. mża przekształcić d pstaci, którą przedstawi w frmie stabelarzwaej - tabela 3.. Mża wkazać, że U, U 4 i U 5 są wielkściami iezmieiczmi dla warstw kmpztu (patrzskrpt pkt. 3.6, przkład ), iezależmi d jej rietacji kątwej. U U 3 U cs θ cs 4θ U - cs θ cs 4θ U 4 0 - cs 4θ 66 U 5 0 - cs 4θ 6 0 / si θ si 4θ 6 0 / si θ - si 4θ TABLA 3.. Trasfrmacja macierz sztwści pprzez fukcje kątów wielkrtch i wielkści iezmieicze warstw kmpztu. psób krzstaia z tabeli ilustruje piższ przkład U U cs θ U cs4θ (3.9) 3 Wielkści wstępujące w tabeli 3. mają pstaci U 8 ( 3 3 4 66 ) U U U ( ) 8 ( 4 66 ) (3.0) 3 8 ( 6 4 66 ) 4 U 8 ( 4 66 ) 5 Cem spstrzeżeiem wikającm z tabeli 3. jest t, że w czterech pierwszch składwch macierz trasfrmwaej dają się wróżić czł iezależe d kąta brtu warstw. Birąc dla przkładu pierwszą składwą macierz trasfrmwaej - rówaie (3.9) - widzim, że wartść jest superpzcją iezależej d kąta wielkści U, a którą akładają się "zakłóceia" kątwe kresie π i π/. Mża pwiedzieć, że U jest dbrm wskaźikiem sztwści w kieruku si "", iezależie d jej rietacji względem si materiałwch, gdż ie zależ d tej rietacji. 3.3. Macierz pdatści w kfiguracji iesiwej Prcedura wzaczaie macierz pdatści w dwlm układzie diesieia, brócm względem układu główch si materiałwch jest w pełi aalgicza d prcedur wzaczaia trasfrmwaej macierz sztwści. kładają się a ią astępujące etap:. trasfrmacja aprężeń z dwleg układu (, ) d układu (, ),. zapisaie rówań fizczch () w układzie (, ), 3. trasfrmacja dkształceń z układu (, ) d układu (, ), 4. zapisaie rówań fizczch () w układzie (, ) tz. w kfiguracji iesiwej. 7
J. erma: MCHANIKA KOMPOZYTÓW Psługując się schematem aalgiczm d teg pkazaeg a rs. 3.4 trzmujem rówaia fizcze w układzie (, ) w pstaci γ 6 6 6 6 66 τ (3.) T [ ] [ T ] [ ][ T ] (3.) Macierz sztwści (3.) jest pszukiwaą macierzą w kfiguracji iesiwej. Wraża się pprzez składwe macierz pdatści w kfiguracji siwej - rówaie (.36) - i macierz trasfrmacji ddatiej - rówaie (3.3). Z rzważań eergetczch prztczch w rzdziale. wika smetria macierz [ ], tz. i, j, 6 (3.3) ij ji, Zależści trasfrmacje dla macierz pdatści zestawi w tabeli 3.3. psób krzstaia z tabeli pkaza wcześiej a przkładzie trasfrmwaej macierz sztwści. 66 m 4 4 m m 4 m 4 m m m m m 4 4 - m 66 4 m 4 m - 8 m (m - ) 6 m 3 - m 3 (m 3 - m 3 ) m 3 - m 3 6 m 3 - m 3 (m 3 - m 3) m 3 - m 3 TABLA 3.3. Wzr trasfrmacje dla macierz pdatści w kfiguracji iesiwej 3.4 tałe iżierskie w kfiguracji iesiwej 3.4.. Macierz pdatści w fukcji stałch iżierskich W celu wzaczeia macierz pdatści w fukcji stałch iżierskich w dwlm układzie współrzędch zastsujem spsób pdb d teg, któr wkrzsta prz aalizie kfiguracji siwej (rzdział ). Wbraźm sbie serię trzech pdstawwch prób wtrzmałściwch (dwa rzciągaia i ściaie) przeprwadzch a próbce w kfiguracji iesiwej (, ). Prób te przedstawi a rs. 3.5. Krzstając z rówań fizczch w pstaci (3.), dla prób przedstawich a rs. 3.5 mża zapisać astępujące związki 8
rzciągaie w kier. si ν rzciągaie w kier. si ν τ τ 3 ściaie τ τ γ τ γ Rs. 3.5. chemat wzaczaia stałch iżierskich w płaszczźie (, ). próba (3.4) (3.5) γ (3.6) 6 próba (3.7) (3.8) γ (3.9) 6 próba 3 (3.30) 6τ (3.3) 6τ γ 66τ τ 66 (3.3) 9
J. erma: MCHANIKA KOMPOZYTÓW Wprwadźm astępujące defiicje tzw. współczików sprzężch ν ij i i,ij dszącch się d klejch rzpatrwach prób próba ν (3.33) γ 6,, 6 6 (3.34) próba ν (3.35) γ 6,, 6 6 (3.36) próba 3 6,, 6 6 (3.37) γ 66 6,, 6 6 (3.38) γ 66 Pwższe współcziki mają astępujące defiicje ν ij j i - współcziki Piss'a, charakterzujące ściskaie w kieruku si j wwłae przłżm bciążeiem, działającm w kieruku si i. γ i, ij ij i - charakterzują ściaie w płaszczźie (i, j ) wwłae bciążeiem, działającm w kieruku si i. ą t tzw. współcziki Lechickieg, wzajemeg wpłwu II rdzaju. γ ij, i i ij - charakterzują ściskaie (rzciągaie) w kieruku si i wwłae ściaiem w płaszczźie ( i, j ). ą t tzw. współcziki Lechickieg, wzajemeg wpłwu I rdzaju. Zauważm, że współcziki wzajemeg wpłwu ie mają swich dpwiedików w materiałach iztrpwch, a także i t, że ie wstępują w kfiguracji siwej warstw rttrpwej. W literaturze mża sptkać bardz róże spsb ich idekswaia, dmiee d zastswaeg pwżej. psób stswa tutaj, pzwala a pdaie bardz prstej zasad, ułatwiającej zrzumieie i zapamiętaie zarów tch współczików, jak i współczików Piss'a. W każdm przpadku pierwsz ideks (lub para ideksów) kreśla przczę (rdzaj bciążeia), a drugi - skutek (efekt wwła działającm bciążeiem). Zestawiając zależści pdae z prawej str rówań (3.4), (3.8), (3.3) i (3.33)-(3.38), trzmujem macierz pdatści w fukcji stałch iżierskich, kreślch w dwlm ukł. współrzędch (, ) [ ] ν, ν,,, ν,, ν,, ν ν (3.39) 0
WYKŁAD -3 3.4.. Trasfrmacja stałch iżierskich W celu efektweg wkrzstaia macierz (3.39) kiecza jest zajmść stałch iżierskich, w fukcji "klasczch" 4 iezależch stałch iżierskich, kreślach w główch siach materiałwch warstw kmpztu. Należ zatem wzaczć wzr trasfrmacje stałch iżierskich z kfiguracji siwej d iesiwej. W tm celu ależ wkrzstać pdae uprzedi zależści: (3.40) 66 ν, 6, 6 (3.4) wraz z tabelą trasfrmacją 3.3 i rówaiem (.37). W efekcie trzmam wzr trasfrmacje dla stałch iżierskich, które pda w tabeli 3.4. / / ν / / / m 4 m - m 4 ν - m m m 4 4 - m / 4 m - m m 4 / 4 m (m - ) 8 m 4 m, m 3 m 3 - m 3 (m 3 - m 3) - m 3, m 3 m 3 - m 3 (m 3 - m 3 ) - m 3 TABLA 3.4. Trasfrmacja stałch iżierskich z kfiguracji siwej d iesiwej. tsując tżsamści trgmetrcze (3.8) d wzrów trasfrmacjch ujętch w tabeli 3.4, mża uzskać zaczie wgdiejsze zależści, którch wprwadzeie pmiiem ze względu a trwialść, a jedcześie dużą ilść przekształceń rachukwch. Ostateczie stałe iżierskie, wrażają się pprzez fukcje kątów wielkrtch zgdie ze związkami pdami w tabeli 3.5. si θ si 4θ cs θ cs 4θ / W 0 0 W 3 W / W 0 0 - W 3 W / W 4 0 0 0-4 W ν W 5 0 0 0 W, 0 W 3 W 0 0, 0 W 3 - W 0 0 TABLA 3.5. Trasfrmacja stałch iżierskich wraża pprzez fukcje kątów wielkrtch. Współcziki W i, wstępujące w tabeli 3.5 wrażają się zależściami W ν 8
J. erma: MCHANIKA KOMPOZYTÓW W 3 ν 8 3 W 3 (3.4) W 4 ν W 5 6ν 8 3.5. Zależść międz macierzą sztwści i pdatści w układzie iesiwm Odwracając trasfrmwaą macierz pdatści w pstaci macierz sztwści (3.5) trzmujem składwe trasfrmwaej 66 6 ( ) / (3.43) 66 6 ( ) / (3.44) 66 ( ) / (3.45) ( 66 ) / (3.46) 6 6 ( 6 ) / (3.47) 6 6 ( 6 ) / (3.48) 6 6 66 6 6 6 66 6 (3.49) 3.6. Pdsumwaie W iiejszm rzdziale pda szczegółw spsb kreślaia macierz sztwści, pdatści raz stałch techiczch w dwlm układzie diesieia (, ), czli w kfiguracji iesiwej. Wszstkie zależści trasfrmacje zawarte w tabelach 3., 3., 3.3, 3.4, 3.5 zstał pdae dla warstw, której główe sie materiałwe (, ) zrietwae są względem układu diesieia (, ) tak, jak pkaza t a rs. 3.6 A, a zatem warstw, którą w kdzie lamiatu kreśla kąt θ (p. θ5 ). Dla warstw siach materiałwch zrietwach tak, jak a rs. 3.6 B, którą w kdzie lamiatu kreśla kąt θ (p. θ 5 ), ależ stswać te same tabele, wstawiając we wzrach ujemą wartść kąta. θ θ A B Rs. 3.6 Nasuwa się w tm miejscu uwaga, że awet w pdstawwch pdręczikach pauje w tm zakresie pewie zamęt, a c grsza zdarzają się rówież i błęd. Plegają e a tm, że te same zależści trasfrmacje, zapisae w różch pstaciach, dają dla teg sameg kąta wartści różiące się zakiem (dtcz t elemetów macierz z ideksami "6" i "6").