1. Wstęp. Kamil Urbanowicz

Bi u l e t y n WAT Vo l. LXIV, Nr 3, 2015 Modelowanie stanów nieustalonych w przewodach ciśnieniowych z uwzględnieniem kawitacji oraz zmiennych oporów hydraulicznych. Część II. Opór oraz walidacja eksperymentalna Kamil Urbanowicz Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie, Katedra Mechaniki i Podstaw Konstrukcji Maszyn, 70-310 Szczecin, Al. Piastów 19, kamil.urbanowicz@zut.edu.pl Streszczenie. Modelowanie zmiennych w czasie oporów hydraulicznych nie jest zagadnieniem łatwym. Jak wykazały liczne badania, naprężenie styczne na ściance przewodu może być wyznaczane jako suma quasi-ustalonego i zmiennego w czasie wyrażenia. Zmienne w czasie wyrażenie jest tzw. całką splotową z lokalnego przyspieszenia cieczy i funkcji wagi. Oryginalna postać funkcji wagi ma przeważnie skomplikowaną strukturę, przez co nie nadaje się do efektywnego symulowania przebiegów dynamicznych. Dlatego też w celu umożliwienia efektywnego wyznaczania niestacjonarnego naprężenia stycznego zaprezentowano nową postać funkcji wagi (będącą skończoną sumą wyrażeń eksponentalnych). W przypadku przepływu turbulentnego wykorzystano procedurę skalowania współczynników efektywnej funkcji wagi zaprezentowaną przez Vitkovskiego i in. Nowe postacie funkcji wagowych charakteryzuje duża zbieżność z funkcjami klasycznymi (nieefektywnymi). Z wykorzystaniem uprzednio omówionych modeli przepływu kawitacyjnego CSM, CSMG, CSMA oraz BCM i powyższych efektywnych funkcji wagi dokonano szeregu badań symulacyjnych, które wykazały, że wprowadzone w modelach przepływu niestacjonarnego z kawitacją zmiany poprawiają stopień zgodności symulacji z wynikami eksperymentalnymi. Słowa kluczowe: numeryczna mechanika płynów, przepływy nieustalone, kawitacja, zmienne opory hydrauliczne, przewody ciśnieniowe DOI: 10.5604/12345865.1168726 1. Wstęp Modelowanie oporów tarcia w przepływach przejściowych powinno uwzględniać niestacjonarność przepływu. Tym samym chwilowe naprężenie styczne na ściance

76 K. Urbanowicz przewodu τ powinno być przedstawione w postaci sumy wielkości quasi-ustalonej τ q i zmiennej w czasie wielkości τ n [3, 6, 14, 15, 25-28, 30-33]: =. q + n (1) Stąd dziwi powszechnie stosowane w dostępnych programach softwarowych podejście zakładające jedynie quasi-ustalony ich charakter. Co ciekawe, uproszczony quasi-ustalony sposób modelowania oporów hydraulicznych spotkać można też nawet w nowszych pracach badawczych [4, 5, 9-11, 19, 28, 29]. Quasi-ustalone modele spisują się jednak jedynie przy modelowaniu ruchu ustalonego lub gdy dochodzi do powolnych zmian prędkości. Z ich wykorzystaniem modelowane niestacjonarne przebiegi zmian ciśnienia cechują się niedoszacowaniem oporu. Być może dobrze z ich pomocą zamodeluje się pierwszą amplitudę przebiegu niestacjonarnego będącego wynikiem np. gwałtownego zamknięcia zaworu, lecz wszystkie pozostałe będą modelowane z dużym błędem. A niepoprawne szacowanie kolejnych amplitud i maksymalnych ciśnień na ich wierzchołkach przekreśla poprawny dobór i optymalną regulację urządzeń sterowania automatycznego nowoczesnych układów hydraulicznych. Wielkość τ q we wzorze (1) wyznaczyć można w oparciu o przekształconą formułę Darcy ego-weisbacha [10, 19, 29]: gdzie: q 1 = vv, (2) 8 λ bezwymiarowy współczynnik oporów liniowych (strat tarcia). W przepływie dwufazowym jednorodnym bezpoślizgowym powyższy wzór można przedstawić następująco [20, 22]: q vv = (3) 8 m, 2 l gdzie: ρ m gęstość jednorodnej mieszaniny; α l współczynnik stężenia fazy ciekłej. Zmienną w czasie wielkość naprężenia stycznego na ściance przewodu można wyznaczyć ze wzoru wyprowadzonego przez Zielke w 1968 roku [33]: gdzie: w(t u) jest funkcją wagi. n t 2 v = w( t u) ( u) du, R t 0 (4)

Modelowanie stanów nieustalonych w przewodach ciśnieniowych... Część 2 77 Powyższy model charakteryzuje się tym, że w łatwy sposób może być wykorzystywany w równaniach opisujących 1D przepływ nieustalony, zatem w szczególności w szeroko i powszechnie wykorzystywanej metodzie charakterystyk (MOC). W swojej pracy Zielke udowodnił, że funkcja wagi dla przepływu laminarnego ma następującą postać: 6 w( tˆ) = mtˆ dla tˆ 0,02, i= 1 5 i= 1 ( i 2 )/2 i ˆ ( ˆ) n i wt = e t dla tˆ> 0,02, (5a) (5b) gdzie: tˆ t / R przyjmują kolejno następujące wartości: m i = 0,282095; 1,25; 1,057855; 0,9375; 0,396696; 0,351563; n i = 26,3744; 70,8493; 135,0198; 218,9216; 322,5544. 2 = oznacza bezwymiarowy czas, a współczynniki m i i n i Aproksymacja różnicowa pierwszego rzędu całki splotowej (4) dokonana w przypadku obliczeń prowadzonych na prostokątnej siatce charakterystyk daje następujące rozwiązanie: n 1 2 ˆ (, 1,) ( ) ˆ t = v + v w n j t = 2 n i j i j R j= 1 n 1 2 ˆ (, 1, ) ˆ t = vin j+ vin j w j t. R 2 j= 1 (6) W powyższym równaniu ˆt oznacza bezwymiarowy krok czasowy: ˆ x L t = t = =, 2 2 2 R c R f c R (7) gdzie: j numer czasowego kroku obliczeniowego zmieniający się co 1 od 1 do n dla n 2; t numeryczny krok czasowy; x odległość pomiędzy dwoma najbliższymi analizowanymi przekrojami poprzecznymi; L długość przewodu; f liczba analizowanych przekrojów przewodu ciśnieniowego. W późniejszym czasie w związku z nieefektywnością powyższego sposobu wyznaczania naprężenia stycznego Trikha [23] opracował efektywną metodę symulacji,

78 K. Urbanowicz dla której konieczne było zapisanie funkcji wagi w postaci skończonej sumy następujących wyrażeń wykładniczych: ˆ k i n ˆ i t. i= 1 ( ) w t = me (8) Z czasem wielu autorów (Kagawa i in. [12], Schohl [21], Vitkovsky i in. [27], Vardy i Brown [25]) prezentowało swoje postacie powyższej efektywnej funkcji wagi zarówno dla przepływu laminarnego, jak i turbulentnego. Rozwiązanie całki splotowej w postaci przedstawionej we wzorze (6) jest nieefektywne, bowiem z każdym kolejnym obliczeniowym krokiem czasowym w procedurze numerycznej rośnie liczba wyrażeń składających się na niestacjonarny składnik naprężenia stycznego τ n. Istnieją cztery różniące się od siebie efektywne rozwiązania całki splotowej znane z literatury (wg Trikha [23], wg Kagawy i in. [12], wg Schohla [21] oraz wg Urbanowicza i Zarzyckiego [24]). W poniższej pracy wykorzystano poprawione efektywne rozwiązanie zaprezentowane w 2012 roku na międzynarodowej konferencji mechaniki płynów w Gliwicach [24]: j 2 ( t+ t) y ( t) A + B v v + [ 1 ] C v v, n i i i ( t+ t) t i t ( t t) R i= 1 yi ( t+ t) gdzie: ni t ˆ mi Ai = e ; Bi = [ 1 Ai] ; Ci = Ai Bi. tˆ n i (9a) (9b) Powyższe rozwiązanie wykorzystane zostanie w czterech opisanych szczegółowo w pierwszej części niniejszej pracy modelach przepływu nieustalonego z kawitacją. Następnie dokonane zostaną badania numeryczne, które wykażą poprawność omówionej zmodyfikowanej metody obliczania zmiennych oporów hydraulicznych. W modelu BCM konieczna jest następująca modyfikacja niestacjonarnego składnika τ n : n v( t t) v + t yi( t) Aim, + Bim, + j 2 mt ( t) ( t t) + + t +, R i= 1 v v t ( t t) [ 1 ] Cim, t ( t t) ( t t) y ( t+ t) gdzie: A im, mt ( + t) ˆ ˆ t Bim, f( tm) oraz tm=. 2 mt ( + t) R C im, i (10a) (10b)

Modelowanie stanów nieustalonych w przewodach ciśnieniowych... Część 2 79 2. Funkcja wagi dedykowana dla przepływu laminarnego Najbardziej dokładną efektywną funkcją wagi dla przepływu laminarnego jest funkcja zaprezentowana przez Vitkovsky ego i in. [28] w 2004 roku. W związku z potrzebą rozszerzenia zakresu stosowalności efektywnych funkcji wagowych, co zauważone zostało przez Vardy ego-browna [26], poniżej przedstawiony zostanie nowy model będący sumą wyrażeń wykładniczych (exp). Będzie on zgodny z funkcją klasyczną wg Zielke w następującym przedziale stosowalności: 10 tˆ <. 9 9 Rozszerzenie zakresu stosowalności funkcji wagi do dolnej granicy tˆ = 10 jest konieczne, gdyż w niektórych układach praktycznych można mieć do czynienia z tak niskim bezwymiarowym krokiem czasowym. Ze względu na szeroki zakres stosowalności i bardzo dużą zbieżność z klasyczną funkcją wagi, na ostateczną postać nowej funkcji złoży się 26 wyrażeń wykładniczych. Ponieważ w modelu Zielke dla czasu bezwymiarowego t ˆ > 0,02, wartość funkcji wagi wyznacza się z następującego wzoru: ˆ () ˆ i wt = e nt, gdzie: n 1 = 26,3744; n 2 = 70,8493; n 3 = 135,0198; n 4 = 218,9216; n 5 = 322,5544. 5 i= 1 (11) W tej pracy zachowano te pierwsze pięć wyrażeń wykładniczych bez zmian. 9 Natomiast dla czasów bezwymiarowych z przedziału 10 tˆ < 0,02 postanowiono wyszukiwać współczynniki poprzez rozbudowywanie szukanej funkcji wagi o kolejne wyrażenia wykładnicze. Założono, że bardzo dobrą dokładność otrzyma się poprzez n 1 opisanie każdego przedziału czasu bezwymiarowego 10 n tˆ < 10 dokładnie 3 trzema wyrażeniami wykładniczymi (wyjątek stanowił przedział 10 tˆ < 0,02, który również opisano trzema wyrażeniami dlatego można się będzie spodziewać najgorszego dopasowania nowej funkcji wagi w odniesieniu do wzorcowej właśnie w tym miejscu). W każdym z powyższych przedziałów dopasowywanie odbywało się do tysiąca równomiernie rozmieszczonych w skali logarytmicznej punktów reprezentujących wartości klasycznej funkcji wagi wg Zielke. Współczynniki efektywnej funkcji wagi wyznaczono z wykorzystaniem funkcji LSQNONLIN będącej modułem programu MATLAB. W funkcji tej zaimplementowany jest algorytm Levenberga-Marquardta [16, 18], uważany za jeden z najbardziej efektywnych wśród algorytmów minimalizacji. Łączy on liniowe przybliżenie z dala od minimum z przybliżeniem kwadratowym w pobliżu minimum, dzięki czemu specjalizowany jest do problemów najmniejszej sumy kwadratów. W wyniku przedstawionego powyżej postępowania w dokładny sposób określono wszystkie szukane wartości, tzn. wszystkie współczynniki nowej rozszerzonej efektywnej funkcji wagi dla przepływu laminarnego:

80 K. Urbanowicz 26 ˆ () ˆ i w t = me nt, (12) apr i= 1 gdzie: m 1 = 1; m 2 = 1; m 3 = 1; m 4 = 1; m 5 = 1; m 6 = 2,141; m 7 = 4,544; m 8 = 7,566; m 9 = 11,299; m 10 = 16,531; m 11 = 24,794; m 12 = 36,229; m 13 = 52,576; m 14 = 78,150; m 15 = 113,873; m 16 = 165,353; m 17 = 247,915; m 18 = 369,561; m 19 = 546,456; m 20 = 818,871; m 21 = 1209,771; m 22 = 1770,756; m 23 = 2651,257; m 24 = 3968,686; m 25 = 5789,566; m 26 = 8949,468; n 1 = 26,3744; n 2 = 70,8493; n 3 = 135,0198; n 4 = 218,9216; n 5 = 322,5544; n 6 = 499,148; n 7 = 1072,543; n 8 = 2663,013; n 9 = 6566,001; n 10 = 15410,459; n 11 = 35414,779; n 12 = 80188,189; n 13 = 177078,960; n 14 = 388697,936; n 15 = 850530,325; n 16 = 1835847,582; n 17 = 3977177,832; n 18 = 8721494,927; n 19 = 19120835,527; n 20 = 42098544,558; n 21 = 92940512,285; n 22 = 203458923,000; n 23 = 445270063,893; n 24 = 985067938,878; n 25 = 2166385706,058; n 26 = 4766167206,672. i 3. Skalowanie funkcji wagi podczas przepływu turbulentnego Modelowanie zmiennego naprężenia stycznego na ściance przewodu w przypadku występowania przepływu turbulentnego może odbywać się z wykorzystaniem tego samego wzoru co w przypadku przepływu laminarnego (4). Z tą różnicą, że w momencie występowania przepływu turbulentnego muszą być stosowane funkcje wagowe, których postać zależeć będzie nie tylko od czasu bezwymiarowego, lecz także od wartości liczby Reynoldsa. Znane są dwie klasyczne turbulentne funkcje wagi: wg Zarzyckiego [32] oraz wg Vardy ego i Browna [26] oraz ich efektywne odpowiedniki zbudowane w podobny sposób jak to miało miejsce dla przepływu laminarnego. Od pewnego czasu zauważa się dwa rodzaje podejść przy modelowaniu nieustalonych oporów hydraulicznych: starsze z podejść [22, 27] zakłada wybór kształtu funkcji wagi jeszcze przed wykonaniem symulacji, na podstawie znanej liczby Reynoldsa Re = Re o (stałej dla przepływu ustalonego tuż przed wystąpieniem stanu nieustalonego spowodowanego gwałtownym zamknięciem zaworu odcinającego lub wyłączeniem pompy). Gdy liczba Re o jest mniejsza od krytycznej wartości Re kr = 2320 lub jej równa, kształt funkcji wagi jest zgodny z kształtem klasycznej funkcji wagi dla przepływu laminarnego wg Zielke, natomiast gdy występuje przepływ turbulentny, kształt ten określany jest z wykorzystaniem jednej ze znanych klasycznych turbulentnych funkcji wagowych wg Vardy ego-browna lub wg Zarzyckiego. W podejściu tym zakłada się

Modelowanie stanów nieustalonych w przewodach ciśnieniowych... Część 2 81 stałość obranego kształtu w czasie trwania całej symulacji przebiegu nieustalonego; w nowszym [14, 15, 30] uwzględnione zostają w procesie numerycznym zmiany kształtu stosowanych funkcji wagowych. Nie zakłada się w tym podejściu jednej funkcji wagi na podstawie warunków początkowych, lecz na bieżąco wraz z jakąkolwiek zmianą bieżącej lokalnej liczby Reynoldsa Re b (w zakresie przepływu turbulentnego) wyznacza się jej nowy kształt. Nowa efektywna funkcja wagi dla przepływu laminarnego oraz efektywne funkcje wagi dla przepływu turbulentnego prezentowane w wielu pracach (Vitkovsky i in. [27], Vardy i Brown [25] oraz Zarzycki i Kudźma [30]) nadają się do symulacji przepływów nieustalonych z kawitacją w przypadku stosowania pierwszego z powyższych podejść. Szczegółowa analiza drugiego podejścia wykazała, że przechodzenie z funkcji efektywnej laminarnej na funkcję efektywną turbulentną, i odwrotnie, rodzi problem natury numerycznej. Związany jest on z brakiem zgodności funkcji wagowych laminarnych z turbulentnymi dla krytycznej liczby Re kr = 2320 (rys. 1) i uwidacznia się w przebiegach zmienności ciśnienia i prędkości przepływu w postaci gwałtownych uskoków. Rys. 1. Przebiegi funkcji wagowych (wg Zielke, wg Vardy ego-browna oraz wg Zarzyckiego wyznaczone przy Re = 2320): a) skala log-liniowa; b) skala log-liniowa (powiększenie) W związku z różną liczbą wyrażeń składających się na efektywne laminarne funkcje wagi oraz efektywne turbulentne funkcje wagi, obecnie w procedurze numerycznej w momencie przejścia z jednego rodzaju przepływu w drugi zakłada się y i (t) = 0. To założenie jest słuszne jako warunek początkowy (dla ruchu ustalonego), lecz niewątpliwie stanowi źródło błędu, gdy występuje ruch nieustalony. Aby uniknąć wyżej omówionych problemów, przy stosowaniu drugiego podejścia proponuje się stworzenie efektywnego modelu laminarno-turbulentnego, którego kształt dla przepływów laminarnych będzie zbieżny z funkcją wagi wg Zielke (czyli

82 K. Urbanowicz niezmienny, gdy Re b 2320), natomiast dla turbulentnych z jedną ze znanych funkcji wagowych (czyli z funkcją wagi wg Vardy ego-browna lub wg Zarzyckiego). Szczegółowa analiza funkcji wagowych wg Zielke [33], wg Vardy ego-browna [26] oraz wg Zarzyckiego [32] pokazuje, że dla krytycznej liczby Reynoldsa (Re = 2320) funkcje te mają różne przebiegi (rys. 1). Funkcja wg Zarzyckiego w przedziale czasu 10 bezwymiarowego ( 10 < tˆ < ) przebiega nad funkcją wagi wg Zielke, co oznacza w praktyce, że wyniki symulacji z jej wykorzystaniem będą się charakteryzowały zwiększonym tłumieniem. Ponadto wraz ze wzrostem liczby Reynoldsa kolejne funkcje wagowe wg Zarzyckiego składające się na rodzinę krzywych zachowują identyczny kształt, zmieniając jedynie swoje położenie w przestrzeni. Natomiast funkcja wg Vardy ego-browna (dla przedziału czasu bezwymiarowego 7,244 10 < tˆ < przebiega poniżej przebiegu Zielke, tym samym symula- 4 cje z jej wykorzystaniem będą się charakteryzowały mniejszym tłumieniem, niż gdy wykorzystana zostanie funkcja wagi wg Zielke lub wg Zarzyckiego. Zauważono również, że kształt tej funkcji ulega znacznej zmianie wraz z wzrostem liczby Re. Im większa liczba Reynoldsa charakteryzująca przebieg nieustalony, tym szybciej (dla mniejszych wartości czasu bezwymiarowego ˆt ) wartości tej funkcji dążą do zera (założono 1 10 4 0) Do dnia dzisiejszego brakuje jednak pełnej porównawczej weryfikacji doświadczalnej obu powyższych turbulentnych modeli niestacjonarnego tarcia cieczy w szerokim zakresie liczb Reynoldsa. Stąd nie można jednoznacznie ocenić, który z nich lepiej odzwierciedla rzeczywistość. W niniejszej pracy wykorzystana zostanie w modelach uniwersalna funkcja laminarno-turbulentna, której kształt będzie w przypadku przepływu laminarnego zgodny z modelem Zielke (5), natomiast w przypadku przepływu turbulentnego z modelem Vardy ego i Browna. Proces poszukiwania aktualnych współczynników powinien odbywać się wg schematu pokazanego na rysunku 2, który oparty jest na metodzie skalowania zaprezentowanej przez Vitkovskiego i in. [26]. Współczynniki, z pomocą których wyznaczana jest aktualna postać uniwersalnej funkcji wagi, wyznaczane są dla krytycznej liczby Reynoldsa Re = 2320 jeszcze przed rozpoczęciem procesu symulacji z następujących wzorów: * 1 gdzie: A = ; 4 n 1u = n 1 -B * ; n 2u = n 2 -B * ; ; n 26u = n 26 -B *, (13) m 1u = m 1 /A * ; m 2u = m 2 /A * ; ; m 26u = m 26 /A *, (14) * Re 2320 B = = ; 12,86 12,86 0,0567 0,0567 ( ) ( ) = log 15,29 / Re = log 15,29 / 2320. 10 10

Modelowanie stanów nieustalonych w przewodach ciśnieniowych... Część 2 83 Na rysunku 3 przedstawiono stopień dopasowania nowej uniwersalnej funkcji wagi do klasycznych odpowiedników, na bazie których powstała. n = n + B*; n = n + B*;...; n = n + B* 1a 1u 2a 2u 26a 26u m = m + A*; m = m + A*;...; m = m + A* 1a 1u 2a 2u 26a 26u κ 1 Reb gdzie: A*= ; B* = 4π 12,86 κ = 0,0567 log 10(15, 29 / Reb ) 26 ˆ ia Wefekt (, t Reb) = miae i= 1 n tˆ Rys. 2. Schemat wyznaczania aktualnej postaci uniwersalnej funkcji wagi w procesie numerycznym zachowującej kształt zgodny z klasyczną funkcją wagi wg Vardy ego-browna W podobny sposób jak powyżej otrzymano uniwersalną funkcję wagi opartą na turbulentnej funkcji wagi wg Zarzyckiego. Przeprowadzona analiza jakościowa stopnia dopasowania otrzymanych nowych uniwersalnych funkcji wagowych laminarno-turbulentnych (na podstawie wag turbulentnych Zarzyckiego oraz Vardy ego i Browna) przemawiała jednak na korzyść funkcji bazującej na klasycznej funkcji wg Vardy ego-browna, gdyż dla liczb Reynoldsa Re 10 4 (rys. 3b,c,d,e) trudno zauważyć jakieś znaczące odchylenia tej nowej funkcji od funkcji wzorcowej. Niewielkie odchylenia były natomiast widoczne w przypadku nowej funkcji bazującej na funkcji wg Zarzyckiego. Analiza ilościowa dla przedziału czasu bezwymiarowego 9 3 10 tˆ 10 oraz różnych liczb Reynoldsa 2320 Re 10 7 wykazała, że błąd bezwzględny procentowy nie przekraczał 14% w przypadku uniwersalnej funkcji wagi na podstawie wagi Zarzyckiego. Dla tego samego przedziału czasu bezwymiarowego i liczb Reynoldsa analiza ilościowa uniwersalnej funkcji wagi laminarno-turbulentnej bazującej na funkcji wg Vardy ego i Browna wykazała, że błąd bezwzględny procentowy nie przekraczał 11%.

84 K. Urbanowicz Rys. 3. Porównanie uniwersalnej funkcji wagi (zachowującej kształt zgodny z klasyczną funkcją wagi wg Vardy ego i Browna): a) dla krytycznej liczby Reynoldsa; b) dla Re = 10 4 ; c) dla Re = 10 5 ; d) dla Re = 10 6 ; e) dla Re = 10 7 ; f) błąd względny procentowy Uproszczony schemat blokowy algorytmu obliczeniowego uwzględniający wprowadzone modyfikacje przedstawiony został w załączniku pierwszej części niniejszej pracy. Poniżej jednak, na rysunku 4, w związku z szerzej omówionym tematem modelowania zmiennych w czasie oporów hydraulicznych i uniwersalnej

Modelowanie stanów nieustalonych w przewodach ciśnieniowych... Część 2 85 efektywnej funkcji wagi, zostanie przedstawiona poprawka dwóch bloków (A i B) tego schematu. Rys. 4. Bloki A i B schematu blokowego algorytmu obliczeniowego 4. Badania symulacyjno-eksperymentalne Badania eksperymentalne, do których odniesione zostaną wyniki symulacji, wykonane zostały na stanowisku badawczym (rys. 5) w ramach projektu nr N50402931/2026 [1]. W przeprowadzonych badaniach zarejestrowano pełne (tzn. od rozpoczęcia, aż do pełnego wytłumienia się pulsacji) przebiegi nieustalone, w których w początkowej fazie dochodziło do powstawania obszarów kawitacyjnych. Rys. 5. Stanowisko badawcze

86 K. Urbanowicz Głównym komponentem stanowiska jest przewód ciśnieniowy wykonany z miedzi o długości L = 98,56 [m], wewnętrznej średnicy D = 0,016 [m] i grubości ścianki e = 0,001 [m]. Miedziany przewód został spiralnie nawinięty na stalowy walec o średnicy 1,7 [m] oraz osadzony sztywno na nim w celu minimalizacji powstałych w wyniku uderzenia hydraulicznego wibracji. Kąt pochylenia przewodu ciśnieniowego γ wynikający z nawinięcia przewodu na wspomnianym wyżej walcu nie jest większy na całkowitej długości badanego przewodu niż 0,5. Przed zbiornikiem niskociśnieniowym zamocowany został szybko zamykający zawór kulkowy, który umożliwiał gwałtowne, prawie natychmiastowe pełne zamknięcie przepływu. Zmierzony czas zamykania zaworu podczas badań nigdy nie przekroczył wartości 0,003 [s]. Czas ten stanowi zatem 1 [%] okresu propagacji fali ciśnienia w tym przewodzie (4L/c). Na długości badanego przewodu zamocowano pięć czujników (jeden w środku badanego przewodu, dwa w skrajnych położeniach przewodu oraz dwa między przekrojami skrajnymi a środkowym) ciśnienia absolutnego (na przetwornikach półprzewodnikowych) o częstotliwości pasma przenoszenia od 0 do 2 [khz] i klasie dokładności 0,2 [%]. Zakres pomiarowy czujników to 0-4 [MPa]. To oznacza, że zmiany ciśnienia mogą być mierzone w czasie nie dłuższym niż 0,0005 [s] (1/2000 [Hz]), który wynosi 0,17 [%] okresu propagacji fali ciśnienia (4L/a 0,3 [s]). Przepływomierz turbinowy posłużył do pomiaru średniej prędkości przepływu. Jego zakres zastosowań był rzędu 1,5 [m 3 /h] (4,2 10 4 [m 3 /s]) i dokładności do 1 [%]. Przed rozpoczęciem badań układ hydrauliczny napełniono wodą i pozostawiono na parę dni w celu usunięcia nierozpuszczonego powietrza z cieczy. Naturalnie takie postępowanie nie spowodowało całkowitego pozbycia się powietrza, zwłaszcza tego rozpuszczonego, które wydzielało się podczas badań w wyniku obniżania się ciśnienia w układzie poniżej wartości ciśnienia nasycenia cieczy powietrzem. 4.1. Analiza ilościowa W analizowanych przepływach nieustalonych, ze względu na właściwości eksploatacyjne, bardzo ważne jest dokładne szacowanie maksymalnych ciśnień na kolejno występujących po sobie amplitudach ciśnienia (występujących cyklicznie aż do całkowitego zatrzymania przepływu), ważna jest też zgodność czasowa przewidywania kolejno występujących amplitud ciśnienia. Dotychczas w wielu pracach poświęconych symulowaniu przepływów nieustalonych w rurociągach z kawitacją [3, 7, 8, 22] nie przedstawiono metod matematycznych służących do porównywania przebiegów symulowanych z przebiegami eksperymentalnymi w sposób ilościowy. Autorzy skupiali się jedynie na ocenie jakościowej. Analiza ilościowa w niniejszej pracy polegać będzie na wyznaczaniu czterech parametrów (p p, t p, Rp p, Rt p ) charakteryzujących w uproszczony sposób stopień podobieństwa przebiegu symulowanego do eksperymentalnego. Parametry te omówione zostaną poniżej.

Modelowanie stanów nieustalonych w przewodach ciśnieniowych... Część 2 87 Warto nadmienić, że podczas analizowania pełnych przebiegów pulsacji ciśnienia ważnym parametrem definiującym ilość rozpatrywanych amplitud jest tzw. czas trwania procesu przejściowego t wpc, który definiowany jest jako czas, po upływie którego wychylenie y spełnia następującą nierówność [17]: yt ( ) y( ) y, (15) wpc gdzie: y(t wpc ) wartość, jaką osiągnie wielkość y po upływie czasu t wpc ; y( ) wartość, jaką osiągnęłaby wielkość y, gdyby oddziaływanie zewnętrzne miało idealnie statyczny charakter; Δy dopuszczalna różnica wielkości y(t wpc ) i y( ) (w tej pracy Δy = Δp = p z p za ). Znajomość wartości maksymalnych ciśnień (rys. 6 p 1 do p n ) z kolejnych symulowanych oraz eksperymentalnych amplitud przebiegów nieustalonych z kawitacją pozwala na wyznaczenie parametrów p pi. Opisują one procentowe odchylenia predykowanych maksymalnych wartości ciśnienia. Wyznaczane są szczegółowo z zależności: pis pie p pi = 100%, (16) p ie gdzie: p ie wartość maksymalnego ciśnienia na i-tej analizowanej amplitudzie przebiegu eksperymentalnego; p is wartość maksymalnego ciśnienia na i-tej analizowanej amplitudzie przebiegu symulowanego; liczba i powyższych parametrów p pi zależy od ilości n amplitud ciśnienia analizowanych podczas przepływu nieustalonego. Wyznaczenie błędów procentowych p pi dla wszystkich analizowanych amplitud przebiegu nieustalonego umożliwia określenie parametru p p, który jest bezwzględną średnią arytmetyczną procentowych odchyleń maksymalnych ciśnień wyznaczaną wg wzoru: n ppi pp = (17) n i= 1 oraz parametru Rp p określającego empiryczny obszar zmienności procentowych odchyleń maksymalnych ciśnień na amplitudach: Rp p = max p pi min p pi. (18)

88 K. Urbanowicz Rys. 6. Nieustalony przebieg ciśnienia z kawitacją Podobna analiza do tej związanej z badaniem maksymalnych ciśnień zostanie przeprowadzona w odniesieniu do czasów pojawiania się kolejnych amplitud ciśnienia (rys. 6 t 1 do t n ). Polegać będzie na wyznaczeniu parametru t pi, który charakteryzuje procentowe odchylenia symulowanych czasów pojawiania się poszczególnych rozpatrywanych i-tych amplitud ciśnienia w odniesieniu do czasów rzeczywistych (określonych na podstawie analizy wyników eksperymentalnych): t pi tis tie = 100%, (19) t ie gdzie: t ie czas pojawienia się i-tej amplitudy ciśnienia określony na podstawie analizy wyników eksperymentalnych; t is czas pojawienia się i-tej amplitudy ciśnienia oszacowany z wykorzystaniem analizowanego programu komputerowego. Wyznaczając wszystkie takie odchylenia dla analizowanego przebiegu, można zgodność symulacji do badań eksperymentalnych opisać jednym parametrem, tzw. bezwzględną średnią arytmetyczną procentowych odchyleń czasu pojawienia się amplitud ciśnienia wg zależności: t p n t pi =. n i= 1 (20)

Modelowanie stanów nieustalonych w przewodach ciśnieniowych... Część 2 89 Dodatkowo, znając wszystkie wartości parametrów t pi, można również wyznaczyć empiryczny obszar zmienności procentowych odchyleń czasu pojawienia się amplitud ciśnienia: Rt p = max t pi min t pi. (21) Im mniejsze wartości parametrów p p oraz t p, tym można uważać za lepsze podobieństwo przebiegów symulowanych w odniesieniu do eksperymentalnych. 4.2. Symulacje komputerowe Poniżej przedstawione zostaną w sposób graficzny na tle badań eksperymentalnych wszystkie otrzymane wyniki badań numerycznych (rys. 7-9) przebiegów zmian ciśnienia w przekroju tuż przy zaworze odcinającym przepływ. W pierwszej kolejności przeprowadzona zostanie analiza jakościowa otrzymanych wyników, dopiero po niej dokonana będzie analiza ilościowa. W przeprowadzonej analizie ilościowej brane pod uwagę będą wszystkie amplitudy do momentu wytłumienia się pulsacji ciśnienia (rys. 6). Szczegółowe początkowe wartości parametrów charakteryzujących przepływ oraz reprezentujących układ eksperymentalny (ukazany na rys. 5) zestawiono w poniższych tabelach 1 i 2. Badania zrealizowane zostały dla przepływów turbulentnych. Parametry reprezentujące przepływ i układ eksperymentalny Tabela 1 Lp. Parametr Wartość Lp. Parametr Wartość 1 2 3 4 5 Długość przewodu ciśnieniowego L Pochylenie przewodu ciśnieniowego γ Średnica wewnętrzna przewodu D Grubość ścianki przewodu e Prędkość propagacji fali ciśnienia c 98,56 [m] 6 Temperatura wody T w 22,6 [ C] 0,5 [ ] 7 Gęstość wody ρ l 1000 [kg/m 3 ] 0,016 [m] 8 Gęstość pary wodnej ρ v 0,8 [kg/m 3 ] 0,001 [m] 9 1280 [m/s] 10 Lepkość kinematyczna wody ν l Lepkość kinematyczna pary wodnej ν v 9,493 10 7 [m 2 /s] 8,7 10 9 [m 2 /s]

90 K. Urbanowicz Rys. 7. Przebieg I: v o = 1 [m/s]

Modelowanie stanów nieustalonych w przewodach ciśnieniowych... Część 2 91 Rys. 8. Przebieg II: v o = 1,7 [m/s]

92 K. Urbanowicz Rys. 9. Przebieg III: v o = 2,76 [m/s] Parametry początkowe (prędkość, ciśnienie przy zaworze) i brzegowe Tabela 2 Przebieg I II III Prędkość początkowa przepływu v o [m/s] 1,00 1,70 2,76 Liczba Reynoldsa [ ] 16855 28653 46518 Ciśnienie przy zbiorniku ciśnieniowym p z [Pa] 4,23 10 5 4,23 10 5 7,03 10 5 Ciśnienie przy zaworze p za [Pa] 3,27 10 5 1,75 10 5 1,19 10 5 4.2.1. Analiza jakościowa zaprezentowanych wyników a) Uwagi dotyczące modeli CSM oraz BCM Z zaprezentowanych w formie graficznej wyników, zauważyć można, że uwzględnienie zmiennych oporów hydraulicznych w powyższych modelach wpływa na polepszenie stopnia predykcji pojawiających się na amplitudach maksymalnych

Modelowanie stanów nieustalonych w przewodach ciśnieniowych... Część 2 93 ciśnień (wartości maksymalnych ciśnień są bliższe eksperymentalnym niż przy wykorzystaniu quasi-ustalonych oporów), powoduje również spadek zgodności szacowania czasów pojawiania się kolejnych amplitud (objawia się to tym, że po pewnym czasie amplitudy szacowane są w przeciwfazie z wynikami eksperymentalnymi rys. 7-9). b) Uwagi na temat modelu CSMA Analizując przebiegi symulowane modelem CSMA, w którym uwzględniono zmienne opory hydrauliczne (rys. 7-9), zauważono bardzo dobrą zgodność czasów pojawiania się kolejnych amplitud ciśnienia. Nie dochodzi tym samym do symulowania kolejnych amplitud w przeciwfazie. Niestety w momencie przechodzenia z przepływu nieustalonego z kawitacją w przepływ nieustalony bez kawitacji zaobserwowano, że maksymalne ciśnienia na kolejnych amplitudach znacznie odbiegają od zaobserwowanych podczas badań eksperymentalnych, co ujawniają poniższe powiększenia (rys. 10, 11 i 12). Warto dodać, że prawdopodobnie uwzględnienie pojawiającej się kawitacji gazowej pozwoli temu modelowi wyeliminować powyższe zaobserwowane błędy symulacyjne. A co za tym idzie, w sposób bardzo dobry odzwierciedlić fizykę przepływu nieustalonego z kawitacją. Rys. 10. Model CSMA powiększenie przebiegu I zmienne opory hydrauliczne

94 K. Urbanowicz Rys. 11. Model CSMA powiększenie przebiegu II zmienne opory hydrauliczne Rys. 12. Model CSMA powiększenie przebiegu III zmienne opory hydrauliczne c) Uwagi na temat modelu CSMG Model CSMG, w którym uwzględniono zmienne opory hydrauliczne w przedstawionych przykładach, charakteryzował się tym, że początkowo symulował dwie pierwsze amplitudy przebiegu w sposób bardzo dobry (rys. 13, 14 i 15), by niestety później w wyniku gwałtownego wytłumienia ciśnienia zbyt szybko przechodzić

Modelowanie stanów nieustalonych w przewodach ciśnieniowych... Część 2 95 z przepływu nieustalonego z kawitacją w przepływ nieustalony bez niej. W związku z przeszacowywaniem strat tarcia odradza się stosowanie tego modelu w praktyce. Istnieją jednak nowe wersje tego modelu [13], być może w nich wpływ obszaru wydzielonego powietrza jest ujęty w trochę inny sposób tym samym ich wykorzystanie może dawać lepsze rezultaty. Rys. 13. Model CSMG powiększenie przebiegu I zmienne opory hydrauliczne Rys. 14. Model CSMG powiększenie przebiegu II zmienne opory hydrauliczne

96 K. Urbanowicz Rys. 15. Model CSMG powiększenie przebiegu III zmienne opory hydrauliczne Warto zauważyć, że model CSMG w czasie, w którym go zaprezentowano (uwzględniano wtedy jedynie quasi-ustalony charakter oporów hydraulicznych) początek lat 80. poprzedniego stulecia, charakteryzował się bardzo dobrą dokładnością, lepszą od pozostałych modeli (świadczy o tym choćby dopasowanie tego modelu, jakie uzyskano uwzględniając jedynie quasi-ustalony charakter oporów dla przebiegu II rys. 8). 4.2.2 Analiza ilościowa Poniżej przedstawione zostaną szczegółowe wyniki badań ilościowych otrzymanych z wykorzystaniem procedury dokładnie omówionej w rozdziale 4.1. Wyniki dla PRZEBIEGU nr I, w którym analizowanych było trzynaście amplitud ciśnienia, pokazano w poniższych tabelach 3 i 4. By dokładnie określić wpływ zmiennych oporów na stopień zgodności przebiegów symulowanych z eksperymentalnymi, zbadano również te same przebiegi przy wykorzystaniu zwykłych quasi-ustalonych oporów (tab. 4). Z przedstawionych wyników widać, że uwzględnienie zmiennych oporów hydraulicznych we wszystkich modelach spowodowało polepszenie jakości szacowania pojawiających się na kolejnych amplitudach maksymalnych ciśnień p p. Najlepszym dopasowaniem charakteryzował się model CSM (którego suma dwóch głównych błędów p p i t p była mniejsza od 12%). Uwzględnienie zmiennych oporów w modelach CSM, CSMG i BCM spowodowało wzrost błędu t p odpowiadającego za zgodność

Modelowanie stanów nieustalonych w przewodach ciśnieniowych... Część 2 97 pojawiających się amplitud. Jedynie w modelu CSMA uwzględnienie zmiennych oporów spowodowało znaczną redukcję parametru t p (z 11,8% do 2,3%). Tabela 3 Analiza ilościowa zmienne opory hydrauliczne przebieg I Parametr Model CSM Model CSMA Model CSMG Model BCM p p [%] 5,2 19,9 9,2 12,4 Rp p [%] 24,0 77,5 37,3 45,3 t p [%] 5,3 2,3 9,8 4,3 Rt p [%] 5,8 11,7 9,4 7,7 Tabela 4 Analiza ilościowa quasi-ustalone opory hydrauliczne przebieg I Parametr Model CSM Model CSMA Model CSMG Model BCM p p [%] 28,7 68,3 15,6 30,8 Rp p [%] 63,4 131,1 33,5 57,3 t p [%] 1,3 11,8 3,3 2,9 Rt p [%] 7,6 22,0 4,5 11,6 Dla PRZEBIEGU nr II, w którym analizowane było 9 amplitud ciśnienia, wyniki ukazano w tabelach 5 i 6. Tabela 5 Analiza ilościowa zmienne opory hydrauliczne przebieg II Parametr Model CSM Model CSMA Model CSMG Model BCM p p [%] 8,4 15,4 24,0 6,4 Rp p [%] 26,0 54,6 50,9 22,0 t p [%] 5,9 1,1 11,8 6,3 Rt p [%] 2,1 3,7 11,4 2,8 Tabela 6 Analiza ilościowa quasi-ustalone opory hydrauliczne przebieg II Parametr Model CSM Model CSMA Model CSMG Model BCM p p [%] 18,0 27,0 12,2 19,5 Rp p [%] 49,0 79,6 48,0 43,9 t p [%] 4,5 8,8 1,0 4,3 Rt p [%] 8,5 3,4 4,1 8,7

98 K. Urbanowicz W analizowanym przypadku zauważono, że uwzględnienie zmiennych oporów hydraulicznych w modelach CSM, CSMA i BCM polepszyło stopień szacowania maksymalnych ciśnień p p. Niestety w modelu CSMG pogorszył się ten stopień (z p p = 12,2% dla quasi-ustalonych oporów do 24%, gdy uwzględniono zmienne opory). Podobnie jak w poprzednim analizowanym w sprawozdaniu przypadku zauważono, że uwzględnienie zmiennych oporów w modelach CSM, CSMG i BCM spowodowało wzrost błędu t p odpowiadającego za zgodność pojawiających się amplitud. Jedynie w modelu CSMA uwzględnienie zmiennych oporów spowodowało znaczną redukcję parametru t p (z 8,8% do 1,1%). W PRZEBIEGU nr III, w którym prędkość początkowa była najwyższa, analizowanych było sześć amplitud ciśnienia. Otrzymane wyniki dla tego przebiegu ukazują tabele 7 i 8. Tabela 7 Analiza ilościowa zmienne opory hydrauliczne przebieg III Parametr Model CSM Model CSMA Model CSMG Model BCM p p [%] 6,3 7,5 9,1 4,1 Rp p [%] 20,2 31,4 24,3 16,1 t p [%] 3,7 1,0 5,1 4,1 Rt p [%] 3,7 1,1 9,0 3,3 Tabela 8 Analiza ilościowa quasi-ustalone opory hydrauliczne przebieg III Parametr Model CSM Model CSMA Model CSMG Model BCM p p [%] 11,8 11,5 19,7 10,9 Rp p [%] 46,9 37,0 57,6 36,7 t p [%] 1,0 5,4 2,3 1,5 Rt p [%] 3,3 9,3 4,4 3,3 Uwzględnienie zmiennych oporów hydraulicznych we wszystkich modelach spowodowało polepszenie jakości szacowania pojawiających się na kolejnych amplitudach maksymalnych ciśnień p p. Najlepszym dopasowaniem charakteryzował się model BCM (którego suma dwóch głównych błędów p p i t p była mniejsza od 8,25%). Podobnie jak w poprzednich dwóch analizowanych przypadkach zauważono, że uwzględnienie zmiennych oporów w modelach CSM, CSMG i BCM odpowiada za pogorszenie stopnia dopasowania czasów pojawiania się kolejnych amplitud t p. Natomiast w modelu CSMA uzyskano poprawę stopnia dopasowania (t p zmalało z 5,4% do 1,0%).

Modelowanie stanów nieustalonych w przewodach ciśnieniowych... Część 2 99 5. Wnioski końcowe Uwzględnienie w znanych modelach kawitacji przejściowej: modelu rozerwania strumienia cieczy (CSM), modelu Adamkowskiego (CSMA) oraz modelu kawitacji pęcherzykowej (BCM) zmiennych oporów hydraulicznych przyczyniło się w znaczącym stopniu do poprawienia jakości szacowania pojawiających się na kolejnych amplitudach maksymalnych ciśnień (parametry p p ). Dowiodły tego przedstawione wyniki ilościowe. Niestety uwzględnienie zmiennych oporów powoduje nieznaczne w przypadku modeli CSM i BCM, natomiast w przypadku modelu CSMG znaczne zwiększenie się błędu szacowania momentów pojawiania się kolejnych amplitud w procesie symulacji (parametry t p ). Jedynie w modelu CSMA uwzględnienie zmiennych oporów hydraulicznych powoduje poprawienie zarówno predykcji maksymalnych ciśnień, jak i czasów pojawiania się kolejnych amplitud ciśnienia (poprawa zarówno parametru p p, jak i t p ). Uwzględnienie w tym modelu tłumiącego wpływu kawitacji gazowej może spowodować, że model ten będzie jednym z najdoskonalszych ze znanych obecnie na świecie modeli. W pracy szczegółowo poruszony został temat modelowania zmiennych oporów hydraulicznych zarówno dla przepływów laminarnych, jak i turbulentnych. Wyznaczono nową funkcję wagi dla przepływu laminarnego (26-wyrażeniową), na bazie której w dalszej części pracy, wykorzystując metodę skalowania, wyznaczano chwilowe postacie turbulentne funkcji wagi. Uwzględnienie nowych funkcji wagowych w efektywnym rozwiązaniu całki splotowej umożliwia bardzo dokładne symulowanie oporów hydraulicznych (tym samym stanów nieustalonych) w szerokim zakresie zastosowań praktycznych. Artykuł wpłynął do redakcji 1.07.2014 r. Zweryfikowaną wersję po recenzji otrzymano 19.06.2015 r. Literatura [1] Adamkowski A., Lewandowski M., Janicki W., Wasilewski J., Badania laboratoryjne zjawiska uderzenia hydraulicznego w warunkach rozerwania strumienia cieczy, Sprawozdanie z projektu badawczego nr N50402931/2026, Instytut Maszyn Przepływowych PAN, Nr arch. 792/08, Gdańsk, 2008. [2] Adamkowski A., Lewandowski M., A new method for numerical prediction of liquid column separation accompanying hydraulic transients in pipelines, 5th Joint ASME/JSME Fluids Engineering Conference, FEDSM2007-37617, San Diego, California, USA, July 30-August 2, 2007. [3] Adamkowski A., Lewandowski M., Experimental examination of unsteady friction models for transient pipe flow simulation, Journal of Fluids Engineering, ASME, vol. 128, no. 6, 2006, pp. 1351-1363.

100 K. Urbanowicz [4] Adamkowski A., Badania teoretyczne i doświadczalne łagodzenia uderzenia hydraulicznego zaworami odcinającymi i obejściowymi wirowych maszyn wodnych, Wydawnictwo Instytutu Maszyn Przepływowych PAN, z. 461/1423/96, Gdańsk, 1996. [5] Bagieński J., Niełacny M., Modele obliczeniowe uderzenia hydraulicznego z uwzględnieniem wydzielonego powietrza i kawitacji, Archiwum Hydrotechniki, t. 33, z. 3, 1986, s. 259 266. [6] Bergant A., Simpson A., Vítkovský J., Developments in unsteady pipe flow friction modelling, Journal of Hydraulic Research, IAHR, vol. 39 (3), 2001, pp. 249-257. [7] Bergant A., Simpson A.R., Pipeline column separation flow regimes, Journal of Hydraulic Engineering, August 1999, pp. 835-848. [8] Chaiko M.A., A finite volume approach for simulation of liquid column separation in pipelines, Trans. of ASME, November 2006, pp. 1324-1335. [9] Deng Song-Sheng, Zhou Shao-Qi, Liao Zhen-Fang, Qiu Zheng-Yang and Zeng Shun-Peng, Theoretical analysis on hydraulic transient resulted by sudden increase of inlet pressure for laminar pipeline flow, Applied Mathematics and Mechanics, vol. 25, no. 6, June 2004, pp. 672 678. [10] International Association of Hydraulic Engineering (IAHR) Working Group: Hydraulics transients with water column separation, IAHR working group 1971-1991 Synthesis Report. Enel, 12 April 2000. [11] Izquierdo J., Perez R., Iglesias P.L., Mathematical models and methods in the water industry, Mathematical and Computer Modelling, vol. 39, no. 11-12, June 2004, pp. 1353-1374. [12] Kagawa T., Lee I., Kitagawa A., Takenaka T., High speed and accurate computing method of frequency-dependent friction in laminar pipe flow for characteristics method, Trans. Jpn. Soc. Mech. Eng., Ser. A, 49 (447), 1983, pp. 2638-2644 (in Japanese). [13] Kessal M., Bennacer R., Modeling of Dissolved Gas Effect on Liquid Transients, J. Appl. Mech., 73(1), 2006, pp. 112-119. [14] Kudźma S., Zarzycki Z., Zastosowanie efektywnej metody symulacji niestacjonarnego tarcia cieczy do badania przebiegów przejściowych z hydrauliczną linią długą, Zeszyty Naukowe Katedry Mechaniki Stosowanej nr 29, XLIV Sympozjon PTMTS modelowanie w Mechanice 27 lutego- 3 marca 2005, Gliwice 2005, s. 279-284. [15] Kudźma S., Modelowanie i symulacja przebiegów dynamicznych w układach hydraulicznych z uwzględnieniem niestacjonarnego tarcia cieczy w przewodach zamkniętych, praca doktorska, Szczecin, 2005. [16] Levenberg K., A Method for the Solution of Certain Non-Linear Problems in Least Squares, Quarterly of Applied Mathematics, 2, 1944, pp. 164-168. [17] Marchelek K., Dynamika obrabiarek, WNT, Warszawa, 1974. [18] Marquardt D., An Algorithm for Least-Squares Estimation of Nonlinear Parameters, SIAM Journal on Applied Mathematics, 11 (2), 1963, pp. 431-441. [19] Niełacny M., Uderzenia hydrauliczne, Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej, Poznań, 2002. [20] Orzechowski Z., Przepływy dwufazowe, PWN, Warszawa, 1990. [21] Schohl G.A., Improved Approximate Method for Simulating Frequency Dependent Friction in Transient Laminar Flow, Journ.of Fluids Eng., Trans. ASME, vol. 115, September 1993, pp. 420 424. [22] Shu J.J., Modelling vaporous cavitation on fluid transients, Intern. Journal of Pressure Vessels and Piping, vol. 80, 2003, pp. 187-195. [23] Trikha A.K., An Efficient Method for Simulating Frequency-Dependent Friction in Transient Liquid Flow, Journ. of Fluids Eng., Trans. ASME, March 1975, pp. 97-105.

Modelowanie stanów nieustalonych w przewodach ciśnieniowych... Część 2 101 [24] Urbanowicz K., Zarzycki Z., Convolution integral in transient pipe flow, Proc. of XX Fluid Mechanics Conference KKMP2012 (Gliwice, Poland, 17-20 September 2012), on CD. [25] Vardy A.E., Brown J.M.B., Efficient Approximation of Unsteady Friction Weighting Functions, Journal of Hydraulic Engineering, ASCE, 2004, vol. 130, 11, pp. 1097-1107. [26] Vardy A.E., Brown J.M.B., Transient turbulent friction in smooth pipe flows, Journal of Sound and Vibration, vol. 259, Issue 5, 30 January 2003, pp. 1011-1036. [27] Vítkovský J.P., Stephens M.L., Bergant A., Simpson A.R., Lambert M.F., Efficient and accurate calculation of Zilke and Vardy-Brown unsteady friction in pipe transients, 9th International Conference on Pressure Surges, Chester, United Kingdom, 2004, 24-26 March, pp. 405-419. [28] Wichowski R., Przepływy nieustalone w sieciach pierścieniowych, Przegląd Mechaniczny, z. 4, 2005. [29] Wylie E.B., Streeter V.L., Fluid transients, Mc Graw Hill, New York, 1978. [30] Zarzycki Z., Kudźma S., Simulations of transient turbulent flow in liquid lines using time dependent frictional losses, Proceedings of the 9th International Conference on Pressure Surges, BHR Group, Chester, UK, 24-26 March 2004, pp. 439-455. [31] Zarzycki Z., Urbanowicz K., Modelowanie stanów nieustalonych podczas uderzenia hydraulicznego z uwzględnieniem kawitacji przejściowej w przewodach ciśnieniowych, Chemical and Process Engineering PAN, z. 3/1, t. 27, Wrocław, 2006, s. 915-933. [32] Zarzycki Z., On Weighting Function for Wall Shear Stress During Unsteady Turbulent Flow, Proc. of 8th International Conference on Pressure Surges, BHR Group Conference Series, no 39, 12-14 April, The Hague 2000, The Netherlands, pp. 529-534. [33] Zielke W., Frequency-Dependent Friction in Transient Pipe Flow, Journ. of ASME, 90, March 1968, pp. 109-115. K. URBANOWICZ Modelling transient pipe flow with cavitation and frequency dependent friction part II (friction and numerical-experimental validation) Abstract. Modelling of time-depended hydraulic friction is not an easy issue. As numerous studies have shown, wall shear stress in the pipe can be determined as a sum of the quasi-steady and time-dependent expressions. Time-depended expression is an convolution integral of the local acceleration of the liquid and a weighting function. The weighting function, in general, makes allowance for relation of historic velocity changes and unsteady component of wall shear stress. The original weighting function has usually a very complicated structure, and what is more it makes impossible to do an efficient simulation of dynamical runs. In this paper, in order to enable efficient calculation of unsteady component wall shear stress, new weighting functions are presented as a sum of exponential components. To aim this goal in case of turbulent flow, the scaling procedure proposed by Vitkovsky et al. is used. This method makes very easy the estimation of any new turbulent weighting function. Presented approximated weighting functions are compared with the original counterparts, known from literature in case of laminar and turbulent flows. Using the previously discussed models of cavitation flow CSM, CSMG, CSMA, and the BCM with implemented effective weighting function a series of simulation studies has been made, which showed that the introduced changes in models of unsteady flow with cavitation greatly improve the degree of simulation fit in comparison with experimental results. Keywords: numerical fluid mechanics, transient flow, cavitation, frequency-dependent friction losses, pipeline, waterhammer DOI: 10.5604/12345865.1168726