CZYM ZROZUMIEĆ MÓZG? Maek Beezowsk Poltechnka Śląska Instytut Matematyk 2008 Sps teśc Rozdzał 1. Wstęp Rozdzał 2. O faktalach chaose słów klka Rozdzał 3. Analtyczne ozważana o faktalu Mandelbota Rozdzał 4. Co wspólnego ze sztuką ma eakto chemczny Rozdzał 5. Czy mózg, to neoganczony kompute Rozdzał 1. Wstęp Mmo, że ne będzemy wnkal w to, co to jest mózg jake zachodzą w nm zjawska, spóbujemy odpowedzeć na pytane jak on pacuje, albo aczej jak ne pacuje. Czy jest to jedyne badzo skomplkowana maszyna bologczna, czy może coś węcej. Czy jesteśmy w stane kedykolwek go zozumeć. Otzemy sę o poblemy algoytmów, zastanowmy sę tochę nad najbadzej skomplkowanym twoem geometycznym jakm jest faktal. Spóbujemy wypowadzć wzoy do lczena faktala Mandelbota. Spawdzmy czy matematyka może twozyć dzeła sztuk. I co z tym wspólnego ma eakto chemczny. Zastanowmy sę czy matematyka jest wszechmocna, czy też może jest tylko częścą czegoś. Dojdzemy weszce do tego co Sokates, że wemy, że nc ne wemy, tak już zostane. Rozdzał 2. O faktalach chaose słów klka Wyobaźmy sobe spchlez, w któym wysypano obok sebe dwa odzaje zaen. Ne óżną sę one z pozou nczym, są podobnego ozmau, kształtu, mają ten sam bały kolo. Różn je jedno, manowce to, że z jednego zana wyasta zboże zelone, a z dugego czewone. Zadanem sewców jest zasać dwa óżne pola tak, by na jednym wyosło wyłączne zboże zelone, a na dugm wyłączne czewone. Sewcy ne mogą dopuścć do tego, by na danym polu zboża sę wymeszały. Cóż, kedy ne wdać gancy mędzy oboma gatunkam zaen na podłodze spchleza. Zana mają bowem ten sam bały kolo. Sewcy muszą jednak tę gancę jakoś okeślć, bo jak wadomo na jednym polu ma wyosnąć
2 tylko jeden gatunek zboża. Ułatwmy tochę obotę sewców załóżmy, że jeśl take zaenko sę pześwetl, wdać jak ma wewnątz kolo. Zadane jake pzed sewcam sto jest zatem dość poste do wykonana, aczkolwek paca żmudna czasochłonna. Załóżmy, że cała powezchna, na któą wysypano oba odzaje zaen, jest postokątna. Sewcy zastosowal następujący sposób. Pobal zaenko z lewego dolnego ogu postokąta pześwetll je. Okazało sę, że ma ono wewnątz kolo zelony. Sewcy wzęl kolejne zaenko z tego samego zędu także pześwetll je. Znowu pokazał sę kolo zelony. W ten sposób sewcy pzebadal kolejne zaenka. Pzy pześwetlanu jednego z nch okazało sę, że ma ono kolo czewony. Sewcy natychmast umeścl na podłodze spchleza znak w mejscu, z któego pobal to zaenko. Badając w ten sposób kolejne zędy ozsypanych w spchlezu zaen, znak umeszczone w postokątnym polu pokazały gancę mędzy dwoma gatunkam zboża. Gancą tą okazała sę lna dzeląca cały postokąt na dwa obszay: jeden, w któym leży zano dające zboże zelone, dug, w któym leży zano dające zboże czewone. Tak jak to wdać na ysunku 1. Rysunek 1. Ledwo jednak sewcy skończyl żmudną pacę, ktoś szeoko otwozył wota spchleza slny wat mocno pomeszał oba gatunk zaen. Wyznaczona pzed chwlą ganca stała sę nepzydatna. Oczywstym jest, że teaz nowa ganca ne będze już tak wyazsta, ne będze lną. Ne wadomo czy w ogóle uda sę ją wyznaczyć. Wat poozwewał bowem chaotyczne całe gaśce zaen po postokące, pozostawając gdze negdze gołą czaną zemę, jak wdać to na ysunku 2.
3 Rysunek 2. Zadane sewców pozostaje jednak to samo: ozdzelć zana tak, by można było zasać oba pola óżnym zbożem, osobno zelonym, osobno czewonym. Jaką zatem metodę pownn pzyjąć tym azem. Zdecydowal, że zastosują ten sam sposób co popzedno, stawając znak o odpowednm koloze tam, gdze odkyją, że zmenł sę typ zana. Jak postanowl tak zobl. W czase pacy zauważyl, że badzo tudno jest tym azem pzewdzeć jakego typu zaenko będze następne. Ostateczne ujzel na podłodze obaz tak jak na ysunku 3.
4 Rysunek 3. Wdać teaz wyaźne, w któym mejscu leżały zana dające kłosy zelone, a któe czewone. Jeśl pzypatzymy sę blżej temu obazow, to zauważymy, że w jego gónym pawym ogu zana poukładane były sę w podobnym kształce jak w całym postokące. Jeśl, z kole, pzeanalzujemy ten mały fagment, to zobaczmy w nm jeszcze mnejszy fagmenck, pzypomnający kształtem cały obaz. Te coaz to mnejsze fagmenty ne mają oczywśce dentycznych kształtów, są jedyne do sebe podobne. Można zadać pytane co one pzedstawają geometyczne? W popzednm pzypadku, zanm jeszcze wat dał sę sewcom we znak, postokąt podzelony był na dwa egulane, dobze wdoczne, obszay. Obaz jak uzyskal sewcy tym azem już tak ne jest. Malowdło, na któym coaz mnejsze fagmenty są do sebe podobne nazwemy faktalem. Pzypomnjmy, że to ne sewcy są jego autoem, a wat. Pzy okazj wato wspomneć, że o tym, jak to wat potaf malować obazy faktalne psał Rchad Taylo w atykule p.t. Poządek w chaose Pollocka, któy ukazał sę w Śwece Nauk w lutym 2003 oku [6]. Taylo opsał tam ekspeyment, jak to ozwesł płótno na gałęzach dzew, obok zaczepł pojemnk z koloowym fabam czekał na slny wat. Po pzejścu buzy stwedzł, że to co namalował wat na płótne, ozchlapując fabę, jest faktalem: coaz to mnejsze fagmenty tego malunku pzypomnały bowem całość.
5 Uznaje sę sę, że pewszym, któy odkył faktale w geomet jest matematyk polskego pochodzena Benot Mandelbot. Wygeneował on komputeowo pewen populany obecne twó geometyczny, nazwany od jego mena faktalem Mandelbota (ysunek 4). Rysunek 4. Faktal Mandelbota. Mmo, że twó ten uznawany jest za najbadzej skomplkowaną stuktuę geometyczną jaką kedykolwek wygeneował człowek, powstał on ze stosunkowo postego wzou matematycznego: z z 2 + c, gdze z c są tzw. lczbam zespolonym. Faktale występują paktyczne wszędze. Chaakteyzuje je z eguły to, że ne mają wymau całkowtego (tak jak odcnek - 1, kwadat 2 czy sześcan 3), lecz ułamkowy. Wykazalśmy z moją dyplomantką, że dozecza ozlewska Nlu w okolcy Tamy Asuańskej mają wyma ok. 1.5, zblżony do wymau faktala Mandelbota (obaz sateltany na ysunku 5).
6 Rysunek 5 (okolce Tamy Asuańskej). Rozdzał 5. Analtyczne ozważana o faktalu Mandelbota. Zastanówmy sę, czy fguę pzedstawoną na ysunku 4, zwaną faktalem Mandelbota, można wyznaczyć analtyczne, mmo że jest to jedną z najbadzej złożonych stuktu geometycznych jake do tej poy stwozył człowek? Innym słowy, czy stneje możlwość wypowadzena matematycznych wzoów, któe pozwolłyby w sposób ścsły, jednoznaczny bezpośedn na wylczene wszystkch fagmentów tej fguy? Spóbujemy odpowedzeć na to pytane. Poneważ w zależnośc Mandelbota występują tzw. lczby zespolone, tzeba najpew o nch wspomneć. Defnuje sę je jako: z = z + z (1) gdze z z są zwykłym lczbam zeczywstym. Natomast jest dość dzwną lczbą, bo podnesona do kwadatu daje watość -1: 2 ( ) = 1 (2) Dlatego nazwano ją lczbą uojoną.
7 Lczb zespolonych używa sę w óżnego typu oblczenach. M.n. tam, gdze występują dgana. Lczbę zespoloną można pzedstawć gafczne, na tzw. płaszczyźne Aganda, tak jak na ysunku 6. Rysunek 6. Ilustacja gafczna lczby zespolonej. Oś pozoma odpowada częśc zeczywstej, a ponowa częśc uojonej lczby z. Łącząc odcnkem punkt o współzędnych ( z, z ) z początkem układu współzędnych (0,0) kozystając z twedzena Ptagoasa, można wylczyć długość tego odcnka ze wzou: z = z + (3) 2 2 z Odcnek ten jest nachylony do os z pod pewnym kątem ϕ, co oznacza, że: z = z cosϕ ; z = z snϕ (4) Wóćmy do faktala Mandelbota z ys. 4. Otóż pełny jego obaz jak już wspomnano - otzymuje sę ze stosunkowo postego wzou matematycznego: z z 2 + c (5)
8 w któym zmenna z stała c są lczbam zespolonym. Jak szczegółowo sę to ob pzedstawone zostane nżej. Kozystając z defncj (1) (2), elację (5) zapsać możemy zatem w fome zespolonej jako: 2 ( z + z ) + c c z + z + lub w ównoważnej fome dwóch ównań zeczywstych: z z z + c 2 2 (6) (7) z 2 z z + c (8) Powyższe wzoy (5)-(8) są tzw. wzoam ekuencyjnym, co oznacza, że watość z lewej stony wstawa sę do stony pawej, co daje kolejną watość z lewej stony td. Numeyczna konstukcja zbou Mandelbota z ys. 4 jest następująca [1-5]. Dla z = 0 z = 0 zakłada sę dowolne watośc c c, co - zgodne z elacjam (7)-(8) - daje nowe watośc z z. Te z kole dają watośc następne, td., td. Jeśl po dużej lczbe takch ekuencyjnych koków długość odcnka z, wyznaczona wzoem (3), ne ośne neoganczene, na płaszczyźne Aganda stawa sę punkt o współzędnych ( c, c ). Jeśl natomast watość z ośne neoganczene (np. pzekacza pewną badzo dużą lczbę), na płaszczyźne Aganda ne stawa sę żadnego punktu. W paktyce, gdy z > 2, mamy pewność, że w następnych kokach długość odcnka będze osła neoganczene [1,2]. Powtazając tę poceduę dla welu óżnych watośc c c, otzymuje sę obaz w postac chmuy punktów jak na ys. 4. Wóćmy do pytana postawonego na wstępe, tj. czy uzyskany numeyczne (w opsany wyżej sposób) zbó Mandelbota można otzymać także dogą analtyczną. Innym słowy, czy jest możlwość wypowadzena wzoów matematycznych, z któych wpost można by wylczyć wszystke fagmenty faktala. Żeby na to odpowedzeć potzebna będze podstawowa wedza z zakesu tzw. bfukacj ozwązań ównań ekuencyjnych [2]. Pzez bfukację ozume sę zmanę typu ozwązana, np. zmanę z ozwązana stałego, na ozwązane oscylacyjne. Załóżmy bowem, że dla danej watośc c, tzn. dla danych watośc c c, elacje (7)-(8) geneują cąg ne zmenających sę lczb: watośc c elacje te geneują cąg skaczących lczb z k = A. Dla nnej zaś z : (A,B,A,B,A ) lub ucekających k do neskończoność. Istneć zatem mus jakaś ganczna watość c, któa ozdzela jeden typ ozwązana od dugego. Całkem jak w pzykładze z sewcam. Taką ganczną watość nazywana jest watoścą bfukacyjną, a zmanę typu ozwązana, bfukacją. Spóbujemy
9 analtyczne okeślć bfukacyjną watość stałej c dla zbou Mandelbota następne zaznaczyć jej położene na płaszczyźne Aganda. Zanm to jednak zobmy, zacznjmy od postego pzykładu ekuencj: x ax (9) któa daje cąg lczb: x x x. x. 1 2 3 = ax 0 = ax 1 = ax 2 = a = a 2 3 N = axn 1 = x x a 0 0 N x 0 pzy czym x 0 jest dowolną watoścą początkową lczby x. Wdać wyaźne, że jeśl a < 1, to kolejne watośc zmennej x zblżają sę do zea. Jeśl natomast a >1, dążą one do plus lub mnus neskończonośc. Watość a =1 jest zatem watoścą bfukacyjną to bez względu na to czy a jest lczbą zeczywstą czy zespoloną. W pzypadku, gdy a jest lczbą zeczywstą powyższy wnosek jest oczywsty: podnoszene lczby zeczywstej do coaz to wększej potęg daje wynk bezwzględne coaz to mnejszy lub coaz to wększy, w zależnośc od tego czy a jest lczbą z pzedzału od -1 do 1, czy z poza tego pzedzału. Gdy a jest lczbą zespoloną, można - jak wemy - zapezentować ją na wykese w postac odcnka o długośc a, nachylonego do os zeczywstej pod pewnym kątem. Podnoszene lczby zespolonej a do coaz to wększej potęg oznacza zatem zmnejszane lub zwększane długośc tego odcnka, w zależnośc od tego czy jego długość początkowa była mnejsza czy wększa od 1. Ze wzostem potęg zwększa sę także wspomnany kąt, ale to powoduje jedyne zmanę nachylena odcnka do os zeczywstej. Relacja (9) oaz ównoważny jej układ ównań (10), są zależnoścam lnowym. Zaówno bowem lewe jak pawe stony są wyażenam opsującym lne poste. Model Mandelbota (5), ze względu na to, że zmenna z podnoszona jest w nm do kwadatu, jest zależnoścą nelnową. Ne zmena to faktu, że może on także geneować bfukacje. Aby je analtyczne wyznaczyć należy podobne jak popzedno - okeślć waunk, dla któych kolejne wyazy cągu (5) pzestają dążyć do pewnej stałej watośc, nazwjmy ją (10) z s, a zachowują sę skokowo lub dążą do neskończonośc. W ten sposób znajdzemy punkt bfukacyjny. Najpew wyznaczymy wspomnaną stałą watość z s kozystając z (5) (4): ( cosϕ + snϕ ) z 2 ( cosϕ ) 2 c = z z 2 = z sn ϕ (11) s s s s +
10 Omówona wyżej metoda wyznaczana punktu bfukacyjnego dotyczyła modelu lnowego. Chcąc zastosować ją do modelu nelnowego, ne pozostaje nc nnego jak apoksymować go lną postą w punkce z s (czyl dokonać tzw. lneayzacj w punkce z s ) dalej pzepowadzć te same ozważana bfukacyjne co popzedno. Co to jednak znaczy apoksymować nelnowy model lną postą? Weźmy pod uwagę ogólną postać ównana postej y = Ax + B (12) Współczynnk A stojący pzy zmennej x, tzw. współczynnk keunkowy postej, jest tangensem kąta nachylena tej postej do os x. Lna posta, któa apoksymuje kzywą w danym jej punkce, jest styczną tej kzywej w tym punkce. Oznacza to, że kąt nachylena kzywej do os x w badanym punkce jest tak sam jak kąt nachylena stycznej. A węc, jeśl chcemy okeślć ównane postej, któa ma apoksymować kzywą w danym jej punkce, musmy wyznaczyć tangens kąta nachylana kzywej w tym punkce do os x. Będze on współczynnkem keunkowym szukanej postej apoksymującej. W jak sposób wyznaczyć watość tego tangensa? Dla kzywej opsanej ogólnym nelnowym ównanem postac y = f (x) (13) szukany tangens w punkce x 0 okeślć można, w pzyblżenu, jako: f ( x ) f ( x ) 0 tgα = (14) x x 0 Oczywstym jest, że m badzej watość x zblżona będze do watośc x 0, tym badzej pzyblżene to będze dokładnejsze. Gdy x znajduje sę neskończene blsko x 0, wyznaczony tangens nazywa sę pochodną funkcj f(x) w punkce x 0. A zatem, chcąc okeślć współczynnk keunkowy postej apoksymującej kzywą w danym punkce, należy wyznaczyć watość pochodnej funkcj f(x) w tym punkce. W skład ównana postej wchodz ne tylko współczynnk keunkowy A, ale także dug współczynnk, B. Ne będze on nam jednak potzebny. O bfukacj decyduje bowem tylko A. Mamy zatem wszystke nazędza potzebne do wyznaczena gancznej, bfukacyjnej, watośc stałej c we wzoze Mandelbota. Szukany tangens apoksymującej postej to pochodna pawej stony elacj (5), okeślona w punkce z s. A zatem: A = 2z s (15) Z pzepowadzonego wyżej wywodu, dotyczącego elacj lnowych (9)-(10), wynka, że bfukacja zachodz dla A =1. Boąc pod uwagę (15) oznacza to, że bfukacja następuje dla
11 1 z s = (16) 2 Wstawene tej watośc do (11) powadz do ównana zespolonego: 1 1 c = ( cosϕ + snϕ ) ( cosϕ + snϕ ) 2 (17) 2 4 któe ównoważne jest układow ównań zeczywstych: c c 1 1 = cosϕ cos 2ϕ 2 4 1 1 = snϕ sn 2ϕ 2 4 Zmenając watość kąta ϕ od 0 do 2π uzyskuje sę pełną kzywą bfukacyjną. Okazuje sę, że jest ona bzegem najwększej częśc faktala Mandelbota, tzw. kadoda (pzypomna sece), co pokazano na ysunku 3 [1],[4]. Wewnątz obszau oganczonego kadodą kolejne wyazy cągu Mandelbota (18) z dążą do jakejś stałej watośc. Na zewnątz tego obszau k kolejne wyazy tego cągu zachowują sę w sposób skokowy lub ucekają do neskończonośc. Rysunek 7. Kzywe bfukacyjne (lne gube).
12 W podany wyżej sposób wyznaczyć można bzeg pozostałych podobszaów faktala Mandelbota, pzyjmując za bfukację zmanę danej oscylacj skokowej na badzej złożoną oscylację skokową, np. zmanę - tak zwanej - oscylacj jedno-okesowej na oscylację dwuokesową, tój-okesową td., ogólne na oscylację N-okesową. Dla bfukacj zmenającej oscylacje jedno-okesowe na dwu-okesowe końcowe wzoy są następujące: c c 1 = cosϕ 1 4 1 = snϕ 4 Zmenając watość kąta ϕ od 0 do 2π uzyskuje sę bzeg obszau mnejszego z ysunku 3 [1,4]. Mylłby sę jednak ten, kto by pzypuszczał, że analtyczne wyznaczyć można w ten sposób cały zbó Mandelbota, tj. wszystke jego bzeg. Jest to nemożlwe pzede wszystkm dlatego, że bzegów tych jest neskończene dużo. Nasza umejętność pzekształceń matematycznych ne pozwala natomast na wyznaczenu nawet czwatego bzegu. Wąże sę to bowem z wylczenem pewastków welomanów wysokch zędów, co analtyczne jest nemożlwe. Na aze udało sę matematyczne wyznaczyć jeszcze jeden bzeg, dla pzejśca do oscylacj tój-okesowej. Zanteesowanych odsyłam do lteatuy [1],[2],[4]. Pzy okazj wato także zastanowć sę nad algoytmcznym sposobem wyznaczana faktala Mandelbota. Jak wspomnano, sposób ten polega na tym, że na płaszczyźne Aganda stawa sę punkt, gdy watośc wyazów cągu (5) ne zmezają do neskończonośc. Jak jednak numeyczne stwedzć, że cąg ne jest ozbeżny? Może po postu za kótko czekamy na wynk w następnych kokach oblczenowych cąg zaczne sę ozbegać? Z pomocą pzychodz tu pewne twedzene, któe głos, że jeśl z pzekoczy watość 2, to następne wyazy cągu (5) na pewno dążyć będą do neskończonośc. W takm pzypadku można pzewać oblczena, ne zaznaczając na płaszczyźne żadnego punktu pzejść do kolejnej watośc stałej c. Tak sposób postępowana jest newątplwe algoytmem. Ne ma natomast algoytmu pozwalającego jednoznaczne stwedzć, że cąg (5) jest zbeżny! Ne ma bowem żadnej pewnośc, że następne wyazy tego cągu ne pzekoczą watośc 2 [1]. Wobec tego należy wyaźne powedzeć, że zbó z ys. 1, zwany faktalem Mandelbota, ne jest twozony algoytmczne! (19)
13 Rozdzał 3. Co wspólnego ze sztuką ma eakto chemczny Jak już wspomnałem, w lutowym numeze Śwata Nauk z 2003 oku ukazał sę cekawy atykułu Rchada P. Tayloa, pofesoa fzyk Unwesytetu Stanu Oegon [6]. Dotyczy on główne matematyczno komputeowej analzy wybanych dzeł malaza Jacksona Pollocka. Jeden z obazów atysty pezentuje ysunek 4. Rys.8. Obaz Pollocka. Eyes heat. W swom atykule Taylo skupł uwagę na wykazanu, że stwozone pzez Pollocka stuktuy atystyczne mają chaakte faktalny. Udowodnł bowem, że fagmenty obazu są podobne do całośc mają ten sam wyma co cały obaz. Cechą chaakteyzującą faktale jest bowem to, że fagment danej stuktuy geometycznej, powększony odpowedną lość azy, pzypomna całość ma, w pzyblżenu, ten sam wyma co całość. Taylo wykazał ponadto, że wyma stuktu geometycznych stwozonych pzez Pollocka wzastał na pzestzen lat
14 od D=1,12 do 1,90. Oznacza to, że na kolejnych płótnach stawały sę one coaz badzej złożone. Pzypomnjmy, że D=0 oznacza pzestzeń o zeowym wymaze, czyl punkt. D=1 oznacza, z kole, pzestzeń jednowymaową, czyl lnę, D=2 pzestzeń dwuwymaową, czyl płaszczyznę, natomast D=3 pzestzeń tójwymaową, czyl byłę. Ułamkowa watość wymau oznacza, że ma sę do czynena z pzestzeną necałkowce wypełnoną, czyl z czymś pośednm mędzy jednym a dugm wymaem, mędzy jedną a dugą stuktuą. I tak, pzykładem faktala o wymaze z zakesu od 0 do 1 jest tzw. zbo Cantoa złożony z odcnków o zeowej długośc (D=0.631; ys.9). Rys.9. Zbó Cantoa. W pzypadku D z zakesu od 1 do 2 może to być zbó neskończene welu tójkątów o zeowym polu (np. tójkąt Sepńskego, D=1.585, ys.10), Rys.10. Tójkąt Sepńskego.
15 natomast w pzypadku D z zakesu od 2 do 3 może to być zbó neskończene welu sześcanów o zeowej objętośc (np. gąbka Mengea, D=2.727, ys.11). Rys.11. Gąbka Mengea. Wyznaczając wymay stuktu dzeł Pollocka, Taylo zastosował tzw. metodę satk, któą dość szczegółowo opsał w swom atykule. Ogólne zecz ujmując polega ona na tym, że dany obaz, czy też jego fagment, dzel sę na N małych kwadatów następne okeśla lczbę kwadatów N(s), w któych pojawły sę chaakteystyczne elementy obazu. Wyma badanej stuktuy okeślć można wówczas w pzyblżenu ze wzou: [ N( s) ] ( N ) lg D = 2 (20) lg Ze stuktuam faktalnym mamy do czynena nemal w każdej dzedzne życa. Występują one paktyczne wszędze w otaczającym nas śwece. Patząc na fotogafę kamena umeszczonego na jednoltym neutalnym tle ne jesteśmy w stane stwedzć czy wdzmy kameń czy też olbzymą góę (efekt ten wykozystywany jest czasam pzez scenogafów). Obaz gałązk sosny, powększony odpowedną lość azy, pzypomna całe dzewo. Podobne zecz ma sę z chmuam, płatkam śnegu, lnam bzegowym, błyskawcam, układem newowym, układem kwonośnym, pęknętą szybą. td. td. Można zatem śmało powedzeć, że faktale są zeczywstym otaczającym nas twoam geometycznym. W pzyodze ne stneje bowem dealny odcnek, koło czy sześcan. W paktyce codzennej posługujemy sę pojęcam stuktu dealnych poneważ upaszczając w ten sposób zeczywstość, łatwej dokonać jej matematycznego zapsu. Czy zamodelowane złożonej stuktuy faktalnej mus być jednak matematyczne złożone? Okazuje sę, że ne. Dobym pzykładem jest faktal Mandelbota (ys.1), któy
16 mmo, że jest stuktuą o neskończonej złożonośc, daje sę opsać badzo postą zależnoścą ekuencyjną. Poblemem, któym sę m.n. zajmuję jest analza dynamk eaktoów chemcznych, tj. uządzeń, w któych zachodzą eakcje chemczne. Ścśle mówąc, analza ta ne dotyczy uządzeń fzycznych, ale ch matematycznych model. Okazuje sę, że eaktoy chemczne geneować mogą badzo złożone zjawska dynamczne, jak np. okesowe bądź neokesowe oscylacje tempeatuy stężeń eagujących składnków. W skajnym pzypadku oscylacje te mogą być chaotyczne. Boąc powyższe pod uwagę postanowłem zbadać czy, stosując wspomnaną metodę Mandelbota, uzyska sę podobne złożone stuktuy ozwązań model eaktoów. Pzesłanką pozwalającą pzypuszczać, że otzymane obazy mogą być ówne skomplkowane było to, że modele eaktoów chemcznych geneują czasem chaos [7,8,9,10]. Chaos zaś neozewalne zwązany jest z faktalam [2,11]. Należało zatem zastosować algoytm badający wpływ watośc początkowych tempeatuy stężena na typ ozwązana modelu matematycznego. W efekce uzyskałem obazy jak na ysunku 8. Różne koloy oznaczają óżną ważlwość. Obsza bały dotyczy sytuacj, w któej model w ogóle ne daje ustalonego ozwązana. Rys.8. Wpływ waunków początkowych na stablność ozwązań modelu eaktoa.
17 Dla okeślena wymau stuktuy z ysunku 6 zastosowałem metodę, któą użył Taylo do badana obazów Pollocka. Żeby ocenć czy stuktua ta jest faktalem, należało spawdzć czy uzyskany wyma jest, w pzyblżenu, tak sam dla kolejnych powększeń wybanego fagmentu obazu (ysunk 9 10). W ezultace okazało sę, że wszystke badane obszay mają mnej węcej ten sam wyma D=1.7, co oznacza, że stuktua jest faktalem. Rys.9. Fagment ysunku 8.
18 Rys.10. Fagment ysunku 9. W zakończenu należy dać odpowedź na zadane w tytule nnejszego ozdzału pytane: co wspólnego ma eakto chemczny ze sztuką? A aczej, co jego matematyczny model ma wspólnego ze sztuką? Można odpowedzeć, że model ten maluje obazy. Odwacając poblem należałoby zapytać, co sztuka ma wspólnego z matematyką? Pofeso Mchał Helle postawł tezę, że Bóg jest matematyką [13,14]. Czy to oznacza, że wszystko jest matematyką? Z pacy Tayloa wynka, że w sposób ścsły można okeślć pozom estetyczny danego dzeła, pzynajmnej w pewnym jego zakese. To oznacza, że estetyka ne koneczne mus być subektywna, poneważ matematyka ne jest subektywna. W każdym aze z tego co Taylo psze wynka, że najbadzej pzyjemna dla oka jest stuktua obazu o wymaze faktalnym meszczącym sę w gancach 1,3 1,5. Z pewnoścą podobne eguły obowązują także w nnych dzedznach sztuk, np. w muzyce. Poównując wzualne obazy faktalne uzyskane z oblczeń modelu eaktoa chemcznego (ysunk 8-10) z obazem Pollocka (ysunek 4), odnos sę ważene, że w obazach eaktoa jest pewna hamona, a w obaze Pollocka ne. Ważene to jest jednak mylące. O hamon obazów Pollocka śwadczy właśne to, że mają one wyma faktalny.
19 Na st. 78 w [6] Taylo psze: Wydało m sę nagłe, że pojąłem tajemncę Jacksona Pollocka: gdy malował, poddawał sę ytmow natuy. Zozumałem też wtedy, że będę musał wócć do nauk, aby stwedzć uchwytne ślady tego ytmu w jego dzełach. Inne faktale uzyskane z model eaktoów chemcznych zobaczyć można m.n. w [3] pod adesem ntenetowym: http://mat.polsl.pl/pacowncy/mbeezowsk/ Rozdzał 4. Czy mózg, to neoganczony kompute W 1900 oku nemeck matematyk Davd Hlbet pzedstawł tak oto poblem. Skoo matematyka, to zbó ścśle okeślonych eguł, czy ne udałoby sę stwozyć unwesalnego automatu, opatego na tych egułach, któy ozwązywałby dowolne poblemy matematyczne. Innym słowy, czy ne udałoby sę stwozyć pogamu, któy potafłby udowodnć wszystke twedzena matematyczne. Hlbet ne wezył oczywśce, że algoytm tak uda sę stwozyć z łatwoścą. Tezę zalgoytmzowana matematyk pzedstawł jedyne jako teoetyczne możlwą do zealzowana. Jedną z pzeszkód jest bowem to, że matematycy ne znają ngdy ne poznają wszystkch eguł matematycznych, a co pzeceż jest koneczne do ozwązana wszystkch poblemów matematycznych. Tak węc Hlbet zdawał sobe spawę z tego, że jego teza jest w stoce tylko hpotetyczna, ne mnej wezył, że w zasadze popawna, czyl teoetyczne możlwa do zealzowana. W 1955 oku na konfeencj??? pojawł sę Kut Goedel, austack matematyk, któy pzedstawł pewne twedzene, nazwjmy je G, bzmące następująco: ne ma dowodu twedzena G. A węc twedzene G głos, że ne ma możlwośc udowodnena tego co samo głos! Twedzene G jest pewnym zdanem. Zdane natomast może być pawdzwe, albo fałszywe. Powstaje zatem pytane: zdane Goedla jest pawdzwe czy fałszywe? I co będze, jeśl okaże sę, że twedzene G jest pawdzwe? Czy to będze oznaczało, że ne mogąc go udowodnć, musmy po postu w nego wezyć?! Pzyjzyjmy sę blżej twedzenu G. Załóżmy, że wbew temu co usłuje nam ono wmówć stneje dowód G. Oznaczałoby to zatem, że G głos nepawdę że stneje dowód tego, że dowodu ne ma! To jest jawna spzeczność. Ne mamy zatem wybou, musmy uznać, że twedzene G głos pawdę! Wobec tego wemy z całą pewnoścą o pawdzwośc czegoś, czego ne potafmy udowodnć! Ale skąd o tym wemy skoo ne potafmy tego udowodnć? Skąd pewność o pawdzwośc twedzena G, skoo ne ma na to dowodu! Pzeceż G jest twedzenem matematycznym o jego pawdzwośc może śwadczyć wyłączne ścsły
20 dowód matematyczny! Tak pzynajmnej sę wydaje. Skoo jednak takego dowodu ne ma, to czy uwezylśmy po postu w pawdzwość twedzena G?! Jeśl tak, to komu lub czemu uwezylśmy? Oczywśce, ne ma to nc wspólnego z jakąkolwek waą. Po postu o tym wemy, że G jest twedzenem pawdzwym, mmo że co samo głos - ngdy tego ne udowodnmy. Skąd jednak to wemy, pozostaje tajemncą. Jak jest zwązek twedzena G z tezą postawoną pzez Hlbeta. Otóż tak, że twedzene G obala tezę Hlbeta. Uśwadama bowem, że stneją popawne eguły matematyczne, któych ne można udowodnć stosując jakekolwek eguły matematyczne. W konsekwencj zatem, ne można stwozyć algoytmcznego automatu, opatego na tych egułach, któy potafłby ozwązać każdy poblem matematyczny. Co z tym wszystkm ma jednak wspólnego kompute mózg. Otóż, jak wemy, kompute jest maszyną ealzującą tylko wyłączne ścśle okeślone algoytmy. Dzała wg ścsłych eguł, zapsanych pzy pomocy okeślonych pogamów. A zatem kompute czy aczej należy powedzeć, algoytm pzez nego ealzowany ngdy ne będze w stane wykazać pawdzwośc twedzena G! Ne dysponuje on bowem nczym węcej ponad zbó okeślonych eguł matematycznych, a te jak już wemy ne wystaczają do wykazana pawdzwośc G. Kompute zatem ngdy ne dowe sę, że G jest pawdzwe. Natomast my wemy to z całą pewnoścą! Skoo tak jest skoo wedza o pawdzwośc G ne może być osągnęta dogą algoytmczną, to stąd wnosek posty, że mózg ludzk ne pacuje ne pojmuje otaczającego go śwata w sposób algoytmczny! Mózg ne jest zatem komputeem, nawet neoganczonym. Jest newątplwe czymś węcej. Tu zahaczamy, w pewnym sense, o poblem sztucznej ntelgencj. Co w ogóle oznacza pojęce sztuczna ntelgencja. Intelgencja jest tylko jedna, zwązana ze śwadomoścą, natomast jej ealzacja może być sztuczna lub pawdzwa (ne ma to nc wspólnego z pamęcą umejętnoścą zapamętywana). Pzez pawdzwą ntelgencję należy ozumeć ntelgencję zawatą w oganzmach żywych. Pzez sztuczną ntelgencję należy ozumeć ntelgencję zawatą w maszyne, czyl w algoytme w nej ealzowanym. Jak dowedzelśmy sę, kompute ne jest w stane pojąć tego, co oganzm żywy we bez użyca algoytmów. A zatem, ealzacja ntelgencj w maszyne jest nemożlwa! Wobec tego, w tym sense, ne ma czegoś takego jak sztuczna ntelgencja. Ne można bowem ntelgencj skonstuować, zapogamować. Jak zobaczylśmy wyżej, każdy algoytm nawet najbadzej skomplkowany - jest oganczony, o czym śwadczy jego bak śwadomośc o pawdzwośc twedzene G. Mózg tę śwadomość posada, jest zatem newątplwe czymś wyższym w heach możlwośc
21 poznawana. Czy jest jednak neoganczony? Opeając sę na twedzenu Goedla, należy stwedzć, że jego możlwośc poznawcze także są oganczone. We wpawdze, że G jest pawdzwe, ale w otaczającej go pzestzen możlwośc poznawana ne jest w stane pzekoczyć pewnego pogu śwadomośc. Wobec tego, zgodne z G, ngdy ne pojme samego sebe (na szczęśce!). Podobne jak ne można udowodnć matematycznego twedzena G, opeając sę wyłączne na zboze eguł matematycznych, mózg ngdy ne będze w stane zozumeć sposobu własnego dzałana. W każdym pzypadku bakuje bowem pewnego zewnętznego punktu podpaca, jak w słynnym powedzenu Galleusza: dajce m punkt podpaca, a uszę Zemę. W udowodnenu twedzena G punktem tym jest nadzędny zbó eguł, wykaczający poza dostępny nam zbó eguł matematycznych. W zozumenu dzałana mózgu potzebna jest nadzędna śwadomość. Aby lepej uzmysłowć sobe, że mózg ne jest w stane pojąć sposobu dzałana mózgu, pzywołajmy pewen poblem podnesony pzez Tunga. Otóż Tung sfomułował twedzene, któe głos, że ne stneje żaden unwesalny nadzędny algoytm, któy potafłby ozec o każdym nnym algoytme, że ten wygeneuje końcowe wynk, czyl zakończy swoją pacę. Jest to znany w teo algoytmów tzw. poblem stopu, czyl natualnego zatzymana oblczeń algoytmcznych. Zgodne z tym twedzenem, ne stneje tak kompute (nawet najbadzej skomplkowany), któy byłby w stane ozumeć kontolować pacę dowolnego nnego komputea. Gdyby było naczej, zawsze wedzałby czy badany pzez nego kompute zakończy czy też ne zakończy wykonywane oblczeń. Tung, dla wykazana pawdzwośc powyższego twedzena, pzepowadzł następujące ozumowane. Założył stnene zbou neskończene welu óżnych algoytmów: A, A,..., 2 A,... zadał pytane, czy jest możlwe, aby w tym zboze stnał jakś unwesalny 1 j algoytm A u, któy potafłby stwedzć, czy dowolny algoytm A j z tego zbou zakończy swoje oblczena. Paca A u polegałaby oczywśce na analze samego algoytmu A j, a ne na oczekwanu zakończena wykonywanych oblczeń. Jeśl zatem tak algoytm A u stnałby zeczywśce, to kończyłby swoją pacę po stwedzenu, że algoytm A j ngdy oblczeń ne zakończy. Poneważ A u ma być, z założena, algoytmem unwesalnym, Tung zażądał, by spawdzł on samego sebe. Oznacza to, że unwesalny algoytm A u kończyłby pacę po stwedzenu, że A u ngdy oblczeń ne zakończy! Jest to, oczywśce, spzeczność. Ne mnej dochodzmy do wnosku, że algoytm A u zeczywśce ngdy oblczeń ne zakończy. Gdyby bowem je zakończył, to ównocześne by ch ne zakończył, co jest nemożlwe. A zatem,
22 posadamy pewną wedzę, mmo że ne doszlśmy do nej algoytmczne! Sytuacja ta pzypomna poblem zwązany z twedzenem Goedla jest ścśle z nm zwązana. Z wywodu Tunga wynka, że algoytmy ne są w stane poznawać samych sebe. Bakuje tu bowem, wspomnanego, punktu podpaca. Zasada ta dotyczyć może także mózgów, mmo że ne pacują algoytmczne. Boąc pod uwagę twedzena Goedla Tunga wydaje sę, że mózg ngdy ne będze w stane pojąć samego sebe bez odwołana sę do blżej ne okeślonej wyższej śwadomośc zewnętznej. A zatem, co zawea mózg? Całą matematykę pozostałą pzestzeń jeszcze czegoś! Bóg jest matematyką, ale w żadnym wypadku matematyka ne jest Bogem! Co zatem wspólnego ze sztuką ma eakto chemczny, a ścślej, jego modelowe ównana matematyczne? Absolutne nc. Sztuka twozona jest pzez człoweka, pzez jego mózg, któy ne pacuje algoytmczne. Pawdzwego dzeła sztuk, stwozonego pzez człoweka, ne da sę powtózyć. Natomast obaz wygeneowany pzez kompute można powelać dowolną lość azy ze 100% dokładnoścą. Człowek twoząc keuje sę często tzw. natchnenem. Tudno pzypsać coś takego maszyne. Lteatua cytowana: [1]. R. Penose, Nowy umysł cesaza. PWN, W-wa 2000. [2]. H.-O. Petgen, H. Jügens, D. Saupe, Gance chaosu faktale. Tom 1 2. PWN, W-wa 2002. [3]. M. Beezowsk, Obazy faktalne eaktoa chemcznego. Delta, N 7, 2003. [4]. M. Beezowsk, Analyss of dynamc solutons of complex delay dffeental equaton exemplfed by the extendet Mandelbot s equaton. Chaos, Soltons&Factals, 24/5, 1399-1404, 2005 (http://mat.polsl.pl/pacowncy/mbeezowsk/atykuly/mandel.pdf) [5]. M. Beezowsk, Co wspólnego ze sztuką ma eakto chemczny? Foton 90. [6] R. P. Taylo, Poządek w chaose Pollocka, Śwat Nauk, luty 2003. [7] I. Stewat, Czy Bóg ga w kośc. Nowa matematyka chaosu. PWN, W-wa 1994. [8] M. Olk, Reakcje oscylacyjne, poządek chaos. WNT, W-wa 1996. [9] J.R. Dofman, Wpowadzene do teo chaosu w neównowagowej mechance statystycznej. PWN, W-wa 2001. [10] G.L. Bake, J.P. Gollub, Wstęp do dynamk układów chaotycznych. PWN, W-wa 1998.
23 [11] D. Stauffe, H.E. Stanley. Od Newtona do Mandelbota. Wstęp do fzyk teoetycznej. WNT, W-wa 1996. [12] B. Tabś, Teoa nżynea obektów eagujących chemczne. WNT, W-wa 1994. [13] M.Bójko, P.Ceślńsk. Bóg jest matematyką. Rozmowa z pofesoem Mchałem Helleem, ksędzem, kosmologem matematykem. Gazeta Wybocza, 18.12.2002. [14] J.Baczyńsk, A.Szostkewcz. Dowód na stnene Boga. Poltyka n 52, 25.12.2004.