Formalizacja jako reprezentacja wiedzy logicznej

Formalizacja jako reprezentacja wiedzy logicznej Edward Bryniarski Uniwersytet Opolski, Instytut Matematyki i Informatyki, Zakład Informatyki Stosowanej edlog@uni.opole.pl W 1981 r. została wydana ksiąŝka Witolda Marciszewskiego Metody analizy tekstu naukowego. ChociaŜ praca ta była przygotowana dla wydawnictwa jako poradnik, czy przewodnik po wskazanej w tytule ksiąŝki dziedzinie wiedzy, poradnik przeznaczony dla nauczycieli akademickich i studentów, to prezentowała ona takŝe nowatorskie idee oraz wytyczała nowe kierunki badań. Zwłaszcza prekursorskie było zaproponowanie, jako głównego celu logicznej analizy tekstu, badania logicznego związku pomiędzy tematem a rematem, tj. pomiędzy tymi fragmentami tekstu, które reprezentują wiedzę potrzebną do wyznaczenia innej wiedzy, a tymi fragmentami tekstu, które reprezentują wiedzę wyznaczoną na podstawie tematu. W tym ujęciu, istotą logicznej poprawności jednostki tekstu jest występowanie logicznego stosunku pomiędzy tematem i rematem. Ten związek logiczny ustala się dokonując formalnego opisu relacji określających zwartość tematyczną tekstów z danej dziedziny wiedzy, do której analizowany tekst naleŝy. Analizowane relacje zwane są relacjami nawiązywania. Na podstawie tych relacji jedne teksty są wyprowadzane z drugich, adekwatnie do wyznaczania jednej wiedzy przez drugą. W sensie wyprowadzalności tekstów, w dowolnym wyprowadzeniu jedne teksty są następnikami innych, w tym teksty wyprowadzane (rematy) są następnikami tekstów (tematów), z którymi pozostają w relacji nawiązywania. Relacja bycia następnikiem ustala pewien porządek tekstów, umoŝliwiający wykorzystanie do badania struktury tematycznej tekstu aparatu pojęciowego teorii krat. Ze względu na znaczenie pojęć tematu i rematu dla analizy tekstu, postuluje się utworzenie teorii, którą Autor omawianej pracy proponuje nazwać logiczną teorią tekstu. Jednak juŝ na początku tworzenia tej teorii napotyka się na powaŝną trudność brak jasno określonego stosunku do badań formalnych oraz określenia miejsca tych badań w logicznej analizie tekstu. Do problematyki formalizacji w analizie tekstu W. Marciszewski wraca po dziesięciu latach w monografii Logika z retorycznego punktu widzenia. Praca ta powstała pod wyraźnym wpływem doświadczeń wyniesionych z kierowania programem badawczym RPBP III 24 Systemy logiczne i algorytmy do testowania przez komputer poprawności dowodu oraz doświadczeń dydaktycznych uzyskanych we wspomaganym komputerowo nauczaniu logiki, wykorzystującym programy komputerowe 1

Mizar 1 oraz Tableau II 2. Nie bez znaczenia były tu teŝ refleksje nad metodą komputerowego składu tekstu za pomocą programu TEX. Dla powstania niniejszego opracowania inspirujące stało się zarówno rozróŝnianie przez Marciszewskiego pojęcia informacji od pojęcia tekstów, w których te informacje są reprezentowane jak i naszkicowanie koncepcji optymalnej formalizacji tekstu naukowego (s. 13-19). Jakkolwiek w cytowanej monografii moŝna znaleźć wypowiedzi wyraźnie opowiadające się za koncepcją formalizacji jako reprezentacji wiedzy logicznej (jako wyniku werbalizacji przetwarzania informacji dotyczącej rozumowań dedukcyjnych; Konstrukcja pojęciowa I. 2, s. 70), w dalszym ciągu nie ma odpowiedzi na dwa waŝne pytania dotyczące tworzenia logicznej teorii tekstu: jak wykorzystać formalizację w analizie formalnej poprawności tekstu oraz jakie jest jej miejsce w ustaleniu logicznego związku pomiędzy tematem i rematem jednostki tekstu. Uczestnicząc w projekcie badawczym prof. W. Marciszewskiego oraz mając analogiczne doświadczenia dydaktyczne z tymi sami programami komputerowymi, autor niniejszego opracowania podejmuje się w 1993 r. próby odpowiedzi na pierwsze z tych pytań w pracy dotyczącej interpretacji błędu formalnego w systemach tekstowych 3. Niestety, odpowiedź na drugie pytanie wydaje się silnie zaleŝeć od ukształtowania się standardowych procedur komputerowej analizy tekstu. Kształtowanie się tych procedur miało rzeczywiście miejsce w ostatnich dziesięciu latach w ramach dziedziny informatyki zwanej programowaniem logicznym 4. Standardowe procedury logicznej analizy tekstu mogły być rozpoznane dzięki zastosowaniom języka Prolog, a następnie jego dojrzałej postaci języka Turbo Prolog 5. Istotą programowania logicznego jest, jak się tu postuluje: 1) taka formalizacja tekstu zadania, wyraŝonego w języku jakiejś dziedziny wiedzy, która reprezentuje (wyraŝa, przedstawia) wiedzę logiczną o danych i faktach, do których odwołuje się (nawiązuje) tekst zadania, a więc reprezentacja tego co jest dla tego tekstu i dla danej dziedziny wiedzy tematem, utoŝsamianym w programowaniu logicznym z siecią semantyczną, 2) formalizacja relacji nawiązywania, ustalających sekwencje operacji prowadzących od danych i faktów do innych danych i faktów lub do nowych danych (szukanych) i ustaleń (tj. 1 Pomysłodawcą tego programu jest Andrzej Trybulec z Uniwersytetu Białostockiego. Kolejne wersje programu to: Mizar MSE, Mizar PC. Więcej informacji moŝna znaleźć na stronie http://mizar.org/; por. W. Marciszewski, Logika z retorycznego punktu widzenia, Warszawa 1991, s. 146-148. 2 Program autorstwa Duncana Watta z ośrodka uniwersyteckiego w Oxfordzie, opracowany w latach 1987-1988. 3 E. Bryniarski, G. Kubica, O pewnej interpretacji błędu formalnego w systemach tekstowych, Prakseologia 3-4 (120-121) 1993, s. 67-77. 4 Za systematyczny wykład podstaw programowania logicznego moŝna uwaŝać podręcznik R. Kowalski, Logika w rozwiązywaniu zadań, Warszawa 1989. 5 Przystępne wprowadzenie do programowania w języku Turbo Prolog moŝna znaleźć w: J. Szajna, M. Adamski, T. Kozłowski, Programowanie w języku logiki, Warszawa 1991. 2

do rematu); w programowaniu logicznym sekwencjom tych operacji odpowiada przestrzeń rozwiązań, a zbiorowi relacji nawiązywania - baza wiedzy, 3) formalizacja wszystkich faktów określonych przez relacje nawiązywania występujące w tekście zadania; w programowaniu logicznym reprezentacji tych faktów odpowiada dynamiczna baza danych, 4) formalizacja zbioru danych, niekoniecznie występujących w tekście zadania, do których trzeba się odwołać, aby uzyskać to co jest szukane; w programowaniu logicznym odpowiada temu zewnętrzna baza danych, 5) formalizacja zapytań, określających to co szukane i co ma być ustalone, a więc reprezentacja tego co jest dla danego tekstu zadania rematem. Nie wnikając w szczegóły programowania logicznego, powyŝej sformułowane postulaty traktuje się w niniejszym opracowaniu jako motywację do prowadzania poszukiwań odpowiedzi na pytanie o miejsce formalizacji w analizie logicznej tekstu. Najpierw jednak, naleŝy ustosunkować się do samej problematyki formalizacji. O dwóch nurtach formalizmu W 1900 r, na II Międzynarodowym Kongresie Matematyków w ParyŜu niemiecki matematyk David Hilbert (1862-1943) zaprezentował swój słynny program ratowania matematyki przed nieścisłością poprzez pokazanie ścisłymi metodami, Ŝe jest ona pewna i niezawodna. Program Hilberta obejmował 23 problemy, których rozwiązanie, jego zdaniem, miało pchnąć matematykę w XX w. na wyŝszy poziom rozwoju. W wyniku krytyki przez L. E. J. Browera niekonstruktywistycznych metod w matematyce oraz zbyt swobodnego posługiwania się zbiorami nieskończonymi Hilbert skoncentrował się głównie na trzech zagadnieniach: 1) formalizacji matematyki, 2) problemie niesprzeczności, 3) problemie zachowawczości. Zagadnienia te, współcześnie, utoŝsamia się zazwyczaj w logice z programem Hilberta 6. Istotą formalizacji matematyki 7 była rekonstrukcja teorii matematycznych w sztucznym języku skonstruowanym w celu dokonywania takiej rekonstrukcji. Język ten nazywany był językiem sformalizowanym. Następnym etapem takiej formalizacji było rozwaŝanie, zamiast twierdzeń teorii matematycznych formuł tego języka, abstrahując od treści tych formuł i traktując same formuły jako skończone ciągi symboli, a dowody twierdzeń jako skończone ciągi formuł, czyli teŝ jako skończone ciągi symboli. Formuły i dowody twierdzeń były więc 6 Ph. J. Davis, R. Hersh, E. A. Marchisotto, Świat Matematyki, PWN, Warszawa 2001, s.322-324. 3

obiektami konkretnymi jasno i bezpośrednio danymi, które moŝna było badać za pomocą nie budzących Ŝadnych wątpliwości metod finitystycznych. Dowód niesprzeczności matematyki sprowadzał się do pokazana, Ŝe nie istnieją dwa dowody z których pierwszy kończy się pewną formułą a drugi jej negacją. Wykazanie zachowawczości matematyki polegało na pokazaniu, Ŝe dowolny dowód twierdzenia matematyki infinitystycznej da się przekształcić w dowód w matematyce finitystycznej, tj. w dowód przeprowadzony za pomocą metod finitystycznych, w którym formuły odwołują się tylko do skończonych obiektów. Poglądy filozoficzne stojące u podstaw programu Hilberta, zwane współcześnie formalizmem, były przez niego propagowane w głównie w latach 1917-1931. W badaniach prowadzonych w tych latach wyraźnie dało się zauwaŝyć dwie motywacje dokonywania formalizacji matematyki 8 : 1. Matematyka, jak kaŝda inna nauka, nie moŝe w Ŝaden sposób oprzeć się jedynie na logice; jest raczej coś, co jako warunek uŝycia logicznych wniosków i zrealizowanie logicznych operacji jest nam juŝ dane w wyobraźni: pewne pozalogiczne konkretne przedmioty, które intuicyjnie jako bezpośrednie przeŝycie są tutaj przed wszelkim myśleniem. Jeśli wnioskowanie logiczne ma być pewne, to te przedmioty muszą dać się przejrzeć dokładnie we wszystkich częściach, a ich pokazanie, odróŝnienie, ich następstwo lub występowanie jednoczesne jest wraz z przedmiotami bezpośrednio intuicyjnie dane jako coś, co się nie da juŝ sprowadzić do czegoś innego, ani teŝ takiej redukcji nie potrzebuje... 2. A w szczególności w matematyce są przedmiotem naszego badania same konkretne znaki, których postać dzięki naszemu nastawieniu jest bezpośrednio wyraźna i rozpoznawalna. Od samego początku było więc moŝliwe istnienie dwóch nurtów badań nad formalizacją matematyki. Pierwszy sprowadzał się do dokonywania formalizacji matematyki poprzez adekwatne reprezentowanie wiedzy logiczno-matematycznej za pomocą środków logicznomatematycznych. W drugim przypadku, formalizacji dokonywano środkami matematyki, konstruując w ramach matematyki strukturę relacyjną, w której kodowano wyraŝenia języka formalizowanej dziedziny matematyki, co prowadziło do powstania nowej jej dziedziny zwanej metamatematyką (współcześnie takŝe logiką matematyczną). Jakkolwiek oba nurty badań były ze sobą splecione, to ze względu na krytyczny stosunek Hilberta do logicyzmu badania nad formalizacją matematyki zostały zdominowane przez metamatematykę. Za głównych 7 R. Murawski, Filozofia matematyki. Zarys dziejów, PWN, Warszawa1995, s. 124-136; ibid, s. 324. 8 Cytuję za: L. Chwistek, Pisma filozoficzne i logiczne, tom II, PWN, Warszawa 1963, s. 53; Die Grundlagen der Mathematik, Abhandlungen aus dem mathematischen Seminar der Hamburgischen Universität, Leipzig 1928, s.65-66.. 4

przedstawicieli tego kierunku badań 9, którzy przyczynili się do jego powstania i ukształtowania, naleŝą Paul Bernays (1888-1977), Wilhelm Ackermann (1896-1962), Gerhard Genczen (1909-1945), John von Neumann (1903-1957) oraz Haskell B. Curry (1900 1982) i Abraham Robinson (1918-1974). Reprezentowany przez wymienionych uczonych nurt badań do dzisiaj utoŝsamiany jest zazwyczaj, zresztą niesłusznie, z całym formalizmem. Dla formalisty działającego w tym nurcie badań matematyka jest nauką formalnej dedukcji, od aksjomatów do twierdzeń. Jej pojęcia pierwotne są niedefiniowalne, a twierdzenia pozbawione wszelkiej treści, póki nie nada się im interpretacji w jakiejś dziedzinie wiedzy, najczęściej w teorii matematycznej. Najbardziej wpływowym przykładem tego kierunku formalizmu jako stylu uprawiania matematyki były w latach pięćdziesiątych i sześćdziesiątych XX w. pisma grupy matematyków znanej zbiorowo jako Nicolas Bourbaki. Zdaniem autora niniejszego opracowania, do polskich przedstawicieli tego nurtu badań moŝna zaliczyć L. Chwistka, S. Leśniewskiego, S. Jaśkowskiego, H. Rasiową i R. Sikorskiego, a ze współczesnych np. Z. Adamowicz oraz wielu uczniów i współpracowników wymienionych uczonych. W ostatnich dziesięciu latach narasta reakcja przeciwko formalizmowi, który ogranicza się do tworzenia systemów formalnych wykorzystujących matematyczny aparat pojęciowy w oderwaniu od konkretnych systemów wiedzy i zastosowań 10. W tekstach i traktatach więcej jest dbałości o przykłady i mniej ścisłości w formalnym przedstawianiu. Zaczyna być coraz bardziej waŝny pierwszy nurt formalizacji adekwatna reprezentacja wiedzy za pomocą środków logiczno-matematycznych. Początki tego nurtu formalizacji matematyki sięgają jednak XIX w. kiedy to niemiecki matematyk Moritz Pasch (1843-1930) we wzorcowy sposób dla przyszłych pokoleń matematyków przedstawił za pomocą środków logiczno-matematycznych wiedzę matematyczną zawartą w dziełach Euklidesa. Korzyści tego zabiegu były natychmiastowe wszelkie nieścisłości niedostrzegane od tysiącleci przez komentatorów Elementów Euklidesa zostały wychwycone 11. Pojęcie teorii matematycznej, wprowadzone przez Pascha w Podstawach geometrii, zostało zaadaptowane przez formalizm i jest do chwili obecnej zdecydowanie dominujące w matematyce 12. Do wybitnych przedstawicieli wskazanego nurtu badań logicznych autor zalicza: J. Łukasiewicza, A. Tarskiego, R. Carnapa, K. Poppera, W. Van O. Quina, E. Mendelsona, D. Davidsona, G. Polya, I. Lakatosa, J. Słupeckiego, a współcześnie w Polsce silny wpływ na ten 9 Por. R. Murawski, Filozofia matematyki. Zarys Dziejów, PWN, Warszawa 1995, s. 124-136. 10 Ph. J. Davis, R. Hersh, E. A. Marchisotto, Świat Matematyki, PWN, Warszawa 2001, s.331. 11 Pojęcia odcinka i porządku na prostej zostały poprawnie zdefiniowane, a jeden z postulatów Euklidesa okazał się być aksjomatem (nazywanym współcześnie aksjomatem Paschy). Aksjomat ten głosi, Ŝe na płaszczyźnie prosta nie przechodząca przez Ŝaden z wierzchołków trójkąta i przecinająca jeden z jego bogów przecina jeszcze i drugi. 12 M. Kordos, Wykłady z historii matematyki, PWN, Warszawa 1994, s. 248-249. 5

nurt badań ma propagowana przez W. Marciszewskiego w logice, metodologii nauk i filozofii nauki koncepcja racjonalizmu. W celu lepszego rozróŝnienia prezentowanych wyŝej dwóch nurtów formalizmu, w dalszej części rozwaŝań ograniczymy się do omówienia tylko tych aspektów formalizmu, które związane są z badaniem metod dowodzenia stosowanych w praktyce przez samych matematyków. Dedukcja naturalna W latach dwudziestych XX w. ujawnił się silny rozdźwięk pomiędzy metodami dowodzenia stosowanymi przez metamatematykę a metodami dowodzenia stosowanymi przez samych matematyków. Ciągle nie było wiadomo czy metody dowodzenia stosowane w praktyce przez matematyków są tak samo niezawodne jak metody dowodzenia stosowane w systemach sformalizowanych i czy w ogóle metody dowodzenia stosowane przez matematyków moŝna ująć w system strukturalnych reguł oraz czy wszystkie formuły prawdziwe w matematyce moŝna uzyskać w ramach aksjomatycznych systemów sformalizowanych finitystycznymi środkami. DąŜenie do odpowiedzi na te pytania zainicjowało powstanie nowej dziedziny badań nazywanej współcześnie dedukcją naturalną. W 1930 r. młody matematyk wiedeński Kurt Gödel (1906-1978) dał na ostatnie z wymienionych pytań odpowiedź negatywną. Na pierwsze dwa pytania prawie równocześnie udzielili pozytywnej odpowiedzi w swoich publikacjach S. Jaśkowski (w 1934 r.) oraz G. Gentzen (w 1935 r.). W artykułach, podręcznikach i encyklopediach wyraŝany jest nieraz pogląd, Ŝe intencją autorów systemów dedukcji naturalnej było moŝliwie jak najdalej idące przybliŝenie logicznej teorii dowodu do rzeczywistej praktyki dowodowej w matematyce i innych naukach. NaleŜy tu od razu zaznaczyć, Ŝe owe przybliŝenie logicznej teorii dowodu do rzeczywistej praktyki dowodowej nie oznacza bynajmniej takiej reprezentacji wiedzy logicznomatematycznej za pomocą środków logicznych, dzięki której moŝliwa byłaby adekwatna rekonstrukcja dowodów prowadzonych w praktyce naukowej, lecz oznacza zbudowanie w ramach metamatematyki takich systemów formalnych, które w sposób moŝliwie najprostszy i zrozumiały uzasadnią poprawność rozumowań prowadzonych w ramach matematyki lub innych nauk. Do takich systemów naleŝą takŝe logika dialogowa, zapoczątkowana przez P. Lorenzena, a następnie rozwijana przez K. Lorenza oraz systemy tablic analitycznych E. W. Betha, J. Hintikki i R.M. Smullyana i nawiązujące do tych systemów systemy redukcyjne L. Gumańskiego. 6

W Polsce badania nad dedukcją naturalną zostały zainicjowane przez J. Łukasiewicza w 1926 r. postawieniem następującego problemu: dowody matematyczne nie odwołują się do tez logiki, ale do załoŝeń i reguł rozumowania czy moŝna owe metody dowodzenia ująć w system strukturalnych reguł i zbadać ich relację do twierdzeń aksjomatycznego rachunku zdań? Według J. Woleńskiego zadanie to rozwiązał S. Jaśkowski w 1927 r. 13, a wyniki opublikował dopiero w 1934 r. Zarówno postawienie problemu jak i jego rozwiązanie mieściło się w nurcie programu Hilberta, chociaŝ koncepcja systemu formalnego, którą posługiwał się S. Jaśkowki była nietypowa i w tym względzie był on pod wyraźnym wpływem S. Leśniewskiego 14. S. Jaśkowski przedstawia system dedukcji naturalnej w postaci ciągu wyraŝeń z których kaŝde jest nazywane tezą systemu, w szczególności tezami są załoŝenia i ich konsekwencje. Wszystkie wyraŝenia ciągu, oprócz twierdzeń logiki, poprzedzone są numerami. Ciąg jest rozumiany w sensie nieskończoności potencjalnej, tj. do tzw. dziedziny absolutnej, składającej się ze wszystkich tez systemu, które juŝ zostały zapisane, moŝna dopisać następny element ciągu, wykorzystując do tego cztery reguły rozwijania sytemu. Nietypowość systemu Jaśkowskiego przy skromnym zasobie reguł, utrudniała, czy wręcz uniemoŝliwiała zastosowanie go do wiernej reprezentacji dowodów twierdzeń prowadzonych w praktyce przez matematyków. Zresztą, system ten, jak i system Gentzena nie miał słuŝyć do wiernej reprezentacji wiedzy, lecz głównie do uzasadniania niezawodności metod dowodzenia. System załoŝeniowy Słupeckiego-Borkowskiego Pierwszym systemem dedukcji naturalnej, który słuŝył takŝe wiernej reprezentacji wiedzy matematycznej stał się system załoŝeniowy Slupeckiego-Borkowskiego. J. Słupecki i L.Borkowski system ten przystępnie wyłoŝyli i konsekwentnie zastosowali w opracowaniu wykładu z teorii mnogości w podręczniku Elementy logiki matematycznej i teorii mnogości. ChociaŜ podręcznik wydano po raz pierwszy w 1963 r., genezy koncepcji dowodzenia twierdzeń metodą załoŝeniową naleŝy szukać w okresie międzywojennym. Wtedy to J. Słupecki aktywnie uczestniczył na Wydziale Matematyczno-Przyrodniczym Uniwersytetu Warszawskiego w pracach badawczych w zakresie logiki matematycznej, które logicy i filozofowie prowadzili wspólnie z matematykami. Silny wpływ na kierunek i styl tych badań mieli przede wszystkim ze strony logików J. Łukasiewicz i S. Leśniewski, a ze strony 13 J. Woleński, Filozoficzna szkoła lwowsko-warszawska, PWN, Warszawa 1985, s. 106. 14 Ibid., s. 106. 7

matematyków S. Mazurkiewicz i W. Sierpiński 15. J. Słupecki zarówno pracę magisterską jak i rozprawę doktorską pisał pod kierunkiem J. Łukasiewicza. Z filozoficznej szkoły warszawskiej okresu międzywojennego, wyniósł zainteresowanie zastosowaniami logiki w matematyce i filozofii oraz pewną dozę krytycyzmu wobec programu Hilberta. W szkole warszawskiej znane były krytyczne uwagi Leona Chwistka dotyczące zbyt ogólnikowych wskazówek Hilberta odnośnie formalizacji dowodów matematycznych, a takŝe ostra krytyka hilbertowskiego aksjomatu wyróŝniania elementu w klasie za pomocą operatora epsilon 16. Nie bez znaczenia były teŝ krytyczne poglądy Jana Łukasiewicza, głównego przedstawiciela szkoły warszawskiej, dotyczące nominalizmu i skrajnych wersji formalizmu. Nie jestem grafikiem ani kaligrafem, ornamenty, napisy, nic mnie nie obchodzą pisze on odnosząc się do nominalistycznych tendencji w formalizmie (być moŝe chodzi tu teŝ o krytykę formalizmu Leśniewskiego). A dalej - Cała róŝnica, jaka dzieli logistykę od gry szachowej, polega właśnie na tym, Ŝe figury szachowe nic nie znaczą, a znaki logiczne mają jakiś sens. O ten sens nam chodzi, o myśli i znaczenia wyraŝone przez znaki, choćbyśmy nie wiedzieli, co to są znaczenia, nie zaś znaki same. Za pośrednictwem tych znaków chcemy uchwycić jakieś prawa myślenia, które by moŝna zastosować do matematyki i do filozofii, i do wszystkich nauk posługujących się rozumowaniem. Taki cel wart jest największego trudu. Formalizujemy wywody logiczne i dobrze robimy tak postępując; ale formalizacja jest tylko środkiem poznania czegoś i zdobycia pewności o czymś, a waŝny dla nas jest nie środek poznania, tylko to, co dzięki niemu poznajemy. 17 Trudno o jaśniejsze opowiedzenie się za formalizacją jako reprezentacją wiedzy logiczno-matematycznej. Styl formalizacji prezentowany w pracach J. Słupeckiego i jego współpracowników świadczy o tym, Ŝe były im bliskie przedstawione tutaj poglądy J.Łukasiewicza. J. Słupecki i L. Borkowski formułując reguły logiczne dąŝyli, by były one jak najbliŝsze potocznym intuicjom i by dowody tez, przeprowadzane za ich pomocą, miały prostą i przejrzystą postać 18. Znaczący wkład ich badań, prowadzonych nad dedukcją naturalną polega przede wszystkim na tym, Ŝe system załoŝeniowy jest pierwszym, który mieści się w nurcie reprezentacji wiedzy logiczno-matematycznej, a nie w programie Hilberta. Do tego samego nurtu formalizacji matematyki moŝna teŝ zaliczyć wykorzystanie komputerowego programu 15 S. Mazurkiewicz i W. Sierpiński w latach 1920-1928 kierowali Fundamenta Mathematicae, czasopismem polskiej szkoły matematycznej. 16 L. Chwistek, Pisma filozoficzne i logiczne, tom II, PWN, Warszawa 1963, s. 53 i 127. 17 Jan Łukasiewicz, Z zagadnień logiki i filozofii. Pisma wybrane, PWN, Warszawa 1961, s. 213 wyboru pism dokonał J. Słupecki. Interesujące jest zwłaszcza Słowo wstępne autorstwa Słupeckiego, które zwraca uwagę na jego pozytywnie silny związek emocjonalny z kierunkami badań prowadzonych przez Łukasiewicza, a przede wszystkim z zagadnieniem determinizmu. 8

Mizar, będącego komputerowym systemem ekspertowym (systemem Mizar), do testowania dowodów twierdzeń. Przetestowanie dowodu twierdzenia przez Mizar wymaga rekonstrukcji tego dowodu w specjalnie opracowanym do tego języku programowania logicznego. Dokonana zostaje więc formalizacja dowodu w taki sposób, aby cała wiedza logiczna o tym dowodzie była reprezentowana w tym języku. Niekiedy przekład tekstu dowodu na język systemu Mizar jest niemoŝliwy, ze względu na to, Ŝe system ten wykorzystuje jako reguły wnioskowania reguły rezolucji, a nie korzysta z reguły odrywania. Najczęściej dowód twierdzenia naleŝy redagować bezpośrednio w języku systemu Mizar. To ograniczenie znacznie zawęŝa zakres zastosowań tego systemu ekspertowego, pomimo jego niezaprzeczalnych osiągnięć w formalizacji matematyki. Zdaniem autora niniejszego opracowania, z poŝytkiem dla wykorzystania sytemu Mizar byłoby rozwinięcie moŝliwości tkwiących w komputerowym programie Mizar 4, który pozwalał na implementację reguł wnioskowania 19. MoŜna przypuszczać, Ŝe po pewnych poprawkach, program Mizar 4 w pełni testowałby dowody tworzone metodą załoŝeniową Słupeckiego- Borkowskiego, co umoŝliwiałoby formalizację matematyki rozumianą jako reprezentację wiedzy logicznej o tekstach matematycznych. Racjonalizm współczesnej nauki Marciszewskiego a filozoficzna refleksja nad osiągnięciami Poglądy racjonalistyczne prezentowane w cytowanych wcześniej pracach W.Marciszewskiego nie dają się zaklasyfikować do Ŝadnego znanego nurtu racjonalizmu. Z jednej strony autor tych prac skłania się do przyjęcia poglądu, Ŝe wiedza 20 logiczna wyłania się w procesie pojęciowania z logiki przyrodzonej, tj. istnieje logika rządząca przetwarzaniem informacji w systemie nerwowym: poniewaŝ nie jest ona dziełem człowieka lecz Przyrody, zasługuje na miano logiki przyrodzonej 21. Pojęciowanie jest takim przetwarzaniem informacji w umyśle, którego wynikiem są przedmioty (obiekty) ejdetyczne, tj. te przedmioty, które przekształcane są zgodnie z logiką przyrodzoną, świadomie lub nieświadomie, czy mówiąc bardziej dokładnie, powstają w wyniku przetwarzania się odpowiednich zapisów biologicznych, 18 G. Bryl, K. Hałkowska, K. Piróg-Rzepecka, Działalność naukowa Profesora Jerzego Słupeckiego w środowisku opolskim w: Zeszyt Naukowy poświęcony Profesorowi Jerzemu Słupeckiemu, Zeszyty Naukowe WSP, Opole 1992, s 29 19 U. Wybraniec-Skadowska, E. Bryniarski, Nauczanie logiki wsp0omagane komputerowo, OFEK, Opole-Białystok 1990. 20 Wiedza jest tu rozumiana jako informacja przetwarzana w umyśle. 21 W. Marsiszewski, Logika z retorycznego punktu widzenia, Warszawa 1994, s.22 9

warunkujących m.in. konstrukcje pojęciowe funkcjonujące w danym umyśle 22. Przedmioty ejdetyczne uświadamiane są np. jako pojęcia lub sądy, czy konstrukcje pojęciowe zgodne ze stosunkami logicznymi zachodzącymi pomiędzy pojęciami. Logika przyrodzona nadaje rozumowaniu cechę intersubiektywności oraz umoŝliwia jego werbalizację prowadzącą do formalizacji i przetwarzania formalnego. Prezentowany pogląd odpowiada racjonalizmowi genetycznemu. Z drugiej strony, Marciszewski uwaŝa, Ŝe logika formalna słuŝy do przetwarzania informacji w sposób pośredni, poprzez pewnego rodzaju przetwarzanie danych (tekstów), tj. przetwarzanie formalne. Tak więc formalnie poprawne rozumowanie jako przetwarzanie informacji zachodzi za pośrednictwem przetwarzania pewnych tekstów: w układzie nerwowym jako przetwarzanie pewnych zapisów biologicznych, poza umysłem jako przetwarzanie pewnych zapisów na takich nośnikach informacji jak papier czy pamięć komputera lub inne materialne wytwory kultury. Ten pogląd bliski jest stanowisku racjonalizmu metodologicznego. Jednak tym co róŝni w sposób istotny wymienione stanowiska racjonalizmu od racjonalizmu głoszonego przez Marciszewskiego jest jego koncepcja logiki retorycznej 23, czy szerzej logicznej analizy tekstu, jako dziedziny wiedzy ustalającej powstający w procesie komunikowania się ludzi związek pomiędzy przetwarzaniem informacji a przetwarzaniem tekstów, tym samym pomiędzy logiką przyrodzoną a logiką formalną. W pracach cytowanego autora moŝna znaleźć wiele argumentów na rzecz zasadności stosowania logiki retorycznej w ramach komunikacji międzyludzkiej za pośrednictwem wytworów technicznych, czy komunikacji człowieka z innymi organizmami lub tworami przyrody czy maszynami. Argumenty te są wynikiem filozoficznej refleksji nad osiągnięciami współczesnej nauki. MoŜemy je wzmocnić i uzupełnić następująco. Przyjmijmy za J. Piagetem 24, Ŝe proces poznawczy człowieka ma charakter czynnościowy. Człowiek uczestnicząc czynnościowo w danym porządku rzeczy, tj. pośrednicząc w deterministycznych łańcuchach wzajemnych odniesień zdarzeń określających rzeczy jako takie a nie inne, dokonuje interioryzacji tego porządku rzeczy. Oznacza to, Ŝe na drodze wielu czynności odruchowych włączonych w porządek rzeczy, a tym samym częściowo tworzącym go, wytwarzane są w mózgu (w umyśle) człowieka dynamiczne struktury poznawcze (jako zespoły mechanizmów odruchowych), które utrwalają się, a następnie ujawniają się w czynnościach 22 Ibid., s. 70. 23 Ibid., s. 28 32. 24 J. Piaget, Psychologia i epistemologia, PWN, Warszawa 1977; J. Piaget, Studia z psychologii dziecka, PWN, Warszawa 1966. 10

umysłu jako analog (model) czynnościowy tego porządku rzeczy. Wynika stąd, Ŝe wszelkie pojęcia powstające w umyśle człowieka są swoistym przedłuŝeniem rzeczywistych mechanizmów powstawania obiektów, których te pojęcia dotyczą. Np. człowiek posługując się pojęciem ognia uaktywnia rzeczywiste mechanizmy: psychofizyczne, fizyczne, chemiczne, itp., w których ogień moŝe zapłonąć. W tym celu moŝe uŝyć zapałek lub zapalniczki. Odkrycie śladów dinozaura jest deterministycznym przedłuŝeniem w czasie i przestrzeni, Ŝyjących kiedyś tych zwierząt Badane widmo światła gwiazdy odległej od Ziemi o wiele lat światła jest przedłuŝeniem przejawów jej istnienia sprzed wielu lat. To samo dotyczy pojęć abstrakcyjnych, które są przedłuŝeniem wspólnych dla danej grupy ludzi, w sposób powtarzalny działających, mechanizmów poznawczych (mechanizmów generalizacji). Tak więc w sensie psychologicznym pojęcie (przedmiot ejdetyczny) jest analogiem i zarazem podsystemem pewnych systemów iteracyjnych, w których człowiek uczestniczy, tj. systemów rzeczywistości, w ramach których poznawany obiekt powstawał oraz w ramach których człowiek moŝe w sposób powtarzalny wykonywać operacje, dające w wyniku identyfikację obiektu, odnoszącego się do danego pojęcia (przedmiotu ejdetycznego), np. połączenia w umyśle rzeczy o wspólnych cechach lub połączenia ich za pomocą komunikacji międzyludzkiej. W istocie rzeczy, człowiek nie kształtuje Ŝadnego pojęcia, które by się nie odnosiło do jakiegoś systemu iteracji istniejącego niezaleŝnie od jego woli i świadomości. Dotyczy to teŝ myślenia. Organizm człowieka uczestniczy w interaktywnym systemie komunikacji międzyludzkiej między człowiekiem a człowiekiem, człowiekiem a wytworem cywilizacji (w tym szeroko rozumianej kultury), człowiekiem a przyrodą. System ten jest systemem iteracji obejmującym całokształt operacji na tekstach, przy czym teksty rozumiane są jako dowolne materialne wytwory kultury (w tym modele neurofizjologiczne tych wytworów, a takŝe hierarchie zachowań i systemy interakcji odnoszące się do innych wytworów, np. systemy społeczne, gospodarcze, techniczne, itp.). W wyniku wykonywania operacji na tekstach wytworzony zostaje w umyśle człowieka analog procesów komunikacji proces myślenia, który na ekranie świadomości postrzega on jako myśli, a następnie wyraŝa w języku (chociaŝ część z nich jawi się od razu jako tzw. mowa wewnętrzna). Myśli człowieka są zatem formowane zgodnie z tymi samymi prawami co teksty w systemie iteracji obejmującym operacje na tekstach. Ponadto, niezaleŝnie od umiejętności myślenia, uniwersalne prawa formowania zdarzeń we wszechświecie są zarazem prawami formowania myśli, jako Ŝe myśli takŝe są zdarzeniami, a systemy myślenia słuŝące identyfikacji uniwersalnych zdarzeń są uniwersalnymi systemami. Nie oznacza to, Ŝe zawsze prawa myślenia są prawami uniwersalnymi, gdyŝ niektóre fragmenty rzeczywistości poznawczej człowieka (tj. tej którą człowiek poznaje) mogą mieć charakter lokalny (np. ideologiczny czy 11

polityczny), a nie uniwersalny. Oznacza to, Ŝe dla człowieka w procesie poznania dostępna jest prawda subiektywna, nie zawsze pokrywająca się z obiektywną. Oczywiście, to co jest uniwersalne jest częścią tego co jest obiektywne, a więc poznanie tego co uniwersalne jest poznaniem prawdy obiektywnej. W tym kontekście logika formalna odnosi się do uniwersalnych praw przetwarzania informacji we wszechświecie, które przejawiają się w procesach komunikacji międzyludzkiej za pośrednictwem przetwarzania tekstów przetwarzania formalnego. Tak więc, jeŝeli umysł pewnego człowieka stosuje logikę przyrodzoną, zarządzająca przetwarzaniem informacji w jego układzie nerwowym, to moŝe wykorzystywać takŝe logikę formalną. Jest to silny argument na rzecz racjonalizmu. Elementy logicznej teorii tekstu Podsumowując rozwaŝania dotyczące formalizacji naszkicujemy aparat pojęciowy umoŝliwiający sformułowanie logicznej teorii tekstu, podając stosowne postulaty znaczeniowe w języku teorii mnogości. Przez wiedzę będziemy rozumieć, jak poprzednio, informację przetwarzaną w umyśle człowieka, a przez reprezentację wiedzy, przedstawianie (kodowanie) wiedzy za pomocą róŝnorakich środków w ramach systemów komunikacji międzyludzkiej. Reprezentacje wiedzy są więc tekstami. Zrelatywizowanie reprezentacji wiedzy do dziedzin wiedzy prowadzi do wyodrębnienia tekstowych dziedzin wiedzy, a wyraŝanie tych tekstów w jakimś języku, do wyodrębnienia języka dziedziny wiedzy. Gdy wszystkie równokształtne teksty reprezentują tę samą wiedzę (w szczególności są pusto spełnione), a równokształtność jest kongruencją w tekstowej dziedzinie wiedzy, to tekstową dziedzinę wiedzy nazywamy systemem reprezentacji wiedzy. Definicja 1 Strukturę relacyjną < U, U 0, ε, R> nazywamy tekstową dziedziną wiedzy, gdy U jest niepustym zbiorem wszystkich tekstów reprezentujących wiedzę z pewnej dziedziny, U 0 wyróŝnionym niepustym podzbiorem zbioru U zwanym bazą tekstową, ε jest relacją częściowego porządku określoną na zbiorze U zwaną relacją bycia częścią tekstów, a R jest ustalonym zbiorem relacji określonych w U zwanych relacjami nawiązywania tekstów. Definicja 2 Niech TDW = < U, U 0, ε, R> jest tekstową dziedziną wiedzy. 12

(a) Dwa teksty α,β U są równokształtne, gdy dwie struktury relacyjne powstałe przez ograniczenie uniwersum struktury TDW odpowiednio do zbiorów {t U : t ε α}, {t U : t ε β}, są izomorficzne oraz części tekstu α pozostają w tych samych relacjach w strukturze TDW co ich obrazy izomorficzne będące częściami tekstu β. (b) Tekst α jest wyprowadzalny ze zbioru tekstów X U, co zapisujemy X - R α, gdy istnieje taki tekst β, zwany wyprowadzeniem tekstu α ze zbiory X, i istnieje taki ciąg tekstów α 1, α 2,..., α n U, Ŝe spełnione są warunki (1) teksty α 1, α 2,..., α n zawarte są w tekście β, (2) α n = α, (3) dla dowolnych i n: bądź α i X, bądź istnieją takie i 1, i 2,..., i k < i oraz istnieje taka relacja r R, Ŝe <α i1, α i2,..., α ik,, α i > r (4) β jest najmniejszym tekstem w <U, ε > spełniającym warunki (1)-(3). (c) Ramą zbioru tekstów X U jest zbiór Fr(X) = {α U : X - R α } (d) Poprawnie zbudowanymi są teksty naleŝące do zbioru Fr(U 0 ). (e) Dla dowolnych tekstów α, β U, α β wttw istnieje taki zbiór X tekstów, Ŝe β X i X - R α i nieprawdą jest X\{β} - R α, napis α β czytamy: α nawiązuje do β, lub α jest następnikiem β, (f) Dla dowolnego tekstu α U, zbiór Parts(α) = {t U : t ε α} zwany jest budową tekstu α. (g) Tekst β jest rematem tekstu α wttw β Fr(U 0 ), α β, β Parts(α) oraz nie istnieje taki tekst t Parts(α), Ŝe t β; innymi słowy: tekst β jest rematem tekstu α, gdy jest wyprowadzalny z tekstów bazowych (nawiązuje do tych tekstów), jest częścią właściwą tekstu α oraz Ŝadna część tekstu α nie jest jego następnikiem; intuicyjnie, remat danego tekstu jest tą jego częścią, która nie słuŝy do zrozumienia innych części tego tekstu, a jedynie sama moŝe być zrozumiana dzięki nawiązaniu do wcześniejszych tekstów, (h) Tekst t jest tematem tekstu α wttw t Fr(U 0 ), α t, t Parts(α) oraz kaŝdy następnik t naleŝący do Parts(α) jest rematem α; innymi słowy: tekst t jest tematem tekstu α, gdy jest jego częścią właściwą, której kaŝdy następnik będący częścią α jest rematem; intuicyjnie, tematem danego tekstu jest kaŝda jego właściwa część, która słuŝy do zrozumienia rematu tego tekstu, tak więc, aby zrozumieć remat nawiązujemy najpierw do tematów, a następnie do tekstów, z których tematy są wyprowadzone, (i) Dowolny tekst jest jednostką tekstu, gdy posiada w swojej budowie rematy i tematy oraz gdy ze zbioru wszystkich tematów tego tekstu wyprowadzalny jest kaŝdy z rematów. 13

ZauwaŜmy, Ŝe dowolne wyprowadzenie tekstu poprawnie zbudowanego jest jednostką tekstu. WaŜne jest takŝe stwierdzenie, Ŝe dla dowolnej tekstowej dziedziny wiedzy TDW, w której wszystkie równokształtne teksty reprezentują tę samą wiedzę, jeŝeli relacja ~ równokształtności tekstów jest kongruencją w TDW, to struktura ilorazowa TDW/~ jest takŝe tekstową dziedziną wiedzy. Uzasadnione jest więc sformułowanie następującej definicji: Definicja 3 Niech w tekstowej dziedzinie wiedzy TDW wszystkie równokształtne teksty reprezentują tę samą wiedzę, a relacja ~ równokształtności tekstów jest kongruencją w TDW. Wtedy strukturę ilorazową TDW/~ nazywamy systemem reprezentacji wiedzy, relacje nawiązywania nazywamy relacjami konkatenacji, a o wyprowadzeniu danego tekstu mówimy, Ŝe jest konkatenacją pewnego ciągu tekstów określonego przez definicję wyprowadzenia tekstu. Tekstami są typy, tj. zbiory wszystkich tekstów równokształtnych w TDW. Przyjmijmy dalej, Ŝe wiedza logiczna jest informacją przetwarzaną w umyśle identyfikującą ogólną budowę, cechy i przyporządkowania wszelkich obiektów odnoszących się do danej dziedziny wiedzy oraz identyfikującą relacje pomiędzy tymi obiektami. Definicja 4 Język, w którym przedstawiamy schematycznie, za pomocą schematów, tj. formuł, wzorów, planów, diagramów itp., wiedzę logiczną nazywamy językiem sformalizowanym. Język ten jest określony przez cztery zbiory symboli < Al., Tr, Fm, W>, Al jest alfabetem, Tr zbiorem termów, Fm zbiorem formuł, a W jest rodziną zbiorów formuł takich, Ŝe do kaŝdego z tych zbiorów naleŝą formuły reprezentujące wiedzę o tej samej wartości logicznej. Alfabet składa się z ze stałych i zmiennych indywiduowych, będących zarazem termami, symboli funkcyjnych wiąŝących stałe i zmienne w termy, predykatów wiąŝących stałe i zmienne w formuły, spójników wiąŝących formuły w inne formuły, kwantyfikatorów wiąŝących zmienne i formuły w inne formuły oraz symboli pomocniczych (np. nawiasów, ramek, kropek, linii, strzałek itd.). Przykładem języka sformalizowanego jest język będący wynikiem formalizacji (schematyzacji) języka dowolnej dziedziny wiedzy. Definicja 5 14

Systemem reprezentacji wiedzy logicznej nazywamy system reprezentacji wiedzy, w którym zbiorem tekstów bazowych jest zbiór wszystkich symboli języka sformalizowanego, a zbiór relacji konkatenacji pozwala 1) wyróŝnić wszystkie składniki języka sformalizowanego, 2) wyprowadzić formuły poprawnie zbudowane, 3) tworzyć teksty wywodów prowadzących od formuł o określonej wartości logicznej do formuł o określonej wartości logicznej (niezmienniczość wartości logicznych względem wywodów). MoŜna mieć nadzieję, Ŝe wprowadzony aparat pojęciowy umoŝliwi czytelnikowi, jeszcze lepiej niŝ wcześniejsze rozwaŝania, dostrzec uniwersalność metody formalizacji jako reprezentacji wiedzy logicznej oraz wyraźniej nakreślić perspektywę zastosowań tej metody. 15