WIELOKRYTERIALNE WSPOMAGANIE DECYZJI - MIŁOSZ KADZIŃSKI LAB VIII TEORIA SPOŁECZNEGO WYBORU (ROZSZERZENIE) + PROSTE AUKCJE I. Wprowadzenie Reprezentacja proporcjonalna (ang. proportional representation) Ciekawsze ordynacje wyborcze (z naciskiem na obowiązujące w Polsce) Manipulacja strategiczna (ang. strategic manipulation) Proste aukcje (ang. simple auctions) II. Reprezentacja proporcjonalna (ang. proportional representation) Załóżmy, że kandydują przedstawiciele 3 partii politycznych, jest 100 wyborców i 10 miejsc w parlamencie. Wyniki głosowania: A: 47, B: 29, C: 24 Ile miejsc powinna otrzymać każda partia? Problem reprezentacji proporcjonalnej jest zbliżony do problemu rozdziału (ang. apportionment): ile miejsc w izbie reprezentantów/senacie powinien dostać każdy stan/okręg, jeśli dane są populacje wszystkich stanów/okręgów? Metoda Hamiltona Stany Zjednoczone, US Congress, Alexander Hamilton, 1792r. Oblicz quota dla każdej partii i : Każdej partii i, przyznaj q i miejsc. q i = # miejsc (# głosów za i)/(sumaryczna # głosów) Pozostałe miejsca przyznawaj po kolei partiom z największym ułamkiem (może wymagać rozstrzygania konfliktów). Metoda Jeffersona Thomas Jefferson, 1792r. Dane: s liczba miejsc do obsadzenia p liczba partii n i liczba głosów na partię i Ustal dzielnik d taki, że: n / d + n 2 / d +... + n p / d = s Każdej partii i przydziel n i / d miejsc. 1. Liczba miejsc przydzielonych każdej partii rośnie monotonicznie ze wzrostem całkowitej liczby miejsc (nie ma Paradoksu Alabamy). Faworyzuje duże partie Patrz ćwiczenie I.
Trzy metody współcześnie najczęściej stosowane do podziału mandatów w systemach wyborczych opartych na proporcjonalnej reprezentacji to metoda d Hondta, metoda Sainte-Lague oraz metoda Hare'a-Niemeyera. Ich popularność jest największa w krajach europejskich. Obecnie w Polsce w różnych wyborach obowiązuje ta pierwsza (sejm) i ta trzecia (eurowybory). Metoda d Hondta Dzielimy liczby uzyskanych głosów przez kolejne liczby naturalne: 1, 2, 3, 4, 5, Znajdujemy największe ilorazy liczby uzyskanych głosów. Obsadzamy tyle mandatów, ile jest dostępnych w danym okręgu. Remis decyduje ogólna liczba głosów, a potem liczba zwycięskich obwodów. Faworyzuje duże ugrupowania. Wybory parlamentarne: Polska, Austria, Finlandia, Izrael, Hiszpania, Holandia. Metoda Hare'a-Niemeyera Wykorzystywana w wyborach do polskiego sejmu w 1991 roku Sprzyja głównie małym i średnim partiom Liczbę mandatów oblicza się z wykorzystaniem ilorazu: V1 S / Vt = X,... V1 liczba głosów oddanych na partię w okręgu wyborczym S liczba mandatów do obsadzenia w okręgu wyborczym Vt łączna liczba głosów oddanych w danym okręgu X,... - wynik dzielenia, np. 2,56 Liczba X przed przecinkiem oznacza liczbę mandatów przypadających danej partii. Gdy zostaną nieprzydzielone mandaty, przydziela się je partiom wykazującym najwyższe liczby po przecinku, np. 0.90, 0.67, 0.34, Patrz ćwiczenie II. POLSKA Wybory prezydenckie Plurality run-off Prezydentem zostaje ten, kto otrzyma ponad połowę ważnie oddanych głosów W przypadku, gdy żaden z kandydatów nie otrzyma wymaganej liczby głosów, w II turze głosowania uczestniczą dwaj kandydaci z największą liczbą głosów z I tury Dla zwycięstwa w II turze wystarczy otrzymać więcej głosów, niż inny kandydat (= ponad połowę ważnie oddanych głosów, ponieważ głos jest ważny tylko, gdy oddany na któregoś z tych dwóch kandydatów). Wybory do sejmu Do obsadzenia jest 460 mandatów 41 okręgów, których wielkość wynosi od 7 do 20 mandatów, ok. 80 tys. mieszkańców na mandat (Poznań (powiat poznański) 10 mandatów; Warszawa 20, Częstochowa - 7) Wyborcy oddają głos na kandydata i tym samym na listę, którą reprezentuje Próg ustawowy wynosi 5% dla pojedynczej partii, 8% dla koalicji wyborczych i jest ustanowiony na poziomie krajowym Co jeśli nikt nie spełnia progu lub spełnia tylko jedna partia? W każdym okręgu przydział mandatów odbywa się przy użyciu metody d'hondta
Mandaty przypadające danej liście uzyskują kandydaci w kolejności otrzymanej liczby głosów Wyjątek, którego nie obowiązuje próg krajowy stanowi komitet wyborczy mniejszości narodowych (w praktyce mandat/y zdobywa tylko mniejszość niemiecka w województwie opolskim) Okręgi wyborcze w wyborach do sejmu / senatu Wybory do senatu Do obsadzenia 100 mandatów senatorskich Okręgi jednomandatowe do senatu wchodzi ten kandydat, który zdobędzie najwięcej głosów (plurality rule) Obecnie (2015) w senacie są 4 osoby spoza list partyjnych (Komitety Wyborcze Wyborców...) Wybory do Parlamentu Europejskiego w Polsce 13 okręgów wyborczych (np. województwo wielkopolskie) 51 mandatów dla Polski (751 w całym Parlamencie Europejskim; Niemcy 96, Cypr, Malta, Estonia, Luksemburg - 6) Podział mandatów pomiędzy uprawnione komitety wyborcze dokonywany jest w skali całego kraju według metody d'hondta Rozdział mandatów przypadających komitetom wyborczym pomiędzy listy kandydatów dokonywany jest metodą największych reszt (Hare'a-Niemeyera) Liczba posłów w poszczególnych okręgach nie jest ustalona
Ciekawsze ordynacje wyborcze na świecie Wybory prezydenckie w Stanach Zjednoczonych Prezydenta i vice-prezydenta wybiera bezpośrednio kolegium elektorskie Liczba elektorów przypadająca na dany stan odpowiada liczbie reprezentantów w obu izbach Kongresu Election Day co cztery lata we wtorek między 2-8 listopada Większość stanów stosuje system winner-take-all (ten kto zdobywa największą liczbę głosów wyborcow, zdobywa wszystkie głosy elektorów); Maine i Nebraska dają dwa głosy zwycięzcy stanowemu oraz jeden głos zwycięzcy dystryktu kongresowego Elektorzy spotykają się w stolicy stanu w pierwszy poniedziałek po drugiej środzie grudnia, aby zagłosować na prezydenta i vice-prezydenta (24 stany ma ustanowione prawo, by ukarać niewiernych elektorów, którzy zagłosowali na kogoś innego niż przyrzekli zagłosować; ostatni przypadek: 2016: zarówno od strony Clinton jak i Trumpa) W styczniu głosy elektorów są otwierane przez vice-prezydenta i czytane na głos na zgromadzeniu nowowybranego Kongresu Jeśli żaden kandydat nie zdobędzie większości (obecnie co najmniej 270), prezydent jest wybierany przez Izbę Reprezentantów dla celu wyboru prezydenta, każdy stan ma tylko jeden głos (tylko dwa razy w historii w 1800 i 1824); vice-prezydent jest wybierany przez senat każdy senator ma tylko jeden głos (tylko raz w 1836) Przykładowe wynik: 2012: Donald Trump - 62 984 825 głosów - 46,1% (304 elektorskich) Hillary Clinton - 65 853 516 głosów - 48,2% (227 elektorskich) 2012: Barack Obama - 65 600 425 głosów - 51,0% (332 elektorskich) Mitt Romney - 60 861 683 głosów - 47,3% (206 elektorskich) 2000: George W. Bush - 50 456 002 głosy - 48,35% (271 elektorskich) Al Gore - 50 999 897 głosów - 48,87% (266 elektorskich) 5 razy w historii wygrywał kandydat z mniejszą liczbą głosów
Wybory do Izby Gmin w Wielkiej Brytanii Izba Gmin (House of Commons of the United Kingdom) 650 jednomandatowych okręgów wyborczych (okręg przypada średnio na 69281 osób; przegląd granic okręgów raz na 8-12 lat) MPs members of parliament Obecnie (2016) - Partia Konserwatywna (David Cameron, Theresa May) 330 (36.8% głosów -> 50.8% mandatów), Partia Pracy (Ed Miliband, Heremy Corbyn) 232 (30.5% głosów), Szkocka Partia Narodowa 56 (4.7% głosów, ale w Szkocja 56/59), Liberalni Demokraci - 8 (7.9 głosów),..., UK Independence Part (UKIP) - 1 (12.7% głosów) Wybory parlamentarne we Francji 577 jednomandatowych okręgów Wybory dwurundowe Zwycięzca w pierwszej rundzie, jeżeli zdobywa absolutną większość i co najmniej ¼ głosów osób zarejestrowanych W przypadku braku zwycięzcy, dwóch kandydatów z największą liczbą głosów bierze udział w drugiej turze oraz ewentualnie inni kandydaci z co najmniej 1/8 liczbą głosów spośród zarejestrowanych wyborców W drugiej rundzie wygrywa kandydat z największą liczbą głosów Front Narodowy (w 2012r. poparcie na poziomie 13.6% w 1. turze...) Wybory parlamentarne na Ukrainie 450 deputowanych Rady Najwyższej (stan liczbowy przed 2014r.; zasady niezmienione) System mieszany (mixed-member proportional representation) Połowa (225) wybieranych jest w jednomandatowych okręgach wyborczych (first-past-the-post = wygrywa kandydat z największą liczbą głosów) Połowa (225) w systemie proporcjonalnym z list krajowych przy uwzględnieniu progu 5%
Wybory do Bundestagu w Niemczech System mieszany Teoretycznie w Bundestagu jest 598 miejsc Wyborcy oddają dwa oddzielne głosy: na kandydata oraz na listę (landowa lista partyjna); mogą być kandydaci bezpartyjni oraz partie niemające kandydatów 299 miejsc obsadzają zwycięzcy poszczególnych okręgów jednomandatowych Partie, które przekroczą próg wyborczy (5%) lub zdobędą wykrają w co najmniej 3 okręgach biorą udział w proporcjonalnym podziale głosów (od 2013r. zgodnie z metodą Sainte-Lague) na szczeblu kraju związkowego Drugi głos na listę jest ważniejszy, bo decydują o proporcjach głosów w parlamencie Brakujące miejsca dla danej partii dobiera się z listy partyjnej W przypadku nadmiarowych głosów (partia w okręgach jednomandatowych zdobywa więcej mandatów niż przypada jej z podziału proporcjonalnego), partia ma prawa je zatrzymać (bez głosów wyrównujących dla innych partii przed 2013r.) W ostatnich wyborach wprowadzono jednak głosy wyrównujące dla innych partii (w Bundestagu jest obecnie 630 parlamentarzystów) Głosowanie elektroniczne (jako ciekawostka) Projekt urządzeń, które zbierają i agregują głosy (ang. ballots). Zidentyfikowano następujący zbiór wymagań, które są problematyczne także dla tradycyjnych wyborów: Rezultaty muszą być weryfikowalne: Każdy powinien mieć możliwość przeliczenia głosów. Każdy głosujący powinien mieć możliwość sprawdzenia, że jego głos został policzony. Prywatność głosującego musi być zagwarantowana: Każdy głosujący musi mieć możliwość utrzymania sekretności swego głosu. Nawet jeśli by chciał, głosujący nie powinien być w stanie udowodnić innym, jak głosowali (ochrona przed przekupstwem). Holandia wycofała się ze stosowania maszyn do głosowania w 2008r.
IV. Strategiczna manipulacja (ang. strategic manipulation) Należy rozróżnić: Kartę (ang. ballot), którą głosujący przedstawia. Rzeczywistą relację preferencji głosującego. Jeśli są zgodne, to wyborca jest prawdomówny. W praktyce bardzo często tak nie jest. Patrz ćwiczenie III. Zakładamy, że znane są preferencja wszystkich wyborców. Nie do końca realistyczne, ale Twierdzenie Gibbard-Satterthwaite Każdy rozsądny system wyborczy, który dopuszcza co najmniej trzech kandydatów stwarza czasem sytuacje, w których wyborcy mają motywację głosować taktycznie. Sprawa Afraniusza Dekstera Znaleziono martwego konsula Afraniusza Dekstera w towarzystwie służących. Senat musi zdecydować, czy służący są winni śmierci konsula? Możliwe opcje: U (uwolnić), W (wygnanie), Ś (śmierć) Szacowano, że preferencje senatorów są następujące: 45% U > W > Ś, 35% W > U > Ś, 20% Ś > W > U Wybór metody należał do Pliniusza Młodszego (zwolennika uwolnienia służących). Wersja I: Winni? Tak/Nie. Jeśli tak, to Wygnanie? Wyszłoby, że wygnanie (W). Wersja II: Śmierć? Tak/Nie. Jeśli nie, to Wygnanie? Wyszłoby, że wygnanie (W). Wersja III: Co zrobić? Trzy opcje do wyboru. Wyszłoby, że uwolnić (U). Patrz ćwiczenie IV. Przykłady manipulacji (niech x będzie kandydatem, która ma wygrać wskutek manipulacji): Reguła większościowa: głosuj na x. Jeśli manipulacja jest możliwa, zadziała. W przeciwnym razie, nie. Borda: algorytm zachłanny ustaw x na szczycie, potem postępuj aż do końca następująco: sprawdź, czy jakikolwiek z kandydatów może zostać ustawiono jako następny bez uniemożliwienia zwycięstwa x. Jeśli tak, zrób to. Jeśli nie, manipulacja jest niemożliwa. Rzadko pojedynczy głosujący będzie mógł zrobić różnicę.
Manipulacja przez koalicję głosujących. Głosy ważone lub nieważone (kraje w UE, udziałowcy w firmie) Manipulacja konstruktywna (x ma być zwycięzcą (samodzielnym lub ex-aquo)) lub destruktywna (zapewnienie, że x nie wygra) Kontrola wyborów: dodawanie/usuwanie kandydatów, dodawanie/usuwanie wyborców, zmiany okręgów (jeśli partia wygrywa w okręgu A z 80% większością i przegrywa nieznacznie w B, dobrze byłoby zmienić nieznacznie granice okręgów) Przekupstwo w wyborach Znalezienie K wyborców, takich że odpowiednio zmiana ich głosów uczyni x zwycięzcą. Związek z manipulacją: w manipulacji koalicyjnej dane głosujących, którzy zmieniają głosy są znane (stanowią wejście), podczas gdy w przekupstwie trzeba ich wybrać. Kilka wariantów problemu przekupstwa było badanych: cena przekupionych, stopień wymaganej zmiany, itd. Równe ceny, nieważone głosy klasa P; różne ceny i ważone głosy NP-zupełny (redukcja do problemu podziału). Patrz ćwiczenie V.
V. Proste aukcje Charakterystyka prostych aukcji: Jeden sprzedawca (ang. auctioneer) Wielu kupujących (ang. buyers) Jeden przedmiot (przeznaczony do sprzedaży). Aukcje mają różny charakter w zależności od podejścia sprzedających: Dom do zamieszkania (private value auction) Dom, który możesz odsprzedać (correlated value auction), obraz jako inwestycja, częstotliwość Istnieje wiele mechanizmów i protokołów przebiegu aukcji, nawet tych prostych Aukcja angielska (English Auction) Protokół: sprzedający rozpoczyna z ceną wyjściową (ang. reservation price); w każdej rundzie licytujący może zaproponować wyższą ofertę; wygrywa ten, kto zgłosi ostateczną ofertę. Wykorzystanie: obrazy, antyki, itd. Strategia dominująca (dla private value auctions): oferuj w każdej rundzie odrobinę więcej, dopóki nie wygrasz lub nie osiągniesz własnej wyceny. Winner s curse: jeśli wygrałeś, a nie jesteś pewny odnośnie prawdziwej wartości przedmiotu, czy powinieneś być szczęśliwy? Aukcja holenderska (Dutch Auction) Protokół: sprzedający rozpoczyna od bardzo wysokiej oceny i obniża ją stopniowo w każdej rundzie; pierwszy licytujący, które przystanie na cenę, wygrywa Wykorzystanie: sprzedaż kwiatów na giełdzie w Amsterdamie Intuicyjna strategia: odczekaj chwilę po tym, gdy sprzedający doszedł do poziomu twojej wyceny i miej nadzieję, że nikt nie zgłosi się przed tobą (nie ma strategii dominującej) Winner s curse Aukcje typu First-price Sealed-bid (FPSB) Protokół: jedna runda, zapieczętowane oferty; najwyższa oferta wygrywa (dla uproszczenia, zakładamy, że dwóch licytujących nie może złożyć takiej samej oferty) Wykorzystanie: budynki użyteczności publicznej, itd. Problem: różnica pomiędzy najwyższą oraz drugą najwyższą ofertą to stracone pieniądze (zwycięzca mógł zaoferować mniej) Intuicyjna strategia: zaoferuj odrobinę mniej niż twoja rzeczywista wycena (nie ma strategii dominującej) Aukcja Vickrey a William Vickrey, 1961 (Nagroda Nobla w dziedzinie ekonomii, 1996) Protokół: jedna runda, zapieczętowane oferty; najwyższa oferta wygrywa, ale zwycięzca płaci cenę równą drugiej najwyższej ofercie. Strategia dominująca: oferuj swoją prawdziwą wycenę jeśli zaoferujesz więcej, ryzykujesz, że zapłacisz więcej niż wartość jeśli zaoferujesz mniej, obniżasz swoje szanse na zwycięstwo, przy zwycięstwie musząc zapłacić taką samą cenę. Problem: nieintuicyjne (problematyczne dla ludzi) Patrz ćwiczenie VI.
VI. Omówienie zadań I. Rozdział mandatów metodą Hamiltona i Jeffersona Metody Hamiltona i Jeffersona zmierzają do podziału proporcjonalnego, tzn. każda partia powinna uzyskać w przybliżeniu liczbę mandatów wynikającą z ich proporcjonalnego wsparcia (liczba uzyskanych głosów / liczba wszystkich głosów) Metoda Hamiltona mnoży procentowy udział głosów przez sumaryczną liczbę mandatów do rozdania (np. dla A: 24/250 * 25 mandatów), a następnie przyznaje każdej partii podłogę (dolne przybliżenie) z uzyskanej liczby. Pozostałe mandaty rozdziela zgodnie z największymi ułamkami po przecinku. W przykładzie dla 25 mandatów: A: 2.4, B, C: 11.3; początkowy przydział: A: 2, B,C: 11; został jeden mandat, który dostaje A, bo 0.4 dla A > 0.3 dla B i C. Wadą metody Hamiltona jest paradoks polegający na tym, że wraz ze wzrostem sumarycznej liczby mandatów do rozdzielenia, liczba mandatów przydzielonych danej partii może spaść (nazywa się to paradoksem Alabamy). W naszym przykładzie dla 25 mandatów partia A uzyskała 3 mandaty, a dla 26 tylko 2. Metoda Jeffersona zakłada szukanie takiego dzielnika, który zastosowany do liczby głosów oddanych na poszczególne partie pozwoli na to, by podłogi z (liczba mandatów/dzielnik) sumowały się do sumarycznej liczby mandatów do rozdzielenia. W przykładzie dla 26 mandatów i dzielnika d=10, podłogi: 2+11+11=24, a więc za mało; trzeba zmniejszyć dzielnik - dla d=9, podłogi: 2+12+12=26, co stanowi ostateczny przydział. II. Rozdział mandatów metodą d'hondta i Hare-Niemeyera Metoda d'hondta nazywa jest także metodą ilorazów. Zakłada ona dzielenie liczby głosów oddanych na poszczególne partie przez kolejne liczby naturalne (1,2,3,4,...). Ważne jest by zawsze dzielić początkową liczbę głosów (tj. pierwszy wiersz, a nie wiersz poprzedni). Rozdział ograniczonej liczby mandatów (w przykładzie 8) następuje zgodnie z największymi ilorazami. W przypadku remisu mandat bierze partia z większą sumaryczną liczbą głosów (np. mandat nr 5 bierze B). Ostatecznie w zadaniu: A - 3, B - 4, C - 1. Metoda d'hondta jest wykorzystywana w wyborach do sejmu w Polsce do rozdziału mandatów w poszczególnych okręgach wyborczych. Metoda Hare-Niemeyera to inna nazwa metody Hamiltona. Można ją wykorzystywać do podziału mandatów w okręgach, ale w Polsce w wyborach do europarlamentu wykorzystuje się do podziały mandatów poszczególnych partii między okręgi (patrz przykład pod tabelką). III i IV. Manipulacja W interesie zwolenników Nadera jest głosowania na Gore'a, co spowoduje porażkę Busha (najmniej preferowanego przez nich kandydata). Reguła większościowa = plurality rule = wygrywa kandydat z największą liczbą głosów (niekoniecznie > 50%) Manipulacja dla reguły większościowej: głosuj na x. Jeśli manipulacja jest możliwa, zadziała. W przeciwnym razie, nie. Reguła Bordy to reguła punktowa, która każdemu kandydatowi przyznaje liczbę punktów wynikającą z jego pozycji w rankingu poszczególnych wyborców. Jeśli jest n kandydatów, to za 1 miejsca - n-1 punktów, za 2 - n-2 punkty, za przedostatnie - 1 punkt, za ostatnie - 0 punktów. Manipulacja dla Bordy: algorytm zachłanny ustaw x na szczycie, potem postępuj aż do końca następująco: sprawdź, czy jakikolwiek z kandydatów może zostać ustawiono jako następny bez uniemożliwienia zwycięswa x. Jeśli tak, zrób to. Jeśli nie, manipulacja jest niemożliwa. V. Przekupstwo Przekupstwo polega na znalezieniu wyborców, którzy zmienią swoje preferencje po to, by uczynić x zwycięzcą. Zakładając, że koszt przekupienia każdego głosującego jest taki sam lub po prostu minimalizując liczbę osób, które trzeba przekupić, w przykładzie zwycięstwo Alicji gwarantuje kupno 2 głosów wyborców Marii i 1 głosu wyborcy Jana.
VI. Aukcja Skoro kupujący szacuje wartość serwisu na 0-10 mln, to oczekiwany zysk dla właściciela to 5 mln, a dla kupującego 5 + 50%*5 = 7.5mln. Właściciel zaakceptuje każdą ofertę >= od rzeczywistej wartości serwisu. Rozważmy ofertę w wysokości 5mln. Z punktu widzenia kupującego, jeśli właściciel ją zaakceptuje to znaczy, że serwis wart jest od 0 do 5, a więc dla kupującego reprezentuje wartość od 0 do 7.5mln, co daje wartość oczekiwaną na poziomie 3.75mln. Niezależnie od tego jaką ofertę by rozważyć analogiczne rozumowanie doprowadzi do wniosku, że jeśli oferta kupującego będzie zaakceptowana, to wartość oczekiwana serwisu będzie mniejsza niż jego oferta. W konsekwencji strategia równowagi to (oferta=0, nie akceptuj).