Marcin Kłos, Piotr S. Dębicki ANTENY CYLINDRYCZNE PROMIENIUJĄCE W OŚRODEK STRATNY BADANIA ANALITYCZNE I NUMERYCZNE RÓWNOMIERNOŚCI PROMIENIOWANIA W pracy poruszono problem anten cylindrycznych umieszczonych w ośrodku stratnym, które ze względu na specyficzne zastosowania powinny promieniować równomiernie. Struktury takie wykorzystuje się w zastosowaniach przemysłowych i medycznych. Uwagę skupiono na zależności pomiędzy kształtem anteny a kształtem charakterystyki promieniowania. Do analizy anten zastosowano klasyczne narzędzia analityczne oraz intesywnie rozwijającą się metodę numeryczną FDTD. 1. WPROWADZENIE W technice antenowej, wśród wielu parametrów opisujących anteny, najważniejszymi są: charakterystyka promieniowania w strefie dalekiej oraz impedancja promieniowania. Oba te parametry są określane w zadanym lub pożądanym paśmie częstotliwości. W przypadku, gdy antena współpracuje z ośrodkiem stratnym sytuacja ulega zasadniczej zmianie. Klasyczne pojęcie charakterystyki promieniowania nie może już być stosowane [1]. W zależności od konkretnych zastosowań i oddzielnie dla przypadków nadawania i odbioru wprowadza się specjalne definicje, chociaż zasada wzajemności pozostaje nadal słuszna [2,3]. W niektórych zastosowaniach związanych z promieniowaniem anten cylindrycznych, w szczególności w hipertermii mikrofalowej, pojawia się konieczność definiowania nowych parametrów, dość niezwykłych z punktu widzenia klasycznej techniki antenowej. Chodzi mianowicie o równomierność promieniowania mocy wzdłuż anteny. Oznacza to, że moc promieniowana na jednostkę długości anteny musi być stała w obszarze o zadanej długości. Zagadnienie nabiera szczególnego znaczenia w sytuacjach, gdy chodzi o zapewnienie bezpieczeństwa pacjenta i skuteczności terapii. Energia promieniowania anteny musi być precyzyjnie i równomiernie dostarczana do leczonego obszaru i nie może uszkadzać tkanek zdrowych w sąsiedztwie. Celem niniejszej pracy jest przedstawienie pierwszych wyników analitycznych i numerycznych poszukiwań optymalnego profilu dla cylindrycznych anten izolowanych o symetrii osiowej. Realizowane przykłady dotyczą anten stosowanych w hipertermii mikrofalowej. 2. DEFINICJE STOSOWANYCH PARAMETRÓW SPECJALNYCH W przypadku anten promieniujących w ośrodek stratny, charakterystykę promieniowania określa się jako przestrzenny rozkład gęstości mocy zamienianej na ciepło, która jest proporcjonalna do przewodności ośrodka [S/m] i kwadratu amplitudy natężenia pola elektrycznego E [V/m], i opisana jest przez znaną zależność: P q =.5 E 2, gdzie: P q jest objętościową gęstością mocy zamienianą na ciepło w [W/m 3 ]. W hipertermii powszechnie używa się też innej wielkości, oznaczanej SAR od specific absorption rate, która wyraża moc absorbowaną w jednym kilogramie tkanki, a więc posiada jednostkę [W/kg]. SAR jest powiązany z P q przez gęstość właściwą tkanki t [kg/m 3 ]: SAR = P q / t. Często normalizuje się obie wielkości względem ich wartości maksymalnych, (maksimum występuje zazwyczaj na powierzchni anteny). Wtedy, jeśli gęstość ośrodka jest jedno-
i ki i j i j i, (i=1,2,3). (1) Jeśli przyjmiemy, że stratny ośrodek zewnętrzny rozciąga się do nieskończoności (c = ) to TAI prowadzi do następujących wyrażeń na liczbę falową j i impedan- rodna, zachodzi: SAR n = P qn. W tej pracy używa się jeszcze następujących wielkości [4,5]: obszar grzania liniowy na poziomie 75%, SAR SAR max 5 lub 25% [m] (OGL 75, OGL 5, OGL 25 ), 1% określony wzdłuż linii leżącej na cylindrze SAR min otaczającym powierzchnię anteny w odległości 1 mm jako długość, na której 75% OGL 75 znormalizowany SAR przekracza wartość odpowiednio 75%, 5% i 25%. (rys.1); 25% OGL 25 liniowy współczynnik równomierności (LWR), LWR = OGL 75 /OGL 5 ; z[m] wskaźnik zafalowania (WF) Rys. 1. Podłużne charakterystyki promieniowania radiatorów Odchyłka od idealnej cha- wskaźnik jakości (WJ) WF = SAR MIN / SAR MAX rakterystyki prostokątnej jest określona jako WJ = g wf WF + g lwr LWR LWR=OGL 75 /OGL 25. g wf i g lwr wagi, odpowiednio, WF i LWR 3. PODSTAWY ANALIZY ANTEN CYLINDRYCZNYCH Podstawowym narzędziem powszechnie używanym do analizy CAI jest teoria anteny izolowanej (TAI) promieniującej w ośrodek stratny, opracowana przez R.W.P. Kinga [6,7]. W teorii tej izolowana antena zanurzona w ośrodku stratnym jest traktowana jako linia współosiowa ze stratnym przewodem zewnętrznym i idealnym rozwarciem na końcu (rys. 2). TAI zawiera dwa podejścia różniące się sposobem aproksymacji prądu w antenie oraz nieco innymi założeniami. Tylko prostsze z nich, mocno oparte na elementach schematu zastępczego linii stratnej, będzie wykorzystywane w tej pracy. Wynika to z faktu, że w dalszych rozważaniach analitycznych nie jest ważna dokładność numeryczna, lecz poszukuje się jedynie optymalnego profilu linii niejednorodnej, zapewniającego możliwe równomierne promieniowanie wzdłuż anteny, który to profil byłby rozwiązaniem startowym dla metody FDTD. W TAI wyprowadza się wyrażenia na liczbę falową prądu i pola w antenie (k L ) oraz na impedancję charakterystyczną (Z c ) anteny jednorodnej traktowanej jako linia długa. W TAI, adoptowanej do celów tej pracy, zakłada się że: (a) przekrój poprzeczny struktury jest dużo mniejszy od długości fali, (b) elementy metalowe (monopol, linia k 3 3 3 2 OŚRODEK STRATNY k3» k2 2c 2b 2a IZOLACJA MONOPOL METALOWY i = 1 2 3 (numer ośrodka) LINIA ZASILAJĄCA Rys. 2. Struktura promieniująca w ośrodek stratny z h współosiowa, ekran) wykonane są z idealnego przewodnika ( 1 =, (c) dzięki symetrii osiowej istnieją jedynie trzy składowe pól E ir, E iz, i H i (i = 1, 2, 3 jest numerem ośrodka, rys.2), (d) pojemność końca monopola jest zaniedbywana, (e) gęstość elektryczna ośrodka zewnętrznego (i = 3) jest dużo większa od gęstości izolacji (i = 2), dokładniej k 3 k 2, gdzie liczba falowa ośrodka: k L
zasilanie cję charakterystyczną Z c linii: k L k 2 ( 2) H ( k3b) 1 k b b ( 2) ln a H ( k b) 3 1 3 (2), Z c k L ln b 2 a, (3) 2 gdzie H n (2) (n =,1) jest funkcją Hankela drugiego rodzaju. Relacja (2) jest ważna, szczególnie z puntu widzenia celów tej pracy, gdyż pozwala na powiązanie geometrii linii/cai i parametrów elektrycznych ośrodka otaczającego CAI ze stałą tłumienia = Im{k L }. Ponieważ założono już, że ośrodek izolujący i monopol są bezstratne, wielkość 2 opisuje moc wypromieniowaną z jednostki długości linii. 4. METODA NUMERYCZNA FDTD W niniejszy punkcie zostanie omówiona metoda numerycznego rozwiązywania równań Maxwella FDTD (ang. Finite Differences Time Domain) [5]. W metodzie tej nieskończenie małe różnice w dziedzinie czasu oraz w przestrzeni zostały zastąpione różnicami skończonymi. W rezultacie pole elektromagnetyczne jest określone w wybranych punktach przestrzeni i w wybranych momentach czasu. Badana struktura podlega zatem dyskretyzacji. Jest dzielona na komórki, z którymi związane są parametry materiałowe oraz składowe pola elektromagnetycznego. Jeśli badana struktura jest anteną cylindryczną, to ze względu na symetrię osiową problem staje się płaski. Wystarczająca jest zatem analiza połowy przekroju wzdłużnego anteny. Ponadto w strukturze takiej istnieją tylko trzy składowe pola, tj.: E z, E r oraz H φ. Na rys. 3a przedstawiono zdyskretyzowany przekrój składowa H φ dielektryk idealny teoretyczny kształt anteny przewodnik doskonały ośrodek stratny składowa E z składowa E ρ Rys. 3a. Zdyskretyzowany przekrój przez antenę cylindryczną Rys. 3b. Przestrzenne ułożenie składowych pola przez przykładową antenę cylindryczną wraz z układem zasilającym. Rys. 3b zaś przedstawia przestrzenne ułożenie składowych pola. Wyznaczenie wartości poszczególnych składowych odbywa się w sposób iteracyjny. Wartość składowej w chwili obecnej zależy od wartości tej składowej w chwili poprzedniej oraz od wartości sąsiednich składowych także w chwili poprzedniej. Zależność ta sprowadza się do sum i iloczynów [5]. Niejednokrotnie konieczne okazuje się uwzględnienie warunków brzegowych.
składowa H φ składowa E z składowa E ρ ścianka elektryczna ścianka magnetyczna Rys. 4. Implementacja ścianek magnetycznych oraz elektrycznych. Składowe leżące na liniach kreskowanych oraz kropkowanych są zerowane po każdej Uzyskuje się je poprzez wpisywanie po każdej iteracji odpowiednich wartości w wybrane elementy siatki pola elektromagnetycznego. Szczególnym przypadkiem warunków brzegowych są ścianki elektryczne oraz magnetyczne. Ścianki elektryczne są strukturami, wzdłuż których zeruje się składowa styczna pola elektrycznego. Wzdłuż ścianek magnetycznych natomiast jest zerowana składowa styczna pola magnetycznego. Implementację warunków brzegowych tego typu przedstawia rys.4. Szersze omówienie zjawisk występujących w otoczeniu ścianki elektrycznej oraz magnetycznej można znaleźć w pracach [5, 8]. Osobnym zagadnieniem są sposoby rea- iteracji lizacji zasilania układu. Zasilanie układu można rozumieć jako proces polegający na wymuszaniu określonych wartości pola elektromagnetycznego w określonych miejscach układu w określonym czasie. W przypadku metody FDTD realizacja pobudzenia polega na wpisywaniu przed każdą iteracją określonych wartości w elementy siatki pola elektromagnetycznego. Wartości te wynikają ze sposobu zasilania układu. Pobudzanie jest więc powtarzalnym procesem określania warunków początkowych. W ogólności wystarczająca jest znajomość wartości tylko jednego elementu siatki. W praktyce jednak korzystne jest określenie wartości jak największej liczby elementów, gdyż w ten sposób algorytm uzyskuje szybciej stan ustalony. Rozważania na temat realizacji zasilania można znaleźć w pracach [5, 9], zaś na temat stanu ustalonego w metodzie FDTD w pracy [5]. 5. WYNIKI ANALITYCZNE Przedstawione w p.3 wyniki TAI pozwalają na określenie mocy wypromieniowywanej z jednostki długości linii dla danej 9 geometrii i parametrów elektrycznych ośrodka. Jest oczywiste, że w miarę posuwania się w kierunku końca monopola CAI, moc dostarczana do kolejnych przekrojów poprzecznych będzie coraz mniejsza, a więc stała musi być coraz większa. Zakładając, że monopol jest strukturą niejednorodna zbudowa- z ną z odcinków dz, z których każdy posiada z 9 z m a x Rys. 5. Optymalny profil stałej tłumienia α(z) stałą tłumienia (z), można wyprowadzić równanie różniczkowe opisujące zmiany (z) zapewniające stałość mocy wzdłuż monopola [1]. Rozwiązanie tego równania ma postać: (z) = /(1-2 z) gdzie = () jest stałą tłumienia w miejscu pobudzenia monopola. Funkcję (z) pokazano na rys.5., gdzie z max = 1/(2 ) oznacza położenie asymptoty. Otrzymany wynik dotyczy fali rozchodzącej się od generatora i nie uwzględnia fali odbitej od końca monopola. W związku z tym praktyczne znaczenie otrzymanych wyni-
8 6 4 2 (z).1.8.6.4.2.5.1.15.2.25.3.35.4.45 a [m] a(z).5.1.15.2.25.3.35.4.45 Distance along monopole z [m] Rys. 6. Profil monopola (średnica w funkcji odległości od punktu zasilania w [m]) odpowiadający optymalnemu profilowi stałej tłumienia ków dotyczy jedynie sytuacji, gdy falę odbitą można pominąć. Dlatego dalej wprowadza się odległość oznaczoną jako z 9 do której dociera tylko 1% mocy P dostarczonej na początek monopola, tzn., że 9% mocy zostaje wypromieniowanych przed osiągnięciem tego punktu jeśli monopol będzie posiadał tą właśnie długość. Tak więc moc odbita stanowi jedynie 1% mocy dostarczonej. Dystans z 9 może być obliczony ze wzoru: z 9.9/ 2 W większości przypadków praktycznych długość monopola jest zdeterminowana. Tak więc jeśli ma ona wynosić z 9, również jak i cały profil(z) są zdeterminowane. oznacza to też, że nie wszystkie przypadki praktyczne będą realizowalne. W następnym kroku profil(z) powinien zostać powiązany z promieniem monopola a(z). Praktycznie można to przeprowadzić przy pomocy relacji (1) i (2). Przykładowo, obliczenia przeprowadzono dla następujących parametrów: = 1, z max =5 mm, z 9 = 45 mm, = 1, f = 915 MHz; 2r = 2.5; 3r = 51; 3 = 1.28; b = 11 mm. Założono również, ze względów technicznych, że.25< a <1.75 [mm]. Wartość = 1 była praktycznie nie ralizowalna dla zadanej maksymalnej wartości a max = 1.75, więc przyjęto max = 95.135 co odpowiada a max = 1.7323 mm i z end = 44.5455 mm. Obliczony profil a(z) pokazano na rys.6. Wartość a wynosi 5.7mm. Warto podkreślić, że chociaż profil(z) jest profilem wykładniczym, to profil a(z) jest niemal liniowy. Jest to ważne z praktycznego punktu widzenia. Odchyłki od liniowości wyniosły zaledwie ±.225, co jest bliskie tolerancjom wykonania struktury. 6. WYNIKI NUMERYCZNE W oparciu o metodę opisaną w p.4 wykonano i przetestowano [5] program do analizy struktur osiowo symetrycznych. Program zastosowano do badań CAI. Na rys. 8 przedstawiono uzyskany rozkład amplitudy pola elektrycznego dla anteny przedstawionej na rys. 7. Natomiast na rys. 9 przedstawiono przekrój przez rozkład SAR w różnych odległościach o powierzchni anteny, w Tabeli 1 zaś wartości LWR dla tych przekrojów. s.elektr. p.wew. p.zew. tkanka monopol izolacja Rys.7. Rysunek anteny cylindrycznej zasilanej linią współosiową. Tabela 1. Wartości LWR dla różnych przekrojów SAR przedstawionych na rys. 9 ρ=1 mm LWR=,73 ρ=2 mm LWR=,78 ρ=4 mm LWR=,77
Rys.8. Rozkład amplitudy składowej E ρ pola Rys.9. Przekroje przez rozkład SAR w różnych elektrycznego w otoczeniu anteny przedstawionej na rys.7 (znormalizowany) wionej na rys.7 (znormalizowane) odległościach od powierzchni anteny przedsta- Rys. 1 przedstawia profile anten o zmiennym kształcie. Na rys. 11 przedstawiono przekrój przez rozkład SAR w odległości 1 mm od powierzchni anten. Rys.1 Profile zbadanych anten Rys.11. Przekroje przez rozkład SAR w odległości 1 mm dla różnych profili przedstawionych na rys.1 (znormalizowane) Tabela 2. Wartości LWR, WF oraz WJ dla badanych anten. R2 R3 R4 LWR,86,88,87 WF,67,94,67 WJ,77,91,77 7. DYSKUSJA Analizując wyniki dotyczące anteny o stałej średnicy (rys.7) można dojść do wniosku, iż moc podążająca wzdłuż anteny ulega na jej końcu odbiciu. Fala odbita interferuje z falą padającą. W rezultacie powstaje fala stojąca (rys. 8). Antena ma tendencje do silniejszego promieniowania w początkowym odcinku. W ogólności intensywność promieniowania zależy od średnicy anteny [4]. Zatem, aby uzyskać równomierną charakterystykę należy zwiększyć średnicę w końcowym odcinku anteny oraz zmniejszyć w początkowym.
Podążając tym tokiem myślenia, w oparciu o wyniki analizy z p.5, wykonano trzy symulacje. W pierwszej kolejności wykonano symulację R2. Ponieważ założenia upraszczające, wprowadzone w podejściu analitycznym, spowodowały, że współczynnik jakości dla przewidywanego profilu wynosił jedynie,77, w poszukiwaniu lepszych rezultatów, wykonano symulacj R3 i R4. Już dla anteny liniowej R2 uzyskano poprawę kształtu. Pojawiło się jednocześnie zafalowanie charakterystyki (rys.11). Zwiększenie średnicy anteny (R3) w jej początkowym odcinku zaowocowało wzrostem współczynnika zafalowania, co przełożyło się oczywiście na lepszy współczynnik WJ. Jednocześnie efektywny liniowy obszar grzania uległ skróceniu. Zwiększenie średnicy anteny w końcowym odcinku (R4), mające na celu podbicie charakterystyki nie przyniosło oczekiwanego skutku. Mianowicie kształt charakterystyki powrócił do kształtu jak dla antney R2. Jest to dość zaskakujący rezultat, gdyż anteny R2 oraz R4 mają całkowicie inny profil. 8. WNIOSKI Potwierdzono, że opracowany program FDTD nadaje się do analizy CAI. Badania potwierdziły, że zmiana kształtu anteny istotnie wpływa na kształt charakterystyki. Jednak wpływ ten nie jest jednoznaczny i niejednokrotnie trudny do przewidzenia. Wyniki analizy teroretyznej odnosiły się do fali rozchodzącej się w izolacji otaczającej monopol i jak pokazały eksperymenty, nie mogą one być bezpośrednio przeniesione na ośrodek stratny. Istotne znaczenie ma teź istnienie fali odbitej. Końcowe wyniki analizy numerycznej dotyczą tylko amplitudy sygnału. Stwierdzono, że nawet mała zmiana kształtu anteny może doprowadzić do całkowitej zmiany rozkładu mocy. Pomimio uzyskania dobrego współczynnika WJ dla anteny R3, niezbędne są dalsze badania mające na celu zrozumienie zjawisk zachodzących w CAI. Ponadto w przypadku anteny R3 stwierdzono skrócenie obszaru grzania powyżej mocy 5%. Pomimo tego uzyskano dużą wartość WJ. Jest to rezultat nie uwzględnienia w WJ efektywnego obszaru grzania. Zatem korzystnie byłoby uzależnić wartość WJ od efektywnego liniowego obszaru grzania. LITERATURA [1] Moore R.K., 1963: Effects of a surrounding conducting medium on antenna analysis, IEEE Trans. Antennas Prop., 15, 216-225. [2] Dębicki P., 1988: Hiperetermia i termografia mikrofalowa relacja wzajemności, Mat. Konf. KST '88, 7-9 września, Bydgoszcz, 96-15. [3] Dębicki P., 1988: Zasada wzajemności w medycznych zastosowaniach mikrofal i jej konsekwencje praktryczne, Mat Konf. MIKON '88, 3-7 październik, Gdańsk, T1, 65-69. [4] Dębicki P., Hipertermia mikrofalowa w leczeniu gruczołu krokowego. Problemy fizyczne i techniczne, Politechnika Gdańska 1999. [5] Kłos M., Badanie i optymalizacja charakterystyk promieniowania radiatorów do hipertermii mikrofalowej o symetrii osiowej, Praca dyplomowa, Akademia Morska w Gdyni 24. [6] King R.W.P., Smith S., 1981: Antennas in Matter, MIT Press, Cambridge, MA, USA. [7] King R.W.P., Trembly S., Strohbehn W., 1983: The electromagnetic field of insulated antenna in a conducting or dielectric medium, IEEE Trans. Microwave Theory Tech., 31, 574-583. [8] Zieniutycz W., Anteny, podstawy polowe, WKŁ 21. [9] Kulas Ł., Mrozowski M., Metoda różnic skończonych, Politechnika Gdańska 23 (mat. otrzymane od prof. M. Mrozowskiego). [1] Dębicki P.S., Insulated Non-Uniform Cylindrical Antenna Uniformly Radiated into a Lossy Media, Mat. Konf. MIKON 24, 17 19 maj 24, Warszawa, T1, 272-276.