Porównanie efektywności algorytmu ewolucyjnego z metodą podziału i ograniczeń dla problemu komiwojażera Teodor Niżyński 14 listopada 2016 1 Wstęp teoretyczny Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. Ut gravida mollis leo eget ultricies. Maecenas auctor gravida enim quis pharetra. Proin eu purus id ipsum congue eleifend. Morbi dapibus nisl vitae tempus maximus. Pellentesque condimentum quis lacus at dapibus. Donec consectetur rhoncus tempus. Fusce cursus tincidunt placerat. Integer id tortor sed odio iaculis eleifend. Aliquam massa turpis, ultrices vitae sem commodo, posuere convallis augue. Mauris a nunc risus. Aenean ultricies quis est eu lobortis. Phasellus quis libero tortor. Maecenas bibendum mauris lacus, id laoreet risus lobortis vel. Vivamus aliquam porta ipsum sed tincidunt. Vestibulum eu eleifend lorem, non commodo nunc. Suspendisse tincidunt lacus nunc, quis tempus neque suscipit ac. Aenean mattis vehicula mi lobortis luctus. Quisque pulvinar diam sed ante rhoncus porttitor. Mauris vel velit ante. Suspendisse potenti. Morbi venenatis, nisl sit amet hendrerit scelerisque, massa purus rhoncus sem, eget gravida turpis nulla lobortis risus. Quisque dui dui, euismod vitae ex nec, molestie sollicitudin augue. Nam accumsan blandit vulputate. Duis aliquam eleifend dui. Sed risus felis, consectetur eu mollis in, hendrerit nec lectus. Fusce eleifend metus vel nibh blandit, nec blandit elit mollis. Duis auctor mi dui, et vehicula purus ultrices sed. Quisque quam magna, gravida quis convallis nec, lacinia id mauris. Suspendisse in lacus dapibus, mollis risus sed, convallis ex. Sed lacus sapien, euismod quis accumsan a, dignissim non dolor. Nunc ultricies leo urna, quis tincidunt enim pulvinar non. Problem ten został dokładnie opisany w pracach naukowych: [1, 3, 4, 2]. 2 Przyjęta metodologia badań Sed in luctus lacus. Nunc in tristique ligula. Vivamus ipsum elit, varius in dui sit amet, tempus consequat ipsum. Duis vestibulum sit amet est eu suscipit. Fusce maximus velit sit amet lorem aliquam semper. Mauris in elit vitae enim imperdiet varius. Pellentesque gravida eget est auctor semper. Donec vel dui eget tellus tempor tempus. Aliquam euismod, purus a dignissim porttitor, urna mi elementum elit, accumsan pulvinar mi lectus id lectus. Nam auctor a augue et luctus. Cras commodo commodo purus eu commodo. Donec tincidunt scelerisque scelerisque. Nulla facilisi. Nam erat nulla, facilisis sed imperdiet in, sollicitudin in mi. Pellentesque gravida mi at scelerisque cursus. Dlatego do wyliczania parametru S ˆ N konieczne jest wykorzysanie wzoru 1. Podczas gry zgodnie z teorią opisana w pracy [4] parametr ABC 1,2,3,...,m n,j można obliczyć korzystając z wzoru 2. ˆ S N = s 1 + s 2 2 + s 3 3 +... + s n n (1) ABC 1,2,3,...,m n,j = ˆ S N 8 x3 + 1 + 2 + 3 +... + M n! (m j)! Cras egestas ex sed leo facilisis lobortis. Suspendisse efficitur leo porttitor leo tincidunt interdum quis nec mauris. Quisque congue tellus finibus hendrerit ornare. Maecenas at lectus et massa porta bibendum. Etiam non odio gravida, fringilla neque at, auctor felis. Nam eu condimentum nibh. Phasellus consequat fermentum augue, congue viverra risus eleifend ac. Morbi erat leo, (2) 1
Rysunek 1: Schemat wykorzystanego modelu neuronu. Źródło: https: // upload. wikimedia. org/ wikipedia/ commons/ thumb/ 6/ 60/ ArtificialNeuronModel_ english. png/ 600px-ArtificialNeuronModel_ english. png vestibulum sed cursus a, sagittis quis purus. In hac habitasse platea dictumst. Ut imperdiet eros et nisi ultrices, vitae tempus mi rutrum. Nulla nec tortor sed felis elementum dictum in et purus. Maecenas hendrerit eu dui vitae efficitur. Curabitur diam mi, porta ac lorem in, semper bibendum leo. Aenean convallis tellus et augue tincidunt, at luctus nunc venenatis. Proin vehicula diam sit amet quam molestie, vitae pellentesque quam imperdiet. Phasellus rhoncus eget nulla sit amet dictum. Vivamus massa odio, placerat quis arcu et, luctus rhoncus odio. Sed porta dolor arcu, quis tincidunt ex vulputate a. Aliquam semper eros ac massa feugiat tempus. Cras hendrerit augue eget mi sagittis tincidunt. Ut tempor viverra dui, id tempus ex. Suspendisse potenti. Fusce at mi non diam vulputate aliquam. Donec vel augue vel mauris eleifend tincidunt. Nunc aliquet vitae diam auctor tincidunt. Fusce euismod pellentesque lectus eget pulvinar. Sed elementum varius dolor vitae lacinia. Integer vestibulum gravida cursus. Quisque porttitor erat nec felis pharetra viverra. Donec ante orci, pellentesque nec sapien et, mollis mollis arcu. Quisque tempor imperdiet erat, sed rhoncus ligula interdum quis. Phasellus dapibus cursus facilisis. Proin sit amet lobortis tortor, non euismod arcu. Curabitur et nisi quis sem vulputate gravida at interdum erat. Cum sociis natoque penatibus et magnis dis parturient montes, nascetur ridiculus mus. Sed et sapien pharetra, scelerisque odio id, blandit magna. Integer tempus lectus et dolor ultricies, a auctor erat hendrerit. Suspendisse condimentum magna in porttitor tempus. In hac habitasse platea dictumst. Vestibulum nec tellus tristique, ornare diam sit amet, scelerisque felis. Fusce libero dolor, dapibus eu tincidunt vitae, mollis vel justo. Sed ut dictum est, ut congue libero. Aenean volutpat blandit consectetur. Zaimplementowano model neuronu podobny do modelu wykorzystanego w pracy [3], schemat tego rozwiązania, przedstawiono na rysunku 1. Warto pamiętać, że jest to uproszczenie w stosunku do biologicznego neuronu - rysunek 2. 3 Przebieg badań Cum sociis natoque penatibus et magnis dis parturient montes, nascetur ridiculus mus. Quisque non odio rutrum, maximus diam sit amet, semper erat. Aenean vehicula nulla eget diam tincidunt, eget vulputate mauris lacinia. Suspendisse aliquam odio dui, nec tempus leo consectetur vel. Mauris varius, felis ac euismod laoreet, augue justo consectetur velit, vitae interdum lectus libero nec odio. Praesent eget risus eu dui ultrices venenatis nec et turpis. Fusce bibendum metus lectus, ut tincidunt ex pharetra at. Mauris vitae turpis eu ex tincidunt interdum a ut nulla. Proin molestie dui id elementum tempus. Vestibulum ut nisi eu dolor ultrices aliquet. Aenean pulvinar aliquam 2
Rysunek 2: Biologicznie wierny model neuronu. Źródło: http: // www. labri. fr/ perso/ nrougier/ images/ neuron. svg ligula, vitae convallis tortor sollicitudin eget. Proin semper, dolor id rhoncus aliquam, eros sem porta massa, id vulputate mi arcu a quam. Quisque odio eros, consectetur in semper in, bibendum sed lectus. Nunc tortor enim, volutpat ac pulvinar a, imperdiet id mauris. Mauris fringilla rhoncus libero, eu tempus purus efficitur vel. Aliquam a iaculis lorem. Cum sociis natoque penatibus et magnis dis parturient montes, nascetur ridiculus mus. Quisque consequat placerat tellus, quis fermentum quam. Sed vulputate consequat odio eu facilisis. Suspendisse mi tortor, eleifend ut condimentum sit amet, posuere vitae massa. Curabitur condimentum gravida lectus, et elementum mi dictum eu. Vestibulum vitae dictum magna. Suspendisse commodo consectetur orci eu auctor. Aliquam erat volutpat. Suspendisse pretium non tellus vitae vulputate. Vivamus faucibus nibh risus. Phasellus turpis nisl, auctor at erat ac, accumsan sodales velit. Cras at massa mattis lacus dictum hendrerit eget luctus elit. Suspendisse quis egestas augue. Nullam auctor diam dui, sed dictum quam convallis quis. Suspendisse condimentum leo nec mauris lobortis, ac ornare mi iaculis. Integer dignissim hendrerit tortor et viverra. Ut laoreet tristique neque nec fermentum. Integer ut vehicula ante, vel euismod arcu. Cras a consectetur felis. Etiam accumsan, erat gravida ornare accumsan, enim enim elementum erat, vitae luctus turpis sapien ut felis. Quisque euismod lacus quam, blandit ullamcorper risus placerat in. Phasellus a iaculis erat. Pellentesque sodales justo convallis fringilla auctor. Cras ac dolor quis ante pretium consequat sagittis nec orci. Curabitur tempor diam felis, condimentum scelerisque lacus placerat non. Nam iaculis commodo faucibus. Nam cursus tempus sem, in mollis justo commodo id. Fusce ornare arcu ipsum, sit amet tincidunt augue ultrices malesuada. Fusce vel pretium orci, sit amet sagittis sapien. Sed molestie, ligula id feugiat pretium, justo lacus posuere turpis, ac egestas ex lorem sed ante. Duis augue sapien, sollicitudin sed iaculis vitae, cursus ut ipsum. Praesent sit amet ante velit. Sed a sapien velit. Vestibulum tellus ante, vehicula quis semper ut, eleifend id nisi. Mauris egestas nisi nec erat euismod mollis. Donec id volutpat quam. Pellentesque habitant morbi tristique senectus et netus et malesuada fames ac turpis egestas. Nam ullamcorper arcu dignissim consectetur efficitur. Fusce nec erat scelerisque, viverra nisl in, fermentum leo. Cras ultricies ipsum at libero feugiat rhoncus. In tristique est lectus, non suscipit mi ultrices vehicula. Cras efficitur, sem in placerat fringilla, neque sem consequat tortor, vel lacinia velit diam vitae mi. Donec eget fringilla libero. Sed nec consequat dolor, sit amet consectetur sapien. Fusce 3
eu feugiat dui, sed rutrum nibh. Nam suscipit turpis lacus, sit amet faucibus nisi vehicula quis. Curabitur ut ante velit. Suspendisse ornare commodo elit ac elementum. Quisque interdum sodales ex vehicula molestie. Morbi dignissim gravida felis, ut sodales nisl commodo et. Etiam placerat elit elit, id cursus ligula condimentum nec. Vivamus semper vulputate purus quis consequat. Sed ac tempus nisi, id scelerisque purus. Sed sagittis nunc vitae eros pulvinar, ut vulputate risus aliquam. Donec sed erat pulvinar, vestibulum quam quis, ornare velit. Pellentesque gravida laoreet turpis sed congue. In hac habitasse platea dictumst. Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. Sed lobortis nisl eget molestie sodales. Nunc viverra a mauris in bibendum. Phasellus euismod convallis mi ut semper. Nullam hendrerit urna elit, ut gravida ante venenatis non. Nullam venenatis faucibus mauris nec sodales. Maecenas feugiat at eros sed bibendum. Curabitur eu orci nisl. Donec pharetra maximus eros vitae posuere. Vestibulum non risus eget felis fringilla lobortis vel vitae felis. Cras cursus tristique fermentum. Nunc auctor mi ex, ac rutrum mauris tincidunt quis. Duis urna odio, dictum sit amet dictum nec, suscipit vel ipsum. Fusce convallis maximus felis, eget feugiat augue volutpat sed. Morbi venenatis tristique est. Aenean ut ligula eu odio tempus cursus id sit amet massa. Proin condimentum sem maximus sapien commodo mattis. Curabitur at lorem efficitur, sollicitudin elit nec, fermentum enim. Sed feugiat, dui eget efficitur ullamcorper, orci eros dapibus magna, at iaculis turpis velit id odio. Donec condimentum massa quis elit pulvinar condimentum. Proin ut mollis dolor. Nullam id eleifend dolor. Aliquam et iaculis diam. Donec maximus lectus eget neque mattis, pulvinar sagittis elit hendrerit. Aliquam dolor nisl, vehicula id felis vel, commodo iaculis tellus. Nulla eu lobortis ipsum, a molestie metus. In interdum mi odio, molestie pharetra turpis molestie ut. In hac habitasse platea dictumst. Sed ut porta lorem. Cras sit amet quam dui. In hac habitasse platea dictumst. In hac habitasse platea dictumst. Curabitur nec lectus sed quam fringilla auctor et nec eros. Sed turpis arcu, egestas eget elit eu, pharetra ultrices risus. Etiam erat nisl, aliquet quis libero in, euismod blandit tortor. Duis ullamcorper, lectus at scelerisque semper, neque diam commodo nisi, a aliquam ligula nibh sit amet neque. Nam at quam vel libero condimentum euismod vitae in nunc. Fusce hendrerit cursus nisi, sed maximus orci lacinia eget. Aenean pulvinar vestibulum nunc, vitae venenatis elit volutpat vitae. Ut sit amet feugiat nibh. Proin elementum nulla sed cursus varius. Proin et ultricies enim. Pellentesque semper nisi vitae aliquam maximus. Aenean quis laoreet eros. Curabitur consequat erat velit, ut egestas nulla egestas eget. Nullam suscipit erat in est auctor, non semper ex malesuada. Phasellus vehicula gravida malesuada. Aliquam quam diam, cursus sed pellentesque a, porta a felis. In nec augue dictum, ornare ligula vitae, iaculis ipsum. Sed vel nisi blandit, dapibus arcu eu, feugiat tellus. Quisque sit amet nisi non justo ullamcorper lobortis. Donec at venenatis enim. Mauris in bibendum nibh, vel bibendum augue. Mauris dignissim massa a molestie blandit. Proin dapibus purus libero, id fringilla dui tristique in. Aenean mattis aliquet mollis. Fusce sit amet tellus laoreet quam tempor congue. Fusce ut enim sodales, iaculis dolor volutpat, ultricies ipsum. Proin tristique mauris sed pharetra euismod. Pellentesque tristique mi eu urna porta feugiat. Pellentesque sodales, nisl in ultricies finibus, metus augue posuere quam, eu maximus lorem lectus eu lorem. Donec rhoncus elementum tortor eu cursus. Nam tempor metus ac pellentesque suscipit. Duis nec neque suscipit nisi gravida commodo. Nulla in orci quam. Vestibulum laoreet dolor quis nulla viverra sagittis. Interdum et malesuada fames ac ante ipsum primis in faucibus. Vivamus dolor erat, blandit in accumsan sed, varius a metus. Mauris metus turpis, gravida eget auctor in, facilisis luctus velit. Curabitur sit amet tempor mauris. Donec a dolor vel est volutpat vestibulum sit amet eu velit. Maecenas tincidunt eget ante vitae consectetur. Phasellus tristique odio sed finibus sagittis. Morbi at lacus vitae ipsum bibendum rhoncus eget in ipsum. Duis finibus nec felis ut pulvinar. Etiam porttitor nisl id dolor faucibus, in congue ex pretium. Proin bibendum hendrerit laoreet. Fusce rutrum, sapien tristique efficitur iaculis, massa augue accumsan lacus, eget ullamcorper erat nisi in mauris. In hac habitasse platea dictumst. Pellentesque rutrum ornare sagittis. Phasellus lorem enim, blandit sed lectus non, auctor lobortis nunc. Nam sagittis orci non nunc vulputate rhoncus sit amet in nisi. Sed ipsum metus, commodo et velit nec, egestas accumsan neque. Nunc iaculis ullamcorper elementum. Aliquam tortor neque, vestibulum id consequat a, euismod quis mauris. Proin tempor commodo odio, sed egestas metus dictum ut. Donec vehicula lacus urna, vitae elementum nisl ornare in. Phasellus tempus diam sit amet neque pulvinar sagittis. 4
Tablica 1: Otrzymane wyniki badań. 7C0 heksadecymalnie 3700 oktalnie 11111000000 binarnie 1984 dziesietnie Tablica 2: Oczekiwane wyniki badań zgodne z metaanalizami. Źródło: Praca [3] Item Animal Description Price ($) Gnat per gram 13.65 each 0.01 Gnu stuffed 92.50 Emu stuffed 33.33 Armadillo frozen 8.99 4 Otrzymane wyniki Nullam neque ante, maximus id feugiat non, rhoncus non turpis. Praesent interdum turpis eu enim vestibulum sollicitudin. Suspendisse in commodo metus. Fusce vitae turpis iaculis, venenatis velit ut, dictum massa. Suspendisse id leo viverra, rhoncus nulla non, laoreet lectus. Interdum et malesuada fames ac ante ipsum primis in faucibus. Cras vitae dolor id mauris lacinia aliquam ac sed est. Quisque lorem urna, hendrerit a pellentesque a, ornare vel diam. Sed efficitur euismod augue, ac porta odio placerat sit amet. Phasellus in porttitor metus. Proin vehicula, libero at faucibus pulvinar, nisi erat efficitur urna, id tincidunt mauris sem sed nulla. Fusce euismod nunc leo, ac egestas sem efficitur vitae. Nullam eu metus nec risus egestas fermentum eu ut nibh. Suspendisse eros eros, tincidunt eu rhoncus nec, pretium vitae mauris. Pellentesque id ornare justo. Integer erat sapien, venenatis eu interdum quis, pulvinar nec elit. Nunc eget porta tellus. Cras at turpis vulputate, lobortis odio id, finibus velit. Nulla dui nisl, mattis sed sapien sed, efficitur euismod lorem. Ut congue, felis volutpat iaculis consectetur, metus tellus faucibus nulla, vel pulvinar urna nulla sit amet tellus. Nullam ultrices rutrum velit ac mattis. Mauris sed pellentesque odio, nec cursus metus. Proin varius neque eu ipsum pellentesque, ut euismod lacus tempor. Praesent a nisl quis ex pellentesque malesuada condimentum a dui. Nam porta pretium purus, vel finibus risus auctor dapibus. Cras auctor odio porta mi tincidunt, quis feugiat risus facilisis. Quisque nibh tellus, vehicula sit amet faucibus at, consequat in nunc. Donec pellentesque risus nibh, a ultricies leo aliquet a. Cum sociis natoque penatibus et magnis dis parturient montes, nascetur ridiculus mus. Donec volutpat facilisis tortor in scelerisque. Fusce vel est vitae neque maximus dapibus id sed leo. Aliquam vel diam auctor, lobortis quam dapibus, tincidunt mi. Nunc eu nunc at enim semper ullamcorper vitae vel quam. Etiam sit amet est at augue sagittis pulvinar. Aliquam lobortis porta sodales. Proin non justo maximus sem viverra lacinia. Etiam sed metus et urna posuere consequat. Morbi suscipit gravida urna, ut accumsan diam dignissim imperdiet. Nunc est est, elementum non finibus rutrum, malesuada in nibh. Donec at massa erat. Sed vel faucibus ante, sit amet molestie mauris. Morbi accumsan finibus suscipit. Vestibulum nec nisl augue. Suspendisse nec dapibus velit. Nulla ac congue erat. Nam at orci massa. Aliquam consectetur purus vel tellus rutrum varius. Donec venenatis, lectus ac finibus interdum, velit velit blandit ante, ut dictum libero dolor laoreet enim. Nulla non orci placerat, egestas metus ac, mattis ipsum. Curabitur non facilisis sem. Vivamus eu magna vitae nisi vulputate semper vitae non nisi. Nulla et neque lorem. Morbi eu eros gravida, pretium tellus non, aliquam felis. Duis cursus scelerisque erat id bibendum. Phasellus vel ullamcorper libero. Nulla facilisi. Aenean placerat, ligula at sollicitudin feugiat, nunc quam dapibus orci, et tristique nulla eros in felis. Cras aliquet porta aliquet. Wyniki badań zostały przedstawione w tabeli 1, nie są jednak zgodne z wynikami oczekiwanymi - przedstawionymi w tabeli 2. 5
f(x) oczekiwany zwrot podatku 120 100 80 60 40 20 x 2 2x 1 x 2 + 2x + 1 0 10 5 0 5 10 x liczba ziemniaków Rysunek 3: Przykładowy wykres. 5 Podsumowanie Maecenas ante mauris, hendrerit sed pretium eu, volutpat nec lacus. Nunc sed fringilla augue. Integer imperdiet turpis vitae nisl luctus aliquam. Morbi ut ipsum sed erat aliquet faucibus. Ut pellentesque erat ac magna ultricies gravida. Mauris ultricies ullamcorper placerat. Nunc faucibus enim tellus, sit amet molestie felis vulputate id. Nunc in scelerisque nisi. Nulla rhoncus turpis nec augue volutpat pulvinar. Cras non tellus lacus. Nullam sagittis ligula vitae urna placerat, non ornare felis posuere. Nulla facilisi. Morbi elementum velit sed elit convallis molestie. Sed posuere erat ut urna tincidunt, sit amet suscipit ex rhoncus. Sed nunc nulla, molestie quis efficitur id, elementum a metus. Cras a nunc lobortis, consectetur purus vitae, aliquam sem. Nunc enim lectus, laoreet eget iaculis ac, feugiat in nibh. Aenean bibendum convallis aliquet. Morbi porta elementum tempus. Nam mollis ante eu elit porttitor, vel ultricies tortor posuere. Sed aliquet leo id purus luctus pretium. Aliquam euismod sit amet lorem non iaculis. Nam accumsan porta nulla, in aliquet neque tincidunt et. Quisque finibus nulla non mauris pellentesque venenatis a id justo. Morbi non massa at dui ultricies fermentum. Sed sodales tortor eget metus bibendum vehicula. Donec volutpat augue massa, id accumsan risus tincidunt at. Ut posuere tortor eu metus hendrerit blandit. Co zostało przedstawione na wykresie 3. Literatura [1] George D. Greenwade. The Comprehensive Tex Archive Network (CTAN). TUGBoat, 14(3):342 351, 1993. [2] Michael D Hendy and David Penny. Branch and bound algorithms to determine minimal evolutionary trees. Mathematical Biosciences, 59(2):277 290, 1982. [3] Karla L Hoffman, Manfred Padberg, and Giovanni Rinaldi. Traveling salesman problem. In Encyclopedia of Operations Research and Management Science, pages 1573 1578. Springer, 2013. [4] Eugene L Lawler and David E Wood. Branch-and-bound methods: A survey. Operations research, 14(4):699 719, 1966. 6