Krzyszof Pioek Kaedra Iwesycji Fiasowyc i Ubezpieczeń Akademia Ekoomicze we Wrocławiu Pomiar ryzyka meodą VaR a modele AR-GARCH ze składikiem losowym o warukowym rozkładzie z "grubymi ogoami" WSTĘP Spośród wielu rodzajów ryzyka aalizowayc a rykac fiasowyc [7], szczególą uwagę zwrócoo a ryzyko rykowe związae ze zmiaami ce akcji, walu, owarów, isrumeów zależyc od sop proceowyc oraz isrumeów pocodyc. Jedą z grup meod pomiaru ryzyka rykowego saowią, zdobywające coraz większą popularość, miary zagrożeia (dowside risk measures) [8], z kóryc ajpopulariejszą (coć ie pozbawioą pewyc wad) miarą pozosaje Value a Risk (VaR). U podsaw rozważań o miarac zagrożeia zajduje się dyskusja o rozkładac ce lub sóp zwrou oraz o dyamiczyc modelac opisującyc zmiay ce, bądź sóp zwrou aalizowayc isrumeów. Sadardowe (ajprossze) modele zakładają, że procesem kszałującym zmiay ce akcji, walu i owarów jes geomeryczy proces Browa ze sałymi w czasie paramerami dryfu (redu) i zmieości. Model e zakłada, że rozkład sóp zwrou jes rozkładem ormalym, a poszczególe sopy zwrou pocodzą z rozkładów ideyczyc i iezależyc. Własość a ie powierdza się empiryczie. W wielu pracac [4,,4,] przedsawioo badaia empirycze dla różyc fiasowyc szeregów czasowyc. Badaia e wykazały wysępowaie a rykac fiasowyc: efeku skupiaia (gromadzeia) zmieości (volailiy cluserig), co ozacza, że zarówo małe, jak i duże zmiay kursu asępują seriami, iesałości zmieości w czasie, efeku lepokurozy i grubyc ogoów rozkładów sóp zwrou, co ozacza, że prawdopodobieńswo wysąpieia dużyc, ieypowyc zmia kursu (duże co do warości bezwzględej sopy zwrou) jes większe iż gdyby sopy zwrou pocodzily z rozkładu ormalego, efeku auokorelacji sóp zwrou, szczególie w okresac o małej zmieości, skośości rozkładów sóp zwrou (ajczęściej obserwuje się rozkłady prawosroie skośe, lecz ie jes o regułą), efeku ujemego skorelowaia poziomu kursów i poziomu zmieości ce (efek dźwigi). W lieraurze polskiej spoyka się łumaczeia warość zagrożoa, warość arażoa a ryzyko. W dalszej części pracy posługiwać się będziemy ajlepiej urwaloym zarówo pośród prakyków, jak i aukowców skróem VaR. Są o ajprossze isrumey bazowe, a kóre wysawia się opcje. Popularość geomeryczego rucu Browa związaa jes wpros z ajpopulariejszym modelem wycey opcji wprowadzoym przez Blacka i Scolesa, u kórego podsaw zajduje się właśie założeie, że cey isrumeu bazowego zmieiają się zgodie z geomeryczym rucem Browa.
Są o jedyie podsawowe efeky zaobserwowae w szeregac sóp zwrou i zmieości isrumeów fiasowyc. Oprócz yc, moża by eż wyróżić p. efek długoermiowej zależości sóp zwrou, efek korelacji pomiędzy sopami zwrou różyc isrumeów lub wręcz różyc segmeów ryku, bądź ryków (volailiies comoveme) oraz całą gamę zw. efeków kaledarzowyc związayc z odmieymi rozkładami sóp zwrou dla iekóryc di ygodia lub dla iekóryc miesięcy. Niezbęde sało się więc poszukiwaie modeli lepiej opisującyc zacowaie się szeregów ce i sóp zwrou (uwzględiającyc przyajmiej iekóre z wymieioyc powyżej efeków), kóre moża by wykorzysać w wyzaczaiu miary VaR. W iiejszej pracy, jako poecjale modele umożliwiające opis kszałowaia się sóp zwrou, przyjęe zosały modele AR()-GARCH(,) ze składikiem losowym, kórego warukowy rozkład jes rozkładem ormalym, symeryczym rozkładem -Sudea lub rozkładem GED (Geeral Error Disribuio). Procesy e umożliwiają modelowaie szeregów z auokorelacją, lepokurozą rozkładów sóp zwrou oraz z efekem gromadzeia zmieości. Dokoao weryfikacji przydaości poszczególyc modeli do opisu dzieyc logarymiczyc sóp zwrou z ideksu WIG (sopy zwrou z okresu 6.04.99-6.05.00, 35 obserwacji), ideksu SP500 (sopy zwrou z okresu 05.0.970 5.05.00, 87 obserwacje) oraz ideksu DJIA (sopy zwrou z okresu 3.08.96 0.05.00, 0000 obserwacji).. Aalizowae modele szeregów sop zwrou Jak już zosało zasygalizowae, rozważaia o pomiarze ryzyka rykowego meodą VaR rozpocząć ależy od wyboru (i uzasadieia) modeli dyamiki sop zwrou. Od wyboru modelu sóp zwrou zależy późiejszy pomiar warości VaR. Ograiczeie się do klasy modeli AR()-GARCH(,) [4,] podykowae zosało wcześiejszymi badaiami przeprowadzoymi dla ideksu WIG []oraz fakem, że w większości przypadków aalizowayc w lieraurze przedmiou wybór rzędu procesu auoregresji a poziomie AR() oraz procesu GARCH a poziomie GARCH(,) jes wysarczający dla ucwyceia efeku auoregresji oraz eeroskedasyczości. Poiżej a rys. i rys. przedsawioe zosały (w ramac uzasadieia wyboru modelu) auokorelacje szeregu sóp zwrou dla ideksu WIG oraz auokorelacje kwadraów sóp zwrou. Obserwujemy zaczącą auokorelacje rzędu pierwszego oraz zaczące auokorelacje kwadraów sóp zwrou, co jes uzasadieiem wykorzysaia modelu umożliwiającego modelowaie zmieej w czasie wariacji procesu (modelu GARCH). Dokładiejszą weryfikację ipoez o wysępowaie efeku auokorelacji sop zwrou oraz o wysępowaiu efeku GARCH dla ideksu WIG przedsawioo w pracy []. Do esowaia efeku auoregresji wykorzysao es isoości współczyika auokorelacji [3], isoość pozosałyc auokorelacji wyższyc rzędów zbadao esem Q Ljuga-Boxa- Pierce a [3] 3. Współczyik auokorelacji rzędu pierwszego okazał się isoy, aomias w 3 W wielu przypadkac prose esy isoości auokorelacji zawodzą wobec współwysępowaia efeku eeroskedasyczości w aalizowaym szeregu. Odpowiedi es auoregresji przy współwysępowaiu eeroskedasyczości zapropooway zosał w pracy [6]
sosuku do auokorelacji wyższyc rzędów brak jes podsaw do odrzuceia ipoezy zerowej o ieisoości obserwowayc auokorelacji. Wysępowaie efeku eeroskedasyczości zbadao przy pomocy esu zapropoowaego przez Egle a [4]. Uzyskaa saysyka esowa pozwala odrzucić ipoezę zerową o braku eeroskedasyczości w aalizowaym szeregu. Powyższe faky zadecydowały o przyjęciu do dalszyc aaliz modeli klasy AR()- GARCH(,). Rząd modelu GARCH ograiczoy zosał do modelu GARCH(,) akże z powodu ego, że błędy esymacji są zby duże dla krókic szeregów czasowyc (akic jak WIG). Rys.. Auokorelacja szeregu sóp zwrou dla ideksu WIG Źródło []. Rys.. Auokorelację kwadraów szeregu sóp zwrou dla ideksu WIG Modele eoreycze W dalszej części pracy rozparywae będą modele AR()-GARCH(,) sóp zwrou dae asępującymi wzorami: r µ + ϕ + () = r = η η = ϖ + α + β ~ IID(0,) () (3) (4) r o logarymicza sop zwrou wyzaczaa a podsawie cey w momecie ( P ) oraz cey w momecie - ( P ) przy pomocy wzoru: P r = l (5) P η o składik losowy pocodzący z rozkładu o zerowej średiej i jedoskowej wariacji. µ, ϕ, ϖ, α, β - o paramery modelu. Tak zdefiioway model zakłada, że warukowa warość oczekiwaa sop zwrou wyosi: m µ + ϕr (6) =
a warukowa wariacja zadaa jes rówaiem (3). Na podsawie prosego przekszałceia wzoru () uzyskujemy: η = (7) W podsawowej wersji zapropoowaej przez Egle a i Bollersleva modele eeroskedasycze cecowały się warukowym ormalym rozkładem składika losowego. Okazało się jedak, że rzeczywise reszy modelu posiadają warukowy rozkład o grubszyc ogoac iż rozkład ormaly. Zapropoowao więc szereg iowacji w ym zakresie. W iiejszej pracy aalizie poddao 3 możliwe rozkłady zmieej η dae poiższymi wzorami: rozkład ormaly - N(0,): = N N f exp ) ;, ( π θ (8) rozkład -Sudea -S(0,,) ( ) ( ) / ) ;, ( + + Γ + Γ = π θ S S f (9) rozkład GED GED(0,,) λ λ θ / / exp ) ;, ( + Γ = G G f (0) / 3 Γ Γ = λ () θ - wekor paramerów modelu (dla rozkładow GED i -Sudea liczba sopi swobody jes rówież paramerem modelu), λ - paramer zapewiający jedoskową wariację, - ilość sopi swobody w rozkładzie -Sudea i rozkładzie GED, (z) Γ - fukcja gamma dla parameru z; = Γ 0 ) ( dx e x z x z.
Należy wyraźie podkreślić, że powyższe rozkłady cecują się zerową średia i jedoskową wariacja. Rozkład -Sudea oraz rozkład GED są rozkładami, dla kóryc w zależości od przyjęej liczby sopi swobody możliwe jes uzyskaie rozkładów o grubszyc ogoac iż rozkład ormaly. Przykładowe fukcje gęsości rozkładu -S(0,,) oraz rozkładu GED(0,,) w skali liiowej i logarymiczej prezeują rys. 3-6. Rys. 3. Przykładowe rozkłady -S(0,,df) (skala liiowa) Rys. 5. Przykładowe rozkłady GED(0,,df) (skala liiowa) Rys. 4. Przykładowe rozkłady -S(0,,df) (skala logarymicza) Rys. 6. Przykładowe rozkłady GED(0,,df) (skala logarymicza) Rozkład ormaly jes szczególym przypadkiem zarówo rozkładu -Sudea (dla ieskończoej liczby sopi swobody), jak i rozkładu GED (dla sopi swobody). Esymacji paramerów modeli dokouje się ajczęściej meodą ajwiększej wiarygodości. Sprowadza się o do akiego wyboru wekora paramerów θ, aby dla daego szeregu sóp zwrou zmaksymalizować odpowiedią fukcję: dla rozkładu ormalego:
LLF N ( θˆ N ;, ) = l(π ) l( ) = = () dla rozkładu -Sudea: + LLF ( ˆ S θ S ;, ) = l( π ( ) + lγ lγ! + ( ) ( ) l l + = dla rozkładu GED: LLF G ( ˆ + θ G;, ) = l l Γ l() l( ) λ = = = λ / (3) (4) długość szeregu sóp zwrou, dla kórego dokoujemy esymacji Przykład empiryczy Poiżej przedsawioo przykładowo wyesymowae paramery modeli dla 5000 dzieyc sop zwrou z ideksu DJIA z okresu 9.07.98 0.05.00. W awiasac podao saysyki dla wyesymowayc paramerów. paramer N(0,) -S(0,,) GED(0,,) μ 0,00067 (4,95) φ 0,033 (,0) ω,875e-6 (,3) α 0,0849 (,4) β 0,9053 (6,6) 0,000640 (5,77) 0,08 (0,94) 9,544e-7 (3,30) 0,04605 (5,94) 0,9449 (05,7) - 5,68 (,3) Źródło: obliczeia włase. 0,000666 (4,5) 0,006649 (0,40),3e-6 (,96) 0,05486 (4,58) 0,9347 (67,08),59 (,95) Orzymao rówież asępujące warości fukcji LLF: LLF N LLF S LLF G 6 3,05 6 458,5 6 40,90
Ze względu a fak, że model N(0,) zawiera się w dwóc pozosałyc rozkładac, do wyboru modelu, kóry lepiej modeluje zaday szereg zasosowao es opary a warościac fukcji wiarygodości (Likeliood Raio Tes) z asępującą saysyką: LRT = ( LLF LLF0 ) (5) LLF - warość logarymu fukcji ajwiększej wiarygodości dla modelu z większą liczbą paramerow, LLF 0 - warość logarymu fukcji ajwiększej wiarygodości dla modelu z miejszą liczbą paramerów. Saysyka LRT ma rozkład χ z ilością sopi swobody rówą różicy w liczbie paramerów, czyli χ (rozkład -Sudea i GED mają o jede paramer (liczbę sopi swobody) więcej iż rozkład ormaly). W obu przypadkac es wykazuję, że model z większą ilością paramerów lepiej opisuje zrealizowae sopy zwrou. LRT warość kryycza esu N-S 490, 3,84 N-G 45,7 3,84 Źródło: obliczeia włase Poieważ modele -S(0,,) i GED(0,,) ie zawierają się w sobie ie jes możliwe przeprowadzeia aalogiczego esu. Jakość dopasowaia yc dwóc modeli do dayc empiryczyc dokoaa zosała a podsawie dopasowaia resz modelu ηˆ (uzyskayc dla wesymowayc paramerów modeli) z rozkładami eoreyczymi -S(0,,) i GED(0,,). Za przyjęo wyesymowaą liczbę sopi swobody. Dla porówaia przedsawioo rówież saysyki dla rozkładu ormalego. Jakość dopasowaia badao ypowymi esami zgodości rozkładu [4]: saysyką Kołmogorowa: K = max k( x) = max Fe ( x) F( x) (6) x x saysyką Adersoa-Darliga: Fe ( x) F( x) AD = max ad( x) = max (7) x x F( x) ( F( x) ) F e (x) - empirycza dysrybuaa rozkładu, F(x) - eoreycza dysrybuaa rozkładu. Im miejsze warości K i AD, ym lepsze dopasowaie badayc rozkładów. Saysykę AD sosuje się, gdyż lepiej bada oa dopasowaie rozkładów w ogoac, co jes w przypadku aalizy VaR szczególie waże. Poiższa abela prezeuje warości saysyk dla poszczególyc rozkładów. Dodakowo zaprezeowao warości k(x) i ad(x) dla x będącyc odpowiedio pierwszym i piąym perceylem aalizowayc rozkładów, co będzie przydae w dalszej aalizie VaR. Na podsawie saysyki K i AD moża swierdzić, że model z warukowym rozkładem -Sudea lepiej dopasował się do dayc (zarówo w okolicy modalej, jak i w ogoac)
iż rozkład GED. Dodakowo możemy zaobserwować, że daleko w ogoie saysyka ad przybiera porówywale warości dla rozkładów -Sudea i GED, aomias rocę bliżej modalej, model GED bliższy jes rozkładowi ormalemu. Powyższe wyiki orzymao a podsawie jedego szeregu dayc i ależałoby rakować je z odpowiedio ograiczoym zaufaiem. Dalsze badaia doyczące miary VaR powierdzają jedak dosrzeżoe zależości. N(0,) -S(0,,) GED(0,,) K 0,0397 0,03 0,05603 AD 0,5906 0,03953 0,05868 k(.) dla perceyla 0,0039 0,0007579 0,000364 k(.) dla 5 perceyla 0,00858 0,000936 0,00563 ad(.) dla perceyla 0,050460 0,0079 0,003598 ad(.) dla 5 perceyla 0,03630 0,0048 0,0457 Źródło: obliczeia włase. Rys. 7-9 prezeują wykresy kway-kwayl dla uzyskayc szeregów warukowyc resz oraz szeregów pocodzącyc z rozkładu eoreyczego. Rys. 7. qqplo N(0,) Rys. 8. qqplo -S(0,,) Rys. 9. qqplo GED(0,,) Źródło: obliczeia włase. Także a yc rysukac moża swierdzić, że model z warukowym rozkładem ormalym N(0,) zdecydowaie ajgorzej opisuje szereg dayc sóp zwrou.. Pomiar ryzyka meodą VaR Value a Risk o maksymala kwoa, jaką moża sracić w wyiku iwesycji w porfel o określoym oryzocie czasowym i przy założoym poziomie isoości [,8,9]. Powyższą defiicję moża zapisać w posaci: P( W W0 VaR) = α (8) W 0 - obeca warość isrumeu, W - warość isrumeu a końcu okresu, α - poziom isoości Nie zając warości porfela W 0, ie zmiejszając ogólości rozważań, powyższą zależość moża zapisać wykorzysując pojęcie sopy zwrou: P r F α = (9) ( ( ) α
co ozacza, że prawdopodobieńswo, że sopa zwrou w daym oryzocie czasu ie przekroczy warości rówej odpowiediemu kwaylowi rozkładu sóp zwrou F ( α), wyosi α. Podejście o wywodzi się ze sayczego zarządzaia ryzykiem (saic risk maageme), w kórym aalizujemy jedyie bezwarukowy rozkład sóp zwrou. Z akim podejściem korasuje dyamicze zarządzaie ryzykiem (dyamic risk maageme), pozwalające ucwycić akie zależości jak auokorelacje sóp zwrou i gromadzeie zmieości. Dla wersji dyamiczej zależość (9) przyjmuje posać: P( r m + Fη ( α) ) = α (0) m -warukowa oczekiwaa sopa zwrou dla oryzou w kórym liczymy VaR, - warukowa oczekiwaa wariacja dla oryzou, w kórym liczymy VaR, Fη ( ) - kwayl odpowiadający prawdopodobieńswu α dla warukowego rozkładu zdefiiowaego wzorami (8)-(). Dla warukowego rozkładu N(0,) dla sadardowyc poziomów isoości 0,05 oraz 0,0 uzyskujemy asępujące warości kwayli: F η ( 0,05) =, 645 oraz F η ( 0,0) =, 36. Dla rozkładu -Sudea i GED warości kwayli zależą od liczby sopi swobody. Przykładowo dla rozkładu -Sudea i v = 5, 8, α F (0.05) =,583oraz F (0.0) =, 573, a dla rozkładu GED i =, 59, η η Fη (0.05) =,649 oraz F η (0.0) =, 6. Poiżej w abeli przedsawioo liczbę przekroczeń dzieej warości VaR dla poszczególyc modeli dla poziomu isoości 0,05 i 0,0. Dokoao weryfikacji przydaości poszczególyc modeli do szacowaia warości VaR dla szeregu ideksu WIG (sopy zwrou z okresu 6.04.99-6.05.00, 35 obserwacji), ideksu SP500 (sopy zwrou z okresu 05.0.970 5.05.00, 87 obserwacje) oraz ideksu DJIA (sopy zwrou z okresu 3.08.96 0.05.00, 0000 obserwacji). Raz w miesiącu (co obserwacje) dokoywao poowej esymacji modelu a podsawie osaic 000, 000 lub 5000 obserwacji, a asępie wyzaczao warukową wariację oraz warukową oczekiwaą sopę zwrou dla kolejyc di miesiąca, oraz sprawdzao, czy ( r m F ( ) ) η α +. Jeśli ak, o w daym diu sraa przekraczała VaR. Łączie rozparzoo po przypadków dla każdego z dwóc podsawowyc poziomów isoości VaR (dla szeregu SP500 i DJIA esymacja paramerów a podsawie osaic 000, 000 lub 5000 obserwacji dla rzec aalizowayc rozkładów warukowyc oraz dla szeregu WIG esymacja paramerów a podsawie osaic 000 obserwacji rówież dla 3 aalizowayc rozkładów). We wszyskic aalizowayc przypadkac dokoao 586 esymacji modeli.
SP500 DJIA WIG 000 000 5000 000 000 5000 000 () α = 0,05 α = 0,0 zaobser. () eore. (3) przedział (4) zaobsr. eore. przedział N 357 S 386 359 3-394 83 G 355 8 N 97 0 S 30 309 75-34 7 G 96 66 N 4 53 S 6 59 34-8 37 G 40 36 N 450 36 S 480 450 409-490 04 G 447 0 N 396 0 S 430 400 36-438 88 G 390 88 N 75 S 3 50 9-80 5 G 50 N 68 4 S 7 66 50-8 5 G 67 5 7 55-88 6 46-77 3 0-4 90 7-08 80 6-97 50 36-64 3 6-0 Źródło: obliczeia włase. () poziom isoości VaR, () ilość zaobserwowayc przekroczeń VaR w szeregu, (3) ilość eoreyczyc przekroczeń przy zadaym poziomie isoości i długości szeregu, (4) ilość przekroczeń wyzaczająca obszar iekryyczy (przyjęcia ipoezy o poprawości modelu VaR) dla poziomu isoości esu 0,05. Pozosaje jeszcze eap ocey poszczególyc modeli. Tesowaie wsecze modelu (backesig) jes iezbędą procedurą, aby swierdzić, czy moża sosować day model. Najprosszym esem jes es ilości przekroczeń (failure es). Dla daej wielkości próby eoreycza liczba przekroczeń ma rozkład dwumiaowy. Odpowiedią saysykę esową zapropoował w 995 roku Kupiec. Ma oa posać: TN N TN N N N LRuc =l ( p) p + l () T T N ilość przekroczeń VaR, T długość próby esowej, p- poziom isoości VaR. Saysyka LR uc ma rozkład χ z jedym pukem swobody. W powyższej abeli a podsawie esu ilości przekroczeń zaprezeowae zosały przedziały iekryycze ilości
przekroczeń. Na ej podsawie odrzucoe zosały wszyskie modele VaR dla poziomu isoości 0,0 i dla warukowego rozkładu ormalego. Tes ilości przekroczeń ie jes jedyym esem, kóremu ależy poddać weryfikoway model. Do esu a ilość przekroczeń ależy dołączyć es, czy przekroczeia są iezależe w czasie. Największą popularość zdobył es iezależości przekroczeń Kupca LRid opary a dwóc esac eście do pierwszego przekroczeia (Time uil Firs Failure Tes) oraz eście czasu pomiędzy kolejymi przekroczeiami (Time bewee FailuresTes) [9,0]. Dla aalizowayc modeli, kóre ie zosały odrzucoe podczas esu ilości przekroczeń, ie było rówież podsaw do odrzuceia ze względu a es iezależości przekroczeń. Podsumowaie Na podsawie uzyskayc wyików moża swierdzić, że dla poziomu isoości VaR 0.05 w zupełości wysarczające jes modelowaie szeregów sóp zwrou przy pomocy modeli AR()-GARCH(,) z warukowym rozkładem ormalym bądź z rówie dobrym rozkładem GED. Model z warukowym rozkładem -Sudea w sposób sysemayczy iedoszacowuje ryzyko i liczba pojawiającyc się przekroczeń jes większa od oczekiwaej. Pozorie przeczy o zaej własości, że rozkład -Sudea posiada grubsze ogoy od rozkładu ormalego. Należy jedak pamięać, że rozparujemy odpowiedio przekszałcoy rozkład -Sudea o jedoskowej wariacji. Efek grubego ogoa rozkładu -Sudea ujawia się dopiero przy poziomie isoości VaR rówym 0.0. Przy ym poziomie isoości warukowy rozkład ormaly ie sprawdza się już zaiżając zaczie w sposób sysemayczy ryzyko, aomias dużo lepsze wyiki osiaga się dla rozkładu GED i -Sudea. Ogólie moża zauważyć, że rozkład GED jes prakyczie ak samo dobry jak rozkład ormaly dla poziomu isoości 0.05 oraz ak samo dobry jak rozkład -Sudea dla poziomu isoości 0.0. Jedak akże w przypadku poziomu isoości 0,0 ogoy rozkładów -Sudea i GED ie są wysarczająco grube, gdyż liczba przekroczeń jes większa od oczekiwaej. Poprawy uzyskayc efeków moża oczekiwać jeśli uwzględi się dodakowo skośość rozkładów warukowyc (p. poprzez zasosowaie skośego rozkładu -Sudea) lub poprzez zaiecaie modelowaia całości rozkładu warukowego a rzecz jedyie jego ogoów. Podejście akie zaprezeowae zosało w pracy [], gdzie połączoo eorię modele eeroskedasyczyc z eorią zdarzeń eksremalyc. Lieraura:. Bes P. (000). Warość arażoa a ryzyko. Oficya Ekoomicza, Kraków.. Bollerslev T. (986). Geeralized Auoregressive Codiioal Heeroskedasiciy. Joural of Ecoomerics. 3. 3. G. Box, J. Jekis. (983). Aaliza szeregów czasowyc. Progozowaie i serowaie, Pańswowe Wydawicwo Naukowe, Warszawa. 4. Egle R. (98). Auoregressive Codiioal Heeroskedasiciy wi Esimaes of e Variace od UK Iflaio. Ecoomerica. 50. 5. Gio P., Laure S. (00) Modellig Daily VaR Usig Realized Volailiy ad ARCH Type Models. Maasric Uiversiy
6. Hafer C., Herwarz. (998). Tesig for Liear Auoregressive Dyamics uder Heeroskedasiciy, Humbold-Uiversiae. Berli. Jajuga K. (999). Nowe edecje w zarządzaiu ryzykiem fiasowym. Ryek Termiowy 3 8. Jajuga K. (000). Miary ryzyka rykowego cześć III. Miary zagrożeia. Ryek Termiowy 8/00. 9. Jorio P. (00). Value a Risk d ediio. McGraw-Hill 0. Hass M. (00). New Meods i Backesig. Fiacial Egieerig Researc Ceer. Bo.. McNeil A., R. Frey. (000). Esimaio of Tail-Relaed Risk Measures for Heeroskedasic Fiacial Time Series: a Exreme Value Approac, Deparme Maemaik, ETH Zerum, Zuric.. Pioek K. (00). Heeroskedasyczość szeregu sóp zwrou a kocepcja pomiaru ryzyka meodą VaR. Usroń. 3. Welfe A. (995). Ekoomeria. Pańswowe Wydawicwo Ekoomicze. Warszawa 4. Wero A., Wero R. (999). Iżyieria fiasowa. WNT. Warszawa