ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15
Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych 17 5 Maªe Twierdzenie Fermata 20 6 Twierdzenie Eulera 23 7 Twierdzenie Lagrange'a 27 8 Chi«skie Twierdzenie o Resztach 30 9 RSA i gra w orªa i reszk przez telefon 36 10 Kongruencje wy»szych stopni 40 11 Liczby pseudopierwsze 46 12 Pierwiastki pierwotne 51 13 Istnienie pierwiastków pierwotnych 55 14 Logarytm dyskretny 60 15 Pewne zastosowania pierwiastków pierwotnych 63 2
Wykªad 12 Pierwiastki pierwotne Przypu± my,»e liczby a oraz n > 1 s wzgl dnie pierwsze. Rz dem elementu a modulo n nazywamy najmniejsz liczb dodatni k, tak»e a k 1 (mod n). Zauwa»my,»e, z uwagi na twierdzenie Eulera, k φ(n). B dziemy pisa k = ord n a. 12.1 Przykªad. Rz dem 1 modulo n jest jeden, a rz dem 1 modulo n > 2 jest dwa, ale dla dowolnej liczby nieparzystej l (wi c i dla 1), zachodzi ord 2 l = 1. Obliczaj c kolejne pot gi liczby 2 modulo 31, zauwa»amy,»e ord 31 2 = 5. Podobnie obliczamy ord 31 3 = 30. W tym ostatnim przypadku ord n a = φ(n). Przypu± my,»e x 5 1 (mod n). Zatem ord n x 5. Je±li x 1 (mod n), to rz d elementu x nie mo»e by równy 1. Nie mo»e to by te» 2, bo wówczas x 5 (x 2 ) 2 x x 1 (mod n). Z podobnych przyczyn, rz dem elementu x modulo n nie mo»e by 3 ani 4. Podobnie mo»emy pokaza,»e je±li dla dowolnej liczby pierwszej p, x p 1 (mod n), oraz x 1 (mod n) to wtedy ord n x = p. Poka»emy teraz kilka podstawowych wªasno±ci rz du elementu. W ka»- dym z nast puj cych twierdze«zakªadamy,»e a jest wzgl dnie pierwsza z n. 12.2 Twierdzenie. Przypu± my,»e a m 1 (mod n). Wówczas ord n a m. Dowód. Oznaczmy k = ord n a i zapiszmy m = qk+r, gdzie 0 r < k. Mamy 1 a m (a k ) q a r a r (mod n). Poniewa» r < k, wi c r = 0, bo inaczej mieliby±my sprzeczno± z denicj rz du. Zatem k m. 51
12.3 Wniosek. 1. Je±li a i a j (mod n), to i j (mod ord n a), 2. ord n a jest dzielnikiem φ(n). W szczególno±ci, je»eli n jest liczb pierwsz, to ord n a p 1. 3. Je»eli ord n a = k, to 1, a, a 2,..., a k 1 s ró»ne modulo n. Dowód. 1. Przypu± my,»e i j. Skoro a j jest elementem odwracalnym modulo n, wi c istnieje element a i j oraz a i j 1 (mod n). Zatem i j musi by wielokrotno±ci rz du elementu a, czyli i j (mod ord n a). 2. Wynika bezpo±rednio z twierdzenia 12.2 oraz Maªego Twierdzenia Fermata lub Twierdzenia Eulera. 3. Wynika bezpo±rednio z punktu 1. Twierdzenie 12.2 oraz wniosek po nim pozwalaj w istotny sposób uªatwi obliczenie rz du liczby. Dla przykªadu, rozwa»my liczb n = 31. Poniewa» φ(31) = 30, wi c dla liczby a wzgl dnie pierwszej z 31, mamy ord 31 a {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}. Wystarczy wi c sprawdzi tylko 8 liczb zamiast 30. Je±li ord n a = n 1, to zbiór {0, a, a 2,..., a n 1 } jest peªnym ukªadem reszt modulo n i mo»e on by u»ywany w miejscu {0, 1, 2,..., n 1}, zwªaszcza je±li chcemy bada wªasno±ci multyplikatywne modulo n. Je»eli jest nam znany rz d liczby a modulo n, to dobrze byªoby zna szybk metod wyznaczenia rz du dowolnej pot gi liczby a. Tak metod daje nam nast puj ce twierdzenie. 12.4 Twierdzenie. Je±li NWD(a, n) = 1, to ord n a k = Dowód. Oznaczmy l = ord n a NWD(ord n a, k). Poniewa» ord n a NWD(ord n a, k). (a k ) l a kl (a ord na ) (k/nwd(ord na, k)) 1 (mod n), wi c ord n a k l. Oznaczmy teraz m = ord n a k. Wówczas (a k ) m a km 1 (mod n), wi c ord n a km. Zapiszmy km = c ord n a dla pewnej liczby c. Obie strony ostatniej równo±ci podzielmy przez NWD(ord n a, k). Otrzymamy k NWD(ord n a, k) m = cl. 52
Ale NWD ( ) k, l NWD(ord n = 1 gdy» istniej takie liczby x oraz y,»e x ord a, k) n a + k NWD(ord na, + xl = 1. Zatem l m, co wobec k) yk = NWD(ord n a, k), czyli y wcze±niej udowodnionego daje nam l = m. U»ywaj c wzoru z powy»szego twierdzenia i wiedz c,»e ord n a = 12, otrzymujemy k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ord n a k 1 12 6 4 3 12 2 12 3 4 6 12 Niech a b dzie liczb wzgl dnie pierwsz z n. Liczba a jest pierwiastkiem pierwotnym modulo n, je±li ord n a = φ(n). Pierwiastkiem pierwotnym modulo 31 jest liczba 3, ale nie jest nim liczba 2. Poniewa» a 2 1 (mod 8) dla dowolnej liczby a wzgl dnie pierwszej z 8, wi c nie ma pierwiastków pierwotnych modulo 8. Ostatni fakt uogólnimy w nast puj cym twierdzeniu. 12.5 Twierdzenie. Je±li k 3, to nie ma pierwiastka pierwotnego modulo 2 k. Dowód. Przypu± my,»e taki pierwiastek a istnieje. Poniewa» φ(2 k ) = 2 k 1, wi c a, a 2,..., a 2k 1 s ró»nymi elementami modulo 2 k i wszystkie one s odwracalne. Co wi cej, nie ma innego elemnetu odwracalnego modulo 2 k ni» te, które znajduj si na li±cie. Istnieje zatem tylko jeden element modulo 2 k, który ma rz d 2, gdy» je±li ord 2 ka i = 2 k 1 NWD(i, 2 k 1 ) = 2, to NWD( i, 2 k 1 ) = 2 k 2, czyli i = 2 k 2. Poka»emy teraz,»e kongruencja x 2 1 (mod 2 k ) ma przynajmniej 4 rozwi zania, wi c elementów odwracalnych modulo 2 k rz du 2 jest wi cej ni» 1. St d otrzymamy sprzeczno±. Rozwa»my wi c kongruencj x 2 1 (mod 2 k ). Jej pierwiastkami s 1 oraz 1, ale tak»e liczby y 1 = 2 k 1 1 i y 2 = 2 k 1 + 1 (porównaj z przykªadem 10.9), poniewa» y 2 i = (2 k 1 ± 1) 2 = 2 2(k 1) ± 2 k + 1 1 (mod 2 k ). 53
Udowodnione wªa±nie twierdzenie jest rezultatem negatywnym, poniewa» mówi nam, dla jakich liczb nie nale»y szuka pierwiastków pierwotnych. Zauwa»my,»e dla n = 2 oraz n = 4, pierwiastki pierwotne modulo n istniej. Istnieje te» pierwiastek pierwotny modulo 31. 12.6 Przykªad. Nie ma elementu rz du 8 modulo 16 (bo 16 = 2 4 oraz φ(16) = 8). Mamy te» 8 elementów odwracalnych modulo 16. Jednym z nich jest element neutralny 1, który ma rz d 1. Mamy te» trzy elementy rz du 2: 7, 9 i 15. Pozostaªe 4 elementy (3, 5, 11, 13) s rz du 4. Je±li istnieje pierwiastek pierwotny modulo n, to z jego pomoc mo»emy rozwi zywa kongruencje wykªadnicze. Dla przykªadu rozwa»my n = 17 oraz liczb 3. Mamy k 1 2 3 4 5 6 7 8 3 k mod 17 3 9 10 13 5 15 11 16 k 9 10 11 12 13 14 15 16 3 k mod 17 14 8 7 4 12 2 6 1 Rozwi»emy kongruencj 7 x 4 (mod 17). Poniewa» 7 3 11 (mod 17) oraz 4 3 12 (mod 17), wi c nasza kongruencja sprowadza si do 3 11x 3 12 (mod 17). Zatem 11x 12 (mod 16), czyli x = 4 + 16k, gdzie k Z. U»ywaj c pierwiastków pierwotnych mo»emy te» ªatwo znale¹ liczb odwrotn do danej. Na przykªad, dla n = 17 oraz a = 3 mamy 13 3 4 (mod 17). St d 13 1 3 16 4 4 (mod 17). Niestety, okazuje si,»e dla wi kszo±ci liczb zªo»onych nie ma pierwiastka pierwotnego. 54