Równania rekurencyjne

Podobne dokumenty
Indukcja matematyczna

N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi.

JEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA

i = 0, 1, 2 i = 0, 1 33,115 1,698 0,087 0,005!0,002 34,813 1,785 0,092 0,003 36,598 1,877 0,095 38,475 1,972 40,447 i = 0, 1, 2, 3

PERMUTACJE Permutacją zbioru n-elementowego X nazywamy dowolną wzajemnie jednoznaczną funkcję f : X X X

Lista 6. Kamil Matuszewski 26 listopada 2015

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Analiza Matematyczna Ćwiczenia. J. de Lucas

Wykłady z Analizy rzeczywistej i zespolonej w Matematyce stosowanej. Literatura. W. Rudin: Podstawy analizy matematycznej, PWN, Warszawa, 1982.

Podprzestrzenie macierzowe

ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA POJĘCIE ZMIENNEJ LOSOWEJ

Reprezentacja krzywych...

Bajki kombinatoryczne

Permutacje. } r ( ) ( ) ( ) 1 2 n. f = M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I Wykład 2-2

Matematyka dyskretna. 10. Funkcja Möbiusa

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Liczby Stirlinga II rodzaju - definicja i własności

Typ może być dowolny. //realizacja funkcji zamiana //przestawiajacej dwa elementy //dowolnego typu void zamiana(int &A, int &B) { int t=a; A=B; B=t; }

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE

Nieporządki Ten materiał zostanie przerobiony na ćwiczeniach

Portfel złożony z wielu papierów wartościowych

ZAJĘCIA NR 3. loga. i nosi nazwę entropii informacyjnej źródła informacji. p. oznacza, Ŝe to co po im występuje naleŝy sumować biorąc za i

Wykład 6. Przestrzenie metryczne ośrodkowe i zupełne. ρ, gdzie r

Zmiana bazy i macierz przejścia

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Regresja REGRESJA

Różniczkowanie funkcji rzeczywistych wielu zmiennych. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski

STATYKA. Cel statyki. Prof. Edmund Wittbrodt

INDUKCJA MATEMATYCZNA

1. Relacja preferencji

Lista 6. Kamil Matuszewski X X X X X X X X X X X X

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA Zajęcia wyrównawcze AJD w Częstochowie; 2009/2010. Irena Fidytek

f f x f, f, f / / / METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH niech N = 2 (2 równania różniczkowe zwyczajne liniowe I-rz.) lub jedno II-rzędu

Analiza spektralna stóp zwrotu z inwestycji w akcje

System finansowy gospodarki

. Wtedy E V U jest równa

R j v tj, j=1. jest czynnikiem dyskontującym odpowiadającym efektywnej stopie oprocentowania i.

AKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE

PŁASKA GEOMETRIA MAS. Środek ciężkości figury płaskiej

Statystyczna analiza danych przedziały ufności

ROZWIĄZYWANIE DWUWYMIAROWYCH USTALONYCH ZAGADNIEŃ PRZEWODZENIA CIEPŁA PRZY POMOCY ARKUSZA KALKULACYJNEGO

Sprawdzenie stateczności skarpy wykopu pod składowisko odpadów komunalnych

k k M. Przybycień Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Wykład 13-2

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Zadanie 1. Rzucamy symetryczną monetą tak długo, aż w dwóch kolejnych rzutach pojawią się,,reszki. Oblicz wartość oczekiwaną liczby wykonanych rzutów.

L.Kowalski zadania ze statystyki opisowej-zestaw 5. ZADANIA Zestaw 5

1.3. Przestrzeni. Odwzorowania. Rząd macierzy. Twierdzenie Croneckera- Capellego

Wyznaczanie oporu naczyniowego kapilary w przepływie laminarnym.

Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Zajęcia 7-8

ma rozkład normalny z nieznaną wartością oczekiwaną m

SPOŁECZNA AKDAEMIA NAUK W ŁODZI

Twierdzenie 15.3 (o postaci elementów rozszerzenia ciała o zbiór). Niech F będzie ciałem oraz A F pewnym zbiorem. Niech L<F.

W zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = =

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 3,4

Analiza I.1, zima wzorcowe rozwiązania

TARCIE CIĘGIEN O POWIERZCHNIĘ WALCOWĄ WZÓR EULERA

IV Uniwersytecka Sobota Matematyczna 14 kwietnia Funkcje tworzące w kombinatoryce

Matematyczny opis ryzyka

Analiza Matematyczna I.1

Parametry zmiennej losowej

Wykład 7. Przestrzenie metryczne zwarte. x jest ciągiem Cauchy ego i posiada podciąg zbieżny. Na mocy

f '. Funkcja h jest ciągła. Załóżmy, że ciąg (z n ) n 0, z n+1 = h(z n ) jest dobrze określony, tzn. n 0 f ' ( z n

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Zajęcia 5

Rekursja 2. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

KURS STATYSTYKA. Lekcja 4 Nieparametryczne testy istotności ZADANIE DOMOWE. Strona 1

4. Rekurencja. Zależności rekurencyjne, algorytmy rekurencyjne, szczególne funkcje tworzące.

L.Kowalski PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1 LUX, zima 2016/17

TMM-2 Analiza kinematyki manipulatora metodą analityczną

będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu o gęstości

VI. TWIERDZENIA GRANICZNE

Statystyka Opisowa Wzory

METODY KOMPUTEROWE 1

Modele wartości pieniądza w czasie

Zasady zaliczania kursu z matematyki dyskretnej I-MDA-DA na studiach dziennych w sem. zimowym roku akad. 2011/12

Dokonajmy zestawienia wszystkich równań teorii sprężystości. 1. Różniczkowe równania równowagi (warunki Naviera)

Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej

Internetowe Kółko Matematyczne 2004/2005

( ) L 1. θ θ = M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka. = θ. min

Kolorowanie Dywanu Sierpińskiego. Andrzej Szablewski, Radosław Peszkowski

Zestaw zadań 4: Przestrzenie wektorowe i podprzestrzenie. Liniowa niezależność. Sumy i sumy proste podprzestrzeni.

MODELE OBIEKTÓW W 3-D3 część

Matematyka II. Wykład 11. Całka podwójna. Zamiana na całkę iterowaną. Obliczanie pól obszarów i objętości brył.

Plan: Wykład 3. Zmienne losowe i ich rozkłady. Wstęp do probabilistyki i statystyki. Pojęcie zmiennej losowej

Miary położenia wskazują miejsce wartości najlepiej reprezentującej wszystkie wielkości danej zmiennej. Mówią o przeciętnym poziomie analizowanej

KOMBINATORYKA. Oznaczenia. } oznacza zbiór o elementach a, a2,..., an. Kolejność wypisania elementów zbioru nie odgrywa roli.

Obliczanie średniej, odchylenia standardowego i mediany oraz kwartyli w szeregu szczegółowym i rozdzielczym?

Dwumian Newtona. Agnieszka Dąbrowska i Maciej Nieszporski 8 stycznia 2011

Planowanie eksperymentu pomiarowego I

FUNKCJE ZMIENNYCH LOSOWYCH. Uwagi o rozkładzie funkcji zmiennej losowej jednowymiarowej.

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/ n 333))

Projekt 2 2. Wielomiany interpolujące

Zadanie 1. ), gdzie 1. Zmienna losowa X ma rozkład logarytmiczno-normalny LN (, . EX (A) 0,91 (B) 0,86 (C) 1,82 (D) 1,95 (E) 0,84

Analiza I.1, zima globalna lista zadań

APROKSYMACJA I INTERPOLACJA. funkcja f jest zbyt skomplikowana; użycie f w dalszej analizie problemu jest trudne

T. Hofman, Wykłady z Termodynamiki technicznej i chemicznej, Wydział Chemiczny PW, kierunek: Technologia chemiczna, sem.

LICZBY, RÓWNANIA, NIERÓWNOŚCI; DOWÓD INDUKCYJNY

Zajęcia nr. 2 notatki

Funkcja wiarogodności

Transkrypt:

Rówaa reurecyje Ja stosować do przelczaa obetów obatoryczych? zaleźć zwąze reurecyjy, oblczyć la początowych wartośc, odgadąć ogóly wzór, tóry astępe udowaday stosując ducję ateatyczą. W etórych przypadach, gdy e potrafy odgadąć wzoru wyorzystujey e etody p. fucje tworzące. rzyład: perutacje a lczba perutacj zboru {,,..., } Każdą taą perutację otrzyujey z perutacj zboru eleetów przez wstawee lczby a jedo z ejsc. Zate: a a - z warue a a a! a a!... a! Dowód ducyjy Dowód ducyjy: Wzór prawdzwy dla Załaday prawdzwość wzoru dla : a a -!! Mateatya Dysreta, odstawy Log Teor Mogośc

rzyład: proste a płaszczyźe Na le spójych obszarów dzel płaszczyzę prostych, z tórych żade dwe e są rówoległe żade trzy e przecają sę w jedy puce? Ozaczay szuaą lczbę przez a a a rowadzy -tą prostą, przecay w te sposób wszyste proste poprzede zwęszay lczbę obszarów o. a a - a -... a... Dowód przez ducję. a rzyład: -Weże Hao Trzy pal, 6 rąż różej średcy azae a jede z ch od ajwęszego do ajejszego. Zadae przeeść rąż a trzec pal orzystając z drugego, borąc za ażdy raze tylo jede rąże gdy e ładąc węszego rąża a ejszy. Oblczyć, le czasu potrzeba a przeesee rążów załadając, że jede ruch trwa jedą seudę? Lczba ruchów: a a a - z warue początowy a a a a rzełożee weży zajęłoby 9 weów. Mateatya Dysreta, odstawy Log Teor Mogośc

W szczególy przypadu, gdy zależość reurecyja a głęboość dwa: Twerdzee: Nech będą dae a a oraz ech a, a,... będą oreśloe zależoścą reurecyją: a A a - B a - dla > gdze A B są stały. Nech α β będą perwasta rówaa x A x B Wówczas a c α c β rówae charaterystycze. Współczy c oraz c wyzacza sę z waruów początowych. Cąg Fboaccego,,,,,, 8,,,... F F F F F dla Rówae ależy do jedorodych rówań reurecyjych. Mateatya Dysreta, odstawy Log Teor Mogośc

Dla cągu Fboaccego: Rozwązujey rówae: x x x x Z waruów początowych: F c c F c c wyzaczay c c Zate: F Neuporządowae podzały zboru Ile jest sposobów podzelea zboru -eleetowego o eleetach rozróżalych a epustych podzborów tórych olejość e jest stota - tj., tóre są erozróżale? Np. zbór słada sę z obetów { } Dzely go a podzbory właday do dwóch erozróżalych szuflade ożlwośc podzału typu,: { }{ } { }{ } { }{ } { }{ } ożlwośc podzału typy,: { }{ } { }{ } { }{ } Lczbę sposobów podzału oreśla lczba Strlga rodzaju - podzborowa lczba Strlga Mateatya Dysreta, odstawy Log Teor Mogośc

Mateatya Dysreta, odstawy Log Teor Mogośc Moża wyazać, że: W szczególośc: > gdy gdy gdy < 6 7!! 6 Twerdzee: Twerdzee: Dla wszystch oraz,,..., Rozbjay podzał a lasy: te, tóre zawerają podzbór jedoeleetowy te, tóre go e zawerają Tych perwszych jest, bo pozostałe eleety trzeba podzelć a - zborów. Najperw dzely zbór - eleetowy bez zboru -eleetowego a podzborów, a pote dołączay zbór -eleetowy a sposobów do tóregoś z tych podzborów.

Zwąze geeruje tablcę: B - lczby Bella 7 6 6 9 6 Lczba Bella B sua lczb Strlga z -tego wersza Jest lczbą wszystch pogrupowań obetów B Lczby Bella ogą być opsae zależoścą reurecyją: B B dla z warue początowy B Mateatya Dysreta, odstawy Log Teor Mogośc 6

Mateatya Dysreta, odstawy Log Teor Mogośc 7 Cylcza lczba Cylcza lczba Strlga Strlga I rodzaju I rodzaju - lczba sposobów rozeszczea obetów w cylach cyl [ A, B, C, D ] [ B, C, D, A ] [ C, D, A, B ] [ D, A, B, C ] Isteje sposobów a utworzee dwóch cyl z eleetów: [,, ] [] [,, ] [] [,, ] [] [,, ] [] [,, ] [] [,, ] [] [,, ] [] [,, ] [] [, ] [, ] [, ] [, ] [, ] [, ] A B C D Każdy podzał a epuste podzbory prowadz do co ajej jedego ustawea w cyl. Dla ażdego -eleetowego zboru oża utworzyć różych cyl Wdać, że dużo węcej ż W wyrażeu rówość występuje tylo dla lub.,!!!

Wzór Lczba perutacj obetów, tóre zawerają cyl. Sua po da lczbę perutacj! K! geeruje trójąt :! 6 6 6 odzały y lczb Neuporządoway podzał lczby a dodatch sładów a a... a a a... a Warue ootoczośc sładów aby podzał był ezależy od olejośc sładów. Scheat rozeszczee erozróżalych ule w erozróżalych szufladach., lczba euporządowaych podzałów lczby a sładów rzyład: Dla 7, Mateatya Dysreta, odstawy Log Teor Mogośc 8

Mateatya Dysreta, odstawy Log Teor Mogośc 9 Oszacowae: Wzór reurecyjy:,!,, Lczba wszystch podzałów lczby a sład : Twerdzee: Twerdzee: Nech. Wówczas gdze σ sua dodatch dzelów lczby. rzyład: 7, σ σ

Dagray Ferrersa Rzędy wadratów odpowadające lczeboścą olejy słado podzału rzyład: 7 Własość:, jest rówe lczbe podzałów lczby a dowolą lczbę sładów o ajwęszy sładu. odzał syetryczy dagra Ferrersa czytay z góry a dół daje ta sa podzał ja czytay od prawej do lewej. 6 Mateatya Dysreta, odstawy Log Teor Mogośc

Własość: odzałów syetryczych jest tyle, le podzałów a róże eparzyste sład. rzyład: Dla lczby 6 jest pęć syetryczych podzałów: 6 8 7 oraz pęć podzałów a róże eparzyste sład: 7 9 7 Mając day dagra podzału syetryczego tworzyy owy dagra, tórego ty wersz a tyle eleetów, le w sue ają ty wersz oraz ta olua wyjścowego dagrau lczoe odpowedo tylo od przeątej w prawo w dół. bjecja Mateatya Dysreta, odstawy Log Teor Mogośc