Rówaa reurecyje Ja stosować do przelczaa obetów obatoryczych? zaleźć zwąze reurecyjy, oblczyć la początowych wartośc, odgadąć ogóly wzór, tóry astępe udowaday stosując ducję ateatyczą. W etórych przypadach, gdy e potrafy odgadąć wzoru wyorzystujey e etody p. fucje tworzące. rzyład: perutacje a lczba perutacj zboru {,,..., } Każdą taą perutację otrzyujey z perutacj zboru eleetów przez wstawee lczby a jedo z ejsc. Zate: a a - z warue a a a! a a!... a! Dowód ducyjy Dowód ducyjy: Wzór prawdzwy dla Załaday prawdzwość wzoru dla : a a -!! Mateatya Dysreta, odstawy Log Teor Mogośc
rzyład: proste a płaszczyźe Na le spójych obszarów dzel płaszczyzę prostych, z tórych żade dwe e są rówoległe żade trzy e przecają sę w jedy puce? Ozaczay szuaą lczbę przez a a a rowadzy -tą prostą, przecay w te sposób wszyste proste poprzede zwęszay lczbę obszarów o. a a - a -... a... Dowód przez ducję. a rzyład: -Weże Hao Trzy pal, 6 rąż różej średcy azae a jede z ch od ajwęszego do ajejszego. Zadae przeeść rąż a trzec pal orzystając z drugego, borąc za ażdy raze tylo jede rąże gdy e ładąc węszego rąża a ejszy. Oblczyć, le czasu potrzeba a przeesee rążów załadając, że jede ruch trwa jedą seudę? Lczba ruchów: a a a - z warue początowy a a a a rzełożee weży zajęłoby 9 weów. Mateatya Dysreta, odstawy Log Teor Mogośc
W szczególy przypadu, gdy zależość reurecyja a głęboość dwa: Twerdzee: Nech będą dae a a oraz ech a, a,... będą oreśloe zależoścą reurecyją: a A a - B a - dla > gdze A B są stały. Nech α β będą perwasta rówaa x A x B Wówczas a c α c β rówae charaterystycze. Współczy c oraz c wyzacza sę z waruów początowych. Cąg Fboaccego,,,,,, 8,,,... F F F F F dla Rówae ależy do jedorodych rówań reurecyjych. Mateatya Dysreta, odstawy Log Teor Mogośc
Dla cągu Fboaccego: Rozwązujey rówae: x x x x Z waruów początowych: F c c F c c wyzaczay c c Zate: F Neuporządowae podzały zboru Ile jest sposobów podzelea zboru -eleetowego o eleetach rozróżalych a epustych podzborów tórych olejość e jest stota - tj., tóre są erozróżale? Np. zbór słada sę z obetów { } Dzely go a podzbory właday do dwóch erozróżalych szuflade ożlwośc podzału typu,: { }{ } { }{ } { }{ } { }{ } ożlwośc podzału typy,: { }{ } { }{ } { }{ } Lczbę sposobów podzału oreśla lczba Strlga rodzaju - podzborowa lczba Strlga Mateatya Dysreta, odstawy Log Teor Mogośc
Mateatya Dysreta, odstawy Log Teor Mogośc Moża wyazać, że: W szczególośc: > gdy gdy gdy < 6 7!! 6 Twerdzee: Twerdzee: Dla wszystch oraz,,..., Rozbjay podzał a lasy: te, tóre zawerają podzbór jedoeleetowy te, tóre go e zawerają Tych perwszych jest, bo pozostałe eleety trzeba podzelć a - zborów. Najperw dzely zbór - eleetowy bez zboru -eleetowego a podzborów, a pote dołączay zbór -eleetowy a sposobów do tóregoś z tych podzborów.
Zwąze geeruje tablcę: B - lczby Bella 7 6 6 9 6 Lczba Bella B sua lczb Strlga z -tego wersza Jest lczbą wszystch pogrupowań obetów B Lczby Bella ogą być opsae zależoścą reurecyją: B B dla z warue początowy B Mateatya Dysreta, odstawy Log Teor Mogośc 6
Mateatya Dysreta, odstawy Log Teor Mogośc 7 Cylcza lczba Cylcza lczba Strlga Strlga I rodzaju I rodzaju - lczba sposobów rozeszczea obetów w cylach cyl [ A, B, C, D ] [ B, C, D, A ] [ C, D, A, B ] [ D, A, B, C ] Isteje sposobów a utworzee dwóch cyl z eleetów: [,, ] [] [,, ] [] [,, ] [] [,, ] [] [,, ] [] [,, ] [] [,, ] [] [,, ] [] [, ] [, ] [, ] [, ] [, ] [, ] A B C D Każdy podzał a epuste podzbory prowadz do co ajej jedego ustawea w cyl. Dla ażdego -eleetowego zboru oża utworzyć różych cyl Wdać, że dużo węcej ż W wyrażeu rówość występuje tylo dla lub.,!!!
Wzór Lczba perutacj obetów, tóre zawerają cyl. Sua po da lczbę perutacj! K! geeruje trójąt :! 6 6 6 odzały y lczb Neuporządoway podzał lczby a dodatch sładów a a... a a a... a Warue ootoczośc sładów aby podzał był ezależy od olejośc sładów. Scheat rozeszczee erozróżalych ule w erozróżalych szufladach., lczba euporządowaych podzałów lczby a sładów rzyład: Dla 7, Mateatya Dysreta, odstawy Log Teor Mogośc 8
Mateatya Dysreta, odstawy Log Teor Mogośc 9 Oszacowae: Wzór reurecyjy:,!,, Lczba wszystch podzałów lczby a sład : Twerdzee: Twerdzee: Nech. Wówczas gdze σ sua dodatch dzelów lczby. rzyład: 7, σ σ
Dagray Ferrersa Rzędy wadratów odpowadające lczeboścą olejy słado podzału rzyład: 7 Własość:, jest rówe lczbe podzałów lczby a dowolą lczbę sładów o ajwęszy sładu. odzał syetryczy dagra Ferrersa czytay z góry a dół daje ta sa podzał ja czytay od prawej do lewej. 6 Mateatya Dysreta, odstawy Log Teor Mogośc
Własość: odzałów syetryczych jest tyle, le podzałów a róże eparzyste sład. rzyład: Dla lczby 6 jest pęć syetryczych podzałów: 6 8 7 oraz pęć podzałów a róże eparzyste sład: 7 9 7 Mając day dagra podzału syetryczego tworzyy owy dagra, tórego ty wersz a tyle eleetów, le w sue ają ty wersz oraz ta olua wyjścowego dagrau lczoe odpowedo tylo od przeątej w prawo w dół. bjecja Mateatya Dysreta, odstawy Log Teor Mogośc