WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA LO zakres rozszerzony

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA LO zakres rozszerzony I. LICZBY RZECZYWISTE Ocenę dopuszczającąotrzymuje uczeń, który: 1. podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje liczbę do odpowiedniego zbioru liczb 2. rozkłada liczby naturalne na czynniki pierwsze 3. stosuje cechy podzielności liczb 4. rozróżnia liczby pierwsze i liczby złożone 5. znajduje największy wspólny dzielnik i najmniejszą wspólną wielokrotność liczb 6. porównuje liczby wymierne 7. podaje przykład liczby wymiernej zawartej między dwiema danymi liczbami oraz przykłady liczb niewymiernych 8. zaznacza na osi liczbowej daną liczbę wymierną 9. przedstawia liczby wymierne w różnych postaciach 10. wyznacza przybliżenia dziesiętne danej liczby rzeczywistej z zadaną dokładnością (również przy użyciu kalkulatora) oraz określa, czy dane przybliżenie jest przybliżeniem z nadmiarem, czy z niedomiarem 11. wykonuje proste działania w zbiorach liczb: całkowitych, wymiernych i rzeczywistych 12. oblicza wartość pierwiastka dowolnego stopnia z liczby nieujemnej oraz wartość pierwiastka nieparzystego stopnia z liczby rzeczywistej 13. wyłącza czynnik przed znak pierwiastka 14. włącza czynnik pod znak pierwiastka 15. wykonuje działania na pierwiastkach tego samego stopnia, stosując odpowiednie twierdzenia 1 16. usuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu a 17. wykonuje proste działania na potęgach o wykładnikach całkowitych 18. oblicza procent danej liczby 19. oblicza, jakim procentem jednej liczby jest druga liczba 20. wyznacza liczbę, gdy dany jest jej procent 21. posługuje się procentami w rozwiązywaniu prostych zadań praktycznych 22. odczytuje prawidłowo informacje przedstawione na diagramach Ocenę dostatecznąotrzymuje uczeń, który ponadto: 1. przekształca i oblicza wartości wyrażeń zawierających pierwiastki kwadratowe, stosując wzory skróconego mnożenia 2. przedstawia liczbę w notacji wykładniczej 3. wykonuje działania na wyrażeniach algebraicznych (w tym: stosuje wzory skróconego mnożenia dotyczące drugiej potęgi) Ocenę dobrąotrzymuje uczeń, który ponadto: 1. stosuje ogólny zapis liczb naturalnych: parzystych, nieparzystych, podzielnych przez 3 itp. 2. wykorzystuje dzielenie z resztą do przedstawienia liczby naturalnej w postaci a k + r 3. konstruuje odcinki o długościach niewymiernych a± 4. usuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu d5. wykonuje działania łączne na liczbach rzeczywistych 6. zamienia ułamek dziesiętny okresowy na ułamek zwykły 7. porównuje pierwiastki bez użycia kalkulatora 8. wykonuje działania łączne na potęgach o wykładnikach całkowitych 9. stosuje wzory skróconego mnożenia ( a ± b) 3, 3 a ± b 3 cbocenę bardzo dobrąotrzymuje uczeń, który ponadto: 1. oblicza, o ile procent jedna liczba jest większa (mniejsza) od drugiej 2. rozwiązuje złożone zadania tekstowe, wykorzystując obliczenia procentowe 3. ocenia dokładność zastosowanego przybliżenia 4. wyprowadza wzory skróconego mnożenia ( a ± b) 3, 3 a ± b 1. przeprowadza dowody twierdzeń dotyczących podzielności liczb 3

2. dowodzi niewymierności niektórych liczb, np., 1 3. uzasadnia prawa działań na potęgach o wykładnikach naturalnych (całkowitych) 4. przeprowadza dowód nie wprost 5. rozwiązuje zadania o znacznym stopniu trudności dotyczące liczb rzeczywistych II. JĘZYK MATEMATYKI 1. posługuje się pojęciami: zbiór, podzbiór, zbiór skończony, zbiór nieskończony 2. opisuje symbolicznie dane zbiory 3. wyznacza iloczyn, sumę oraz różnicę danych zbiorów 4. zaznacza na osi liczbowej przedziały liczbowe 5. wyznacza iloczyn, sumę i różnicę przedziałów liczbowych 6. rozwiązuje proste nierówności liniowe 7. zaznacza na osi liczbowej zbiór rozwiązań nierówności liniowej 8. oblicza wartość bezwzględną liczby rzeczywistej A = { x R : x 4 x < 1} = 4,1) 1. zapisuje zbiory w postaci przedziałów liczbowych, np. 2. stosuje interpretację geometryczną wartości bezwzględnej liczby do rozwiązywania elementarnych równań i nierówności typu x = a, x < a 3. wyznacza błąd bezwzględny oraz błąd względny przybliżenia 4. stosuje interpretację geometryczną wartości bezwzględnej liczby do rozwiązywania równań i nierówności typu 2 x 3 = 3, x + 4 1 1. zaznacza na osi liczbowej zbiory liczb spełniających układ nierówności liniowych z jedną niewiadomą 2. rozwiązuje nierówności liniowe 3. wyznacza przedziały liczbowe określone za pomocą wartości bezwzględnej 1. wykonuje złożone działania na przedziałach liczbowych 2. przekształca wyrażenia algebraiczne, korzystając z własności wartości bezwzględnej 3. wykorzystuje własności wartości bezwzględnej do rozwiązywania równań i nierówności z wartością bezwzględną 1. formułuje i uzasadnia hipotezy dotyczące praw działań na zbiorach 2. stosuje interpretację geometryczną wartości bezwzględnej do przedstawienia w układzie współrzędnych zbiorów opisanych kilkoma warunkami 3. uzasadnia własności wartości bezwzględnej 4. rozwiązuje zadania o znacznym stopniu trudności dotyczące zbiorów i własności wartości bezwzględnej III. FUNKCJA LINIOWA 1. rozpoznaje funkcję liniową na podstawie wzoru lub wykresu 2. rysuje wykres funkcji liniowej danej wzorem 3. oblicza wartość funkcji liniowej dla danego argumentu i odwrotnie 4. wyznacza miejsce zerowe funkcji liniowej 5. interpretuje współczynniki ze wzoru funkcji liniowej 6. wyznacza algebraicznie oraz odczytuje z wykresu funkcji liniowej zbiór argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie (ujemne) 7. odczytuje z wykresu funkcji liniowej jej własności: dziedzinę, zbiór wartości, miejsce zerowe, monotoniczność 8. wyznacza wzór funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez dane dwa punkty 9. wyznacza wzór funkcji liniowej, której wykresem jest dana prosta 10. wyznacza współrzędne punktów przecięcia wykresu funkcji liniowej z osiami układu współrzędnych 11. sprawdza algebraicznie i graficznie, czy dany punkt należy do wykresu funkcji liniowej 12. przekształca równanie ogólne prostej do postaci kierunkowej i odwrotnie 13. sprawdza, czy dane trzy punkty są współliniowe 14. stosuje warunek równoległości i prostopadłości prostych 2

15. wyznacza wzór funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez dany punkt i jest równoległy do wykresu danej funkcji liniowej 16. wyznacza wzór funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez dany punkt i jest prostopadły do wykresu danej funkcji liniowej 17. rozstrzyga, czy dany układ dwóch równań liniowych jest oznaczony, nieoznaczony czy sprzeczny 18. rozwiązuje układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi metodą podstawiania i metodą przeciwnych współczynników 19. określa liczbę rozwiązań układu równań liniowych, korzystając z jego interpretacji geometrycznej 20. rozwiązuje graficznie układy nierówności liniowych z dwiema niewiadomymi 1. podaje przykłady funkcji liniowych opisujących sytuacje z życia codziennego 2. rozwiązuje układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi metodą wyznacznikową 3. rysuje wykres funkcji przedziałami liniowej i omawia jej własności 1. sprawdza, dla jakich wartości parametru funkcja liniowa jest rosnąca, malejąca, stała 2. oblicza pole figury ograniczonej wykresami funkcji liniowych oraz osiami układu współrzędnych 3. uzasadnia na podstawie definicji monotoniczność funkcji liniowej 4. sprawdza, dla jakich wartości parametru dwie proste są równoległe, prostopadłe 5. znajduje współrzędne wierzchołków wielokąta, gdy dane są równania prostych zawierających jego boki 6. rozwiązuje zadania tekstowe prowadzące do układów równań liniowych z dwiema niewiadomymi 1. opisuje za pomocą układu nierówności liniowych zbiór punktów przedstawionych w układzie współrzędnych 2. rozwiązuje algebraicznie układ trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi Ocenę celując otrzymuje uczeń, który ponadto: 1. określa własności funkcji liniowej w zależności od wartości parametrów występujących w jej wzorze 2. wykorzystuje własności funkcji liniowej w zadaniach dotyczących wielokątów w układzie współrzędnych 3. rozwiązuje graficznie układ równań, w którym występuje wartość bezwzględna 4. rozwiązuje układy równań liniowych z parametrem 5. rozwiązuje zadania o znacznym stopniu trudności dotyczące funkcji liniowej IV. FUNKCJE 1. rozpoznaje przyporządkowania będące funkcjami 2. określa funkcję różnymi sposobami (wzorem, tabelą, wykresem, opisem słownym) 3. poprawnie stosuje pojęcia związane z pojęciem funkcji: dziedzina, zbiór wartości, argument, wartość i wykres funkcji 4. odczytuje z wykresu dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, najmniejszą i największą wartość funkcji 5. wyznacza dziedzinę funkcji określonej tabelką lub opisem słownym 6. wyznacza dziedzinę funkcji danej wzorem, wymagającym jednego założenia 7. oblicza miejsca zerowe funkcji danej wzorem (w prostych przykładach) 8. oblicza wartość funkcji dla różnych argumentów na podstawie wzoru funkcji 9. oblicza argument odpowiadający podanej wartości funkcji 10. sprawdza algebraicznie położenie punktu o danych współrzędnych względem wykresu funkcji danej wzorem 11. wyznacza współrzędne punktów przecięcia wykresu funkcji danej wzorem z osiami układu współrzędnych 12. rysuje w prostych przypadkach wykres funkcji danej wzorem 13. sporządza wykresy funkcji: y = f ( x p), y = f ( x) + q, y = f ( x p) + q, =, y = f( x) na podstawie danego wykresu funkcji y = f (x) 14. sporządza wykresy funkcji: f ( x) y =, f ( x ) y =, mając dany wykres funkcji y = f ( x) 15. odczytuje z wykresu wartość funkcji dla danego argumentu oraz argument dla danej wartości funkcji 16. na podstawie wykresu funkcji określa argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie, ujemne 17. określa na podstawie wykresu przedziały monotoniczności funkcji 18. wskazuje wykresy funkcji rosnących, malejących i stałych wśród różnych wykresów 1. oblicza miejsca zerowe funkcji danej wzorem 2. rysuje wykres funkcji danej wzorem 3. stosuje funkcje i ich własności w prostych sytuacjach praktycznych 3

1. rozpoznaje i opisuje zależności funkcyjne w otaczającej nas rzeczywistości 2. przedstawia daną funkcję na różne sposoby 3. odczytuje z wykresów funkcji rozwiązania równań i nierówności typu: f(x) = g(x), f(x)<g(x), f(x)>g(x) 4. szkicuje wykres funkcji spełniającej podane warunki 1. określa dziedzinę oraz wyznacza miejsca zerowe funkcji danej wzorem, który wymaga kilku założeń 2. na podstawie definicji bada monotoniczność funkcji danej wzorem 3. na podstawie wykresu funkcji określa liczbę rozwiązań równania f(x) = m w zależności od wartości parametru m 4. na podstawie wykresu funkcji odczytuje zbiory rozwiązań nierówności: f ( x) > m, f ( x) < m, f ( x) m, f ( x) m dla ustalonej wartości parametru m y = f ( x) 5. szkicuje wykres funkcji będący efektem wykonania kilku operacji, mając dany wykres funkcji Ocenę celującąotrzymuje uczeń, który ponadto: 1. 1 uzasadnia, że funkcja f ( x) = nie jest monotoniczna w swojej dziedzinie x 2. wykorzystuje inne własności funkcji (np. parzystość) 3. rozwiązuje zadania o znacznym stopniu trudności dotyczące funkcji V. FUNKCJA KWADRATOWA 1. rysuje wykres funkcji 2 f ( x) = ax i podaje jej własności 2. sprawdza algebraicznie, czy dany punkt należy do wykresu danej funkcji kwadratowej 3. rysuje wykres funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej i podaje jej własności 4. ustala wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej na podstawie informacji o przesunięciach wykresu 5. przekształca wzór funkcji kwadratowej z postaci kanonicznej do postaci ogólnej i odwrotnie 6. oblicza współrzędne wierzchołka paraboli 7. rozwiązuje równania kwadratowe niepełne metodą rozkładu na czynniki oraz stosując wzory skróconego mnożenia 8. wyznacza algebraicznie współrzędne punktów przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych 9. określa liczbę pierwiastków równania kwadratowego w zależności od znaku wyróżnika 10. rozwiązuje równania kwadratowe, stosując wzory na pierwiastki 11. sprowadza funkcję kwadratową do postaci iloczynowej, o ile można ją w tej postaci zapisać 12. odczytuje miejsca zerowe funkcji kwadratowej z jej postaci iloczynowej 1. rozwiązuje nierówności kwadratowe 2. wyznacza najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej w podanym przedziale 3. znajduje brakujące współczynniki funkcji kwadratowej, znając współrzędne punktów należących do jej wykresu 4. stosuje wzory Viète a do wyznaczania sumy i iloczynu pierwiastków równania kwadratowego oraz do określania znaków pierwiastków trójmianu kwadratowego bez wyznaczania ich wartości, przy czym sprawdza najpierw ich istnienie 5. rysuje wykres funkcji y = f(x), gdy dany jest wykres funkcji kwadratowej y = f(x) 6. rozwiązuje proste równania i nierówności kwadratowe z parametrem 1. na podstawie wykresu określa liczbę rozwiązań równania f(x) = m w zależności od parametru m, gdzie y = f(x) jest funkcją kwadratową 2. rozwiązuje równania dwukwadratowe oraz inne równania sprowadzalne do równań kwadratowych przez podstawienie niewiadomej pomocniczej 1. rozwiązuje zadania tekstowe prowadzące do wyznaczania wartości najmniejszej i największej funkcji kwadratowej 2. rozwiązuje zadania tekstowe prowadzące do równań lub nierówności kwadratowych 3. znajduje iloczyn, sumę i różnicę zbiorów rozwiązań nierówności kwadratowych 4. stosuje wzory Viète a do obliczania wartości wyrażeń zawierających sumę i iloczyn pierwiastków trójmianu 1 1 kwadratowego, np. + 2 2 x1 x2 5. rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe z parametrem o wyższym stopniu trudności 4

1. przekształca na ogólnych danych wzór funkcji kwadratowej z postaci ogólnej do postaci kanonicznej 2. wyprowadza wzory na współrzędne wierzchołka paraboli 3. wyprowadza wzory na pierwiastki równania kwadratowego 4. zaznacza w układzie współrzędnych obszar opisany układem nierówności 5. wyprowadza wzory Viète a 6. rozwiązuje zadania o znacznym stopniu trudności dotyczące funkcji kwadratowej VI. PLANIMETRIA 1. rozróżnia trójkąty: ostrokątne, prostokątne, rozwartokątne 2. stosuje twierdzenie o sumie miar kątów w trójkącie 3. wykonuje podstawowe konstrukcje geometryczne 4. sprawdza, czy z trzech odcinków o danych długościach można zbudować trójkąt 5. posługuje się pojęciem skali do obliczania odległości i powierzchni przedstawionych za pomocą planu lub mapy 6. stosuje w zadaniach twierdzenie o stosunku pól figur podobnych 7. wskazuje w wielokątach odcinki proporcjonalne 8. rozwiązuje proste zadania, wykorzystując twierdzenie Talesa 9. stosuje twierdzenie Pitagorasa 10. wykorzystuje wzory na przekątną kwadratu i wysokość trójkąta równobocznego 11. oblicza wartości funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym, gdy dane są boki tego trójkąta 1 12. stosuje w zadaniach wzór na pole trójkąta: P = ah oraz wzór na pole trójkąta równobocznego o boku a: 2 2 a 3 P = 4 13. podaje wartości funkcji trygonometrycznych kątów 30º, 45º, 60º 14. odczytuje z tablic wartości funkcji trygonometrycznych danego kąta ostrego 15. znajduje w tablicach kąt ostry, gdy zna wartość jego funkcji trygonometrycznej 16. rozróżnia czworokąty: kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok, trapez oraz zna ich własności 17. wykorzystuje w zadaniach wzory na pola czworokątów 1. uzasadnia przystawanie trójkątów, wykorzystując cechy przystawania 2. wykorzystuje cechy przystawania trójkątów do rozwiązywania prostych zadań 3. uzasadnia podobieństwo trójkątów, wykorzystując cechy podobieństwa 4. zapisuje proporcje boków w trójkątach podobnych 5. wykorzystuje podobieństwo trójkątów do rozwiązywania elementarnych zadań 6. sprawdza, czy dane figury są podobne 7. oblicza długości boków figur podobnych 8. oblicza wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych, mając dany sinus lub cosinus kąta 9. rozwiązuje trójkąty prostokątne 10. rozwiązuje zadania, wykorzystując twierdzenie Talesa 11. wykorzystuje funkcje trygonometryczne do obliczania obwodów i pól podstawowych figur płaskich 1. przeprowadza dowód twierdzenia o sumie miar kątów w trójkącie 2. przekształca wyrażenia trygonometryczne, stosując związki między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta 3. oblicza wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych, mając dany tangens lub cotangens kąta 4. 1 stosuje podczas rozwiązywania zadań wzór na pole trójkąta P = ab sinγ 2 1. stosuje cechy przystawania trójkątów do rozwiązywania trudniejszych zadań geometrycznych 2. wykorzystuje podobieństwo trójkątów do rozwiązywania praktycznych problemów 3. wyprowadza wzór na jedynkę trygonometryczną oraz pozostałe związki między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta 1. przeprowadza dowód twierdzenia Talesa 2. przeprowadza dowód twierdzenia Pitagorasa 5

3. stosuje twierdzenia o związkach miarowych podczas rozwiązywania zadań, które wymagają przeprowadzenia dowodu 4. rozwiązuje zadania wymagające uzasadnienia i dowodzenia z zastosowaniem twierdzenia Talesa i twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa 5. stosuje własności podobieństwa figur podczas rozwiązywania zadań problemowych oraz zadań wymagających przeprowadzenia dowodu 6. stosuje własności czworokątów podczas rozwiązywania zadań, które wymagają przeprowadzenia dowodu 7. rozwiązuje zadania o znacznym stopniu trudności dotyczące przystawania i podobieństw figur oraz związków miarowych z zastosowaniem trygonometrii VII. GEOMETRIA ANALITYCZNA 1. oblicza odległość punktów w układzie współrzędnych 2. wyznacza współrzędne środka odcinka, mając dane współrzędne jego końców 3. oblicza odległość punktu od prostej 4. wyznacza środek i promień okręgu, mając jego równanie 5. opisuje równaniem okrąg o danym środku i przechodzący przez dany punkt 6. oblicza pole figury stosując zależności między okręgami stycznymi w prostych przypadkach 7. określa, ile punktów wspólnych mają prosta i okrąg przy danych warunkach 8. opisuje koło w układzie współrzędnych 9. sprawdza, czy punkt należy do danego okręgu (koła) 10. podaje, w prostych przypadkach, geometryczną interpretację rozwiązania układu nierówności stopnia drugiego 11. sprawdza, czy wektory mają ten sam kierunek i zwrot 12. wykonuje działania na wektorach 13. stosuje działania na wektorach do badania współliniowości punktów 14. wyznacza współrzędne punktów w danej jednokładności 15. wyznacza współrzędne punktów w danej symetrii osiowej lub środkowej 16. rozpoznaje figury osiowosymetryczne i środkowosymetryczne 1. określa, ile punktów wspólnych mają prosta i okrąg przy danych warunkach 2. oblicza pole figury stosując zależności między okręgami stycznymi 3. podaje geometryczną interpretację rozwiązania układu nierówności stopnia drugiego 4. stosuje działania na wektorach do podziału odcinka 5. wyznacza równanie symetralnej odcinka 6. wyznacza równanie prostej zawierającej wysokość trójkąta 7. określa wzajemne położenie dwóch okręgów 8. rozwiązuje graficznie i algebraicznie proste układy równań drugiego stopnia 1. stosuje własności stycznej do okręgu do rozwiązywania zadań 2. stosuje wzory na odległość między punktami i środek odcinka do rozwiązywania zadań dotyczących równoległoboków 3. sprawdza, czy dane równanie jest równaniem okręgu 4. wyznacza równanie okręgu opisanego na trójkącie o danych współrzędnych 5. stosuje równanie okręgu w zadaniach 6. rozwiązuje graficznie i algebraicznie układy równań drugiego stopnia 7. zaznacza w układzie współrzędnych zbiór punktów płaszczyzny, których współrzędne spełniają podane warunki 1. stosuje układy równań drugiego stopnia do rozwiązywania zadań z geometrii analitycznej 2. stosuje działania na wektorach oraz ich interpretację geometryczną w zadaniach 3. opisuje układem nierówności przedstawiony podzbiór płaszczyzny 4. stosuje własności jednokładności w zadaniach 5. wyznacza wartość parametru tak, aby równanie opisywało okrąg 1. wyprowadza wzór na odległość punktu od prostej 2. wykorzystuje działania na wektorach do dowodzenia twierdzeń 3. rozwiązuje zadania z geometrii analitycznej o znacznym stopniu trudności 6

VIII. WIELOMIANY Ocenę dopuszczającąotrzymuje uczeń, który: 1. podaje przykłady wielomianów, określa ich stopień i podaje wartości ich współczynników 2. zapisuje wielomian w sposób uporządkowany 3. oblicza wartość wielomianu dla danego argumentu; sprawdza, czy dany punkt należy do wykresu danego wielomianu 4. wyznacza sumę, różnicę, iloczyn wielomianów i określa ich stopień 5. szkicuje wykres wielomianu będącego sumą jednomianów stopnia pierwszego i drugiego 6. określa stopień iloczynu wielomianów bez wykonywania mnożenia 7. podaje współczynnik przy najwyższej potędze oraz wyraz wolny iloczynu wielomianów, bez wykonywania mnożenia wielomianów 8. oblicza wartość wielomianu dwóch (trzech) zmiennych dla danych argumentów 9. rozkłada wielomian na czynniki, stosując metodę grupowania wyrazów i wyłączania wspólnego czynnika poza nawias 10. dzieli wielomian przez dwumian x a 11. sprawdza poprawność wykonanego dzielenia 12. zapisuje wielomian w postaci w ( x) = p( x) q( x) + r 13. sprawdza podzielność wielomianu przez dwumian x a bez wykonywania dzielenia 14. wyznacza pierwiastki wielomianu i podaje ich krotność, mając dany wielomian w postaci iloczynowej 15. znając stopień wielomianu i jego pierwiastek, bada, czy wielomian ma inne pierwiastki oraz określa ich krotność 16. rozwiązuje proste równania wielomianowe 1. stosuje wzory na kwadrat i sześcian sumy i różnicy oraz wzór na różnicę kwadratów do wykonywania działań na wielomianach oraz do rozkładu wielomianu na czynniki 2. stosuje wzory na sumę i różnicę sześcianów 3. określa, które liczby mogą być pierwiastkami całkowitymi lub wymiernymi wielomianu 4. sprawdza, czy dana liczba jest pierwiastkiem wielomianu i wyznacza pozostałe pierwiastki 5. wyznacza punkty przecięcia się wykresu wielomianu i prostej 6. szkicuje wykres wielomianu, mając daną jego postać iloczynową 7. dobiera wzór wielomianu do szkicu wykresu 8. rozwiązuje nierówności wielomianowe, korzystając ze szkicu wykresu lub wykorzystując postać iloczynową wielomianu 9. opisuje wielomianem zależności dane w zadaniu i wyznacza jego dziedzinę 1. wyznacza współczynniki wielomianu, mając dane warunki 2. stosuje wielomiany wielu zmiennych w zadaniach różnych typów 3. rozkłada wielomian na czynniki możliwie najniższego stopnia 4. stosuje rozkład wielomianu na czynniki w zadaniach różnych typów 5. analizuje i stosuje metodę podaną w przykładzie, aby rozłożyć dany wielomian na czynniki 6. sprawdza podzielność wielomianu przez wielomian ( x p)( x q) bez wykonywania dzielenia 7. wyznacza iloraz danych wielomianów 8. wyznacza resztę z dzielenia wielomianu, mając określone warunki 9. porównuje wielomiany 10. szkicuje wykres wielomianu, wyznaczając jego pierwiastki 11. stosuje nierówności wielomianowe do wyznaczenia dziedziny funkcji zapisanej za pomocą pierwiastka 12. wykonuje działania na zbiorach określonych nierównościami wielomianowymi 13. rozwiązuje zadania z parametrem n n 1 a 1= ( a 1)( a +... + 1) 1. stosuje wzór: 2. rozwiązuje zadania z parametrem dotyczące pierwiastków wielokrotnych 3. rozwiązuje równania i nierówności wielomianowe 4. opisuje za pomocą wielomianu objętość lub pole powierzchni bryły oraz określa dziedzinę powstałej w ten sposób funkcji 1. rozwiązuje zadania z parametrem, o podwyższonym stopniu trudności, dotyczące wyznaczania reszty z dzielenia wielomianu przez np. wielomian stopnia drugiego 2. stosuje równania i nierówności wielomianowe do rozwiązywania zadań praktycznych 7

3. przeprowadza dowody twierdzeń dotyczących wielomianów, np. twierdzenia Bézouta, twierdzenia o pierwiastkach całkowitych i wymiernych wielomianów 4. stosuje schemat Hornera przy dzieleniu wielomianów IX. FUNKCJE WYMIERNE 1. wskazuje wielkości odwrotnie proporcjonalne i stosuje taką zależność do rozwiązywania prostych zadań 2. wyznacza współczynnik proporcjonalności 3. podaje wzór proporcjonalności odwrotnej, znając współrzędne punktu należącego do wykresu a 4. szkicuje wykres funkcji f ( x) = (w prostych przypadkach także w podanym zbiorze), gdzie a 0 i podaje x jej własności (dziedzinę, zbiór wartości, przedziały monotoniczności) a 5. przesuwa wykres funkcji f ( x) =, gdzie a 0 o wektor i podaje jej własności x a 6. podaje współrzędne wektora, o jaki należy przesunąć wykres funkcji f ( x) =, gdzie a 0, aby otrzymać x a wykres g ( x) = + q x p 7. dobiera wzór funkcji do jej wykresu 5. wyznacza dziedzinę prostego wyrażenia wymiernego 6. oblicza wartość wyrażenia wymiernego dla danej wartości zmiennej 7. rozwiązuje proste równania wymierne Ocenę dostatecznąotrzymuje uczeń, który ponadto: 1. przekształca wzór funkcji homograficznej do postaci kanonicznej w prostych przypadkach 2. wyznacza asymptoty wykresu funkcji homograficznej 3. skraca i rozszerza wyrażenia wymierne 4. wykonuje działania na wyrażeniach wymiernych w prostych przypadkach i podaje odpowiednie założenia 5. rozwiązuje, również graficznie, proste nierówności wymierne 6. wykorzystuje wyrażenia wymierne do rozwiązywania prostych zadań tekstowych 7. wyznacza ze wzoru dziedzinę i miejsce zerowe funkcji wymiernej 8. stosuje własności wartości bezwzględnej do rozwiązywania prostych równań i nierówności wymiernych 1. rozwiązuje zadania tekstowe, stosując proporcjonalność odwrotną 2. wyznacza równania osi symetrii i współrzędne środka symetrii hiperboli opisanej równaniem 3. przekształca wzór funkcji homograficznej do postaci kanonicznej 4. szkicuje wykresy funkcji homograficznych i określa ich własności 5. rozwiązuje proste równania i nierówności wymierne 1. wyznacza wzór funkcji homograficznej spełniającej podane warunki 2. rozwiązuje zadania z parametrem dotyczące funkcji homograficznej 3. szkicuje wykresy funkcji y = f (x), y = f ( x ), y = f ( x ), gdzie y = f (x) jest funkcją homograficzną i opisuje ich własności 4. wykonuje działania na wyrażeniach wymiernych i podaje odpowiednie założenia 5. przekształca wzory, stosując działania na wyrażeniach wymiernych 6. rozwiązuje równania i nierówności wymierne 7. rozwiązuje układy nierówności wymiernych 8. wykorzystuje wyrażenia wymierne do rozwiązywania trudniejszych zadań tekstowych 9. rozwiązuje zadania z parametrem dotyczące funkcji wymiernej 10. stosuje własności wartości bezwzględnej do rozwiązywania równań i nierówności wymiernych 11. zaznacza w układzie współrzędnych zbiory punktów spełniających określone warunki 1. stosuje własności hiperboli do rozwiązywania zadań 2. stosuje funkcje wymierne do rozwiązywania zadań z parametrem o podwyższonym stopniu trudności 8

X. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE 1. zaznacza kąt w układzie współrzędnych, wskazuje jego ramię początkowe i końcowe 2. wyznacza wartości funkcji trygonometrycznych kąta, gdy dane są współrzędne punktu leżącego na jego końcowym ramieniu 3. określa znaki funkcji trygonometrycznych danego kąta 4. określa, w której ćwiartce układu współrzędnych leży końcowe ramię kąta, mając dane wartości funkcji trygonometrycznych 5. wykorzystuje funkcje trygonometryczne do rozwiązywania prostych zadań 6. zamienia miarę stopniową na łukową i odwrotnie 7. odczytuje okres podstawowy funkcji na podstawie jej wykresu 8. szkicuje wykresy funkcji trygonometrycznych w danym przedziale i określa ich własności 9. oblicza wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych, znając wartość funkcji sinus lub cosinus 10. rozwiązuje proste równania i nierówności trygonometryczne 11. posługuje się tablicami lub kalkulatorem do wyznaczenia kąta, przy danej wartości funkcji trygonometrycznej 1. wykorzystuje funkcje trygonometryczne do rozwiązywania zadań 2. oblicza wartości funkcji trygonometrycznych szczególnych kątów, np.: 90, 120, 135, 225 3. szkicuje wykresy funkcji trygonometrycznych, stosując przesunięcie o wektor i określa ich własności 4. szkicuje wykresy funkcji trygonometrycznych, stosując symetrię względem osi układu współrzędnych oraz symetrię względem początku układu współrzędnych i określa ich własności 5. y = af (x) y = szkicuje wykresy funkcji oraz f (x) y = f (x), gdzie jest funkcją trygonometryczną i określa ich własności 6. stosuje tożsamości trygonometryczne 7. dowodzi proste tożsamości trygonometryczne, podając odpowiednie założenia 8. wyznacza wartości funkcji trygonometrycznych kątów z zastosowaniem wzorów na funkcje trygonometryczne sumy i różnicy kątów 9. stosuje wzory na funkcje trygonometryczne kąta podwojonego 10. wyznacza wartości funkcji trygonometrycznych danych kątów z zastosowaniem wzorów redukcyjnych 11. rozwiązuje równania i nierówności trygonometryczne 1. oblicza wartości funkcji trygonometrycznych szczególnych kątów, np.: 90, 315, 1080 2. stosuje funkcje trygonometryczne do rozwiązywania zadań 3. oblicza wartości funkcji trygonometrycznych dowolnych kątów 4. wyznacza kąt, mając daną wartość jednej z jego funkcji trygonometrycznych 5. szkicuje wykres funkcji okresowej 6. stosuje okresowość funkcji do wyznaczania jej wartości 7. wykorzystuje własności funkcji trygonometrycznych do obliczenia wartości tej funkcji dla danego kąta 8. oblicza wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych, znając wartość funkcji tangens lub cotangens 1. szkicuje wykresy funkcji f (ax) y = oraz f ( x ) y =, gdzie y = f (x) jest funkcją trygonometryczną i określa ich własności 2. na podstawie wykresów funkcji trygonometrycznych szkicuje wykresy funkcji, będące efektem wykonania kilku operacji oraz określa ich własności 3. 4. stosuje wzory na funkcje trygonometryczne kąta podwojonego do przekształcania wyrażeń, w tym również do uzasadniania tożsamości trygonometrycznych 5. stosuje związki między funkcjami trygonometrycznymi do rozwiązywania trudniejszych równań i nierówności trygonometrycznych 1. wyprowadza wzory na funkcje trygonometryczne sumy i różnicy kątów oraz na funkcje kąta podwojonego 2. rozwiązuje zadania o znacznym stopniu trudności dotyczące funkcji trygonometrycznych XI. CIĄGI 1. wyznacza kolejne wyrazy ciągu, gdy danych jest kilka jego początkowych wyrazów 2. szkicuje wykres ciągu 9

3. wyznacza wzór ogólny ciągu, mając danych kilka jego początkowych wyrazów 4. wyznacza początkowe wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym oraz ciągu określonego rekurencyjnie 5. wyznacza, które wyrazy ciągu przyjmują daną wartość 6. podaje przykłady ciągów monotonicznych, których wyrazy spełniają dane warunki 7. uzasadnia, że dany ciąg nie jest monotoniczny, mając dane jego kolejne wyrazy 8. podaje przykłady ciągów arytmetycznych 9. wyznacza wyrazy ciągu arytmetycznego, mając dany pierwszy wyraz i różnicę 10. stosuje średnią arytmetyczną do wyznaczania wyrazów ciągu arytmetycznego 11. sprawdza, czy dany ciąg jest arytmetyczny (proste przypadki) 12. oblicza sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego 13. podaje przykłady ciągów geometrycznych 14. wyznacza wyrazy ciągu geometrycznego, mając dany pierwszy wyraz i iloraz 15. wyznacza wzór ogólny ciągu geometrycznego, mając dane dowolne dwa jego wyrazy 16. sprawdza, czy dany ciąg jest geometryczny (proste przypadki) 17. oblicza sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego 18. bada na podstawie wykresu, czy dany ciąg ma granicę i w przypadku ciągu zbieżnego podaje jego granicę 19. rozpoznaje ciąg rozbieżny na podstawie wykresy i określa, czy ma on granicę niewłaściwą, czy nie ma granicy 1. bada, w prostszych przypadkach, monotoniczność ciągu 2. bada monotoniczność sumy i różnicy ciągów 3. wyznacza wyraz an+ 1 ciągu określonego wzorem ogólnym 4. wyznacza wzór ogólny ciągu będącego wynikiem wykonania działań na danych ciągach w prostych przypadkach 5. wyznacza wzór ogólny ciągu arytmetycznego, mając dane dowolne dwa jego wyrazy 6. oblicza wysokość kapitału przy różnym okresie kapitalizacji 7. oblicza, oprocentowanie lokaty i okres oszczędzania (proste przypadki) 8. bada, ile wyrazów danego ciągu jest oddalonych od liczby o podaną wartość oraz ile jest większych (mniejszych) od danej wartości (proste przypadki) 1 9. n q podaje granicę ciągów dla q ( 1;1) k oraz n dla k > 0 10. oblicza, granice ciągów, korzystając z twierdzeń o granicach ciągów zbieżnych i rozbieżnych (proste przypadki) n 11. podaje twierdzenie o rozbieżności ciągów: q dla q> 0 oraz n k dla k> 0 12. sprawdza, czy dany szereg geometryczny jest zbieżny 13. oblicza sumę szeregu geometrycznego w prostych przypadkach Ocenę dobrąotrzymuje uczeń, który ponadto: 1. wyznacza wzór ogólny ciągu spełniającego podane warunki 2. bada monotoniczność ciągów 3. rozwiązuje proste zadania ze wzorem rekurencyjnym ciągu 4. sprawdza, czy dany ciąg jest arytmetyczny 5. sprawdza, czy dany ciąg jest geometryczny 6. rozwiązuje równania z zastosowaniem wzoru na sumę wyrazów ciągu arytmetycznego i geometrycznego 7. wyznacza wartości zmiennych tak, aby wraz z podanymi wartościami tworzyły ciąg arytmetyczny i geometryczny 8. stosuje średnią geometryczną do rozwiązywania zadań 9. określa monotoniczność ciągu arytmetycznego i geometrycznego 10. rozwiązuje zadania związane z kredytami dotyczące okresu oszczędzania i wysokości oprocentowania Ocenę bardzo dobrąotrzymuje uczeń, który ponadto: 1. rozwiązuje zadania o podwyższonym stopniu trudności związane ze wzorem rekurencyjnym ciągu 2. rozwiązuje zadania z parametrem dotyczące monotoniczności ciągu 3. bada monotoniczność iloczynu i ilorazu ciągów 4. stosuje własności ciągu arytmetycznego i geometrycznego w zadaniach 5. stosuje wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego w zadaniach 6. bada, ile wyrazów danego ciągu jest oddalonych od liczby o podaną wartość oraz ile jest większych (mniejszych) od danej wartości 7. oblicza, granice ciągów, korzystając z twierdzeń o granicach ciągów zbieżnych i rozbieżnych 8. stosuje wzór na sumę szeregu geometrycznego do rozwiązywania zadań, również osadzonych w kontekście praktycznym 10

9. rozwiązuje zadania o podwyższonym stopniu trudności dotyczące ciągów, w szczególności monotoniczności ciągu 10. oblicza granice ciągów, korzystając z twierdzenia o trzech ciągach XII. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY 1. uzasadnia w prostych przypadkach, że funkcja nie ma granicy w punkcie 2. oblicza granice funkcji w punkcie, korzystając z twierdzeń o granicach (proste przypadki) 3. oblicza granice jednostronne funkcji w punkcie (proste przypadki) 4. oblicza granice niewłaściwe jednostronne w punkcie i granice w punkcie (proste przypadki) 5. oblicza granice funkcji w nieskończoności (proste przypadki) 6. wyznacza równania asymptot pionowych i poziomych wykresu funkcji (proste przypadki) 7. oblicza pochodną funkcji w punkcie, korzystając z definicji (proste przypadki) 8. korzysta ze wzorów (c)' = 0, (x)' = 1, (x 2 )' = 2x oraz (x 3 )' = 3x 2 do wyznaczenia funkcji pochodnej oraz wartości pochodnej w punkcie 9. podaje ekstremum funkcji, korzystając z jej wykresu 1. sprawdza ciągłość nieskomplikowanych funkcji w punkcie 2. oblicza pochodną funkcji w punkcie, korzystając z definicji 3. stosuje interpretację geometryczną pochodnej funkcji w punkcie do wyznaczenia współczynnika kierunkowego stycznej do wykresu funkcji w punkcie i oblicza kąt, jaki ta styczna tworzy z osią OX (proste przypadki) 4. stosuje pochodną do wyznaczenia prędkości oraz przyspieszenia poruszających się ciał (proste przypadki) 5. korzysta, w prostych przypadkach, z własności pochodnej do wyznaczenia przedziałów monotoniczności funkcji 6. wyznacza ekstrema funkcji stosując warunek konieczny istnienia ekstremum 7. uzasadnia, że dana funkcja nie ma ekstremum (proste przypadki) 8. wyznacza najmniejszą i największą wartość funkcji w przedziale domkniętym i stosuje do rozwiązywania prostych zadań 9. zna i stosuje schemat badania własności funkcji 10. szkicuje wykres funkcji na podstawie jej własności (proste przypadki) 1. uzasadnia, także na odstawie wykresu, że funkcja nie ma granicy w punkcie. 2. uzasadnia, że dana liczba jest granicą funkcji w punkcie 3. oblicza granicę funkcji y = f (x) w punkcie 4. oblicza granice funkcji w punkcie, stosując własności granic funkcji sinus i cosinus w punkcie 5. oblicza granice w punkcie, także niewłaściwe 6. stosuje twierdzenie o związku między wartościami granic jednostronnych w punkcie a granicą funkcji w punkcie 7. oblicza w granice funkcji w nieskończoności 8. oblicza pochodną funkcji w punkcie 9. korzysta ze wzorów (x n )' = nx n 1 dla C \{0} pochodnej oraz wartości pochodnej w punkcie 10. wyznacza przedziały monotoniczności funkcji n i x 0 oraz ( x ) 1 ' = dla x 0 do wyznaczenia funkcji 2 x 1. wyznacza równania asymptot pionowych i poziomych wykresu funkcji 2. sprawdza ciągłość funkcji 3. wyznacza wartości parametrów, dla których funkcja jest ciągła w danym punkcie lub zbiorze 4. stosuje twierdzenie o przyjmowaniu wartości pośrednich oraz twierdzenie Weierstrassa 5. stosuje interpretację geometryczną pochodnej funkcji w punkcie do wyznaczenia współczynnika kierunkowego stycznej do wykresu funkcji w punkcie i oblicza kąt, jaki ta styczna tworzy z osią OX 6. uzasadnia istnienie pochodnej w punkcie 7. wyprowadza wzory na pochodną sumy i różnicy funkcji 8. uzasadnia monotoniczność funkcji w danym zbiorze 9. wyznacza wartości parametrów tak, aby funkcja była monotoniczna 11

10. wyznacza ekstrema funkcji stosując warunek konieczny i wystarczający istnienia ekstremum 11. uzasadnia, że funkcja nie ma ekstremum 12. wyznacza najmniejszą i największą wartość funkcji w przedziale domkniętym i stosuje do rozwiązywania trudniejszych zadań w tym optymalizacyjnych 13. bada własności funkcji i szkicuje jej wykres 1. wyprowadza wzory na pochodną iloczynu i ilorazu funkcji 2. rozwiązuje zadania o podwyższonym stopniu trudności dotyczące rachunku różniczkowego XIII. PLANIMETRIA 1. podaje i stosuje wzory na długość okręgu, długość łuku, pole koła i pole wycinka koła 2. rozpoznaje kąty wpisane i środkowe w okręgu oraz wskazuje łuki, na których są one oparte 3. stosuje, w prostych przypadkach, twierdzenie o kącie środkowym i wpisanym, opartych na tym samym łuku oraz twierdzenie o kącie między styczną a cięciwą okręgu 4. rozwiązuje zadania dotyczące okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny 5. rozwiązuje zadania związane z okręgiem opisanym na trójkącie prostokątnym lub równoramiennym 6. określa własności czworokątów i stosuje je do rozwiązywania prostych zadań 1. określa własności czworokątów i stosuje je do rozwiązywania zadań 2. sprawdza, czy w dany czworokąt można wpisać okrąg 3. sprawdza, czy na danym czworokącie można opisać okrąg 4. stosuje twierdzenie o okręgu opisanym na czworokącie i wpisanym w czworokąt do rozwiązywania prostszych zadań także o kontekście praktycznym 5. stosuje twierdzenie sinusów do wyznaczenia długości boku trójkąta, miary kąta lub długości promienia okręgu opisanego na trójkącie 6. stosuje twierdzenie cosinusów do wyznaczenia długości boku lub miary kąta trójkąta 1. stosuje twierdzenie o kącie środkowym i wpisanym, opartych na tym samym łuku oraz twierdzenie o kącie między styczną a cięciwą okręgu do rozwiązywania zadań o większym stopniu trudności 2. rozwiązuje zadania związane z okręgiem wpisanym w dowolny trójkąt i opisanym na dowolnym trójkącie 3. stosuje własności środka okręgu opisanego na trójkącie w zadaniach z geometrii analitycznej 4. stosuje różne wzory na pole trójkąta i przekształca je 1. stosuje własności czworokątów wypukłych oraz twierdzenia o okręgu opisanym na czworokącie i wpisanym w czworokąt do rozwiązywania trudniejszych zadań z planimetrii 2. stosuje twierdzenie sinusów i cosinusów do rozwiązywania trójkątów także o kontekście praktycznym 1. dowodzi twierdzenia dotyczące kątów w okręgu 2. dowodzi wzory na pole trójkąta 3. dowodzi twierdzenia dotyczące okręgu wpisanego w wielokąt 4. przeprowadza dowód twierdzenia sinusów i twierdzenia cosinusów 5. rozwiązuje zadania o podwyższonym stopniu trudności dotyczące zastosowania twierdzenia sinusów i cosinusów XIV. FUNKCJE WYKŁADNICZE I LOGARYTMICZNE Ocenę dopuszczającą otrzymuje uczeń, jeśli: 1. umie obliczać wartości potęgi 2. wykonuje proste działania na potęgach o wykładniku, naturalnym, całkowitym i wymiernym 3. oblicza potęgi o wykładnikach wymiernych 4. umie obliczać pierwiastki arytmetyczne i stosować twierdzenia dotyczące pierwiastków 5. zapisuje pierwiastki dowolnego stopnia w postaci potęgi o wykładniku wymiernym 6. oblicza pierwiastek n-tego stopnia z liczby nieujemnej 7. zapisuje daną liczbę w postaci potęgi o wykładniku wymiernym 8. zapisuje daną liczbę w postaci potęgi o danej podstawie 12

9. upraszcza wyrażenia, stosując prawa działań na potęgach w prostych przypadkach 10. szkicuje wykres funkcji potęgowej najprostsze przykłady 11. szkicuje wykres funkcji wykładniczej najprostsze przykłady 12. zna definicję logarytmu i oblicza logarytm danej liczby 13. zna własności logarytmów 14. określa dziedzinę funkcji logarytmicznej w najprostszych przypadkach 15. szkicuje wykres funkcji logarytmicznej najprostsze przykłady Ocenę dostateczną otrzymuje uczeń, który dodatkowo: 12. wykonuje działania na potęgach o wykładniku wymiernym 13. szkicuje wykresy funkcji potęgowych, wykładniczych, logarytmicznych i z wykresu odczytuje ich własności 14. wyznacza wzór funkcji wykładniczej lub logarytmicznej i szkicuje jej wykres, znając współrzędne punktu należącego do jej wykresu 15. szkicuje wykres funkcji wykładniczej i logarytmicznej, stosując przesunięcie o wektor i określa jej własności 16. szkicuje wykres funkcji, będący efektem jednego przekształcenia wykresu funkcji wykładniczej lub logarytmicznej i określa jej własności 17. stosuje definicje logarytmu w prostych obliczeniach 18. stosuje twierdzenia o logarytmach do obliczania wartości wyrażeń z logarytmami 19. stosuje własności logarytmów w prostych obliczeniach 20. zamienia podstawę danego logarytmu na inną, wskazaną 21. rozwiązuje proste równania i nierówności wykładnicze oraz logarytmiczne Ocenę dobrą otrzymuje uczeń, który dodatkowo: 22. upraszcza wyrażenia, stosując prawa działań na potęgach 23. porównuje liczby przedstawione w postaci potęg 24. szkicuje wykresy funkcji wykładniczej lub logarytmicznej otrzymane w wyniku złożenia kilku przekształceń 25. przekształca wykresy funkcji potęgowej, wykładniczej, logarytmicznej wzdłuż osi OX i OY oraz w przesunięciu o wektor 26. rozwiązuje równania wykładnicze i logarytmiczne, korzystając z różnowartościowości funkcji wykładniczej 27. rozwiązuje nierówności wykładnicze i logarytmiczne, korzystając z monotoniczności funkcji wykładniczej Ocenę bardzo dobrą otrzymuje uczeń, który dodatkowo: 1. określa dziedzinę funkcji logarytmicznych 2. wykorzystuje własności funkcji wykładniczej i logarytmicznej do rozwiązywania zadań o kontekście praktycznym 3. stosuje wykresy funkcji logarytmicznych do rozwiązywania zadań, w tym również do ustalenia liczby rozwiązań równania w zależności od parametru 4. rozwiązuje równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne Ocenę celującą otrzymuje uczeń, który dodatkowo: 1. dowodzi twierdzenia dotyczące logarytmów 2. wykorzystuje wiadomości o funkcji wykładniczej i logarytmicznej w rozwiązywaniu trudniejszych zadań praktycznych z różnych dziedzin życia 3. wykorzystuje twierdzenie o zmianie podstawy logarytmu w zadaniach na dowodzenie 4. rozwiązuje zadania o znacznym stopniu trudności dotyczące funkcji wykładniczej i logarytmicznej XV. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą jeśli: 1. podać przykłady eksperymentów losowych i zapisać ich wyniki 2. wymienić zdarzenia elementarne w prostych doświadczeniach losowych 3. podać liczbę zdarzeń elementarnych w prostych doświadczeniach losowych 4. określić zdarzenie jako podzbiory zbioru zdarzeń elementarnych w tym zdarzenie niemożliwe i pewne 5. przedstawia drzewo ilustrujące zbiór wyników danego doświadczenia w prostych sytuacjach 13

6. stosuje definicję silni 7. oblicza liczbę permutacji elementów danego zbioru w prostych sytuacjach 8. oblicza liczbę wariacji bez powtórzeń w prostych sytuacjach 9. oblicza liczbę wariacji z powtórzeniami w prostych sytuacjach 10. stosuje symbol Newtona w prostych obliczeniach 11. określa zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych typowego doświadczenia 12. określa zbiór zdarzeń elementarnych sprzyjających danemu zdarzeniu losowemu 13. określa zdarzenia przeciwne, zdarzenia niemożliwe i zdarzenia pewne dla typowych doświadczeń 14. stosuje klasyczną definicję prawdopodobieństwa do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń losowych w prostych, typowych sytuacjach 15. oblicza prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego Uczeń otrzymuje ocenę dostateczną, jeśli dodatkowo: 1. stosuje regułę mnożenia i dodawania w typowych sytuacjach 2. przedstawia drzewo ilustrujące zbiór wyników danego doświadczenia 3. oblicza liczbę permutacji elementów danego zbioru 4. oblicza liczbę wariacji bez powtórzeń 5. oblicza liczbę wariacji z powtórzeniami 6. stosuje symbol Newtona 7. określa zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych danego doświadczenia 8. określa zbiór zdarzeń elementarnych sprzyjających danemu zdarzeniu losowemu 9. określa zdarzenia przeciwne, zdarzenia niemożliwe i zdarzenia pewne 10. stosuje klasyczną definicję prawdopodobieństwa do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń losowych 11. podaje rozkład prawdopodobieństwa dla rzutów kostką lub monetą 12. stosuje twierdzenie o prawdopodobieństwie sumy zdarzeń w prostych sytuacjach 13. stosuje własności prawdopodobieństwa do rozwiązywania zadań w prostych sytuacjach 14. oblicza prawdopodobieństwo zdarzeń z zastosowaniem drzewa 15. potrafi określić zdarzenia niezależne 16. zbadać niezależność określonych dwóch zdarzeń 17. obliczać prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń niezależnych i ich sumy Uczeń otrzymuje ocenę dobrą jeśli dodatkowo: 1. wykorzystuje kombinatorykę do obliczania liczby zdarzeń losowych 2. zapisuje zdarzenia w postaci sumy, iloczynu oraz różnicy zdarzeń 3. oblicza prawdopodobieństwa zdarzeń losowych, stosując klasyczną definicję prawdopodobieństwa 4. stosuje własności prawdopodobieństwa do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń 5. obliczyć liczbę kombinacji, wariacji i permutacji stosując wzory 6. obliczać zadania z zastosowaniem prawdopodobieństwa warunkowego 7. podać wzór na prawdopodobieństwo całkowite i stosować go do obliczania prawdopodobieństw 8. zilustrować prawdopodobieństwo całkowite za pomocą drzewa 9. obliczyć prawdopodobieństwo całkowite na podstawie sytuacji przedstawionej drzewem Uczeń otrzymuje ocenę bardzo dobrą, jeśli dodatkowo: 1. wykorzystuje kombinatorykę do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń losowych 2. podaje podstawowe własności symbolu Newtona 3. stosuje twierdzenia o prawdopodobieństwie sumy zdarzeń 4. stosuje wzór na prawdopodobieństwo całkowite w zadaniach tekstowych Uczeń otrzymuje ocenę celującą, jeśli dodatkowo: 1. rozwiązuje zadania o znacznym stopniu trudności dotyczące prawdopodobieństwa 2. przeprowadza dowody twierdzeń dotyczących prawdopodobieństwa zdarzeń XVI. STATYSTYKA Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą jeśli: odczytuje dane statystyczne z tabeli, diagramów i wykresów porównuje dane w tabelach i diagramach oblicza średnią arytmetyczną, wyznacza medianę i dominantę dla kilku danych oblicza wariancję i odchylenie standardowe dla kilku danych oblicza średnią ważoną liczb z podanymi wagami Uczeń otrzymuje ocenę dostateczną, jeśli dodatkowo: sporządzać diagram słupkowy i kołowy 14

oblicza średnią arytmetyczną i stosuje tę umiejętność w prostych zadaniach oblicza średnią arytmetyczną, wyznacza medianę i dominantę danych przedstawionych na diagramie oblicza wariancję i odchylenie standardowe oblicza średnią ważoną liczb z podanymi wagami Uczeń otrzymuje ocenę dobrą, jeśli dodatkowo: 1. oblicza średnią arytmetyczną, wyznacza medianę i dominantę danych przedstawionych na diagramie 2. wykorzystuje średnią arytmetyczną, medianę, dominantę i średnią ważoną do rozwiązywania zadań 3. oblicza wariancję i odchylenie standardowe zestawu danych przedstawionych w tabeli przy użyciu kalkulatora Uczeń otrzymuje ocenę bardzo dobrą, jeśli dodatkowo: 1. analizuje i interpretuje dane statystyczne Uczeń otrzymuje ocenę celującą, jeśli dodatkowo: 1. rozwiązuje zadania o znacznym stopniu trudności dotyczące statystyki XVII. STEREOMETRIA Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą, jeśli: 1. rozpoznaje bryły 2. wskazuje w wielościanach proste prostopadłe, równoległe i skośne 3. wskazuje w wielościanach rzut prostokątny danego odcinka 4. określa liczbę ścian, wierzchołków i krawędzi graniastosłupów i ostrosłupów 5. sporządza rysunek wielościanu wraz z oznaczeniami 6. oblicza pola powierzchni bocznej i całkowitej graniastosłupów i ostrosłupów w prostych przypadkach 7. rysuje siatkę graniastosłupa lub ostrosłupa prostego, mając dany jej fragment 8. oblicza długości przekątnych graniastosłupów prostych w prostych przypadkach 9. stosuje definicje i własności funkcji trygonometrycznych do obliczania pól powierzchni graniastosłupów i ostrosłupów w prostych sytuacjach 10. oblicza objętości graniastosłupów i ostrosłupów prawidłowych 11. wskazuje kąt między przekątną graniastosłupa a płaszczyzną podstawy tego graniastosłupa 12. wskazuje kąt między danym odcinkiem w ostrosłupie a płaszczyzną podstawy tego ostrosłupa 13. wskazuje kąt między sąsiednimi ścianami wielościanów 14. oblicza pola powierzchni i objętości brył obrotowych w prostych sytuacjach 15. wyznacza skalę podobieństwa brył podobnych Uczeń otrzymuje ocenę dostateczną, jeśli: 1. potrafi obliczyć pole powierzchni i objętość brył stosując tw. Pitagorasa 2. potrafi obliczyć pole powierzchni i objętość czworościanu foremnego oraz ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, gdy podane są długości ich krawędzi, 3. potrafi przekształcać wzory związane z polem powierzchni i objętością wielościanów i brył obrotowych 4. stosuje definicje i własności funkcji trygonometrycznych do obliczania pól powierzchni graniastosłupów i ostrosłupów w prostych sytuacjach 5. rozpoznaje wielościany foremne na podstawie siatki lub modelu 6. opisuje podstawowe przekroje płaskie graniastosłupów, ostrosłupów i brył obrotowych Uczeń otrzymuje ocenę dobrą dodatkowo: 1. przeprowadza wnioskowania dotyczące położenia prostych w przestrzeni 2. stosuje i przekształca wzory na pola powierzchni i objętości wielościanów 3. oblicza pola powierzchni i objętości wielościanów z zastosowaniem funkcji trygonometrycznych i twierdzeń planimetrii 4. wyznacza, w trudniejszych przypadkach, kąt między danym odcinkiem w ostrosłupie a płaszczyzną podstawy tego ostrosłupa 5. rozwiązuje, w trudniejszych przypadkach, zadania z wykorzystaniem miary kąta między prostą a płaszczyzną 6. oblicza miarę kąta dwuściennego między ścianami wielościanu 7. oblicza pola powierzchni i objętości brył obrotowych z zastosowaniem funkcji trygonometrycznych i twierdzeń planimetrii 8. wykorzystuje podobieństwo brył do rozwiązywania zadań Uczeń otrzymuje ocenę bardzo dobrą, jeśli dodatkowo: 1. potrafi wyprowadzić wzór na objętość czworościanu foremnego, ostrosłupa prawidłowego trójkątnego, 15