Danel Iskra Unwersye Ekonomczny w Kaowcach MAKSYMALNY OCZEKIWANY CZAS PRZEBYWANIA PORTFELA INWESTYCYJNEGO W ZADANYM OBSZARZE BADANIA EMPIRYCZNE Wprowadzene Wraz z rozwojem eor nwesycj fnansowych, nwesorzy orzymal wele narzędz umożlwających rozwązane zadana wyboru opymalnej srukury porfela nwesycyjnego (zgodne z zadaną funkcją celu) [Alexander, 28; Bayrakar, Young, 21; Markowz, 1991; Rockafellar, Uryasev, 2; Wlmo, 26]. Proponowane w pracy modele służące do wyznaczana opymalnego porfela operają sę na marach arakcyjnośc lub marach ryzyka zwązanego z daną nwesycją [Czernk, Iskra, 212; Iskra, 211; Rockafellar, Uryasev, 2]. W częśc z nch funkcja celu jes kombnacją ych mar [Markowz, 1991]. W arykule poddano równeż analze zadane wyboru opymalnej srukury porfela ze względu na maksymalny oczekwany czas przebywana w zadanym obszarze [Bayrakar, Young, 21]. 1. Czas przebywana Czas przebywana (ang. occupaon me) [Bayrakar, Young, 21; Ca, Chen, Wan, 21; Darlng, Kac, 1957] T ( A ) procesu X w obszarze A defnuje sę nasępująco [Pechl, 1999]: T ( A ) = 1 ( X ds, (1) AS s ) gdze: 1 X A 1 A ( X ) = funkcja charakerysyczna zboru, X A
54 Danel Iskra A obszar, dla kórego wyznaczamy czas przebywana procesu X, kszał obszaru może być sały lub zależeć od czasu (deermnsyczne lub losowo). Czas przebywana jes procesem losowym, kórego warość zależy od procesu podsawowego X zadanego obszaru A. Ponższy rys. przedsawa poglądowo czas przebywana dla przykładowej realzacj procesu X obszaru A = (, ).,6,4 proces X czas przebywana,2,2,4,6,8 1 1,2 1,4 -,2 -,4 Rys. 1. Wykres warośc przykładowego procesu X oraz czasu przebywana T w obszarze A = (, ) Jeżel proces X byłby np. procesem sopy zwrou nsrumenu fnansowego, o w powyższym przykładze czas przebywana określałby, jak długo w horyzonce czasu [, ] sopa zwrou byłaby dodana. Jak zaznaczono powyżej, obszar A może być zależny od czasu zarówno deermnsyczne, jak sochasyczne. Na rys. 2 przesawono przykład z obszarem ogranczonym przez nny proces sochasyczny Y, A = (Y, Y +,2).
Maksymalny oczekwany czas przebywana porfela nwesycyjnego... 55,6,4 proces X czas przebywana grance obszaru,2,2,4,6,8 1 1,2 1,4 -,2 -,4 Rys. 2. Wykres warośc przykładowego procesu X oraz czasu przebywana T A = (Y, Y +,2) w obszarze Czas przebywana jes procesem nemalejącym ogranczonym przez horyzon nwesycj [Czernk, w druku]. Wysępuje w welu pracach o emayce ekonomcznej, jednak zdecydowana wększość odnos sę do nsrumenów pochodnych [Ca, Chen, Wan, 21; Sharp, Johnson, Newon, Duck, 29]. W analze porfelowej welkość jaką jes czas przebywana wysępuje sporadyczne [Bayrakar, Young, 21]. W arykule rozparywano względny czas przebywana: 1 1 WT ( A ) = T ( A ) = 1A ( X s ) ds S, (2) czyl odseek czasu przebywana (w zadanym obszarze) w danym horyzonce. W przeprowadzonych badanach wyznaczano aką srukurę porfela, dla kórej oczekwany względny czas przebywana w zadanym obszarze jes maksymalny. W ym celu, w perwszej kolejnośc należy określć obszar (A ), w kórym przebywane procesu cen nsrumenu fnansowego będze pożądane (lub newskazane, jeżel konsruujemy marę ryzyka oparą na czase przebywana). Należy akże wybrać horyzon nwesycj, dla kórego będze wyznaczany względny czas przebywana. Do oszacowana warośc oczekwanej względnego czasu przebywana rzeba znać jego rozkład eoreyczny lub empryczny (w badanach użyo rozkładów emprycznych), co w ym drugm przypadku oznacza koneczność podzału całego horyzonu nwesycj na częśc, a nasępne wyznaczene
56 Danel Iskra względnego czasu przebywana dla każdej z nch. Z ak uzyskanego rozkładu względnego czasu przebywana można oszacować jego warość oczekwaną, a w konsekwencj dobrać ak skład porfela, aby była ona maksymalna. 2. Badana empryczne W przeprowadzonych badanach esymację warośc oczekwanej oparo na rozkładze emprycznym względnego czasu przebywana. W symulacjach użyo spółek wchodzących w skład ndeksu S&P1, noowanych pomędzy począkem 2 r. a końcem 211 r. Do badań weszły 83 spółk. Cały okres 11 la podzelono na dn (sesyjne) dla każdego dna wyznaczono względny czas przebywana w zadanym obszarze. Baza danych zawerała noowana mnuowe; jeżel dla jakejś mnuy noowane ne wysąpło, uzupełnano lukę noowanem z mnuy poprzednej (w en sposób wszyske spółk posadały w każdym dnu yle samo noowań). Opsywanych luk w noowanach mnuowych było newele, średno około 97% wszyskch noowań wysępowało w odsępach mnuowych, około 2% mało odsępy dwumnuowe, pozosałe 1% noowań mogło wysąpć z dłuższym przerwam. Uzupełnene brakujących noowań w poszczególnych spółkach pozwolło na usprawnene oblczeń, wyelmnowano bowem przypadk, w kórych część spółek wchodzących w skład porfela mogła być w danej mnuce noowana, a część ne. Względny czas przebywana w wybranym obszarze zlczano na podsawe warośc porfela (wyznaczanych co mnuę) znajdujących sę w zadanym obszarze w sosunku do wszyskch noowań z danego dna. W wersj cągłej można opsany przypadek porównać do skokowego procesu losowego, kóry ne zmena swojej warośc co najmnej przez mnuę. W obecnej częśc arykułu zosane opsana konsrukcja obszaru A. W badanach obszar mógł zmenać sę ylko w kolejnych dnach był defnowany na podsawe perwszej warośc porfela z danego dna: A = [ P, ), (3) gdze: P warość począkowa porfela w -ym dnu, numer dna (ndeks czasu zasąpono kolejnym numeram dn). Opsana powyżej konsrukcja obszaru oznacza, ż w każdym dnu wyznaczano czas przebywana procesu warośc porfela ponad jego warość począkową (z danego dna). Warośc porfela w każdym dnu normowano dzeląc je przez
Maksymalny oczekwany czas przebywana porfela nwesycyjnego... 57 jego warość począkową (z danego dna). Po unormowanu warośc porfela, obszar A dla każdego dna jes jednakowy: A = [ 1, ). (4) Ponżej przedsawono przykładowy hsogram względnego czasu przebywana dla porfela, w skład kórego weszły spółk (po jednej akcj każda): Amazon.com (AMZN), Allegheny Technologes (ATI), Csco Sysems (CSCO), Dell (DELL), Inernaonal Busness Machnes Corporaon (IBM). Częsość 8 7 6 5 4 3 2 1,5,15,25,35,45,55,65,75,85,95 Względny czas przebywana Rys. 3. Przykładowy hsogram względnego czasu przebywana Z powyższego hsogramu wynka, ż w przyoczonym przykładze bardzo częso warość porfela była w cągu dna cały czas nad jego waroścą począkową (lub była jej równa). Przypadk, w kórych warość porfela bardzo szybko spadała ponżej jego warośc począkowej przez pozosałą część dna była od nej nższa są równe częse. Pozosałe odsek czasu przebywana ne różną sę znaczne mędzy sobą. W przeprowadzonych badanach konsruowano porfele nwesycyjne, w skład kórych mogło wejść pęć losowo wybranych spółek. W symulacjach auor sosował sraegę kup rzymaj, co oznacza, że raz usalony skład loścowy porfela (zn. sała lość akcj) ne zmenał sę w badanym okrese. Wcześnejsze unormowane warośc porfela unezależna go od jego warośc począkowej. Urzymane sałego sosunku lośc akcj poszczególnych spółek w porfelu gwaranuje, że szereg unormowanych warośc porfela zawsze jes ak sam, a warość porfela w usalonym momence czasu można dowolne skalować. W ym
58 Danel Iskra celu wysarczy lość akcj poszczególnych spółek przemnożyć przez odpowedn skalar, wyznaczony adekwane do warośc porfela, kórą chcemy orzymać. Oczywśce podejśce ake wymusza założene o podzelnośc nsrumenów fnansowych. W badanach rozważano so różnych porfel o losowo dobranych spółkach mogących wejść w ch skład. Zadbano, aby w żadnym porfelu ne powórzyło sę ych samych pęć spółek. Nasępne wyznaczano aką srukurę loścową dla każdego porfela, aby warość oczekwana względnego czasu przebywana w zadanym obszarze była maksymalna. W perwszej kolejnośc sprawdzono prognosyczne własnośc czasu przebywana, dokładnej średnch warośc względnego czasu przebywana. W ym celu w symulacjach okres z noowanam podzelono na dwe częśc: od począku 2 r. do końca 26 r. oraz od począku 27 r. do końca 211 r. W perwszym okrese opymalzowano srukurę porfela (zgodne z opsaną procedurą) ze względu na oczekwany względny czas przebywana, naomas w kolejnym okrese esymowano oczekwany względny czas przebywana dla wyznaczonego opymalnego składu porfela (z częśc perwszej). Symulacje wykazały, że oszacowany maksymalny oczekwany względny czas przebywana dla opymalnych porfel jes z zakresu,496-,562. Średna odchylene sandardowe polczone dla su porfel (z maksymalnych warośc średnch względnego czasu przebywana) wynoszą odpowedno:,527,14, co oznacza, że w opymalnych porfelach w cągu dna średno około 53% czasu proces warośc porfela jes powyżej lub równy warośc począkowej (z danego dna). W przypadku drugej częśc badanego okresu (laa 27-211) w porfelach urzymywano wyznaczoną srukurę (sałe lośc akcj). Obecne średn względny czas przebywana dla porfel jes pomędzy waroścam,445,578. Średna odchylene sandardowe wynoszą odpowedno:,517,27. Sprawdzono soność różnc pomędzy waroścam średnm względnego czasu przebywana porfel, oszacowanym odpowedno na podsawe perwszej drugej częśc badanego okresu. W pracy użyo esu sonośc dla dwóch średnch w przypadku neznanych odchyleń sandardowych z pozomem sonośc,5 (ze saysyką opsaną rozkładem -Sudena). W 83% przypadków ne zaobserwowano sonych różnc pomędzy nm, co oznacza dużą zgodność prognoz. Należy zaznaczyć, że cały horyzon mał 11 la. W ak długm okrese zaszło wele zman na rynku (np. nedawny kryzys), co mogło meć wpływ na różnce pomędzy średnm względnym czasem przebywana wyznaczonym na podsawe perwszego badanego okresu a średnm względnym czasem przebywana dla ych samych porfel (en sam skład) oszacowanym w okrese drugm. Skrócono zaem horyzon czasu do dwóch la: 21-211. Okres en podzelono na poszczególne laa powórzono symulację. Obecne esy ne wykazały sonych różnc w 95% przypadków. Na podsawe orzymanych wynków można
Maksymalny oczekwany czas przebywana porfela nwesycyjnego... 59 uznać, ż prognozy oczekwanego względnego czasu przebywana wykazują wysoką zgodność. W kolejnych symulacjach wyznaczano opymalną srukurę porfel (ze względu na maksymalny oczekwany względny czas przebywana) na podsawe całego badanego okresu (ak jak poprzedno rozparzono so porfel pęcoskładnkowych o losowo dobranym składze). W obecnych badanach maksymalny średn względny czas przebywana porfel meśc sę pomędzy waroścam,5,56. Średna odchylene sandardowe polczone dla porfel (z maksymalnych warośc średnch względnego czasu przebywana) wynoszą odpowedno:,526,14. Dla porównana przeprowadzono podobne symulacje, w kórych lość akcj spółek dla ych samych porfel jes wyznaczana ak, aby każda spółka mała równy udzał w porfelu na począku badanego okresu (w perwszym dnu) po 2% równeż ne zmenano srukury porfela przez cały badany okres. W ym przypadku oczekwany względny czas przebywana meśc sę pomędzy waroścam,49 a,53, jego średna odchylene sandardowe o odpowedno:,58,9. Obrazowo wynk z obu przypadków przedsawono na rys. 4, kóry pokazuje lość porfel o względnym czase przebywana z danego przedzału (długość każdego przedzału wynos,5, perwszy przedzał o (,485;,49)): porfele o równym udzale opymalne porfele 3 25 Ilość porfel 2 15 1 5,47,48,49,5,51,52,53,54,55,56,57 Względny czas przebywana Rys. 4. Ilość porfel o względnym czase przebywana z danego przedzału Wysępujące różnce ne są duże, sąd eż zasadne będze przeprowadzene esów na soność różnc pomędzy oczekwanym względnym czasem przebywana w porfelu opymalnym jego odpowednku, w kórym spółk mały równy udzał. W ym celu użyo esu sonośc dla dwóch średnch w przypadku
6 Danel Iskra neznanych odchyleń sandardowych z pozomem sonośc,5. Wykorzysano wersję jednosronną przyoczonego esu, sprawdzając czy średn względny czas przebywana opymalnego porfela jes sone wększy od średnego względnego czasu przebywana wyznaczonego dla porfel o równych udzałach. Isone różnce zaobserwowano w 43 przypadkach. Konfronując orzymane wynk z wynkam perwszych symulacj, należy zaznaczyć, że duża zgodność posawonych wcześnej prognoz oczekwanego czasu przebywana pownna być porakowana z dysansem. Obecne symulacje wykazały bowem, że część rozparywanych porfel (opymalnych o równych udzałach) ne wykazuje sonych różnc pomędzy średnm względnym czasam przebywana, pommo że zawerały różne lośc akcj poszczególnych spółek. Podsumowane W pracy esymowano oczekwany względny czas przebywana warośc porfela nwesycyjnego powyżej (lub równej) warośc począkowej z danego dna. Obszar użyy w symulacjach był ogranczony z dołu przez sałą warość, a rozkład względnego czasu przebywana wyznaczano empryczne. Kolejnym eapem może być ogranczene obszaru, np. funkcją zależną od czasu (rend) lub procesem sochasycznym (np. waroścam nnego nsrumenu). Czas przebywana może posłużyć do konsrukcj zarówno mar arakcyjnośc (jak w proponowanym arykule), jak mar ryzyka (np. oparych na rozkładze czasu przebywana w nepożądanym obszarze). Leraura Alexander C., 28: Marke Rsk Analsys: Value a Rsk Models. Vol. IV. John Wley & Sons, England. Bayrakar E., Young V.R., 21: Opmal Invesmen Sraegy o Mnmze Occupaon Tme. Annals of Operaons Research, 176. Ca N., Chen N., Wan X., 21: Occupaon Tmes of Jump-Dffuson Processes wh Double Exponenal Jumps and he Prcng of Opons. Mahemacs of Operaons Research, Vol. 35, No. 2. Czernk T., Iskra D., 212: Maxmal Loss and Value a Rsk. Porfolo analyss a comparson. W: Mehemacal, Economercal and Compuer Mehods n Fnance and Insurance 21. Red. A.S. Barczak, T. Węgrzyn. Wydawncwo Unwersyeu Ekonomcznego, Kaowce.
Maksymalny oczekwany czas przebywana porfela nwesycyjnego... 61 Czernk T., w druku: Occupaon Tme Poenal Applcaons. Geomerc Brownan Moon Case. Polske Towarzyswo Ekonomczne, Kaowce. Darlng D.A., Kac M., 1957: On occupaon mes for Markoff processes. Transacons of AMS, 84. Iskra D., 211: Opymalny porfel nwesycyjny ze względu na warość zagrożoną. Weryfkacja modelu. W: Meody maemayczne Ekonomeryczne Kompuerowe w Fnansach Ubezpeczenach 29. Red. A.S. Barczak, S. Barczak. Wydawncwo Unwersyeu Ekonomcznego, Kaowce. Markowz H.M., 1991: Porfolo Selecon. Basl Blackwell. Pechl A., 1999, Dsrbuons of Occupaon Tmes of Brownan Moon wh Drf. Journal of Appled Mahemacs & Decson Scences, 3(1). Rockafellar R.T., Uryasev S., 2: Opmzaon of Condonal Value a Rsk. The Journal of Rsk, Vol. 2, No. 3. Sharp N.J., Johnson P.V., Newon D.P., Duck P.W., 29: A New Prepaymen Model (wh Defaul): An Occupaon-me Dervave Approach. Journal of Real Esae Fnance of Economcs, 39. Wlmo P., 26: Paul Wlmo on Quanave Fnance. John Wley & Sons, Chcheser. MAXIMUM EXPECTED OCCUPATION TIME OF THE INVESTMENT PORTFOLIO IN THE CERTAIN AREA EMPIRICAL RESEARCH Summary Wh he developmen of he heory of fnancal nvesmens, nvesors have receved a lo of ools for solvng he problem of choosng he opmal porfolo srucure. In he paper, he auhor analyzed he ask of choosng he opmal srucure of he porfolo wh he maxmum average of occupaon me n he ceran area.