Matriały dydatyczn d ćwicznia T Caratrytyi wytrzymałściw rzrjów ntrucyjnyc. Wydru ltrniczny 8. lajdów na 9. trnac rzznaczny dla tudntów II ru tudiów tacjnarnyc na Wydz. Inżynirii Mcanicznj i Rtyi, irun Inżyniria Mcatrniczna, grua w ru aadmicim 7/8 utr lajdów: Mar Płacn, dr a. inż.. Wydział Inżynirii Mcanicznj i Rtyi GH Katdra Wytrzymałści, Zmęcznia Matriałów i Kntrucji -mail: lacn@ag.du.l Zatrzżnia autri. Slajdy tanwią rzdmit rawa autrig rślng w Utawi rawi autrim i rawac rwnyc (z. U. 99 r. Nr z.8 z óźn. zmianami).. utr ni wyraża zgdy na inn wyrzytywani ninijzyc lajdów niż dan w ic rzznaczniu. Caratrytyi wytrzymałściw rzrjów ntrucyjnyc.. Pdtaww jęcia: ręt: mdl gmtryczny lmntów ntrucyjnyc, tór najczęścij wymagają analizy wytrzymałściwj, dfinicja gmtryczna ręta: ryła, tóra ma długść znaczni więzą d innyc wymiarów tj ryły, utwrzna rzz figurę łaą wut rucu jj śrda ciężści wzdłuż wnj linii w tai ó, ż figura łaa jt rtadła d tj linii na całj długści ryły, rzrój ręta: figura łaa z dfinicji gmtrycznj ręta, ś ręta: linia z dfinicji gmtrycznj ręta.
. Paramtry gmtryczn (aramtry) rzrjów rzcznyc ręta, najczęścij liczan l rzrju: wirzcnia rzrju wyłnina matriałm ręta, śrd ciężści rzrju: unt rzrju, w tórym rzcinają ię główn cntraln i zwładnści tg rzrju (GCOB), iwy włany mmnt zwładnści rzrju: mmnt zwładnści rzrju liczny względm rślnj GCOB tg rzrju, igunwy włany mmnt zwładnści rzrju: uma dwu iwyc włanyc mmntów zwładnści rzrju.. Paramtry dwuymtrycznyc rzrjów rętów Przrj dwuymtryczn mają c najmnij dwi i ymtrii, n. rzrj łw, wadratw, rtątn i inn. Każdy z tyc rzrjów ma śrd ciężści w unci rzcięcia ię i ymt- rii, a ażda z nic jt główną cntralną ią zwładnści (GCOB) rzrju dwuymtryczng. Oiw włan mmnty zwładnści taic rzrjów ą, licza ię za mcą wzrów:. la rzrju łwg: Jφ = π d 6 (),. la rzrju wadratwg: J = a (),. la rzrju rtątng względm tj i ymtrii, tóra J = rzcina :. la rzrju rtątng względm tj i ymtrii, tóra J = rzcina : (), ().
. Paramtry ztałtwyc rzrjów rętów Przrj ztałtw, t rzrj rętów utniczyc nazwac: cwnii, ątwnii, dwutwnii, twnii, ztwnii it.: Paramtry rzrjów ztałtwyc, w tym wirzcnia, dlgłści x, y rawędzi taig rzrju d jg GCOB raz włan mmnty zwładnści,, ą dawan w rzdmitwyc nrmac wyrów utniczyc. Wyi z nrmy PN-H-9: dla cwnia C: mm mm 75,, 9 8 5. Paramtry rzrjów złżnyc Przrj złżn ą twrzn z figur łaic mającyc wj aramtry rśln rzz dtęn wzry lu nrmy, n. dla wyrów utniczyc. Stwan w ntrucjac mcanicznyc rzrj złżn ą zwyl jdnymtryczn, tzn. mają jdnj i ymtrii. Pniważ ą t rzrj ntrucyjn wzcni twan, wymaga ię d ażdg alwnta WIMiR, ay umiał amdzilni liczać aramtry wytrzymałściw taic rzrjów.
6. Orślani aramtrów rzrju jdnymtryczng mtdą 6 ciu rów. Srządzić zaln talicy dla zadang rzrju.. Na lani zadang rzrju narywać rtątny uład i x, y lu x, y ta, ay ś x lu y rywała ię z ią ymtrii tg rzrju, a dwidnia z i y lu x rywała ię z jg zwnętrzną rawędzią dlną lu lwą. Ta narywana na lani jw. ś x lu y jt GCOB zadang rzrju, a dwiadająca jj ś y lu x jt ią mcniczą.. Wiać d talicy zadang rzrju t jg aramtry, tór mżna ył dczytać z lanu tg rzrju, liczyć z dtęnyc wzrów, ądź wyiać z właściwyc nrm.. la rzrju jw. frmułwać równani mmntów tatycznyc, liczyć z tg równania niznany aramtr rślający - względm rawędzi zadang rzrju - łżni drugij GCOB, narywać na lani rzrju jg drugą GCOB raz liczyć i wiać d talicy jw. aramtry tj i. 5. Oliczyć iwy główny cntralny mmnt zwładnści zadang rzrju względm jg i ymtrii i wiać uzyany wyni d talicy jw. 6. Oliczyć główny cntralny mmnt zwładnści zadang rzrju dtyczący GCOB ni ędącj ią ymtrii tg rzrju i wiać uzyany wyni d talicy jw. la zadang rzrju jdnymtryczng, tóry ma lan ja na ry.. (z wymiarami w mm), rślić łżni GCOB względm dlnj i lwj rawędzi tg rzrju raz liczyć jg główn cntraln mmnty zwładnści. 7. Przyład liczniwy nr - tmat Prtąt ryu J 7.. Kr zaln talicy rzrju x Kł twru φx Przrój (zadany) J y φ d J φ φy c c L m,,, J, J ljn, wirzcnia, długści ów i iw mmnty zwładnści włan rtąta ryu, x, y dlgłści i ymtrii rtąta ryu d GCOB zadang rzrju,, d, J φ φ ljn, wirzcnia, śrdnica raz iwy mmnt zwładnści włany dla ła twru,, φx φy dlgłść i ymtrii ła twru d GCOB zadang rzrju,, c, c L ljn, wirzcnia i dlgłści d zwnętrznyc rawędzi zadang rzrju jg GCOB, dwidni d rawędzi dlnj i lwj,, iw główn cntraln mmnty zwładnści zadang rzrju.
7.. Przyład nr - r liczniwy Narywać na lani zadang rzrju (ry..) uład rtątny i: x, y gdy ś ymtrii rzrju znaczy ię rzz x, x, y gdy ś ymtrii rzrju znaczy ię rzz y. P wynaniu ru, lan zadang rzrju (ry..) uzyuj tać ja na ry.. 7.. Przyład nr - r liczniwy Wiać d talicy zadang rzrju t aramtry, tór mżna dczytać z lanu tg rzrju, liczyć z dtęnyc wzrów ądź wyiać z właściwyc nrm. 5 P wynaniu ru, talica zadang rzrju wygląda natęując: 6 Prtąt ryu 8,5 J 5 J 7, x y m φ,6 Kł twru,6, d d = J =, J =, φ =, Jφ =, - φ. 6 π 8, π = d J φ φx φy Przrój (zadany) c c L 7.. Przyład nr - r liczniwy la zadang rzrju frmułwać równani mmntów tatycznyc, liczyć z tg równania niznany aramtr rślający - względm rawędzi zadang rzrju - łżni drugij GCOB, narywać na lani rzrju jg drugą GCOB raz liczyć i wiać d talicy jw. aramtry tj i. Równani mmntów tatycznyc frmułuj ię wg dwu zaad:. Ilczyn wirzcni zadang rzrju i jg niznanyc dla ażdj z figur łaic zada- Suma mmntów tatycznyc liczng aramtru c lu c L = ng rzrju względm i x lu y.. Mmnt tatyczny figury łaij na lani zadang rzrju licza ię względm i x lu y ja ilczyn wirzcni tj figury i dlgłści jj GCOB d tj i. Ilczynwi rzyiuj ię zna lu, gdy wirzcnia figury jt wyłnina matriałm, natmiat zna minu - gdy ta ni jt. c c Sφ Na tj dtawi, rzrój z ry.. ma równani mmntów tatycznyc: L ( y ) =,5 6,7, S = ( y ) ( 5,5 ) = 7,8, raz L = S = φ ( y ) + S ( y ), L φ = 8, c,, w tórym dtawiniu: uzya ię: c L,7 y = cl -,5 =,5, φy = cl - =,7. 5
7.5. Przyład nr - r liczniwy 5 Oliczyć iwy główny cntralny mmnt zwładnści (OGCMB) zadang rzrju względm jg i ymtrii, czym wiać uzyany wyni d talicy tg rzrju. W gólnym rzyadu, tai mmnt zwładnści licza ię ja wyni algraiczng umwania czątwyc mmntów zwładnści włanyc, licznyc dla zczgólnyc figur zadang rzrju względm taij i, tóra jt równczśni ią ymtrii ażdj z tyc figur raz zadang rzrju - rzy czym - ładnim umy dtyczącym figur z matriału nalży rzyiać zna minu. W rzyadu rzrju ja na ry.., OGCMB tg rzrju względm jg i ymtrii jt aramtr znaczny ja w talicy tg rzrju: 5 6 Prtąt ryu J J x 8,5 5 7, y m,5 φ,6 Kł twru φx d J φ,6 φy,7 Przrój (zadany) c c L 8,,7 tóry mżna liczyć natęując: J = 5,6 =, x = J Jφ. 7.6. Przyład nr - r liczniwy 6 Oliczyć wartść OGCMB zadang rzrju względm jg GCOB ni ędącj ią ymtrii tg rzrju. W gólnym rzyadu, tai mmnt zwładnści licza ię równiż ja wyni algraiczng umwania czątwyc mmntów zwładnści dtyczącyc zczgólnyc figur zadang rzrju - al - licznyc z wyrzytanim tzw. twirdznia Stinra. T twirdzni, w części rzydatnj dla rzrjów jdnymtrycznyc, ma trść: Jżli J v jt wartścią OGCMB figury łaij, liczną względm jj GCOB znacznj ja v, t: iwy mmnt zwładnści J u tj figury względm innj i u, tóra: jt równlgła d i v, rziga w dlgłści d i v, lży w łazczyźni figury, jt wyrażny rzz zalżnść: Ju = Jv + F, w tórj: F wirzcnia figury. 6
7.6. Przyład nr - r liczniwy 6 ciąg dalzy W rzyadu rzrju ja na ry.., iwym głównym cntralnym mmntm zwładnci (OGCMB) tg rzrju względm jg głównj cntralnj i zwładnści (GCOB) ni ędącj ią ymtrii tg rzrju, jt aramtr znaczny rzz w talicy tg rzrju: 5 6 Prtąt ryu J J x 8,5 5 7, y m,5 φ,6 Kł twru φx d J φ,6 φy,7 Przrój (zadany) c c L 8,,7, OGCMB zadang rzrju ja na ry.., względm jg głównj cntralnj i zwładnści (GCOB) ni ędącj ią ymtrii tg rzrju, nalży liczyć za mcą wzru: Jy = J + y P ( Jφ + φy φ ), z tórg, dtawiniu aramtrów zadang rzrju dczytanyc z jg talicy, trzymuj ię: (,6 +,7,6) = 7, 9,. J = 7,+,5 5 68, y Knic rzyładu nr la zadang rzrju jdnymtryczng, tóry ma lan ja na ry.. (z wymiarami w mm), rślić łżni GCOB względm dlnj i lwj rawędzi tg rzrju raz liczyć jg OGCMB. c 8. Przyład liczniwy nr - tmat 8.. Kr zaln talicy rzrju Cwni Prtąt Przrój (zadany) J c J c cx cy J J x y c c L Wyi z nrmy PN-H-9: dla cwnia C mm mm 5,55 F,5 6 9, Oznacznia aramtrów rzrju cwnia wg nrmy: x, y, F,, - ljn: GCOB, wirzcnia raz OGCMB rzrju cwnia, dlgłść rawędzi rzrju cwnia d jg GCOB ni ędącj ią ymtrii tg cwnia, Oznacznia aramtrów rzrju cwnia w talicy: Talica Nrma c F cx ni ma cy ni ma J c J c cx, cy dlgłści GCOB cwnia d GCOB zadang rzrju. 7
8.. Przyład nr - r liczniwy Narywać na lani zadang rzrju (ry..) uład rtątny i: x, y gdy ś ymtrii rzrju znaczy ię rzz x, x, y gdy ś ymtrii rzrju znaczy ię rzz y. P wynaniu ru, lan zadang rzrju (ry..) uzyuj tać ja na ry.. 8.. Przyład nr - r liczniwy Wiać d talicy zadang rzrju t aramtry, tór mżna dczytać z lanu tg rzrju, liczyć z dtęnyc wzrów ądź wyiać z właściwyc nrm. P wynaniu ru, talica zadang rzrju wygląda natęując: Cwni Cx Cy C J C J C Prtąt x y J J Zadany rzrój c c L 5,55,5 6 9,,7 8,7 7 7,5 =, J =, J =, = c +. 8.. Przyład nr - r liczniwy la zadang rzrju frmułwać równani mmntów tatycznyc, liczyć z tg równania niznany aramtr rślający - względm rawędzi zadang rzrju - łżni drugij GCOB, narywać na lani rzrju jg drugą GCOB, liczyć i wiać d talicy aramtry tj i. Ilczyn wirzcni zadan g rzrju i jg niznang aramtru c Równani mmntów tatycznyc = Suma mmntów tatycznyc licznyc dla ażdj z figur łaic zadang rzrju względm i x lu y. Na tj dtawi, rzrój z ry.. ma równani mmntów tatycznyc: c = S + c c ( x ) S ( x ), ( X ) = c,9, S = w tórym dtawiniu: ( x ) = ( +,5 ) 77, S = c = 7,5 c,, uzya ię : c,6, raz: cx x = c -, = +,5 c,9. Paramtry c, cx raz x nalży wiać d talicy zadang rzrju. 8
8.5. Przyład nr - r liczniwy 5 Oliczyć iwy główny cntralny mmnt zwładnści (OGCMB) zadang rzrju względm jg i ymtrii, czym wiać uzyany wyni d talicy tg rzrju. W rzyadu rzrju ja na ry.., OGCMB tg rzrju względm jg i ymtrii jt aramtr znaczny ja w talicy tg rzrju: Cwni Cx Cy C J C J C Prtąt x y J J Zadany rzrój c c L 5,55,5 6 9,,9,7 8,7,6 7 7,5 tóry mżna liczyć natęując: J = J + J = 6 + 8,7 =,7 y c. 7 8.6. Przyład nr - r liczniwy 6 Oliczyć wartść OGCMB zadang rzrju względm jg GCOB ni ędącj ią ymtrii tg rzrju. W rzyadu rzrju ja na ry.., iwym głównym cntralnym mmntm zwładnci (OGCMB) tg rzrju względm jg głównj cntralnj i zwładnści (GCOB) ni ędącj ią ymtrii tg rzrju, jt aramtr znaczny rzz w talicy tg rzrju: 5 Cwni Cx Cy C J C J C,55,5 6 9, Prtąt x y,9 J,7 J 8,7 c,6 Zadany rzrój c L 7 7,5,7 Tn aramtr nalży liczyć z wyrzytanim twirdznia Stinra, tj. z wzru: J x = J c + cx c + J + x, J = 9, +,5 +,7 +,9 = 8, + 5,7 5. x z tórg, dtawiniu aramtrów zadang rzrju dczytanyc z jg talicy, trzymuj ię: Knic rzyładu nr 9