Praca inżynierska. 27 GeV w ramach eksperymentu STAR

Politechnika Warszawska Wydział Fizyki Praca inżynierska Opracowanie metody do wyznaczenia parametrów modelu Therminator w zderzeniach jonów złota przy energiach s NN = 7.7, 19.6 oraz 27 GeV w ramach eksperymentu STAR Development of a method to determine the parameters of the model Therminator in collisions of gold ions at energies s NN = 7.7, 19.6 and 27 GeV in the STAR experiment Autor: Krzysztof Brzeziński 237 935 Opiekun naukowy: dr inż. Hanna Zbroszczyk WARSZAWA 2014 1

2

Oświadczenie o samodzielności wykonania pracy Politechnika Warszawska Wydział Fizyki Ja, niżej podpisany/a: Krzysztof Brzeziński, album nr. 237935 student/ka Wydziału Fizyki Politechniki Warszawskiej, świadomy/a odpowiedzialności prawnej oświadczam, że przedłożoną do obrony pracę dyplomową inżynierską pt.: Opracowanie metody do wyznaczenia parametrów modelu Therminator w zderzeniach jonów złota przy energiach NN = 7.7, 19.6 oraz 27 GeV w ramach eksperymentu STAR wykonałem samodzielnie pod kierunkiem Jednocześnie oświadczam, że: dr. Inż. Hanny Zbroszczyk praca nie narusza praw autorskich w rozumieniu ustawy z dnia 4 lutego 1994 o prawie autorskim i prawach pokrewnych, oraz dóbr osobistych chronionych prawem cywilnym, praca nie zawiera danych i informacji uzyskanych w sposób niezgodny z obowiązującymi przepisami, praca nie była wcześniej przedmiotem procedur związanych z uzyskaniem dyplomu lub tytułu zawodowego w wyższej uczelni. promotor pracy jest jej współtwórcą w rozumieniu ustawy z dnia 4 lutego 1994 o prawie autorskim i prawach pokrewnych Oświadczam także, że treść pracy zapisanej na przekazanym nośniku elektronicznym jest zgodna z treścią zawartą w wydrukowanej wersji niniejszej pracy dyplomowej. Warszawa, dnia 29 styczeń 2014 (podpis dyplomanta) 3

4

Oświadczenie o udzieleniu Uczelni licencji do pracy Politechnika Warszawska Wydział Fizyki Ja, niżej podpisany/a: Krzysztof Brzeziński, album nr. 237935 student/ka Wydziału Fizyki Politechniki Warszawskiej, niniejszym oświadczam, że zachowując moje prawa autorskie udzielam Politechnice Warszawskiej nieograniczonej w czasie, nieodpłatnej licencji wyłącznej do korzystania z przedstawionej dokumentacji pracy dyplomowej pt. Opracowanie metody do wyznaczenia parametrów modelu Therminator w zderzeniach jonów złota przy energiach NN = 7.7, 19.6 oraz 27 GeV w ramach eksperymentu STAR w zakresie jej publicznego udostępniania i rozpowszechniania w wersji drukowanej i elektronicznej 1. Warszawa, dnia 29 styczeń 2014 (podpis dyplomanta) 1 Na podstawie Ustawy z dnia 27 lipca 2005 r. Prawo o szkolnictwie wyższym (Dz.U. 2005 nr 164 poz. 1365) Art. 239. oraz Ustawy z dnia 4 lutego 1994 r. o prawie autorskim i prawach pokrewnych (Dz.U. z 2000 r. Nr 80, poz. 904, z późn. zm.) Art. 15a. "Uczelni w rozumieniu przepisów o szkolnictwie wyższym przysługuje pierwszeństwo w opublikowaniu pracy dyplomowej studenta. Jeżeli uczelnia nie opublikowała pracy dyplomowej w ciągu 6 miesięcy od jej obrony, student, który ją przygotował, może ją opublikować, chyba że praca dyplomowa jest częścią utworu zbiorowego." 5

6

Abstract The topic of this thesis is to develop method to determine the input parameters of Therminator model using the data obtained in the experiment. Using this method parameters for Beam Energy Scan energies: = 7.7 GeV, 19.6 GeV and 27 GeV were determined. The first chapter gives a brief introduction to heavy ion collisions. The Standard Model has been described and its elements were characterized. A theory of the strong interactions-quantum chromodynamics was presented. Finally heavy ions collision process and space-time evolution of the resulting system including quark-gluon plasma phase were described. The second chapter contains information about the STAR experiment and RHIC accelerator. STAR detector is described along with its most important elements. In addition, the objectives of the Beam Energy Scan program are shown. The third chapter contains Therminator model description. Model was briefly characterized with regard to the input parameters. It is shown how to operate the model. Also input and output files are presented. The fourth chapter presents data which was used as a model to perform fitting. Then step-by-step progress of work for 27 GeV energy is shown. The fifth chapter provides a summary of the final results for each energy. To the resulting parameters some distributions were matched. This allows to check which values of parameters should be set in the model to obtain any desired collision energy. 7

Streszczenie Treścią niniejszej pracy inżynierskiej jest opracowanie sposobu wyznaczenia parametrów wejściowych modelu Therminator przy wykorzystaniu danych uzyskanych w eksperymencie. Przy wykorzystaniu opisanych metod zostały wyznaczone parametry wejściowe dla energii programu Beam Energy Scan: = 7.7 GeV, 19.6 GeV i 27 GeV. Rozdział pierwszy przedstawia krótkie wprowadzenie do tematyki zderzeń ciężkich jonów. Opisany został Model Standardowy i scharakteryzowane zostały pobieżnie należące do niego elementy. Przedstawiona jest także teoria oddziaływań silnych czyli chromodynamika kwantowa. Pojawia się opis przebiegu zderzenia ciężkich jonów wraz z ewolucją czasową powstałego układu oraz przybliżone jest pojęcie plazmy kwarkowogluonowej. Rozdział drugi zawiera informacje o eksperymencie STAR oraz akceleratorze RHIC na którym jest przeprowadzany eksperyment. Opisane są parametry RHICa oraz przybliżona jest budowa detektora STAR wraz z pobieżnym opisem działania najważniejszych elementów. Poza tym przedstawione zostały cele programu Beam Energy Scan. Rozdział trzeci dotyczy modelu Therminator. Został on krótko scharakteryzowany z uwzględnieniem parametrów wejściowych. Przedstawiono także sposób obsługi modelu. Pokazany i opisany został wejściowy oraz pliki generowane na wyjściu. W rozdziale czwartym przedstawione zostały dane które posłużyły jako wzór do przeprowadzenia dopasowania. Następnie pokazany został krok po kroku przebieg prac dla energii 27 GeV. Rozdział piąty zawiera zestawienie wyników końcowych dla poszczególnych energii. Do uzyskanych parametrów zostały dopasowane pewne rozkłady, co umożliwia sprawdzenie jakie parametry należy ustawić w modelu aby uzyskać dowolną żądaną energię zderzenia. 8

Spis treści Abstract... 7 Streszczenie... 8 Spis rysunków... 10 Motywacja... 12 1 Podstawy teoretyczne... 13 1.1 Model Standardowy... 13 1.2 Chromodynamika kwantowa i plazma kwarkowo-gluonowa... 15 1.3 Zderzenia ciężkich jonów... 16 1.4 Ewolucja układu powstałego w wyniku zderzenia... 16 2 Eksperyment STAR... 19 2.1 Relativistic Heavy Ion Collider (RHIC)... 19 2.2 Detektor STAR... 20 2.3 Program Beam Energy Scan... 21 3 Therminator... 23 3.1 Charakterystyka modelu... 23 3.2 Obsługa modelu... 24 4 Opracowywanie metody wyznaczania parametrów... 27 4.1 Dane wzorcowe... 27 4.2 Oprogramowanie wykorzystane podczas pracy... 28 4.3 Proces dopasowywania parametrów... 29 5 Zestawienie wyników końcowych... 37 5.1 Histogramy przedstawiające najlepsze dopasowania... 37 5.2 Określenie zależności pomiędzy parametrami a energią... 39 5.3 Przykładowe rozkłady dla zderzeń wygenerowanych w Therminatorze... 40 6 Podsumowanie... 47 Bibliografia... 48 Dodatek A: Skrypt ROOT kod źródłowy i opis działania... 49 9

Spis rysunków Rysunek 1 Zestawienie cząstek należących do Modelu Standardowego... 14 źródło: http://www.fromquarkstoquasars.com/wp-content/uploads/2013/12/1161px- Standard_Model_of_Elementary_Particles.svg_.png Rysunek 2 Diagram fazowy chromodynamiki kwantowej... 15 źródło: http://www.bnl.gov/rhic/news/040808/images/story3_fig1_410px.jpg Rysunek 3 Zderzenie dwóch jąder(au) w układzie środka masy... 16 źródło: http://www-np.ucy.ac.cy/hades/physics/auau_2gev_1.gif Rysunek 4 Fazy ewolucji czasowej układu powstałego po zderzeniu... 17 źródło: http://pol.convdocs.org/tw_files2/urls_1/205/d-204113/img1.jpg Rysunek 5 Schemat kompleksu akceleratorów w BNL... 19 źródło: http://cryptome.org/eyeball/bnl/bnl-rhic.gif Rysunek 6 Schemat detektora STAR z wyszczególnionymi ważniejszymi elementami.. 20 źródło: http://www.if.pw.edu.pl/~pluta/hirg/stardet.jpg Rysunek 7 Zakładana lokalizacja punktu krytycznego... 21 źródło: https://inspirehep.net/record/1264538/files/phase_diag.png Rysunek 8 Plik wejściowy modelu Therminator (therminator.in)... 24 Rysunek 9 Fragment pliku wyjściowego modelu Therminator... 25 Rysunek 10 Charakterystyki pędowe dla poszczególnych energii uzyskane z programu BES... 27 Rysunek 11 Zależność parametru T od energii zderzenia... 29 Rysunek 12 Zależność parametru µ B od energii... 30 Rysunek 13 Porównanie danych z BES dla 27 GeV z danymi z Therminatora kiedy, i BWVt mają wartości odpowiadające 200 GeV a T i µ B 27 GeV... 31 Rysunek 14 Zmiana BWVt z 0.311 na 1.00 względem stanu z rys. 13... 32 Rysunek 15 Zmiana z 8.92 na 6.00 względem stanu z rys. 13... 33 Rysunek 16 Zmiana z 8.55 na 12.00 względem stanu z rys. 13... 33 10

Rysunek 17 Porównanie danych z BES i Therminatora dla BWVt=1.55 i =5.50, wartość χ 2 /ndf=9.69... 34 Rysunek 18 Porównanie danych z BES i Therminatora dla BWVt=1.51 i =5.42, wartość χ 2 /ndf=6.05... 35 Rysunek 19 Najlepsze dopasowanie dla energii 7,7 GeV... 37 Rysunek 20 Najlepsze dopasowanie dla energii 19,6 GeV... 38 Rysunek 21 Najlepsze dopasowanie dla energii 27 GeV... 38 Rysunek 22 Rozkład parametru w funkcji energii zderzenia... 39 Rysunek 23 Rozkład parametru BWVt w funkcji energii zderzenia... 40 Rysunek 24 Charakterystyka pędowa (cząstki dodatnie) dla energii 27 GeV... 41 Rysunek 25 Charakterystyka pędowa (cząstki ujemne) dla energii 27 GeV... 42 Rysunek 26 Rozkład pędów poprzecznych dla energii 27 GeV... 43 Rysunek 27 Rozkład promieni poprzecznych dla energii 27 GeV... 44 Rysunek 28 Rozkład rapidity dla energii 27 GeV... 45 11

Motywacja Zderzenia ciężkich jonów to dziedzina która bardzo rozwinęła się w ostatnich kilkunastu latach. Na potrzeby eksperymentów zbudowane zostały akceleratory których długości liczy się w kilometrach (RHIC i LHC), a wiele zespołów fizyków z całego świata specjalizuje się wyłącznie w analizie danych uzyskanych z eksperymentów. Badanie zderzeń ciężkich jonów pozwala nam lepiej zrozumieć budowę materii i cechy jej najdrobniejszych składników. Ekstremalne warunki występujące podczas zderzenia można porównać z tymi, jakie miały miejsce tysięczne sekundy po Wielkim Wybuchu. Przybliża nas to do zrozumienia, dlaczego obecny wszechświat wygląda tak a nie inaczej. Analityczny opis zjawisk zachodzących podczas zderzenia ciężkich jonów wydaje się być niemożliwy, ale powstało wiele modeli starających się w możliwe najbardziej dokładny sposób odtwarzać owe zjawiska. Modele takie okazują się pomocne przy planowaniu przyszłych eksperymentów. Ponadto ułatwiają one znajdowanie ewentualnych błędów w analizie danych eksperymentalnych. Celem niniejszej pracy inżynierskiej było dostosowanie modelu Therminator do energii programu Beam Energy Scan: 7.7 GeV, 19.6 GeV, 27 GeV (dopasowania dla trzech pozostałych energii BES wykonywane były w ramach drugiej równolegle przeprowadzanej pracy inżynierskiej). Zderzenia w modelu tym nie są definiowane poprzez podanie energii wiązki, ale poprzez szereg pewnych parametrów. Możliwe jest jednak jednoznaczne określenie, jakie wartości parametrów odpowiadają poszczególnym energiom. Dodatkowym celem pracy było zbadanie rozkładu znalezionych parametrów w funkcji energii i wyznaczenie parametrów krzywych przybliżających te rozkłady. 12

1 Podstawy teoretyczne 1.1 Model Standardowy Model Standardowy jest teorią opisującą podstawowe składniki materii oraz oddziaływania pomiędzy nimi [1]. Według Modelu Standardowego całą materię we wszechświecie tworzą fermiony, których charakterystyczną cechą jest połówkowy spin. Oddziaływania pomiędzy cząstkami przenoszą natomiast bozony, cechujące się spinem całkowitym. Fermiony-cząstki tworzące materię, możemy dalej podzielić na kwarki i leptony. W sumie mamy 12 fermionów i tyle samo odpowiadających im antycząstek. Leptony charakteryzują się całkowitym ładunkiem elektrycznym (wyrażanym liczbą całkowitą). Do tej grupy zaliczamy elektron, mion i taon, przy czym dwie ostatnie są niestabilne. Cząstki te różnią się masą. Każdej z nich odpowiada obojętne elektrycznie neutrino. Razem mamy 6 leptonów. Kwarki charakteryzują się ładunkami elektrycznymi niecałkowitymi, tzn. -1/3e lub +2/3e (gdzie e to ładunek elektronu). Istnieje 6 kwarków: górny (u), dolny (d), dziwny (s), powabny(c), niski (b), szczytowy (t). W przeciwieństwie do leptonów kwarki nie mogą występować osobno. Przykładami cząstek złożonych z kwarków są proton (uud) lub neutron (udd). Cała materia we wszechświecie składa się z kwarków górnych i dolnych oraz elektronów. Pozostałe cząstki opisywane przez Model obserwuje się w eksperymentach. Oprócz cząstek budujących materię Model Standardowy opisuje także oddziaływania. Cząstki przenoszące oddziaływania nazywamy bozonami, charakteryzują się one spinem całkowitym. Oddziaływania polegają na wymianie bozonów pomiędzy fermionami. Model Standardowy wyróżnia 4 rodzaje oddziaływań: Silne-oddziaływania pomiędzy kwarkami i cząstkami w jądrze atomowym. Polegają na wymianie bezmasowego gluonu. 13

Słabe-ich nośnikami są bozony W +, W - i Z 0. Odpowiada m.in. za rozpad β i rozpad cząstek dziwnych. Elektromagnetyczne-przenoszone przez foton. Zachodzą pomiędzy cząstkami obdarzonymi ładunkiem elektrycznym. W przeciwieństwie do dwóch powyższych typów mają nieskończony zasięg. Przykładami są oddziaływania między cząsteczkami cieczy i gazów lub oddziaływanie jądro-elektron. Grawitacyjne-odziaływanie zachodzące pomiędzy wszystkim cząstkami obdarzonymi masą. Chociaż jest najsłabsze spośród oddziaływań opisywanych przez Model Standardowy, jest dominującym oddziaływaniem we wszechświecie. Przypuszczalnym nośnikiem jest grawiton. Najnowszym zatwierdzonym elementem Modelu Standardowego jest bozon Higgsa, nadający masę innym cząstkom. Jego istnienie było postulowane już od długiego czasu, jednak zostało potwierdzone eksperymentalnie dopiero w roku 2012 dzięki wykorzystaniu Wielkiego Zderzacza Hadronów (LHC). Z odkryciem wiąże się przyznana P. W. Higgsowi oraz F. Englertowi w 2013 roku nagroda nobla w dziedzinie fizyki [2]. Wszystkie cząstki uwzględniane w Modelu Standardowym zestawione są na rys. 1. 14 Rysunek 1 Zestawienie cząstek należących do Modelu Standardowego

1.2 Chromodynamika kwantowa i plazma kwarkowo-gluonowa Jak było wspominane we wcześniejszym rozdziale, kwarki nie występują osobno. Teoria opisująca oddziaływania międzykwarkowe nazywa się chromodynamiką kwantową (ang. Quantum Chromodynamics, w skrócie QCD) [3]. Zgodnie z nią każdy kwark jest obdarzony kolorem - czerwonym, niebieskim lub zielonym. Antykwarki obdarzone sa antykolorami. Cząstki złożone z kwarków są obojętne kolorowo (singlety kolorowe). QCD dopuszcza istnienie dwóch rodzajów cząstek złożonych z kwarków: mezonów i barionów. Bariony składają się z 3 kwarków-czerwonego, niebieskiego i zielonego. Mezony złożone są z dwóch kwarków: kolor i antykolor. Potencjał związany z oddziaływaniami międzykwarkowymi (silnymi) przy niewielkich odległościach ma charakter kulombowski, natomiast przy dużych odległościach rośnie do nieskończoności. Na rys. 2 przedstawiony został stan materii w zależności od temperatury i gęstości (diagram fazowy chromodynamiki kwantowej). Zderzając rozpędzone do relatywistycznych prędkości cząstki możemy doprowadzić do wystąpienia bardzo wysokich temperatur i gęstości. Możliwe staje się zaistnienie stanu nazwanego plazmą kwarkowo-gluonową. W stanie tym kwarki występują jako cząstki swobodne. 15 Rysunek 2 Diagram fazowy chromodynamiki kwantowej

1.3 Zderzenia ciężkich jonów Jedynym sposobem na uzyskanie plazmy kwarkowo-gluonowej w warunkach laboratoryjnych jest zderzanie ciężkich jonów, którym nadano odpowiednie energie. Zderzenia następują przy prędkościach relatywistycznych czego konsekwencją ją jest spłaszczony kształt zderzanych jąder w układzie środka masy (rys. 3). Cząstki które biorą udział w zderzeniu nazywamy uczestnikami, natomiast nie biorące udziału-obserwatorami. Parametr zderzenia to odległość pomiędzy środkami zderzanych jąder. W przypadku kiedy parametr ten osiąga niewielkie wartości, mówimy o zderzeniach centralnych [4]. Rysunek 3 Zderzenie dwóch jąder(au) w układzie środka masy 1.4 Ewolucja układu powstałego w wyniku zderzenia W wyniku zderzenia jonów powstaje układ, w którego ewolucji czasowej możemy wyróżnić kilka etapów (rys. 4). Pomiędzy cząstkami występują zderzenia twarde, gdzie wartości przekazywanych pędów są duże oraz występujące później w czasie zderzenia miękkie, gdzie wartości przekazywanych pędów są znacznie mniejsze. Stan bezpośrednio po zderzeniu nazywamy przedrównowagowym. 16

Następnie układ przechodzi w stan plazmy kwarkowo-gluonowej. Kwarki i gluony występują swobodnie. Stan ten występuje tylko jeśli energia zderzenia była odpowiednio wysoka. Układ ochładza się i rozszerza wraz z upływem czasu, kwarki zaczynają wiązać się w cięższe cząstki (hadronizacja). Etap zachodzi stopniowo, więc pomiędzy fazą plazmy kwarkowo-gluonowej i fazą gazu hadronowego możemy wyróżnić fazę mieszaną. Na końcu następuje wymrożenie chemiczne i termiczne. Wymrożenie chemiczne polega na ustaleniu się składu chemicznego produktów, czyli ustaniu produkcji nowych cząstek (przestają zachodzić procesy nieelastyczne pomiędzy cząstkami), a wymrożenie chemiczne na ustaleniu się charakterystyki kinematycznej (przestają zachodzić procesy elastyczne) [5]. Rysunek 4 Fazy ewolucji czasowej układu powstałego po zderzeniu 17

18

2 Eksperyment STAR 2.1 Relativistic Heavy Ion Collider (RHIC) RHIC jest jednym z dwóch (drugim jest LHC) działających obecnie na świecie zderzaczy ciężkich jonów. Znajduje się na terenie Brookhaven National Laboratory na wyspie Long Island w Stanach Zjednoczonych. Składa się z dwóch niezależnych pierścieni (długości 3,8km), w których rozpędzane są cząstki. W miejscach, gdzie umieszone są detektory, możliwe jest zderzenie przeciwbieżnych cząstek rozpędzanych w pierścieniach. Taki typ zderzenia powoduje, że układ środka masy i układ laboratoryjny są sobie równoważne. Zanim rozpędzane cząstki znajdą się w RHICu, zostają wstępnie przyśpieszone w mniejszych układach (kompleks akceleratorów przedstawia rys. 5). W przypadku ciężkich jonów są to kolejno Generator Van der Graaffa, Booster (50 metrów średnicy) i Aternating Gradient Synchrotron (250 metrów średnicy). Jony przyśpieszone w RHICu uzyskują prędkości do 99,995% prędkości światła i cechują się energiami do 200GeV na nukleon [6]. Na zderzaczu działają na dzień dzisiejszy (2014r.) dwa eksperymenty, STAR i Phenix. 19 Rysunek 5 Schemat kompleksu akceleratorów w BNL

2.2 Detektor STAR The Solenoidal Tracker at RHIC (STAR) jest jednym z dwóch obecnie działających na RHICu detektorów. Ma cylindryczny kształt, przez środek przechodzi jonowód, którym prowadzone są jony. Dookoła znajdują się detektory oraz magnes (rys. 6). Magnes umożliwia zakrzywianie torów ruchu naładowanych cząstek. Dwa najważniejsze detektory to TPC i TOF. TPC (ang. Time Projection Chamber) jest to detektor objętościowy, cząstki przechodzą przez komorę wypełnioną gazem i jonizują ośrodek prowadząc do powstawania elektronów pierwotnych. Umożliwia odtworzenie ruchu cząstki w trzech wymiarach. Poza tym cząstka traci energię na jonizację na jednostkę długości, co pozwala wyznaczyć jej masę. Dzięki zastosowaniu magnesów można dodatkowo zmierzyć ładunek cząstki [7]. TOF (ang. Time of Flight) to detektor pozwalający mierzyć czas przelotu cząstki. System składa się z dwóch detektorów, cząstka przelatując przez jeden z nich (pvpd) aktywuje pomiar czasu, a przelatując przez drugi (TOFp tray) zatrzymuje pomiar [8]. Rysunek 6 Schemat detektora STAR z wyszczególnionymi ważniejszymi elementami 20

2.3 Program Beam Energy Scan W zależności od panujących warunków przejście materii hadronowej w plazmę kwarkowo-gluonową może być przejściem cross-over lub fazowym I rodzaju (rys. 7). W przejściu fazowym I rodzaju energia swobodna Gibbsa jest ciągła, ale jej pochodne są nieciągłe. Następują skokowe zmiany wartości parametrów: entropii, entlapii, gęstości, gęstości barionowej, objętości, energii wewnętrznej. Przejscie typu cross-over nie jest przejściem fazowym, gdyż nie ma nieciągłości [9]. Dla programu Beam Energy Scan możemy wyróżnić trzy główne cele: Pierwszym z nich jest badanie okolic obszaru przejścia fazowego I rodzaju. Kolejnym jest badanie obszarów, gdzie nie powstaje plazma kwarkowo-gluonowa (niższe temperatury i gęstości barionowe). Ostatnim jest lokalizacja i badanie tzw. punktu krytycznego. Uważa się że jest to punkt w którym dochodzi do przejścia fazowego II rodzaju. Przejście takie charakteryzuje się nieciągłością drugich pochodnych energii swobodnej Gibbsa (pierwsze pochodne są ciągłe). Obecnie uważa się, że punkt krytyczny można osiągnąć dla energii zderzeń pomiędzy 19.6 GeV a 27 GeV. Rysunek 7 Zakładana lokalizacja punktu krytycznego 21

22

3 Therminator 3.1 Charakterystyka modelu Model Therminator (THERMal heavy-ion generator) wykorzystuje metody Monte Carlo. Implementuje termiczny model produkcji cząstek z pojedynczym freeze-outem [10] - oznacza to że wymrożenia chemiczne i termiczne zachodzą w tym samym momencie. W modelu tym nie podaje się energii dla jakiej ma zostać wykonana symulacja. Zamiast tego symulację charakteryzują pewne inne parametry: -FreezeOutModel - wybór modelu ( Cracow lub BlastWave ) -BWVt parametr prędkości -, - parametry geometryczne -T,,, -parametry termodynamiczne Pliki wynikowe Therminatora zawierają informacje o rodzaju cząstki, położeniu i czasie w jakim powstała, jej pędzie i energii oraz masie. Znając te informacje można także wyznaczyć następujące wielkości (niezbędne podczas dalszej pracy): (3.1) (3.2) (3.3) 23

3.2 Obsługa modelu Model Therminator zainstalowany był na klastrze obliczeniowym. Pozwala to na dużo szybszą i wydajniejszą pracę niż w przypadku wykonywania obliczeń na osobistym komputerze. Wszystkie ustawienia poprzedzające symulacje wprowadza się poprzez edycję pliku therminator.in (rys. 8). Znajdują się tu m. in. parametry omówione w poprzednim podrozdziale. Podać można również ilość zdarzeń jaka ma się wykonać podczas symulacji. 24 Rysunek 8 Plik wejściowy modelu Therminator (therminator.in)

Symulację włącza się wykonując plik therm_events. Struktura klastra pozwala na wykonywanie wielu symulacji w tym samym czasie, jednak w przypadku niniejszej pracy nie było to wykorzystane, gdyż każda symulacja musiała być po wykonaniu analizowana, a następnie na podstawie uzyskanych z niej danych wprowadzane były poprawki do wartości parametrów. Średni czas trwania jednej symulacji dla 500 zdarzeń wynosił około 30 minut, choć wartość ta zmieniała się w zależności od obciążenia klastra obliczeniowego. Plik powstały w takiej symulacji ma rozmiar około 1GB. Plik wyjścowy generowany przez model ma domyślną nazwę event.out. Zawiera on szereg informacji o zasymulowanych zderzeniach. Dwie pierwsze liczby w czwartej linijce na rys. 9 reprezentują kolejno numer zdarzenia i ilość wyprodukowanych cząstek. Nastepnie dla każdej wyprodukowanej cząstki mamy linijkę z informacjami o niej (od linijki piątej na rys. 9). Kolejno mamy następujące informacje: liczbę porządkową, PID cząstki (numer identyfikujący rodzaj cząstki), składowe pędu (p x p y, p z ) w GeV, energię w GeV, masę w GeV, miejsce i czas kreacji (x, y, z, t) w 1/GeV, indeks rodzica, oraz informację, czy cząstka się rozpadła. Rysunek 9 Fragment pliku wyjściowego modelu Therminator Pracę z modelem znacznie ułatwia zastosowanie skryptów bash. Można dzięki temu wygenerować wiele plików za pomocą jednego polecenia, nadając im przy tym nazwy o rosnących indeksach. 25

26

4 Opracowywanie metody wyznaczania parametrów 4.1 Dane wzorcowe Dane wzorcowe wykorzystane w dopasowywaniu parametrów modelu (rys. 10) pochodzą z eksperymentu i zarejestrowane zostały na detektorze STAR w ramach programu Beam Energy Scan (BES). Zamieszczony histogram przedstawia liczbę cząstek o danych pędach poprzecznych dla kolejnych energii programu BES. Przez liczbę cząstek rozumiemy tutaj łączną ilość protonów, kaonów+ i pionów+ oraz antyprotonów, kaonów- i pionów- dzieloną przez 2. Ponadto histogram został odpowiednio unormowany, tzn. uwzględnione zostały szerokości binów i wartości p T dla poszczególnych binów. Uwzględnione zostały jedynie cząstki o rapidity w przedziale od -0.5 do 0.5. Rysunek 10 Charakterystyki pędowe dla poszczególnych energii uzyskane z programu BES 27

4.2 Oprogramowanie wykorzystane podczas pracy Podczas pracy został stworzony i wykorzystany skrypt środowiska ROOT, który z danych wejściowych tworzył histogram i porównywał z danymi wzorcowymi. Poza nim napisany został w środowisku C++ program konwertujący pliki wyjściowe modelu Therminator na dane mogące być wykorzystane jako wejściowe w owym skrypcie. ROOT został stworzony w połowie lat 90-tych na potrzeby eksperymentu NA49, gdyż wykorzystywane wcześniej biblioteki języka FORTRAN przestawały wystarczać do analizy coraz większej ilości danych, jakie były generowane w eksperymentach. ROOT jest cały czas rozwijany przez jego użytkowników-sprawia to że jest doskonałym narzędziem do analizy danych, szczególnie w fizyce wysokich energii. ROOT wykorzystuje interpreter C++ CINT stworzonego przez Masę Goto [11]. Pierwszy z napisanych na potrzeby pracy programów konwertuje pliki wyjściowe Therminatora z postaci pokazanej na rys.9 na pliki wejściowe dla skryptu ROOT, tzn. tworzone są oddzielne pliki dla każdego rodzaju cząstek (protony, antyprotony, kaony plus i minus, piony plus i minus) na podstawie numeru identyfikującego cząstki oraz wycinane są informacje zbędne takie jak informacja o rodzicach i rozpadzie. Drugi z programów to wspomniany skrypt ROOT porównujący dane uzyskane z modelu z danymi wzorcowymi z Beam Energy Scan. Na podstawie tych porównań dopasowywane były parametry modelu do poszczególnych energii, co stanowiło istotę pracy. Dokładniejsze omówienie tego skryptu wraz z jego kodem źródłowym znajdują się w dodatku A na końcu pracy. 28

4.3 Proces dopasowywania parametrów Spośród 5 parametrów, jakie należało znaleźć dla poszczególnych energii, 2 można wyznaczyć za pomocą następujących wzorów zaczerpniętych z publikacji [12]: [ ] (4.1) gdzie poszczególne stałe wynoszą: T lim =161±4 (4.2) a=1303±120 b=0,286±0,049 [ ] Zależności opisane wzorami 4.1 oraz 4.2 ilustrują krzywe z rys. 9 i rys. 10. Rysunek 11 Zależność parametru T od energii zderzenia 29

Rysunek 12 Zależność parametru µ B od energii Pozostałe 3 parametry są znane jedynie dla energii 200GeV i wynoszą: - BWVt - 0.311 - - 8.55 [fm] - - 8.92 [fm] Wiadomo też, że parametry i są od siebie zależne i zależność tą opisuje równanie Proces dopasowywania parametrów zostanie przedstawiony dla energii 27 GeV, ale przebiegał analogicznie dla pozostałych energii. Początkowym etapem było wyznaczenie temperatury i gęstości barionowej dla badanej energii. Wykorzystane w tym celu zostały zależności widoczne na rys. 11 i rys. 12 (wzory 4.1 i 4.2). Uzyskane wielkości wynoszą odpowiednio: T=161 [GeV] i µ B =0.1493 [GeV]. 30

Pierwsza seria danych, jaką wygenerowano w Therminatorze w pliku wejściowym miała ustawione powyższe parametry BWVt, i (dla energii 200GeV) oraz temperaturę i gęstość barionową wyznaczoną dla energii 27 GeV (rys. 13). Niebieskimi gwiazdkami oznaczone są dane pochodzące z generatora, a zielonymi trójkątami dane wzorcowe z programu BES. Jak widać serie danych na wykresie różnią się znacznie. Rysunek 13 Porównanie danych z BES dla 27 GeV z danymi z Therminatora kiedy, i BWVt mają wartości odpowiadające 200 GeV a T i µ B 27 GeV Następnym etapem pracy było sprawdzenie, jak poszczególne parametry wpływają na kształt i położenie krzywej. W tym celu wykonane zostały trzy symulacje: w każdej jeden z parametrów był drastycznie zmieniony względem wartości dla 200 GeV, natomiast dwa pozostałe nie były zmieniane. W pierwszym przypadku (rys. 14) zmieniony jest parametr BWVt wartości 0.311 do wartości 1.00. Porównując rys. 13 i rys. 14 można stwierdzić, że parametr jest odpowiedzialny za nachylenie krzywej. 31

Następnie zmieniony został parametr (rys. 15) z wartości 8.92 na 6.00. Porównując rys. 13 i rys. 15 można zauważyć że parametr ten odpowiada za wysokość krzywej. Obniżenie wartości parametru spowodowało przesunięcie się krzywej w dół. Podobnie w ostatnim przypadku, gdzie zmieniony został parametr (rys. 16) z 8.55 na 12.00. Porównując rys. 13 i rys. 16 widoczne jest, ze parametr ten również odpowiada za wysokość krzywej (krzywa przesunęła się w górę). Potwierdza się więc to, co zostało powiedziane wcześniej: parametry i są od siebie zależne. Należy więc przyjąć wartość jednego z nich jako stałą dla każdej energii i zmieniać wysokość krzywej za pomocą drugiego parametru. Dlatego dla wszystkich dalszych obliczeń parametr przyjętą ma wartość 8.55 (wartość ustalona dla energii 200 GeV). Rysunek 14 Zmiana BWVt z 0.311 na 1.00 względem stanu z rys. 13 32

Rysunek 15 Zmiana z 8.92 na 6.00 względem stanu z rys. 13 Rysunek 16 Zmiana z 8.55 na 12.00 względem stanu z rys. 13 33

Znając wpływ poszczególnych parametrów na zachowanie się krzywej należało następnie tak nimi operować, aby seria danych uzyskana z Therminatora i dane wzorcowe z BES były do siebie jak najbardziej zbliżone. W momencie kiedy serie były już do siebie bardzo zbliżone, do oceny dopasowania posłużył test χ 2. Porównywane były cząstki o pędach poprzecznych w zakresie 0.5-2.0 GeV. Dolna granica wynika z faktu, że dane z programu BES nie uwzględniają cząstek o niższych p T. Górna granica jest związana z działaniem samego modelu i zastosowanych w nim metod symulacji. Poniższa tabela zawiera informacje o kilku kombinacjach wartości parametrów dla których χ 2 /ndf było najmniejsze. Lp. BWVt χ 2 /ndf 1 1.55 5.50 9.69 2 1.545 5.47 7.28 3 1.52 5.43 6.93 4 1.51 5.42 6.05 5 1.51 5.41 7.78 Rysunek 17 Porównanie danych z BES i Therminatora dla BWVt=1.55 i =5.50, wartość χ 2 /ndf=9.69 34

Rysunek 18 Porównanie danych z BES i Therminatora dla BWVt=1.51 i =5.42, wartość χ 2 /ndf=6.05 Dla przykładu porównując histogramy nie da się na oko stwierdzić, które wartości parametrów są lepsze: BWVT=1.55 i =5.50 (rys. 17) czy BWVT=1.51 i =6.05 (rys. 18). Test χ 2 umożliwia rozstrzygnięcie tego problemu. Dla energii 7.7 oraz 19.6 GeV omawiane parametry mają taki sam wpływ na kształt krzywej. Dopasowywanie parametrów dla tych energii przebiegało w analogiczny sposób. Dzięki zbadaniu wpływu parametrów na krzywą i wartości dla 27 GeV opracowywanie następnych dwóch energii przebiegło znacznie szybciej. Końcowe wyniki przedstawione są w kolejnym rozdziale. 35

36

5 Zestawienie wyników końcowych 5.1 Histogramy przedstawiające najlepsze dopasowania Poniższe histogramy (rys. 19, 20 i 21) przedstawiają najlepsze uzyskane dopasowania parametrów dla trzech rozpatrywanych energii, tzn. 7.7 GeV 19.6 GeV i 27 GeV. W tabeli znajdują się wartości parametrów dla poszczególnych energii: Energia[GeV] BWVt 7.7 1.59 2.1 8.55 19.6 1.547 4.6 8.55 27 1.510 5.42 8.55 Rysunek 19 Najlepsze dopasowanie dla energii 7,7 GeV 37

Rysunek 20 Najlepsze dopasowanie dla energii 19,6 GeV Rysunek 21 Najlepsze dopasowanie dla energii 27 GeV 38

5.2 Określenie zależności pomiędzy parametrami a energią Mając wyznaczone parametry dla poszczególnych energii można wyznaczyć zależność pomiędzy wartością parametru a energią. Oprócz wartości dla energii badanych w tej pracy zostały wykorzystane także dane z przebiegającej równolegle pracy 1 dla energii 11.5 GeV oraz 62.4 GeV. W poniższej tabeli zostały zestawione wszystkie wyniki włącznie z wartościami dla 200 GeV: Energia [GeV] BWVt 7.7 2.1 1.59 11.5 2.75 1.575 19.6 4.6 1.547 27 5.42 1.510 62.4 5.76 1.23 200 8.92 0.311 Do rozkładu parametrów zostały dopasowane krzywe. Z różnych typów dopasowani najlepsze wyniki dały funkcja logarytmiczna w przypadku parametru (rys. 22) oraz rozkład normalny w przypadku BWVt (rys. 23). Rysunek 22 Rozkład parametru w funkcji energii zderzenia 1 Paweł Szymański, Opracowanie metody do wyznaczenia parametrów modelu Therminator w zderzeniach jonów złota przy energiach (s_nn ) = 11.5, 39 oraz 62.4 GeV w ramach eksperymentu STAR, 2014 39

Rysunek 23 Rozkład parametru BWVt w funkcji energii zderzenia Krzywe przybliżające zależności parametrów od energii opisane są następującymi równaniami: (5.1) (5.2) 5.3 Przykładowe rozkłady dla zderzeń wygenerowanych w Therminatorze W tym rozdziale pokazane są przykładowe rozkłady wielkości takich jak położenie, pęd i rapidity dla cząstek ze zderzeń wygenerowanych w Therminatorze. Wszystkie poniższe histogramy dotyczą energii 27 GeV i zostały wygenerowane dla następujących parametrów: BWVt=1.51, =5.42, =8.55 (najlepsze uzyskane dopasowanie dla 27 GeV). Na rys. 24 widać rozkład poszczególnych składowych pędu oraz energii dla cząstek dodatnich. Rys. 25 przedstawia te same dane dla cząstek ujemnych. Rys. 26 pokazuje rozkład pędu poprzecznego, a rys. 27 promienia poprzecznego. Wreszcie na rys. 28 widać rozkład rapidity. Na każdym histogramie znajdują się po trzy serie danych: dla protonów, kaonów plus i pionów plus, bądź dla antyprotonów, kaonów minus i pionów minus. 40

41 Rysunek 24 Charakterystyka pędowa (cząstki dodatnie) dla energii 27 GeV

42 Rysunek 25 Charakterystyka pędowa (cząstki ujemne) dla energii 27 GeV

43 Rysunek 26 Rozkład pędów poprzecznych dla energii 27 GeV

44 Rysunek 27 Rozkład promieni poprzecznych dla energii 27 GeV

45 Rysunek 28 Rozkład rapidity dla energii 27 GeV

46

6 Podsumowanie W niniejszej pracy pokazany został sposób wyznaczania parametrów wejściowych modelu Therminator oraz zostały wyznaczone owe parametry dla trzech różnych energii. Następnie rozkład parametrów został przybliżony pewnymi funkcjami. Dzięki temu możliwe jest odczytanie parametrów oraz przeprowadzenie symulacji zderzeń dla dowolnej wybranej energii. Znacznie poszerza to obszar zastosowań modelu Therminator. Kilka czynników wpływa na to, że funkcje opisujące rozkład parametrów nie są bardzo dokładne. Jednym z nich jest mała liczba energii, dla których przeprowadzane były dopasowania. Nie ma też żadnych punktów dla energii pomiędzy 62.4 GeV a 200 GeV. Również poszczególne parametry mogłyby być dopasowane dokładniej, gdyby wykorzystane zostały dane opisujące oddzielnie rozkłady każdego typu cząstek(nie były dostępne w momencie realizacji pracy). Mimo wymienionych wyżej problemów wyznaczone parametry wydają się być wystarczająco dokładne, aby możliwe było wykorzystanie modelu Therminator jako pomocy w analizie danych pochodzących z programu Beam Energy Scan. 47

Bibliografia [1] D. H. Perkins, Wstęp do fizyki wysokich energii, 2005, s. 7-12 [2] The Official Website of the Nobel Prize [dostęp 11.02.2014] http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/2013/press.html [3] D. H. Perkins, Wstęp do fizyki wysokich energii, 2005, s. 171-172 [4] K. Grabieszkow, Fizyka zderzeń ciężkich jonów-wykład 6 [dostęp 10.01.2014] http://www.if.pw.edu.pl/~kperl/hip/wyklad6.pdf [5] P. Wójcikowski, Automatyzacja procesu szacowania efektywności identyfikacji cząstek w komorze projekcji czasowej eksperymentu STAR, praca inżynierska, 2010 http://hirg.if.pw.edu.pl/hirg2/components/com_chronocontact/uploads/prace_inzyni erskie/20110222160413_beta_inz_pw.pdf [6] Brookheaven National Laboratory s Relativistic Heavy Ion Collider [dostęp 11.02.2014] http://www.bnl.gov/rhic/complex.asp [7] M. Anderson i inni, The STAR Time Projection Chamber: A Unique Tool for Studying High Multiplicity Events at RHIC, 2003 http://www.star.bnl.gov/public/tpc/nimpapers/tpc/tpc_nim.pdf [8] W. J. Llope i inni, The TOFp/pVPD Time-Of-Flight System for STAR, 2003 http://arxiv.org/ftp/nucl-ex/papers/0308/0308022.pdf [9] K. Grabieszkow Fizyka zderzeń ciężkich jonów-wykład 8 [dostęp 10.01.2014] http://www.if.pw.edu.pl/~kperl/hip/wyklad8.pdf [10] A. Kisiel, T. Tałuć, W. Broniewski, W. Florkowski, THERMINATOR: THERMal heavy IoN generator, 2005 [11] Root User s Guide Introduction [dostęp 15.01.2014] http://root.cern.ch/download/doc/rootusersguidechapters/introduction.pdf [12] A. Andronic, P. Braun-Muzinger, J. Stachel, Hadron production in central nucleusnucleus collisions at chemical freeze-out,2006 http://arxiv.org/pdf/nucl-th/0511071v3.pdf 48

Dodatek A: Skrypt ROOT kod źródłowy i opis działania void draw3() { TCanvas *c1=new TCanvas("canv","canv"); c1->divide(1,1); TVirtualPad *pad = c1->cd(1); pad->setlogy(); gstyle->setoptstat(0); ifstream input_prot("protony.txt"); ifstream input_kaon("kaony.txt"); ifstream input_pion("piony.txt"); ifstream input_aprot("antyprotony.txt"); ifstream input_akaon("antykaony.txt"); ifstream input_apion("antypiony.txt"); int j, i, c=0; double px, py, pz, E, m, x, y, z, t, n, pp, tmp, rap, pc; Tworzone jest nowe płótno, skala na pionowej osi ustawiana jest na logarytmiczną, tworzone są zmienne do obsługi plików wejściowych dla poszczególnych rodzajów cząstek oraz zmienne liczbowe. Double_t xaxis[23] = {0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1, 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 1.6, 1.7, 1.8, 1.9, 2, 2.1, 2.2}; TH1D *pt=new TH1D("pTspectra","ped poprzeczny-czastki;p_{t}[gev/c];1/(2*pi*n) * dn/dp_{t}",21, xaxis); pt->sumw2(); pt->setminimum(0.1); pt->setmaximum(100); Tworzony jest histogram pt, w którym zapisywane będą dane pobrane z plików. Funkcja Sumw2 włącza zliczanie błędów statystycznych. Ustawiane jest też na stałe maksimum i minimum osi Y. 49

while(!input_prot.eof()) { input_prot>>px>>py>>pz>>e>>m>>x>>y>>z>>t; pc=sqrt(pow(px,2)+pow(py,2)+pow(pz,2)); rap=1.0/2*tmath::log(tmath::abs( (E+pz)/(E-pz) )); pp=sqrt(pow(px,2)+pow(py,2)); if(tmath::abs(rap)<0.5) pt->fill(pp); } Powyższa pętla wczytuje informacje o kolejnych protonach z pliku wejściowego protony.txt. Dla każdej cząstki liczone jest rapidity oraz pęd poprzeczny. Następnie jeśli rapidity znajduje się w przedziale od -0.5 do 0.5, wartość pędu poprzecznego cząstki jest dodawana do histogramu. Bezpośrednio po tej pętli następuje pięć kolejnych dla pozostałych rodzajów cząstek: pionów+, kaonów+, antyprotonów, pionów- i kaonów-. Pętle te różnią się jedynie nazwą pliku, z którego wczytywane są cząstki i ich działanie jest analogiczne do pętli powyższej, dlatego też nie zostały opisane w tym dodatku. for(int i=1;i<=pt->getnbinsx();i++) { tmp=pt->getbincontent(i); pt->setbincontent(i,tmp/(pt->getbincenter(i))); tmp=pt->getbinerror(i); pt->setbinerror(i,tmp/(pt->getbincenter(i))); } for(int i=1;i<6;i++) pt->setbincontent(i,0); pt->scale(1/(400*tmath::pi())); pt->setmarkerstyle(29); pt->setmarkercolor(4); pt->draw(); Powyższy fragment kodu odpowiada za normowanie histogramu. Dla każdego binu jego wartość jest dzielona przez wartość pt odpowiadającą cząstkom zaliczonym do tego binu. Dla pierwszych 5 binów wartość pt jest zerowana(dane dla pt< 0.5 GeV są zbędne, gdyż nie ma danychz BES dla cząstek o takich pt ). Następnie histogram jest odpowiednio skalowany z uwzględnieniem szerokości binu i czynnika 2π. 50

Double_t xaxis10[38] = {0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1, 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 1.6, 1.7, 1.8, 1.9, 2, 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6, 2.7, 2.8, 2.9, 3, 3.5, 4, 4.5, 5, 6, 7, 10}; TH1D *E27GeV 10 = new TH1D("E27GeV 10","Efficiency corrected spectra for (0-5)%",37, xaxis10); E27GeV 10->SetBinContent(6,44.72662); E27GeV 10->SetBinContent(7,28.34218) ( ) E27GeV 10->SetBinContent(36,2.643374e-07); E27GeV 10->SetBinContent(37,1.783159e-08); E27GeV 10->SetBinError(3,0.02297542); E27GeV 10->SetBinError(4,0.01086856); ( ) E27GeV 10->SetBinError(36,3.444863e-08); E27GeV 10->SetBinError(37,4.631954e-09); E27GeV 10->SetEntries(4.7041e+08); E27GeV 10->SetDirectory(0); ci = TColor::GetColor("#00cc00"); E27GeV 10->SetLineColor(ci); ci = TColor::GetColor("#00cc00"); E27GeV 10->SetMarkerColor(ci); E27GeV 10->SetMarkerStyle(23); E27GeV 10->GetXaxis()->SetTitle("p_{t} (GeV/c)"); E27GeV 10->GetXaxis()->CenterTitle(true); E27GeV 10- >GetYaxis()>SetTitle("1/(N_{Event}2#pip_{T})dN_{ch}/dp_{T}" ); E27GeV 10->GetYaxis()->CenterTitle(true); E27GeV 10->Draw("same"); Tworzony jest drugi histogram, tym razem z danych pochodzących z Beam Energy Scan. Wartości binów są ustawiane w kodzie (wykorzystano skrypt ROOT otrzymany z BES, który generował dane widoczne na rys. 10) 51

leg=new TLegend(0.65,0.8,0.90,0.90); leg->addentry(pt,"27gev Therminator","p"); leg->addentry(e27gev 10,"27GeV BES","P"); leg->draw("same"); c1->saveas("therm.svg"); Tworzona i rysowana jest legenda opisująca histogramy. Następnie całość zapisywana jest na dysku w formacie svg. TH1D* chi_pt=new TH1D ("chi_pt", " ",16, 0.5, 2.0); TH1D* chi_27=new TH1D ("chi_27", " ",16, 0.5, 2.0); for(int i=1; i<17;i++) { chi_pt->setbincontent(i, pt->getbincontent(i+5)); chi_pt->setbinerror(i, pt->getbinerror(i+5)); chi_27->setbincontent(i, E27GeV 10->GetBinContent(i+5)); chi_27->setbinerror(i, E27GeV 10->GetBinError(i+5)); } double chi=chi_pt->chi2test(chi_27, "CHI2/NDF"); cout <<chi<< endl; Tworzone są dwa histogramy a następnie przepisywane są do nich zawartości binów o wartościach pt od 0.5 do 2.0 GeV. Jest to spowodowane brakiem danych z BES dla cząstek o pt mniejszym niż 0.5 GeV. Na koniec za pomocą funkcji Chi2Test przeprowadzany jest test χ 2 oraz wypisana zostaje wartość χ 2 /ndf(dzięki wykorzystaniu parametru CHI2/NDF). 52