Porównywanie wielowymiarowych ±rednich. Analiza wariancji

Porównywanie wielowymiarowych ±rednich. Analiza wariancji Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Kozdemba Adam Pierko FTiMS, Matematyka Finansowa, 8 semestr 23 marca 2014 Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza wariancji Finansowa, 23 marca 2014 8 semestr) 1 / 110

Wprowadzenie Przypu± my,»e chcieliby±my odpowiedzie na nast puj ce pytania: Czy nowy lek przeciwbólowy dostarcza ulgi w ci gu 100 minut, czy jest inaczej? Czy weekendowy trening przygotowawczy ma wpªyw na wyniki egzaminu? Czy nowy lek przeciwko bólowi gªowy ma szybsze dziaªanie ni» tradycyjny? Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza wariancji Finansowa, 23 marca 2014 8 semestr) 2 / 110

Wprowadzenie Przy pomocy testu t Studenta mo»emy udzieli odpowiedzi na te pytania. Wyró»niamy test: - dla jednej próby, - dla prób zale»nych - dla prób niezale»nych. Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza wariancji Finansowa, 23 marca 2014 8 semestr) 3 / 110

Model prób zale»nych dla p = 1 Rozpatrujemy n ró»nic: D j = X j1 X j2, j = 1, 2,..., n gdzie: X j1 - j-ty wynik pomiaru pierwszej cechy X j2 - j-ty wynik pomiaru drugiej cechy. Je»eli D N(δ, σ d 2 ), to t = D δ s d n t n 1, gdzie D = 1 n n j=1 D j oraz s 2 d = 1 n n 1 j=1 (D j D) 2 Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza wariancji Finansowa, 23 marca 2014 8 semestr) 4 / 110

Model prób zale»nych dla p = 1 Przeprowadzamy t-test na poziomie istotno±ci α. Stawiana hipoteza zerowa przeciwko alternatywnej: H 0 : δ = 0 H 1 : δ 0 Porównujemy warto± t z α 2 n 1 stopniami swobody. górnym kwantylem rozkªadu t-studenta z 100(1 α)% przedziaª ufno±ci dla δ = E(X 1j X 2j ) jest dany przez nierówno±ci: d t n 1 (α/2) s d n δ d + t n 1 (α/2) s d n Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza wariancji Finansowa, 23 marca 2014 8 semestr) 5 / 110

Testowanie dla jednej próby - SAS Powró my do pierwszego pytania z pocz tku naszej prezentacji. Chcemy sprawdzi, czy nowy lek dostarczy ulgi w czasie równym lub ró»nym od 100 minut. H 0 : µ = 100 H 1 : µ 100 Przebadamy 10 obserwacji zmiennej relief. Przed testowaniem hipotezy sprawdzimy normalno±. Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza wariancji Finansowa, 23 marca 2014 8 semestr) 6 / 110

Testowanie dla jednej próby - SAS Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza wariancji Finansowa, 23 marca 2014 8 semestr) 7 / 110

Testowanie dla jednej próby - SAS Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza wariancji Finansowa, 23 marca 2014 8 semestr) 8 / 110

Testowanie dla jednej próby - SAS Na podstawie histogramu i formalnych testów mo»emy zaªo»y normalno± rozkªadu i zastosowa procedur t-test. Procedura t test na zmiennej relief ±rednia warto± zmiennej relief b dzie porównana ze warto±ci 100. Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza wariancji Finansowa, 23 marca 2014 8 semestr) 9 / 110

Testowanie dla jednej próby - SAS Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza 23 wariancji Finansowa, marca 2014 8 semestr) 10 / 110

Testowanie dla jednej próby - SAS rednia zmiennej relief wynosi 98, 1 minut. Wyliczona statystyka t = 1, 28. Warto± p = 0, 23 > 0, 05 zatem nie mamy podstaw do odrzucenia H 0, czyli nasz model nie dostarcza innego czasu ulgi ni» 100 minut. Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza 23 wariancji Finansowa, marca 2014 8 semestr) 11 / 110

Podczas porównywania wektorów ±rednich przy pomocy p zmiennych, dwóch bada«i n obserwacjach, wyliczon ró»nic mo»emy przedstawi w postaci wektora: D j = D j1 D j2. D jp = X 1j1 X 1j2. X 1jp X 2j1 X 2j2. X 2jp dla j = 1, 2,..., n. Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza 23 wariancji Finansowa, marca 2014 8 semestr) 12 / 110

Model prób zale»nych dla p > 1 gdzie: X 1j1 - j ty wynik pomiaru pierwszej cechy dla zmiennej 1, X 1j2 - j ty wynik pomiaru pierwszej cechy dla zmiennej 2,... X 1jp - j ty wynik pomiaru pierwszej cechy dla zmiennej p, X 2j1 - j ty wynik pomiaru drugiej cechy dla zmiennej 1, X 2j2 - j ty wynik pomiaru drugiej cechy dla zmiennej 2,... X 2jp - j ty wynik pomiaru drugiej cechy dla zmiennej p Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza 23 wariancji Finansowa, marca 2014 8 semestr) 13 / 110

Model prób zale»nych dla p > 1 Niech D j T = [D j1, D j2,..., D jp ] zaªó»my,»e dla j = 1, 2,..., n mamy E(D j ) = δ = δ 1 δ 2. δ p Dla D j N(δ, Σ d ) mamy statystyk : oraz Cov(D j) = Σ d T 2 = n( D δ) T S 1 d ( D δ) p(n 1) n p F p,n p, gdzie D = 1 n n j=1 D j oraz S d = 1 n n 1 j=1 (D j D)(D j D) T Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza 23 wariancji Finansowa, marca 2014 8 semestr) 14 / 110

Model prób zale»nych dla p > 1 W szczególno±ci, test o H 0 : δ = 0 przeciwko H 1 : δ 0 odrzuca H 0 na poziomie istotno±ci α, je»eli T 2 = n D T 1 S d D p(n 1) n p F p,n p(α) Je»eli nie udaªo nam si odrzuci H 0, to wnioskujemy,»e nie byªo znacz cego wpªywu danej okoliczno±ci na badan cech. Obszar ufno±ci: dla δ: Dla du»ych n p zachodzi: ( D T S d 1 ) p(n 1) n(n p) F p,n p(α). p(n 1) n p F p,n p(α)χ 2 p (α). Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza 23 wariancji Finansowa, marca 2014 8 semestr) 15 / 110

Przykªad Dokonano 11 u pomiarów wód ±ciekowych w miejskiej oczyszczalni. Badania przeprowadzone byªy pod k tem chemicznego zapotrzebowania tlenu (BOD) oraz zawiesiny (SS) przez laboratorium komercyjne (1) i stanowe (2).Stawian H 0 jest zgodno± analiz obu laboratoriów. Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza 23 wariancji Finansowa, marca 2014 8 semestr) 16 / 110

Przykªad cd Statystyk T 2 konstruujemy przy pomocy ró»nic: d j1 = x 1j1 x 2j1 oraz d j2 = x 1j2 x 2j2. Nast pnie obliczamy ±rednie, macierz kowariancji oraz warto± statystyki T 2 : Odrzucamy H 0, gdy» przy α = 0, 05 T 2 = 13.6 > 9.47. Wnioskujemy,»e wyst puj ró»nice mi dzy analizami z tych laboratoriów. Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza 23 wariancji Finansowa, marca 2014 8 semestr) 17 / 110

Model prób zale»nych dla p > 1 d i S d mog by przedstawione przez równania macierzowe. Formujemy wektor obserwacji oraz macierz wariancji-kowariancji: x (2p 1) = x 11 x 12. x 1p x 21 x 22. x 2p [ ] S11 S S (2p 2p) = 12 S 21 S 22 Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza 23 wariancji Finansowa, marca 2014 8 semestr) 18 / 110

Model prób zale»nych dla p > 1 Deniujemy macierz kontrastu: 1 0... 0 1 0... 0 0 1... 0 0 1 0 C (p 2p) =............ 0 0... 1 0 0... 1 mamy:, d j = Cx j j = 1, 2,..., n d = C xi S d = CSC T T 2 = n x T C T (CSC T ) 1 C x. Ka»dy wektor kontrastu c i T jest prostopadªy do wektora 1 T = [1, 1,..., 1], gdy» c i T 1 = 0 Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza 23 wariancji Finansowa, marca 2014 8 semestr) 19 / 110

Testowanie dla prób zale»nych - SAS Sprawdzimy, czy nauka w weekend poprawia wyniki na te±cie. Przeprowadzono badania na 6 studentach: przed nauk w weekend napisali test oraz po nauce jeszcze raz. H 0 : µ before = µ after H 1 : µ before µ after Ponownie, zanim b dziemy analizowa dane, sprawdzimy normalno±. Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza 23 wariancji Finansowa, marca 2014 8 semestr) 20 / 110

Testowanie dla prób zale»nych - SAS Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza 23 wariancji Finansowa, marca 2014 8 semestr) 21 / 110

Testowanie dla prób zale»nych - SAS Po sprawdzeniu normalno±ci mo»emy przej± do testowania hipotezy. rednia wyniosªa 7, 33, statystyka t = 4, 35, p-value p = 0, 0074. Otrzymali±my p-value mniejsze od zadanego poziomu istotno±ci α = 0, 05, zatem odrzucamy H 0 i przyjmujemy H 1. Nauka w weekend sprawia,»e wyniki studentów s lepsze. Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza 23 wariancji Finansowa, marca 2014 8 semestr) 22 / 110

Testowanie dla prób zale»nych - SAS Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza 23 wariancji Finansowa, marca 2014 8 semestr) 23 / 110

Model prób niezale»nych Inna metoda badania pomiarów wynika z sytuacji, gdy porównujemy q czynników dla ka»dej pojedynczej zmiennej. Przedstawmy j-t obserwacj : X j1 X j2 X j =, j = 1, 2,..., n, gdzie. X jq X ji - j-ty wynik pomiaru dla i-tego czynnika. Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza 23 wariancji Finansowa, marca 2014 8 semestr) 24 / 110

Model prób niezale»nych Dla wymiernego wyniku rozwa»amy ró»nic skªadników µ = E(X j ). µ 1 µ 2 µ 1 µ 3. µ 1 µ q 1 1 0... 0 1 0 1... 0 =....... 1 0 0... 1 µ 1 µ 2. µ q = C 1µ µ 2 µ 1 µ 3 µ 2. µ q µ q 1 = 1 1 0... 0 0 0 1 1... 0 0........ 0 0 0... 1 1 µ 1 µ 2. µ q = C 2µ Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza 23 wariancji Finansowa, marca 2014 8 semestr) 25 / 110

Model prób niezale»nych Zarówno C 1, jak i C 2 nazwane s macierz kontrastu, poniewa» jej q-1 rz dów jest linowo niezale»nych dla ka»dego wektora. Kiedy badane zmienne s równe, C 1µ = C 2µ = 0 Stawiana hipoteza,»e nie wyst puj ró»nice w próbach, staje si C µ = 0 dla ka»dego wyboru macierzy C. W konsekwencji, opieraj c si na zmianie C Xj w obserwacjach, otrzymujemy ±redni C x oraz kowariancj CSC T, testujemy C µ = 0 u»ywaj c statystyki: T 2 = n(cx) T (CSC T ) 1 C x. Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza 23 wariancji Finansowa, marca 2014 8 semestr) 26 / 110

Testowanie prób niezale»nych - SAS Chcemy sprawdzi, czy nowy lek na ból gªowy dostarcza ulgi w innym czasie ni» standardowy lek. Przebadano dwie grupy, ka»da skªadaªa si z 5 osób. H 0 : µ 1 = µ 2 H 1 : µ 1 µ 2 Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza 23 wariancji Finansowa, marca 2014 8 semestr) 27 / 110

Testowanie prób niezale»nych - SAS Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza 23 wariancji Finansowa, marca 2014 8 semestr) 28 / 110

Testowanie prób niezale»nych - SAS Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza 23 wariancji Finansowa, marca 2014 8 semestr) 29 / 110

Testowanie prób niezale»nych - SAS Po sprawdzeniu normalno±ci badamy hipotez zerow. Analizuj c raport SASowy najpierw sprawdzamy test na równo± wariancji. Warto± p wyniosªa 0, 0318, czyli p < α. Wariancje ró»ni si od siebie, zatem sprawdzaj c p-value patrzymy na tabelk, gdy wariancje s nierówne. Poziom p wyniósª p = 0, 0141 < α, odrzucamy H 0. Przyjmujemy H 1 o ró»nym czasie dziaªania leku nowego i standardowego. Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza 23 wariancji Finansowa, marca 2014 8 semestr) 30 / 110

Testowanie prób niezale»nych - SAS Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza 23 wariancji Finansowa, marca 2014 8 semestr) 31 / 110

Testowanie prób niezale»nych - SAS Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza 23 wariancji Finansowa, marca 2014 8 semestr) 32 / 110

Porównywanie dwóch populacji Statystyka T 2 jest odpowiednia do porównywania zebranych wyników jednej populacji z niezale»nymi wynikami z innej populacji. Rozwa»my losow próbk o wielko±ci n 1 z populacji 1 oraz wielko±ci n 2 z populacji 2. Obserwacje dla p zmiennych: dla populacji 1. {x 11, x 12,..., x 1n1 } x 1 = 1 n1 n 1 j=1 x 1j S 1 = 1 n1 n 1 1 j=1 (X 1j x 1 )(X 1j x 1 ) T dla populacji 2. {x 21, x 22,..., x 2n2 } x 2 = 1 n2 n 2 j=1 x 2j S 2 = 1 n2 n 2 1 j=1 (X 2j x 2 )(X 2j x 2 ) T Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza 23 wariancji Finansowa, marca 2014 8 semestr) 33 / 110

Porównywanie dwóch populacji Testowanie hipotezy zerowej o równo±ci wektorów ±rednich, przeciwko alternatywnej: H 0 : µ 1 = µ 2 µ 1 µ 1 = δ 0 H 1 : µ 1 µ 2 µ 1 µ 2 δ 0. Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza 23 wariancji Finansowa, marca 2014 8 semestr) 34 / 110

Zaªo»enia testu dotycz ce struktury danych 1 Próbka X 11, X 12,..., X 1n1 jest losow próbk o wielko±ci n 1 z populacji p z wektorem ±rednich µ 1 oraz macierz kowariancji Σ 1. 2 Próbka X 21, X 22,..., X 2n2 jest losow próbk o wielko±ci n 2 z populacji p z wektorem ±rednich µ 2 oraz macierz kowariancji Σ 2. 3 Próbka X 11, X 12,..., X 1n1 jest niezale»na od X 21, X 22,..., X 2n1. 4 Je»eli n 1 i n 2 s maªe, to obie populacje maj wielowymiarowy rozkªad normalny. 5 Je»eli n 1 i n 2 s maªe, to Σ 1 = Σ 2. Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza 23 wariancji Finansowa, marca 2014 8 semestr) 35 / 110

Zaªo»enia testu dotycz ce struktury danych Dla maªych próbek, speªniaj cych zaªo»enia 1 5 istnieje nast puj ca statystyka testowa: T 2 = ( x 1 x 2 δ 0 ) T [( 1 n 1 + 1 n 2 )S p ] 1 ( x 1 x 2 δ 0 ), gdzie S p = n 1 1 n 1 +n 2 2 S 1 + n 2 1 n 1 +n 2 2 S 2 Warto± krytyczna dla odrzucenia H 0 o równo±ci ±rednich populacji pochodzi z: (n 1 +n 2 2)p n 1 +n 2 1 p F p,n 1 +n 2 1 p(α). Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza 23 wariancji Finansowa, marca 2014 8 semestr) 36 / 110

Dwie próby - sytuacja kiedyσ 1 Σ 2 Kiedy Σ 1 Σ 2 nie jeste±my w stanie znale¹ "odlegªo±ci" pomiaru podobnie jak T 2, którego rozkªad nie zale»y od niewiadomych Σ 1 i Σ 2. Test Bartletta sªu»y do sprawdzania równo±ci Σ 1 i Σ 2 w kategoriach ogólnych ró»nic. Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza 23 wariancji Finansowa, marca 2014 8 semestr) 37 / 110

Przykªad 1: Procedura du»ej próbki dla wnioskowania o ró»nicach w ±rednich Wykonano pomiar zu»ycia energii: x 1 = [ µ11 µ 12 ] [ µ21, x 2 = µ 22 ], gdzie: µ 11 - ±rednie zu»ycie energii w godzinach szczytu w domach z klimatyzacj, µ 12 - ±rednie zu»ycie energii poza godzinami szczytu w domach z klimatyzacj, µ 21 - ±rednie zu»ycie energii w godzinach szczytu w domach bez klimatyzacji, µ 22 - ±rednie zu»ycie energii poza godzinami szczytu w domach bez klimatyzacji, Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza 23 wariancji Finansowa, marca 2014 8 semestr) 38 / 110

Przykªad 1 cd Przeanalizujmy dane o zu»yciu energii. Najpierw obliczamy: Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza 23 wariancji Finansowa, marca 2014 8 semestr) 39 / 110

Przykªad 1 cd 95% jednoczesno± przedziaªów ufno±ci dla kombinacji liniowych Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza 23 wariancji Finansowa, marca 2014 8 semestr) 40 / 110

Przykªad 1 cd wynosi: Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza 23 wariancji Finansowa, marca 2014 8 semestr) 41 / 110

Przykªad 1 cd Statystyka T 2 dla testu H 0 : µ 1 µ 2 = 0: Dla α = 0.05, warto± krytyczna wynosi: χ 2 2 (0.05) = 5.99 i skoro T 2 = 15.66 χ 2 2 (0.05) odrzucamy H 0. Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza 23 wariancji Finansowa, marca 2014 8 semestr) 42 / 110

Aproksymacja dla rozkªadu T 2 dla normalnych populacji Mo»na testowa H 0 : µ 1 µ 2 = 0 kiedy macierze kowariancji s nierówne, nawet gdy rozmiary dwóch próbek nie s du»e, zakªadaj c,»e te dwie populacje s wielowymiarowo normalne. Taka sytuacja cz sto nazywana jest problemem wielowymiarowym (lub o wielu zmiennych losowych) Behrensa-Fishera. Wynik (rezultat) wymaga, aby rozmiary n 1 i n 2 obydwu próbek byªy wi ksze ni» p, gdzie p ilo± zmiennych. Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza 23 wariancji Finansowa, marca 2014 8 semestr) 43 / 110

Aproksymacja dla rozkªadu T 2 dla normalnych populacji Podej±cie zale»y od aproksymacji rozkªadu statystyki która jest identyczna jak w statystyce du»ej próbki. Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza 23 wariancji Finansowa, marca 2014 8 semestr) 44 / 110

Aproksymacja dla rozkªadu T 2 dla normalnych populacji Jednak»e, zamiast u»ywa aproksymacji rozkªadem χ 2 do uzyskania warto±ci krytycznej dla testu H 0, zalecana aproksymacja dla mniejszych próbek dana przez T 2 = vp v p+1 F p,v p+1 Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza 23 wariancji Finansowa, marca 2014 8 semestr) 45 / 110

Aproksymacja dla rozkªadu T 2 dla normalnych populacji gdzie stopie«swobody v jest estymowany z próbki macierzy kowariancji u»ywaj c relacji gdzie min(n 1, n 2 ) v n 1 + n 2 Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza 23 wariancji Finansowa, marca 2014 8 semestr) 46 / 110

Aproksymacja dla rozkªadu T 2 dla normalnych populacji Dla próbek o umiarkowanych rozmiarach i dwóch normalnych populacjach, test aproksymuj cy o poziomie α dla równo±ci ±rednich odrzucah 0 : µ 1 µ 2 = 0 je»eli Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza 23 wariancji Finansowa, marca 2014 8 semestr) 47 / 110

Aproksymacja dla rozkªadu T 2 dla normalnych populacji Podobnie, aproksymowany 100(1 α)% obszar ufno±ci jest dany przez µ 1 µ 2 takie,»e Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza 23 wariancji Finansowa, marca 2014 8 semestr) 48 / 110

Przykªad 2: Aproksymowany rozkªad T 2 gdy Σ 1 Σ 2 Pomimo,»e rozmiar próbek jest do± du»y dla danych o zu»yciu energii elektrycznej, u»ywamy tych danych oraz oblicze«w poprzednim przykªadzie aby pokaza obliczenia prowadz ce do aproksymacji rozkªadu T 2 kiedy macierze kowariancji populacji nie s równe. Najpierw obliczamy Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza 23 wariancji Finansowa, marca 2014 8 semestr) 49 / 110

Przykªad 2 cd I u»ywaj c wyniku z poprzedniego przykªadu, Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza 23 wariancji Finansowa, marca 2014 8 semestr) 50 / 110

Przykªad 2 cd konsekwentnie Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza 23 wariancji Finansowa, marca 2014 8 semestr) 51 / 110

Przykªad 2 cd Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza 23 wariancji Finansowa, marca 2014 8 semestr) 52 / 110

Przykªad 2 cd Dalej Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza 23 wariancji Finansowa, marca 2014 8 semestr) 53 / 110

Przykªad 2 cd Wtedy 2+2 gdzie v = 2 = 77.6 dla α = 0.05 0.0678+0.0095 Warto± krytyczna wynosi vp v p+1 F p,v p+1(0.05) = 77.6 2 77.6 2+1 F 2,776 2+1(0.05) = 155.2 3.12 = 6.32 76.6 Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza 23 wariancji Finansowa, marca 2014 8 semestr) 54 / 110

Wnioski do Przykªadu 2 Z poprzedniego przykªadu, zaobserwowana warto± testu statystycznego wynosi T 2 = 15.66, wi c hipoteza H 0 : µ 1 µ 2 = 0 jest odrzucana na poziomie 5%. To jest ten sam wniosek/ konkluzja osi gni ty z procedury du»ej próbki opisanej w tym przykªadzie. Podobnie rozkªad mo»e by deniowany w niecaªkowitych stopniach swobody. Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza 23 wariancji Finansowa, marca 2014 8 semestr) 55 / 110

Jednokierunkowa MANOVA Cz sto, wi cej ni» dwie populacje musz zosta porównane. Losowe próbki, zebrane z ka»dej populacji s uªo»one jako: MANOVA jest u»yta jako pierwsza w celu zbadania czy wektory ±rednich populacji s takie same i je±li nie, które czynniki ±rednich znacz co si ró»ni. Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza 23 wariancji Finansowa, marca 2014 8 semestr) 56 / 110

Zaªo»enia dotycz ce Struktury Danych w Jednokierunkowej MANOVIE 1 X l1, X l2,..., X lnl, jest losow próbk o rozmiarze n l z populacji ze ±redni µ l, gdzie l = 1, 2,..., g. Losowe próbki z ró»nych populacji s niezale»ne. 2 Wszystkie populacje posiadaj wspóln macierz kowariancji Σ. 3 Ka»da populacja jest wielowymiarowo normalna. Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza 23 wariancji Finansowa, marca 2014 8 semestr) 57 / 110

Podsumowanie jednoczynnikowej analizy wariancji W tej jednowymiarowej sytuacji, zaªo»enia s,»e X l1, X l2,..., X lnl jest dowoln próbk pobran z N(µ l, σ 2 ) populacji l = 1, 2,..., g i»e losowe próbki s niezale»ne. Chocia» hipoteza zerowa równa ±redniej mo»e by formuªowana jako µ 1 = µ 2 = = µ g, w odniesieniu do µ l, jako suma caªkowitej ±redniej skªadnika, takiego jak µ. Dla przykªadu µ l = µ + (µ l µ) lub µ l = µ + τ l, gdzie τ l = µ l µ. Populacje zwykle odpowiadaj ró»nym zestawieniom warunków do±wiadczalnych, dlatego dogodne jest zbadanie odchylenia τ l zwi zane z l t populacj. Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza 23 wariancji Finansowa, marca 2014 8 semestr) 58 / 110

Przeksztaªcenie µ l = µ + τ l prowadzi do przeksztaªcenia hipotezy o równo±ci ±rednich. Hipoteza zerowa jest postaci: H 0 : τ 1 = τ 2 = = τ g = 0. Wynik X lj rozkªadu N(µ + τ l, σ 2 ) mo»e by wyra»ony w postaci: X lj = µ + τ l + e lj, gdzie e lj s niezale»nymi zmiennymi losowymi o rozkªadzie N(0, σ 2 ). Aby zdenowa wyj tkowe parametry modelu i ich najmniejsze oszacowania wadratów, zwyczajowo nakªadamy ograniczenie g l=1 n lτ l = 0. Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza 23 wariancji Finansowa, marca 2014 8 semestr) 59 / 110

Przykªad Suma kwadratów rozkªadu dla jednoczynnikowej Anovy Bierzemy pod uwag nast puj ce niezale»ne próbki: Populacja 1 : {9, 6, 9} Populacja 2 : {0, 2} Populacja 3 : {3, 1, 2} Poniewa»: x 3 = (3 + 1 + 2)/3 = 2 oraz x = (9 + 6 + 9 + 0 + 2 + 3 + 1 + 2)/8 = 4 mamy: 3 = x 31 = x + ( x 3 x) + (x 31 x 3 ) = 4 + (2 4) + (3 2). Na pytanie o równo± ±rednich, odpowiemy, oceniaj c czy tablica wkªadu leczenia jest wystarczaj co du»a w stosunku do reszty. Je»eli wkªad leczenie jest du»y, H 0 powinna by odrzucona. Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza 23 wariancji Finansowa, marca 2014 8 semestr) 60 / 110

Obliczanie sum kwadratów i zwi zane z tym stopnie swobody w tabeli ANOVA Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza 23 wariancji Finansowa, marca 2014 8 semestr) 61 / 110

Zazwyczaj F test odrzuca H 0 : τ 1 = τ 2 = = τ g = 0 na poziomie α, je»eli F = SS tr /(g 1) SS res/( g l=1 n l g) F g 1, l g (α), gdzie F g 1,Σnl g (α) jest górnym (100α) krotnym kwantylem F rozkªadu z g 1 i Σn l g stopniami swobody. Jest to równoznaczne z odrzuceniem H 0 dla du»ych warto±ci SS(tr)/SS(res) lub du»ych warto±ci 1 + SS(tr)/SS(res). 1 1+SS tr /SS res = SSres SS res+ss tr. Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza 23 wariancji Finansowa, marca 2014 8 semestr) 62 / 110

Przykªad Tabela jednoczynnikowej Anovy i F test dla efektów bada«paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza 23 wariancji Finansowa, marca 2014 8 semestr) 63 / 110

W rezultacie SStr /(g 1) F = SS res/(σn l g) = 78/2 = 19.5 10/5 Poniewa» F = 19.5 > F 2.5 (0.01) = 13.27 odrzucamy H 0 : τ 1 = τ 2 = τ 3 = 0 na poziomie 1% istotno±ci. Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza 23 wariancji Finansowa, marca 2014 8 semestr) 64 / 110

Wieloczynnikowa analiza wariancji MANOVA Równolegle do jednowymiarowego przeksztaªcenia, okre±limy model Manova: Model Manova dla porównania ±rednich wektorów g populacji X lj = µ + τ l + e lj, j = 1, 2,..., n l oraz l = 1, 2,..., g, gdzie e lj - niezale»na zmienna N(0, Σ) µ- wektor parametrów na ogólnym poziomie ±redniej, τ l - oznacza l ty efekt z Σ g l=1 n lτ l = 0. Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza 23 wariancji Finansowa, marca 2014 8 semestr) 65 / 110

Obliczenia prowadz ce do statystyki badania w tabeli Manova Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza 23 wariancji Finansowa, marca 2014 8 semestr) 66 / 110

Testowanie równo±ci macierzy kowariancji Podczas porównywania wielowymiarowych wektorów ±rednich zakªadamy,»e macierze kowariancji poszczególnych populacji s sobie równe. Gdy danych mamy g populacji jako hipotez zerow przyjmujemy: H 0 : Σ 1 = Σ 2 =... = Σ g = Σ gdzie Σ l jest macierz kowariancji l-tej populacji l = 1, 2,..., g, a Σ jest przypuszczaln wspóln (dla wszystkich g populacji) macierz kowariancji. Hipoteza alternatywna H 1 mówi,»e co najmniej dwie sposród macierzy kowariancji ró»ni si. Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza 23 wariancji Finansowa, marca 2014 8 semestr) 67 / 110

Testowanie równo±ci macierzy kowariancji Zakªadaj c wielowymiarowy rozkªad normalny populacji, statystyka wska¹nika wiarygodno±ci dana jest wzorem: Λ = l ( ) (nl 1)/2 Sl S pooled gdzie n l jest liczebno±ci próbki dla l-tej grupy, S l macierz kowariancji l-tej grupy a S pooled sumaryczn macierz kowariancji dan wzorem: S pooled = 1 l (n l 1) {(n 1 1)S 1 + (n 2 1)S 2 +... + (n g 1)S g } Test Box'a oparty jest na aproksymacji rozkªadem χ 2 rozkªadu z próby -2lnΛ = M (statystyla M Box'a) daje: M = [ l (n l 1)] ln S pooled l [(n l 1)ln S l ] Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza 23 wariancji Finansowa, marca 2014 8 semestr) 68 / 110

Testowanie równo±ci macierzy kowariancji Je±li hipoteza zerowa jest prawdziwa, nie oczekuje si du»ych ró»nic pomi dzy macierzami kowariancji poszczególnych próbek. Nie powinny si one zatem znacznie ró»ni od sumarycznej macierzy kowariancji Σ. W tym przypadku stosunek wyznaczników we wzorze na Λ powinien by bliski 1, Λ powinna by bliska 1 a statystyka M Box'a maªa. Je±li hipoteza zerowa jest faªszywa, macierze kowariancji mog si bardziej ró»ni a ró»nice w ich wyznacznikach b d bardziej wyra¹ne. W tym przypadku Λ b dzie maªa a M relatywnie du»e. Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza 23 wariancji Finansowa, marca 2014 8 semestr) 69 / 110

Testowanie równo±ci macierzy kowariancji Test Box'a na równo± macierzy kowariancji [ u = l 1 (n l 1) 1 l (n l 1) ] [ 2p 2 +3p 1 6(p+1)(g 1) gdzie p jest liczb zmiennych a g numerem grupy. St d: C = (1 u)m = (1 u) {[ l (n l 1)] ln S pooled l [(n l 1)ln S l } ma przybli»ony rozkªad χ 2 z: v = g 1 2 p(p + 1) 1 2 p(p + 1) = 1 p(p + 1)(g 1) stopniami swobody. 2 Na poziomie istotno±ci α odrzucamy H 0 je±li C > χ 2 p(p+1)(g 1)/2 (α) Aproksymacja χ 2 Box'a dziaªa dobrze je±li ka»de n l przekracza 20 oraz p i g nie przekraczaj 5. W sytuacjach, gdy warunki te nie s speªnione, test Box zapewniª bardziej precyzyjn F aproksymacj dla rozkª du próbkowego M. ] Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza 23 wariancji Finansowa, marca 2014 8 semestr) 70 / 110

Dwukierunkowa wieloczynnikowa analiza wariancji Wielowymiarowy dwukierunkowy model o staªych efektach z interakcj Niech dwa zbiory warunków eksperymentalnych b d poziomami czynnika 1 i czynnika 2. Przypu± my,»e mamy g poziomów czynnika 1 oraz b poziomów czynnika 2 oraz»e n niezale»nych obserwacji mo»e by obserwowanych na ka»dych g b kombinacji poziomów. Ka»dy element próby 1, 2,..., n tworzy wektor p zmiennych. Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza 23 wariancji Finansowa, marca 2014 8 semestr) 71 / 110

Dwukierunkowa wieloczynnikowa analiza wariancji Wielowymiarowy dwukierunkowy model o staªych efektach z interakcj Dwukierunkowy wielowymiarowy model specykujemy w sposób nast puj cy: oraz X lkr = µ + τ l + β k + γ lk + e lkr l = 1, 2,..., g - poziom czynnika 1 k = 1, 2,..., b - poziom czynnika 2 r = 1, 2,..., n - indeks obserwacji g l=1 τ l = b k=1 β k = g l=1 γ lk = g k=1 γ lk = 0 Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza 23 wariancji Finansowa, marca 2014 8 semestr) 72 / 110

Dwukierunkowa wieloczynnikowa analiza wariancji Wszystkie wektory s wymiaru p 1, oraz e lkr s niezale»nymi wektorami losowymi o rozkªadzie N p (0, Σ). Tak wi c, obserwacje skªadaj si z p pomiarów powielonych n razy w ka»dej mo»liwej kombinacji poziomów czynnika 1 i 2. Zgodnie z poprzednimi informacjami, wektory obserwacji mo»emy rozpisa w sposób nast puj cy: x lkr = x + (x l x) + (x k x) + (x lk x l x k + x) + (x lkr x lk ) gdzie x jest ogóln ±redni wektorów obserwacji, x l ±redni wektorów obserwacji dla l-tego poziomu czynnika 1, x k jest ±redni wektorów obserwacji dla k-tego poziomu czynnika 2 a x lk jest ±redni wektorów obserwacji dla l-tego poziomu czynnika 1 oraz k-tego poziomu czynnika 2. Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza 23 wariancji Finansowa, marca 2014 8 semestr) 73 / 110

Dwukierunkowa wieloczynnikowa analiza wariancji Tablica MANOVA dla wprowadzonego modelu Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza 23 wariancji Finansowa, marca 2014 8 semestr) 74 / 110

Dwukierunkowa wieloczynnikowa analiza wariancji Test interakcji czynników Sprawdzamy, czy czynniki modelu oddziaªuj na siebie, sprawdzaj c hipotez : przeciw H 0 : γ 11 = γ 12 =... = γ gb = 0 (brak interakcji) H 1 : przynajmniej jedna γ lk 0 H 0 odrzucana jest dla maªych warto±ci wspóªczynnika (lambda Wilks'a): Λ = SSP res SSP int +SSP res Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza 23 wariancji Finansowa, marca 2014 8 semestr) 75 / 110

Dwukierunkowa wieloczynnikowa analiza wariancji Dla du»ych próbek, lambda Wilks'a Λ mo»e by przyrównana do rozkªadu χ 2. Stosuj c mno»nik Barlett'a dla polepszenia aproksymacji rozkªadem χ 2 odrzucamy H 0 : γ 11 = γ 12 =... = γ gb = 0 na poziomie istotno±ci je±li zachodzi: [ gb(n 1) p+1 (g 1)(b 1) 2 ] lnλ > χ 2 (g 1)(b 1)p (α) Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza 23 wariancji Finansowa, marca 2014 8 semestr) 76 / 110

Dwukierunkowa wieloczynnikowa analiza wariancji Przejd¹my do badania wpªywu czynnika 1 oraz czynnika 2. Najpierw, dla czynnika 1, porównajmy hipotezy: przeciw H 0 : τ 1 = τ 2 =... = τ g = 0 (brak wpªywu czynnika 1) H 1 : przynajmniej jedno τ l 0 (pewien wpªyw czynnika 1) Podobnie jak dla interakcji, dla czynnika 1 wprowad¹my statystyk Λ : Λ = SSP res SSP fac1 +SSP res Jej maªe warto±ci zgodne s z hipotez alternatywn H 1 Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza 23 wariancji Finansowa, marca 2014 8 semestr) 77 / 110

Dwukierunkowa wieloczynnikowa analiza wariancji W przypadku du»ych próbek stosuj c mno»nik Barlett'a test przyjmuje posta : odrzucamy H 0 : τ 1 = τ 2 =... = τ g = 0 (brak wpªywu czynnika 1) na poziomie istotno±ci je±li zachodzi: [ ] gb(n 1) p+1 (g 1) lnλ > χ 2 2 (g 1)p (α) Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza 23 wariancji Finansowa, marca 2014 8 semestr) 78 / 110

Dwukierunkowa wieloczynnikowa analiza wariancji Badaj c wpªyw czynnika 2 postepujemy analogicznie jak w przypadku czynnika 1. Porównujemy hipotezy: przeciw H 0 : β 1 = β 2 =... = β b = 0 (brak wpªywu czynnika 2) H 1 : przynajmniej jedna β k 0 (pewien wpªyw czynnika 2) Wprowad¹my statystyk Λ : Λ = SSP res SSP fac2 +SSP res Jej maªe warto±ci zgodne s z hipotez alternatywn H 1 Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza 23 wariancji Finansowa, marca 2014 8 semestr) 79 / 110

Dwukierunkowa wieloczynnikowa analiza wariancji Znów, dla du»ych próbek, test przyjmuje posta : odrzucamy H 0 : β 1 = β 2 =... = β b = 0 (brak wpªywu czynnika 2) na poziomie istotno±ci α je±li zachodzi: [gb(n 1) p+1 (b 1) 2 ]lnλ > χ 2 (b 1)p (α) Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza 23 wariancji Finansowa, marca 2014 8 semestr) 80 / 110

Dwukierunkowa wieloczynnikowa analiza wariancji MANOVA - przykªad Badacze ro±lin przeprowadzili eksperyment aby przebada trzy cechy orzeszków ziemnych. Czynnikami branymi pod uwag podczas do±wiadczenia byªy: odmiana (trzy poziomy - rodzaje) oraz lokalizacja (dwa poziomy - miejsca), tworz c 3 2 = 6 ró»nych kombinacji czynników. Dla ka»dych z 6 kombinacji pomiarów dokonano n = 2 razy. Naukowcy rozpatrywali trzy zmienne: X 1 = produkcja X 2 = waga X 3 = rozmiar ziarna Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza 23 wariancji Finansowa, marca 2014 8 semestr) 81 / 110

Dwukierunkowa wieloczynnikowa analiza wariancji MANOVA - przykªad c.d. Dane u»yte do przykªadu: Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza 23 wariancji Finansowa, marca 2014 8 semestr) 82 / 110

Dwukierunkowa wieloczynnikowa analiza wariancji MANOVA - przykªad c.d. Kod ¹ródªowy z programu w ±rodowisku SAS : Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza 23 wariancji Finansowa, marca 2014 8 semestr) 83 / 110

Dwukierunkowa wieloczynnikowa analiza wariancji MANOVA - przykªad c.d. Postepuj c zgodnie z wprowadzon wcze±niej teori sprawdzamy najpierw interakcj pomi dzy czynnikami, którymi w naszym przypadku s lokalizacja oraz odmiana: Poniewa» p = 0.0508 > 0.05 = α, st d nie odrzucamy hipotezy zerowej mówi cej o braku wpªywu czynnika interakcji lokalizacji i odmiany. Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza 23 wariancji Finansowa, marca 2014 8 semestr) 84 / 110

Dwukierunkowa wieloczynnikowa analiza wariancji MANOVA - przykªad c.d. W kolejnym kroku sprawdzamy oddziaªywanie wyª cznie czynnika pierwszego, jakim jest lokalizacja: Poniewa» p = 0.0205 < 0.05 = α, st d odrzucamy hipotez zerow na rzecz hipotezy alternatywnej, mówi cej o wpªywie lokalizacji na obserwowane zmienne. Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza 23 wariancji Finansowa, marca 2014 8 semestr) 85 / 110

Dwukierunkowa wieloczynnikowa analiza wariancji MANOVA - przykªad c.d. Na ko«cu, sprawdzamy oddziaªywanie wyª cznie czynnika drugiego, jakim jest odmiana: Poniewa» p = 0.0019 < 0.05 = α, st d odrzucamy hipotez zerow na rzecz hipotezy alternatywnej, mówi cej o wpªywie odmiany na obserwowane zmienne. Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza 23 wariancji Finansowa, marca 2014 8 semestr) 86 / 110

Dwukierunkowa wieloczynnikowa analiza wariancji MANOVA - przykªad c.d. Wnioski: interakcja lokalizacji i odmiany orzeszków nie ma wpªywu na obserwowane zmienne lokalizacja orzeszków ma wpªyw a obserwowane zmienne odmiana orzeszków ma wpªyw na obserwowane zmienne Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza 23 wariancji Finansowa, marca 2014 8 semestr) 87 / 110

Analiza prolowa Rozwa»my wektor: µ 1 = [µ 11, µ 12, µ 13, µ 14 ] prezentuj cy ±rednie wyniki dla 4 zmiennych dla pierwszej grupy. Wykres tych ±rednich, poª czonych liniami, pokazany jest na poni»szym rysunku. Šamana jest prolem dla pierwszej grupy. Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza 23 wariancji Finansowa, marca 2014 8 semestr) 88 / 110

Analiza prolowa Skoncentrujemy si na dwóch grupach. Niech µ 1 = [µ 11, µ 12,..., µ 1p ] i µ 2 = [µ 21, µ 22,..., µ 2p ] b d wektorami ±rednich dla p zmiennych, odpowiednio dla 1 i 2 grupy. Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza 23 wariancji Finansowa, marca 2014 8 semestr) 89 / 110

Analiza prolowa 1 Czy prole s równolegªe? Równowa»nie: H 01 : µ 1i µ 1i 1 = µ 2i µ 2i 1, i = 2, 3,..., p 2 Zakªadaj c,»e prole s równolegªe, czy si pokrywaj? Równowa»nie: H 02 : µ 1i = µ 2i, i = 1, 2,..., p 3 Zakªadaj c,»e prole si pokrywaj, czy s poziome? Czyli czy wszystkie ±rednie s równe tej samej staªej? Równowa»nie: H 03 : µ 11 = µ 12 =... = µ 1p = µ 21 = µ 22 =... = µ 2p Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza 23 wariancji Finansowa, marca 2014 8 semestr) 90 / 110

Analiza prolowa Hipoteza zerowa w (1) mo»e by zapisana jako: H 01 = Cµ 1 = Cµ 2, gdzie C jest [p 1 p] wymiarow macierz kontrastu: C = 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0... 0 0 0 0 1 1 Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza 23 wariancji Finansowa, marca 2014 8 semestr) 91 / 110

Analiza prolowa Dla n 1 i n 2 niezale»nych prób, pochodz cych odpowiednio z 1 i 2 populacji, hipotez zerow mo»emy testowa za pomoc obserwacji: Cx 1j, j = 1, 2,..., n 1 Cx 2j, j = 1, 2,..., n 2 Maj one wektory ±rednich C x 1 i C x 2 oraz macierz kowariancji: CSC. Zakªadaj c,»e dwie populacje maj wielowymiarowe rozkªady normalne: N p 1 (Cµ 1, CΣC ), N p 1 (Cµ 2, CΣC ), testujemy równolegªo± proli: Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza 23 wariancji Finansowa, marca 2014 8 semestr) 92 / 110

Analiza prolowa TEST NA RÓWNOLEGŠO PROFILI O ROZKŠADACH NORMALNYCH Odrzucamy H 01 : Cµ 1 = Cµ 2 na poziomie α je»eli: [( ) ] 1 T 2 = ( x 1 x 2 ) C 1 n 1 + 1 n 2 CSC C( x1 x 2 ) > c 2 gdzie: c 2 = (n 1+n 2 2)(p 1) n 1 +n 2 p F p 1,n1 +n 2 p(α) Gdy prole s równolegªe, to pierwszy jest ponad drugim (µ 1i > µ 2i, dla ka»dego i) lub na odwrót. Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza 23 wariancji Finansowa, marca 2014 8 semestr) 93 / 110

Analiza prolowa Zakªadj c,»e prole s równolegªe, to b d si pokrywaªy, gdy nast puj ce sumy: b d sobie równe. Zatem H 0 w (2) mo»na zapisa jako: µ 11 + µ 12 +... + µ 1p = 1 µ 1 µ 21 + µ 22 +... + µ 2p = 1 µ 2 H 02 : 1 µ 1 = 1 µ 2 Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza 23 wariancji Finansowa, marca 2014 8 semestr) 94 / 110

Analiza prolowa TEST NA POKRYWANIE SI PROFILI, POD WARUNKIEM E S RÓWNOLEGŠE Dla dwóch populacji o rozkªadach normalnych odrzucamy H 02 : 1 µ 1 = 1 µ 2 na poziomie α je»eli: [( ) T 2 = 1 1 ( x 1 x 2 ) n 1 + 1 n 2 1 S1 ] 1 1 ( x 1 x 2 ) = = 1 ( x 1 x 2 ) ( 1 n 1 + 1 n 2 )1 S1 2 > t 2 n 1 +n 2 2 ( α 2 ) = F 1,n 1 +n 2 2(α) Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza 23 wariancji Finansowa, marca 2014 8 semestr) 95 / 110

Analiza prolowa Je»eli hipotezy H 01 i H 02 s prawdziwe, wtedy wspólny wektor µ estymujemy za pomoc : ( x = 1 n1 n 1 +n 2 j=1 x 1j + ) n 2 j=1 x 2j = n 1 n 1 +n 2 x 1 + n 2 n 1 +n 2 x 2 Je»eli wspólny prol jest poziomy, wtedy µ 1 = µ 2 =... = µ p oraz hipoteza zerowa w (3) mo»e by zapisane jako: H 03 : Cµ = 0 gdzie C jest [p 1 p] wymiarow macierz kontrastu: 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 C =... 0 0 0 0 1 1 Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza 23 wariancji Finansowa, marca 2014 8 semestr) 96 / 110

Analiza prolowa TEST SPRAWDZAJ CY CZY PROFILE S POZIOME POD WARUNKIEM, E SI POKRYWAJ Dla dwóch populacji o rozkªadach normalnych, odrzucamy H 03 : Cµ = 0 na poziomie α je»eli: (n 1 + n 2 ) x C [CSC ] 1 C x > c 2 Gdzie S jest macierz kowariancji opart na n 1 + n 2 obserwacjach i: c 2 = (n 1+n 2 1)(p 1) (n 1 +n 2 p+1) F p 1,n1 +n 2 p+1(α) Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza 23 wariancji Finansowa, marca 2014 8 semestr) 97 / 110

Analiza prolowa Przykªad Socjolog przebadaª grup dorosªych, jak oceniaj swoje maª»e«stwa. Brane byªy pod uwag : wkªad w maª»e«swto, uzyskane rezultaty oraz ocena maª»onków dotycz ca "poziomu" miªo±ci: gor ca czy harmonijna. M»czy¹ni i kobiety zostali poproszeni o udzielenie odpowiedzi na poni»sze pytania: 1 Jak by± opisaª/a swój wkªad w maª»e«stwo? 2 Jak by± opisaª/a rezultaty z maª»e«stwa? 3 Jaki jest poziom gor cej miªo±ci jaki czujesz do partnera/ki? 4 Jaki jest poziom harmonijnej miªo±ci jaki czujesz do partnera/ki? x 1 = 8-stopniowa skala odpowiedzi na Pyt.1 x 2 = 8-stopniowa skala odpowiedzi na Pyt.2 x 3 = 5-stopniowa skala odpowiedzi na Pyt.3 x 4 = 5-stopniowa skala odpowiedzi na Pyt.4 Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza 23 wariancji Finansowa, marca 2014 8 semestr) 98 / 110

Analiza prolowa Przykªad cd. Dwie populacje s deniowane nast puj co: Populacja 1- m»czy¹ni Populacja 2- kobiety Zakªadaj c wspóln macierz wariancji- kowariancji Σ interesuje nas to, czy prole m»czyzn i kobiet s takie same. Z próbki n 1 = 30 m»czyzn i n 2 = 30 kobiet otrzymujemy wektory warto±ci oczekiwanych: x 1 = 6.833 7.033 3.967 4.700 x 2 = 6.633 7.000 4.000 4.533 Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza 23 wariancji Finansowa, marca 2014 8 semestr) 99 / 110

Analiza prolowa Przykªad cd. Oraz macierz wariancji - kowariancji: S = 0.606 0.262 0.066 0.161 0.262 0.637 0.173 0.143 0.066 0.173 0.810 0.029 0.161 0.143 0.029 0.306 Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza23wariancji Finansowa, marca 20148 semestr) 100 / 110

Analiza prolowa Przykªad cd. Przedstawienie graczne proli: Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza23wariancji Finansowa, marca 20148 semestr) 101 / 110

Analiza prolowa Przykªad cd. Obliczamy: CSC = C( x 1 x 2 ) = 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 S 0.719 0.268 0.125 0.268 1.101 0.751 0.125 0.751 1.058 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0.200 0.033 0.033 0.167 = = 0.167 0.066 0.200 Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza23wariancji Finansowa, marca 20148 semestr) 102 / 110

Analiza prolowa Przykªad cd. T 2 = [ 0.167 0.066 0.200 ] ( 1 30 + 1 30 ) 1 1 0.719 0.268 0.125 0.167 0.268 1.101 0.751 0.066 = 15 0.067 = 1.005 0.125 0.751 1.058 0.200 Przyjmuj c α = 0.05: c 2 = [(30 + 30 2)(4 1)/(30 + 30 4)] F 3,56 (0.05) = 3.11 2.8 = 8.7 T 2 = 1.005 < 8.7 Przyjmujemy hipotez o równolegªo±ci proli dla m»czyzn i kobiet. (Przypominaj c sobie wykres nie powinni±my by zdziwieni otrzymanym wynikiem.) Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza23wariancji Finansowa, marca 20148 semestr) 103 / 110

Analiza prolowa Przykªad cd. Zakªadaj c równolegªo± proli testujemy pokrywanie si proli. Aby sprawdzi H 02 : 1 µ 1 = 1 µ 2 potrzebujemy: ( x 1 x 2 ) = 1 ( x 1 x 2 ) = 0.367 S = 1 S1 = 4.207 Korzystaj c macierzy kontrastu otrzymujemy: ( ) 2 T 2 = = 0.501 Na poziomie α = 0.05: 0.367 ( 1 30 + 1 30 )4.027 F 1,58 = 4.0 oraz T 2 = 0.501 < F 1,58 (0.05) = 4.0 Nie mo»emy odrzuci hipotezy,»e prole si pokrywaj. Czyli odpowiedzi na 4 pytania m»czyzn i kobiet s takie same. Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza23wariancji Finansowa, marca 20148 semestr) 104 / 110

Analiza prolowa Przykªad cd. Teraz mogliby±my testowa pokrywanie si proli, jednak»e w naszym przypadku to nie ma sensu, poniewa» Pyt. 1 i Pyt. 2 s mierzone w 8-stopniowej skali, a Pyt.3 i Pyt.4 s mierzone w 5-stopniowej skali. Niezgodno± skali sprawia,»e test na pokrywanie si proli jest pozbawiony sensu. Przykªad ten ukazuje jednocze±nie potrzeb jednolito±ci jednostek dla przeprowadzenia kompletnej analizy prolowej. Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza23wariancji Finansowa, marca 20148 semestr) 105 / 110

Analiza prolowa Zadanie Socjolog przebadaª grup dorosªych, jak oceniaj swoje maª»e«stwa. Brane byªy pod uwag : wkªad w maª»e«swto, uzyskane rezultaty oraz ocena maª»onków dotycz ca "poziomu" miªo±ci: gor ca czy harmonijna. M»czy¹ni i kobiety zostali poproszeni o udzielenie odpowiedzi na poni»sze pytania: 1 Jak by± opisaª/a swój wkªad w maª»e«stwo? 2 Jak by± opisaª/a rezultaty z maª»e«stwa? 3 Jaki jest poziom gor cej miªo±ci jaki czujesz do partnera/ki? 4 Jaki jest poziom harmonijnej miªo±ci jaki czujesz do partnera/ki? x 1 = 8-stopniowa skala odpowiedzi na Pyt.1 x 2 = 8-stopniowa skala odpowiedzi na Pyt.2 x 3 = 8-stopniowa skala odpowiedzi na Pyt.3 x 4 = 8-stopniowa skala odpowiedzi na Pyt.4 Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza23wariancji Finansowa, marca 20148 semestr) 106 / 110

Analiza prolowa Przyjmujemy α = 0.05. Na pocz tek sprawdzamy równolegªo± proli: Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza23wariancji Finansowa, marca 20148 semestr) 107 / 110

Analiza prolowa Poniewa» p = 0.9963 > α przyjmujemy hipotez zerow, zatem mo»emy bada, czy prole si pokrywaj : Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza23wariancji Finansowa, marca 20148 semestr) 108 / 110

Analiza prolowa Poniewa» p = 0.3295 > α przyjmujemy hipotez mówi c o tym,»e prole si pokrywaj. Nast pnie zbadamy czy prole s poziome: Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza23wariancji Finansowa, marca 20148 semestr) 109 / 110

Analiza prolowa Poniewa» p = 0.0241 < α, wi c odrzucamy hipotez mówi c o tym,»e prole s poziome. Paulina Grabowska Magdalena Kloc Emilia Porównywanie Kozdembawielowymiarowych Adam Pierko (FTiMS, ±rednich. Matematyka Analiza23wariancji Finansowa, marca 20148 semestr) 110 / 110