PORTFELE FUNDAMENTALNE I PORTFELE Z CHAOSEM ANALIZA PORÓWNAWCZA

W Y D A W N I C T W O P O L I T E C H N I K I Ś L Ą S K I E J W G L I W I C A C H ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ 208 Sera: ORGANIZACJA I ZARZĄDZANIE z. 30 PORTFELE FUNDAMENTALNE I PORTFELE Z CHAOSEM ANALIZA PORÓWNAWCZA Moka MIŚKIEWICZNAWROCKA, Katarzya ZEUGŻEBRO 2 Uwersytet Ekooczy w Katowcach, Katowce; oka.skewcz@ue.katowce.pl 2 Uwersytet Ekooczy w Katowcach, Katowce; katarzya.zeugzebro@ue.katowce.pl Streszczee: Hstorycza foracja o stope zwrotu ryzyku poszczególych walorów są podstawowy czyka, a które westor zwraca uwagę przy podejowau decyzj westycyjych. Na podstawe tych charakterystyk oża już wstępe określć ajejszą spodzewaą stopę zwrotu czy też ajwyższe ożlwe ryzyko portfela. Prowadzoe od welu lat badaa dostarczają owych arzędz do budowy portfela optyalego. Wskaźk aalzy fudaetalej określające sytuację ekooczofasową spółek pozwalają a tak dobór odpowedch udzałów w portfelu, ających a celu jego dywersyfkację. Nowy podejśce zapropooway przez autorów jest zastosowae ar deterstyczego chaosu tj. ajwększego wykładka Lapuowa oraz wykładka Hursta. Cele artykułu jest próba zdywersyfkowaa ryzyka portfel fudaetalych portfel zbudowaych w oparcu o deterstyczego chaosu oraz ocea efektywośc otrzyaych portfel a podstawe ch rzeczywstych stóp zwrotu. W badaach pod uwagę wzęto spółk wchodzące w skład deksu WIG 20, które w oece budowaa portfela były otowae a GPW w Warszawe przyajej od 0 lat. Optyale portfele zostały zbudowae a koec każdego roku w latach 200 205. Słowa kluczowe: portfel fudaetaly, TMAI, ajwększy wykładk Lapuowa, wykładk Hursta. FUNDAMENTAL PORTFOLIOS AND CHAOS PORTFOLIOS A COMPARATIVE ANALYSIS Abstract: Hstorcal forato about the rate of retur ad the rsk of dvdual assets are basc factors that a vestor pays atteto to whe akg vestet decsos. Based o these characterstcs, the lowest expected rate of retur or the hghest possble portfolo rsk ca be predetered. Research coducted for ay years provdes ew tools for buldg a optal portfolo. The dcators of fudaetal aalyss defg ecoofacal stuato of copaes allow for selecto of approprate shares the portfolo, aed at ts dversfcato. The ew approach proposed by the authors s the use of deterstc chaos easures,.e. the largest expoet of Lapuov ad the Hurst expoet. https://www.polsl.pl/wydzaly/roz/stroy/zeszytyaukowe.aspx

460 M. MśkewczNawrocka, K. ZeugŻebro The a of the paper s a attept to dversfy the rsk of fudaetal portfolos ad portfolos bult o the bass of deterstc chaos as well as to assess the effcecy of portfolos receved based o ther actual rates of retur. I the study we used facal te seres of copaes cluded the WIG20 dex, whch at the te of portfolos buldg were lsted o the Warsaw Stock Exchage for at least 0 years. The optal portfolos were bult at the ed of each year 200205. Keywords: fudaetal portfolo, TMAI, the largest Lyapuov expoet, Hurst expoet.. Wprowadzae Prowadzoe od welu lat badaa pokazały, że kostrukcja portfela optyalego etodą Markowtza zwykle e daje ajlepszych rezultatów. W ostatch latach pojawły sę węc arzędza, które poza stopą zwrotu ryzyke westycj wykorzystują wskaźk określające kodycję ekooczofasową spółk, p. taksoocza ara atrakcyjośc westycj. Alteratywy podejśce jest wykorzystae ary detyfkacj chaosu, tj. wykładka Hursta, ajwększego wykładka Lapuowa. Poeważ deterz szeregów chaotyczych wskazuje.. a potecjalą ożlwość ch predykcj przypuszcza sę róweż, że stote wpływa a kostrukcje portfela optyalego. Cele artykułu jest próba zdywersyfkowaa ryzyka portfela westycyjego oraz ocea efektywośc otrzyaych portfel a podstawe ch rzeczywstych stóp zwrotu. W ty celu zbudowae zostały portfele optyale wyzaczoe w oparcu o ary deterstyczego chaosu oraz ary porządkowaa lowego. W badaach pod uwagę wzęto cey akcj spółek wchodzących w skład deksu WIG 20, które w oece budowaa portfela były otowae a GPW w Warszawe przyajej od 0 lat. Optyale portfele zostały zbudowae a koec każdego roku w latach 200 205. 2. Portfele fudaetale Do wyzaczea udzałów struetów fasowych w optyaly portfelu oża wykorzystać etody porządkowaa lowego, tj. wskaźk względego pozou rozwoju (), uogóloą arę odległośc (GDM) a także sytetyczy erk rozwoju (TMAI).

Portfele fudaetale portfele 46 Wskaźk jest sytetyczą arą bezwzorcową, szacowaą według astępującego wzoru (Pocecha, 988): z y gdze: x k j k j z ax z, () y y, (2) x x j, (3) S j wskaźk względego pozou rozwoju, 0, wartość jtej zeej dla tego obektu,, y zoralzowaa obserwacja x, x j średa arytetycza jtej zeej, S j odchylee stadardowe jtej zeej,,..., uer obektu, j,..., uer zeej. I wartość jest blższa, ty obekt jest lepszy według przyjętego kryteru. Do kostrukcj ary GDM wykorzystao deę uogóloego współczyka korelacj lowej Pearsoa oraz współczyk korelacj tau Kedalla (Walesak, 2002). Dla zeych erzoych a skal lorazowej (lub) przedzałowej odległość GDM daa jest wzore (Walesak, 20): gdze: z z z z z z z z kj kj lj kj lj j j l l, k d k, (4) 2 2 2 2 2z zlj zkj zlj j l j l d k d, uogóloa ara odległośc GDM, 0, k, l,..., uery obektów, pozostałe ozaczea j.w. k Kostrukcja TMAI opera sę a oszacowau odległośc każdego obektu od obektu wzorca za poocą wzoru (Tarczyńsk, 2002): 2 2 y y0 j j d,,..., ; (5)

462 M. MśkewczNawrocka, K. ZeugŻebro gdze: y 0 j j d odległość tego obektu od obektu wzorca, obekt wzorzec, ustaloy a podstawe wzoru y0 ax y, (6) y, j.w. TMAI d 0 Ostat etape jest oralzacja TMAI: d,,... ; (7) d, 0 gdze: taksoocza ara atrakcyjośc tego obektu, ora zapewająca przyjowae przez wartośc z przedzału 0,, d TMAI d 2S 0 d d, S d, TMAI średa arytetycza odchylee stadardowe Portfele fudaetale zbudowao a podstawe astępujących odel optyalzacyjych (Tarczyńsk, Łuewska, 2004): Zadae ax x, (9) z waruka ograczający: R p R 0 S x x S x 0,,...,, gdze: R R p R p 0 oczekwaa stopa zwrotu portfela akcj: x R, (0) oczekwaa stopa zwrotu tej akcj, S p ryzyko portfela akcj: S 2 p 2 2 x S x j 2 x S S, () S odchylee stadardowe akcj tej spółk, współczyk korelacj tej akcj z jtą akcją, R0 oczekwaa stopa zwrotu dla spółek, x udzał tej akcj w portfelu, j j d. (8)

Portfele fudaetale portfele 463 lczba akcj w portfelu. pozostałe ozaczea j.w. Zadae 2 GDM x, (2) z waruka ograczający: R p R 0 S x x S x 0,,...,, gdze: ozaczea j.w. Zadae 3 0 ax TMAI x, (3) z waruka ograczający: R p R 0 S x x S x 0,,...,, gdze: ozaczea j.w. 0 3. Portfele z chaose Wśród ajstotejszych charakterystyk elowych szeregów oża wyróżć wykładk Hursta ajwększy wykładk Lapuowa. Perwszy z ch bada występowae efektu długej paęc. Pozwala a rozróżee szeregów losowych (przypadkowych) od szeregów losowych z obcążoy błądzee przypadkowy. Przyjuje wartośc z przedzału [0, ]. Jeśl szereg a charakter błądzea przypadkowego, to H = 0.5. (szereg losowy) Wówczas teraźejsze wartośc szeregu e ają wpływu a przyszłe. Wartość wykładka róża od 0.5, ozacza że obserwacje e są ezależe. Każda obserwacja przechowuje paęć o wcześejszych zdarzeach. Jeżel 0 H 0. 5 szereg jest atypersystety lub ergodyczy. W przypadku szeregu, dla którego 0.5 H szereg

464 M. MśkewczNawrocka, K. ZeugŻebro jest persystety, czyl wzacający tred. Sła zachowań wzacających tred, jest ty wększa H jest blższe jedośc. Z kole H jest blższe 0,5 ty wyższy pozo szuu w szeregu ty ej określoy jest tred. 2002): Algoryt szacowaa wykładka Hursta jest astępujący (Chu S.H., K K.J.., Rozważy szereg czasowy złożoy z N obserwacj x x,...,, 2 x N.. Zaeay powyższy szereg obserwacj w M = N logarytczych stóp zwrotu według wzoru: x k y k log, k =, 2,..., N. (4) xk 2. Dzely szereg () a częśc złożoych z eleetów, = [M/], gdze: [ ] ozacza część całkowtą arguetu. Jeśl loraz M/ e jest lczbą całkowtą, to < M. W ty przypadku, w dalszej częśc algorytu użyjey wartośc, dla k =, 2,...,. 3. Defujey wartość z y k y y, (5) gdze: y y y j ozacza jtą wartość w ty przedzale,, =, 2,...,. 4. Dla każdego, cąg su częścowych j z wyraża sę wzore u z, =, 2,...,, j =, 2,...,. (6) Zauważy, że u j wartośc w przedzale. jest skuuloway odchylee od wartośc średej dla perwszych 5. Zakres tego przedzału defujey jako R j u u ax. (7) j 6. Uorowaa wartość zakresu dla tego przedzału częścowego rozaru jest daa wzore R / S, (8) gdze: 2 2 S z. j Oblczając średą uzyskay wyk aalzy R/S. (9) 7. Następe powtarzay oblczea zwększając długość przedzału o jedą jedostkę. Iterację kotyuujey do oetu aż osąge górą gracę

Portfele fudaetale portfele 465 fl N / 2. (20) ax 8. Ustalając achylee wykresu logarytów H. do os logarytów, otrzyay wartość Najwększy wykładk Lapuowa pozwala a odróżae szeregów chaotyczych od losowych. Dodata wartość ajwększego wykładka Lapuowa ozacza wrażlwość układu a zaę waruków początkowych, jedak e jest waruke wystarczający obecośc chaosu w baday układze. Oprócz wykładka Lapuowa do detyfkacj chaosu ajczęścej wykorzystuje sę wyar korelacyjy, który weryfkuje obecość deterzu kolejej cechy dyak chaotyczej. Jako uzupełee stosuje sę test BDS, aalzę przeskalowaego zakresu R/S, a także etropę. Układ dyaczy (X, f ) jest wrażlwy a zaę waruków początkowych, jeżel steje lczba 0 U puktu x steją f gdze: x f y f spełająca waruek, że dla każdego y U oraz take że: x X oraz dla każdego otoczea, (2) jest kroty złożee odwzorowaa f. (Devaey R.L., 987, Wggs 990, za: Zawadzk, 996]. Zate układ dyaczy jest wrażlwy a zaę waruków początkowych, jeżel po skończoej lczbe kroków odległość poędzy dwoa dowoly blsk pukta x, y S zwększy sę o węcej ż. Dla układów dyaczych z czase dyskrety (X, f), opsaych za poocą rówań rekurecyjych perwszego rzędu postac: t x t X R, f : X X x f, t 0,,2,..., (22) gdze: x t, x t ozaczają sta układu w chwlach odpowedo t t wykładk Lapuowa są zdefowae jako grace (Zawadzk, 996): x 0 l l, x 0, =...., for, (23), x 0 są wartośca własy odwzorowaa gdze: fukcj f. f, f jest kroty złożee Wykładk Lapuowa erzą średe tepo rozbeżośc trajektor dwóch początkowo blskch sobe puktów przestrze staów. Dla wyarowego układu dyaczego steje wykładków Lapuowa. Najwększy wykładk Lapuowa pokazuje w przyblżeu, le razy średo w jedej teracj zwększa sę lub zejsza sę odległość ędzy sąsed (początkowo blsk sobe) trajektora. Gdy ajwększy wykładk Lapuowa jest ujey jedakowy dla wszystkch (prawe wszystkch) puktów przestrze staów X, układ dyaczy geeroway przez odwzorowae f e jest wrażlwy. Kedy wykładk jest dodat układ jest wrażlwy a zaę waruków początkowych.

466 M. MśkewczNawrocka, K. ZeugŻebro Dla rzeczywstych szeregów czasowych, gdy e jest zaa fukcja geerująca f, ajwększy wykładk Lapuowa szacuje sę a podstawe zależośc (Katz Schreber, 2004): ax 0 e, (24) jako współczyk kerukowy rówaa regresj (Katz Schreber, 2004): l l, (25) gdze: 0 ax 0 ozacza odległość (w sese odległośc eukldesowej) poędzy dwoa początkowo blsk pukta zrekostruowaej przestrze staów, odległoścą poędzy ty say pukta po krokach teracj, a ajwększy wykładke Lapuowa. Udzały w portfelu optyaly zostaą wyzaczoe za poocą zadań optyalzacyjych (MśkewczNawrocka, ZeugŻebro, 207a, 207b): ax jest jest Zadae 4 ax H x, (26) z waruka ograczający: R p S x x R 0 S x 0,,...,, gdze: ozaczea j.w. 0 Zadae 5 ax ax x, (27) z waruka ograczający: R p S x x R 0 S x 0,,...,, gdze: ozaczea j.w. 0

Portfele fudaetale portfele 467 4. Badaa eprycze W aalze epryczej pod uwagę wzęto spółk wchodzące w skład deksu WIG20, które w oece budowy optyalego portfela były otowae a Gełdze Paperów Wartoścowych w Warszawe przyajej 0 lat. Optyale portfele akcj zostały wyzaczoe a koec każdego roku w okrese 200205, a zate aalzowae szereg czasowe pochodzły z okresu.0.200030.2.205. Wartośc ar, GDP TMAI dla badaych spółek oszacowao a podstawe daych zaeszczoych w raportach fasowych za trzec kwartał w latach 200205. Do aalzy jako zee dagostycze wybrao wskaźk rykowe /lub wskaźk ekooczofasowe, w zależośc od specyfk dzałalośc spółek (Nawrock Jabłońsk, 20; Tarczyńsk, 203). Dla spółek fasowych pod uwagę wzęto astępujące wskaźk: retowośc: retowość aktywów (ROA), retowość kaptału własego (ROE), adekwatośc kaptałowej (współczyk wypłacalośc); Natoast dla spółek efasowych zastosowao: wskaźk płyośc: wskaźk płyośc beżącej, wskaźk płyośc szybkej, wskaźk retowośc: retowość aktywów (ROA), retowość kaptału własego (ROE), arża ze sprzedaży, wskaźk zadłużea: wskaźk ogólego zadłużea, sprawość zarządzaa: wskaźk rotacj ależośc, wskaźk rotacj zapasów. Wybór tych cech podyktoway był stotoścą foracj oraz dostępoścą daych potrzebych do ch wyzaczea. W celu wyzaczea wartośc ajwększego wykładka Lapuowa oraz wykładka Hursta dla aalzowaych spółek pod uwagę wzęto szereg czasowe utworzoe z logarytów dzeych stóp zwrotu ce zakęca w okrese.0.2000 30.2.205. W oparcu o algoryty przedstawoe w pukce 3 za poocą prograu GRETL oszacowao wartośc wyżej wyeoych wykładków za poocą prograu apsaego przez autora w języku Delph oraz prograu GRETL. W kolejy etape badaa zbudowao 30 optyalych portfel akcj, rozwązując przedstawoe w puktach 2 3 zadaa optyalzacyje. Do oblczea udzałów poszczególych spółek w portfelu wykorzystao arzędze solver dodatek arkusza kalkulacyjego Excel. Następe oszacowao oczekwaą stopę zwrotu ryzyko każdego portfela oraz rzeczywstą roczą stopę zwrotu. Wyk ueszczoo w tabelach 5. Zak postawoo przy spółkach, których udzał w portfelu był rówy 0. Dae pochodzą z oblczeń własych autora a podstawe raportów fasowych spółek.

468 M. MśkewczNawrocka, K. ZeugŻebro Tabela. Stopa zwrotu, ryzyko udzały akcj w wyzaczoych portfelach będących rozwązae zadaa Z 200 20 202 0,0559 BHW CEZ BHW BRS 0,2954 0,2000 0,0329 0,3006 PXM TPSA 0,0039 TPSA TPSA 0,2 Oczekwaa st. zwrotu 0,083 0,0009 0,00048 St. zwrotu 0,0953 0,525997 0,320458 Ryzyko 0,00008 0,000232 0,0005 203 204 205 0,232 0,374 CCC 0,3688 BHW EURO LPP 0,829 LPP 0,2259 0,4 PGN TPSA 0 PKO 0,07 PKO Oczekwaa st. zwrotu 0,0008 0,00087 0,39976 St. zwrotu 0,06796 0,22862 0,383467 Ryzyko 0,00045 0,0004 0,000203 Tabela 2. Stopa zwrotu, ryzyko udzały akcj w wyzaczoych portfelach będących rozwązae zadaa 2 Z2 200 20 202 0,05 BHW CEZ 0,279 BHW 0,3253 BRS 0,0000 0,3606 0,2956 0,885 0,379 0,4 PXM TPSA TPSA TPSA 0,5 Oczekwaa st. zwrotu 0,083 0,0009 0,00082 St. zwrotu 0,8704 0,53722 0,0449 Ryzyko 0,0004 0,000205 0,0002 203 204 205 BHW TPSA 0,558 0,0442 LPP PKO 0,2540 0,83 0,646 CCC EURO LPP 0,2000

Portfele fudaetale portfele 469 PGN PKO Oczekwaa st. zwrotu 0,000027 0,0000 0,399934 St. zwrotu 0,064478 0,2290 0,53029 Ryzyko 0,00060 0,0004 0,0002 Tabela 3. Stopa zwrotu, ryzyko udzały akcj w wyzaczoych portfelach będących rozwązae zadaa 3 Z3 200 20 202 0,2526 BHW CEZ BHW 0,3253 BRS 0,2360 0,2956 0,2000 0,379 PXM TPSA TPSA TPSA 0,5 Oczekwaa st. zwrotu 0,083 0,00090 0,000476 St. zwrotu 0,04365 0,53722 0,320458 Ryzyko 0,000094 0,000205 0,0005 BHW TPSA 203 204 205 0,558 CCC EURO 0,0442 LPP 0,829 LPP PGN PKO 0,07072 PKO Oczekwaa st. zwrotu 0,000027 0,00087 0,400357 St. zwrotu 0,064478 0,22868 0,4690 Ryzyko 0,00060 0,00040 0,00038 0,2000 Tabela 4. Stopa zwrotu, ryzyko udzały akcj w wyzaczoych portfelach będących rozwązae zadaa 4 Z4 200 20 202 0.4000 0.3 0.4000 0.4000 BHW 0.302 CEZ 0.007 BHW 0.4000 BRS 0.875 0.0785 0.905 0.4000 0.0095 PXM TPSA TPSA TPSA 0.08 Oczekwaa st. zwrotu 0,083 0,0007 0,00086 St. zwrotu 0,04849 0,303723 0,492476 Ryzyko 0,00564 0,08493 0,0897

470 M. MśkewczNawrocka, K. ZeugŻebro BHW 203 204 205 0.402 0.4000 0.3853 0.0744 LPP PKO 0.224 0.3786 0.4000 CCC EURO LPP LTS PGN PKO Oczekwaa st. zwrotu 0,0008 0,0002 0,333798 St. zwrotu 0,00390 0,34304 0,43249 Ryzyko 0,0462 0,02506 0,0752 0.4000 0.2665 0.3335 Tabela 5. Stopa zwrotu, ryzyko udzały akcj w wyzaczoych portfelach będących rozwązae zadaa 5 Z5 200 20 202 PXM 0,2426 0,3574 BHW 0,2000 BHW BRS 0,398 0,2802 Oczekwaa st. zwrotu 0,000240 0,000853 0,00033 St. zwrotu 0,264658 0,472292 0,490827 Ryzyko 0,0008 0,0007 0,0007 203 204 205 BHW 0,0470 0,530 LPP SNS 0,0699 0,0000 0,30 0,0000 0,0000 0,2000 Oczekwaa st. zwrotu 0,00069 0,000076 0,00023 St. zwrotu 0,050649 0,242797 0,04305 Ryzyko 0,00009 0,000099 0,00008 Na podstawe daych przedstawoych w tabelach 5 oża stwerdzć, że ajwyższe oczekwae stopy zwrotu Rp dla wszystkch portfel uzyskao w roku 205 200. Portfele otrzyae w wyku rozwązaa zdań optyalzacyjych 4 charakteryzują sę ajwększy oczekway stopa zwrotu portfela w wększośc przypadków. Wyjątek staow rok 20, gdze ajwyższą stopę zwrotu odotowao dla portfela będącego rozwązae zadaa optyalzacyjego 5. Poadto portfele będące rozwązae zadaa 5

Portfele fudaetale portfele 47 są obarczoe ajższy pozoa ryzyka. Najwyższe pozoy ryzyka odotowao dla portfel będących rozwązae zadaa 4 w latach 20204. Na rysuku dokoao porówaa roczych stóp zwrotu zbudowaych portfel ze stopą zwrotu deksu gełdowego WIG20 w latach 200 205. Dodatkowo oszacowao skuulowae stopy zwrotu dla wszystkch portfel oraz deksu WIG20. Wyk prezetuje rysuek 2. Rysuek. Rocze stopy zwrotu dla wyzaczoych portfel oraz deksu WIG20 w latach 200205. Aalzując rocze stopy zwrotu dla wyzaczoych portfel akcj (tabele 5, rys. ) ależy zauważyć, że ajwększy zysk oża było uzyskać westując w 20r w portfel zbudoway w oparcu o zadaa optyalzacyje Z2 Z3, a astępe w 202 r wyberając portfele będące rozwązae zadań Z4 Z5. W roku 203 205 stopy zysku z portfel będących rozwązae zadań Z2 Z3 były ajwyższe. Na podstawe daych zawrtych a rys. oża zauważyć, że w każdy roku oszacowae portfele dają wyższe stopy zwrotu ż deks WIG 20. Wyjątek staow rok 204, gdze uzyskao ujee stopy zwrotu dla każdego z portfel. Rysuek 2. Skuulowae stopy zwrotu dla wyzaczoych portfel oraz deksu WIG20 w latach 2004205.

472 M. MśkewczNawrocka, K. ZeugŻebro Na podstawe daych zawartych a rys. 2 oża zauważyć, że rozważae podejśca wyzaczaa portfel optyalych dają lepsze rezultaty ż deks WIG 20. Poadto, zastosowae wykładka Hursta do wyzaczaa portfel optyalych daje lepsze lub tak sao dobre rezultay jak portfele fudaetale opsae zadaa Z Z 3. Oszacowae 6lete stopy zwrotu dla rozpatrywaych strateg pokazały, że ajbardzej opłacale okazało sę westowae w portfel będący rozwazae zadaa Z (,0776), astepe Z3 (0,70), Z4 (0,4850) Z5 (0,480). Najgorsze w dług tere okazały sę stratege westycyje oparte a zadau optyalzacyjy Z2, dla którego 6leta stopa zwrotu wyosła 0,207. W ty okrese stopa zwrotu z deksu WIG20 wyosła 0,0622. 5. Podsuowae Zastosowae arzędz elowych układów dyaczych, jak są ajwększy wykładk Lapuowa oraz wykładk Hursta, wydaje sę waży eleete badań dotyczących aalzy portfelowej. Przeprowadzoe badaa pokazały, że zapropoowae zadaa optyalzacj oparte a wykładku Hursta ejedokrote dają lepsze lub tak sao dobre wyk jak etody fudaetale, które uwzględają stotą w westowau sytuację ekooczofasową spółk. Bblografa. Chu, S.H., K, K.J., K, S.H. (2002). Chaotc aalyss of predctablty versus kowledge dscovery techques: case study of the Polsh stock arket. Expert Systes, 9, No. 5, 264272. 2. Devaey, R.L. (987). A Itroducto to Chaotc Dyacal Systes, AddsoWesley Redwood Cty: Publshg Copay, Ic. 3. Katz, H., Schreber, T. (2004). (secod edto). Nolear Te Seres Aalyss. Cabrdge Uversty Press. 4. MśkewczNawrocka, M., ZeugŻebro, K. (207a). The effcecy of stocks vestet strategy wth the use of chose easures of deterstc chaos to buldg optal portfolos. I Proceedgs of 35 th Iteratoal Coferece Matheatcal Methods Ecoocs, Czech Republc. 5. MśkewczNawrocka, M., ZeugŻebro, K. (207b). The evaluato of the effectveess of a logter stocks vestet strategy based o the largest Lyapuov expoet.

Portfele fudaetale portfele 473 th Iteratoal Scetfc Coferece o Facal Maageet of Frs ad Facal Isttutos, Ostrava. 6. Nawrock, T., Jabłońsk, B. (20). Iwestowae a Ryku Akcj. Jak Oceć Potecjał Rozwojowy Fr Notowaych a GPW w Warszawe. Warszawa: Wydawctwo CeDeWu. 7. Pocecha, J., Podolec, B., Sokołowsk, A., Zając, K. (988), Metody taksoocze w badaach społeczoekooczych. Warszawa: PWN. 8. Tarczyńsk, W. (2002). Fudaetaly portfel paperów wartoścowych. Warszawa: PWE. 9. Tarczyńsk, W. (203). Ocea efektywośc etod aalzy portfelowej a Gełdze Paperów Wartoścowych w Warszawe za lata 200203. Zeszyty Naukowe Uwersytetu Szczecńskego r 76, Fase, ryk fasowe, ubezpeczea, r 60, Szczec, 537550. 0. Tarczyńsk, W., Łuewska, M. (2004). Portfele klasycze, fudaetale zdywersyfkowae pozoo aalza porówawcza. Acta Uverstats Lodzess, Fola Oecooca, 77, 789.. Walesak, M. (2002). Uogóloa ara odległośc w statystyczej aalze welowyarowej. Wrocław: Akadea Ekoocza. 2. Walesak, M. (20). Uogóloa ara odległośc GDM w statystyczej aalze welowyarowej z wykorzystae prograu R. Wrocław: Wydawctwo Uwersytetu Ekooczego we Wrocławu. 3. Zawadzk, H. (996). Chaotycze systey dyacze. Eleety teor wybrae zagadea ekoocze. Zeszyty Naukowe Akade Ekooczej w Katowcach.