DZIAŁANIA NA UŁAMKACH DZIESIĘTNYCH.

DZIAŁANIA NA UŁAMKACH DZIESIĘTNYCH. Dodawanie,8 zwracamy uwagę aby podpisywać przecinek +, pod przecinkiem, nie musimy uzupełniać zerami z prawej strony w liczbie,8. Pamiętamy,że liczba to samo co,0, ( jeśli w liczbie nie ma przecinka to możemy go postawić na końcu) Odejmowanie, zwracamy uwagę aby podpisywać przecinek po przecinkiem i tutaj musimy liczbę - 8,8, uzupełnić z prawej strony zerem ( ostatni rząd musi być uzupełniony) więc 9 9 0,0 0,000-8,8-0,8,88,9 Mnożenie w mnożeniu pisemnym nie podpisujemy przecinka pod przecinkiem ale staramy się tak podpisać aby ostatnia kolumna była uzupełniona.,, Dobrze jest liczbę która ma więcej cyfr podpisać jako pierwszą *, *, źle podpisane 0 + 0 wykonujemy schodek, pierwsza liczba, posiada miejsca po przecinku druga liczba, tylko jedno razem więc mamy miejsca po przecinku dlatego w liczbie odcinamy od końca miejsca otrzymując, Dzielenie aby wykonać dzielenie należy w obu dzielonych liczbach przesunąć przecinek o tyle miejsc w prawo Aby druga liczba ( dzielnik) nie miała przecinka na przykład,, =,,,9 = 9,, =,, 0,, 0, =, =, 8 = 0, - - 0 = 0 - - = 0 - - == - =0-0 = == UŁAMKI ZWYKŁE SKRACANIE polega na tym, że dzielimy licznik i mianownik ułamka przez taką samą liczbę na przykład podzieliliśmy licznik i mianownik ( i 8 ) przez liczbę 8 8 teraz najlepiej było podzielić licznik i mianownik ( i 8 ) przez liczbę ROZSZERZANIE polega na tym,że mnożymy licznik i mianownik ułamka przez taką samą liczbę np. * wynik dzielenia = mnożymy przez licznik stąd 0 0 ( pomnożono przez ) albo WYŁĄCZNIE CAŁOŚCI ( pomnożono przez ) = bo = i reszty jeden 8 8 bo 8 = i reszty

ZAMIANA NA UŁAMEK NIEWŁAŚCIWY Całości czyli mnożymy przez mianownik czyli i do wyniku dodajemy licznik czyli ( * + = ) 8 8 wpisujemy to do licznika, a mianownik zostaje bez zmian czyli * 8 + MNOŻENIE UŁAMKÓW ZWYKŁYCH 0 mnożymy licznik razy licznik i mianownik razy mianownik 8 - zamieniamy liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy i dopiero mnożymy ( na końcu powinniśmy wyłączyć całości) mnożymy liczbę tylko przez licznik a mianownik przepisujemy, albo drugim sposobem tutaj liczbę przedstawiamy jako ułamek i dopiero mnożymy. 9 = w mnożeniu można dokonywać skracania na krzyż oraz w pionie DZIELENIE UŁAMKÓW ZWYKŁYCH dzielenie ułamków zwykłych zastępujemy mnożeniem pierwszej liczby przez odwróconą drugą liczbę 9 dzielenie przez zastępujemy mnożeniem przez 8 8 9 8 9 zamieniamy liczby na ułamki niewłaściwe i dzielenie przez 9 zastępujemy mnożeniem przez 9 dzielenie przez to dzielenie przez zastępujemy mnożeniem przez DODAWANIE UŁAMKÓW ZWYKŁYCH aby dodać dwa ułamki zwykłe sprowadzamy do wspólnego mianownika a następnie dodajemy do siebie liczniki i mianowniki przepisujemy bez zmian gdy występują również całości najpierw dodajemy do siebie całości a potem ułamki 0 dla mianowników oraz wspólnym mianownikiem jest liczba bo *= *= tak można postąpić bo i nie mają wspólnych dzielników innych niż dla mianowników i wspólny mianownik to ( analizujemy wielokrotności większej liczby *= czyli tutaj są to liczby,, 8,, 0... najmniejsza z tych liczb która dzieli się przez to a) i wspólny mianownik to *=0 ( nie mają wspólnych dzielników innych niż ) b) i 8 to bo ( wielokrotności większej, czyli 8 to 8,,,, 0.. a najmniejsza z nich podzielna przez mniejszą czyli to ODEJMOWANIE UŁAMKÓW ZWYKŁYCH aby odjąć dwa ułamki zwykłe sprowadzamy do wspólnego mianownika, a następnie odejmujemy liczniki a mianownik przepisujemy bez zmian 9 ponieważ od nie można odjąć 9 pożyczamy jedną całość od całych i tą pożyczoną całość = ( )( 9 ) - łączymy z ułamkiem stojącym przy liczbie 8 9 9 8 =... ( bo zamiana na ułamek niewłaściwy ) pięć całych przedstawiamy jako i z tym,że = stąd =

DZIAŁANIA NA LICZBACH CAŁKOWITYCH Aby dodać dwie liczby o tych samych znakach ( ujemne) należy dodać ich wartości bezwzględne i postawić przed wynikiem minus ( -) + ( -) = - ( + ) = - Aby dodać dwie liczby o różnych znakach należy odjąć od większej wartości bezwzględnej mniejszą i przed wynikiem postawić znak tej liczby od której odejmowaliśmy drugą ( - ) + = - ( -) = - większą wartość bezwzględną ma liczba (-) dlatego od niej odejmowaliśmy i dlatego wynik jest ujemny. + ( -) = + ( ) = - (tutaj większą wartość bezwzględną ma liczba która jest dodatnia) Odejmując dwie liczby kierujemy się następującą zasadą z odejmowania robimy dodawania jednym z dwu sposobów jeżeli występuje tylko jeden minus dostawiamy przed nim +, jeśli zaś są obok siebie dwa minusy to zastępujemy ich + ( - ) - = ( -) + ( -) = -0 (występował jeden minus i dostawiliśmy przednim +) 8 ( - ) = 8 + = ( dwa minusy obok siebie zostały zastąpione + ) Przy mnożeniu i dzieleniu liczb ujemnych kierujemy się następującą zasadą parzysta liczba występujących minusów sprawia,że wynik działania jest dodatni, a nieparzysta liczba minusów daje wynik ujemny. ( - ) ( ) ( dwa minusy dały wynik dodatni) ( - ) = - ( jeden minus to liczba nieparzysta zatem wynik ujemny) ( - ) ( ) ( ) ( trzy minusy dały wynik ujemny ) ( - ) = bo ( -) = ( -) ( ) ( -) = - Przykład ( - ) + ( - ) ( - ) + - ( - ) = tutaj należy usunąć nawiasy według zasady + i daje -, - i - daje + - + + + = teraz należy do sumy liczb dodatnich ( i i i ) dodać sumę liczb ujemnych ( - i - ) + ( -) = 8

RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI. ALGORYTM ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ. Usuwamy nawiasy i występujące ułamki ( usuwanie ułamków odbywa się przez pomnożenie każdego wyrazu po lewej i prawej stronie równania przez taką liczbę, która jest wspólnym mianownikiem występujących wszystkich ułamków.. Przenosimy niewiadome na jedną stronę, a wiadome na drugą stronę. Jeżeli dany wyraz nie zmienia strony jest przepisywany jeżeli zaś zmienia stronę piszemy go ze zmienionym znakiem niż był po drugiej stronie. ( zazwyczaj przenosi się niewiadome na lewą stronę, a wiadome na prawą, ale może być również odwrotnie.. Redukujemy wyrazy podobne. ( w niektórych przypadkach redukcja wyrazów podobnych nie jest tak oczywista i tutaj należy dokonać wyłączenia czynnika przed nawias np. x + x tutaj trzeba zapisać x ( + ). ). Należy podzielić obie strony równania przez liczbę, która stoi przy niewiadomej. ( przy rozwiązywaniu nierówności jeżeli dzielimy obie strony przez liczbę ujemną należy zmienić znak nierówności na przeciwny np. -x < / (-) to x > - ( x ) x + = x( x ) - (x + ) / * - występują dwa ułamki, których wspólny mianownik wynosi zatem w celu usunięcia ułamków mnożymy każdy wyraz przez ( x ) x + = x( x ) - (x + ) - skracamy ułamki ( x- ) + ( x ) = x( x - ) - ( x + licznik ułamka zapisujemy w nawiasie. Dalej usuwamy nawiasy ( x - 8x + ) +x = x 8x x x 8x + 9 + x = x - 8x x - przenosimy niewiadome na jedną stronę wiadome na drugą x 8x + x - x + 8x + x= + - 9 - redukujemy wyrazy podobne - x = - 9 - dzielimy obie strony przez (- ) bo stoi przy niewiadomej 9 x = - takie równanie posiada jedno rozwiązanie na które 9 mówimy pierwiastkiem równania jest liczba INNE MOŻLIWE ROZWIĄZANIA RÓWNANIA Jeżeli rozwiązując równanie otrzymamy zapis 0 = 0 ( zredukowały się x,a druga strona wynosi 0) Równanie takie nazywamy tożsamościowym,a jego Rozwiązaniem jest każda liczba rzeczywista. Jeżeli rozwiązując równanie otrzymamy zapis np. 0 = 0 ) Równanie takie nazywamy sprzecznym, które nie posiada Rozwiązań ( zredukowały się x,a druga strona nie wynosi

DZIAŁANIA NA UŁAMKACH DZIESIĘTNYCH. Dodawanie,8 zwracamy uwagę aby podpisywać przecinek +, pod przecinkiem, nie musimy uzupełniać zerami z prawej strony w liczbie,8. Pamiętamy,że liczba to samo co,0, ( jeśli w liczbie nie ma przecinka to możemy go postawić na końcu) Odejmowanie, zwracamy uwagę aby podpisywać przecinek po przecinkiem i tutaj musimy liczbę - 8,8, uzupełnić z prawej strony zerem ( ostatni rząd musi być uzupełniony) więc 9 9 0,0 0,000-8,8-0,8,88,9 Mnożenie w mnożeniu pisemnym nie podpisujemy przecinka pod przecinkiem ale staramy się tak podpisać aby ostatnia kolumna była uzupełniona.,, Dobrze jest liczbę która ma więcej cyfr podpisać jako pierwszą *, *, źle podpisane 0 + 0 wykonujemy schodek, pierwsza liczba, posiada miejsca po przecinku druga liczba, tylko jedno razem więc mamy miejsca po przecinku dlatego w liczbie odcinamy od końca miejsca otrzymując, Dzielenie aby wykonać dzielenie należy w obu dzielonych liczbach przesunąć przecinek o tyle miejsc w prawo Aby druga liczba ( dzielnik) nie miała przecinka na przykład,, =,,,9 = 9,, =,, 0,, 0, =, =, 8 = 0, - - 0 = 0 - - = 0 - - == - =0-0 = == UŁAMKI ZWYKŁE MNOŻENIE UŁAMKÓW ZWYKŁYCH 0 mnożymy licznik razy licznik i mianownik razy mianownik 8 - zamieniamy liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy i dopiero mnożymy ( na końcu powinniśmy wyłączyć całości) mnożymy liczbę tylko przez licznik a mianownik przepisujemy, albo drugim sposobem tutaj liczbę przedstawiamy jako ułamek i dopiero mnożymy. 9 = w mnożeniu można dokonywać skracania na krzyż oraz w pionie DZIELENIE UŁAMKÓW ZWYKŁYCH dzielenie ułamków zwykłych zastępujemy mnożeniem pierwszej liczby przez odwróconą drugą liczbę 9 dzielenie przez zastępujemy mnożeniem przez 8 8 9 8 9 zamieniamy liczby na ułamki niewłaściwe i dzielenie przez 9 zastępujemy mnożeniem przez 9 dzielenie przez to dzielenie przez zastępujemy mnożeniem przez

DODAWANIE UŁAMKÓW ZWYKŁYCH aby dodać dwa ułamki zwykłe sprowadzamy do wspólnego mianownika a następnie dodajemy do siebie liczniki i mianowniki przepisujemy bez zmian gdy występują również całości najpierw dodajemy do siebie całości a potem ułamki 0 dla mianowników oraz wspólnym mianownikiem jest liczba bo *= *= tak można postąpić bo i nie mają wspólnych dzielników innych niż dla mianowników i wspólny mianownik to ( analizujemy wielokrotności większej liczby *= czyli tutaj są to liczby,, 8,, 0... najmniejsza z tych liczb która dzieli się przez to c) i wspólny mianownik to *=0 ( nie mają wspólnych dzielników innych niż ) d) i 8 to bo ( wielokrotności większej, czyli 8 to 8,,,, 0.. a najmniejsza z nich podzielna przez mniejszą czyli to ODEJMOWANIE UŁAMKÓW ZWYKŁYCH aby odjąć dwa ułamki zwykłe sprowadzamy do wspólnego mianownika, a następnie odejmujemy liczniki a mianownik przepisujemy bez zmian 9 ponieważ od nie można odjąć 9 pożyczamy jedną całość od całych i tą pożyczoną całość = ( )( 9 ) - łączymy z ułamkiem stojącym przy liczbie 8 9 9 8 =... ( bo zamiana na ułamek niewłaściwy ) pięć całych przedstawiamy jako i z tym,że = stąd = DZIAŁANIA NA LICZBACH CAŁKOWITYCH Aby dodać dwie liczby o tych samych znakach ( ujemne) należy dodać ich wartości bezwzględne i postawić przed wynikiem minus ( -) + ( -) = - ( + ) = - Aby dodać dwie liczby o różnych znakach należy odjąć od większej wartości bezwzględnej mniejszą i przed wynikiem postawić znak tej liczby od której odejmowaliśmy drugą ( - ) + = - ( -) = - większą wartość bezwzględną ma liczba (-) dlatego od niej odejmowaliśmy i dlatego wynik jest ujemny. + ( -) = + ( ) = - (tutaj większą wartość bezwzględną ma liczba która jest dodatnia) Odejmując dwie liczby kierujemy się następującą zasadą z odejmowania robimy dodawania jednym z dwu sposobów jeżeli występuje tylko jeden minus dostawiamy przed nim +, jeśli zaś są obok siebie dwa minusy to zastępujemy ich + ( - ) - = ( -) + ( -) = -0 (występował jeden minus i dostawiliśmy przednim +) 8 ( - ) = 8 + = ( dwa minusy obok siebie zostały zastąpione + ) Przy mnożeniu i dzieleniu liczb ujemnych kierujemy się następującą zasadą parzysta liczba występujących minusów sprawia,że wynik działania jest dodatni, a nieparzysta liczba minusów daje wynik ujemny. ( - ) ( ) ( dwa minusy dały wynik dodatni) ( - ) = - ( jeden minus to liczba nieparzysta zatem wynik ujemny) ( - ) ( ) ( ) ( trzy minusy dały wynik ujemny ) ( - ) = bo ( -) = ( -) ( ) ( -) = - Przykład ( - ) + ( - ) ( - ) + - ( - ) = tutaj należy usunąć nawiasy według zasady + i daje -, - i - daje + - + + + = teraz należy do sumy liczb dodatnich ( i i i ) dodać sumę liczb ujemnych ( - i - ) + ( -) = 8