Propozycje rozszerzeia metod wyzaczaia iepewości wyiku pomiarów wg Przewodika GUM () Uwzględiaie wpływu autokorelacji i ieadekwatości rozkładu wyików obserwacji w iepewości typu A Mykhaylo Dorozhovets Zygmut L. Warsza W części (z ), po podaiu defiicji i podstawowych wzorów do wyzaczaia parametrów iepewości wyików pomiarów wg międzyarodowego przewodika GUM oraz ograiczeń w ich stosowaiu, omówioo propozycję udoskoaleia i rozszerzeia zakresu stosowaia metody obliczaia iepewości typu A w praktyce, polegającą a uwzględiaiu korelacji pomiędzy wartościami obserwacji oraz wyborze adekwatego rozkładu prawdopodobieństwa. Zamieszczoo wioski oraz bibliografię podstawową i uzupełiającą. oprawy metrologiczie wyik pomiaru powiie zawierać zmierzoą wartość x badaej wielkości X i oceę jej iedokładości wyzaczoą w określoy, zay i powszechie zaakceptoway sposób. To drugie zadaie może obejmować kilka pojęć metrologiczych. Od dawa istieje matematycza teoria pomiarów zakładająca przypadkowy rozrzut wyików pomiaru, operująca prawdopodobieństwem i błędami przypadkowymi. Poadto w praktyce pomiarowej stosuje się błędy systematycze, w tym graicze do opisu dokładości pomiarów i przyrządów pomiarowych, obejmując przypadki, gdy wyiki obserwacji są powtarzale lub pomiar jest pojedyczy. Błędy pomiarowe przez pewie okres azywao też alteratywie uchybami, główie w pomiarach elektryczych. Te dwa opisy spróbowao ujedolicić w publikacji Guide to the Expressio of Ucertaity i Measuremet (w skrócie GUM), wydaej przez Międzyarodową Orgaizację Stadaryzacji ISO w 993 []. Zawiera oa ogóle reguły obliczaia i wyrażaia w praktyce wyiku pomiarów i jego iedokładości o wszystkich poziomach, zalecae do stosowaia w Służbie Miar, akredytowaych laboratoriach i w iych placówkach od pomiarów hadlowych w sklepie do pomiarów w badaiach techiczych i podstawowych. W Przewodiku tym jako miarę iedokładości pomiarów wprowadzoo owe pojęcie: ucertaity, zdefiiowae ieco iaczej iż błędy, tj. względem wartości wyiku pomiaru, czyli bez wykorzystaia teore- Prof. dr hab. iż. Mykhaylo Dorozhovets Politechika Lwowska, Politechika Rzeszowska Doc. dr iż. Zygmut L. Warsza Polskie Towarzystwo Metrologicze Warszawa tyczego pojęcia wartość rzeczywista. Jako odpowiedik tego termiu w polskiej literaturze metrologiczej, jeszcze awet poprzedzającej tłumaczeie Przewodika GUM [], zaczęto stosować termi iepewość. Podstawowa defiicja iepewości W Przewodiku GUM podao astępującą ogólą defiicję: Niepewość parametr, związay z wyikiem pomiaru, charakteryzujący rozrzut wartości, który moża w uzasadioy sposób przypisać wielkości mierzoej. Tego termiu używa się p. w azwach astępujących pojęć szczegółowych: iepewość stadardowa u A (x) odchyleie stadardowe, wyzaczae statystyczie, tj. metodą A z wartości obserwacji pomiarowych wg wzorów dla rozkładu ormalego iepewość stadardowa u B (x) szacowaa metodą B z modelowaia wpływów różych oddziaływań iepewość stadardowa złożoa u C (x) dla wypadkowej kompozycji rozkładów przy opisie iedokładości wyiku pomiaru iepewość rozszerzoa U p (x) wielokrotość k p u(x) jako połowa szerokości przedziału x o ustaloym poziomie ufości p. Publikacja ISO Guide to the Expressio of Ucertaity i Measuremet [], azywaa w literaturze w skrócie Guide, a ostatio akroimem GUM (jak polski Główy Urząd Miar). Tekst GUM przetłumaczył i bogatym kometarzem opatrzył J. Jaworski. Ukazało się oo w 999 i r. pod auspicjami Główego Urzędu Miar jako: Wyrażaie Niepewości Pomiaru. Przewodik []. 6
Sama azwa, pomimo, że utrwaliła się już w piśmieictwie polskim, adal budzi zastrzeżeia iektórych metrologów ze względu a ieścisłość zaczeiową i ieco pejoratywy jej odcień. Wg kometarza J. Jaworskiego w [ p.] termi iepewość jest iejedozaczy, gdyż używa się go zarówo jako pojęcie ogóle cechę pomiaru, jak i wg powyższej defiicji podstawowej - rówież dla parametrów rozkładu prawdopodobieństwa wyików pomiaru jako pojęć szczegółowych. Wg. Piotrowskiego [4, 5] ależało przyjąć ie słowo, p. iedokładość. Moża też było reaktywować awet termi wcześiej używay przez pomiarowców elektryków uchyb pomiaru 3, gdyż p. kula ai ie błądzi, ai ie jest iepewa, lecz chybia. Przetwarzaie sygału i odtwarzaie wartości wielkości mierzoej wg zaleceń GUM Przebieg procesu pomiarowego ilustruje rys. Rys.. Proces pomiarów i odtwarzaia wartości wielkości mierzoej (mesuradu) Oddziaływaia różego pochodzeia, zewętrze i wewętrze oraz zmiay parametrów toru pomiarowego powodują, że poszczególe obserwacje pomiarowe q i (x) przyjmują ie wartości iż mierzoa wartość x wielkości X, czyli mezuradu 4 i mogą się ie powtarzać. Przetwarzaie sygału i propagację zakłóceń w torze pomiarowym rozpatruje się w kieruku a wprost tj. od wielkości mierzoej do zbioru wartości wyików obserwacji. Po skorygowaiu przez poprawki uwzględiające zae oddziaływaia systematycze, wyzacza się ajbardziej prawdopodoby statystyczie wyik pomiaru. Wg Przewodika GUM tak, jak dla zbioru obserwacji q i o rozkładzie ormalym prawdopodobieństwa, jako wartość średią q oraz parametry charakteryzujące stopień rozproszeia tego rozkładu. 3 W języku ukraińskim dla błędu pomiarowego używa się zbliżoego foetyczie termiu pochibka 4 mezurad jest pojęciem szerszym iż wielkość mierzoa, które obejmuje też wieloparametrowe obiekty pomiaru, takie jak p.: zależość fukcyja y f (x), charakterystyka częstotliwościowa, współrzęde wektora itp. Wśród ich podstawowe zaczeie ma odchyleie stadardowe, azwae w Przewodiku iepewością stadardową typu A i ozaczoe jako u A (x). Z tzw. surowych wyików obserwacji pomiarowych ie moża wyelimiować bieżących stałych wpływów oddziaływań, gdyż wartość x ie jest zaa. Mogą też być oe ie w każdej z serii obserwacji w ciągu całego okresu eksploatacji przyrządu, w tym wskutek zmia waruków pomiaru. Natomiast jest możliwa idetyfikacja i elimiacja oddziaływań systematyczych progresujących i periodyczych, ale wymaga zastosowaia odpowiediego przetwarzaia sygałów lub procedur obliczeiowych off-lie, takich jak metoda regresji, filtracja cyfrowa, przekształceie FFT itp. [M M4]. Wartość średia wyiku ie ulega zmiaie jedyie dla składowej progresującej liiowej i wszystkich oscylacyjych o okresach będących parzystą wielokrotością odstępu czasu DT próbkowaia rówomierego. Niedokładość wyiku pomiaru wywołaą wpływem wszystkich oddziaływań, których ie moża a bieżąco idetyfikować i korygować, szacuje się poprzez iepewość u B (x), tj. wyzaczaą metodą B. Prawdopodobieństwo jej występowaia oceia się w okresie dłuższym, iż trwało zbieraie daej serii obserwacji, w oparciu o strukturę toru pomiarowego, przewidywae zakresy i rozkłady wartości oddziałujących czyików i ich współczyików wpływu. Obie iepewości wyzaczae są wg zasad statystyki, ale w róży sposób, tj.: ) iepewość typu A a podstawie obliczeń dla serii wyików obserwacji ) iepewość typu B a podstawie szacowaia, przy zakładaych a priori rozkładach prawdopodobieństwa każdej z przyczy iepewości. Niepewości A i B sumuje się geometryczie jako iezależe statystyczie od siebie wg wzoru ( ) ( )+ ( ) C A B u x u x u x i tworzy się rozkład wypadkowy możliwych wartości wielkości mierzoej jako kompozycję (splot) rozkładów składowych. Charakteryzuje go otrzymaa poprawa wartość wyiku pomiarów x, iepewość stadardowa złożoa u c (x) oraz iepewość rozszerzoa U P (x) przy arbitralie przyjętych współczyikach rozszerzeia lub 3 dla zadaego ich prawdopodobieństwa p,95 lub p,99. Jest to przedział wartości wielkości mierzoej odpowiadających wyikowi pomiarów z tym prawdopodobieństwem. Procedura odtwarzaia tego zbioru możliwych wartości x przebiega w kieruku odwrotym iż sygał w początkowej części procesu pomiarowego z rys.. Realizacja może odbywać się poza systemem pomiarowym a drodze obliczeń z wyików 7
obserwacji, lub w dalszej części toru pomiarowego, zwykle dziś skomputeryzowaej, w sposób iejawy i praktyczie a bieżąco, poprzez operacje a zbiorze wartości sygałów otrzymywaych dla poszczególych obserwacji. Tylko ajbardziej zaawasowae techiczie przyrządy i systemy pomiarowe są wyposażoe w przetworzeia sygału i oprogramowaie obejmujące procedury do idetyfikacji składowych systematyczych progresujących oraz zmieych periodyczie (p. automatycza korekcja zera, filtracja cyfrowa, przekształceie Fouriera, zastosowaie falek itp.), które moża wykorzystać do tego celu. W wielu pomiarach w praktyce trzeba sobie radzić prostszymi sposobami poprzez zewętrze obliczeia, obecie a ogół komputerowe. Parametry wyzaczae przy opracowywaiu opisu wyiku pomiarów, w tym iepewości składowe, zestawioo w tabeli. W awiązującej do treści Przewodika bogatej literaturze metrologiczej, p. [3 5, 7 ], omówioo wszechstroie sposoby liczeia iepewości stadardowej i rozszerzoej z uwzględieiem rozkładu Studeta dla ograiczoej liczby pomiarów, dla iych Tabela. Parametry obliczae przy wyzaczaiu wyiku pomiaru wg GUM Najbardziej prawdopodoby wyik pomiarów wartości mierzoej x średia skorygowaych wyików obserwacji q i Niepewość stadardowa typu A u A (x) obliczaa statystyczie z wyików obserwacji jako: odchyleie stadardowe u A (x) x q q i i rozkładów iż ormaly i dla splotu różych rozkładów przy pomiarach pośredich [7]. Opracowao też szereg procedur obliczeiowych, w tym zastosowaie metody Mote-Carlo [9] i programy komputerowe p. omawiae w []. W opracowaiu Przewodika uczesticzyło aż siedem międzyarodowych orgaizacji, a przyjęły go już do stosowaia zapewe wszystkie służby miar. Porządkuje o metody wyzaczaia i opisu iedokładości wyiku pomiarów, ujedolicając ich ujęcie w skali międzyarodowej. Ograiczeie zakresu ich stosowaia wyika z przyjętego założeia, że skorygowae przez poprawki wartości obserwacji pomiarowych (odczyty) moża traktować już jako podlegające rozrzutowi realizacje zmieej losowej, tj. ie brać pod uwagę ich kolejości i wzajemych statystyczych relacji, a tylko ich wartości metoda obliczeń iepewości u A. Szacując iepewość u B rówież jako losowe traktuje się iezae skutki różych determiistyczych oddziaływań. Niepewość wyików pomiarów zdefiiowao w Przewodiku bez stosowaia pojęcia wartość rzeczywista, wykorzystywaej dla błędów pomiarowych, co zdaiem S. Rabiovicha, autora kilku moografii Niepewość stadardowa typu B u B (x) szacowaa a podstawie wiedzy o modelach mat. wielkości, parametrów i ich rozkładów jako: odchyleie stadardowe u B (x) Złożoa iepewość stadardowa u C (x) wyiku pomiaru wartości x ( ) ( )+ ( ) C A B u x u x u x Niepewość rozszerzoa U p (x) o poziomie ufości p U p (x) k p u c (y) gdzie: k p t p ( eff ) współczyik rozszerzeia, t p współczyik t z tablic rozkładu Studeta dla poziomu ufości p i efektywej liczby stopi swobody eff Rówaie pomiaru wielkości y w pomiarach pośredich yf(x, x, x m ) Niepewość stadardowa złożoa wielkości y u C (y) przy ieskorelowaych argumetach m y u ( y) c i u c ( xi) gdzie: ci i x Niepewość rozszerzoa U(y) i U( y) ku( y) przy skorelowaych argumetach o wsp. r ij m m m i C i ij i C i j i i j+ i u y c u x r cu x c ( ) ( )+ ( ) gdzie: k współczyik rozszerzeia przyjęty arbitralie (jako lub 3) lub wyzaczoy dla rozkładu wypadkowego przy założoym poziomie ufości p o zasięgu światowym o błędach pomiarowych [3], stoi w sprzeczości z defiicją podawaą w iym podstawowym dokumecie ISO, tj. Międzyarodowym Słowiku Podstawowych i Ogólych Termiów Metrologii zwaym w skrócie VIM [4] 5. Podejście zawarte w Przewodiku, jak dotąd ie ujmuje też opisu iedokładości wielu wyików pomiarów występujących w praktyce, w których zmiay parametrów obiektu mierzoego i toru pomiarowego oraz wielkości wpływających ależy modelować procesami stochastyczymi stacjoarymi lub awet iestacjoarymi, zmieymi w czasie i w przestrzei, jako opisem ajbliższym rzeczywistości [3-5]. Treść Przewodika ie umożliwia aalizy dokładości pomiarów dyamiczych oraz cyfrowego przetwarzaia sygałów pomiarowych przy różych 5 Opracowaie pierwszego międzyarodowego Słowika Legalej Metrologii OIML zaiicjował w latach 96 prof. J. Obalski z Politechiki Warszawskiej. 8
algorytmach [6]. Dotyczy to w szczególości wielu pomiarów w badaiach, aukowych i techiczych oraz opisów przyrządów i systemów pomiarowych. W wielu tych przypadkach adal stosuje się błędy pomiarowe. Istiejące przepisy metrologicze ciągle ie adążają za potrzebami praktyki. Rozszerzeie zakresu stosowaia pojęcia iepewość jako miary iedokładości wyików pomiarów wymaga rozwiięcia metod jej wyzaczaia zawartych w Przewodiku. W poiższej dwuczęściowej publikacji omawia się kilka takich propozycji wyikłych z praktyki i dla iej przezaczoych. Ilustruje się je przykładami liczbowymi. Część zawiera propozycje rozwiięcia metody obliczeń iepewości typu A, zaś część udoskoaleia metody typu B. Zakres poruszaych zagadień ograiczoo do samego procesu pomiarowego. Przyjęto, że wartość rzeczywista wielkości mierzoej występuje bezpośredio a wejściu toru pomiarowego. Nie rozważa się iedokładości wyików pomiarów spowodowaej ieadekwatością przyjętego modelu obiektu oraz ie wyodrębia się wpływu zmia jego parametrów o charakterze systematyczym i przypadkowym, występujących wskutek oddziaływań wewętrzych i zewętrzych oraz zakłóceń. Powodują oe iedokładość samej wielkości mierzoej. Omawia się to w iej publikacji [5]. Jeśli jest to koiecze, to powio się zastosować odpowiedią filtrację sygału a wejściu układu pomiarowego lub cyfrową - wyików obserwacji. W opracowaiu wykorzystao szereg podstawowych zależości matematyczych z literatury uzupełiającej [M 4]. Zasady obliczaia iepewości typu A wg Przewodika GUM Po wyelimiowaiu z wyików obserwacji zidetyfikowaych wpływów oddziaływań systematyczych, wszystkie pozostałe składowe wywołujące iepewość wyików pomiarów, iezależie od przyczyy ich powstaia i charakteru oddziaływaia, traktuje się już łączie w jedolity sposób statystyczie. Składowa systematycza iepewości w jedej z serii pomiarowych może występować w iej jako losowa i a odwrót, p. wywołaa wahaiami temperatury otoczeia dla tej samej aparatury w tzw. krótkim i długim czasie zbieraia obserwacji pomiarowych, wg rozróżieia podaego przez Piotrowskiego [3 5]. Dla pojedyczej wartości x mierzoej wielkości iepewość stadardową u A (x) wyzacza się wg zaleceń Przewodika GUM jako eksperymetale odchyleie stadardowe serii skorygowaych wyików obserwacji pomiarowych o wartościach q i. Teoretycze założeia zastosowaej metody obliczeń są astępujące: ) wyiki obserwacji ie są skorelowae; ) rozkład prawdopodobieństwa ich populacji jest ormaly Cykl obliczeń jest astępujący: seria iezależych statystyczie wyików obserwacji q, q, q 3,..., q ich wartość średia q q i i wariacja eksperymetala odchyleie stadardowe eksperymetale ( i) ( i) sq s q iepewość stadardowa typu A Podae w Przewodiku GUM sposoby liczeia parametrów iepewości u A (x) są praktyczie tożsame z wcześiej stosowaymi dla pozorych błędów przypadkowych. Wpływ korelacji pomiędzy wartościami wyików obserwacji Często w praktyce pomiarowej, aby uzyskać większą dokładość, zwiększa się liczbę obserwacji pomiarowych poprzez gęstsze próbkowaie wielkości mierzoej. Wyiki takich obserwacji mogą być wówczas pomiędzy sobą skorelowae i ie uzyska się istotego wzrostu dokładości wyików pomiarów. Istrukcje metrologicze krajowe i europejskie przezaczoe do szerokiego stosowaia w praktyce oraz publikacje o wyzaczaiu iedokładości wyików pomiarów ie uwzględiają wpływu autokorelacji pomiędzy obserwacjami pomiarowymi a iepewością wyiku pomiaru 6. Tymczasem w większości pomiarów ie moża jej pomijać, a występujące w ich zjawiska losowe są itesywe przy małych częstotliwościach, p. szum /f []. Badaia stabilości czasowej wzorców, główie częstotliwości i ostatio apięcia stałego opierają się a wyzaczaiu odchyleia Allaa []. W tej pracy prezetuje się ie podejście. Zakłada się, że przebieg skorygowaych przez poprawki zmia wartości obserwacji moża w przybliżeiu (gdy składowe determiistycze są pomijalie małe, bądź zostały wyelimiowae) opisać procesem stacjo- 6 Drugi z autorów od wielu lat sygalizował taką koieczość w dyskusjach a semiariach metrologiczych. Już po apisaiu tej pracy atrafioo a pierwszą, rówolegle opracowywaą publikację amerykańską [] uwzględiającą autokorelację przy obliczaiu iepewości wyików obserwacji metodą A w sposób dość zbliżoy do tu omawiaego. 9
arym o uormowaej fukcji autokorelacji 7 r(k) [3 5, M]. Wartości tej fukcji r k przy rówomierie pobieraych obserwacjach, wyzacza się ze wzoru [M, M]: Wówczas iepewość stadardową ależy obliczać z iego, pełiejszego iż jest poday w GUM wzoru [M4]: gdzie: u A S x ( x) + ( k) r( k) k Sx Sx ( + Dr) + D D r ( k) rk k czło uwzględiający korelację wyików obserwacji. Zaś ekwiwaleta liczba ieskorelowaych wyików wyosi wówczas: eff + D + r ( k) r k r k Jeżeli wyiki obserwacji są silie skorelowae, to r k i Stąd wyika: Dr ( k) k eff Jeżeli wyiki obserwacji ie są skorelowae, to: r k, k > i wówczas: Stąd: Dr ( k) r eff Stadardowa iepewość wyiku pomiaru: u( x) Efektywa liczba stopi swobody przy skorelowaych wyikach obserwacji: veff eff + ( k) rk S x eff k 7 Dalej w tekście, aby zmiejszyć liczbę symboli, stosuje się ieco ie ozaczeia iż wg GUM (p. q i x i, q q śr x, s S x, a zamiast x ozaczeie daej wielkości mierzoej). Praktyczie ieskorelowae ze sobą obserwacje pozyska się przy badaiu sygału losowego, gdy miimaly okres T pomiędzy próbkami będzie większy od połowy zastępczej szerokości fukcji autokorelacji r. Dla krótszych okresów ależy korzystać z powyższych, pełiejszych iż w Przewodiku wzorów uwzględiających autokorelację. W tym celu koiecze jest wyzaczaie czasu pozyskaia każdej obserwacji liczoego względem początku cyklu pomiarowego. Podae powyżej postacie wzorów dotyczą próbkowaia rówomierego. Czasy otrzymuje się wówczas z zapisu wszystkich wyików w kolejości ich uzyskiwaia. Do wyzaczeia przebiegu sygału ieograiczoego czasowo o paśmie częstotliwościowym szerokości: B, zgodie z warukiem Nyquista potrzeba miimum dwa pomiary w trakcie okresu o ajwyższej częstotliwości. Wówczas maksymaly okres T pomiędzy próbkami powiie spełiać waruek: T B Zaś liczba iezależych obserwacji dla czasu T pobieraia próbek wyosi eff BT i ie zwiększy się dla wyższej częstotliwości próbkowaia. Przykład Woltomierzem cyfrowym o 4,5 zakach odczytu zmierzoo apięcie a wyjściu pewego układu. Próbkowao je w regularych odstępach czasu i uzyskao próbkę w postaci serii wyików obserwacji (rys. ). Ich wartości v i (w V) są astępujące:,4,49,66,693,937,75,44,,98,776,68,693,68,777,793,658,969,99,76,67,997,9,96,9,89,8,863,59,736,78,898,937,93,864,84,888,94,99,3,69,85,87,6,5,36,59,7,49,777,3,9,48,37,73,96,37,99,7,37,34,,95,96,866,996,5,9,,43,93,86,767,673,856,7,96,43,74,96,64,3,6,3,984,834,998,59,87,96,97,37,9,76,37,8,34,85,8,399,56,486,95,8,59,46,4,38,56,79,486,3
,9,834,55,44,395,54,76,75,738,863 ) Ocea stadardowego odchyleia próbki: Należy wyzaczyć wartość ajlepszej ocey wyiku pomiaru oraz jego odchyleie stadardowe. Rozwiązaie: Sporządzoo wykres wartości obserwacji w kolejości ich pozyskaia (rys. ), zaś ich histogram podao a rys. 3. Otrzymao kształt zbliżoy do rozkładu ormalego. Sprawdzoo go wykorzystując kryterium c a poziomie istotości a,5.,3,, 4 6 8 Rys.. Otrzymaa próbka wartości obserwacji mierzoego apięcia w j,p j 3) Oceę uormowaych wartości fukcji autokorelacji wyzacza się ze wzoru [M,M]: Posługując się oprogramowaiem Mathcad obliczoo wartości r k. Dokładość ich wyzaczaia dla dużych wartości k jest mała i iezbęde jest gęstsze próbkowaie oraz dłuższe serie pomiarowe iż a rys.. Dla kilku ajkrótszych odległości pomiędzy próbkami, tj. k,,, m 8 << wartości r k wyoszą: ;,77567;,465;,93353;,8693;,47838;,353;,586;,75. Zestawioo je a rys. 4.,75,5,5 -,5 -,5 3 4 5 6 7 8 9 Rys. 4. Uormowaa fukcja autokorelacji wyików obserwacji wartości apięcia 3 4 5 6 7 8 Rys. 3. Histogram wyików obserwacji z rys. (przykład ), szerokość przedziałów,83(5) Uzyskao wyik pozytywy, tj.: c 8 ( ) w j p j j p j 4, 888, c 55,, 4, 888 < c,. Moża więc go przyjąć do dalszych rozważań. Najlepszą oceą wyiku pomiaru dla rozkładu ormalego jest wartość średia odczytów apięcia. Należy ją oszacować wraz z jej iepewością stadardową. Z ich moża już wyzaczyć ie miary dokładości wyiku pomiarów, p. iepewości rozszerzoe bezwzględe i względe. ) Wartość średia próbki wyosi: W przykładzie tym otrzymuje się wartości r k, które zmiejszają się wraz ze wzrostem k. Jest to cecha charakterystycza fukcji autokorelacji procesów losowych, p. opisujących szumy. 4) Czło uwzględiający korelację pomiędzy obserwacjami: Dr ( k) rk 3,75 k 5) Ekwiwaleta liczba ieskorelowaych obserwacji wyosi: eff + D + 3 75 9 r, Tak więc próbka zawierająca skorelowaych obserwacji jest rówoważa próbce o średiej liczbie tylko 9 ieskorelowaych obserwacjach! 6) Stadardowa iepewość wartości średiej apięcia wyosi
7) Jeżeli ie uwzględi się korelacji pomiędzy wyikami obserwacji to stadardowa iepewość wyiku pomiaru będzie astępująca: Najlepszą ocea wyiku pomiaru dla tego rozkładu jest mediaa, jako wartość środkowa próbki [M3]. Wyiki obserwacji ależy uporządkować: q s, q s, q s,3... q s, Ocea ta jest zbyt optymistycza, tj. ok. razy miejsza iż poprzedia. 8) Liczba stopi swobody v eff eff 9 8 Przy skorelowaych wyikach obserwacji liczba stopi swobody wyosi tylko 8. Należy to mieć a uwadze przy stosowaiu wyików pomiaru. Wpływ ieadekwatości przyjętego rozkładu prawdopodobieństwa Rówie istotym zagadieiem powodującym ieprawidłowości przy wyzaczeiu w praktyce ajlepszej statystyczie wartości i ocey iedokładości i obserwacji pomiarowych jest sytuacja, gdy rzeczywisty rozkład ich prawdopodobieństwa zaczie różi się od rozkładu ormalego przyjętego jako model matematyczy, a wartości tych parametrów oblicza się wg zasad podaych w Przewodiku dla iepewości u A. Wówczas to: wartość średia próbki może ie być ajlepszą oceą wyiku pomiaru i ależy wykorzystywać iy parametr rozkładu stadardowe odchyleie próbki może też ie być ajlepszą oceą stadardowej iepewości mierzoego parametru i wówczas oceia się ją w iy sposób. Zilustrujemy to dwoma przykładami. Rozkład Laplace a Rozkład Laplace a (rys. 5) opisuje astępujący wzór: gdzie: x x p( x) e l, < x < l x jest puktem środkowym rozkładu, l jest parametrem jego szerokości. 4,5 3,6,7 p(x) Jego mediaę q med oblicza się astępująco: q med qs ( + ), / ieparzysta liczba obserwacji w próbce q med q + qs + s, /, / parzysta liczba obserwacji w próbce Stadardowa iepewość mediay, rozumiaa tu jako stadardowe odchyleie eksperymetale mediay próbki (skrót ag. MAD) z rozkładu Laplace a, jest o razy miejsze od stadardowego odchyleia wartości średiej próbki Przykład Daa jest próbka o astępujących wyikach q i obserwacji: 7,496 7,67 7,497 7,63 7,393 7,65 7,489 7,699 7,554 7,5 7,455 7,86 7,53 7,75 7,479 7,63 7,5 7,559 7,44 7,545 7,53 7,6 7,55 7,576 7,59 7,5 7,543 7,43 7,46 7,54 7,6 7,43 7,674 7,53 7,543 7,393 7,5 7,569 7,699 7,478 7,5 7,55 7,54 7,43 7,65 7,497 7,467 7,537 7,656 7,53 7,5 7,55 7,97 7,59 7,558 7,43 7,64 7,478 7,58 7,56 7,536 7,53 7,55 7,86 7,58 7,75 7,47 7,545 7,367 7,58 7,537 7,496 7,543 7,467 7,559 7,44 7,559 7,48 7,55 7,56 7,5 7,58 7,478 7,65 7,588 7,48 7,634 7,478 7,67 7,49 7,537 7,48 8,67 7,46 7,478 7,54 7,58 7,367 7,9 7,59. Należy oszacować wartość ajlepszego wyiku pomiaru i jego odchyleie stadardowe.,8,9 Rys. 5. Rozkład Laplace a ξ x Rozwiązaie: Sporządzoo histogram tej serii obserwacji wykorzystując klas grupowaia (rys. 6), o szerokości przedziałów,839.
,5,4,3 w j,p j 5. Przy przyjęciu rozkładu ormalego jako modelu matematyczego wyików obserwacji, ajlepsza oceą wyiku byłaby wartość średia, a jej stadardowa iepewość wyiosłaby jedak więcej, tj.:, Z jego kształtu wywioskowao o możliwości przyjęcia jako modelu matematyczego rozkładu Laplace a. Sprawdzoo hipotezę o rozkładzie Laplace a wykorzystując kryterium c a poziomie istotości a,5 i uzyskao wyik: pozytywy, tj.: c ( ) w j p j j p j 9, c 75,, 9, < c 4, Podobe sprawdzeie dla rozkładu ormalego daje gorsze wyiki. W wyiku sprawdzeia jako model matematyczy rozkładu prawdopodobieństwa wyików obserwacji przyjęto rozkład Laplace a.. Próbka jest parzysta i po uporządkowaiu ma astępujące wartości środkowe: 7,53 7,55. Wartość mediay próbki wyosi q med (q s,5 + q s,5 )/ (7,53 + 7,55)/ 7,54 3. Ocea wartości stadardowego odchyleia próbki gdzie:, 3 4 5 6 7 3 9 Rys. 6. Histogram wyików obserwacji z przykładu 6 6 i wartość średia próbki i 4. Stadardowa iepewość wyiku pomiaru (mediay) wyosi s, 3656 sq ( med ), 84 j Rozkład jedostajy Jeżeli próbka ma rozkład jedostajy (używa się też azw: rówomiery lub prostokąty), to ajlepszą oceą wyiku pomiaru jest środek rozpięcia próbki jako wartość średia z ajmiejszego oraz ajwiększego z jej elemetów po uporządkowaiu: q sr q + q s, s, Stadardową iepewość środka rozpięcia oblicza się ze wzoru: gdzie: u ( x ) s A r, s s, r jest rozpięciem próbki V q s, q s, V ( ) ( ) Przy wzroście liczby obserwacji w próbce stadardowa iepewość u A (q r,s ) środka rozpięcia zmiejsza się proporcjoalie o, a ie o, jak to ma miejsce przy stadardowej iepewości wartości średiej. Przykład 3 Daa jest próbka o wyikach obserwacji q j (I) wartości atężeia prądu I (ma).,668,6773,688,679,6793,6833,67,6635,674,675,687,6733,689,67,6647,6637,677,683,6749,6635,6659,6888,686,6758,673,66,665,6654,6664,6856,6765,6843,667,6649,6648,6863,6676,6634,663,69,6853,6839,685,663,6666,688,675,6836,67,6798,678,6677,677,6767,6734,6797,6658,6754,679,688,6736,684,67,66,6696,6697,6869,675,6844,683,689,668,6898,67,667,673,676,6667,674,66,6893,67,6763,675,6766,678,663,6687,68,6795,685,683,6897,6653,689,6675,6656,6658,673,6845,668,6664,666,684,6763,6847,66,6844,6673,66,6859,6738,688,6693,686,6797,67,6653,663,676 3
Należy oszacować wartość ajlepszego wyiku pomiaru oraz jego miarę iedokładości (iepewość stadardową). 6. Jego stadardowa iepewość wyiosłaby Rozwiązaie: Sporządzoo histogram próbki z wykorzystaiem klas grupowaia (rys. 7), o szerokości przedziałów,3.,,6,,8 w j,p j,4 j 3 4 5 6 7 8 9 Rys. 7. Histogram wyików obserwacji z przykładu 3 Z kształtu histogramu wywioskowao o możliwości przyjęcia jako modelu rozkładu jedostajego. Wykorzystując kryterium c a poziomie istotości a,5 sprawdzoo hipotezę o tym rozkładzie i uzyskao wyik pozytywy: c ( ) w j p j j p j 5, c, 7,, 5 5< c 6. Dla wyików obserwacji, po tym sprawdzeiu przyjęto model jedostajego rozkładu prawdopodobieństwa, a próbka po uporządkowaiu ma astępujące wartości krańcowe:,66,69. Środek rozpięcia próbki jako ajlepsza ocea wyiku pomiaru wyosi: I v/ (q s, + q s, )/ (,66 +,69)/,6755 3. W celu wyzaczaia stadardowej iepewości obliczamy rozpiętość próbki V q s, q s,,69,66,99 4. Stadardowa iepewość wyiku pomiaru (środka rozpięcia) staowi V s I ( ) ( ), 99, 784 9 8 5. Jeżeli a priori jako model został by przyjęty ormaly rozkład wyików obserwacji, to wtedy ajlepszą oceą wyiku pomiaru była by wartość średia Jest oa około 4,4 razy większa od stadardowej iepewości środka rozpięcia!. Wioski. Jeśli wartości wyików obserwacji pomiarowych wielkości mierzoej (mesuradu) podlegają zmiaom w czasie trwaia cyklu pomiarowego, to ależy przeprowadzać pomiary przy stałej częstotliwości próbkowaia i wyzaczać umery poszczególych wyików obserwacji, bądź mierzyć ich rzeczywiste czasy.. Przy występowaiu rozrzutów wyików obserwacji, stosowaie jedego z ajczęstszych sposobów zmiejszeia iedokładości wyików pomiarów polegającego a zwiększaiu liczości próbki poprzez wzrost częstości próbkowaia może być zawode, gdy stosuje się do obliczaia iepewości typu A wzory podae w Przewodiku GUM. 3. W celu uikięcia omyłek przy wyzaczaiu wartości tej iepewości ależy ajpierw upewić się, czy wyiki obserwacji ie mają składowej systematyczej progresującej i periodyczej i czy ie są skorelowae. Z otrzymaych wyików obserwacji ależy wyelimiować takie składowe i oszacować fukcję autokorelacji wyików. Korelacja iezbyt odległych od siebie obserwacji powoduje istote zwiększeie iepewości wyiku pomiaru, gdyż zmiejsza się liczba iezależych pomiarów i to ją trzeba uwzględiać przy szacowaiu iepewości stadardowej. Wzory dla iepewości typu A rozszerzoe a taki przypadek, podao w treści wraz z przykładem. 4. Istiejące programy komputerowe do obliczaia iepewości typu A powiy być uzupełioe przez poprzedzeie ich algorytmami służącymi idetyfikacji i elimiacji składowych progresujących i periodyczych z surowych wyików obserwacji oraz algorytmami do wyzaczaia fukcji autokorelacji. Należy też zmodyfikować stosowae wzory, tak, aby uwzględiać w ich wyikającą z iej efektywą liczbę obserwacji. 5. Przy wyzaczaiu ajlepszej ocey wyiku pomiaru oraz szacowaiu jego iepewości, jeśli ie ma się iformacji, że wyiki obserwacji podlegają zadaemu a priori rozkładowi prawdopodobieństwa to ależy przeprowadzić dodatkowe badaia (sporządzić histogram i sprawdzić hipotezę o przyjętym modelu rozkładu) i przyjąć rodzaj rozkładu w jak ajwiększym stopiu odpowiadający wyikom obserwacji. Przyjęcie ieadekwatego rozkładu może spowodować zmiaę wartości wyiku pomiaru oraz zaczie zmieić oceę jego iepewości, jak ilustrują to omówioe dwa przykłady. 4
6. Dla uikięcia iejedozaczości przy opisie iedokładości wyików obserwacji o iych rozkładach iż ormaly ależy ozaczać je w odmiey sposób od iepewości typu A zdefiiowaej w przewodiku GUM tak jak dla rozkładu ormalego. Tę odmieość rozkładu obserwacji trzeba uwzględić też przy jego składaiu z rozkładem wypadkowym oszacowaym dla iepewości typu B. Bibliografia (umeracja wspóla dla obu części pracy). Guide to the Expressio of Ucertaity i Measuremet, 993 95 ISO i późiejsze: Supplemet i (projekty).. Wyrażaie Niepewości Pomiaru. Przewodik. tłumaczeie i kometarz J. Jaworskiego, Wydawictwo Główego Urzędu Miar, Warszawa 999,. 3. Piotrowski J.: Theory of Physical ad Techical Measuremets, Wydawictwo PWN, Warszawa Elsevier Amsterdam, 99. 4. Piotrowski J., Kostyrko K.: Wzorcowaie Aparatury Pomiarowej, Wydawictwo Naukowe PWN, Warszawa. 5. Piotrowski J.: Podstawy Mierictwa. Wydawictwa Naukowo Techicze, Warszawa. 6. Jakubiec J.: Applicatio of Reductive Iterval Arithmetic to Ucertaity Evaluatio of Measuremet Data Processig Algorithms. Redukcyja arytmetyka iterwałowa w zastosowaiu do wyzaczaia iepewości algorytmów przetwarzaia daych pomiarowych. Moografia dwujęzycza. Wydawictwo Pol. Śl., Gliwice. 7. Turzeiecka D.: Aaliza dokładości wybraych przybliżoych metod ocey iepewości, Wydawictwo Politechiki Pozańskiej, 999. 8. Skubis T.: Podstawy metrologiczej ocey wyików pomiaru. Wyd. Politechiki Śląskiej, Gliwice 4. 9. Kubisa S.: Niepewość pomiaru. Problem adekwatych iterpretacji i założeń. Podstawowe Problemy Metrologii PPM 6, Prace Komisji Metrologii Oddziału PAN w Katowicach, seria: Koferecje r, s. 9 6.. Korczyński J., Fotowicz P., Hetma A i ii: Metody obliczaia wyików pomiaru. PAK /5 s. 3 6.. Sochocka D.: Zastosowaie wariacji Allaa do ocey wyików pomiarów apięcia wzorców apięcia diodami Zeera. Materiały Koferecji XXXVI MKM Prace Komisji Metrologii Oddziału PAN w Katowicach, seria Koferecje r 6, 4 s. 39 36.. Nie Fa Zhag: Calculatio of the ucertaity of the mea of autocorrelated measuremets. Metrologia 43(6), s. 76 8. 3. Rabiovich S.G.: Measuremet Errors ad Ucertaities. Theory ad Practice. 3th ed. Spriger 5. 4. Iteratioal Vocabulary of Basic ad Geeral Terms I Metrology. d ed. ISO 993, wydaie polskie wg tłumaczeia J. Dudziewicza, Główy Urząd Miar, Warszawa 996. 5. Dorozhovetz M.: Ocea wpływu oddziaływań systematyczych a parametry iepewości podczas aproksymacji metodą ajmiejszych kwadratów. PAK /6, s. 5. Bibliografia uzupełiająca [M] Tylor J.R..: Wstęp do aalizy błędu pomiarowego. Wydawictwo Naukowe PWN, Warszawa 995 (tłumaczeie orygiału ag.: A Itroductio to error aalysis. To study of ucertaity i measuremets. Mill Velley, Califoria, 98). [M] Bedat J.S., Piersol A.G.: Radom Data. Aalysis ad measuremet procedure. Joh Willey & sos. N.Y., Chichester, Brisbae, Toroto, Sigapore, 986.(polskie tłumaczeie wcześiejszego wydaia: Metody aalizy i pomiaru sygałów losowych, WNT Warszawa 976). [M3] Novitski, P.V., Zograf, I.A.: Oceka pogreshostiej rezultatov izmereii, Eergoatomizdat, Leigrad, 985, ss 48. [M4] Vileki, S.Ya.: Statisticzeska obrabotka rezultatov issledovaia sluczaiych fukcji, Eergia, Мoskwa, 979. Akademia Góriczo-Huticza Wydział Elektrotechiki, Automatyki, Iformatyki i Elektroiki, Katedra Automatyki Studium Podyplomowe NOWE TECHNOLOGIE W AUTOMATYCE Tematyka: przewodowe i bezprzewodowe metody trasmisji daych w systemach automatyki, owe metody projektowaia i symulacji układów sterowaia, realizacja algorytmów sterowaia w układach rozproszoych, metody i arzędzia itegracji systemów automatyki, projektowaie węzłów pomiarowo-sterujących wykorzystujących owoczese mikrokotrolery oraz techologię FPGA. Zajęcia prowadzoe są w formie wykładów oraz ćwiczeń laboratoryjych i projektowych. Absolweci otrzymują dyplom AGH ukończeia Studium Podyplomowego. Okres Studium: semestr (marzec czerwiec 7). Termi zgłoszeń: 8 lutego 7 r. Zasady aboru: kolejość zgłoszeń. Iformacje: Katedra Automatyki AGH Al. Mickiewicza 3, 3-59 Kraków tel./fax 634-5-68 http://aq.ia.agh.edu.pl/aquarium/ntwa/studium.htm e-mail: mr@agh.edu.pl 5