Meod ecze Wkład Rówaa óżczkowe cząskowe d hab. Po Foczak
Rówaa óżczkowe cząskowe RRC lczba zech F ząd ówaa: ząd awższe pochode 3 3 b chaakeska: lowe qas-lowe elowe
C B A F E D C B A b c b a : : : : : : : : : : Nelowe lowe Qas Lowe......... c b a Nelowe lowe Qas Lowe......... b c b a
Skp sę a RRC co awże dgego zęd apoplaesze w fzce Ogóla posać RRC dgego zęd B -AC Kaegoa Pzkład < elpcze Rówae Laplace a = paabolcze Rówae pzewodcwa cepła > hpebolcze Rówae falowe T T k T T c G C B A G C B A
Mowaca dla ake klasfkac elpcze C paabolcze C hpebolcze C ; ; Napossze ozwązaa: Róweż dla badze skoplkowach ówań lokale własośc ozwązae zależą od zak ważea B -AC. elpsa C paabola C hpebola C ; ; Zagadka: Skaegoz ówae Schodgea. C
Zakłada h = h = h [saka kwadaowa] = +h +h = ++ h ' ' + - - + h h Elpcze RRC - dwwaowe zagadee bzegowe Rówae Laplace a ' ' h '' '' h h
Sąc waz wzacza : 3 = = = = Pzkład: saka 3 3 3 Pze począkowe pzblżee 3 Kozsa z eod eace Jacobego lb Gassa-Sedla szbsza zbeżość
Kozsaąc z eod dokładch p. dekopozca LU s łożć acez o ozaze low. Wosek: Ms wpowadzć deksowae ówań odpowadaącch pko dwwaowe sak : f Pzkład: ówae Possoa f h... P P a pzkład wesza P P P P P P P f h poecał gęsość ładk
h P P P P P f P Pzkład: Powezcha poecał pz losowo ozeszczoe gęsośc ładk
Paabolcze hpebolcze RRC Bezwaowe ówae pzewodcwa cepła z wake począkow dla = L g gdze L = szeokość dzedz ozwązań. b L a gdze a b są fkca ede czas a g zależ ede od położea. Wak bzegowe:
Dskezaca pzesze ozwązań 9 8 7 6 5 czas deks 3 3 5 6 7 8 9 pzeszeń deks Położee w węźle w chwl :
Zaeaąc pochode a óżce oze z błęde O z błęde O. Dale paszczaąc
Zae zdskezowae ówae a posać Defąc = / oze schea aw Elea: - pk względa pz oblcza óżc czasowe - pk względa pz oblcza óżc pzeszee
Algo schea awego // a + węzłów pzeszech sak // waek bzegow [] = [] =.; // waek począkow fo =; <; ++ { = *d; [] = fc; }; // pęla czasowa fo =; <=seps; ++ fo =; <; ++ ew[] = *[-] + -**[] + *[+]; ew; Poble: waek sablośc schea Czl eśl podzel doeę [] a so podpzedzałów =. o 5-5.
Aalza sablośc Rozważ schea aw dla ówaa cepła: Zae asz schea a posać: Nech D będze dokład ozwązae ówaa. Nech N będze ecz ozwązae ówaa. Zae błąd schea N D Napsz ówae sablośc eod ecze kóe opsze ewolcę błęd w akce oblczaa kolech koków czasowch. sablość eośe esablość ośe
Rówae sablośc będze badać za poocą aalz Foea eoda vo Neaa. Rozwązae ecze oże zapsać ako N = D + ε 3 Podsawaąc 3 do oze D D D D D D D D D D Poeważ z ówaa D D D D D
Zae ε Rozważ ozkład błęd w pew kok czasow. Błąd ε oża zapsać w posac szeeg Foea: : s cos 5 falowa lczba k k k k k e e b Czl ówae a błąd es ake sae ak ówae a fkcę.
Poeważ ówae óżcowe a błąd es lowe zachowae każdego waz szeeg es podobe do zachowaa całego szeeg. Zae wsacz ozważć wzos błęd powego waz b e k 6 Czasową zależość błęd względ pząc że aplda błęd b es fkcą czas. Poeważ błąd ośe lb alee zwkle wkładczo z czase oże zapsać e gdze k es zeczwse ale a oże bć zespoloe. Podsawaąc 7 do oze e a a e k k a k a k a k a k e e e 7 e e e e e e 8 gdze
e a e e e e e e 8 k a k a k a k a k e e e Dzeląc 8 obsoe pzez e a e k e a k k e e 9 Kozsaąc z zależośc oze gdze Kozsaąc z zależośc oze e cos e a e cos s e a k cos s
Defe współczk wzocea błęd G Oczeke b błąd e aasał z kok a kok G Zae a k e e a e s
s s s s s s Waek zbeżośc schea awego
G kok czasow wkładk poęg Pzpo sobe że współczk wzocea błęd G G Czl: Zwóć wagę że asz schea aw N N N G oże pzedsawć w posac ówaa acezowego Rówae włase z waośca włas G
Zae a kład ówań eowach G Meoda Jacobego Pzpoee z wkład 3 Jako ozwązae począkowe obea sę dowol weko p. weko zeow oblcza sę kolee eace: Kolee pzblżea wozą cąg wekoów. Jeżel see gaca ego cąg wed es oa ozwązae kład ówań lowch. Cąg wekoów s bć zae cąge zbeż. Tw. Cąg okeślo wzoe * pz dowol wekoze es zbeż wed lko wed gd <. poeń spekal acez = a waośc włase acez.
Twedzee powższe ów a że ab asz schea e bł ozbeż o wszske waośc włase G szą leżeć a płaszczźe zespoloe bo G ogą bć zespoloe wewąz okęg o poe. W asz pzpadk waośc G bł zeczwse węc weź cekawsz pzpadek: Uwaga: sablość każdego poble ehoogeczego Zasos schea: p p p p f bada paszczaąc ówae do posac hoogecze. óżca zwkła óżca wsecza Zasępąc Paęaąc że oaz że p p p p G e k
oze G e p k p k p k G e G e G e p k Dzeląc obsoe pzez G p e k p p p p G e k G k k e e e Wosek: schea es esabl dla każdego.
Żcow pzkład =; dh=./; d=.*dh; fo=;<=;++ { X=doble/; [][]=.*ep-*x-.5*x-.5; [][]=.*ep-*x-.5-d*x-.5-d; }; Jede kok czasow: = Wak począkowe fo=;<=;++ {...6.8. L=-; P=+; Wak bzegowe peodcze f== L=; f== P=; [][]=[P][]-*[][]+[L][]*d*d/dh/dh+*[][]-[][]; }; fo=;<=;++ { [][]=[][]; [][]=[][]; };..5..5
Moża oblczć waek sablośc dla podaego schea ale e es poso G Czl a ówae kwadaowe. s G
Schea eaw Elea - pk względa pz oblcza óżc czasowe - pk względa pz oblcza óżc pzeszee Schea aw Schea eaw Wóć do ówaa cepła Bło: Teaz:
3 3 Zae a kład ówań z acezą ódagoalą. kó s ozwązać w każd kok czasow.
Sablość schea eawego Posępąc aalogcze do popzedch pzpadków pze po pa pzekszałceach G s k co dae ogaczee a G: G co es spełoe dla dowolego oczwśce wększego od zea. Zae schea eaw es zawsze sabl.
Schea Caka-Ncholsoa Może wobazć sobe badze ogól schea: gdze. Pz = ½. Pewsza pochoda czasowa ako óżca ceala w l+/ l l Dga pochoda pzeszea ako óżca ceala ważoa l l l l l l
Po pa pzekszałceach l l l l l l A zae zow a kład ówań z acezą ódagoalą. Moża pokazać że kład es zawsze sabl. s G s / /.5.5 3 Pzewaga ad scheae eaw błąd O zaas O. Poówae scheaów:
= + ε V V = F = V = V + V ε + V ε ε = Cε ε~e C