Wybrane metody szacowania obciążenia krytycznego mostów kratownicowych górą otwartych

ŻMUDA-TRZEBIATOWSKI Łukasz 1 IWICKI Piotr 2 Wybrane metody szacowania obciążenia krytycznego mostów kratownicowych górą otwartych WSTĘP Wraz z rozwojem infrastruktury drogowej obiekty mostowe są budowane coraz częściej. Projektanci dążą do optymalnego wykorzystania materiału i dlatego przyjmowane przekroje poprzeczne są jak najmniejsze. Pozwala to obniżyć koszty realizacji inwestycji. Dlatego często w projektowaniu przyjmowane są schematy statyczne mostów łukowych, kratowych i podwieszonych, szczególnie gdy planowane są konstrukcje o dużej rozpiętości. W takich układach dużą rolę odgrywają ściskające siły normalne, z których występowaniem wiąże się utrata stateczności, np. poprzez wyboczenie łuku lub pasa górnego w dźwigarach kratownicowych w płaszczyźnie lub z płaszczyzny. Powstaje wiele publikacji, w których badana jest stateczność różnych obiektów budowlanych [1], [10]. Poszukiwane są metody wyznaczania maksymalnego obciążenia konstrukcji, przy którym zachowana będzie ich stateczność [2]. Szczegółowe i dokładne obliczenia wymagają dużej mocy obliczeniowej, zaawansowanych modeli numerycznych oraz programów analizy konstrukcji, które nie zawsze są dostępne w biurach projektowych. Pojawia się zatem potrzeba poszukiwania uproszczonych metod analizy różnych warunków pracy konstrukcji. W niniejszej pracy przedstawiono kilka metod uwzględniania problemu stateczności na przykładzie kratownicowej kładki dla pieszych. O aktualności badanego problemu świadczą wyniki analiz stateczności mostów przedstawione w pracach [3], [4], [5], [13]. 1 SPOSOBY UWZGLĘDNIENIA PROBLEMU WYBOCZENIA W PROJEKTOWANIU KONSTRUKCJI W Polsce obowiązują normy budowlane, w których zawarto instrukcje dotyczące wymiarowania i konstruowania budowli inżynierskich. Obecnie obowiązującymi normami są Eurokody. W przypadku projektowania mostów nadal jednak powszechnie korzysta się ze starych norm polskich z uwagi na brak odpowiedniego rozporządzenia w sprawie warunków technicznych, jakim powinny odpowiadać drogowe obiekty inżynierskie, odnoszącego się do zapisów w Eurokodach. Według normy [6] ściskane pasy kratownicowych dźwigarów głównych, które nie są zabezpieczone przed wyboczeniem poprzez odpowiednie stężenia, należy sprawdzać, uwzględniając sztywność tzw. półram, które tworzą słupki i poprzecznica sztywno ze sobą połączone. Sztywność półramy określa pozioma siła w jej płaszczyźnie przyłożona do pasa ściskanego, która powoduje przesunięcie poziome słupka o wartości 1 cm. Według normy [6] można ją obliczać ze wzoru: E H (1) 3 2 hs hb 3I 2I s gdzie: E moduł sprężystości, h s wysokość sprowadzona słupka mierzona od środka ciężkości blachy usztywniającej połączenie słupka z poprzecznicą do osi ściskanego pasa, I s moment bezwładności przekroju słupka względem jego osi ciężkości, p 1 Politechnika Gdańska, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Katedra Mechaniki; ul. Narutowicza 11/12, 80-233 Gdańsk. Tel. +48 58 348-61-49, lukasz.zmudaa@gmail.com. 2 Politechnika Gdańska, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Katedra Mechaniki; ul. Narutowicza 11/12, 80-233 Gdańsk. Tel. +48 58 348-62-98, piwicki@pg.gda.pl. 11829

h wysokość teoretyczna słupka, b teoretyczna rozpiętość poprzecznicy, I p moment bezwładności przekroju poprzecznicy względem jej osi poziomej. Wyznaczona sztywność półramy powinna spełniać następujący warunek: H c1,2 H0 (2) przy czym: 3,2Pmax s H0 (3) 2 srdmin gdzie: c 1,2 współczynnik zależny od sposobu podparcia ściskanych pasów dźwigara kratowego, P max największa siła w pasie ściskanym od obciążeń obliczeniowych, γ s współczynnik materiałowy, μ śr średnia arytmetyczna ze współczynników długości wyboczeniowej wszystkich prętów pasa, d min najmniejsza długość pasa między półramami. Warunek (2) sprawdza się dla półram wewnętrznych (w których oblicza się współczynnik c 1 ) oraz dla półramy zewnętrznej (w których oblicza się współczynnik c 2 ). W celu wyznaczenia H 0 oblicza się największy możliwy współczynnik wyboczeniowy m w, przekształcając prostą zależność: mp w max R (4) A APmax mw (5) R gdzie: A pole przekroju pasa ściskanego, R wytrzymałość obliczeniowa stali, a następnie na jego podstawie z odpowiedniej tabeli odczytuje się stosunek smukłości rzeczywistej przekroju λ z do smukłości porównawczej λ p. Mając tą daną, współczynnik długości wyboczeniowej oblicza się ze wzoru: z piz (6) d p w którym: i z promień bezwładności przekroju pasa względem jego osi pionowej, d długość pasa między półramami. Drugi sposób wyznaczania długości wyboczeniowej ściskanego pasa dźwigara bazujący na sztywności półram, proponują Pałkowski i Kołodziej [8]. W tej metodzie dźwigar kratowy zastępuje się prętem spoczywającym na podłożu lub podporach sprężystych. Przy takim założeniu można wyznaczyć obciążenie krytyczne na podstawie wzoru: Ncr 2 EIk (7) gdzie: I moment bezwładności przekroju pasa względem jego słabszej osi, k zastępcza sztywność podłoża sprężystego. Nie tylko dźwigary kratowe, ale i łukowe można modelować w ten sposób. Wówczas wieszaki połączone ściągiem pełnią rolę podpór sprężystych ściskanego łuku i wpływają na jego stateczność. Przykład analizy stateczności łuków zamieszczono np. w [7]. Sztywność podłoża sprężystego można wyznaczyć, przy odpowiednio gęstym rozmieszczeniu podpór sprężystych (odpowiadającym odstępom między półramami), jako stosunek sztywności półramy i odległości między półramami: H k (8) d 11830

Długość wyboczeniową l w wyznacza się po odpowiednim przekształceniu wzoru na siłę krytyczną według Eulera i podstawieniu do niego zależności (6): 2 EI Ncr (9) 2 l EI l 4 w (10) 4 k Kolejną uniwersalną metodą sprawdzania stateczności wyboczeniowej ściskanych elementów nie tylko mostów, ale i innych konstrukcji budowlanych, jest przeprowadzenie liniowej analizy stateczności (LBA) za pomocą odpowiedniego programu komputerowego bazującego na metodzie elementów skończonych. Analizę stateczności w oparciu o MES opisano w [11], [12], [14]. Wyznaczając w modelu obliczeniowym największą siłę ściskającą oraz mnożnik krytyczny odpowiadający pierwszej globalnej postaci wyboczenia, otrzymujemy wartość obciążenia krytycznego. Podstawiając tę wartość do (9) i odpowiednio przekształcając, można otrzymać długość wyboczeniową pasa kratownicy. Na jej podstawie, zgodnie z normą, wyznacza się smukłość pręta, następnie współczynnik wyboczeniowy i sprawdza się warunek (4). Ostatnią proponowaną metodą jest wykonanie analizy nieliniowej modelu numerycznego, gdzie obciążenie narasta powoli, a program na bieżąco aktualizuje deformacje konstrukcji. Uwzględnienie geometrycznej i fizycznej (materiałowej) nieliniowości prowadzi do obliczenia maksymalnego obciążenia w obiekcie budowlanym, którego przekroczenie grozi zniszczeniem konstrukcji. 2 OPIS BADANEJ KŁADKI Powyższe metody sprawdzania stateczności wyboczeniowej stalowych mostów górą otwartych przetestowano na przykładzie kratownicowej kładki dla pieszych nad rzeką Radunią położonej na terenie elektrowni wodnej w Straszynie. Jej widok pokazano na rysunku 1. w Rys. 1. Widok badanej kładki dla pieszych nad Radunią w Straszynie. Kładka to jednoprzęsłowa konstrukcja kratownicowa o rozpiętości 21 m. Szerokość mostu w osiach dźwigarów wynosi 1,20 m, zaś jej całkowita szerokość to 2,40 m. Pas górny kratownicy jest złożony z dwóch kątowników L 80 80 9, natomiast pas dolny z dwóch kątowników nierównoramiennych L 100 65 10. Pomiędzy kątownikami pasów znajdują się blachy węzłowe o grubości 14 mm. Słupki i krzyżulce są również wykonane z dwóch prętów o przekroju kątowym (L 50 50 6), pomiędzy którymi przeprowadzono przez całą długość obiektu dwa płaskowniki 50 10 mm tworzące barierkę. Pasy barierki w miejscu połączenia z krzyżulcami i słupkami są przyspawane do konstrukcji. W miejscach położenia słupków na kładce do pasa dolnego od spodu są przyspawane rygle o przekroju L 120 80 10 wyciągnięte poza rozstaw dźwigarów kratownicowych na długość 60 cm z każdej strony. Tak powstałe wsporniki są wzmocnione prętami L 50 50 6 biegnącymi od końca wspornika do słupka w miejscu przejścia górnego pasa barierki przez 11831

konstrukcję. Co drugi słupek razem z ryglem jest podwójny (odległość między nimi to 20 cm). Pomost stanowią płyty kratowe niewspółpracujące z konstrukcją kładki. 3 MODEL NUMERYCZNY Obliczenia numeryczne wykonano metodą elementów skończonych w programie Autodesk Robot Structural Analysis Professional 2014 [9]. Model obliczeniowy badanej kładki dla pieszych przyjęto jako przestrzenny układ ramowy. W węźle każdego elementu ramowego znajduje się sześć stopni swobody. W modelu odwzorowano konstrukcję kładki, jak i współpracę z barierkami. W związku z brakiem dostępu do dokumentacji technicznej obiektu i brakiem możliwości określenia gatunku stali, z jakiego została wykonana konstrukcja, założono, że cały obiekt wykonany jest ze stali St3M. Parametry geometryczne przyjęto na podstawie inwentaryzacji konstrukcji. Kładka dla pieszych spoczywa na łożyskach, z jednej strony stałych, a z drugiej walcowych. Wizualizację modelu w programie Robot pokazano na rysunku 2. Rys. 2. Wizualizacja modelu kładki dla pieszych w programie Robot. Obciążenia wraz ze współczynnikami obliczeniowymi zebrano zgodnie z normą [6]. Na kładkę działa ciężar własny, wyposażenie w postaci kratowego pomostu, rura zawieszona na "trójkątnych wspornikach" po jednej stronie obiektu, tłum pieszych, wiatr oraz zmiana temperatury. Na tej podstawie wyznaczono największą siłę ściskającą w pasie górnym. 4 WYNIKI ANALIZ STATECZNOŚCI MOSTU Stateczność stalowej kładki analizowano z uwzględnieniem metod podanych w punkcie 1. Na podstawie danych z inwentaryzacji określono charakterystyki geometryczne przekrojów, a do obliczeń wstawiono maksymalną siłę ściskającą w pasie, która w modelu numerycznym wyniosła 173,5 kn. Na podstawie normy [6] sprawdzono warunek stateczności pasów górnych mostu kratowego. Maksymalny współczynnik wyboczeniowy wynosi 2,84, a stąd długość wyboczeniowa pasa górnego to 5,31 m. Stosując wzory normowe napotkano problem przy wyznaczeniu niektórych wartości (wysokości sprowadzonej słupka mierzonej od środka ciężkości blachy usztywniającej połączenie słupka z poprzecznicą do osi ściskanego pasa i teoretyczną rozpiętość poprzecznicy), które należy wstawić do wzoru (1). W normie podano wzory dla wyidealizowanego przekroju półramy natomiast w badanej kładce dla pieszych nie ma standardowych blach usztywniających połączenie słupków z poprzecznicą. Tutaj rolę poprzecznicy spełniają rygle przymocowane od dołu do pasa dolnego dźwigarów kratownicowych. Natomiast usztywnienie zapewniają pręty skośne, łączące końce rygli ze słupkami (szczegół połączenia pokazano na rysunku 3). Projektant w tej sytuacji miałby problem z odpowiednim dobraniem parametrów do sztywności półram. Przyjęto, że wysokość sprowadzona słupka jest równa odległości od środka ciężkości ściskanego pasa górnego do środka ciężkości "trójkątnego usztywnienia". Zaś teoretyczną rozpiętość poprzecznicy ustalono jako odległość między dźwigarami kratownicowymi, czyli 1,20 m. W ten sposób wyznaczono sztywność półram jako H = 64 kn/m. Warto nadmienić, że w kładce występują dwa typy półram, ponieważ co druga półrama jest mocniejsza składa się z dwóch słupków, dwóch rygli i dwóch połączeń między 11832

nimi w odległości 20 cm. W przypadku analizy "mocniejszej" półramy sztywność wyniosła H = 127 kn/m. Uśredniając sztywność półram poprzez przyjęcie średniej arytmetycznej obu sztywności, ostatecznie wynosi ona 96 kn/m. Warunek (2) przyjmie postać: kn kn H 96 c H0 1,88 56 106 m m (11) a więc warunek stateczności pasów górnych jest niespełniony. Rys. 3. Szczegół usztywnienia słupka z ryglem pełniącym funkcję poprzecznicy. Ze względu na trudności w dobraniu odpowiednich wartości potrzebnych do wyznaczenia sztywności półram, w analizie zastosowano również wyniki sztywności półram wyznaczone w modelu numerycznym za pomocą programu Robot. Wykonano model jednej półramy, do której przyłożono siły poziome na wysokości środków ciężkości przekrojów pasów górnych i wyznaczono, przy jakich wartościach sił słupki ugną się o 1 cm. Z tej analizy wyznaczono wartości sztywności półram, odpowiednio większej i mniejszej, H = 146 kn/m oraz H = 100 kn/m. Uśredniając sztywność do 123 kn/m i podstawiając do zależności (11), otrzymuje się warunek spełniony, co oznacza, że stateczność pasów jest zachowana. Można stąd wysnuć wniosek, że sztywności półram wyznaczone za pomocą wzorów normowych są zaniżone, co powoduje przewymiarowanie konstrukcji. W pracy [8] sztywność półram wyznaczono na podstawie wzoru normowego (1), a siłę krytyczną wg (7). W poniższych obliczeniach przyjęto sztywność obliczoną numerycznie, natomiast dalsza procedura wyznaczenia siły krytycznej pozostała bez zmian. Na podstawie sztywności półramy zostaje wyznaczona długość wyboczeniowa pasa górnego l w = 4,39 m. Jest ona niższa niż w przypadku podejścia normowego, gdzie l w = 5,31 m. W [8] przyjęto, że jeśli spełniona jest zależność: lw 1,2d (12) to można słupki zastąpić podłożem sprężystym. Ponieważ ten warunek jest spełniony, wykorzystano wzór (7) i wyznaczono siłę krytyczną na poziomie 386,5 kn. Obliczenia można oczywiście wykonać, bazując na wynikach otrzymanych z programu obliczeniowego. Za pomocą programu Robot wykonano analizę wyboczeniową, w wyniku której otrzymano mnożnik krytyczny, a w konsekwencji siły krytyczne. Przyjmując pełny model kładki dla pieszych, otrzymano mnożnik krytyczny, przy którym dochodzi do globalnej utraty stateczności, na poziomie 3,2275, a w momencie wyboczenia siła normalna w pasie wyniosła 560,1 kn. Odpowiadającą jej postać wyboczenia pokazano na rysunku 4. Stosując uproszczony model pręta na podporach sprężystych w miejscu występowania półram, dokonano obliczeń, w wyniku których siła krytyczna została ustalona na poziomie 270,7 kn. Zastępując podpory punktowe podłożem sprężystym o zastępczej sztywności równej stosunkowi sztywności półram i długości pasa górnego 11833

między półramami, otrzymano jeszcze niższą wartość obciążenia krytycznego 189,2 kn. 1,5-krotna różnica między wynikami przy zastosowaniu podpór sprężystych i podłoża sprężystego wskazuje na to, że warunek (12) nie jest wystarczający. Tak duże różnice w stosunku do siły krytycznej otrzymanej w modelu numerycznym można tłumaczyć faktem, że w uproszczonym modelu belki spoczywającej na podłożu sprężystym nie uwzględnia się sztywności na obrót. W przestrzennym modelu numerycznym wymodelowane są dodatkowe elementy konstrukcyjne zapewniające częściową sztywność rotacyjną. Rys. 4. Globalna postać wyboczenia kładki dla pieszych odpowiadająca sile N = 560,1 kn. W celu weryfikacji wyników liniowej analizy stateczności wykonano geometrycznie nieliniową analizę statyczną (GNA). W jej wyniku otrzymano wykres zależności siły normalnej w pasie ściskanym od przemieszczenia poziomego wybranego węzła kratownicy, który przedstawiono na rysunku 5. Maksymalna wartość siły, którą jest w stanie przenieść kładka, wynosi 567,6 kn, co jest wynikiem zbliżonym do rezultatu otrzymanego za pomocą liniowej analizy wyboczeniowej. Nośność plastyczna pasa wynosi 492 kn, co pozwala wysnuć wniosek, że kładka jest stateczna, a jeśli dojdzie do zniszczenia, to nastąpi to w wyniku uplastycznienia stali w najbardziej wytężonych przekrojach, a nie wyboczenia ściskanych pasów mostu. Pamiętać należy o tym, że ewentualne imperfekcje mogą obniżyć nośność graniczną kładki. Rys. 5. Wykres zależności siły normalnej w pasie górnym od przemieszczenia wybranego węzła. Trudno porównać wyniki otrzymane numerycznie z wykorzystaniem przestrzennego modelu ramowego oraz uproszczonego modelu pręta na podłożu sprężystym z rezultatami normowymi. W normie [6] zakłada się, że obciążenie krytyczne jest równe obciążeniu granicznemu, stąd tak restrykcyjne warunki, które musi spełniać konstrukcja. W rzeczywistości siła krytyczna powinna być większa od granicznej z uwagi na nieprzewidziane na etapie projektowania imperfekcje, które mogą pojawić się podczas montażu konstrukcji oraz późniejszej eksploatacji. 11834

WNIOSKI W artykule przedstawiono kilka metod uwzględnienia problemu stateczności w projektowaniu stalowych mostów kratownicowych górą otwartych. Najdokładniejsza metoda bazująca na nieliniowej analizie dała zbliżone rezultaty do wyniku otrzymanego z liniowej analizy wyboczeniowej. W analizowanej konstrukcji wystarczające jest wykonanie liniowej analizy statycznej oraz liniowej analizy stateczności, co jest rozwiązaniem mniej pracochłonnym niż wykonywanie nieliniowej analizy statycznej. Korzystanie ze wzorów normowych przy projektowaniu mostów z niestandardowymi rozwiązaniami konstrukcyjnymi może nastręczać wiele kłopotów, jednak docelowo przepisy normowe zapewniają spore zapasy bezpieczeństwa, przez co dochodzi do łatwego przewymiarowania konstrukcji. Należy dodać, że nawet stosując metodę elementów skończonych, zakładamy pewien zapas bezpieczeństwa poprzez zastosowanie współczynników obliczeniowych do obciążenia. Metoda zaproponowana w pracy [8] prowadzi do niskich wartości sił krytycznych, co podobnie jak norma prowadzi do zaniżenia rzeczywistej nośności konstrukcji. Najskuteczniejszą metodą wyznaczania nośności granicznej konstrukcji jest stosowanie numerycznych analiz z wykorzystaniem geometrycznej i fizycznej nieliniowości. Streszczenie W artykule przedstawiono wybrane metody wyznaczania obciążenia krytycznego oraz szacowania nośności ściskanych pasów mostów kratownicowych górą otwartych z uwzględnieniem wyboczenia. Wśród tych metod znalazły się numeryczne analizy liniowe oraz nieliniowe wykorzystujące metodę elementów skończonych, algorytmy bazujące na procedurach normowych oraz uproszczone modele prętowe podparte sprężyście. Opisane metody sprawdzono na przykładzie stalowej kładki dla pieszych położonej w Straszynie. Przedstawiono wyniki analiz stateczności przeprowadzonych wybranymi metodami oraz problemy związane ze stosowaniem wzorów normowych. Rezultaty ze sobą porównano, zwracając uwagę na użyteczność przedstawionych sposobów uwzględniania stateczności. Wyniki otrzymane z analiz LBA i GNA są do siebie zbliżone różnica wynosi zaledwie 1,3%. Dużo niższe wartości sił krytycznych otrzymano w analizie belki spoczywającej na podporach i podłożu sprężystym. Niemożliwe jest porównanie obciążeń krytycznych wyznaczonych numerycznie z procedurami normowymi, w których sprawdza się jedynie warunek sztywności półram konstrukcji kratowych. Selected methods of evaluating critical load of truss overhead opened bridges Abstract In the paper selected methods of evaluating carrying capacity of truss top chord in opened bridges with account to buckling are presented. Among these methods one can find linear buckling and non-linear static analyses based on finite element method, algorithms based on design code procedures and simplified models of beam resting on elastic foundation. Described methods were tested on the example of steel footbridge situated in Straszyn. Results of stability analyses conducted with selected methods and problems connected with usage of code equations are presented. The results are compared with attention regarding to practical usage of presented methods of taking stability into account. Results received from LBA and GNA analyses are close to each other the difference is only 1.3%. Much lower values of critical forces were obtained in the analysis of the beam resting on elastic foundation. It was not possible to compare critical loads executed numerically to norm procedures, where only condition of truss structures half-frame stiffness is verified. BIBLIOGRAFIA 1. Belica T., Magnucka-Blandzi E., Non-linear stability analysis of a porous-cellular cylindrical panels. Shell Structures: Theory and Applications, Vol. 3, London 2014. 2. Choong K.K., Ramm E., Simulation of buckling process of shells by using the finite element method. Thin-Walled Structures 1998, No. 31. 3. De Backer H., Outtier A., Van Bogaert P., Buckling design of steel tied-arch bridges. Journal of Constructional Steel Research 2014, No. 103. 11835

4. Hassanein M.F., Kharoob O.F., Shear buckling behavior of tapered bridge girders with steel corrugated webs. Engineering Structures 2014, No. 74. 5. Kręzel M. i M., Radziecki A., Wiadukty łukowe z rur stalowych wypełnionych betonem nad autostradą. Inżynieria i Budownictwo 2013, nr 7-8. 6. Norma PN-82/S-10052. Konstrukcje stalowe. Obiekty mostowe. Projektowanie. 7. Pałkowski S., Jankowska J., Numeryczna analiza stateczności sprężystej łuków z wieszakami i ściągiem. Inżynieria i Budownictwo 1989, nr 4. 8. Pałkowski S., Kołodziej J., Wybrane zagadnienia stateczności ustrojów sprężyście podpartych. Zeszyty naukowe Politechniki Gdańskiej: Budownictwo Lądowe nr LI, Gdańsk 1995. 9. Robot Structural Analysis Professional. Version 2014. User Manual. Autodesk Inc 2014. 10. Sondej M., Wójcik M., Iwicki P., Tejchman J., Comparative buckling analysis of cylindrical steel silos with flat or corrugated sheets. Shell Structures: Theory and Applications, Vol. 3, London 2014. 11. Waszczyszyn Z., Cichoń C., Radwańska M., Metoda elementów skończonych w stateczności konstrukcji. Arkady, Warszawa 1990. 12. Weiss S., Giżejowski M., Stateczność konstrukcji metalowych. Arkady, Warszawa 1991. 13. Yoo H., Choi D.-H., Improved system buckling analysis of effective lengths of girder and tower members in steel cable-stayed bridges. Computers and Structures 2009, No. 87. 14. Zienkiewicz O.C., Metoda elementów skończonych. Arkady, Warszawa 1972. 11836