Afiniczne zbiory algebraiczne

Transkrypt

1 Afiniczne zbiory algebraiczne Andrzej Nowicki Uniwersytet Mikołaja Kopernika, Wydział Matematyki i Informatyki, ul. Chopina 12 18, Toruń, ( anow@mat.uni.torun.pl) Czerwiec 2003 Spis treści 1 Afiniczne zbiory algebraiczne Zbiory algebraiczne i topologia Zariskiego Hiperpowierzchnie Zbiory algebraiczne na płaszczyźnie Zbiory algebraiczne w k Ideały postaci I(X) Topologia indukowana z topologii Zariskiego Uwagi Twierdzenie Hilberta o zerach Wysłowienie twierdzenia Hilberta o zerach Twierdzenie Zariskiego Dowód twierdzenia Hilberta o zerach Uwagi Odwzorowania regularne Funkcje regularne Twierdzenie Hilberta o zerach dla k[x] Odwzorowania regularne Homomorfizm indukowany przez odwzorowanie regularne Produkt zbiorów algebraicznych Wykres odwzorowania regularnego Pieścień k[x] dla zbiorów skończonych Odwzorowanie odwrotne do odwzorowania regularnego Parabola i uogólnienia Hiperbola Uwagi Zbiory nierozkładalne Nieprzywiedlne przestrzenie topologiczne Noetherowskie przestrzenie topologiczne Nieprzywiedlne zbiory algebraiczne Uwagi i

2 ii Andrzej Nowicki, 2003 Afiniczne zbiory algebraiczne 5 Odwzorowania wymierne Funkcje częściowe Funkcje wymierne Odwzorowania wymierne Homomorfizm indukowany Biwymierna równoważność zbiorów algebraicznych Wymierne zbiory algebraiczne Krzywe płaskie Wielkie twierdzenie Fermata dla wielomianów Punkty wymierne na krzywych płaskich Hiperpowierzchnie dla n > Zbiory uniwymierne References 46

3 1 Afiniczne zbiory algebraiczne k = dowolne ciało, n = liczba naturalna, k[t ] = k[t 1,..., T n ], pierścień wielomianów nad k. 1.1 Zbiory algebraiczne i topologia Zariskiego Definicja Jeżeli F k[t ] jest podzbiorem, to oznaczmy: V(F ) = { a k n ; f(a) = 0 f F }. Zbiór postaci V(F ) nazywamy zbiorem algebraicznym lub afinicznym zbiorem algebraicznym lub zbiorem domkniętym. Stwierdzenie V(F ) = V((F )) = V( (F )). Z twierdzenia Hilberta o bazie wynika: Stwierdzenie Dla każdego zbioru F k[t ] istnieje skończony podzbiór F 0 F taki, że V(F 0 ) = V(F ). Oto podstawowe własności zbiorów algebraicznych: Stwierdzenie (1) = V({1}) = V(k[T ]), k n = V(0), (2) α V(F α) = V( α F α) = V( α (F α)), (3) V(F 1 ) V(F 2 ) = V(F 1 F 2 ) = V((F 1 )(F 2 )) = V((F 1 ) (F 2 )). Zbiory postaci V(F ) zadają więc na zbiorze k n pewną topologię zwaną topologią Zariskiego. Stwierdzenie Niech k = R lub C. Każdy zbiór domknięty w k n w topologii Zariskiego jest domknięty w zwykłej topologii tej przestrzeni. Dowód. Niech X = V(f 1,..., f s ), gdzie f 1,..., f s k[t ], będzie zbiorem domkniętym w k n z topologią Zariskiego. Rozpatrzmy odwzorowanie f : k n k s, a (f 1 (a),..., f s (a)). Odwzorowanie to jest ciągłe w naturalnych topologiach, gdyż jest to odwzorowanie wielomianowe. Ponieważ X = f 1 ({(0,..., 0)}) więc X jest zbiorem domkniętym w naturalnej topologii przestrzeni k n, gdyż jednoelementowy zbiór {(0,..., 0)} jest domknięty w naturalnej topologii przestrzeni k s. Stwierdzenie Każdy zbiór jednoelementowy {a} k n jest zbiorem algebraicznym. 1

4 2 Andrzej Nowicki, Czerwiec Afiniczne zbiory algebraiczne Dowód. Niech a = (a 1,..., a n ). Wtedy {a} = V(M a ), gdzie M a jest ideałem (maksymalnym) równym (T 1 a 1,..., T n a n ). Topologia Zariskiego jest więc T 1 -topologią. Jeżeli k jest ciałem skończonym, to topologia ta jest dyskretna. Pokażemy, że jeżeli k jest ciałem nieskończonym, to topologia Zariskiego nie jest T 2 -topologią (tzn. nie jest topologią Hausdorffa). W tym celu zanotujmy najpierw następujący, dobrze znany, lemat. Lemat Niech R będzie nieskończoną dziedziną i niech h R[T 1,..., T n ]. Jeżeli h(a) = 0 dla każdego a R n, to h = 0. Stwierdzenie Jeżeli k jest ciałem nieskończonym, to topologia Zariskiego na k n nie jest topologią Hausdorffa. Dowód. Niech a 1, a 2 k n, a 1 a 2. Przypuśćmy, że istnieją zbiory otwarte U 1, U 2 takie, że a 1 U 1, a 2 U 2, U 1 U 2 =. Wtedy U 1 = k n V(F 1 ), U 2 = k n V(F 2 ),gdzie F 1, F 2 są podzbiorami w k[t ]. Zatem a 1 V(F 1 ), a 2 V(F 2 ) oraz = (k n V(F 1 )) (k n V(F 2 )) = k n (V(F 1 ) V(F 2 )), tzn. V(F 1 ) V(F 2 ) = k n, czyli V(F 1 F 2 ) = k n a zatem, (f 1 f 2 )(a) = 0, dla każdego a k n oraz dla wszystkich wielomianów f 1 F 1, f 2 F 2. Z tego, że a 1 V(F 1 ) i a 2 V(F 2 ) wynika, że istnieją wielomiany f 1 F 1, f 2 F 2 takie, że f 1 (a 1 ) 0 oraz f 2 (a 2 ) 0, tzn. f 1 0 i f 2 0. Ale wtedy f 1 f 2 F 1 F 2, więc (f 1 f 2 )(a) = 0 dla wszystkich a k n. Z Lematu wynika, że f 1 f 2 = 0 a zatem, f 1 = 0 lub f 2 = 0, gdyż k[t ] nie ma dzielników zera. Otrzymaliśmy więc sprzeczność. Stwierdzenie Topologia Zariskiego na k n zwartości bez T 2. jest quasi-zwarta, tzn. spełnia warunek Dowód. Niech k n = s S U s, gdzie U s są zbiorami otwartymi. Każdy zbiór U s (dla s S) jest postaci k n V(A s ), s S, gdzie A s jest ideałem w k[t ]. Mamy wtedy k n = s S (kn V(A s )) = k n s S V(A s) = k n V( s S A s), czyli V( s S A s) =. Z noetherowskości pierścienia k[t ] wynika, że istnieje skończony podzbiór S 0 S taki, że s S A s = s S 0 A s. Stąd dalej wynika, że k n = s S 0 U s. Stwierdzenie Każdy zbiór algebraiczny w k 1 jest albo całym zbiorem k 1 albo zbiorem skończonym. Dowód. Każdy zbiór algebraiczny w k 1 jest postaci V(A), gdzie A jest ideałem głównym w k[t 1 ]. Niech A = (F ). Jeżeli F = 0, to V(A) = k 1. Jeżeli F 0, to V(A) jest zbiorem skończonym, gdyż każdy wielomian z k[t 1 ] ma co najwyżej skończoną liczbę zer. 1.2 Hiperpowierzchnie Zbiór algebraiczny wyznaczony przez jeden wielomian (tzn. postaci V({f}), gdzie f k[t ]), nazywa się hiperpowierzchnią. Z twierdzenia Hilberta o bazie wynika więc, że każdy zbiór algebraiczny jest skończonym przekrojem pewnych hiperpowierzchni. Hiperpowierzchnie w k 2 nazywamy krzywymi algebraicznymi lub płaskimi krzywymi algebraicznymi. Poniższy lemat jest łatwym uogólnieniem Lematu

5 Andrzej Nowicki, Czerwiec Afiniczne zbiory algebraiczne 3 Lemat Niech D 1,..., D n będą nieskończonymi podzbiorami nieskończonej dziedziny R i niech D = D 1 D n. Niech h R[T 1,..., T n ]. Jeżeli h(a) = 0 dla każdego a D, to h = 0. Z tego lematu wynika w szczególności: Stwierdzenie Jeżeli k jest ciałem nieskończonym i f k[t ] jest wielomianem niezerowym, to k n V(f) jest zbiorem nieskończonym. Zanotujmy także następujące stwierdzenie. Stwierdzenie Jeżeli k jest ciałem algebraicznie domkniętym i n 2, to każda hiperpowierzchnia V(f), gdzie f k[t ] k, jest zbiorem nieskończonym. Dowód. Załóżmy, że zmienna T n istotnie występuje w wielomianie f. Niech f = a s Tn s + a s 1 Tn s a 0, gdzie a s,..., a 0 k[t 1,..., T n 1 ] oraz a s 0. Ponieważ a s 0 więc, na mocy Stwierdzenia 1.2.2, istnieje nieskończony podzbiór D k n 1 taki, że a s (d) 0, dla wszystkich d D. Dla każdego d D mamy więc niezerowy wielomian jednej zmiennej a s (d)tn s + a s 1 (d)t s a 0 (d), który posiada pierwiastek b d k (bo ciało k jest algebraicznie domknięte). Każdy więc punkt postaci (d, b d ) k n jest zerem wielomianu f. Zbiory algebraiczne określone jako zbiory rozwiązań liniowych układów równanań nazywają się zbiorami liniowymi. Badaniem zbiorów liniowych, stożkowych (tzn. krzywych płaskich określonych przez wielomian kwadratowy) oraz kwadryk (tzn. hiperpowierzchni w k 3 określonych przez wielomian kwadratowy) zajmuje się geometria analityczna, najbardziej elementarny i najstarszy rozdział geometrii algebraicznej ([Bial71] str 146). 1.3 Zbiory algebraiczne na płaszczyźnie Opiszemy teraz zbiory algebraiczne w k 2. W tym celu udowodnimy najpierw następujące dwa lematy o pierścieniu k[x, y], wielomianów dwóch zmiennych nad ciałem k. Lemat Niech f, g k[x, y] będą wielomianami bez wspólnego podzielnika (różnego od stałej). Wtedy w pierścieniu k(x)[y] zachodzi równość: NWD(f, g) = 1. Dowód. Niech NWD(f, g) = u(x, y)/v(x), gdzie u(x, y) k[x, y], v(x) k[x]. Jeżeli u(x, y) k[x], to nie ma czego dowodzić. Przypuśćmy więc, że u(x, y) k[x] i niech p(x, y) będzie nieprzywiedlnym wielomianem z k[x, y] dzielącym u(x, y) i istotnie zawierającym zmienną y. Istnieją wielomiany f 1 (x, y), g 1 (x, y) k[x, y] oraz a(x), b(x) k[x] takie, że f(x, y) = f1(x,y) a(x) u(x,y) v(x), g1(x,y) g(x, y) = b(x) u(x,y) v(x). W pierścieniu k[x, y] zachodzą zatem równości a(x)v(x)f(x, y) = f 1 (x, y)u(x, y) i b(x)v(x)g(x, y) = g 1 (x, y)u(x, y), z których wynika, że wielomian p(x, y) jest wspólnym podzielnikiem wielomianów f i g. Mamy więc sprzeczność z założeniem. Powyższy lemat jest szczególnym przypadkiem następującego ogóniejszego stwierdzenia, wynikającego łatwo z Lematu Gaussa. Stwierdzenie Niech R będzie dziedziną z jednoznacznością rozkładu i niech R[t] będzie pierścieniem wielomianów jednej zmiennej nad R. Niech f, g R[t] będą wielomianami bez wspólnego podzielnika (różnego od stałej). Wtedy wielomiany te nie mają również wspólnego podzielnika w pierścieniu R 0 [t], (gdzie R 0 jest ciałem ułamków dziedziny R).

6 4 Andrzej Nowicki, Czerwiec Afiniczne zbiory algebraiczne Lemat Niech f, g k[x, y] będą wielomianami bez wspólnego podzielnika (różnego od stałej). Wtedy wielomiany f i g mają co najwyżej skończoną ilość wspólnych zer. Dowód. Z Lematu wynika, że wielomiany f i g, traktowane jako elementy pierścienia k(x)[y], nie mają wspólnego podzielnika. Zatem 1 = a(x,y) b(x) f + c(x,y) d(x) g, gdzie a(x, y), c(x, y) są pewnymi wielomianami z k[x, y] oraz b(x), d(x) są pewnymi niezerowymi wielomianami z k[x]. Mamy stąd równość w k[x, y]: b(x)d(x) = d(x)a(x, y)f(x, y) + b(x)c(x, y)g(x, y). Niech teraz (u, v) będzie wspólnym zerem wielomianów f i g. Wtedy f(u, v) = g(u, v) = 0, więc b(u)d(u) = 0. Istnieje zatem tylko skończona ilość wartości u (wielomian b(x)d(x) k[x] ma bowiem tylko skończoną ilość pierwiastków). Zmieniając rolami zmienne x, y i rozpatrując wielomiany f i g jako elementy pierścienia k(y)[x] dochodzimy do wniosku, że wartości v jest też tylko skończona ilość. Stwierdzenie Każdy algebraiczny podzbiór zbioru k 2 jest albo równy k 2, albo jest sumą X Y, gdzie X jest zbiorem skończonym lub pustym, a Y jest algebraiczną krzywą płaską lub jest zbiorem pustym. Dowód. Niech V = V(f 1,..., f s ) będzie algebraicznym podzbiorem w k 2 określonym przez wielomiany f 1,..., f s k[t 1, T 2 ]. Jeżeli każde f 1,..., f s jest wielomianem zerowym, to V = k 2. W przeciwnym przypadku istnieje wielomian d = d(t 1, T 2 ) k[t 1, T 2 ] będący największym wspólnym podzielnikiem wielomianów f 1,..., f s. Jeżeli d jest wielomianem stałym, to na mocy Lematu 1.3.3, V jest zbiorem skończonym (lub pustym). Załóżmy więc, że d k. Wówczas f i = f i d, f i k[t 1, T 2 ], dla i = 1,..., s, oraz NWD(f 1,..., f s) = 1. Wtedy V = X Y, gdzie X = V(f 1,..., f s), Y = V(d). X jest zbiorem skończonym (Lemat 1.3.3), a Y jest algebraiczną krzywą płaską. 1.4 Zbiory algebraiczne w k 3 Hiperpowierzchnie w k 3 nazywają się powierzchniami algebraicznymi. W szczególności więc powierzchniami algebraicznymi są kwadryki. Zbiór pusty, zbiory skończone, powierzchnie algebraiczne oraz skończone sumy tych zbiorów nie wyczerpują jeszcze wszystkich zbiorów algebraicznych w k 3, gdyż na ogół część wspólna dwóch powierzchni nie jest tej postaci. Problem czy każdy podzbiór algebraiczny w k 3 jest albo równy k 3, albo jest postaci X Y Z, gdzie X jest zbiorem skończonym lub pustym, Y jest skończoną sumą przecięć dwóch powierzchni lub zbiorem pustym, a Z jest powierzchnią lub zbiorem pustym, jest nierozwiązany (dane z 1971 roku patrz [Bial71] strona 147). 1.5 Ideały postaci I(X) Definicja Jeżeli X k n jest podzbiorem, to oznaczmy: I(X) = { f k[t ]; } f(x) = 0. x X

7 Andrzej Nowicki, Czerwiec Afiniczne zbiory algebraiczne 5 W szczególności I( ) = k[t ]. Stwierdzenie (1) I(X) jest radykalnym ideałem w k[t ]. (2) Jeżeli X Y, to I(Y ) I(X). (3) Jeżeli X k n, to X VI(X). (4) Jeżeli F k[t ], to F IV(F ). (5) VIV = V. (6) IVI = I. Jeżeli X k n jest podzbiorem, to przez X oznaczamy domknięcie zbioru X w topologii Zariskiego na k n. Stwierdzenie X = VI(X). Dowód. Z 1.5.2(3) widzimy, że VI(X) jest zbiorem domkniętym zawierającym X. Niech W = V(F ), gdzie F k[t ], będzie dowolnym zbiorem domkniętym zawierającym X. Wtedy X W więc I(W ) I(X), więc X VI(X) VI(W ) = VIV(F ) = V(F ) = W. Zatem każdy zbiór domknięty zawierający X zawiera zbiór VI(X). Stwierdzenie Jeżeli X k n jest podzbiorem, to I(X) = I(X). Dowód. Wiemy, że X = VI(X). Zatem I(X) = IVI(X) = I(X). Stwierdzenie Niech k będzie ciałem nieskończonym i niech X k n będzie podzbiorem. Wtedy I(X) = 0 X = k n. Dowód. Jeśli I(X) = 0, to z mamy: k n = V(0) = VI(X) = X. Niech k n = X. Wtedy (na mocy Stwierdzenia i Lematu 1.2.1) I(X) = I(X) = I(k n ) = 0. Lemat Niech R[T ] = R[T 1,..., T n ] będzie pierścieniem wielomianów nad pierścieniem (przemiennym) R. Niech a = (a 1,..., a n ) R n i niech M a będzie ideałem w R[T ] generowanym przez wielomiany T 1 a 1,..., T n a n. Jeśli F R[T ], to F F (a) M a. Dowód. Wystarczy to wykazać w przypadku, gdy F jest jednomianem. Ponieważ Ti s a s i = (T i a i )(T s 1 i + T s 2 i a 1 i + + as 1 i ) więc każdy wielomian postaci Ti s as i należy do M a. Niech F = T s1 1 T n sn. Mamy wtedy: F F (a) = T s1 1 T n sn a s1 1 asn n = T s1 1 T s2 2 T n sn = (T s1 1 as1 1 a s1 1 T s2 2 T n sn s2 )T2 T n sn + a s1 1 + a s1 1 T s2 2 T n sn a s1 1 as2 2 asn n s2 (T2 T n sn Lemat nasz wynika więc z prostej indukcji ze względu na n. a s2 2 asn n ). Lemat Jeśli a = (a 1,..., a n ) k n, to M a maksymalnym w k[t ]. = (T 1 a 1,..., T n a n ) jest ideałem Dowód. Rozpatrzmy k-algebrową surjekcję k[t ] k, F F (a). Z Lematu wynika, że jądrem tej surjekcji jest ideał M a. Poniższe stwierdzenie jest konsekwencją Lematu

8 6 Andrzej Nowicki, Afiniczne zbiory algebraiczne Stwierdzenie Jeśli a = (a 1,..., a n ) k n, to I({a}) = M a = (T 1 a 1,..., T n a n ). 1.6 Topologia indukowana z topologii Zariskiego Niech X będzie dowolnym podzbiorem przestrzeni k n. Wtedy X jest przestrzenią topologiczną z topologią indukowaną z topologii Zariskiego na przestrzeni k n. Każdy zbiór domknięty w X jest postaci V X, gdzie V jest zbiorem algebraicznym w k n. Lemat Jeżeli X k n jest podzbiorem i B jest ideałem w k[t ], to VI(V(B) X) X = V(B) X. Dowód. Niech W = V(B) X. Mamy wykazać, że VI(W ) X = W. Ponieważ W VI(W ) (patrz Stwierdzenie 1.5.2) oraz W X, więc W VI(W ) X. Inkluzję w przeciwną stronę wykazujemy kolejno w następujący sposób: W V(B), I(W ) IV(B), VI(W ) VIV(B) = V(B), VI(W ) X V(B) X = W. Stwierdzenie Niech X będzie podzbiorem przestrzeni k n i niech W będzie podzbiorem zbioru X. Następujące warunki są równoważne. (1) W jest zbiorem domkniętym w przestrzeni X, z topologią indukowaną z topologii Zariskiego. (2) Istnieje ideał C w k[t ] taki, że C I(X) oraz W = V(C) X. Dowód. Implikacja (2) (1) jest oczywista. Załóżmy, że W = V(B) X, gdzie B jest pewnym ideałem w k[t ]. Niech C = I(W ). Wtedy C jest ideałem w k[t ] zawierającym ideał I(X) oraz (na mocy Lematu 1.6.1) V(C) X = VI(V(B) X) = V(B) X = W. Każda zbiór algebraiczny w k n jest podzbiorem zbioru k n. Jest więc zatem przestrzenią topologiczną z topologia indukowaną z topologii Zariskiego na k n. Poniższe stwierdzenie opisuje wszystkie jej zbiory domknięte. Stwierdzenie Niech X = V(A) będzie zbiorem algebraicznym określonym przez ideał A k[t ]. Niech W X będzie podzbiorem. Następujące warunki są równoważne. (1) W jest zbiorem domkniętym w X. (2) W = V(B), gdzie B jest ideałem w k[t ], zawierającym A. Dowód. (1) (2). Niech W = V(C) X, gdzie C k[t ] jest ideałem. Wtedy W = V(C) V(A) = V(A + C) i ideał A + C zawiera oczywiście ideał A. (2) (1). W = V(B) = V(B + A) = V(B) V(A) = V(B) X. 1.7 Uwagi 1.1 Każdy zbiór algebraiczny w R n, gdzie R jest ciałem liczb rzeczywistych, jest hiperpowierzchnią. Wynika to z równości V(f 1,..., f s ) = V(f f 2 s ).

9 2 Twierdzenie Hilberta o zerach Przypomnijmy, że ciało k jest algebraicznie domknięte jeśli każdy wielomian należący do k[t] k ma pierwiastek w k. Stwierdzenie Następujące warunki są równoważne: (1) Ciało k jest algebraicznie domknięte. (2) Każdy wielomian nierozkładalny w k[t] jest liniowy. (3) Jeśli k L jest algebraicznym rozszerzeniem ciał, to L = k. (4) Jeśli k L jest skończonym rozszerzeniem ciał, to L = k. Powyższe stwierdzenie jest dobrze znane. Dowód można znaleźć na przykład w [Brow77] 107 lub [Brow68] Wysłowienie twierdzenia Hilberta o zerach Twierdzenie (Hilberta o zerach). (1) Ciało k jest algebraicznie domknięte. (2) Każdy ideał maksymalny w k[t ] jest postaci gdzie a = (a 1,..., a n ) k n. Następujące warunki są równoważne. M a = (T 1 a 1,..., T n a n ), (3) Dla każdego ideału A w k[t ], różnego od k[t ], zbiór V(A) jest niepusty. (4) Dla każdego ideału A w k[t ] zachodzi równość IV(A) = A. (5) Operacje V oraz I ustalają wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość pomiędzy zbiorami algebraicznymi w k n i ideałami radykalnymi w k[t ]. 2.2 Twierdzenie Zariskiego W dowodzie twierdzenia Hilberta o zerach wykorzystamy następujące Twierdzenie (Zariski 1947). Niech B będzie skończenie generowaną algebrą nad ciałem k. Jeżeli B jest ciałem, to B jest skończonym (algebraicznym) rozszerzeniem ciała k. Istnieją różne dowody tego twierdzenia. Patrz na przykład: [At-Mac] strony 85 lub 101 w tł. ros. Przedstawimy dowód, pochodzący od Zariskiego (patrz [At-Mac] Zad.18 str.88). W tym celu udowodnimy najpierw kilka lematów. Pierwszy z tych lematów jest twierdzeniem Zariskiego dla n = 1. Lemat Niech A będzie k-algebrą generowaną nad k przez jeden element. Jeśli A jest ciałem, to k A jest skończonym (algebraicznym) rozszerzeniem ciał. 7

10 8 Andrzej Nowicki, Czerwiec Twierdzenie Hilberta o zerach Dowód. Niech A = k[u], gdzie u A. Jeśli u = 0, to A = k i nie ma czego dowodzić. Załóżmy więc, że u 0. Element u 1 należy do A (bo A jest ciałem). Istnieją zatem w ciele k elementy a 0, a 1,..., a s takie, że u 1 = a s u s + + a 1 u 1 + a 0 oraz a s 0. Stąd otrzymujemy równość a s u s a 1 u 2 + a 0 u 1 1, z której wynika, że element u jest algebraiczny nad k. Ciało A = k[u] jest więc skończonym rozszerzeniem ciała k. Lemat Każda dziedzina z jednoznacznością rozkładu jest pierścieniem całkowicie domkniętym. Dowód. Załóżmy, że A jest dziedziną z jednoznacznością rozkładu i K jest jej ciałem ułamków. Niech u K będzie elementem całkowitym nad A. Należy wykazać, że u A. Istnieją elementy a 1,..., a s A takie, że u s +a 1 u s 1 + +a n 1 u+a n = 0. Ponadto, u = p/q K, gdzie p, q są względnie pierwszymi elementami pierścienia A. Mamy zatem równość (p/q) s + a 1 (p/q) s a n 1 (p/q) + a n = 0, z której wynika, że p s = a 1 p s 1 q a 2 p s 2 q 2 a n q s. Stąd dalej wynika, że q p, czyli u = p/q A. Jeśli f jest niezerowym wielomianem należącym do k[t], to przez k[t] f oznaczać będziemy podpierścień ciała k(t) (funkcji wymiernych jednej zmiennej nad k) zdefiniowany jako: Lemat Pierścień k[t] f nie jest ciałem. k[t] f = { g f s ; g k[t], s 0}. Dowód. Jeśli f k, to k[t] f = k[t] nie jest oczywiście ciałem. Niech więc f k i przypuśćmy, że pierścień k[t] f jest ciałem. Element (f + 1)/f ma wtedy element odwrotny. Niech (f + 1)/f g/f s = 1, dla pewnych g k[t], s 0. Wtedy (f + 1)g = f s+1 wbrew temu, że k[t] jest dziedziną z jednoznacznością rozkładu. Dowód twierdzenia Zariskiego (indukcja ze względu na liczbę generatorów). Jeśli algebra B jest generowana przez jeden element, to teza wynika z Lematu Niech B = k[u 1,..., u s ], gdzie u 1,..., u s A. Załóżmy, że s > 1 oraz że twierdzenie jest prawdziwe dla algebr o s 1 generatorach. Oznaczmy u = u s, A = k[u] i niech L będzie ciałem ułamków pierścienia A. Wówczas B = L[u 1,..., u s 1 ], a zatem (na mocy indukcji) B jest skończonym rozszerzeniem ciała L. Elementy u 1,..., u s 1 są pierwiastkami wielomianów monicznych o wspólczynnikach należących do L. Niech f będzie iloczynem mianowników wszystkich współczynników tych wielomianów. Elementy u 1,..., u s 1 są więc całkowite nad A f = {g/f r ; g A, r 0}. Zatem pierścień B jest całkowity nad A f. W szczególności ciało L jest całkowitym rozszerzeniem pierścienia A f (gdyż L B). Pokażemy teraz, że element u jest algebraiczny nad k. Przypuśćmy, że tak nie jest. Wówczas A = k[u] jest pierścieniem wielomianów jednej zmiennej nad k. Jest to pierścień całkowicie domknięty (Lemat 2.2.3). W szczególności A jest całkowicie domknięte w A f.

11 Andrzej Nowicki, Czerwiec Twierdzenie Hilberta o zerach 9 Zauważmy, że A f = L. Niech bowiem c L A f. Ponieważ L jest całkowite nad A f więc c m + w 1 f p 1 cm wm f pm = 0, dla pewnych w 1,..., w m A, m > 0, p 1,..., p m 0. Niech p = max(p 1,..., p m ) i niech g = f p. Możąc powyższą równość stronami przez g m otrzymujemy równość postaci (gc) m + d 1 (gc) m d m = 0, w której elementy d 1,..., d m należą do A. Stąd wynika, że element gc = f p c jest całkowity nad A. Wiemy, że pierścień A jest całkowicie domknięty w A f. Zatem f p c = a A, czyli c = a/f p A f. Wykazaliśmy, że A f = L. Jest to jednak sprzeczne z Lematem Sprzeczność ta obala nasze przypuszczenie o niealgebraiczności elementu u. Zatem L jest skończonym rozszerzeniem ciała k oraz B jest skończonym rozszerzeniem ciała L. Stąd wynika, że B jest skończonym rozszerzeniem ciała k. To kończy dowód twierdzenia Zariskiego. 2.3 Dowód twierdzenia Hilberta o zerach (1) (2) Niech M będzie ideałem maksymalnym w k[t ]. Wtedy pierścień ilorazowy k[t]/m jest skończenie generowaną k-algebrą będącą ciałem. Ponieważ ciało k jest algebraicznie domknięte więc z twierdzenia Zariskiego (oraz ze Stwierdzenia 2.0.1) wynika, że k[t ]/M = k. Istnieją zatem w ciele k elementy a 1,..., a n takie, że T 1 + M = a 1 + M,..., T n +M = a n +M. To implikuje, że M a M. Zatem M a = M, gdyż ideał M a jest maksymalny (Stwierdzenie 1.5.7). (2) (3) Niech A będzie ideałem w k[t ] różnym od k[t ]. Istnieje wtedy ideał maksymalny M taki, że A M. Z (2) wynika, że M = M a, dla pewnego a k n, a zatem a V(M a ) V(A), czyli V(A). (3) (1) Niech f = f(t 1 ) będzie wielomianem należącym do k[t 1 ] k. Wtedy f k[t ] = k[t 1,..., T n ] i oczywiście ideał A = k[t ]f jest różny od całego pierścienia k[t ]. Istnieje zatem (na mocy (3)) punkt a = (a 1,..., a n ) k n będący wspólnym zerem ideału A. W szczególności a 1 jest pierwiastkiem wielomianu f. (3) (4) Wykazaliśmy już, że warunki (1), (2) i (3) są równoważne. Z (3) wynika zatem, że każdy właściwy ideał pierścienia wielomianów k[t, Y ] = k[t 1,..., T n, Y ] ma wspólne zero w k n+1. Niech A będzie dowolnym ideałem w k[t ]. Należy wykazać, że IV(A) = A. Inkluzja A IV(A) zachodzi zawsze (Stwierdzenie 1.5.2). Wykażemy więc inkluzję w przeciwnym kierunku. Niech f IV(A). Jeśli f = 0, to oczywiście f A. Załóżmy więc, że f 0 i rozważmy ideał w k[t, Y ] generowany przez zbiór A i wielomian 1 fy. Jest oczywiste, że zbiór V(A, 1 fy ) jest pusty. Z (3) wynika zatem, że rozważany ideał jest całym pierścieniem k[t, Y ]; należy w szczególności do niego jedynka. Istnieją zatem wielomiany g 1,..., g m, g k[t, Y ] oraz wielomiany h 1,..., h m A takie, że 1 = h 1 g h m g m + (1 fy )g.

12 10 Andrzej Nowicki, Twierdzenie Hilberta o zerach Zadziałajmy na tę równość k-algebrowym homomorfizmem ϕ : k[t, Y ] k(t ), gdzie k(t ) := k(t 1,..., T n ) takim, że ϕ(t i ) = T i dla i = 1,..., n oraz ϕ(y ) = 1/f. Otrzymamy wówczas równość 1 = h 1 (T 1,..., Y n )g 1 (T 1,..., T n, 1/f) + h m (T 1,..., Y n )g m (T 1,..., T n, 1/f), z której wynika (po pomnożeniu stronami przez odpowiednią potęgę wielomianu f), że f s A dla pewnego s > 0. Zatem f A. (4) (3) Niech A k[t ] będzie ideałem w k[t ]. Przypuśćmy, że V(A) =. Mamy wówczas sprzeczność: k[t ] A = IV(A) = I( ) = k[t ]. (5) (4) Niech A będzie ideałem w k[t ]. Wtedy IV(A) = IV( A) = A. (4) (5) Ponieważ zawsze zachodzi równość VIV = V (patrz Stwierdzenie 1.5.2), więc złożenie V I jest zawsze identycznością na rodzinie wszystkich zbiorów algebraicznych w k n. Jeśli A jest ideałem radykalnym w k[t ], to A = A i (na mocy (4)) IV(A) = A = A. Zatem złożenie I V jest identycznością na rodzinie wszystkich ideałów radykalnych w k[t ]. To kończy dowód twierdzenia Hilberta o zerach. Przedstawiony tu dowód został opracowany na podstawie notatek z wykładu Romana Kiełpińskiego 1971/72 (GeomAlg 1 17, patrz również ZIII A 83-85). 2.4 Uwagi Twierdzenie Hilberta o zerach, to tzw. the Hilbert Nullstellensatz (patrz np. [ZarSam]). Często twierdzeniem Hilberta o zerach nazywa się tylko pewną część Twierdzenia Najbardziej popularna jest implikacja (1) (4), którą podaje się zwykle w następującej wersji. Twierdzenie Jeśli ciało k jest algebraicznie domknięte i wielomian f k[t ] przyjmuje wartość 0 we wszystkich punktach zbioru algebraicznego V(A) wyznaczonego przez ideał A k[t ], to pewna potęga wielomianu f należy do ideału A. Taką wersję (wraz z dowodem) możemy znaleźć np. w: [ZarSam], [Lang65], [Brow77], [BalJ85], [Bial87]. Implikacja (1) (2) z Twierdzenia jest znana w literaturze jako słaba wersja twierdzenia Hilberta o zerach. Patrz np. [ZarSam] lub [At-Mac]. Zanotujmy jeszcze pewne sformułowanie implikacji (1) (3), które również nazywa się twierdzeniem Hilberta o zerach (patrz np. [Bial87] lub [Fult78]). Twierdzenie Niech k będzie ciałem algebraicznie domkniętym i niech f 1,..., f s będą wielomianami należącymi do pierścienia k[t ]. Rozważmy układ równań: f 1 (T 1,..., T n ) = = f s (T 1,..., T n ) = 0. Jeżeli ideał (f 1,..., f s ) jest różny od k[t ], to powyższy układ posiada rozwiązanie w k n.

13 3 Odwzorowania regularne k = dowolne ciało, n = liczba naturalna, k[t ] = k[t 1,..., T n ], pierścień wielomianów nad k. 3.1 Funkcje regularne Niech X = V(A) będzie zbiorem algebraicznym. Definicja Mówimy, że funkcja f : X k jest regularna na X jeżeli istnieje wielomian F k[t ] taki, że f(x) = F (x), dla wszystkich x X. Zbiór wszystkich funkcji regularnych na X jest przemienną k-algebrą, którą oznaczamy przez k[x] i nazywamy k-algebrą funkcji regularnych na X lub pierścieniem funkcji regularnych na X Dodawanie, mnożenie i mnożenie przez skalar są określone następująco: (f + g)(x) = f(x) + g(x) (f g)(x) = f(x)g(x) (αf)(x) = αf(x), dla wszystkich f, g k[x], x X oraz α k. Stwierdzenie k[x] k[t ]/I(X). Dowód. Odwzorowanie k[t ] k[x], F F X, jest surjekcją k-algebr z jądrem I(X). Ze stwierdzenia tego wynika w szczególności, że k[x] jest skończenie generowaną k-algebrą bez nilpotentów. Następne stwierdzenie pokazuje, że każda skończenie generowana algebra bez nilpotentów nad ciałem algebraicznie domkniętym jest takiej postaci. Stwierdzenie Niech k będzie ciałem algebraicznie domkniętym. Jeżeli A jest skończenie generowaną k-algebrą bez nilpotentów, to istnieje zbiór algebraiczny X taki, że k-algebry k[x] i A są izomorficzne. Dowód. Algebra A jest postaci k[z 1,..., Z s ]/a, gdzie a jest ideałem radykalnym w pierścieniu wielomianów k[z] = k[z 1,..., Z s ]. Niech X k s będzie zbiorem algebraicznym wyznaczonym przez ideał a, tzn. X = V(a). Z twierdzenia Hilberta o zerach wiemy, że a = a = IV(a) = I(X). Zatem A k[z]/a = k[z]/i(x) k[x]. Zanotujmy jeszcze następne stwierdzenie. Stwierdzenie Niech W będzie podzbiorem algebraicznego zbioru X k n. Następujące warunki są równoważne. (1) W jest zbiorem gęstym w X. (2) f k[x] f W = 0 = f = 0. (3) I(W ) = I(X). 11

14 12 Andrzej Nowicki, Czerwiec Odwzorowania regularne Dowód. (1) (2). Niech f = F X, gdzie F k[t ], będzie funkcją regularną na X taką, że f W = 0. Wtedy F W = 0, więc W V(F ). Ale V(F ) jest zbiorem domkniętym, więc X = W V(F ). Zatem F X = 0, czyli f = 0. (2) (3) Zawsze zachodzi inkluzja I(X) I(W ). Warunek (2) mówi, że zachodzi również inkluzja odwrotna. (3) (1) W = VI(W ) = VI(X) = X. 3.2 Twierdzenie Hilberta o zerach dla k[x] Niech X = V(F 1,..., F s ) k n będzie zbiorem algebraicznym określonym przez wielomiany F 1,..., F s k[t ] i niech, tak jak poprzednio, k[x] będzie pierścieniem funkcji regularnych na X. Z każdym podzbiorem A pierścienia k[x] możemy stowarzyszyć podzbiór V X (A) zbioru X, zdefiniowany następująco: V X (A) = {x X; f A f(x) = 0}. Jest oczywiste, że V X (A) = V X ((A)) = V X ( (A)), gdzie (A) jest ideałem w k[x] generowanym przez zbiór A i (A) jest radykałem w k[x] ideału (A). W szczególności V X (0) = X oraz V X (k[x]) =. Ponieważ k[x] jest pierścieniem noetherowskim, więc istnieje skończony podzbiór A 0 A taki, że V X (A 0 ) = V X (A). Łatwo sprawdzić, że rodzina zbiorów postaci V X (A) jest zamknięta ze względu na skończone sumy mnogościowe i dowolne przekroje (zachodzi stwierdzenie podobne do Stwierdzenia 1.1.4). Rodzina ta zadaje więc na zbiorze X pewną topologię. Nazwijmy ją toplogią Zariskiego na X. Zwrócmy jednak uwagę, że topologia ta jest już nam znana. Pokrywa się ona bowiem z topologią indukowaną z topologii Zariskiego na k n. Wyjaśnia to poniższe oczywiste stwierdzenie. Stwierdzenie Niech X = V(F 1,..., F s ) k n i niech g 1,..., g r k[x] będą funkcjami regularnymi na X określonymi odpowiednio przez wielomiany G 1,..., G r k[t ]. Wtedy V X (g 1,..., g r ) = V(F 1,..., F s, G 1,..., G r ) = X V(G 1,..., G r ). Z każdym podzbiorem Y X stowarzyszony jest podzbiór I X (Y ) pierścienia k[x] zdefiniowany następująco: I X (Y ) = {f k[x]; y Y f(y) = 0}. Podzbiór ten jest radykalnym ideałem w k[x]. Z łatwością sprawdzamy, że ideały tej postaci mają podobne własności co ideały postaci I(X). Łatwo też wykazać następujące stwierdzenie. Stwierdzenie k-algebry k[x]/i X (Y ) i k[t ]/I(Y ) są izomorficzne. Niech x X i niech m x = {f k[x]; f(x) = 0} = I X ({x}). Stwierdzenie Zbiór m x jest maksymalnym ideałem w k[x]. Dowód. Przyporządkowanie k[x] k, f f(x) jest surjekcją k-algebr, której jądro pokrywa się z ideałem m x. Oznaczmy przez t 1,..., t n funkcje regularne na X wyznaczone odpowiednio przez wielomiany T 1,..., T n (tzn. t i = T i X, dla i = 1,..., n). Funkcje te generują pierścień k[x] nad k.

15 Andrzej Nowicki, Czerwiec Odwzorowania regularne 13 Stwierdzenie Jeśli x = (x 1,..., x n ) X, to m x = (t 1 x 1,..., t n x n ). Dowód. Niech A = (t 1 x 1,..., t n x n ). Niech η : k[t ] k[t ]/I(X) = k[x] będzie k- algebrowym homomorfizmem naturalnym i niech M x = (T 1 x 1,..., T n x n ). Wiemy (Lemat 1.5.7), że M x jest ideałem maksymalnym w k[t ]. Ponieważ I(X) M x, więc A = η(m x ) jest ideałem maksymalnym w k[x]. Stąd wynika, że m x = A, gdyż jest oczywiste, że A m x. Twierdzenie (Hilberta o zerach dla k[x]). Niech k będzie ciałem algebraicznie domkniętym i niech X będzie zbiorem algebraicznym w k n. Wtedy: (1) Każdy ideał maksymalny w k[x] jest postaci m x, dla pewnego x X. (2) Dla każdego ideału A w k[x], różnego od k[x], zbiór V X (A) jest niepusty. (3) Dla każdego ideału A w k[x] zachodzi równość I X V X (A) = A. (4) Operacje V X oraz I X ustalają wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość pomiędzy zbiorami domkniętymi w X a ideałami radykalnymi w k[x]. Dowód. (3). Inkluzja I X V X (A) A jest oczywista. Założmy, że X = V(F 1,..., F s ), gdzie F 1,..., F s k[t ] i niech A = (g 1,..., g r ), gdzie g 1,..., g s są funkcjami regularnymi na X określonymi odpowiednio przez wielomiany G 1,..., G r k[t ]. Niech h = H X, gdzie H k[t ], będzie funkcją wymierną na X należącą do ideału I X V X (A) = I X (V(F 1,..., F s, G 1,..., G r )). Wtedy H(y) = 0, dla wszystkich y V(F 1,..., F s, G 1,..., G r ), a zatem (na mocy twierdzenia Hilberta o zerach) H m należy do ideału (F 1,..., F s, G 1,..., G r ) pierścienia k[t ], gdzie m jest pewną liczbą naturalną. Zatem H m = u 1 F u s F s + v 1 G v r G r, dla pewnych wielomianów u 1,..., u s, v 1,..., v r k[t ], a więc (H X) m = (u 1 X)(F 1 X) + + (u s X)(F s X) + (v 1 X)(G 1 X) + + (v r X)(G r X). Stąd wynika, że h m = (v 1 X)g (v r X)g r (gdyż (F 1 X) = = (F S X) = 0). Zatem h A. (2). Jeżeli V X (A) =, to z (3) wynika, że A = I X V X (A) = I X ( ) = k[x], czyli A = k[x]. (1). Niech m będzie ideałem maksymalnym w k[x] i niech Y = V X (m). Z (2) wynika, że Y jest niepustym zbiorem. Istnieje więc y Y. Wtedy m y m, czyli m = m y. (4). Jest to prosta konsekwencja własności (3). 3.3 Odwzorowania regularne Definicja Niech X k n, Y k m będą zbiorami algebraicznymi. Mówimy, że funkcja f : X Y jest odwzorowaniem regularnym (X w Y ) jeżeli istnieją wielomiany F 1..., F m k[t ] = k[t 1,..., T n ] takie, że dla wszystkich x X. f(x) = (F 1 (x),..., F m (x)), W tej definicji wielomiany F 1,..., F m można zastąpić funkcjami regularnymi F 1,..., F m k[x]. Każda funkcja regularna f : X k jest oczywiście odwzorowaniem regularnym zbioru algebraicznego X w k. Zanotujmy oczywiste stwierdzenie.

16 14 Andrzej Nowicki, Czerwiec Odwzorowania regularne Stwierdzenie (1) Odwzorowanie identycznościowe 1 X : X X jest regularne. (2) Złożenie odwzorowań regularnych jest odwzorowaniem regularnym. Mamy więc pewną kategorię, zwaną kategorią zbiorów algebraicznych lub kategorią afinicznych zbiorów algebraicznych (nad ciałem k), której obiektami są zbiory algebraiczne, a morfizmami są odwzorowania regularne. Odwzorowanie regularne ϕ : X Y nazywamy izomorfizmem (regularnym) o ile istnieje odwzorowanie regularne ψ : Y X takie, że ϕψ = 1 Y, ψϕ = 1 X. Własność zbiorów algebraicznych nazywamy niezmienniczą (lub niezmiennikiem), gdy z faktu, że posiada ją pewien zbiór algebraiczny X wynika, że posiada ją każdy zbiór alebraiczny izomorficzny z X. Lemat Niech X k n, Y k m będą zbiorami algebraicznymi i niech X = V(f 1,..., f s ), gdzie f 1,..., f s k[t ] = k[t 1,..., T n ]. Załóżmy, że ϕ = (h 1,..., h m ) : X Y jest odwzorowaniem regularnym, gdzie h 1,..., h m k[t ]. Niech W = V(p 1,..., p r ) będzie zbiorem domkniętym w Y określonym przez wielomiany p 1,..., p r k[z] = k[z 1,..., Z m ] (Patrz Stwierdzenie 1.6.3). Wtedy ϕ 1 (W ) = D, gdzie D = V(f 1,..., f s, p 1 (h 1,..., h m ),..., p r (h 1,..., h m )). Dowód. Niech a ϕ 1 (W ). Wtedy a X (bo ϕ 1 (W ) X), więc f 1 (a) = = f s (a) = 0. Ponadto wtedy ϕ(a) W, więc p 1 (ϕ(a)) = = p r (ϕ(a)) = 0. Ale ϕ(a) = (h 1 (a),..., h m (a)), więc p 1 (h 1 (a),..., h m (a)) = = p r (h 1 (a),..., h m (a)) = 0. Zatem a D, czyli ϕ 1 (W ) D. Niech teraz a D. Wtedy f 1 (a) = = f s (a) = 0, więc a X. Ponadto, p 1 (ϕ(a)) = = p r (ϕ(a)) = 0, gdyż ϕ(a) = (h 1 (a),..., h m (a). Zatem ϕ(a) V(p 1,..., p r ) = W, czyli a ϕ 1 (W ). Z lematu tego wynika, że jeżeli ϕ : X Y jest odwzorowaniem regularnym, to przeciwobraz każdego zbioru domkniętego w Y jest zbiorem domkniętym w X, przy czym topologie na X i Y są indukowane z topologii Zariskiego odpowiednio na k n i k m. Stąd otrzymujemy: Stwierdzenie Każde odwzorowanie regularne jest ciągłe. Stwierdzenie odwrotne do powyższego stwierdzenia nie jest na ogół prawdziwe. Przykład Niech k będzie ciałem nieskończonym i niech ϕ : k 1 k 1 będzie funkcją określoną następująco: { x dla x 0, ϕ(x) = 1 dla x = 0. Funkcja ϕ jest ciągła (w topologii Zariskiego). Nie jest natomiast odwzorowaniem regularnym. Dowód. Wiemy, że każdy zbiór domknięty w k 1 jest albo równy k 1 albo jest zbiorem skończonym (Stwierdzenie ). Stąd wynika ciągłość funkcji ϕ. Przypuśćmy teraz, że ϕ jest odwzorowaniem regularnym. Istnieje wtedy wielomian f k[t 1 ] taki, że f(a) = ϕ(a), dla wszystkich a k 1. Niech g(t 1 ) = f(t 1 ) T 1. Wielomian g ma nieskończoną ilość pierwiastków. Jest więc to wielomian zerowy. Zatem f(t 1 ) = T 1. Stąd otrzymujemy sprzeczność: 0 = f(0) = ϕ(0) = 1.

17 Andrzej Nowicki, Czerwiec Odwzorowania regularne Homomorfizm indukowany przez odwzorowanie regularne Niech X k n, Y k m będą zbiorami algebraicznymi i niech ϕ : X Y będzie odwzorowaniem regularnym. Jeżeli β : Y k jest funkcją regularną na Y, to β jest odwzorowaniem regularnym z Y do k 1, a zatem złożenie β ϕ = βϕ jest odwzorowaniem regularnym z X do k 1 (na mocy Stwierdzenia 3.3.2), czyli βϕ jest funkcją regularną na X. Mamy zatem przyporządkowanie ϕ : k[y ] k[x], β βϕ, które (jak łatwo sprawdzić) jest homomorfizmem k-algebr. Zachodzi ponadto następujące oczywiste stwierdzenie. Stwierdzenie (1) Jeżeli ϕ : X Y, ψ : Y Z są odwzorowaniami regularnymi, to (ψϕ) = ϕ ψ. (2) (1 X ) = 1 k[x]. Wiemy (patrz Stwierdzenie 3.1.2), że k[x] jest skończenie generowaną k-algebrą bez nilpotentów. Z powyższego stwierdzenia wynika więc, że jest funktorem kontrawariantnym z kategorii zbiorów algebraicznych do kategorii skończenie generowanych k-algebr bez nilpotentów. Oznaczmy przez F(X, Y ) zbiór wszystkich odwzorowań regularnych z X do Y, a przez A k (k[y ], k[x]) zbiór wszystkich k-algebrowych homomorfizmów z k[y ] do k[x]. Stwierdzenie Funktor ustala bijekcję pomiędzy zbiorami F(X, Y ) i A k (k[y ], k[x]). Innymi słowy: (1) Jeżeli ϕ, ψ : X Y są odwzorowaniami regularnymi takimi,że ϕ = ψ, to ϕ = ψ. (2) Jeżeli H : k[y ] k[x] jest homomorfizmem k-algebr, to istnieje (dokładnie jedno) odwzorowanie regularne ϕ : X Y takie, że H = ϕ. Dowód. Niech p 1,..., p m : Y k będą funkcjami regularnymi na Y określonymi przez rzutowania, tzn. p j (a 1,..., a m ) = a j, dla j = 1,..., m. Funkcje te oczywiście generują k-algebrę k[y ]. (1). Niech ϕ = (f 1,..., f m ), ψ = (g 1,..., g m ), gdzie f j, g j : Y k (dla j = 1,..., m) są funkcjami regularnymi na Y. Załóżmy, że ϕ = ψ. Wtedy f j = p j ϕ = ϕ (p j ) = ψ (p j ) = p j ψ = g j, dla wszystkich j = 1,..., m. Zatem ϕ = ψ. (2). Niech H : k[y ] k[x] będzie homomorfizmem k-algebr. Niech α j = H(p j ), dla j = 1,..., m i rozpatrzmy odwzorowanie regularne α = (α 1,..., α m ) : X k m. Pokażemy, że α(x) Y. W tym celu zauważmy najpierw, że jeżeli g I(Y ), to funkcja regularna g(p 1,..., p m ) : Y k jest funkcją zerową. Istotnie, dla każdego b = (b 1,..., b m ) Y mamy: g(p 1,..., p m )(b) = g(p 1 (b),..., p m (b)) = g(b 1,..., b m ) = g(b) = 0. Niech teraz g I(Y ) i niech a X. Wtedy: g(α(a)) = g(α 1 (a),..., α m (a)) = g(α 1,..., α m )(a) = g(h(p 1 ),..., H(p m ))(a) = H(g(p 1,..., p m ))(a) = H(0)(a) = 0.

18 16 Andrzej Nowicki, Czerwiec Odwzorowania regularne Zatem α(x) VI(Y ) = Y (patrz Stwierdzenie 1.5.2(5)). Odwzorowanie regularne α : X k m indukuje więc odwzorowanie regularne ϕ : X Y takie, że ϕ(a) = α(a), dla wszystkich a X. Pokażemy teraz, ϕ = H. Wystarczy to sprawdzić tylko dla generatorów k-algebry k[y ], czyli dla funkcji regularnych p 1,..., p m. Sprawdzamy: ϕ (p j ) = p j ϕ = α j = H(p j ), j = 1,..., m. Zatem ϕ = H. Jedyność odwzorowania regularnego ϕ wynika z (1). Wniosek Niech X k n, Y k m będą zbiorami algebraicznymi. Następujące warunki są równoważne: (1) Zbiory X i Y są regularnie izomorficzne. (2) k-algebry k[x] i k[y ] są izomorficzne. Dowód. Implikacja (1) (2) jest konsekwencją Stwierdzenia (2) (1). Niech G : k[x] k[y ], H : k[y ] k[x] będą k-algebrowymi homomorfizmami takimi, że GH = 1 k[y ], HG = 1 k[x]. Z 3.4.2(2) mamy: H = ϕ, G = ψ, gdzie ϕ : X Y, ψ : Y X są pewnymi odwzorowaniami regularnymi. Zatem (1 X ) = 1 k[x] = HG = ϕ ψ = (ψϕ), a zatem, na mocy Stwierdzenia 3.4.2(1), ψϕ = 1 X. Analogicznie pokazujemy, że ϕψ = 1 Y. Stwierdzenie Jeżeli ϕ : X Y jest odwzorowaniem regularnym to ϕ : k[y ] k[x] jest monomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy ϕ(x) = Y. Dowód. Wykorzystamy Stwierdzenie Załóżmy, że ϕ(x) = Y. Niech ϕ (β) = 0, gdzie β k[y ]. Wtedy βf = 0, więc β ϕ(x) = 0, a zatem (na mocy Stwierdzenia 3.1.4) β = 0. Załóżmy teraz, że ϕ jest monomorfizmem. Niech β będzie funkcją regularną na Y taką, że β ϕ(x) = 0. Wtedy ϕ (β) = βf = 0, więc β = 0 i stąd wynika (na mocy Stwierdzenia 3.1.4), że zbiór ϕ(x) jest gęsty w Y. Zwróćmy uwagę, że obraz odwzorowania regularnego ϕ : X Y nie musi być zbiorem domkniętym. Spójrzmy na następujące dwa przykłady. Przykład Niech X k 2 będzie okręgiem: X = {(a, b) k 2 ; a 2 + b 2 = 1}. Niech ϕ : X k 1, ϕ(a, b) = a. Odwzorowanie ϕ jest regularne. Jeśli k = R, to ϕ(x) = [ 1, 1] nie jest zbiorem domkniętym w k 1 = R (w topologii Zariskiego), gdyż zbiorami domkniętymi w k 1 są tylko zbiory skończone i cały zbiór k 1. Zauważmy, że w tym przypadku ϕ(x) = R = k 1. Przykład Niech k będzie ciałem nieskończonym i niech X k 2 będzie hiperbolą: X = {(a, b) k 2 ; ab = 1}. Rozważmy odwzorowanie regularne ϕ : X k 1 określone wzorem ϕ(a, b) = a. Wtedy ϕ(x) = k 1 {0} nie jest zbiorem domkniętym w k 1. Mamy tu jednak ϕ(x) = k 1. Przypomnijmy, że jeśli x X, to przez m x oznaczamy maksymalny ideał w k[x] zdefiniowany jako m x = {f k[x]; f(x) = 0}.

19 Andrzej Nowicki, Czerwiec Odwzorowania regularne 17 Stwierdzenie Jeśli ϕ : X Y jest odwzorowaniem regularnym, to dla każdego x X zachodzi równość: ϕ ( m ϕ(x) ) = m x ϕ (k[y ]). Dowód. Niech f k[x]. Załóżmy, że f ϕ ( m ϕ(x) ). Wtedy f ϕ (k[y ]) oraz f = ϕ (g) = gϕ, dla pewnego g m ϕ(x). Mamy więc wtedy f(x) = gϕ(x) = g(0) = 0, czyli f m x ϕ (k[y ]). Odwrotnie; niech f m x ϕ (k[y ]). Wtedy f(x) = 0 oraz f = ϕ (g) = gϕ dla pewnego g k[y ]. Wtedy gϕ(x) = f(x) = 0, czyli g m ϕ(x). Zatem f ϕ ( m ϕ(x) ). 3.5 Produkt zbiorów algebraicznych Niech X = V(A) k n, Y = V(B) k m będą zbiorami algebraicznymi określonymi odpowiednio przez podzbiory A k[t ] = k[t 1,..., T n ] oraz B k[z] = k[z 1,..., Z m ]. Zbiory A, B można rozważać jako podzbiory pierścienia wielomianów Wówczas w przestrzeni k n+m mamy: k[t, Z] = k[t 1,..., T n, Z 1,..., Z m ]. Stwierdzenie V(A B) = V(A) V(B). Dowód. Niech (a, b) k n k m = k n+m. Załóżmy, że (a, b) V(A B). Niech f A, g B. Wtedy f, g A B, więc f(a, b) = 0 = g(a, b). Wielomian f nie posiada zmiennych Z 1,..., Z m. Zatem f(a) = f(a, b) = 0 i analogicznie g(b) = g(a, b) = 0. Zatem a V(A), b V(B), czyli (a, b) V(A) V(B). Wykazaliśmy inkluzję. Podobnie wykazuje się inkluzję. Zbiór V(A) V(B) = X Y nazywamy produktem zbiorów algebraicznych X i Y. Z powyższego stwierdzenia wynika, że produkt X Y jest zbiorem algebraicznym. Mamy tu rzutowania p : X Y X i q : X Y Y, które oczywiście są odwzorowaniami regularnymi. Łatwo sprawdzić, że trójka (X Y, p, q) jest produktem w kategorii zbiorów algebraicznych nad ciałem k. Opiszemy teraz pierścień k[x Y ], funkcji regularnych na X Y. Stwierdzenie k[x Y ] k[x] k k[y ]. Dowód ([Szaf88]). k-dwuliniowe odwzorowanie k[x] k[y ] k[x Y ], (f, g) h, gdzie h(a, b) = f(a)g(b) dla (a, b) X Y, indukuje k-liniowe odwzorowanie γ : k[x] k k[y ] k[x Y ] takie, że γ(f g)(a, b) = f(a)g(b), dla wszystkich f k[x], g k[y ], (a, b) X Y. Sprawdzamy z łatwością, że γ jest homomorfizmem k-algebr. Pokażemy, że γ jest surjekcją. Niech h : X Y k będzie funkcją regularną wyznaczoną przez wielomian H k[t, Z]. Każdy jednomian wielomianu H jest oczywiście postaci F G, gdzie F jest jednomianem należącym do k[t ], a G jest jednomianem należącym do k[z]. Zatem wielomian H jest postaci i F ig i, gdzie F i k[t ], G i k[z]. Niech f i = F i X, g i = G i Y. Wtedy f i, g i są funkcjami regularnymi oraz γ( i f i g i ) = h. Teraz wykażemy, że odwzorowanie γ jest różnowartościowe. Niech {a i }, {b j } będą bazami nad k odpowiednio dla k[x] i k[y ]. Wtedy zbiór {a i b j } jest bazą dla k[x] k k[y ] nad k. Niech

20 18 Andrzej Nowicki, Czerwiec Odwzorowania regularne u = α ij (a i b j ), gdzie α ij k, należy do jądra odwzorowania γ. Wtedy dla wszystkich x X i y Y mamy 0 = 0(x, y) = γ(u)(x, y) = γ( α ij (a i b j ))(x, y) = α ij a i (x)b j (y) = j ( i α ija i (x))b j (y). Ustalmy x X. Wtedy j ( i α ija i (x))b j = 0. Z liniowej niezależności zbioru {b j } wynika, że i α ija i (x) = 0, dla wszystkich j. Tak jest dla każdego x X. Zatem i α ija i = 0. Stąd wynika, że wszystkie współczynniki postaci α ij są równe zero. Zatem u = α ij (a i b j ) = Wykres odwzorowania regularnego Wykresem funkcji f : X Y nazywamy zbiór Γ f = {(x, f(x)); x X} X Y. Niech X = V(P 1,..., P r ) k n będzie algebraicznym zbiorem domkniętym określonym przez wielomiany P 1,..., P r k[t ] = k[t 1,..., T n ]. i niech Y k m będzie algebraicznym zbiorem domkniętym. Załóżmy, że f = (F 1,..., F m ) : X Y jest odwzorowaniem regularnym określonym przez wielomiany F 1,..., F m k[t ]. Udowodnimy, że wtedy Γ f jest algebraicznym zbiorem domkniętym w k n k m = k n+m (a zatem zbiorem domkniętym w X Y ) określonym przez wielomiany P 1,..., P r, Z 1 F 1,..., Z m F m z pierścienia k[t, Z] = k[t 1,..., T n, Z 1,..., Z m ]. Innymi słowy: Stwierdzenie Γ f = V(P 1,..., P r, Z 1 F 1,..., Z m F m ). Dowód. Oznaczmy E = V(P 1,..., P r, Z 1 F 1,..., Z m F m ) i niech (x, y) k n k m. Niech (x, y) Γ f. Wtedy x X i y = f(x) = (F 1 (x),..., F m (x). Zatem P i (x, y) = P i (x) = 0 dla i = 1,..., r oraz (Z j F j )(x, y) = y j F j (x, y) = y j F j (x) = 0, dla j = 1,..., m. Zatem (x, y) E. Niech (x, y) E. Wtedy P i (x, y) = P i (x) = 0, więc x X. Ponadto, 0 = (Z j F j )(x, y) = y j F j (x, y) = y j F j (x), dla j = 1,..., m. Zatem y = (y 1,..., y m ) = (F 1 (x),..., F m (x)) = f(x), a zatem (x, y) Γ f. 3.7 Pieścień k[x] dla zbiorów skończonych Przykład Jeśli X = {a 1,..., a s } k n jest zbiorem skończonym, to k[x] k k. }{{} s Dowód. Niech a i = (a i1,..., a in ), dla i = 1,..., s. Wtedy I(X) = M 1 M s, gdzie M i = (T 1 a i1,..., T n a in ). Ideały M 1,..., M s są parami komaksymalne. Mamy zatem: k[x] k[t ]/I(X) = k[t ]/M 1 M s k[t ]/M 1 k[t ]/M s k k. 3.8 Odwzorowanie odwrotne do odwzorowania regularnego Przykład Odwzorowanie odwrotne do odwzorowania regularnego (różnowartościowego i na) nie musi być odwzorowaniem regularnym.

21 Andrzej Nowicki, Czerwiec Odwzorowania regularne 19 Dowód. Niech k będzie ciałem algebraicznie domkniętym charakterystyki p > 0. Rozpatrzmy odwzorowanie ϕ : k 1 k 1, a a p. Jest to oczywiście odwzorowanie regularne, różnowartościowe i na. Mamy tutaj k[k 1 ] = k[t], gdzie k[t] jest pierścieniem wielomianów jednej zmiennej nad k. Homomorfizm ϕ : k[t] k[t] jest określony wzorem ϕ (t) = t p. Zatem ϕ (k[t]) = k[t p ]. Przypuśćmy, że istnieje odwzorowanie regularne ψ : k 1 k 1 takie, że ϕψ = ψϕ = 1 k 1. Wtedy ψ ϕ = ϕ ψ = 1 k[t]. Stąd wynika, że ϕ (k[t]) = k[t]. Mamy zatem sprzeczność: k[t p ] = k[t]. Następny przykład również potwierdza tezę Przykładu Przykład Niech X = V(T 3 1 T 2 2 ) k2. Niech ϕ : k 1 X, ϕ(a) = (a 2, a 3 ). Odwzorowanie ϕ jest regularne, różnowartościowe i na. Nie jest natomiast regularnym izomorfizmem. Dowód. Regularność jest oczywista. Niech a 2 = b 2 i a 3 = b 3, gdzie a, b k. Jeżeli a = 0, to b = 0 i odwrotnie. Jeżeli a 0, to b 0 i mamy: a = a 3 (a 2 ) 1 = b 3 (b 2 ) 1 = b. Zatem odwzorowanie ϕ jest różnowartościowe. Pokażmy, że ϕ jest na. Niech (u, v) X. Wtedy u 3 = v 2. Jeżeli u = 0, to v = 0 i wtedy (u, v) = (0, 0) = ϕ(0). Załóżmy, że u 0. Niech v = tu. Wtedy u 3 = t 2 u 2, skąd u = t 2 i v = t 3, czyli (u, v) = ϕ(t). Zauważmy teraz, że ϕ (k[x]) = k[t 2, t 3 ] k[t], co oznacza, że ϕ nie jest regularnym izomorfizmem. 3.9 Parabola i uogólnienia Przykład Niech X = V(T 2 T 2 1 ) k2. Zbiory X i k 1 są regularnie izomorficzne. Dowód. Rozpatrzmy odwzorowania regularne ϕ : X k 1, (a, b) a i ψ : k 1 X, a (a, a 2 ). Wtedy ϕψ(a) = ϕ(a, a 2 ) = a oraz, dla (a, b) X, ψϕ(a, b) = ψ(a) = (a, a 2 ) = (a, b), gdyż b = a 2. Oto uogólnienie powyższego przykładu. Przykład Niech X = V(T 2 f(t 1 )) k 2, gdzie f(t 1 ) jest wielomianem jednej zmiennej T 1 nad ciałem k. Zbiory X i k 1 są regularnie izomorficzne. Dowód. Rozpatrzmy odwzorowania regularne ϕ : X k 1, (a, b) a i ψ : k 1 X, a (a, f(a)). Wtedy ϕψ(a) = ϕ(a, f(a)) = a oraz, dla (a, b) X, ψϕ(a, b) = ψ(a) = (a, f(a)) = (a, b), gdyż b = f(a). Wniosek Niech k[x, y] będzie pierścieniem wielomianów dwóch zmiennych nad ciałem k. Jeżeli f(x), g(x) są wielomianami jednej zmiennej x nad k, to k-algebry k[x, y]/(y f(x)) i k[x, y]/(y g(x)) są izomorficzne. Dowód. Jeżeli ciało k jest algebraicznie domknięte, to wynika to z Przykładu oraz Wniosku gdyż, na mocy twierdzenia Hilberta o zerach, IV(y f(x)) = (y f(x)) = (y f(x)) i analogicznie IV(y g(x)) = (y g(x)). Zatem wtedy k[x, y]/(y f(x)) k[v(y f(x))] k[v(y g(x))] k[x, y]/(y g(x)). Można to jednak wykazać inaczej i to dla dowolnego ciała k. Jest oczywiste, że jeżeli R jest pierścieniem przemiennym, A jest ideałem w R i σ : R R jest automorfizmem pierścienia R, to pierścienie R/A i R/σ(A) są izomorficzne. W naszym przypadku rozpatrzmy k-automorfizm σ :

22 20 Andrzej Nowicki, Czerwiec Odwzorowania regularne k[x, y] k[x, y], x x, y y f(x). Mamy wtedy izomorfizm k[x, y]/(y) k[x, y]/(y f(x)) i analogicznie k[x, y]/(y) k[x, y]/(y g(x)) Hiperbola Przykład Niech k będzie ciałem algebraicznie domkniętym. Niech X = V(T 1 T 2 1) k 2. Rozpatrzmy odwzorowanie regularne ϕ : X k 1, (a, b) a. Ponieważ ϕ(x) = k 1 {0}, więc ϕ nie jest regularnym izomorfizmem. Mamy natomiast ϕ(x) = k 1. Oznacza to, na mocy Stwierdzenia 3.4.4, że k-algebrowy homomorfizm ϕ : k[t] k[t 1, T 2 ]/(T 1 T 2 1), h(t) h(t 1 )+(T 1 T 2 1), jest różnowartościowy. To, że ϕ nie jest regularnym izomorfizmem, nie świadczy o tym, że romaitości X i k 1 nie są regularnie izomorficzne. Gdybyśmy jednak umieli pokazać, że k-algebry k[t] i k[t 1, T 2 ]/(T 1 T 2 1) nie są izomorficzne, wówczas mielibyśmy dowód na to, że zbiory algebraiczne X i k 1 nie są regularnie izomorficzne. Problem rozstrzyga następny przykład. Przykład k-algebry k[t] i k[t 1, T 2 ]/(T 1 T 2 1), gdzie k jest dowolnym ciałem, nie są izomorficzne. Dowód. Przypuśćmy, że γ : k[t] k[t 1, T 2 ]/(T 1 T 2 1) jest izomorfizmem k-algebr. Istnieje wtedy wielomian h(t) k[t] taki, że γ(h(t)) = T 1 + (T 1 T 2 1). Ponieważ element T 1 + (T 1 T 2 1) jest odwracalny w k[t 1, T 2 ]/(T 1 T 2 1), więc wielomian h(t) jest odwracalny w k[t], zatem h(t) k. Niech h(t) = a k. Wtedy T 1 + (T 1 T 2 1) = γ(a) = a + (T 1 T 2 1), czyli T 1 a (T 1 T 2 1), tzn. T 1 a = u(t 1, T 2 )(T 1 T 2 1), dla pewnego u(t 1, T 2 ) k[t 1, T 2 ]. Porównując stopnie otrzymujemy sprzeczność. Przykład Niech k będzie ciałem algebraicznie domkniętym. Niech X = V(T 1 T 2 1) k 2. Wtedy k[x] k[t] S, gdzie S jest zbiorem multyplikatywnym w k[t], równym {1, t, t 2,... }. Dowód. I(T 1 T 2 1) = (T 1 T 2 1) = (T 1 T 2 1). k[x] k[t 1, T 2 ]/(T 1 T 2 1) k[t] S. Izomorfizm ten jest indukowany przez homomorfizm k[t 1, T 2 ] k[t] S, T 1 t, T 2 t Uwagi 3.2 Definiując pierścień k[x], funkcji regularnych na X zakładaliśmy, że X jest zbiorem algebraicznym w k n. Podobny pierścień możemy zdefiniować dla dowolnego, niekoniecznie domkniętego, podzbioru zbioru k n. Niech S k n będzie podzbiorem. Oznaczmy przez k[s] zbiór wszystkich funkcji z S do k postaci F S, gdzie F k[t ] = k[t 1,..., T n ]. Zbiór ten jest oczywiście k-algebrą. Niech S będzie domknięciem zbioru S w przestrzeni k n z topologią Zariskiego i rozpatrzmy odwzorowanie α : k[s] k[s], f f S. Łatwo sprawdzić, że odwzorowanie to jest surjekcją k-algebr. Jeżeli F k[t ] jest takim wielomianem, że F S = 0, to S V(F ), zatem S V(F ) (gdyż zbiór V(F ) jest domknięty) czyli F S = 0. Stąd wynika, że α jest odwzorowaniem różnowartościowym. k-algebry k[s] i k[s] są zatem izomorficzne.