OBLICZENIOWY MODEL ROZUMIENIA
|
|
|
- Agnieszka Mazurkiewicz
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 OBLICZENIOWY MODEL ROZUMIENIA KWANTYFIKATORÓW W ŚWIETLE BADAŃ NEUROPSYCHOLOGICZNYCH 3 marca 2007
2 STRESZCZENIE McMillan et al. (2005) mierzyli aktywność mózgu. Zadania polegały na ocenianiu prawdziwość zdań. Porównali kwantyfikatory FO z nonfo. Twierdza, że semantyka obliczeniowa wyjaśnia wyniki. Kwestionuję to twierdzenie. Ich podział kwantyfikatorów nie chwyta złożoności. Proponujemy modyfikację badań. Chcemy ustalić, jaka rolę odgrywa pamięć operacyjna.
3 SPIS TREŚCI 1 AUTOMATY I KWANTYFIKATORY MONADYCZNE Definicja i przykłady Kwantyfikatory i obliczenia 2 DANE NEUROLOGICZNE 3 PROPOZYCJA ULEPSZONEGO EKSPERYMENTU FO oraz kwantyfikatory podzielności Kwantyfikatory arystotelesowskie i liczbowe Kwantyfikatory i porzadek 4 WNIOSKI
4 SPIS TREŚCI Automaty i kwantyfikatory monadyczne Definicja i przykłady Kwantyfikatory i obliczenia 1 AUTOMATY I KWANTYFIKATORY MONADYCZNE Definicja i przykłady Kwantyfikatory i obliczenia 2 DANE NEUROLOGICZNE 3 PROPOZYCJA ULEPSZONEGO EKSPERYMENTU FO oraz kwantyfikatory podzielności Kwantyfikatory arystotelesowskie i liczbowe Kwantyfikatory i porzadek 4 WNIOSKI
5 SPIS TREŚCI Automaty i kwantyfikatory monadyczne Definicja i przykłady Kwantyfikatory i obliczenia 1 AUTOMATY I KWANTYFIKATORY MONADYCZNE Definicja i przykłady Kwantyfikatory i obliczenia 2 DANE NEUROLOGICZNE 3 PROPOZYCJA ULEPSZONEGO EKSPERYMENTU FO oraz kwantyfikatory podzielności Kwantyfikatory arystotelesowskie i liczbowe Kwantyfikatory i porzadek 4 WNIOSKI
6 ZAMIAST WSTEPU Definicja i przykłady Kwantyfikatory i obliczenia Każdy humanista ma wysokie mniemanie o sobie. Pewien dziekan tańczył nago na stole. Przynajmniej dwoje studentów przygotowało prezentację. Parzyście wielu studentów widziało ducha. Większość lingwistów uważa się za informatyków. Mniej niż połowa studentów zdała egzamin. Tyle samo logików, filozofów i lingwistów pali.
7 DEFINICJA LINDSTRÖMA Definicja i przykłady Kwantyfikatory i obliczenia DEFINICJA Monadyczny kwantyfikator uogólniony typu (1,..., 1) to klasa Q }{{} n struktur postaci M = (U, A 1,..., A n ), gdzie A i U. Ponadto, Q jest zamknięta na izomorfizm.
8 I WSZYSTKO JASNE... Definicja i przykłady Kwantyfikatory i obliczenia K = {(U, A) : A U A }.
9 I WSZYSTKO JASNE... Definicja i przykłady Kwantyfikatory i obliczenia K = {(U, A) : A U A }. K = {(U, A) : A = U}.
10 I WSZYSTKO JASNE... Definicja i przykłady Kwantyfikatory i obliczenia K = {(U, A) : A U A }. K = {(U, A) : A = U}. K =m = {(U, A) : A U card(a) = m}.
11 I WSZYSTKO JASNE... Definicja i przykłady Kwantyfikatory i obliczenia K = {(U, A) : A U A }. K = {(U, A) : A = U}. K =m = {(U, A) : A U card(a) = m}. K Dn = {(U, A) : A U card(a) = k n}.
12 I WSZYSTKO JASNE... Definicja i przykłady Kwantyfikatory i obliczenia K = {(U, A) : A U A }. K = {(U, A) : A = U}. K =m = {(U, A) : A U card(a) = m}. K Dn = {(U, A) : A U card(a) = k n}. K Most = {(U, A 1, A 2 ) : card(a 1 A 2 ) > card(a 1 A 2 )}.
13 I WSZYSTKO JASNE... Definicja i przykłady Kwantyfikatory i obliczenia K = {(U, A) : A U A }. K = {(U, A) : A = U}. K =m = {(U, A) : A U card(a) = m}. K Dn = {(U, A) : A U card(a) = k n}. K Most = {(U, A 1, A 2 ) : card(a 1 A 2 ) > card(a 1 A 2 )}. K Equal = {(U, A 1,..., A n ) : card(a 1 ) =... = card(a n )}.
14 SPIS TREŚCI Automaty i kwantyfikatory monadyczne Definicja i przykłady Kwantyfikatory i obliczenia 1 AUTOMATY I KWANTYFIKATORY MONADYCZNE Definicja i przykłady Kwantyfikatory i obliczenia 2 DANE NEUROLOGICZNE 3 PROPOZYCJA ULEPSZONEGO EKSPERYMENTU FO oraz kwantyfikatory podzielności Kwantyfikatory arystotelesowskie i liczbowe Kwantyfikatory i porzadek 4 WNIOSKI
15 JAK KODUJEMY MODELE? Definicja i przykłady Kwantyfikatory i obliczenia Ograniczymy się do skończonych modeli M = (U, A, B). Wypisujemy wszystkie elementy uniwersum: c 1,..., c 5. Każdemu elementowi przypisujemy: aā B, a A B, aāb, a AB. Dostajemy słowo α M = aā Ba A Ba AB aāb aāb. α M mówi, że c 1 Ā B, c 2 A B, c 3 AB, c 4 ĀB, c 5 ĀB. Klasę K Q reprezentujemy jako zbiór odpowiednich słów.
16 ILUSTRACJA Automaty i kwantyfikatory monadyczne Definicja i przykłady Kwantyfikatory i obliczenia U A c 4 B c 2 c 3 c 5 c 1 S 1 S 3 S 2 S 0 RYSUNEK: Ten model jest jednoznacznie opisany przez α M = a Ā B a A B a ABa ĀB aāb.
17 OGÓLNA DEFINICJA Definicja i przykłady Kwantyfikatory i obliczenia Klasę K Q skończonych modeli postaci (M, A 1,..., A n ) można reprezentować jako język L Q nad alfabetem A = {a 1,..., a 2 n} taki, że: α L Q gdy istnieje (U, A 1,..., A n ) K Q oraz liniowy porzadek U = {c 1,..., c k } taki, że length(α) = k i i-ta litera α to a j dokładnie wtedy, gdy c i S 1... S n, gdzie: S l = { A l jeśli część całkowita j jest nieparzysta 2 l U A l w przeciwnym przypadku.
18 Definicja i przykłady Kwantyfikatory i obliczenia JEZYKI ODPOWIADAJACE KWANTYFIKATOROM L = {α A : n aa (α) > 0}. A {a A } A a A q 0 q 1
19 Definicja i przykłady Kwantyfikatory i obliczenia JEZYKI ODPOWIADAJACE KWANTYFIKATOROM L = {α A : n aa (α) > 0}. A {a A } A a A q 0 q 1 L D2 = {α A : n aa (α) 0 (mod2)}. A {a A } a A A {a A } q 0 q 1 a A
20 Definicja i przykłady Kwantyfikatory i obliczenia JEZYKI ODPOWIADAJACE KWANTYFIKATOROM L = {α A : n aa (α) > 0}. A {a A } A a A q 0 q 1 L D2 = {α A : n aa (α) 0 (mod2)}. A {a A } a A A {a A } q 0 q 1 a A L MOST = {α A : n aab (α) > n aa B(α)}.
21 Definicja i przykłady Kwantyfikatory i obliczenia CO TO ZNACZY, ŻE KLASA KWANTYFIKATORÓW JEST ROZPOZNAWANA PRZEZ KLASE AUTOMATÓW? DEFINICJA Niech D będzie klasa automatów, Ω klasa kwantyfikatorów monadycznych. Powiemy, że D rozpoznaje Ω wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego kwantyfikatora monadycznego Q: Q Ω istnieje automat A D(A rozpoznaje L Q ).
22 INTERESUJACE WYNIKI. Definicja i przykłady Kwantyfikatory i obliczenia TWIERDZENIE (J. VAN BENTHEM) Kwantyfikator Q jest elementarnie definiowalny wtw L Q jest rozpoznawany przez automat skończony bez powrotów. TWIERDZENIE (M. MOSTOWSKI) Kwantyfikator Q jest definiowalny w logice podzielności wtw L Q jest rozpoznawany przez automat skończony. Automaty skończone nie maja pamięci!!!
23 PARZYSTOŚĆ. ROLA POWROTÓW. Definicja i przykłady Kwantyfikatory i obliczenia Parzystość nie jest elementarna. Ale rozpoznawana przez automat skończony. Tyle, że z powrotami. Różnica pomiędzy FA oraz FA bez powrotów?
24 Definicja i przykłady Kwantyfikatory i obliczenia INNE WYNIKI TWIERDZENIE (J. VAN BENTHEM) PDA akceptuja półliniowe kwantyfikatory typu (1). Stos jest prosta forma pamięci operacyjnej!!! OBSERWACJA Tyle samo...,... oraz... jest A nie jest bezkontekstowy.
25 SPIS TREŚCI Automaty i kwantyfikatory monadyczne 1 AUTOMATY I KWANTYFIKATORY MONADYCZNE Definicja i przykłady Kwantyfikatory i obliczenia 2 DANE NEUROLOGICZNE 3 PROPOZYCJA ULEPSZONEGO EKSPERYMENTU FO oraz kwantyfikatory podzielności Kwantyfikatory arystotelesowskie i liczbowe Kwantyfikatory i porzadek 4 WNIOSKI
26 SPIS TREŚCI Automaty i kwantyfikatory monadyczne 1 AUTOMATY I KWANTYFIKATORY MONADYCZNE Definicja i przykłady Kwantyfikatory i obliczenia 2 DANE NEUROLOGICZNE 3 PROPOZYCJA ULEPSZONEGO EKSPERYMENTU FO oraz kwantyfikatory podzielności Kwantyfikatory arystotelesowskie i liczbowe Kwantyfikatory i porzadek 4 WNIOSKI
27 BADANI I TECHNIKA 12 dorosłych, zdrowych, prawo-ręcznych, rodzimych użytkowników języka angielskiego (8 mężczyzn, 4 kobiety). Średnia wieku 24.4 lata. Średnia długość edukacji 16.4 lata. BOLD fmri.
28 MATERIAŁ Automaty i kwantyfikatory monadyczne 120 gramatycznie prostych zdań. 6 różnych kwantyfikatorów: Pierwszego rzędu: all, some, at least 3. Wyższych rzędów: less than half of, an even number of, an odd number of. Połowa zdań każdego typu była prawdziwa; 2 następujace po sobie 10-sek. zdarzenia: 1 Wyświetlamy zdanie. 2 Wyświetlamy zdanie z rysunkiem. 8 losowo rozmieszczonych obiektów. Czy zdanie dokładnie opisuje obrazek?
29 PRZYKŁAD ZADANIA Every ball is green.
30 PRZYKŁAD ZADANIA Every ball is green.
31 KOLEJNY PRZYKŁAD Even number of balls are green.
32 KOLEJNY PRZYKŁAD Even number of balls are green.
33 I JESZCZE JEDEN PRZYKŁAD Most of the balls are green.
34 I JESZCZE JEDEN PRZYKŁAD Most of the balls are green.
35 SPIS TREŚCI Automaty i kwantyfikatory monadyczne 1 AUTOMATY I KWANTYFIKATORY MONADYCZNE Definicja i przykłady Kwantyfikatory i obliczenia 2 DANE NEUROLOGICZNE 3 PROPOZYCJA ULEPSZONEGO EKSPERYMENTU FO oraz kwantyfikatory podzielności Kwantyfikatory arystotelesowskie i liczbowe Kwantyfikatory i porzadek 4 WNIOSKI
36 WYNIKI Automaty i kwantyfikatory monadyczne Poprawne odpowiedzi: FO 92,3%, nonfo 84,5%.
37 WYNIKI Automaty i kwantyfikatory monadyczne Poprawne odpowiedzi: FO 92,3%, nonfo 84,5%. FO oraz nonfo angażuja prawa dolna korę ciemieniowa (right inferior parietal cortex) obszar mózgu odpowiedzialny za operacje liczbowe.
38 WYNIKI Automaty i kwantyfikatory monadyczne Poprawne odpowiedzi: FO 92,3%, nonfo 84,5%. FO oraz nonfo angażuja prawa dolna korę ciemieniowa (right inferior parietal cortex) obszar mózgu odpowiedzialny za operacje liczbowe. Tylko nonfo angażuja prawa grzbietowo-boczna korę przedczołowa (right dorsolateral prefrontal cortex) obszar mózgu zwiazany z pamięcia operacyjna.
39 DODATKOWE DANE Otępienie korowo-podkorowe (CBD) liczenie. Alzheimer (AD) i otępienie semantyczne (FTD) ograniczenia pamięci.
40 DODATKOWE DANE Otępienie korowo-podkorowe (CBD) liczenie. Alzheimer (AD) i otępienie semantyczne (FTD) ograniczenia pamięci. CBD ogranicza rozumienie bardziej niż AD i FTD. FTD oraz AD bardziej ogranicza rozumienie nonfo.
41 GŁÓWNA TWIERDZENIE STWIERDZENIE Przyjęty model obliczeniowy tłumaczy różnice w umysłowym przetwarzaniu kwantyfikatorów. W trafny sposób przewiduje użycie pamięci krótkotrwałej.
42 SPIS TREŚCI Automaty i kwantyfikatory monadyczne 1 AUTOMATY I KWANTYFIKATORY MONADYCZNE Definicja i przykłady Kwantyfikatory i obliczenia 2 DANE NEUROLOGICZNE 3 PROPOZYCJA ULEPSZONEGO EKSPERYMENTU FO oraz kwantyfikatory podzielności Kwantyfikatory arystotelesowskie i liczbowe Kwantyfikatory i porzadek 4 WNIOSKI
43 PRZYPOMNIENIE defniowalność przykład rozpoznawany przez FO dokładnie 6 FA bez powrotów FO(D n ) parzyście wiele FA półliniowe (1) większość PDA TABELA: Kwantyfikatory i złożoność odpowiadajacych im algorytmów.
44 KRYTYKA Automaty i kwantyfikatory monadyczne
45 KRYTYKA Automaty i kwantyfikatory monadyczne Wyjaśnienie oparte jest na niepoprawnym założeniu.
46 KRYTYKA Automaty i kwantyfikatory monadyczne Wyjaśnienie oparte jest na niepoprawnym założeniu. Przeoczono różnice obliczeniowe.
47 KRYTYKA Automaty i kwantyfikatory monadyczne Wyjaśnienie oparte jest na niepoprawnym założeniu. Przeoczono różnice obliczeniowe. Eksperyment może zostać poprawiony.
48 SPIS TREŚCI Automaty i kwantyfikatory monadyczne FO oraz kwantyfikatory podzielności Kwantyfikatory arystotelesowskie i liczbowe Kwantyfikatory i porzadek 1 AUTOMATY I KWANTYFIKATORY MONADYCZNE Definicja i przykłady Kwantyfikatory i obliczenia 2 DANE NEUROLOGICZNE 3 PROPOZYCJA ULEPSZONEGO EKSPERYMENTU FO oraz kwantyfikatory podzielności Kwantyfikatory arystotelesowskie i liczbowe Kwantyfikatory i porzadek 4 WNIOSKI
49 SPIS TREŚCI Automaty i kwantyfikatory monadyczne FO oraz kwantyfikatory podzielności Kwantyfikatory arystotelesowskie i liczbowe Kwantyfikatory i porzadek 1 AUTOMATY I KWANTYFIKATORY MONADYCZNE Definicja i przykłady Kwantyfikatory i obliczenia 2 DANE NEUROLOGICZNE 3 PROPOZYCJA ULEPSZONEGO EKSPERYMENTU FO oraz kwantyfikatory podzielności Kwantyfikatory arystotelesowskie i liczbowe Kwantyfikatory i porzadek 4 WNIOSKI
50 FO oraz kwantyfikatory podzielności Kwantyfikatory arystotelesowskie i liczbowe Kwantyfikatory i porzadek RÓŻNICE W ZŁOŻONOŚCI OBLICZENIOWEJ Porównać 3 klasy kwantyfikatorów:
51 FO oraz kwantyfikatory podzielności Kwantyfikatory arystotelesowskie i liczbowe Kwantyfikatory i porzadek RÓŻNICE W ZŁOŻONOŚCI OBLICZENIOWEJ Porównać 3 klasy kwantyfikatorów: 1 rozpoznawane przez FA bez powrotów,
52 FO oraz kwantyfikatory podzielności Kwantyfikatory arystotelesowskie i liczbowe Kwantyfikatory i porzadek RÓŻNICE W ZŁOŻONOŚCI OBLICZENIOWEJ Porównać 3 klasy kwantyfikatorów: 1 rozpoznawane przez FA bez powrotów, 2 rozpoznawane przez FA,
53 FO oraz kwantyfikatory podzielności Kwantyfikatory arystotelesowskie i liczbowe Kwantyfikatory i porzadek RÓŻNICE W ZŁOŻONOŚCI OBLICZENIOWEJ Porównać 3 klasy kwantyfikatorów: 1 rozpoznawane przez FA bez powrotów, 2 rozpoznawane przez FA, 3 rozpoznawane przez PDA.
54 TEORETYCZNE PRZEWIDYWANIA FO oraz kwantyfikatory podzielności Kwantyfikatory arystotelesowskie i liczbowe Kwantyfikatory i porzadek 1 Rozumienie parzystości lecz nie FO zależy od zasobów wykonawczych (FA vs. FA bez powrotów).
55 TEORETYCZNE PRZEWIDYWANIA FO oraz kwantyfikatory podzielności Kwantyfikatory arystotelesowskie i liczbowe Kwantyfikatory i porzadek 1 Rozumienie parzystości lecz nie FO zależy od zasobów wykonawczych (FA vs. FA bez powrotów). 2 Tylko kwantyfikatory nie definiowalne w logice podzielności będa aktywowały pamięć operacyjna.
56 SPIS TREŚCI Automaty i kwantyfikatory monadyczne FO oraz kwantyfikatory podzielności Kwantyfikatory arystotelesowskie i liczbowe Kwantyfikatory i porzadek 1 AUTOMATY I KWANTYFIKATORY MONADYCZNE Definicja i przykłady Kwantyfikatory i obliczenia 2 DANE NEUROLOGICZNE 3 PROPOZYCJA ULEPSZONEGO EKSPERYMENTU FO oraz kwantyfikatory podzielności Kwantyfikatory arystotelesowskie i liczbowe Kwantyfikatory i porzadek 4 WNIOSKI
57 FO oraz kwantyfikatory podzielności Kwantyfikatory arystotelesowskie i liczbowe Kwantyfikatory i porzadek KWANTYFIKATORY ARYSTOTELESOWSKIE VS. KWANTYFIKATORY LICZBOWE Arystotelesowskie: wszystkie, żadne, pewne. Liczbowe, np.: co najmniej 3, co najwyżej 7.
58 FO oraz kwantyfikatory podzielności Kwantyfikatory arystotelesowskie i liczbowe Kwantyfikatory i porzadek KWANTYFIKATORY ARYSTOTELESOWSKIE VS. KWANTYFIKATORY LICZBOWE Arystotelesowskie: wszystkie, żadne, pewne. Liczbowe, np.: co najmniej 3, co najwyżej 7. Elementarna reprezentacja kwantyfikatorów liczbowych. Na przykład co najmniej 3 piłki zapisane w FO: x y z(x y y z x z piki(x) piki(y) piki(z)).
59 FO oraz kwantyfikatory podzielności Kwantyfikatory arystotelesowskie i liczbowe Kwantyfikatory i porzadek RANGA KWANTYFIKATORÓW LICZBOWYCH Złożoność przekładu jest proporcjonalna do rangi. Kwantyfikatory liczbowych sa bardziej podobne do nonfo niż do arystotelesowskich? Należy użyć kwantyfikatorów z duża ranga, np. co najmniej 7. Subitizing vs. liczenie?
60 SPIS TREŚCI Automaty i kwantyfikatory monadyczne FO oraz kwantyfikatory podzielności Kwantyfikatory arystotelesowskie i liczbowe Kwantyfikatory i porzadek 1 AUTOMATY I KWANTYFIKATORY MONADYCZNE Definicja i przykłady Kwantyfikatory i obliczenia 2 DANE NEUROLOGICZNE 3 PROPOZYCJA ULEPSZONEGO EKSPERYMENTU FO oraz kwantyfikatory podzielności Kwantyfikatory arystotelesowskie i liczbowe Kwantyfikatory i porzadek 4 WNIOSKI
61 BADANIE ROLI PAMIECI OPERACYJNEJ FO oraz kwantyfikatory podzielności Kwantyfikatory arystotelesowskie i liczbowe Kwantyfikatory i porzadek Uporzadkowanie elementów jako zmienna niezależna. Uporzadkowane i nieuporzadkowane uniwersa. W uporzadkowanym przypadku pamięć nie jest potrzebna.
62 WIEKSZOŚĆ A PORZADEK FO oraz kwantyfikatory podzielności Kwantyfikatory arystotelesowskie i liczbowe Kwantyfikatory i porzadek Most of the balls are green.
63 WIEKSZOŚĆ I CHAOS FO oraz kwantyfikatory podzielności Kwantyfikatory arystotelesowskie i liczbowe Kwantyfikatory i porzadek Most of the balls are green.
64 PRZEWIDYWANIA FO oraz kwantyfikatory podzielności Kwantyfikatory arystotelesowskie i liczbowe Kwantyfikatory i porzadek Większość nad porzadkiem nie aktywuje pamięci. Porzadek nie wpływa na rozumienie parzystości.
65 SPIS TREŚCI 1 AUTOMATY I KWANTYFIKATORY MONADYCZNE Definicja i przykłady Kwantyfikatory i obliczenia 2 DANE NEUROLOGICZNE 3 PROPOZYCJA ULEPSZONEGO EKSPERYMENTU FO oraz kwantyfikatory podzielności Kwantyfikatory arystotelesowskie i liczbowe Kwantyfikatory i porzadek 4 WNIOSKI
66 WNIOSKI Rozróżnienie na kwantyfikatory elementarne i kwantyfikatory wyższych rzędów nie wystarcza, aby wyjaśnić udział pamięci w rozumieniu.
67 WNIOSKI Rozróżnienie na kwantyfikatory elementarne i kwantyfikatory wyższych rzędów nie wystarcza, aby wyjaśnić udział pamięci w rozumieniu. Najwyższa pora na poprawiony eksperyment!
68 Dodatek References BIBLIOGRAFIA C. McMillan et al. Neural Basis for Generalized Quantifiers Comprehension. Neuropsychologia, 43, J. Szymanik A Note on Some Neuroimaging Study of Natural Language Quantifiers Comprehension. Neuropsychologia, to appear.
69 Dodatek References BIBLIOGRAFIA C. McMillan et al. Quantifier Comprehension in Corticobasal Degeneration. Brain and Cognition, 62, R. Clark and M. Grossman Number Sense and Quantifier Interpretation. Journal Topoi, in press.
70 Dodatek References BIBLIOGRAFIA J. van Benthem Essays in logical semantics. Reidel, M. Mostowski Computational semantics for monadic quantifiers. Journal of applied Non-Classical Logics, 8(1998).
Algorytmiczny model uczenia się języka Prezentacja
Nina Gierasimczuk& Jakub Szymanik Algorytmiczny model uczenia się języka Prezentacja Forum Filozoficzne, Lublin 15 maja 2004 Spis treści 1. Wprowadzenie... 2 1.1. Filozoficznyproblemuczeniasię... 2 1.2.
Matematyka dyskretna Literatura Podstawowa: 1. K.A. Ross, C.R.B. Wright: Matematyka Dyskretna, PWN, 1996 (2006) 2. J. Jaworski, Z. Palka, J.
Matematyka dyskretna Literatura Podstawowa: 1. K.A. Ross, C.R.B. Wright: Matematyka Dyskretna, PWN, 1996 (2006) 2. J. Jaworski, Z. Palka, J. Szmański: Matematyka dyskretna dla informatyków, UAM, 2008 Uzupełniająca:
PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Kierunek: Informatyka Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy w ramach treści wspólnych z kierunkiem Matematyka, moduł kierunku obowiązkowy Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia I KARTA PRZEDMIOTU CEL
KOMBINATORYKA. Problem przydziału prac
KOMBINATORYKA Dział matematyki zajmujący się badaniem różnych możliwych zestawień i ugrupowań, jakie można tworzyć z dowolnego zbioru skończonego. Zbiory skończone, najczęściej wraz z pewną relacją obiekty
Algorytm. a programowanie -
Algorytm a programowanie - Program komputerowy: Program komputerowy można rozumieć jako: kod źródłowy - program komputerowy zapisany w pewnym języku programowania, zestaw poszczególnych instrukcji, plik
Jaki język zrozumie automat?
Jaki język zrozumie automat? Wojciech Dzik Instytut Matematyki Uniwersytet Śląski Katowice wojciech.dzik@us.edu.pl 7. Forum Matematyków Polskich, 12-17 września 2016, Olsztyn Prosty Automat do kawy Przemawiamy
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa 2.1. σ ciało (algebra) zdarzeń Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska losowe Zdarzenie losowe to pewien podzbiór przestrzeni zdarzeń
Jeśli czas działania algorytmu zależy nie tylko od rozmiaru danych wejściowych i przyjmuje różne wartości dla różnych danych o tym samym rozmiarze,
Oznaczenia: Jeśli czas działania algorytmu zależy nie tylko od rozmiaru danych wejściowych i przyjmuje różne wartości dla różnych danych o tym samym rozmiarze, to interesuje nas złożoność obliczeniowa
IMIĘ NAZWISKO... grupa C... sala Egzamin ELiTM I
IMIĘ NAZWISKO............................ grupa C... sala 10... Egzamin ELiTM I 02.02.15 1. 2. 3. 4.. 1. (8 pkt.) Niech X a,b = {(x, y) R 2 : (x b) 2 + (y 1 b )2 a 2 } dla a, b R, a > 0, b 0. Wyznaczyć:
Przykłady zdań w matematyce. Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości a, b, c jest prostokątny (a, b, c oznaczają dane liczby dodatnie),
Elementy logiki 1 Przykłady zdań w matematyce Zdania prawdziwe: 1 3 + 1 6 = 1 2, 3 6, 2 Q, Jeśli x = 1, to x 2 = 1 (x oznacza daną liczbę rzeczywistą), Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości
Psychologiczna adekwatność modelu identyfikowalności w granicy
Nina Gierasimczuk Psychologiczna adekwatność modelu identyfikowalności w granicy W jaki sposób człowiek uczy się swego pierwszego języka? Jak to możliwe, że korzystając ze szczątkowych i często wadliwych
JAO - Wprowadzenie do Gramatyk bezkontekstowych
JAO - Wprowadzenie do Gramatyk bezkontekstowych Definicja gramatyki bezkontekstowej Podstawowymi narzędziami abstrakcyjnymi do opisu języków formalnych są gramatyki i automaty. Gramatyka bezkontekstowa
Centralne twierdzenie graniczne
Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski Wykład 4 Ważne uzupełnienie Dwuwymiarowy rozkład normalny N (µ X, µ Y, σ X, σ Y, ρ): f XY (x, y) = 1 2πσ X σ Y 1 ρ 2 { [ (x ) 1
Hierarchia Chomsky ego Maszyna Turinga
Hierarchia Chomsky ego Maszyna Turinga Języki formalne i automaty Dr inż. Janusz Majewski Katedra Informatyki Gramatyka Gramatyką G nazywamy czwórkę uporządkowaną gdzie: G = V skończony zbiór
Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji
Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji I LO im. F. Ceynowy w Świeciu Radosław Rudnicki joix@mat.uni.torun.pl 17.03.2009 r. Typeset by FoilTEX Streszczenie Celem wykładu jest wprowadzenie
TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI
1 TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI 16/01/2017 WFAiS UJ, Informatyka Stosowana I rok studiów, I stopień Repetytorium złożoność obliczeniowa 2 Złożoność obliczeniowa Notacja wielkie 0 Notacja Ω i Θ Rozwiązywanie
Sortowanie topologiczne skierowanych grafów acyklicznych
Sortowanie topologiczne skierowanych grafów acyklicznych Metody boolowskie w informatyce Robert Sulkowski http://robert.brainusers.net 23 stycznia 2010 1 Definicja 1 (Cykl skierowany). Niech C = (V, A)
Rozwiązania około dwustu łatwych zadań z języków formalnych i złożoności obliczeniowej i być może jednego chyba trudnego (w trakcie tworzenia)
Rozwiązania około dwustu łatwych zadań z języków formalnych i złożoności obliczeniowej i być może jednego chyba trudnego (w trakcie tworzenia) Kamil Matuszewski 20 lutego 2017 22 lutego 2017 Zadania, które
Logika dla socjologów
Logika dla socjologów Część 6: Modele rozumowań. Pojęcie wynikania Rafał Gruszczyński Katedra Logiki Uniwersytet Mikołaja Kopernika 2011/2012 Spis treści 1 Modele rozumowań 2 Wynikanie 3 Rozumowania poprawne
Języki, automaty i obliczenia
Języki, automaty i obliczenia Wykład 9: Własności języków bezkontekstowych Sławomir Lasota Uniwersytet Warszawski 27 kwietnia 2016 Plan 1 Pompowanie języków bezkontekstowych 2 Własności domknięcia 3 Obrazy
KURS MATEMATYKA DYSKRETNA
KURS MATEMATYKA DYSKRETNA Lekcja 17 Relacje częściowego porządku. Diagramy Hassego. ZADANIE DOMOWE www.akademia.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa).
Zadanie 1. Potęgi (14 pkt)
2 Egzamin maturalny z informatyki Zadanie 1. otęgi (14 pkt) W poniższej tabelce podane są wartości kolejnych potęg liczby 2: k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 k 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 Ciąg a=(a 0,
Opisy efektów kształcenia dla modułu
Nazwa modułu: Teoria automatów i języków Rok akademicki: 2013/2014 Kod: AMA-2-044-BS-s Punkty ECTS: 6 Wydział: Matematyki Stosowanej Kierunek: Matematyka Specjalność: (bez wyboru specjalności) Poziom studiów:
Matematyczne Podstawy Informatyki
Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Informacje podstawowe 1. Konsultacje: pokój
Matematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 2 marca 2017 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod m)),
Wykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu.
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu. 1 Logika Klasyczna obejmuje dwie teorie:
Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka
Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka W 2. Probabilistyczne modele danych Zmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej Dr Anna ADRIAN Zmienne
Internet Semantyczny i Logika II
Internet Semantyczny i Logika II Ontologie Definicja Grubera: Ontologia to formalna specyfikacja konceptualizacji pewnego obszaru wiedzy czy opisu elementów rzeczywistości. W Internecie Semantycznym językiem
Zastosowania wyznaczników
Zastosowania wyznaczników Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 7.wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2012 1 / 17
Lista zadań - Relacje
MATEMATYKA DYSKRETNA Lista zadań - Relacje Zadania obliczeniowe Zad. 1. Która z poniższych relacji jest funkcją? a) Relacja składająca się ze wszystkich par uporządkowanych, których poprzednikami są studenci,
Imię, nazwisko, nr indeksu
Imię, nazwisko, nr indeksu (kod) (9 punktów) Wybierz 9 z poniższych pytań i wybierz odpowiedź tak/nie (bez uzasadnienia). Za prawidłowe odpowiedzi dajemy +1 punkt, za złe -1 punkt. Punkty policzymy za
Języki, automaty i obliczenia
Języki, automaty i obliczenia Wykład 12: Gramatyki i inne modele równoważne maszynom Turinga. Wstęp do złożoności obliczeniowej Sławomir Lasota Uniwersytet Warszawski 20 maja 2015 Plan 1 Gramatyki 2 Języki
Podstawowe Pojęcia. Semantyczne KRZ
Logika Matematyczna: Podstawowe Pojęcia Semantyczne KRZ I rok Językoznawstwa i Informacji Naukowej UAM 2006-2007 Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM http://www.logic.amu.edu.pl Dodatek: ściąga
Statystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 2 Magdalena Alama-Bućko 5 marca 2018 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 5 marca 2018 1 / 14 Prawdopodobieństwo klasyczne Ω - zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych
Np. Olsztyn leży nad Łyną - zdanie prawdziwe, wartość logiczna 1 4 jest większe od 5 - zdanie fałszywe, wartość logiczna 0
ĆWICZENIE 1 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): zdania w sensie logicznym, wartości logiczne, spójniki logiczne, zmienne zdaniowe, tabele prawdziwościowe dla spójników logicznych, formuły, wartościowanie zbioru
Egzamin, AISDI, I termin, 18 czerwca 2015 r.
Egzamin, AISDI, I termin, 18 czerwca 2015 r. 1 W czasie niezależnym do danych wejściowych działają algorytmy A. sortowanie bąbelkowego i Shella B. sortowanie szybkiego i przez prosty wybór C. przez podział
Semantyka obliczeniowa dla kwantyfikatorów monadycznych w języku naturalnym
Jakub Szymanik Semantyka obliczeniowa dla kwantyfikatorów monadycznych w języku naturalnym Praca magisterska Instytut Filozofii, Uniwersytet Warszawski Promotor prof. dr hab. Marcin Mostowski Instytut
Matematyczna wieża Babel. 4. Ograniczone maszyny Turinga o językach kontekstowych materiały do ćwiczeń
Matematyczna wieża Babel. 4. Ograniczone maszyny Turinga o językach kontekstowych materiały do ćwiczeń Projekt Matematyka dla ciekawych świata spisał: Michał Korch 4 kwietnia 2019 1 Dodajmy kontekst! Rozważaliśmy
Definiowanie języka przez wyrażenie regularne(wr)
Wykład3,str1 Definiowanie języka przez wyrażenie regularne(wr) DEFINICJA: (wyrażenia regularne) M(specjalneznakinienależącedoalfabetu:{,},, ) literyalfabetusąwr złożeniawrsąwr: jeśliw 1 iw 2 sąwr,to{w
Kierunek i poziom studiów: matematyka, studia I stopnia, rok I. Sylabus modułu: Wstęp do matematyki (03-MO1S-12-WMat)
Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Kierunek i poziom studiów: matematyka, studia I stopnia, rok I Sylabus modułu: Wstęp do matematyki (03-MO1S-12-WMat) 1. Informacje ogólne koordynator modułu Tomasz
Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Literatura. Terminy wykładów i ćwiczeń. Warunki zaliczenia. tnij.org/ktrabka
Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Elementy algebry liniowej. Macierze i wyznaczniki. Ciągi liczbowe, granica ciągu i granica funkcji, rachunek granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość
Zestaw 1-1 Organizacja plików: Oddajemy tylko źródła programów (pliki o rozszerzeniach.cpp)!!!
Zestaw 1-1 1. Napisz program pobierający od użytkownika liczbę całkowitą R (R>1) i liczbę rzeczywistą dodatnią S, a następnie informujący ile kolejnych liczb z ciągu 1, R-1, R 2-2, R 3-3, R 4-4, należy
Prawdopodobieństwo i statystyka
Wykład XV: Zagadnienia redukcji wymiaru danych 2 lutego 2015 r. Standaryzacja danych Standaryzacja danych Własności macierzy korelacji Definicja Niech X będzie zmienną losową o skończonym drugim momencie.
Wstęp do programowania
Wstęp do programowania Złożoność obliczeniowa, poprawność programów Paweł Daniluk Wydział Fizyki Jesień 2013 P. Daniluk(Wydział Fizyki) WP w. XII Jesień 2013 1 / 20 Złożoność obliczeniowa Problem Ile czasu
DODATEK 1: Wtedy h(α) = 1 oraz h(β) = 0. Jak pamiętamy ze szkoły, obraz sumy zbiorów jest sumą obrazów tych zbiorów. Mamy zatem:
DODATEK 1: DOWODY NIEKTÓRYCH TWIERDZEŃ DOTYCZACYCH SEMANTYKI KLASYCZNEGO RACHUNKU ZDAŃ 2.2. TWIERDZENIE O DEDUKCJI WPROST (wersja semantyczna). Dla dowolnych X F KRZ, α F KRZ, β F KRZ zachodzą następujące
Podstawy Informatyki. Sprawność algorytmów
Podstawy Informatyki Sprawność algorytmów Sprawność algorytmów Kryteria oceny oszczędności Miara złożoności rozmiaru pamięci (złożoność pamięciowa): Liczba zmiennych + liczba i rozmiar struktur danych
Prawdopodobieństwo i statystyka
Wykład V: Zmienne losowe i ich wartości oczekiwane 25 października 2017 Definicja zmiennej losowej Definicja Zmienne losowa to charakterystyka liczbowa wyniku eksperymentu losowego. Zmienne losowa na przestrzeni
Efektywność Procedur Obliczeniowych. wykład 5
Efektywność Procedur Obliczeniowych wykład 5 Modele procesu obliczeń (8) Jedno-, wielotaśmowa MT oraz maszyna RAM są równoważne w przypadku, jeśli dany problem jest rozwiązywany przez jeden model w czasie
prawda symbol WIEDZA DANE komunikat fałsz liczba INFORMACJA (nie tyko w informatyce) kod znak wiadomość ENTROPIA forma przekaz
WIEDZA prawda komunikat symbol DANE fałsz kod INFORMACJA (nie tyko w informatyce) liczba znak forma ENTROPIA przekaz wiadomość Czy żyjemy w erze informacji? TAK Bo używamy nowego rodzaju maszyn maszyn
Kody Tunstalla. Kodowanie arytmetyczne
Kody Tunstalla. Kodowanie arytmetyczne Kodowanie i kompresja informacji - Wykład 3 8 marca 2010 Kody Tunstalla Wszystkie słowa kodowe maja ta sama długość ale jeden kod może kodować różna liczbę liter
Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Tabele syntetyczne: definicje i twierdzenia
Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Tabele syntetyczne: definicje i twierdzenia Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@.edu.pl Metoda tabel syntetycznych (MTS) MTS
Języki i operacje na językach. Teoria automatów i języków formalnych. Definicja języka
Języki i operacje na językach Teoria automatów i języków formalnych Dr inŝ. Janusz Majewski Katedra Informatyki Definicja języka Definicja języka Niech Σ będzie alfabetem, Σ* - zbiorem wszystkich łańcuchów
Logika Matematyczna (1)
Logika Matematyczna (1) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 4 X 2007 Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (1) 4 X 2007 1 / 18 Plan konwersatorium Dzisiaj:
Uogólnione kwantyfikatory
Uogólnione kwantyfikatory J.Pogonowski, J.Smigerska Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Uniwersytet Opolski J.Pogonowski, J.Smigerska (MEG) Uogólnione kwantyfikatory Uniwersytet
Weryfikacja wspomagana komputerowo
Weryfikacja wspomagana komputerowo wykład 12 Interpretacja abstrakcyjna II Źródła F. Nielson, H.R. Nielson, C. Hankin, Principles of Program Analysis, Springer, 2005. http://www.imm.dtu.dk/~riis/ppa/slides4.pdf
Podstawowe struktury algebraiczne
Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.
Statystyka i eksploracja danych
Wykład XII: Zagadnienia redukcji wymiaru danych 12 maja 2014 Definicja Niech X będzie zmienną losową o skończonym drugim momencie. Standaryzacją zmiennej X nazywamy zmienną losową Z = X EX Var (X ). Definicja
Problem skoczka szachowego i inne cykle Hamiltona na szachownicy n x n
i inne cykle Hamiltona na szachownicy n x n Uniwersytet Warszawski 15 marca 2007 Agenda 1 2 naiwne Prosty algorytm liniowy 3 Problem znany był już od bardzo dawna, jako łamigłówka logiczna. Był też stosowany
Uwagi wprowadzajace do reguł wnioskowania w systemie tabel analitycznych logiki pierwszego rzędu
Witold Marciszewski: Wykład Logiki, 17 luty 2005, Collegium Civitas, Warszawa Uwagi wprowadzajace do reguł wnioskowania w systemie tabel analitycznych logiki pierwszego rzędu 1. Poniższe wyjaśnienie (akapit
Opis efektów kształcenia dla programu kształcenia (kierunkowe efekty kształcenia) WIEDZA. rozumie cywilizacyjne znaczenie matematyki i jej zastosowań
TABELA ODNIESIEŃ EFEKTÓW KSZTAŁCENIA OKREŚLONYCH DLA PROGRAMU KSZTAŁCENIA DO EFEKTÓW KSZTAŁCENIA OKREŚLONYCH DLA OBSZARU KSZTAŁCENIA I PROFILU STUDIÓW PROGRAM KSZTAŁCENIA: POZIOM KSZTAŁCENIA: PROFIL KSZTAŁCENIA:
Rachunek prawdopodobieństwa- wykład 2
Rachunek prawdopodobieństwa- wykład 2 Pojęcie dyskretnej przestrzeni probabilistycznej i określenie prawdopodobieństwa w tej przestrzeni dr Marcin Ziółkowski Instytut Matematyki i Informatyki Uniwersytet
KARTA PRZEDMIOTU. 1. Informacje ogólne. 2. Ogólna charakterystyka przedmiotu. Algorytmy i struktury danych, C3
KARTA PRZEDMIOTU 1. Informacje ogólne Nazwa przedmiotu i kod (wg planu studiów): Nazwa przedmiotu (j. ang.): Kierunek studiów: Specjalność/specjalizacja: Poziom kształcenia: Profil kształcenia: Forma studiów:
ALGORYTMY Algorytm poprawny jednoznaczny szczegółowy uniwersalny skończoność efektywność (sprawność) zmiennych liniowy warunkowy iteracyjny
ALGORYMY Algorytm to przepis; zestawienie kolejnych kroków prowadzących do wykonania określonego zadania; to uporządkowany sposób postępowania przy rozwiązywaniu zadania, problemu, z uwzględnieniem opisu
Sprzęt komputera - zespół układów wykonujących programy wprowadzone do pamięci komputera (ang. hardware) Oprogramowanie komputera - zespół programów
Sprzęt komputera - zespół układów wykonujących programy wprowadzone do pamięci komputera (ang. hardware) Oprogramowanie komputera - zespół programów przeznaczonych do wykonania w komputerze (ang. software).
Matematyczne podstawy informatyki Mathematical Foundations of Computational Sciences. Matematyka Poziom kwalifikacji: II stopnia
Nazwa przedmiotu: Kierunek: Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy dla wszystkich specjalności Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia Matematyczne podstawy informatyki Mathematical Foundations of Computational Sciences
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA - POJĘCIA WSTĘPNE MATERIAŁY POMOCNICZE - TEORIA
Wydział: WiLiŚ, Transport, sem.2 dr Jolanta Dymkowska RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA - POJĘCIA WSTĘPNE MATERIAŁY POMOCNICZE - TEORIA Przestrzeń probabilistyczna Modelem matematycznym (tj. teoretycznym, wyidealizowanym,
Modyfikatory typów i kwantyfikacja w języku naturalnym
Modyfikatory typów i kwantyfikacja w języku naturalnym 7 lipca 2007 Spis treści 1 Kwantyfikacja kolektywna 2 Spis treści Kwantyfikacja kolektywna 1 Kwantyfikacja kolektywna 2 Spis treści Kwantyfikacja
Matematyczne Podstawy Informatyki
Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Automat ze stosem Automat ze stosem to szóstka
2.2. Gramatyki, wyprowadzenia, hierarchia Chomsky'ego
2.2. Gramatyki, wyprowadzenia, hierarchia Chomsky'ego Gramatyka Gramatyką G nazywamy czwórkę uporządkowaną G = gdzie: N zbiór symboli nieterminalnych, T zbiór symboli terminalnych, P zbiór
6. Zmienne losowe typu ciagłego ( ) Pole trapezu krzywoliniowego
6. Zmienne losowe typu ciagłego (2.04.2007) Pole trapezu krzywoliniowego Przypomnienie: figurę ograniczoną przez: wykres funkcji y = f(x), gdzie f jest funkcją ciągłą; proste x = a, x = b, a < b, oś OX
Internet Semantyczny. Logika opisowa
Internet Semantyczny Logika opisowa Ontologie Definicja Grubera: Ontologia to formalna specyfikacja konceptualizacji pewnego obszaru wiedzy czy opisu elementów rzeczywistości. W Internecie Semantycznym
- Dla danego zbioru S zbiór wszystkich jego podzbiorów oznaczany symbolem 2 S.
1 Zbiór potęgowy - Dla danego zbioru S zbiór wszystkich jego podzbiorów oznaczany symbolem 2 S. - Dowolny podzbiór R zbioru 2 S nazywa się rodziną zbiorów względem S. - Jeśli S jest n-elementowym zbiorem,
Logika formalna wprowadzenie. Ponieważ punkty 10.i 12. nie były omawiane na zajęciach, dlatego można je przeczytać fakultatywnie.
Logika formalna wprowadzenie Ponieważ punkty 10.i 12. nie były omawiane na zajęciach, dlatego można je przeczytać fakultatywnie. 1. Zdanie logicznie prawdziwe (Prawda logiczna) Zdanie, którego analityczność
Zadanie 1 Przygotuj algorytm programu - sortowanie przez wstawianie.
Sortowanie Dane wejściowe: ciąg n-liczb (kluczy) (a 1, a 2, a 3,..., a n 1, a n ) Dane wyjściowe: permutacja ciągu wejściowego (a 1, a 2, a 3,..., a n 1, a n) taka, że a 1 a 2 a 3... a n 1 a n. Będziemy
Helena Boguta, klasa 8W, rok szkolny 2018/2019
Poniższy zbiór zadań został wykonany w ramach projektu Mazowiecki program stypendialny dla uczniów szczególnie uzdolnionych - najlepsza inwestycja w człowieka w roku szkolnym 2018/2019. Składają się na
ZŁOŻONOŚĆ OBLICZENIOWA ALGORYTMÓW
ZŁOŻONOŚĆ OBLICZENIOWA ALGORYTMÓW NIEDETERMINISTYCZNE MASZYNY TURINGA Bartosz Zieliński Katedra Fizyki Teoretycznej i Informatyki Zima 2011-2012 NIEDETERMINISTYCZNE MASZYNY TURINGA DEFINICJA: NIEDETERMINISTYCZNA
Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki
Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 5. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.5. Wynikanie logiczne 1 Na poprzednim wykładzie udowodniliśmy m.in.:
Języki formalne i automaty Ćwiczenia 7
Języki formalne i automaty Ćwiczenia 7 Autor: Marcin Orchel Spis treści Spis treści... 1 Wstęp teoretyczny... 2 Automaty... 2 Cechy automatów... 4 Łączenie automatów... 4 Konwersja automatu do wyrażenia
Grupy pytań na egzamin inżynierski na kierunku Informatyka
Grupy pytań na egzamin inżynierski na kierunku Informatyka Dla studentów studiów dziennych Należy wybrać dwie grupy pytań. Na egzaminie zadane zostaną 3 pytania, każde z innego przedmiotu, pochodzącego
Gramatyki, wyprowadzenia, hierarchia Chomsky ego. Gramatyka
Gramatyki, wyprowadzenia, hierarchia Chomsky ego Teoria automatów i języków formalnych Dr inŝ. Janusz Majewski Katedra Informatyki Gramatyka Gramatyką G nazywamy czwórkę uporządkowaną gdzie: G =
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Granice funkcji, asymptoty i ciągłość
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Granice funkcji asymptoty i ciągłość Definicja sąsiedztwo punktu. Niech 0 a b R r > 0. Sąsiedztwem o promieniu r punktu 0 nazywamy zbiór S 0 r = 0 r 0 0 0 + r;
1 Macierz odwrotna metoda operacji elementarnych
W tej części skupimy się na macierzach kwadratowych. Zakładać będziemy, że A M(n, n) dla pewnego n N. Definicja 1. Niech A M(n, n). Wtedy macierzą odwrotną macierzy A (ozn. A 1 ) nazywamy taką macierz
Zliczanie Podziałów Liczb
Zliczanie Podziałów Liczb Przygotował: M. Dziemiańczuk 7 lutego 20 Streszczenie Wprowadzenie Przez podział λ nieujemnej liczby całkowitej n rozumiemy nierosnący ciąg (λ, λ 2,..., λ r ) dodatnich liczb
Logika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017
Logika Stosowana Wykład 1 - Logika zdaniowa Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 30 Plan wykładu 1 Język
Wprowadzenie: języki, symbole, alfabety, łańcuchy Języki formalne i automaty. Literatura
Wprowadzenie: języki, symbole, alfabety, łańcuchy Języki formalne i automaty Dr inŝ. Janusz Majewski Katedra Informatyki Literatura Aho A. V., Sethi R., Ullman J. D.: Compilers. Principles, Techniques
Języki programowania zasady ich tworzenia
Strona 1 z 18 Języki programowania zasady ich tworzenia Definicja 5 Językami formalnymi nazywamy każdy system, w którym stosując dobrze określone reguły należące do ustalonego zbioru, możemy uzyskać wszystkie
Rozkłady prawdopodobieństwa
Tytuł Spis treści Wersje dokumentu Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej 10 grudnia 2011 Spis treści Tytuł Spis treści Wersje dokumentu 1 Wartość oczekiwana Wariancja i odchylenie standardowe Rozkład
Zadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d)
Matemaryka dyskretna - zadania Zadanie 1. Opisać zbiór wszystkich elementów rangi k zbioru uporządkowanego X dla każdej liczby naturalnej k, gdy X jest rodziną podzbiorów zbioru skończonego Y. Elementem
1. Liczby naturalne, podzielność, silnie, reszty z dzielenia
1. Liczby naturalne, podzielność, silnie, reszty z dzielenia kwadratów i sześcianów przez małe liczby, cechy podzielności przez 2, 4, 8, 5, 25, 125, 3, 9. 26 września 2009 r. Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie
Obliczenia inspirowane Naturą
Obliczenia inspirowane Naturą Wykład 01 Modele obliczeń Jarosław Miszczak IITiS PAN Gliwice 05/10/2016 1 / 33 1 2 3 4 5 6 2 / 33 Co to znaczy obliczać? Co to znaczy obliczać? Deterministyczna maszyna Turinga
Matematyczne Podstawy Informatyki
Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Gramatyki bezkontekstowe I Gramatyką bezkontekstową
Zbiory. Specjalnym zbiorem jest zbiór pusty nie zawierajacy żadnych elementów. Oznaczamy go symbolem.
Zbiory Pojęcie zbioru jest w matematyce pojęciem pierwotnym, którego nie definiujemy. Gdy a jest elementem należacym do zbioru A to piszemy a A. Stosujemy również oznaczenie a / A jeżeli (a A). Będziemy
teoria informacji Kanały komunikacyjne, kody korygujące Mariusz Różycki 25 sierpnia 2015
teoria informacji Kanały komunikacyjne, kody korygujące Mariusz Różycki 25 sierpnia 2015 1 wczoraj Wprowadzenie matematyczne. Entropia i informacja. Kodowanie. Kod ASCII. Stopa kodu. Kody bezprefiksowe.
Pattern Classification
Pattern Classification All materials in these slides were taken from Pattern Classification (2nd ed) by R. O. Duda, P. E. Hart and D. G. Stork, John Wiley & Sons, 2000 with the permission of the authors
Co to są liczby naturalne i czemu ich nie ma?! Adam Kolany
Co to są liczby naturalne i czemu ich nie ma?! Adam Kolany Co to są liczby naturalne i czemu ich nie ma?! Adam Kolany Załóżmy, że wiemy co to są liczby naturalne... Język (I-go rzędu): V, { F n : n IN
Języki formalne i automaty Ćwiczenia 1
Języki formalne i automaty Ćwiczenia Autor: Marcin Orchel Spis treści Spis treści... Wstęp teoretyczny... 2 Wprowadzenie do teorii języków formalnych... 2 Gramatyki... 5 Rodzaje gramatyk... 7 Zadania...
Statystyka i eksploracja danych
Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,
Semantyka rachunku predykatów
Relacje Interpretacja Wartość Spełnialność Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Relacje Interpretacja Wartość Plan Plan Relacje O co chodzi? Znaczenie w logice Relacje 3 Interpretacja i wartościowanie
Matematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 24 lutego 2015 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod
Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/
Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Głęboka 28, p. 221 bud. CIW, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl