PROSTE PRZESTRZENI RZUTOWEJ KWADRYKA PLÜCKERA

Transkrypt

1 UNIWERSYTET WARMIŃSKO-MAZURSKI W OLSZTYNIE WYDZIAŁ MATEMATYKI I INFORMATYKI KIERUNEK : MATEMATYKA AGNIESZKA MATUSIEWICZ PROSTE PRZESTRZENI RZUTOWEJ KWADRYKA PLÜCKERA PRACA MAGISTERSKA WYKONANA W ZAKŁADZIE ALGEBRY I GEOMETRII POD KIERUNKIEM DR M. GERMANIUKA OLSZTYN 22

2 SPIS TREŚCI :. Wę Wdoośc węe Włośc cezy ośo yeyczyc Wółzęde üceowe oe zeze P Kwdy üce wółzędyc üceowc oyc Dwe oe odące wóy Twoy zowe oyc Bogf

3 WSTĘP Jz Püce odzł ę 6 czewc 8. Kzłcł ę w Hedeeg Bee Pyż. Zoł ofeoe ey w He w 834 o ęe w Bo w 836 o. Włożył dży włd w yczą geoeę fzyę. Zocząowł d d geoeą geczą. Pc ośwęco e oy w zeze zowe P c zwązo z zo zowego łdącego ę z ów óyc wółzęde edoode ą wółzędy üceow oe. Pzedwoe ą óżego odz zwąz w oc łdów ówń wzoów. Ioy eeee cy e ęce zgdeń w oc cezy c cezowego. Te ęce ożw dołdy o łw dowody wedzeń óe w ońcowy efece ozwą zye wedze 4. oeśe odwzoow üceowc oyc. W ozdzłc III IV VI wzye wedze ey ą dołde dowodoe. W ozdze V e zedwoe odwzoowe üce oyc z wyozye wedzeń zedwoyc w ozdzłc III IV. Uzełoo że ewe włośc z dowod doyczące ego odwzoow. W wdooścc węyc ą zedwoe odwowe defce wedze z dzedzy geoe gecze óe łącze z odwzoowe üce oyc oż wyozyć do yc zgdeń. 3

4 Pzyłd ego wyozy zoł zedwoy w ozdze do d woów geczyc oyc. VII 4

5 Rozdzł I WIADOMOŚCI WSTĘPNE Defc. Pzezeą zową -wyową P d cłe zywy zó óego eeey ą ww w zoze V... : d... \... 2 wzgęde ec ówowżośc :... y y y y wedy yo wedy gdy ee czy : P V Pzezeń zową oż oeść w y oó : że y d... P P K gdze oec zowośc P e oecą wzyc odzeze owyc wy w zeze owe + wyowe K + d cłe. Wwę wyzczoą zez eee... odzezeń ową wy wyzczoą zez eee... ędzey ozczć: : : :.... 5

6 Defc.2 Zoe zowy w zeze zowe P zywy zó ozwązń łd ówń : F gdze F weoy edoode. Zoy zowe w zeze P wozą ooogę zoów doęyc zwą ooogę zego. Jeże w łdze ówń oeśący zó zowy weoy edoode ą o ewzego o wyzczoy zó zowy ędze zoe owy. Jeże A e cezą główą łd ówń weoów edoodyc o ewzego ząd cezy A ( A ) = oz L e zoe owy wyzczoy zez e łd o d L =. Jeże ( A ) = o d L = wedy zó owy ędze oą. Twedzee. Podzó X P P e zoe doęy ( zoe zowy ) wedy yo wedy gdy e zoe ozwązń łd ówń : G... ; y y... y... 2 gdze G weoy edoode ze wzgęd żdy ye zeyc z oo. Defc.3 Nec f : X P ędze odwzoowe wyey ze zo zowego X. Odwzoowe o oż zedwć w oc : 6

7 f F F X :... : F (. ) : gdze F weoy edoode ego ego o. Ie zedwee : f G G X :... : G : wyzcz o o odwzoowe wyee wedy yo wedy gdy zoze X zcodz ówość : F G = F G. Odwzoowe wyee e ege d X eże ee zedwee w oc (. ) w óy d ewego F ( ). Odwzoowe wyee e odwzoowe egy zoze X wedy yo wedy egy d żdego X. gdy e odwzoowe Twedzee.2 Jeże zoy zowe ą ozywe d cłe gecze doęy o oz zo zowego w odwzoow egy e zoe doęy. Twedzee.3 Nec f : X Y ędze odwzoowe egy zoów zowyc eozłdyc zó Y oz d X = d Y =. Wedy :. f y d d żdego yy. 2. Zó y Y d f y 3. Zó y Y d f y : e doęy w zoze Y. : e owy ey. Zoy zowe wyęące w wedze ą oeśoe d cłe gecze doęy. 7

8 ROZDZIAŁ II WŁASNOŚCI MACIERZY SKOŚNO SYMETRYCZNYCH Rozzy zoy P Z P = cezy wdowyc gdze... zcząc cez P do zo P wedy yo wedy eże e eeey odą ęące włośc : Włość 2 ( 2. ) Włość 2 d =... ( 2.2 ) Włość 3 ( 2.3 ) d =.... Włość ( 2.2 ) ozcz że żd cez P e cezą ośe yeyczą o zczy oż ą zedwć w oc : P 2 P = ( 2.4 ) 8

9 Ozcze ooccze d eeeów cezy ośe yeyczyc: Pzez g ( ) ozeć ędzey czę + eś czy wozą ecę zyą oz czę eś czy wozą ecę ezyą d cz eeyc cłowyc. Nec ( ) d =...; oz ( ) ( ) ( ) g g g ( 2.5 ) d Z. Woe : Jeś d =... o ( ) ( ) d =... ( 2.6 ) 2 3 gdze e dowoą ecą cz ( ). 2 3 Pzez P ( gdze czy ą cz cłowy ( ) eey ewęze od ą óże ) ozeć ędzey cez edowezową o + eeec P ( ) ( ) ( )... ( ) ) ( gdze =... czy : ( 2.7 ) d =.... 9

10 Pzez P ( gdze cz e czą cłową eeą ewęzą od ) ozeć ędzey cez edowezową o + eeec ówyc eeeo -ego wez cezy P oeśoe wzoe ( 2.4 ) czy : P... d ( 2.8 ) =... Pzez P T ozczyy cez oową cezy P. Le 2. Jeże cez P = o wyzcz cezy P P (=...) eży do zo P T T cezy P P ą ówe ze d =... gdze czy ą óże czy : T P P T P P ( 2.9 ) Dowód e 2. Wyczy ozć że czy ( ) ą ówe ze gdy czy ą óże. Kozyąc ze wzo ( 2.5 ) y : o ( ) g( ) g( ) g( ) = g( ) ( ). Poewż g g oz g g.

11 Z złoże e ( 2. ) cez (=... ) eży do zo P węc odwe włośc ( 2.3 ) y oecze : ( ) d =.... Ozczee : Nec 3 R ozcz cez o + oc óyc eeey ą ówe oeo eeeo cezy : wezc P... P P P... P P P P ( 2 ) ( 3 ) ( ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( ) ( 2 3 )... ( 2 ) oeśoyc wzoe ( 2.7 ) czy : R ( 2) ( 3) ( 2 3) ( 2 ) ( 2) ( 3) ( 2 3) ( 2) ( 3) ( ) ( 2 3)..... ( ) ( 2 3)..... ( 2 ) ( 2. ) Twedzee 2. Jeże cez ( =...) eży do zo P o ząd cezy R oeśoe wzoe ( 2. ) e ówy : -.

12 Dowód wedze 2.2 Jeże cez ( =...) eży do zo P o z włośc ( 2. ) wy że eą e dwe czy cłowe eee oe ewęze od < że : P ( 2. ) Nec R ozcz cez o + oc - wezc óyc eeey ą ówe oeo eeeo cezy : P P... P P... P... P P P ( ) ( 2 ) ( ) ( ) ( ) ( )... ( ) oeśoyc wzoe ( 2.7 ) czy : R ( 2.2 ) Z zeżośc ( 2.6 ) wy że cez {R } owł z cezy {R} 3 we eśe e wezy we ończoe ośc ozyc owłyc wezy. Pzez {R } ozczy cez owłą z cezy {R } w wy eśe o o ec. Mcez {R } e cezą wdową o - wezc - oc. 2

13 Ze wzoów (.5 ) wy że edye eeey : d =... ( ) eżące główe zeąe cezy {R } ogą yć óże od ze. Ze wzoów ( 2.5 ) ( 2. ) y : ( ) g( ) d =... ąd woey że wyzcz - o cezy {R } e óży od ze. Poewż cez {R } e odcezą cezy {R} wyzśy że ząd {R} cezy {R} e węzy ówy - czy : R ( 2.3 ) Nec {J} ozcz cez wdową o + wezc + oc ó owł z cezy edoowe zęd + zez ząee eeeów -ego - ego e wez eee cezy {P } {P } oeśoyc wzoe ( 2.8 ). Wyzcz cezy { J} woec eówośc < wość : 2 J ąd woec eówośc ( 2. ) wy że ząd cezy J e ówy +. Nec K ozcz cez ówą oczyow cezy R oeśoe wzoe ( 2. ) zez cez J T. Eee -e -e oy cezy K ą czy : P P T oz P P T < <. 3

14 Poewż cez ( =...) eł złoże e ( 2.) o ocy ego e wzye eeey -e -e oy cezy K ą ówe ze ąd wy że : R ( 2.4 ) Woec eówośc ( 2.3 ) ( 2.4 ) y oecze : R 4

15 ROZDZIAŁ III WSPÓŁRZĘDNE PLÜCKEROWSKIE PROSTEJ PRZESTRZENI P W zeze zowe zeczywe P oey dw dowoe y : R :... : : S :... : ( 3. ) : Py R S wyzczą w e zeze oą RS. Nec R S ędą dowoy óży oe RS. Py e oż zedwć w oc : R S : :... : 2 2 : 2 2 :... : 2 2 gdze czy oz 2 2 e zą ówocześe. Jeże R S y : ( 3.2 ) c= 2 2 ( 3.3 ) Jeże R =S y : 2 2 Pzez B ozeć ędzey wyzcz + o óego eeey zdące ę w -y wez ą ówe wółzędy : B... d =... ( 3.4 ) gdze d. d 5

16 6 Pzez ) ( S R X B ozeć ędzey wyzcz owły z wyzcz B zez ząee eeeów -ego wez wółzędy X eeeów -ego wez wółzędy R oz eeeów -ego wez wółzędy S. My węc : c S R X B 2 2 ) ( Ozcząc : d... ( 3.5 ) y : c S R X B ( 3.6 ) Twedzee 3. Eeey cezy ( =... ) wyzczą edozcze ozez łd złożoy z 3 ówń :

17 7 ; ( 3.7 ) oą RS w zeze P. Le 3. Lczy oeśoe wzoe ( 3.5 ) ą wyzczoe z dołdoścą do oocoośc zez y R S. Dowód e 3. Zęąc łdy cz o... o... łd gdze czy ą cz zeczywy y : d =... Lczy e zeżą óweż od wyo ów oe RS. Jeś y R S ząy R S ( 3.2 ) o y :... d c gdze cz c e oeśo wzoe ( 3.3 ).

18 8 Dowód wedze 3. Pożey że cez P = (=...) óe eeey ą oeśoe zeżośc ( 3.5 ) eżą do zo P. Woec zeżośc S R oz wzoów ( 3.5 ) cez P od włośc ( 2. ) ( 2.2 ). Pożey że od o óweż włość ( 2.3 ). Ze wzoów ( 3.5 ) y : d =... co ozcz że cez P od włość ( 2.3 ). Ozczee : Nec ędze dy łd złożoy z 3 ówń : ) ( S R X B ;. ( 3.8 ) Kozyąc z zeżośc ( 3.3 ) ( 3.6 ) łd ówń ( 3.7 ) oż zedwć w oc : ;. ( 3.9 )

19 Jeże d oyc wośc deów e zą ówocześe wzye wółczy ów ( 3.9 ) o e oo ówe - wyowe ełzcyzy zeze P wyzczoe zez y R S oz zez -2 y B oeśoe wzoe ( 3.4 ) gdze =.... Nec :...:. Kozyąc z ozczeń ( 2.7 ) y : : X P T ( ) Ze wzoów ( 2.5 ) ozyey : g( ) ( ) ( ) Z oc dwóc zeżośc oz wzo ( 2.6 ) wy że łd ówń ( 3.9 ) oż zedwć w oc : T X P ( 3. ) d =.... Mcez głów wółczyów łd ówń cezy ( 3. ) ów e R de wzoe ( 2. ) woec zyeżośc cezy (=...) do zo P odwe wedze 2. woey że ząd cezy R e ówy - co ozcz że eeey e cezy ozez łd ówń ( 3.9 ) oeśą edozcze oą RS. Twedzee 3.2 Jeże cez ( =...) eży do zo P o eeey e cezy oeśą edozcze ozez łd złożoy z 3 ówń : 9

20 < < ( 3. ) ewą oą w zeze P. Dowód wedze 3.2 Poewż cez ( =...) eży do zo P o łd ówń ( 3. ) de ę zedwć w oc łd ówń ( 3. ) óego cez głów wółczyów ząd ówy - węc łd ówń ( 3. ) oeś edozcze w zeze ewą oą. Twedzee 3.3 We oeczy doeczy o y dwe ceze ( =...) oz P P ( =...) eżące do zo P oeśły ę ą oą zeze P e oocoość yc cezy o zczy : c ( 3.2 ) P d =... gdze c e czą zeczywą óżą od ze. Dowód wedze 3.3 Doeczość w e oczyw eży ozć ego oeczość. Złóży że ceze {P} {P } eżące do zo P e ą oocoe oz że łdy ówń oz ;. ( 3.3 ) oeśą ę ą oą. ;. ( 3.4 ) 2

21 Ułdy ówń ( 3.3 ) ( 3.4 ) oż zedwć w oc : T X P ( 3.5 ) d =... oz T X P ( 3.6 ) d =.... Woec zyeżośc cezy P do zo P eą czy cłowe eee óże ewęze od e że : ( 3.7 ) Podoe woec zyeżośc cezy P do zo P eą czy cłowe eee óże ewęze od e że : ( 3.8 ) W zeze P eą y : P : :... : P : :... : P : :... : P : :... : ( 3.9 ) N odwe e 2. woey że wółzęde ów P P ełą łd ówń ( 3.5 ) wółzęde ów P P ełą łd ówń ( 3.6 ). Poewż łdy ówń ( 3.5) ( 3.6 ) oeśą ę ą oą o wółzęde ów P P zą ełć łd ówń ( 3.6 ) wółzęde ów P P zą ełć łd ówń ( 3.5 ). Złóży że : ( 3.2 ) 2

22 Z ówń ( 3.6 ) wzoów ( 3.9 ) ozyey : T P P T P P d =...; czy : ( 3.2 ) d =.... Woec złoże ( 3.2 ) z oc ówń wy że : ( 3.22 ) d =... ;. N odwe zeżośc ( 3.8 ) ( 3.2) oz ( 3.22 ) woey że. ( 3.23 ) Z ówń ( 3.6 ) wzoów ( 3.9 ) y T P P czy :. Woec zeżośc ( 3.22 ) ( 3.23 ) z oego ów ozyey wew wo ( 3.7 ) ( 3.8 ). Złożee że doowdzło do zeczośc. M węc yć : Nec : ( 3.24 ) c ( 3.25 ) Z ówń ( 3.2 ) wzgędąc ozczee ( 3.25 ) y : c c ( 3.26 ) 22

23 d =.... Woec zeżośc ( 3.24 ) ee P : :... : óego wółzęde ełą łd ówń ( 3.5 ). My węc : T P P T P P d =...; czy : ; ; d =...; ; ;. Dodąc do ee y oc ówń ozyey d =...; ; ; czy wzgędąc ozczee ( 3.25 ) y : c ( 3.27 ) d =...; ; ;. Z zeżośc ( 3.25 ) ( 3.26 ) ( 3.27 ) wy wew złoże że ceze P P ą oocoe. Woe 3. Kżde oe zeze P ozez wzoy ( 3.5 ) zyoządow e edozcze cezy oocoyc eżącyc do zo P. 23

24 Woe 3.2 Kżde e cezy oocoyc eżącyc do zo P ozez łd ówń ( 3. ) zyoządow e edozcze o zeze P. 24

25 ROZDZIAŁ IV KWADRYKA PLÜCKERA WSPÓŁRZĘDNYCH PLÜCKEROWSKICH PROSTYCH Mcezy ośe yeycze P ezeowe o zczy cezy ełące włośc ( 2. ) ( 2.2 ) oż zyoządowć : P : :... : : :... : :... P 2 2 : gdze `. 2 Uożąc ceze ące wyzy oocoe zedwoe zyoządowe ędze wzee edozcze. Ogcząc ę do cezy ośe yeyczyc ełącyc włośc ( 2. ) ( 2.2 ) ( 2.3 ) o zyoządowe e wzee edozcze ędzy y cez zo zowego VL P wyzczoego zez łd ówń : ;. Nec L ozcz zó wzyc oyc w zeze P. Pzez Q ozczyy odwzoowe ze zo oyc w P zdefowe w ęący oó : 25

26 d L ec : Q :... : P gdze : 2 ( ) y y ; y y :... : y y : y :... : : y Z zedwoyc w ozdze III wedzeń woów oz z zedwoego owyże zyoządow ędzy cez ośe yeyczy zeze zowe P wy że odwzoowe Q e doze oeśoe o zczy e zeży od wyo ów oe że e óżowoścowe zó zowy VL P. Wyzczoy zez łd ówń : ;. Wółzęde edoode oz oe d odwzoow Q zywć ędzey wółzędy űceow oe zó zowy VL zywć ędzey wdyą űce. Z zedwoyc w ozdze III wedzeń woów wy óweż że eże : P=( : 2 :... : : 2 :... : :... : (-) ) VL. o łd ówń ze wzgęd zee... ; wyzcz oą w zeze P óe oze w odwzoow Q ędze P. Tą włość oż zć w oc wedze : 26

27 27 Twedzee 4. Nec P=( : 2 :... : : 2 :... : :... : (-) ) VL ędze oy e. Wedy łd ówń : ; ( 4. ) ze wzgęd zee... wyzcz oą w zeze P óe oz w odwzoow Q ędze P czy P Q. W zełe włośc łd ówń ( 4. ) oż dowodć wedze : Twedzee 4.2 Jeże VL P 2 2 : :... : :... : : :... : o łd ówń ; ( 4.2 ) ze wzgęd zee... od yo ozwąze zeowe. Dowód wedze 4.2 Z złożeń wedze wy że eą e dey d óyc oz eą dey ; d óyc. D deów w łdze ówń ( 4.2 ) wyęą ów :

28 Wyzcz cezy główe ego łd ze wzgęd zee e ówy 2 ( ) czy e óży od ze. Poewż wyzy woe łd ówń owyc ą zeowe o edyy ozwąze e ozwąze zeowe czy : = = = =. Poewż o óweż = =. Nec ędze dowoy wźe cłowy oz ówe :. Jeże < < o w łdze ówń ( 4.2 ) wyęe ąd z f że y =. Jeże < < o w łdze ówń ( 4.2 ) wyęe ówe : oz eże < < o w łdze ówń ( 4.2 ) wyęe ówe : z óyc ogcze wy że : =. T węc edyy ozwąze łd ówń owyc ( 4.2 ) ze wzgęd zee... e ozwąze zeowe. Twedzee 4.3 Jeże :... : P : e oy e o łd ówń ; ( 4.3 ) ze wzgęd zee zó owy wy -. ; < w zeze P wyzcz 28

29 Dowód wedze 4.3 : :... : P o d ewego ; y Poewż że. W łdze ówń ( 4.3 ) wyęą ów odowdące deo < < gdze = = = óe wozą łd ówń : ; < < ( 4.4 ) Rówń yc e dołde. Nec 2 A ędze cezą główą łd ówń ( 4.4 ). Wyzy wez cezy A ów odowdące zey P ą ówe eże ą ówe eże = = oz ą wośc zeo eże. Po eśe o w cezy A odowdący zey P gdze = = ozyy cez wdową A w óe w dowoy wez wyęe dołde ed wość ozołe wyzy wez ą zeowe oz w dowoe oe wyęe dołde ed wość ozołe wyzy oy ą zeowe. Wyzcz e cezy e ówy óży od ze. gdze = 2 węc e Sąd ząd ( A ) = 2. Weźy dowoe ówe łd ówń ( 4.3 ) e eżące do łd ówń ( 4.4 ) czy ówe : 29

30 ; < < ( 4.5 ). Złóży zyłd : że < < <. D yc deów wyęą ów eżące do łd ówń ( 4.4 ) ( 4.6 ) ( 4.7 ) ( 4.8 ) Możąc ów ( 4.5 ) ( 4.6 ) ( 4.7 ) ( 4.8 ) ooe odowedo zez - - dodąc o ozyy ówe zeowe. Aogcze oęąc ozyy e ez d yc zeżośc deów : < < < < < < < < <. Ozcz o że żde e ówe łd ( 4.3 ) o cezy główe A e eżące do łd ówń ( 4.4 ) e ocą ową ówń z łd ówń ( 4.4 ) co ozcz że ząd cezy główe A łd ówń owyc ( 4.3 ) e co ząd cezy A czy ówy 2 węc ( A ) = 2. Sąd włośc defc (.2 ) łd ówń ( 4.3 ) w zeze P ; 2 ze wzgęd zee óego wy ów ę : 2 2 węc : d L = - wyzcz ; < zó owy L 2 3

31 3 Woe 3.3 W odwzoow Q oze wąz oyc o wezcoł w ce =( : :... : ) w wyowe zeze P ędze - wyowy zó owy oeśoy łde ówń :. ;

32 ROZDZIAŁ V DWIE PROSTE POSIADAJĄCE PUNKT WSPÓLNY Nec cezy oocoyc P = ( =...) eżącyc do zo P oeś w zeze P ozez łd ówń ( 3. ) oą P cezy P = ( =...) eżącyc do zo P oeś odoe oą P. Twedzee 5. We oeczy doeczy o y dwe oe P P odły co e ede wóy wyczy y eeey oeśącyc e cezy ełły 4 ęącyc ówń : ; ( 5. ). Dowód wedze 5. Woec zyeżośc cezy P P do zo P eą czy cłowe eee óże ewęze od oz czy cłowe eee óże ewęze od że : ( 5.2 ) Py P P oeśoe wzo ( 3.9 ) wyzczą edozcze oą P y P P - oą P. 32

33 33 Jeże oe P P odą cocż ede wóy o ząd cezy wozoe ze wółzędyc ów P P P P yć ezy ż 4 czy zć zą wzye wyzcz W o czwego e cezy o oc : W. ( 5.3 ) Soąc do wyzczów W ozwęce Le ozyey : ) ( ) (. W ) ( ) (. ) ( ) (. ) ( ) (. ) ( ) (. ) ( ) (.. Woec zyeżośc cezy P P do zo P z włośc ( 2.3 ) y : c d d c d c oz c d d c d c d cd=.... Kozyąc z owyżzyc zwązów wyzcz W oż zedwć w oc :

34 34 ) ( W ( 5.4 ). Jeże oe P P odą wóy o oże yć W = ; ąd woec wzoów (4.4) wów (4.2) wy że ełoe zą yć w ( 4. ). Jeże ełoe ą w ( 4. ) o ze wzoów ( 4.4) wy że W = ; co ozcz że oe P P odą wóy.

35 ROZDZIAŁ VI TWORY RZUTOWE PROSTYCH Twoy zowe oyc w zeze zowe P ą w ścły zwąz z odwzoow wyey zoów zowyc częo odwzoowe wyee oeś ę z oocą woów oyc. Wyozyąc zedwoe w ozedc ozdzłc zeżośc ędzy oy zeze zowe ( z zyłd wedzee ) woy zowe oyc oż ożć ze zo zowy wdy üce. De o ożwość dołdego zdefow zedwe odwowyc włośc woów zowyc oyc. Nec zgode z ozcze ozdzł IV L ozcz zó wzyc oyc w zeze zowe P Q ozcz odwzoowe zo L w wdyę üce VL. Defc 6. Twoe zowy oyc zywy odzó zo L óego oz w odwzoow Q ędze zoe zowy w wdyce VL. T węc odzó TR L e woe zowy oyc wedy yo wedy gdy Q ( TR ) e zoe zowy. Z defc włośc odwzoow Q wy że żdy wó zowy oyc de ę zedwć w oc : TR = Q - ( X ) gdze X VL e zoe zowy. 35

36 Nec zó zowy X VL ędze oeśoy zez łd ówń : F : :... : : :... : :... : Wedy e łd ówń łącze z łde ówń : w zeze P P wyzcz zó zowy 2 óy ędzey ozczć zez : EX. ( z wedzee (. ) ) Ozczyy zez zow odowedo : : P P P : P P P ogczoe do zo zowego EX. Z łd ówń zedwoyc w cy włośc wy że : Woe. EX X 2. P P ; QP e ewą oą d żdego X. 3. y y P P ; X y QP d żdego 4. S X y P - e zoe zowy o oz zecwoz zoów zowyc. Je o ą wzyc oyc eżącyc do wo zowego Q X 5. d EX d X 6. N P ; d d EX d E zecodzącyc zez P. e zoe doęy ( wedzee.4 ).Je o zoe ów oowyc wo zowego oyc Q X 7. d X d X Q. 36

37 8. Jeże = 3 dx = 3 o wó zowy oyc Q X zyw ę oee. Jeże = 3 dx = 2 o wó zowy oyc Q X zyw ę ogecą. Pzyłd Pzyłde wo zowego oyc ego ów oże yć zó wzyc oyc zecącyc oą oą. P : :... : : :... : Q :... : Jeże : 2 2 o zgode z wedzee 5. wó zowy oyc zecącyc oą oą e oeśoy zez zó zowy X wdy üce VL wyzczoy zez łd ówń :. Zó :. Zó ów oowyc ego wo N oyw ę ze zoe ów oe oe czy N =. Jeże = 3 o wó zowy oyc zyw ę oee ecy ów zo zowego X oeśące e wó ą oć : Pzyłd Twó oyc zecącyc dwe oe ośe oe w zeze zowe P 3 zyw ę ogecą. Rów zo zowego oeśącego e wó ędą oc : 37

38 gdze - wółzęde üceowe oe - wółzęde üceowe oe. Zó ów oowyc ogec N oyw ę ze zoe ów oe czy N =. T ogec włość że zez żdy N zecodz dołde ed o eżąc do ogec. 38

39 BIBLIOGRAFIA. I. Szfewcz Oowy geczeo geoe Izdewo N 2. R. Cco Agecze geoe Mow M A. Bec Pzezeń oyc zeze zowe P Zezyy owe 39 Wzw